抽象函数的奇偶性,单调性问题
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型(原卷版)
重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。
抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。
一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类
专题10 抽象函数大题单调性奇偶性归类目录【题型一】保和函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 2 【题型二】类对数积函数：形如f （axb ）=f （a ）+f （b ）单调性与奇偶性 ..................................................... 3 【题型三】类指数函数：形如f （a+b ）=f （a ）f （b ）单调性 ........................................................................... 4 【题型四】类对数商函数：形如f （a/b ）=f （a ）-f （b ）单调性 ..................................................................... 5 【题型五】类线性函数：f （a-b ）=f （a ）-f （b ）单调性与奇偶性 .................................................................. 6 【题型六】保积函数：f （a*b ）=f （a ）*f （b ）单调性与奇偶性 ...................................................................... 6 【题型七】恒“截距”线性函数：f （a+b ）=f （a ）+f （b ）-1单调性 ............................................................. 7 【题型八】形如f （a*b ）=f （a ）+f （b ）+t 单调性与奇偶性 ............................................................................ 8 【题型九】形如f （a+b ）+f （a-b ）=2f （a ）f （b ）奇偶性 ............................................................................... 8 【题型十】形如f （a ）+f （a ）=f （a b1ab++）单调性与奇偶性 ........................................................................... 9 【题型十一】形如f （a ）+f （a ）=f (a b)[1f (a)f (b)]+±单调性与奇偶性 ...................................................... 9 【题型十二】形如f （a-b ）=1f (a)f (bf (a)f (b)+-单调性与奇偶性 (10)【题型十三】其他形式的抽象函数汇总 (11)综述一、赋值思维：抽象函数求解或者证明奇偶性和单调性基础。
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
抽象函数的单调性和奇偶性应用抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：一、判断单调性和奇偶性1. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。
例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。
例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是增函数还是减函数，并证明你的结论。
分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下：任取x x x x 121200<<⇒->->因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以f x f x ()()-<-12。
又f x ()是偶函数，所以f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，，从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。
2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。
例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。
解：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，）y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称，∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=()∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。
抽象函数的单调性与奇偶性讲解
抽象函数单调性与奇偶性抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
常见的特殊模型:特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =] 指数函数 f(x)=a x(a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
抽象函数的性质问题解析(数学)
抽象函数的性质问题解析抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。
考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。
本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。
1、 定义域：解决抽象函数的定义域问题——明确定义、等价转换。
材料一：若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。
解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=xf y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。
所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞ 总结：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取值范围），如本题中的1+x 与21+x 的范围等同。
2、 值域：解决抽象函数的值域问题——定义域、对应法则决定。
材料二：若函数)1(+=x f y 的值域为]1,1[-，求函数)23(+=x f y 的值域。
解析：函数)23(+=x f y 中定义域与对应法则与函数)1(+=x f y 的定义域与对应法则完全相同，故函数)23(+=x f y 的值域也为]1,1[-。
总结：当函数的定义域与对应法则不变时，函数的值域也不会改变。
3、 对称性：解决抽象函数的对称问题——定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。
材料三：设函数)(x f y =定义在实数集上，则函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于（ ）A 、直线0=y 对称B 直线0=x 对称C 直线1=y 对称D 直线1=x 对称 解法一（定义证明）：设点),(00y x P 是函数)1(-=x f y 的图象上的任意一点，则)1(00-=x f y ，),(00y x P 关于直线m x =的对称点为),2(00/y x m P -，要使点),2(00/y x m P -在函数)1(x f y -=的图象上，则)21()]2(1[000m x f x m f y -+=--=，应有121-=-m ，故1=m ，所以函数)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象关于直线1=x 对称。
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
2.奇函数()f x 在定义域()1,1-内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
3.如果()f x =2ax bx c ++(a>0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小4. 已知函数()x f 对任意实数y x ,，均有())()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ，2)1(-=-f ， 求()x f 在区间[]1,2-上的值域。
5. 已知函数()x f 对任意R y x ∈,，满足条件())()(y f x f y x f +=+2-，且当0>x 时，()2>x f ，5)3(=f ，求不等式()3222<--a a f 的解。
6.设函数()x f 的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在21x x ≠，使得()()21x f x f ≠，对任何y x ,，())()(y f x f y x f =+成立。
求：（1）()0f ； （2）对任意值x ，判断()x f 值的正负。
7.是否存在函数()x f ，使下列三个条件：①0)(>x f ，N x ∈；② N b a b f a f b a f ∈=+,),()()(；③4)2(=f 。
同时成立？若存在，求出()x f 的解析式，如不存在，说明理由。
8.设()x f 是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足()()()y f x f xy f +=，()13=f求：（1）()1f ；（2）若()x f ＋()28≤-x f ，求x 的取值范围。
9. 已知函数()x f 对任意实数y x ,都有)()()(y f x f xy f =，且()11=-f ，9)27(=f ，当10<≤x 时，()[)1,0∈x f 。
抽象函数函数之单调性及奇偶性部分
函数之单调性及奇偶性部分单调性问题 （抽象函数的单调性多用定义法解决）例1设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)= -2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值. 解析:由单调性的定义步骤设x 1<x 2, 则f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)+f(x 1)< f(x 1). （∵x 2-x 1>0,∴f(x 2-x 1)<0）所以f(x)是R 上的减函数, 故f(x)在[-3,3]上的最大值为f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.∴f(-3)=-f(3)=6.练习1：设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>1,且对于任意实数x 、y ，有f(x+y)=f(x)f(y)，求证：f(x)在R 上为增函数。
证明：设R 上x 1<x 2，则f(x 2-x 1)>1，f(x 2)=f(x 2-x 1+x 1)=f(x 2-x 1)f(x 1),(注意此处不能直接得大于f(x 1)，因为f(x 1)的正负还没确定) 。
取x=y=0得f(0)=0或f(0)=1;若f （0）=0,令x>0,y=0，则f(x)=0与x>0时，f(x)>1矛盾，所以f(0)=1，x>0时，f(x)>1>0,x<0时，-x>0，f(-x)>1,∴由0)(1)(1)()()0(>-==-=x f x f x f x f f 得，故f(x)>0，从而f(x 2)>f(x 1).即f(x)在R 上是增函数。
（注意与例4的解答相比较，体会解答的灵活性）练习2：已知函数f (x )的定义域为R ，且对m 、n ∈R ,恒有f (m +n )=f (m )+f (n )－1,且f (－21)=0,当x >－21时，f (x )>0. 求证：f (x )是单调递增函数；证明：设x 1＜x 2,则x 2－x 1－21>－21,由题意f (x 2－x 1－21)>0, ∵f (x 2)－f (x 1)=f ［(x 2－x 1)+x 1］－f (x 1)=f (x 2－x 1)+f (x 1)－1－f (x 1)=f (x 2－x 1)－1=f (x 2－x 1)+f (－21)－1=f ［(x 2－x 1)－21］>0, ∴f (x )是单调递增函数.练习3、 定义在R 上的函数y =f （x ），f （0）≠0，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）.（1）求证：f （0）=1； （2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0；（3）求证：f （x ）是R 上的增函数；（4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.（1）证明：令a =b =0，则f （0）=f 2（0）.又f （0）≠0，∴f （0）=1.（2）证明：当x ＜0时，－x ＞0，∴f （0）=f （x ）·f （－x ）=1.∴f （－x ）=)(1x f ＞0.又x ≥0时f （x ）≥1＞0，∴x ∈R 时，恒有f （x ）＞0.（3）证明：设x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0.∴f （x 2）=f （x 2－x 1+x 1）=f （x 2－x 1）·f （x 1）.∵x 2－x 1＞0，∴f （x 2－x 1）＞1.又f （x 1）＞0，∴f （x 2－x 1）·f （x 1）＞f （x 1）.∴f （x 2）＞f （x 1）.∴f （x ）是R 上的增函数.（4）解：由f （x ）·f （2x －x 2）＞1，f （0）=1得f （3x －x 2）＞f （0）.又f （x ）是R 上的增函数，∴3x －x 2＞0.∴0＜x ＜3.关键点注：解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f （x 2）=f ［（x 2－x 1）+x 1］”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略练习4、已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x>1时,f(x)<1.试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由.解:0)x (f ,0)x (f ,0)x (f )x x (f )x (f R x 2>≠≥=∙=∈+故又有对，则则且设,1x x ,x x ,R x ,x 122121><∈+ 1)x x (f )x (f )x (f )x x (f )x (f )x x x (f )x (f )x (f 121112111212<=∙=∙=，所以f(x 1)>f(x 2),故f(x)在R +上为减函数.)2()0,2()1,3()2()1,3()2,1()1,2()(0)1()1(0)2()0,()(5∞+⋃---∞+⋃-⋃-->+-=-∞，、、，、、的解集为，则上单调递减，且在、奇函数练习D C B A Cx f x f x f奇偶性问题例2. （1）已知函数f(x)(x ≠0的实数)对任意不等于零的实数x 、y 都有f(x ﹒y)=f(x)+f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。
专题三 抽象函数的单调性与奇偶性
专题三抽象函数的单调性与奇偶性抽象函数是一种没有具体函数解析式或图像，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。
这类函数问题能够全面考查学生对函数概念的理解及性质的应用、推理和论证能力，同时也能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力。
因此，抽象函数问题倍受命题者的青睐，体现了函数与方程、数形结合、一般与特殊等重要的数学思想。
然而，由于抽象函数问题比较抽象，学生难以理解和接受，教材也没有很好地讲解处理，因此这类问题时常困惑着不少师生。
但是，这类问题对于发展学生的思维能力，进行数学思想方法的渗透，培养学生的创新思想，提高学生的数学素质，有着重要作用。
因此，本文将从解题思路及方法方面谈点看法。
首先，我们可以在中学函数部分教材中找到一些抽象型函数的特殊模型，如正比例函数、幂函数、指数函数等。
若充分利用这些模型解题，既可使学生掌握解决数学问题的规律，培养了解题能力，又使学生体会到人们对事物的认识，总是在感性认识的基础上，通过抽象概括上升为理性认识，最终揭示事物的本质，这样一种认识规律。
对于抽象函数解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意；同时，对于有些对应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答题，要启发学生通过适当变通去寻求特殊模型，从而得到抽象函数问题的求解方法。
其次，对于用常规解法难以解决的数学问题，若利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。
比如，抽象函数奇偶性的判断一般通过合理赋值，抽象函数单调性的判断一般用定义，解关于抽象函数的不等式，一般利用用单调性脱去f。
综上所述，虽然抽象函数问题比较抽象，但是通过利用特殊模型和特殊方法，我们可以更好地解决这类问题，培养学生的数学思维能力和创新思维。
3.已知函数$f(x)$对任意实数$x,y$恒有$f(x+y)=f(x)+f(y)$且当$x>0$时，$f(x)<0$。
已知$f(1)=-2$。
抽象函数的奇偶性_单调性问题
练习：函数f(x)对任意 a, b R， 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时，都有f(x)>1, 求证：f(x)是R上的增函数。
3.抽象函数奇偶性证明 例4：函数f(x)的定义域为全体实数，且f(Байду номын сангаас)不 恒等于0，若对任意实数a,b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数。
练习：函数f(x)的定义域为全体实数,且f(x)不恒 为0，若对任意实数a,b都有f(a+b)+f(ab)=2f(a)f(b). 求证：f(x)为偶函数。
（2）已知函数f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域。 一般地，若函数f(g(x))的定义域为[a,b], 则函数f(x)的定义域就是函数g(x)在区间[a,b] 上的取值范围（即函数g(x)的值域）。
例2：已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求 函数y=f(x)的定义域。
2. 抽象函数单调性的证明 例3：已知函数f(x)对任意 x, y R ,总有 f (x) f ( y) f (x y)，且当x>0时，都有f(x)<0. 求证：f(x)是R上的减函数。
1. 抽象函数的定义域求法
（1）已知函数f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域 一般地，若f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x)) 的定义域是指满足不等式 a g ( x) b 的x的取 值范围，即不等式 a g ( x) b 的解集。 例1： 已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数 y=f(2x+1)的定义域。
抽象函数的单调性和奇偶性
抽象函数的单调性和奇偶性抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。
它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型：证明单调性和奇偶性1.证明单调性例．已知函数f(x)= 1)(1)(+-x g x g ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0, g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m) · g(n)= g(m+n)(m 、n ∈R)求证： f(x)是R 上的增函数例．已知f x ()对一切x y ，，满足f f x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，，且当x <0时，f x ()>1，求证：（1）x >0时，01<<f x ()；（2）f x ()在R 上为减函数。
2.证明奇偶性例．已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f x y f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。
求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例．已知f x ()是定义在（-11，）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足f a f a ()()---<2402，试确定a 的取值范围。
例．已知f x ()是定义在(]-∞，1上的减函数，若f m x f m x (sin )(cos )221-≤++对x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围。
不等式1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“f ”，转化为代数不等式求解。
例．已知函数f x ()对任意x y R ，∈有f x f y f x y ()()()+=++2，当x >0时，f x ()>2，f ()35=，求不等式f a a ()2223--<的解集。
抽象函数性质的应用
配套精练
配套精练
1．已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)
＋f(7)＝
( B)
A．－1
B．0
C．1
D．4
【解析】 由题意知f(－x)＝－f(x)且f(x＋2)＝f(x)，所以f(1)＋f(4)＋f(7)＝f(1)＋f(0)＋ f(－1)＝0．
变式 (2)(2023·肇庆二检)已知定义在R上的两个函数f(x)和g(x)，f(x)＋g(1－x)＝
3，g(x)＋f(x－3)＝3．若y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，则f(0)＝__3___，g(1)＋ g(2)＋g(3)＋…＋g(1 000)＝___0__．
【解析】 由g(x)＋f(x－3)＝3可得g(1－x)＋f(－2－x)＝3．又f(x)＋g(1－x)＝3，所以 f(x)＝f(－2－x)．令x＝0，得f(0)＝f(－2)．因为y＝g(x)的图象关于点(1，0)对称，所 以g(1－x)＋g(1＋x)＝0．又f(x)＋g(1－x)＝3，所以f(x)－g(1＋x)＝3． 因为g(x)＋f(x－3)＝3，所以g(1＋x)＋f(x－2)＝3，所以f(x)＋f(x－2)＝6．令x＝0，得 f(0)＋f(－2)＝6，则f(0)＝3．因为f(x)－g(1＋x)＝3，所以f(x－3)－g(x－2)＝3，又g(x) ＋f(x－3)＝3，所以g(x)＝－g(x－2)，g(x－2)＝－g(x－4)，则g(x)＝g(x－4)，4是g(x) 的一个周期． 因为g(3)＝－g(1)，g(4)＝－g(2)，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0．因为g(x)的周期是 4，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(1 000)＝0．
根据奇函数的对称性可知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝－f(－2)＝2，f(0)＝
必修一数学抽象函数习题精选含答案
抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。
若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。
故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。
2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。
分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。
三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中， 关键是利用函数的奇 偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式 组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。
抽象函数的单调性与奇偶性
抽象函数单调性与奇偶性特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )yx (f =]指数函数 f(x)=a x(a>0且a ≠1)f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )yx (f -=或正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx)y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+1.已知()()2()()f x y f x y f x f y ++-=,对一切实数x 、y 都成立，且(0)0f ≠,求证()f x 为偶函数。
证明：令x =0, 则已知等式变为()()2(0)()f y f y f f y +-=……①在①中令y =0则2(0)f =2(0)f ∵ (0)f ≠0∴(0)f =1∴()()2()f y f y f y +-=∴()()f y f y -=∴()f x 为偶函数。
2.奇函数()f x 在定义域（-1，1）内递减，求满足2(1)(1)0f m f m -+-<的实数m 的取值范围。
解：由2(1)(1)0f m f m -+-<得2(1)(1)f m f m -<--，∵()f x 为函数，∴2(1)(1)f m f m -<-又∵()f x 在（-1，1）内递减，∴221111110111m m m m m -<-<⎧⎪-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩3.如果()f x =2ax bx c ++(a>0)对任意的t 有(2)2)f t f t +=-,比较(1)(2)(4)f f f 、、的大小解：对任意t 有(2)2)f t f t +=-∴x =2为抛物线y =2ax bx c ++的对称轴 又∵其开口向上∴f (2)最小，f (1)=f (3)∵在［2，＋∞)上，()f x 为增函数 ∴f (3)<f (4),∴f (2)<f (1)<f (4)4. 已知函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且当x ＞0时，f （x ）＞0，f （－1）＝－2，求f （x ）在区间[－2，1]上的值域。
抽象函数及应用13种常考题型总结(原卷版)
抽象函数及应用13种常考题型总结题型1抽象函数的定义域问题题型2抽象函数的值域问题题型3求抽象函数的值题型4求抽象函数的解析式题型5抽象函数的奇偶性问题题型6抽象函数的单调性问题题型7抽象函数周期性问题题型8抽象函数的对称性问题题型9解抽象不等式题型10抽象函数比较大小题型11抽象函数的最值问题题型12抽象函数的零点问题题型13双函数混合型1.抽象函数概念：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数，题目中往往只给出函数的特殊条件或特征.2.抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()f x 表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则。
在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内。
抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.3.“赋值法”求抽象函数的值赋值法就是根据题目的具体情况，合理、巧妙地对某些元素赋予确定的特殊值(0,1,-1等),从而使问题获得简捷有效的解决。
注：（1）第一层次赋值：常常令字母取0，-1,1等.（2）第二层次赋值：若题中有条件0f x =t （），则再令字母取0x .（3）第三层次赋值：拆分赋值，根据抽象式子运算，把赋值数拆成某两个值对应的和与积（较多）或者差与商（较少）.4.“赋值法”求抽象函数的解析式赋值法求抽象函数的解析式，首先要对题设中的有关参数进行赋值，再得到函数解析式的某种递推关系，最后求得函数的解析式。
5.“赋值法”探究抽象函数的奇偶性判断抽象函数的奇偶性的关键是得到()f x 与()f x -的关系，解题时要对有关变量进行赋值，使其最后只保留()f x 与()f x -的关系。
抽象函数的性质-奇偶性、对称性、周期性、单调性课件-2024届高三数学一轮复习
∓()()
f(x±y)=
余弦函数f(x)=cos x
正切函数f(x)=tan x
常见的几类抽象函数与其对应的特殊函数模型:
抽象函数f(x)具有的性质
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y)-b
f(xy)=f(x)f(y)
f(xy)= f(x)f(y)或者
g(x)=f′(x).若 f( -2x),g(2+x)均为偶函数,则(
A.f(0)=0
解析:法一
B.g(-)=0
C.f(-1)=f(4)
)
D.g(-1)=g(2)
不妨取 f(x)=1(x∈R),经验证满足题意,但 f(0)=1,所以选项 A 不正确.
因为 f( -2x)为偶函数,所以 f( -2x)=f( +2x), 所以 f( -2× )=f( +2× ),即 f(-1)=f(4),所以 C 正确;
()
f(x±y)=f(x)g(y)±g(x)f(y)
f(x±y)=f(x)f(y)∓g(x)g(y)
f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)
()±()
f(x±y)=
∓()()
正弦函数f(x)=sin x 余弦函数g(x)=cos x
余弦函数f(x)=cos x 正弦函数g(x)=sin x
f(2)=3f(2)=3,所以 f(2)=1.
因为 f(2)=f( × )=f( )+f( )=2f( ),所以 2f( )=1,
所以 f( )= .
答案:(1)
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明抽象函数单调性与奇偶性特殊模型：正比例函数$f(x)=kx$（$k≠0$）幂函数$f(x)=x^n$（$n$为正整数）指数函数$f(x)=a^x$（$a>0$且$a≠1$）对数函数$f(x)=\log_a x$（$a>0$且$a≠1$）正、余弦函数$f(x)=\sin x$，$f(x)=\cos x$正切函数$f(x)=\tan x$余切函数$f(x)=\cot x$抽象函数：f(x+y)=f(x)+f(y)$f(xy)=f(x)f(y)$或$\frac{f(x)}{f(y)}$f(x+y)=f(x)f(y)$或$f(x-y)=\frac{f(x)}{f(y)}$f(xy)=f(x)+f(y)$或$f(x)=f(x)-f(y)$1.已知$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$，对一切实数$x$、$y$都成立，且$f(0)≠0$，求证$f(x)$为偶函数。
证明：令$x=0$，则已知等式变为$f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$……①在①中令$y=0$则$2f(0)=2f(0)$，由$f(0)≠0$得$f(0)=1$f(y)+f(-y)=2f(y)$，即$f(-y)=f(y)$，故$f(x)$为偶函数。
2.奇函数$f(x)$在定义域$(-1,1)$内递减，求满足$f(1-m)+f(1+m)<0$的实数$m$的取值范围。
解：由$f(1-m)+f(1+m)<0$得$f(1-m)<-f(1+m)$。
f(x)$为函数，∴$f(1-m)<f(m-1)$because f(x)$在$(-1,1)$内递减，∴$-1<1-m<1$，$-1<m-1<1$，即$-1<m<1$又$f(1-m)>f(m-1)$，故$m<0$，所以$-1<m<0$3.如果$f(x)=ax^2+bx+c(a>0)$对任意的$t$有$f(2+t)=f(2-t)$，比较$f(1)$、$f(2)$、$f(4)$的大小。
抽象函数解答题
抽象函数解答题班级：____________ 姓名：___________一、解答题1．已知函数对于任意的实数都有成立，且当时<0恒成立.（1）判断函数的奇偶性；（2）若=-2，求函数在上的最大值；（3）求关于的不等式的解集.2．定义域为的函数满足：，且对于任意实数，恒有，当时，.（1）求的值，并证明当时，；（2）判断函数在上的单调性并加以证明；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.3．定义在上的函数满足：对任意的，都有．（）求的值；（）若当时，有，求证：在上是单调递减函数；（）在（）的条件下解不等式：．4．设是定义在上的函数，满足，当时，．（）求的值，试证明是偶函数．（）证明在上单调递减．（）若，，求的取值范围．5．已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f -=，若[],1,1x y ∈-， 0x y +≠时，有()()0f x f y x y+<+成立.（1）判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明；（2）解不等式()()2113f x f x ->-；（3）若()221f x m am ≤-+对所有[]1,1a ∈-的恒成立，求实数m 的取值范围.6．已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，当1x >时， ()0f x <，且对任意正实数,x y ，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （1）求()1f ；（2）证明()f x 在定义域上是减函数；（3）如果113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求满足不等式()()22f x f x --≥的x 的取值范围.参考答案1．（1）奇函数.（2）4（3）【解析】【分析】（1）对函数进行赋值，求出，令y=-x即可根据定义判断出奇偶性；（2）由定义法证明其单调性，再由单调性求出给定区间上的最值；（3）利用奇函数的性质及已知的函数性质，将不等式化为的形式，再利用单调性列出不等式，求出解集.【详解】解：（1）∵的定义域是R关于原点对称，令得=0，再令，得∴是奇函数.（2）设任意，由已知得，①又，②由①②知，∴是R上的减函数，当∴在上的最大值为4（3）由已知得：，由（1）知是奇函数，又恒成立，上式可化为：由（2）知是R上的减函数，∴∴原不等式的解集为.【点睛】本题考查抽象函数与函数的奇偶性与单调性，抽象函数要采用赋值的方式利用，无解析式的函数不等式求解时，要利用函数单调性列出不等式，求出解集.2．（1）见解析；（2）见解析；（3）或【解析】分析：（1）赋值：令，，可得，令，设，则，，因为，，所以.（2）单调性证明根据定义证明即可：设，则，，，由（1）知，，所以，即，（3）结合（2）的单调性可得只需解，对任意恒成立即可.详解：（1）由已知，对于任意实数，恒有，令，，可得，因为当时，，所以，故.令，设，则，，因为，，所以.（2）设，则，，，由（1）知，，所以，即，所以函数在上为减函数.（3）由得所以即，上式等价于对任意恒成立，因为，所以所以对任意恒成立，设，（时取等），所以，解得或.点睛：考查抽象函数的性质，对求特殊值则利用赋值技巧即可，对单调性的证明则只能根据定义取值，作差，变形，定号，下结论取分析，而对于抽象函数的不等式则通常只需要知道函数单调性比较变量的大小解不等式即可，属于中档题.3．（）；（）证明见解析；（）．【解析】【分析】（1）令，根据函数的性质可得．（2）先证明函数是奇函数，然后再根据函数单调性的定义证明在上是单调递减函数．（3）将原不等式化为化为，根据函数的单调性和定义域得到关于的不等式组，解不等式组即可．【详解】（）令，则，∴．（）令，则，∴，∴是奇函数．设，且，则．∵，∴，∴，，∴，∴，∴ ．∴在上是单调递减函数．（）不等式可化为．∵在上是减函数，∴，解得，∴原不等式的解集为．【点睛】（1）解答抽象函数问题时，一是要注意赋值法的运用，二是要灵活运用所给的函数的性质求解．（2）在根据函数的单调性去掉不等式中的函数符号时，往往忽视定义域，解题时一定要注意这一点，避免出现错误．4．(1)；证明见解析.(2)证明见解析.(3).【解析】分析：（1）先求得，再求得，令，则，从而可得结论；（2）设，，，，∵，则，即，从而可得结果；(3)求得，可得，化为，从而可得结果.详解：（）∵令得∴．令，，，，令，则．即是定义在上的偶函数．（）∵，∴，设，，，，∵，则， 即，即在上单调递减． （）∵， ∴，∴，∵为偶函数，且在上单调递减，∴，综上，的取值范围为．点睛：本题主要考查函数的奇偶性、函数的单调性，属于难题. 利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.5．（1）见解析（2）2|0 5x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（3）0m =或2m ≤-或2m ≥ 【解析】试题分析：（1）根据条件赋值得()()()12120f x f x x x +-<+-，根据奇函数性质得()()()12120f x f x x x -<+-，再根据单调性定义得减函数，（2）利用单调性化简得2113x x -<-，结合定义区间得1211{113 1 2113x x x x-≤-≤-≤-≤-<-，解方程组得结果，（3）即()221max f x m am ≤-+,再根据单调性得()2121f m am -≤-+，化简得关于a 恒成立的不等式，根据一次函数()22g a ma m =-+图像得()()10{10g g -≥≥，解得实数m 的取值范围.试题解析：证明：（1）()f x 在[]1,1-上是减函数 任取[]12,1,1x x ∈-且12x x <，则[]21,1x -∈-，()f x 为奇函数()()12f x f x ∴- ()()12f x f x =+- ()()()()121212f x f x x x x x +-=⋅-+-由题知()()()12120f x f x x x +-<+-， 120x x -<()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x > ()f x ∴在[]1,1-上单调递减 ()2f x （）在[]1,1-上单调递减 1211{113 1 2113x x x x-≤-≤∴-≤-≤-<-解得不等式的解集为2|0 5x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭（3）()11f -=， ()f x 在[]1,1-上单调递减∴在[]1,1-上， ()()11f x f ≤-=问题转化为2211m am -+≥，即220m am -≥，对任意的[]1,1a ∈-恒成立令()22g a ma m =-+，即()0g a ≥，对任意[]1,1a ∈-恒成立则由题知()()10{10g g -≥≥，解得0m =或2m ≤-或2m ≥点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.6．（1）0；（2）证明见解析；（3）924x <≤. 【解析】试题分析：（1）由()()x f f x f y y ⎛⎫=-⎪⎝⎭令1x y ==，可得()10f =；（2）任取()120,x x ∈+∞、，且12x x <，则211x x >可得， ()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭，从而可得结果；（3）先根据特值法求得129f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，原不等式可化为()()129fx f f x ⎛⎫--≥⎪⎝⎭， ()()918f x f x -≥，利用定义域及单调性列不等式组求解即可.试题解析：（1）令1x y ==，得()10f =. （2）任取()120,x x ∈+∞、，且12x x <，则211x x >， 由题意， ()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=<⎪⎝⎭， 即()()21f x f x <，所以()f x 在定义域上是减函数.（3）由113f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得1111913933f f f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，得129f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由()()22f x f x --≥得： ()()129f x f f x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，()()918f x f x -≥，由()f x 在定义域上是减函数得9918,4x x x -≤≥. 又20x ->，本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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练习4： f (x)是定义在R 上的函数，对任意的 x1 , x 2 ，满足 f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) ，又对任意的 x1 x2 ，有 f ( x1 ) f ( x2 ) （Ⅰ）求 f (0) 的值
；
；
（Ⅱ）求证：对任意x ，都有 f ( x) 0 （Ⅲ）证明： f ( x1 x2 ) f ( x1 )
例3.定义在实数集合上的函数y=f(x),f(0)≠ 0， 当x>0时.f(x)>1对任意实数a,b,有f(a+b)=f(a)f(b) (3)求证:是R上的增函数。 (4)若f(x)· f(2x)>1求x的取值范围; 解:(3)设任意实数x1,x2,且x1<x2,即x2-x1>0有已知 f(x2-x1)>1 ,f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)f(x1) → f(x)>0有f(x1)>0 f(x2)>f(x1),所以函数是Ｒ上的增函数
例1已知y=f(x), 是定义为R单调增函数. y=g(x), 是定义为R单调减函数. 求证y=f[g(x)]在其定域义上的减函数
证明：设，x1,x2∈R且x1<x2,因为是Ｒ上的减函数 所以g(x1)>g(x2)，同理：y=f(x)是Ｒ上的增函数 即g(x1)>g(x2) ∴ f[g(x1)]>f[g(x2)] 故函数y=f[g(x)]是减函数 同理可得复合函数的‘同增异减法则’ ｆ，ｇ单调性相同原函数是增函数 ｆ，ｇ单调性相异原函数是减函数
(4) ∵f(x)· f(2x)=f(x+2x)>f(0), ∴3x>0
∴0<x
例4：已知当x>0时,f(x)>0且f(x-y)=f(x)-f(y), 求证:y=f(x)是增函数
练习1 :已知y=f(x)当x>0时f(x)>1且. f(x+y)=f(x)+f(y)-1求证y=f(x)是R上的增函数。
抽象函数：无函数具体表达形式，仅知道一些函 数性质去解决相关问题
例2已知y=f(x)是定义在R上的不恒为零的 函数，且对任意的a、b∈R都满足： f(ab)=af(b)+bf(a)
⑴求f(0)及f(1)的值 ⑵判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论
例3：定义在实数集合上的函数y=f(x),f(0)≠ 0， 当x>0时.f(x)>1,对任意实数a,b,有f(a+b)=f(a)f(b) (1)求证:f（0）=1 (2)求证:定义在实数集合上的函数y=f(x)恒有 f(x)>0 (3)求证:是R上的增函数。 (4)若f(x).f(2x)>1求x的取值范围;
f(x1)>f(x2)
y
（２）由已知得
a ) f (9) a 1 a a 1 9 a 0 a 1 0 9 1 a 8 f(
练习3： 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y) (1) 求证:f(x)是奇函数
（2） 如果x∈R+时，f(x)＜0，并且 f(1)=-0.5,求f(x)在区间［-2，6］上的
f ( x2 )
练习5：设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，当x>0 时,f(x)>1;对任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)f(y)成
立，解不等式
1 f ( x) f ( x 1)
x y f ( x) f ( y ) f ( ) 练习6：定义在(-1,1)上的函数f(x),满足 1 xy
解:(1)令a=b=0,f(0)=f2(0), ∵f(0)≠0, ∴f(0)=1 (2)x∈R,f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=1, ∴f(x)≠0
x x x x f ( x) f ( ) f ( ) f ( ) 0 2 2 2 2 x f ( ) 0 f ( x) 0 2
练习2:已知y=f(x) 定义域是R+,且y=f(x)是增函数, f(xy)=f(x)+f(y) x (1)求证:f( )=f(x)-f(y);
(2)当f(3)=1时f(a)>f(a-1)+2.求a取值范围; f (a ) f (a 1) 2 证明（１）
x x f ( x) f ( y ) f ( y ) f ( ) y y x f ( ) f ( x) f ( y ) y
,对任意x∈(-1,0),都有f(x)>0 求证:f(x)在(-1,1)上是单调减函数,
证明：f(0)=0,x+y=0∴f(x)+f(-x)=0 -1<x1<x2<1,x1-x2<0∴(x2-1)(x1+1)<0 ∴x1x2-1<x1-x2<0
∴
x1 x2 1 0 1 x1 x2
x1 x2 1 x 0, f ( x) 0 f ( )0 1 x1 x2