510解斜三角形应用举例(一)

课题：

解斜三角形应用举例（一） 教学目标：

1. 会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解 三

角形的方法；

2. 搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题的基本图形和基本等量关系；

3. 理解各种应用问题中的有关名词、术语，如：坡度、俯角、仰角、方向角、 方

位角等；

4. 通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力

.

实际问题向数学问题转化思路的确定 新授课

1课时

教 具：多媒体、实物

投影仪 教学方法：启发式

在教学中引导学生分析题意， 发学生在解三角形时正确选用正、 教学过程： 、复习引入:

2 2

C C C a +b -C

-2abcosC ，二 cosC = -------------------

2ab

教学重点: 实际问题向数学问题的转化及解斜三角形的方法 1.正弦定理:

a sin A b

sin B =2R si nC 2 .余弦定理：a 2 .2

=b 2 b 2 + c 2 - a 2

+ c - 2bc cos A,二 cos A = --------------- 2bc b 2 =c 2 +a 2

2^2 .2

-2cacosB^ cosB=」^ 2ca

3.解三角形的知识在测量、 航海、几何、物理学等方面都有非常广泛的应用,

教学难点： 授课类型： 课

分清已知与所求，根据题意画出示意图，并启 余弦定理 . 2 *2

=a +b

B

如果我们抽去每个应用题中与生产生活实际所联系的外壳，就暴露出解三角形 问题的本质，这就要提高分析问题和解决问题的能力及化实际问题为抽象的数 学问题的能力.下面，我们将举例来说明解斜三角形在实际中的一些应用

算油泵顶杆BC 的长度.已知车箱的最大仰角为 60 °,油泵

/

顶点B 与车箱支点A 之间的距离为1 . 95m, AB 与水平 J

\

线之间的夹角为 6° 20’，AC 长为1 . 40m,计算BC 的 畀&広.匸”真丁

••• BO 1. 89 （m ）

答：油泵顶杆 B C 约长1 . 89

评述：此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角 形找到，在转换过程中应注意“仰角”这一概念的意义，并排除题目中非数学 因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来

.

例2某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立

即测出该渔船在方位角为

45°、距离A 为10海里的C 处，并测得渔船正沿方

位角为105。的方向，以9海里/h 的速度向某小岛 B 靠拢，我海军舰艇立即 以21海里/h 的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进 ？并求出靠近

渔船所用的时间.

分析：设舰艇从A 处靠近渔船所用的时间为 X h,则利用余弦定理建立方 程来解决较好，因为如图中的/

1 , / 2可以求出，而 AC 已知，BC AB 均可用

X 表示，故可看成是一个已知两边夹角求第三边问题

.

解：设舰艇从 A 处靠近渔船所用的时间为 X h,贝U AB= 21 X 海里，BC= 9X 海 里，AC= 10 海里，/ ACB=/ 1 +/ 2 = 45。+ （180 ° — 105 ° ） = 120 ° , 根据余弦定理，可得

AB = A C + B C — 2AC- BC- cos120 °得

(21 X )2

= 102

+( 9 X ) 2

— 2 X 10X 9 X COS120

二、讲解范例：

例1自动卸货汽车的车箱采用液压结构，设计时需要计 长（保留三个有效数字）.

分析：求油泵顶杆 BC 的长度也就是在^ ABC 内，求边长BC 的问题, 据已知条件，AC = 1.40m,AB= 1 . 95 一°“， 相当于已知△ ABC 的两边和它们的夹角， 由余弦定理，得 B C

= A B + A C 一 2AB • ACCos A

2 2

=1. 95 + 1 . 40 — 2 X 1 . 95 X 1 .

m, / BAC= 60°+ 6° 20’= 66 所以求解BC 可根据余弦定理.

而根 20’ .

40X COS66 ° 20‘= 3. 571

2 2

即 36 X — 9x X 10= 0

2 5 解得X 1 = — , X 2=— 一 (舍去)

3

12

• - AB= 21 X = 14, BC = 9 x = 6 再由余弦定理可得

2 2 2

/aw AB^AC -BC 2

cos / BAC = ------------------

2 ”AB ”AC

评述：解好本题需明确“方位角”这一概念，方位角是指由正北方向顺时 针旋转到目标方向线的水平角，其范围是（

0° , 360 ° ）.

AB 和CD 同时望见气球 E 在它们的正西方向的上

和3，已知B 、D 间的距离为a ,测角仪的高度是

EG 只有角a 一个条件，需要再有一边长被确定， 而^

EAC 中有较多已知条件，故可在^ EAC 中考虑EA 边长的

求解，而在△ EAC 中有角3 , / EAO 180°— a 两角

与BD= a 一边，故可以利用正弦定理求解 EA

解:在^ ACE 中, AC= BD= a , / ACE= 3 , / AEC= a - 3 , 根据正弦定理，得

AE

= sn?^

在 Rt △ AEgEG= A^in a=

sin (a - P )

2 2 2

14

+10

-6 =0.9286,

•••/ BAC= 21 ° 47'

47‘= 66 ° 47'.

所以舰艇方位角为 答：舰艇应以 66°

,45°+ 21° 2

66° 47',—小时即40分钟.

3

47'的方位角方向航行，靠近渔船则需要

40分钟.

在利用余弦定理建立方程求出 边求角的问题，故仍然利余弦定理 例

3用同样高度的两个测角仪 空，分别

测得气球的仰角是 a b ,求气球的高度.

分析：在Rt △ EGA 中求解 X 后，所求舰艇方位角就转化为一个已知三