二次函数的图像与一元二次方程

2、根据二次函数的系数，判断它的图象与x轴的位置关系。
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x轴的公共点 的个数
二次方程 ax2+bx+c=0的根
二次方程 ax2+bx+c=0的 根的判别式
两个公共点 有两个不等实 根
＞0
一个公共点 有两个相等实根 ＝0
没有公共点 没有实根
学习目标
1、经历探究二次函数y=ax²+bx+c和一元 二次方程ax²+bx+c=0关系的过程，掌握 二次函数和一元二次方程的关系 2、能利用二次函数图像讨论一元二次方 程的实数根，反过来利用一元二次方程 的实数根讨论二次函数图像与x轴交点 3、进一步体会数形结合思想和函数与方 程思想的综合运用，感知数学美
定，因此把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式，通
常用希腊字母 表示，即 =b2-4ac
具体来说，一元二次方程的根有三种情况：
（1）当 ＞0时，方程①有两个不相等的实数根； （2）当 ＝0时，方程①有两个相等的实数根； （3）当 ＜0时，方程①没有实数根。
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点
中国历史上的方程求解
约公元50~100年编成的《九章算术》，以算法形式给 出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的方法。
7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数 值解法。
11世纪北宋数学家贾宪以“立成释锁法”解三次或三次 以上的高次方程式，同时，还提出了一种更简单的“增 乘开方法”。
13世纪，南宋数学家秦九韶提出了“正负开方术”， 提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法。
＜0
课堂小结：
3、利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
当堂检测：
1、二次方程x2+x-6=0的两根为x1=-3，x2=2， 则二次函数y=x2+x-6的图象与x轴公共点的坐标 为（-3,0），（2,0） 。
2、如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有 两个相等的实数根，则m= 1 ，此时抛物线 y=x2-2x+m与x轴有 1 个公共点。
分别计算x=0，x=-1，x=-0.5的函数值，
列表如下： 由于在画百度文库和观察过程中
x y
存在是误二-差次1 ，方所程以根得的-0到近.5的似往值往 0
2
-0.25
-2
由于当x=-1时，y＞0，当x=-0.5时，y＜0，所以方程 的根在-1和-0.5之间。
可再将-1和-0.5之间分为5等份，每个分点 作为x值，利用计算器求出所对应的函数值， 列表：
例2 用图象法讨论一元二次方程x2-2x+3=0的根。
解：
y
（1）画出抛物线y=x2-2x+3 （2）由于图象与x轴没有公共点， 所以一元二次方程x2-2x+3=0没有 实数根
x
y
x
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴无公共点
转化为 转化为
二次方程ax2+bx+c=0 无实根
挑战自我
已知抛物线y=ax²+bx+c ，当a、b、c 满足什么条件时， (1)抛物线与x轴有两个公共点？
意 义 。 抛物线y x2 - x 1 与x轴的交点坐标是（1 , 0）。
4
（2）当x取何值时，函数
y=x2-x+
1 4
2
的值是0？
当x 1 时，函数y的值是0. 即x2 - x 1 0.
2
（3）一元二次方程
定 义1
x2-x+ =0
4
有没有根？
如果有根，它的根是什么4 ？
。 一元二次方程x2
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴有公共点
转化为 转化为
二次方程ax2+bx+c=0 有实根
画抛物线y=x2-3x-2，判断一元二次方程 x2-3x-2=0根的情况。
例1
用图象法讨论一元二次方程x2-3x-2=0的根（精确到0.1）
解：
（1）画抛物线y=x2-3x-2.
（2）由图象可知，在-1与0 之间以 及 3与4之间各有一个根.
当堂检测： 3、用图象法讨论一元二次方程 3 x2 3x 3 0 的根。
4
4、用图象法讨论一元二次方程 1 x2 4x 3 0 的根
（精确到0.1）。
2
分析：
计算0与1之间的根： x 0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 y 3 1.13 0.78 0.45 0.12 -0.20 -0.5
1
（ 的4根）和一抛元物二线次y方=x程2-x+x21-x与+ 4x=轴0 的 公共点的横坐标有什么4 关系？
通过刚才解答的问题， 你能得到什么样的结论？
y=x2-2x-3
1 y=x2-x+
4
抛物线y=ax2+bx+c与x轴公共点的横坐标， 恰为一元二次方程ax2+bx+c=0的实根。
若一元二次方程ax2+bx+c=0有实根，则 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，且 公共点的横坐标是这个一元二次方程的实 根。
-
x

1 4

1
0的根是x1

x2

1. 2
1
（4）一元二次方程 x2-x+ 4 =0 的根和抛物线 y=x2-x+ 4
与x轴的公共点的横坐标有什么关系？ 相等
y=x2-2x-3
1 y=x2-x+
4
（4）一元二次方程x2-2x-3=0的 根和抛物线y=x2-2x-3 与x轴的 公共点的横坐标有什么关系？
转化为 转化为
二次方程ax2+bx+c=0 有实根
二次方程ax2+bx+c=0
的根的判别式 ≥ 0
抛物线y=ax2+bx+c 与x轴无公共点
转化为 转化为
二次方程ax2+bx+c=0 无实根
二次方程ax2+bx+c=0
的根的判别式 ＜0
课堂小结：
1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程 ax2+bx+c=0的关系。
x -1.0 -0.9 -0.8 -0.7 -0.6 -0.5
y
2 1.51 1.04 0.59 0.16 -0.25
可以看出，这个根在-0.6和-0.5之间，由于本题要求 精确到0.1，所以可以将-0.6或-0.5看作二次方程 x2-3x-2=0较小根的近似值，即二次方程x2-3x-2=0 的较小根为x≈-0.6或x≈-0.5
。 。 如果有根，它的根是什么？
一元二次方程x2-2x-3=0的根是x1=-1,x2=3，
（4）一元二次方程x2-2x-3=0的根和抛物线y=x2-2x-3 与x轴的公共点的横坐标 有相什等么关系？
观察抛物线
1 y=x2-x+
，思考
4
下面的问题：
.
（1）抛物线与x轴有几个公共点？
交点的坐标分别是什么？
你能求出二次方程 x2-3x-2=0较大根 的近似值吗？试试看！
同样的，可以求出一元二次方程x2-3x-2=0的较大 根的近似值，列表如下：
x 3.0 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 y -2 -0.25 0.16 0.59 1.04 1.51 2
由上表可见，方程的较大根在3.5和3.6之间， 所以可以将3.5或3.6看作二次方程x2-3x-2=0较 大根的近似值，即二次方程x2-3x-2=0的较大根 为x≈3.5或x≈3.6
a ≠0且 b²-4ac＞0 (2)抛物线与x轴只有一个公共点？
a ≠0且 b²-4ac=0 (3)抛物线与x轴没有公共点？
a ≠0且 b²-4ac ＜0
广角镜
一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c为常数，a≠0）， ①
由于一元二次方程的根的个数由代数式b2-4ac的符号决
计算7与8之间的根：
x 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 8 y -0.5 -0.20 0.12 0.45 0.78 1.13 3
作业布置：
（1）习题5.9 第二题和第三题
（2）我们今天所学习的用图象法求一元二次方程的近似 解，利用了数形结合及逼近的数学思想，与数学领域的二 分法求方程近似解类似，课下有兴趣的同学可以上网查阅 资料，了解一下什么是二分法？
观察抛物线y=x2-2x-3，思考 下面的问题：
..
（1）抛物线与x轴有几个公共点？ 公共点的坐标分别是什么？
抛物线与x轴有两个公共点（-。1,0)，（。3,0）。
（2）当x取何值时，意函数义y=x2-2x-3的值是0？
当x=-1,x=3时，函数y的值是0.即x2-2x-3=0。 （3）一元二次方程x定2-2x-义3=0有没有根？