八年级数学竞赛例题专题讲解14：整式的乘除

专题14 多边形的边与角

阅读与思考

主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．

多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．

多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．

例题与求解

【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：设两个凸多边形分别有m，n条边，分别引出

(3)

2

m m-

，

(3)

2

n n-

条对角线，由此得m，

n方程组．

【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n的最大值是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于n的不等式，通过求解不等式逼近求解．

【例3】凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值．

（山东省竞赛试题）解题思路：利用n边形内角和公式，以及边数n为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出n的值．

【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FG 的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长． （全国通讯赛试题）

解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．

【例5】如图所示，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M 时，行走了多少米？

解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．

能力训练

A 级

1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．

（重庆市竞赛试题）

2．如图，凸四边形ABCD 的四边AB ，BC ，CD 和DA 的长分别为3，4，12和13，∠ABC ＝90°，则四边形ABCD 的面积为＿＿＿．

A B

C

D E

F

G 第1题 A B C D 第2题

M

A D

E F

G H

3．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．

4．如图，ABCD 是凸四边形，则x 的取值范围是＿＿＿．.

5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（ ）

A ．9条

B ．8条

C ．7条

D ．6条

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

6．—个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（ ）

（全国初中联赛试题）

A ．11

B ．12

C ．13

D ．14

7．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（ ）个角．

A ．5个

B ．5个或3个

C ．5个或3个或4个

D ．4个 8．—个凸n 边形，除一个内角外，其余1n 个内角的和为2400°，则n 的值是（ ）

A ．15

B ．16

C ．17

D ．不能确定

9．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝8，∠A ＝60°，∠D ＝150°，四边形周长为32，求BC 和DC 的长．

10．—个凸n 边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求n 的值． （“希望杯”邀请赛试题）

A

B D E

F

G 第3题 A B C D 24x 第4题

第7题 A

B C

D

11．平面上有A ，B ，C ，D 四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC ，△ABD ，△ACD ，△BDC 中至少有—个三角形的内角不超过45°．

（江苏省竞赛试题）

12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：

（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？

（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．

（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．

（安徽省中考试题）

B 级

1．一个正m 边形恰好被正n 边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m ＝4，n ＝8的情况），若m ＝10，则n ＝＿＿＿＿．

2．如图，六边形ABCDEF 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F ，且AB ＋BC ＝11，F A CD ＝3，则BC ＋DE ＝＿＿＿＿．

（北京市竞赛试题）

3．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，则得到的n 个角的和等于＿＿＿＿．

第1题 A

B

C D E

F 第2题 1

A 1

B 2A 2B 3B 45B 3A 4A 5A 第3题