数值分析第一章检测题
数值分析习题集及答案
数值分析习题集及答案数值分析习题集及答案篇一：数值分析习题与答案第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx 的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有已知x*的相对误差，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式()()则得有5位有效数字，其误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2），相对误差限满足，而解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=,是 3位有数数字。
5.计算四个选项：取，利用：式计算误差最小。
第二、三章插值与函数逼近习题二、三 1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（）。
线性插值时，用及两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用，，三点，作二次Newton 插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次，函数表的步长h插值法求的近似值，要使误差不超过应取多少? 解：用误差估计式（），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若的值，这里p≤n+1.解：可知当而当P＝n＋1时于是得有互异，求，由均差对称性5.求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f()的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表由式()当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=+()+()() 由此可得f() N3()= 由余项表达式()可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表篇二：数值分析试题1参考答案参考答案 1 一、1．22．xn?1?xn?3．1, 0 4．7,f(xn)(n?0,1,?) ?f(xn)25 7(k?1)15(k)x2x11336. ? ,1(k?1)x2??x1(k?1)1220?2003??10?2?4二、(1) L?0?13?00?1??(2)1?0?120??,U??0100?5??4000?23100??0?? 3??4?1??l65?a65?(l61u15?l62u25?l63u35?l64u45);u55u56?a55?(l51u16?l52u26?l53u356?l54u46)三、先造差分表如下：（1）选x1?,x2?,x3?,x4?为节点，构造三次向前Newton插值多项式2y1?3y1N(x?th)?y1??y1?t(t?1)?t(t?1)(t?2) 31 2!3!将x1和h代入上式，则有N3(?)?25?2t?1/2*t(t?1)?5/6*t(t?1)(?2)由??解得t?,所以f()?N()?(2) 选x3?,x4?,x5?为节点，构造二次向前Newton插值式N2(x3?th)?y3??y3t?t(t?1)2!将x3和h代入上式，则有N2(?)?20?t?t(t?1) 由+=解得t=,所以 f()?N2()?（3）由f(?)3ht(t?1)(t?2)3!(,0?t?2)R2(x0?th)?f(?)3600有R（2(xi?)?(t?1)(t?2)?**maxt(t?1)(t?2)0?t?23!3!可知f(x)有两位整数，故能保证有两位有效数字。
研究生数值分析试题
一、选择题（四个选项中仅有一项符合题目要求，每小题 3 分，共计 15 分)
1、一般用高斯消元法解线性代数方程组要采用的技术是（
）
（1）调换方程位置； （2）选主元； （3）直接求解； （4）化简方程组。
⎛ 2 2 3⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞⎛2 2 3⎞
2、设矩阵
A
为初值迭代一步。
四、（12 分）应用牛顿法于方程
f (x) =
xn
−a
Байду номын сангаас
=
0和
f (x) =1−
a xn
= 0 ，分别导出求 n
a
的
迭代公式，并求极限 lim n a − xk+1 。 k→∞ ( n a − xk )2
五 、 （ 12 ） 方 程 x3 − 6 x − 8 = 0 在 x = 3 附 近 有 根 ， 把 方 程 写 成 三 种 不 同 的 等 价 形 式
零， A = LU 为 Doolitte 分解，则上三角矩阵 U 的上半带宽为
。
5、设对称正定矩阵
A
=
(aij
)∈
Rn×n , a11
≠
0
，经过一次
Gauss
消元得到形如
A
=
⎛ ⎜ ⎝
a11 0
∗⎞
A1
⎟ ⎠
的
矩阵，则 A1 是
矩阵。
三、（12 分）试用高斯列主元素法求解线性方程组
⎡ 1 3 −2 −4 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡3 ⎤
3、设矩阵 A ∈ Rn×n ， Q ∈ Rn×n ，且 QT Q = E ，则下列关系式不成立的是（
）
(1) A = AQ ；(2) QA = A ；(3) Qx = x ，其中 x ∈ Rn ；
《数值分析》第一章答案
《数值分析》第⼀章答案习题11．以下各表⽰的近似数，问具有⼏位有效数字？并将它舍⼊成有效数。
（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01；（2）*2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18；（3）*3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4；（4）*4x ＝31， 4x ＝0.333 3；（5）*5x ＝23.496， 5x ＝23.494；（6）*6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510；（7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-；（8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。
解：(1) =*1x 451.023 =1x 451.01=-1*1x x 0.01311021-?≤，1x 具有4位有效数字。
→1x 451.0(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18=-241021x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-?<2x 具有2位有效数字，045.02-→x(3)=*3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.231 10210391.0-?≤3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5) (4) =*4x 31 ，=4x 0.3333=-4*4x x 41021000033.0-?<,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333(5) =*5x 23.496，=5x 23.494=-5*5x x =-494.23496.2321021002.0-?<5x具有4位有效数字，→5x 23.50 (不能写为23.49)(6) =*6x 51096?710961.0?==-6*6x x 710001.0-?72101021--??≤6x 具有2位有效数字，57610961096.0?=?=x(7) =*7x 0.00096 371096.0-?=x3*71096.0-?=x =-7*7x x 0 7x 精确(8) 8700*8-=x 8x 3.8700-=8*8x x -010213.0?≤=8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83; (2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
数值分析第1章题
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7、无穷级数是 n 发散的，但如果在计算机上计
n 1
1
算会有什么结果？为什么？
8、判断下列命题的正确性。
（1）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。
（2）高精度运算可以改善问题的病态性。
（3）无论问题是否病态，只要算法稳定都能得到很好的近似 值。
（4）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。
（5）两个相近的数相减必然会使有效数字损失。 （6）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何 结果都是一样的。
工科研究生公共课程数学系列 机动
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第1章 习题作业（19-20页）
1、当x 0 时，x 的相对误差为 ，求lnx 的误差。 2、设x 的相对误差为2%，求x n 的相对误差。 5、计算球体体积使相对误差限位1% ，问度量半径R 所允许的相对误差限是多少？ x 8、当x y时，计算lnx lny有效数字会损失，改用ln 是否能减少舍入误差？ y 9、正方形边长大约为100cm ，应当怎样测量才能使其面积误差不超过1cm2 ? 1 2 10、设S gt , 假定g是准确的，而对t 的测量有 0.1s 的误差，证明当t 增加时 2 S的绝对误差增加，而相对误差却减少。 13、f (x) ln(x x 2 1), 求 f(30)的值，若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？ 若改用另一等价公式 ln(x x 2 1) ln(x x 2 1)计算，求对数时误差又为多大？ 其中 899 29.9833 14、用秦九韶算法求多项式p(x) 3 x5 2 x3 x 7 在x 3 的值。
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《数值分析》第一章答案
习题11． 以下各表示的近似数，问具有几位有效数字？并将它舍入成有效数。
（1）*1x ＝451.023， 1x ＝451.01； （2）*2x ＝－0.045 113， 2x ＝－0.045 18； （3）*3x ＝23.421 3， 3x ＝23.460 4；（4）*4x ＝31，4x ＝0.333 3；（5）*5x ＝23.496， 5x ＝23.494； （6）*6x ＝96×510， 6x ＝96.1×510； （7）*7x ＝0.000 96， 7x ＝0.96×310-； （8）*8x ＝－8 700， 8x ＝－8 700.3。
解：(1) =*1x 451.023 =1x 451.01=-1*1x x 0.01311021-⨯≤，1x 具有4位有效数字。
→1x 451.0(2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18=-<⨯-2*241021x x 0.045 18045113.0-=0.000 06731021-⨯<2x 具有2位有效数字，045.02-→x(3)=*3x 23.4213 =3x 23.4604=-3*3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.23110210391.0-⨯≤3x 具有3位有效数字，4.233→x (不能写为23.5)(4) =*4x 31，=4x 0.3333=-4*4x x 41021000033.0-⨯< ,4x 具有4位有效数字，=4x 0.3333 (5) =*5x 23.496，=5x 23.494=-5*5x x =-494.23496.2321021002.0-⨯<5x 具有4位有效数字， →5x 23.50 (不能写为23.49)(6) =*6x 51096⨯71096.0⨯= =6x 5101.96⨯710961.0⨯==-6*6x x 710001.0-⨯72101021--⨯⨯≤6x 具有2位有效数字，57610961096.0⨯=⨯=x(7) =*7x 0.00096 371096.0-⨯=x 3*71096.0-⨯=x =-7*7x x 0 7x 精确 (8) 8700*8-=x 8x 3.8700-=8*8x x -010213.0⨯≤= 8x 具有4位有效数字，8x 8700-=精确 2.以下各数均为有效数字： (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747⨯6.83;(2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。
数值分析计算方法试题集及答案
数值分析复习试题第一章 绪论 一. 填空题 1.*x为精确值x 的近似值；()**x f y =为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***r x xe x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂ 2、 计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 舍入误差 。
3、 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有6 位和7 位；又取 1.73≈-211.73 10 2≤⨯。
4、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为0.0055 。
5、 设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为0.01 。
6、 已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为0.0000204 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 . 8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3位和 4 位有效数字。
9、若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。
10、 设x*的相对误差为2％，求(x*)n的相对误差0.02n11、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；12、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 13、为了使计算 ()()2334610111y x x x =++---- 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为11,))64(3(10-=-++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为199920012+。
数值分析第一章作业
习题（一）1. 指出四舍五入得到的下列各数有几位有效数字：x 1∗=7.8673,x 2∗=8.0916,x 3∗=0.06213,x 4∗=0.07800,x 5∗=90×103,x 6∗=2.0×10−4解：由有效数字定义得：x 1∗，x 2∗具有5位有效数字x 3∗，x 4∗具有4位有效数字x 5∗，x 6∗具有2位有效数字.2. 设准确值为x=3.78695，y=10,它们的近似值分别为x 1∗=3.7869，x 2∗=3.7870及y 1∗=9.9999，y 2∗=10.1，y 3∗=10.0001，试分析x 1∗，x 2∗，y 1∗，y 2∗，y 3∗分别具有几位有效数字. 解：x 1∗=3.7869=x 1∗=0.37869×101，k 1=1|x 1∗−x|=|3.7869−3.78695|=0.00005≤0.5×10−4=0.5×101−5, 即x 1∗具有5位有效数字；同理，x 2∗=3.7870=0.37870×101，k 2=1|x 2∗−x|=|3.7870−3.78695|=0.00005≤0.5×101−5，所以x 2∗具有5位有效数字； 将y 1∗，y 2∗，y 3∗分别写成y=±10k ×0.α1α2...αn 的表示形式，有：y 1∗=9.9999=0.99999×101，k 3=1；y 2∗=10.1=y 2∗=0.101×102，k 4=2；y 3∗=10.0001=0.100001×102，k 5=2；|y 1∗−y |=|9.9999−10|=0.0001=0.1×10−3≤0.5×101−4,n=4;|y 2∗−y |=|10.1−10|=0.1≤0.5×102−2,n=2;|y 3∗−y |=|10.0001−10|=0.0001=0.1×10−3≤0.5×102−5,n=5;所以y 1∗，y 2∗，y 3∗分别具有4，2，5位有效数字.8.为了使√11的近似值的相对误差不超过0.1%，问至少应取几位有效数字. 解：√11=0.3316624…=0.α1α2...αn ×10k ，α1=3，设x ∗有n 位有效数字，又因为|E x ∗|比值比较小， 故可用E r ∗(x ∗)= |E(x ∗)x ∗|代替相对误差E r ∗(x ∗)，用εr ∗=εx ∗代替相对误差限εr 所以εr ∗≤12α1×10−n+1=16×10−n+1 令16×10−n+1≤0.1%，解得n ≥3.22即至少应取4位有效数字.12.如何计算下列函数值才比较精确.(1)11+2x −11+x ，对|x|≪1; (2)√x +1x −√x −1x ，对x ≫1;(3)∫dx 1+x 2N+1N，其中N 充分大； (4)1−cos xsin x ，对|x|≪1;(5)ln(30−√302−1)(开平方用6位函数表)；解:(1)原式=1+x−(1+2x)(1+2x)(1+x)=−x (1+2x)(1+x)； (2)原式=x+1x −(x−1x )√x+1x +√x−1x =2x √x+1x +√x−1x ；(3)原式=arc tan x|NN+1=arc tan N +1−arc tan N =arc tan N+1−N 1+N(N+1)=arc tan 11+N(N+1)； (4)原式=2sinx 222sin x 2cos x 2=tan x2; (5)原式=30+√302−1=−ln(30+√302−1)令f(x)=ln(x −√x 2−1)，则f(30)=ln(30−√302−1)=ln(30−√899),记a=30−√899 若用6位开方函数表，则有a ∗=30−29.9833=0.0167,故有ε(a ∗)=0.5×10−4, 而f(30)≈ln a ∗,于是ε(f (30))=ε(ln a ∗)≈|1a ∗|ε(a ∗)=0.50.0167×10−4≈0.003; 又因为f(x)等价于f(x)=-ln(x +√x 2−1)，则f (30)=-ln(30+√899)，记b=30+√899 同理b ∗=59.9833,进而ε(b ∗)=(2×10−4)−1,对f (30)≈ln b ∗ε(f (30))=ε(ln b ∗)≈|1b ∗|ε(b ∗)=0.559.9833×10−4≈0.834×10−6。
《数值分析》杨大地-答案(第一章)精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版数值分析-第1章1．填空题(1)为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为有限次的四则运算；(2)在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个相近数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值远小于分子的绝对值；(3)误差有四大来源,数值分析主要处理其中的截断误差和舍入误差；(4)有效数字越多,相对误差越小；2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字。
//见P4解题思路：假定x0是√a的一个近似值，x0>0，则ax0也是√a的一个近似值,且x0和ax0两个近似值必有一个大于√a，另一个小于√a，设想它们的平均值应为√a的更好的近似值，于是x k+1=1 2(x k+ax k)，k=0，1，2，……解：取x0=3，按算法x k+1=12(x k+ax k)，k=0，1，2，……迭代3次有：x1=12(x0+10x0)=(3+103)≈3.167x2=12(x1+10x1)=(3.167+103.167)≈3.162x3=12(x2+10x2)=(3.162+103.162)≈3.1623. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差。
//见P8解：已知f(x)=√x，设x∗是准确值，令x是x∗的一个近似值,则相对误差e(f(x))=f(x)−f(x∗)，由Taylor公式f(x∗)=f(x)0！ +f′(x)1！(x∗−x)+f"(x)2！(x∗−x)2+⋯+f n(x)n！(x∗−x)n+R n(x)其中，R n(x)=f n+1(ξ)(n+1)！(x∗−x)n+1将f(x∗)展开分析有：f(x∗)=√x2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x)∴e(f(x))=f(x)−f(x∗)=− (2√x x∗−x)+⋯+f n(ξ)n！(x∗−x)n+R n(x))∴|e(f(x))|≤ ε(f(x))≤|2√x |ε(x)+⋯+|f n(ξ)n！εn(x)|+|R n(x)|忽略二阶以上无穷小，可得f(x)的误差限公式为ε(f(x))≈2√x(x)。
数值分析习题（含答案）
数值分析习题（含答案）第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325*10211021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-?≤-ππ，3*310211021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-?≤-aa ，2*1021-?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102110211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b ba ab 故b a ?至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知δ=-**xx x ，则误差为δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析习题集及答案[1](精)
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数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析作业题(1)
第一章 误差与算法1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____, ___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 .2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。
0.2499作为1/4的近似值, 有几位有效数字？00.24990.249910,0m =⨯=即，031|0.2499|0.00010.5100.510,34m n n ---=<⨯=⨯=即22 3.1428751...,7=作为圆周率的近似值，误差和误差限分别是多少，有几位有效数字？2133.142875 3.14159260.00126450.5100.510---=<⨯=⨯有3位有效数字.* 有效数字与相对误差的关系3. 利用递推公式计算积分110,1,2,...,9n x n I x e dx n -==⎰错误!未找到引用源。
, 建立稳定的数值算法。
该算法是不稳定的。
因为:11()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==-111n n I I n n -=-， 10110I =4. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_.时间复杂度是指: , 两个n 阶矩阵相乘的乘法次数是 , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为 .二 代数插值1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式, 并写出误差估计式, 以及验证插值多项式的唯一性。
x 0 1 4f(x) 1 9 3Lagrange:设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应 的标准基函数 为:1200102()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x =2()...l x =因此, 所求插值多项式为:220()()()....i i i P x f x l x ===∑ (3)2()()(0)(1)(x 4)3!f R x x x ξ=--- Newton:构造出插商表:xi f(xi ) 一 二 三0 11 9 84 3 -2 -5/2所以, 所求插值多项式为:2001001201()()[,]()[,,]()()518(0)(0)(1)2...P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x =+-+--=+----=插值余项: 2()[0,1,4,](0)(1)(x 4)R x f x x x =---2. 已知函数f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7,则f[0,1]=___2________, f[0,1,2]=____1______)('],[000x f x x f =3.过0,1两节点构造三次Hermite 插值多项式, 使得满足插值条件: f(0)=1. .’(0)=... f(1.=2. .’(1)=1设0101010,1,()1()2'()0,'()1x x f x f x f x f x ======则，， 写出插商表:xi f(xi) 一 二 三0 10 1 01 a 1 11 a 1 0 a-1因此, 所求插值多项式为:插值余项:222()[0,0,1,1,](1)R x f x x x =-4.求f(x)=sinx 在[a,b]区间上的分段线性插值多项式, 并写出误差估计式。
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。
1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。
（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。
"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。
（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。
（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。
（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。
数值分析第1章习题
一、选择题1、 4.8675和0.08675均为经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，则它们的有效数字分别有几位（B ）(有效数字)A . 4和5 B. 5和4 C. 4和6 D. 5和62、已知用718.2e *=来表示...7182.2=e 具有4位有效数字，求*e 的相对误差限（B ）（考查相对误差限公式的应用）A 、 31021-⨯ B 、31041-⨯ C 、41021-⨯ D 、41041-⨯ 3、70 =8.3666600…若取有效数字为四位时，70的相对误差为（B ）(有效数字与相对误差的关系)A ． 31085-⨯ B. 310161-⨯ C. 41058-⨯ D. 41035-⨯ 二、填空题1、为使π的近似值的相对误差小于0.001%则应取（6）位有效数字。
（有效数字）2、已知x>0,x 的相对误差限为δ，求x ln 得误差( δ ) ，相对误差(*ln x δ)（误差，相对误差的计算）三、计算题1、利用四位数学用表求 2cos 1-=x 的近似值，采用下面等式计算： （1） 2cos 1-；（2）1sin 22. 哪一个结果比较好？（算法的数值稳定性） 2、列}{n y 满足递推关系1101-=-n n y y ，n=1，2，…。
若41.120≈=y （三位有效数字），（1）0y 的误差多大？（2）计算到10y 时误差多少？（3）这个计算过程稳定吗？（4）简述你对算法的数值稳定性的理解。
（考查误差限和数值稳定性）解答：一、选择题2、解：因为n=4,由公式|r δ|=|a x a *-|≤)1(11021--∙n a 得 |r δ|≤)14(10221--⨯⨯=31041-⨯ 所以e*的相对误差限为r δ=31041-⨯ 二、填空题1、解：假设取n 位有效数字，则其相对误差限为：111102n r a σ-+≤⨯ 要保证其相对误差小于0.001%，只要保证其相对误差上限满足111100.001%2n r a σ-+≤⨯≤ 已知1a =3，解得 1510610n -+-≤⨯-n+1 ≤ -56n ≥所以应取6位有效数字，即 3.14159π=2、解：已知δ=*-*x x x ，则误差为δ=*-=-**x x x x x ln ln 则相对误差******=-=-xx x x x x x x ln ln 1ln ln ln δ三、计算题解答1、 解：由题意知9994.02cos ≈︒，0175.01sin =︒根据（1）0006.02cos 1=︒- 一位有效数字根据（2）00061.01sin 22=︒ 两位有效数字所以（2）的结果比较好。
数值分析检测题
数值分析第一章检测题（黄）一、填空题（每空4'）1. 已知x =62.1341是由准确数a 经四舍五入得到的a 的近似值，试给出x 的绝对误差限_______________.2. 设x 和y 的相对误差均为0.001，则x*y 的相对误差约为____________.3. π取四位有效数字是 ，ｅ取五位有效数字是 ，此时π/ｅ的误差限是 。
4. 根据秦九韶算法，多项式p(x)=5x^4+3x^2+12x+4只需计算 次乘法和 次加法。
5. 要使30的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 位有效数字。
二、简答题（10'×4）1. 科学计算中的误差来源有哪些?2. 截断误差和舍入误差的区别。
3. 用公式表示误差、误差限；相对误差、相对误差限。
4. 避免误差危害，防止有效数字损失的方法。
三、解答题（8'×3）1. 用秦九韶算法求多项式p （x ）=2x^6+3x^4-9x^2+x-6在x=3处的值。
2. 计算球面积要使相对误差限为0.1％，问度量半径R 所允许的相对误差是多少？3. 取99的6位有效数字9.94987，则以下两种算法各有几位有效数字？05013.094987.9109910=-≈-0501256399.094987.19194987.910199101==+≈+ 数值分析第一章检测题80分钟一、填空题（5′×4）1.下列各数都是经过四舍五入的近似数：x=1.1022,y=0.033,z=385.7,w=56.430 则x+y+w 的误差限为________________ x*y*z 的误差限为________________2.设x>0,x 的相对误差为δ，则ln(x^n)的误差为________________ 3．设x 的相对误差为2%，则x^(3n)的相对误差为________________4.设Yo=28,按递推公式Yn=Yn-1—1023/100，若取1023≈31.984（5位有效数字），计算Y100的误差为_________ 二、解答题（10′×4+15′×2）5.计算球体积使相对误差限为1‰，则度量半径R 所允许的误差限是多少？6.求方程x ²-64x+1=0的两个根，使它至少具有4为有效数字（1023≈31.984）。
数值分析第1章习题
(A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字)A. 4和3B. 3和2C. 3和4D. 4和4解..14159.3==*πx ,1103142.0⨯=a 时,1=m ,31021...00041.0)(-*⨯≤=-=a x a E m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。
当1103141.0⨯=a 时,1=m , 21021005.0...00059.0)(-*⨯=≤=-=a x a E ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。
(A)2. 为了减少误差，在计算表达式19992001-时，应该改为199920012+计算，是属于（）来避免误差。
（避免误差危害原则）A.避免两相近数相减；B.化简步骤，减少运算次数；C.避免绝对值很小的数做除数；D.防止大数吃小数 解：由于2001和1999相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。
(B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则）A.计算123460.60.612345++-B.计算25612520000450⨯- C.计算10.99994- D.计算11x x+- 解:A 会有大数吃掉小数的情况C 中两个相近的数相减，D 中两个相近的数相减也会增大误差(D)4.若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有()位有效数字。
(有效数字)A. 5B. 4C. 7D. 3 解：51021)(-⨯=a E 即m-n= -5,2103400.0-⨯=a ，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设*x 的近似数为40.32710a =⨯，如果a 具有3位有效数字，则a 的相对误差限为()（有效数字与相对误差的关系）A ． 35103- B. 33105- C. 53105- D. 5103-2 解：因为40.32710a =⨯所以31=a ,因为a 有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a 的相对误差限为 31103510.5--⨯==n r a δ1.设210256.000256.0,002567.0-⨯===a x 则a 有2位有效数字，若210257.000257.0-⨯==a 则a 有3位有效数字。
数值分析计算方法试题集及答案
第一章绪论 一. 填空题 x* -x4、 设x j —1.216, x^ - 3.654均具有3位有效数字，则 X 1X 2的相对误差限为 0.0055 ________ 。
5、 设为=1.216,x 2 =3.654均具有3位有效数字，则 为 他 的误差限为 0.01 _______________ 。
6、 已知近似值X A = 2.4560是由真值x T 经四舍五入得到，则相对误差限为0.0000204 .7、 递推公式二血 ,如果取y 0=逅".41作计算,则计算到 血时,误差为y n = 10y n-i -1, n = 1,2,11 8-10 ;这个计算公式数值稳定不稳定 不稳定 .28、 精确值二* =3.14159265…，则近似值=3.141和二2* =3.1415分别有_J3 _____________ 位和4 _ 位有效数字。
9、 若x 二e 、2.71828二x ,则x 有_6_位有效数字，其绝对误差限为 1/2*10 -。
10、 设x*的相对误差为2%,求（x*） n 的相对误差0.02n数值分析复习试题1. x 为精确值x 的近似值；y * = f x *为一元函数y1二 f X 的近似值；二f x*, y*为二元函数y2f x, y 的近似值，请写出下面的公式:*e 二 x* -x :f x*x*；r yi* :x* f f x*x*；r x*y2*f x*, y*:x（X*）+ 硏（x*,y*）:y舍入误差 _______ 。
6 _____ 位和 7位; 又取 乔“.73 （三位有效数字），则1.73＜丄汉10-22计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫 分别用2.718281，2.718282作数e 的近似值，则其有效数字分别有ry2*：11、近似值x'0.231关于真值x =0.229有(2 )位有效数字;2..2001 • ”1999 。
数值分析第一章练习
第一章习题一、填空题1、为了使计算 32)1(6)1(41310---+-+=x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达式改写为 ，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-改写为 。
2、若a=2.42315是2.42247的近似值，则a 有( )位有效数字.3、求方程011015.02=--x x 的根，要求结果至少具有6位有效数字。
已知0099.10110203≈，则两个根为=1x ，=2x .（要有计算过程和结果）4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( )位有效数字；5*x 的相对误差的( )倍；6、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )；7、计算方法主要研究( )误差和( )误差；8、722,141.3,142.3分别作为π的近似值有 , , 位有效数字。
9、设A 0.231x =是真值0.229T x =的近似值，则A x 有_______位有效数字。
10、按四舍五入原则数2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分别为 和 。
11、-43.578是舍入得到的近似值，它有 ( ) 位有效数字，相对误差限为( )。
二、选择题1、用1+3x 近似表示31x +所产生的误差是( )误差。
A. 舍入 B. 观测 C. 模型 D. 截断2、-324.7500是舍入得到的近似值，它有( )位有效数字。
A. 5B. 6C. 7D. 83、用s *=21g t 2表示自由落体运动距离与时间的关系式 ( g 为重力加速度 )， s t 是在时间t 内的实际距离，则s t - s *是（ ）误差。
A. 舍入B. 观测C. 模型D. 截断4、舍入误差是( )产生的误差。
A. 只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C. 观察与测量D.数学模型准确值与实际值5、3.141580是π的有( )位有效数字的近似值。
A. 6B. 5C. 4D. 7三、计算题1、为了使20的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？2、设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x 的误差限。
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数值分析第一章检测题
60分钟
一、填空题（每空4'）
1.已知x=6
2.1341是由准确数a经四舍五入得到的a的近似值，试
给出x的绝对误差限_______________.
2.设x和y的相对误差均为0.001，则x*y的相对误差约为
____________.
3.π取四位有效数字是，ｅ取五位有效数字是
，此时π/ｅ的误差限是。
4.根据秦九韶算法，多项式p(x)=5x^4+3x^2+12x+4只需计算
次乘法和次加法。
5.要使30的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取位有
效数字。
二、简答题（10'×4）
1.科学计算中的误差来源有哪些?
2.截断误差和舍入误差的区别。
3.用公式表示误差、误差限；相对误差、相对误差限。
4.避免误差危害，防止有效数字损失的方法。
三、解答题（8'×3）
1. 用秦九韶算法求多项式p （x ）=2x^6+3x^4-9x^2+x-6在x=3处的
值。
2. 计算球面积要使相对误差限为0.1％，问度量半径R 所允许的相
对误差是多少？
3. 取99的6位有效数字9.94987，则以下两种算法各有几位有效数
字？
05013.094987.9109910=-≈-
0501256399.094987
.19194987.910199101==+≈+。