高三12月月考试题(文数)答案

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湖南省株洲市第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题(B)含答案

湖南株洲第二中学2022-2023学年上学期教学质量检测高三数学试题（B ）（答案在最后）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={0,1,2,3,4,5}，B={1,3,6,9},C={3,7,8}，则 ()=C B A A ．{1,2,6,5} B ．{3,7,8} C ．{1,3,7,8}D ．{1,3,6,7,8}2．与圆224240x y x y +-++=关于直线30x y -+=成轴对称的圆的方程是 A ．22810400x y x y +-++= B ．22810200x y x y +-++= C ．22810400x y x y ++-+=D ．22810200x y x y ++-+=3．已知c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距，则b c a +的取值范围是（）A ．()1,+∞B ．)+∞C ．(D ．(4．已知实数a ，b ，0a >，0b >，则“2a b +<”是（） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()()2|| 1.00125()e ,log 3,log 8,2x f x x a f b f c f ===-=-，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>6．已知A 、B 、C 是半径为3的球O 的球面上的三个点，且120ACB ∠=，AB =2AC BC +=，则三棱锥O ABC -的体积为（）A B C D7．过点22M p ，作抛物线2)20(x py p ＝的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p 的值是( ) A ．1B ．2C ．1或2D ．-1或2 8．已知奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，22log 9b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0.92c f =--，则a ､b ､c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >>D ．c a b >>二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列说法正确的是（）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“423a <<”是“()()22123a a ---<-”的充要条件 C ．命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”D ．已知函数()y f x =的定义域为R ，则“()00=f ”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件 10．对于函数()sin cos sin cos 2x x x xf x ++-=，下列结论正确的是（）A ．()f x 是以2π为周期的函数B ．()f x 的单调递减区间为()52,2Z 24k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的最小值为-1D ．()f x ≥的解集是()32,2Z 44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 11．在数列{}n a 中，已知1210,,,a a a ⋯是首项为1，公差为1的等差数列，10101101(),,,n n n a a a ++⋯是公差为n d 的等差数列，其中N*n ∈，则下列说法正确的是（）A ．当1d =时，2020a =B ．若3070a =，则2d =C ．若1220320a a a +++=，则3d =D ．当01d <<时，()101101n a d<-＋ 12．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为棱CC 1上的动点，AM ⊥平面α，下面说法正确的是（）A．若N 为DD 1中点，当AM +MN 最小时，CM=2B ．当点M 与点C 1重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C ．若点M 为CC 1的中点，平面α过点B ，则平面α截正方体所得截面图形的面积为92D ．直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为⎣⎦三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______．14．下列四个命题中：⊥已知()()()sin cos 21,sin cos 2πααπαπα-+-=++则tan 1α=-；⊥()00tan 30tan 30-=-=⊥若sin α=则1cos 2;2α=-⊥在锐角三角形ABC 中，已知73sin ,cos ,255A B ==则119sin .125C =其中真命题的编号有_______. 15．已知定义在[2,2]-上的函数()g x 为奇函数,且在区间[0,2]上单调递增,则满足(1)()g m g m -<的m 的取值范围为______16．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知{}n a 是递增的等差数列，12,a a 是方程2430x x -+=的两根．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-. （1）求函数()f x 的解析式；并写出函数的单调区间；（2）函数()f x 在区间[3,]a -上的最小值为()g a ，求()g a 的值域.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥；（3）设椭圆222:41C x y +=，若M ，N 分别是1C ，2C 上的动点，且OM ON ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值．20．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin b a C A =，点M 是BC 的中点. （⊥）求A 的值；（⊥）若a =AM 的最大值.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F是椭圆的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB （O 为坐标原点）的面积的最大值．22．已知函数()2ln bf x ax x x =-+.（1）若()f x 在1x =，12x =处取得极值. ⊥求a 、b 的值；⊥若存在01[,2]4x ∈，使得不等式0()0f x c -≤成立，求c 的最小值；（2）当b a =时，若()f x 在(0,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围.参考答案1．C2．C3．D4．C5．D 6．B因为AB =120ACB ∠=，所以，ABC 的外接圆半径为12sin120==r ，所以，三棱锥O ABC -的高为h = 在ABC 中，由余弦定理可得()22222232cos120AB AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC ==+-⋅=++⋅=+-⋅，所以，()231AC BC AC BC ⋅=+-=，所以，13sin12024ABC S AC BC =⋅=△，因为1133O ABC ABC V S h -=⋅=△ 故选：B. 7．C由题意得22x y p=，x y p '=，设切点分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以切线方程为别为111()x y y x x p-=-，222()x y y x x p -=-，化简可得11x x y y p =-，22x x y y p =-由于两条切线都过M 点，所以1122x p y p -=-，2222xp y p-=-，所以点11(,)A x y ，22(,)B x y 都在直线220x y p p -+=上，所以过A ，B 两点的直线方程为220x y p p -+=，联立22+2=0=2x y p p x py-⎧⎪⎨⎪⎩，消去x 得2234840py p y y p --+=，方程2234840py p y y p --+=的判别式2232484464640p p p p由已知2124812p y y p++==，解得1p =或=2p ，故选：C. 8．B解：因为奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，222229log log log 992b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()0.90.922c f f =--=，⊥0.9229log 4.6log 222>>>， ⊥()()0.9229log 4.6log 22f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a >>. 故选：B. 9．ACD解：对于A ：21a >，解得1a >或1a <-，所以“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：()()22123a a ---<-，则12310230a a a a ⎧->-⎪-≠⎨⎪-≠⎩解得423a <<且32a ≠，故B 错误；对于C ：全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”正确；对于D ：因为函数()y f x =的定义域为R ，若函数()y f x =为奇函数，则()00f =，若()00f =得不到()y f x =为奇函数，若()2f x x =，故“()00f =”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件，故D 正确；故选：ACD 10．AD依题意，()sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)2()2x x x x f x f x πππππ+++++-++==，()f x 是以2π为周期的函数，A 正确；5sin ,2244()(Z)3cos ,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪-<<+⎪⎩，函数sin y x =在5[2,2]24k k ππππ++()k ∈Z 上单调递减，函数cos y x =在[2,2]4k k πππ+()k ∈Z 上单调递减，B 不正确；函数cos y x =在3[2,2]4k k πππ-()k ∈Z 上单调递增，因此，324x k ππ=-()k ∈Z 时，min 2()f x =C 不正确；由()2f x ≥得522(Z)442sin k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或322(Z)442cos k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解522(Z)442sin k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得322(Z)44k x k k ππππ+≤≤+∈，解322(Z)44cos k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得22(Z)44k x k k ππππ-≤<+∈，综上得：322(Z)44k x k k ππππ-≤≤+∈，()f x ≥的解集是3[2,2](Z)44k k k ππππ-+∈，D 正确. 故选：AD 11．ACD对于A ，当1d =时，1n d =，可知数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以201(201)120a =+-⨯=，故A 正确；对于B ，由已知1010a =，101120,,,a a a ⋯是公差为d 的等差数列，则201010a d =+，202130,,,a a a ⋯是公差为2d 的等差数列，则23010101070a d d =++=，即260d d +-=，解得：2d =或3d =-，故B 错误；对于C ，1220110101010101032022d da a a ++++=⨯+⨯+=++，解得：3d =，故C 正确；对于D ，210(1)110101010101011n nn d a d d d d d+-=++++=<--，故D 正确；故选：ACD 12．AC对于A ，由展开图如下，当AM MN +最小时，2CM AC DN AD ===得2CM =A 正确对于B ，如图，取各边中点连接成六边形EFGHIJ ，由立体几何知1CC ⊥平面1A BD ，1CC ⊥平面EFGHIJ ，截面1A BD周长为3=8= 截面EFGHIJ6=62=对于C ，取1111,A D A B 中点分别为EF ，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，(2,2,1)AM =--，(2,2,0)DB =，(1,0,2)DE =，由数量积可知,AM BD AM DE ⊥⊥，而BD DE D ⋂=，故AM ⊥平面BDEF ，截面BDEF 为等腰梯形，2,2,5EF DB ED FB ====面积为19932222⨯=，故C 正确对于D ，设(0,2,)M t(0,2,0)AB =，平面α的一个法向量为(2,2,)AM t =-故直线AB 与平面α所成角的正弦值2232sin []2448t t θ==⨯+++ 则26cos [θ∈，故D 错误13．112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭当1n =时，112a S +=，得11a =，当2n ≥时，由()2n n a S n ++=∈N ，得112n n a S --+=，所以110n n n n a S a S --+--=，所以120n n a a --=，所以112n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：112n -⎛⎫⎪⎝⎭14．⊥⊥对于⊥：因为()()()sin -cos 21,sin cos 2πααπαπα+-=++所以sin cos 1,sin cos 2αααα+=-所以sin 11cos ,sin 21cos αααα+=-即tan 11,tan 12αα+=-解得tan 3α=-，故⊥不正确；对于⊥：因为()()()000sin 30sin 30tan 30tan 30cos30cos 30---===-=-故⊥正确；对于⊥：因为sin α=所以221cos 212sin 122αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭，故⊥正确；对于⊥：因为在锐角三角形ABC 中， 73sin ,cos ,255A B ==所以00,0222A B C πππ<<<<<<，，所以244cos ,sin ,255A B ===所以 ()()sin sin +sin +C A B A B π⎡⎤=-=⎣⎦ 73244117sin cos +cos sin +255255125A B A B ==⨯⨯=，故⊥不正确，故答案为：⊥⊥． 15．1(,2]2⊥()g x 为奇函数，且在[0,2]上为增函数， ⊥()g x 在[2,2]-上为增函数．⊥(1)()g m g m -<，⊥1-212-22m m m m -<⎧⎪≤-≤⎨⎪≤≤⎩，解得122m <≤．故答案为1(,2]2．16815解：设顶角为θ，由余弦定理可得：2236121221212cos θ=+-⨯⨯⨯，解得：7cos 8θ=， 15sin θ∴ 再由正弦定理可得62sin R θ=， 215R ∴=， 815R ∴=81517．（1）221,n n a n S n =-=；（2）21n nT n =+ （1）⊥{}n a 是递增的等差数列, ⊥12a a <，又12,a a 是方程2430x x -+=的两根，⊥121,3a a ==， ⊥21312d a a =-=-=， ⊥1(1)221n a n n =+-⨯=-. （2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+, ⊥11111111(1...)(1)2335212122121n nS n n n n =-+-++-=-=-+++.18．（1）()224,04,0x x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,；（2）[]4,3-（1）当0x <时，0x -> ()()()2244f x x x x x ∴-=---=+()f x 为奇函数 ()()24f x f x x x ∴=--=--()f x 为R 上的奇函数 ()00f ∴=，满足()24f x x x =--()224,04,0x x x f x x x x ⎧->∴=⎨--≤⎩f x 的单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,（2）当31a -<<-时，()()min 39123f x f =-=-+=，即()3g a =当10a -≤≤时，()()2min 4f x f a a a ==--，即()24g a a a =-- ()[]0,3g a ∴∈ 当02a <<时，()()2min 4f x f a a a ==-，即()24g a a a =- ()()4,0g a ∴∈-当2a ≥时，()()min 2484f x f ==-=-，即()4g a =- 综上所述：()g a 的值域为[]4,3- 19．（1）根据题意可得1C的左顶点为(，设直线方程为y x =，与另一条渐近线y =联立求得交点坐标为1()2，所以对应三角形的面积为112228S =⨯=；（2）设直线PQ 的方程是y x b =+，因直线与已知圆相切，1=，即b =由2221y x b x y =+⎧⎨-=⎩得()22210x bx b --+=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122x x b +=，212(1)x x b ⋅=-+，则()()2222212121212221220OP OQ x x y y x x b x x b b b b b ⋅=+=+++=--++=-=，故OP OQ ⊥；（3）当直线ON 垂直于x 轴时，1ON =，OM =MN =则O 到直线MN的距离为1d ==当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y kx =（显然22k >），则直线OM 的方程为1=-y x k.由y kx =与椭圆方程联立，得2214x k =+，2224k y k =+，所以22214k ON k+=+. 同理222121k OM k +=-. 设O 到直线MN 的距离为d ，则由221122OM ON OM d ON ⋅=+，得2221113d OMON=+=．综上，O 到直线MN 3 20．（⊥）3A π=；（⊥）32. （⊥）由已知及正弦定理得3sin sin cos sin B A C C A =. 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，⊥tan 3,0A A π=<<，即3A π=.（⊥）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=， ⊥222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，⊥226b c +≤.⊥AM 是BC 边上的中线，⊥在ABM ∆和ACM ∆中，由余弦定理得，22332cos 4c AM AM AMB =+-∠，⊥22332cos 4b AM AM AMC =+-∠.⊥ 由⊥⊥，得22239244b c AM +=-≤，当且仅当3b c ==AM 取最大值32.方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=， ⊥222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，⊥226b c +≤.⊥AM 是BC 边上的中线，⊥2AB ACAM +=，两边平方得 ()22214AM b c bc =++，⊥22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32.21．(1)2214x y +=；(2)1. (1)椭圆C 的半焦距为c，离心率c e a ==，因过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长为1，将x c =-代入椭圆C 方程得：2b y a =±，即221b a =，则有222221c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由(1)知，2F ，依题意，直线l 的斜率不为0，则设直线l的方程为x my =+()11,A x y ，()22,B x y ，由2244x y x my ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩x 并整理得：()22410m y ++-=，12y y +=，12214y y m =-+， OAB的面积2122121122S OF y OF y y =+=-，12y y -==设)1t t =≥，221m t =-，1224433t y y t t t-===++，3t t+≥，当且仅当t =，22m =时取得“=”，于是得1243y y t t-=≤+12312S y =-≤，所以OAB 面积的最大值为1.22．（1）11,33--，7126n -+；（2）[2(0)，，-∞⋃+∞ 试题分析：（1）⊥先求()f x ' ，根据函数在11,2x x ==处取得极值，则()110,()02f f ''==，代入可求得,a b 的值；⊥转化为()min c f x ≥，从而求函数()f x 在区间1[,2]4上的最小值，从而求得c 的值；（2）当a b =时，()2ln af x ax x x=-+，⊥当0a =时，符合题意； ⊥当0a ≠时，分0,0a a ><讨论()f x 在(0,)+∞上正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a 的取值范围．试题解析：（1）⊥⊥()21b f x ax nx x =-+，⊥()21'2b f x a x x=++，⊥()f x 在1x =，12x =处取得极值，⊥()10f '=，102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝，即2102420a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，⊥所求a 、b 的值分别为11,33--.⊥在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在0x ，使得不等式()00f x c -≤成立，只需[]min c f x ≥（），由()()()2222211211231'3333x x x x f x x x x x x ---+=--+=-=-，⊥当1142x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '<，故()f x 在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是单调递减；当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '>，故()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增；当[]12x ∈，时，()0f x '<，故()f x 在[]12，是单调递减；⊥12f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值，()1111711221223236f n n f n ⎛⎫=+=-=-+ ⎪⎝⎭，且()321321411422f f n ne n ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又3160e -＞，⊥321140ne n ＞-，⊥[]2min f x f =（）（），⊥()7126min c f x m ⎡⎤≥=-+⎣⎦，⊥c 的取值范围为7126n ，⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭，所以c 的最小值为7126n -+.（2）当a b =时，222ax x a f x x （）++='， ⊥当0a =时，()1f x nx =，则()f x 在()0,+∞上单调递增；⊥当0a >时，⊥0x >，⊥220ax x a ++>，⊥()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增；⊥当0a <时，设()22g x ax x a =++，只需0≤，从而得a ≤()f x 在()0,+∞上单调递减；综上得，a 的取值范围是[0⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，，点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中（1）⊥考查了函数取得极值的性质，若函数在0x 处取得极值，则0()0f x =，但0()0f x '=，0x 不一定是函数的极值点，即某点的导数为0是该点为极值的必要不充分条件；⊥注意是“存在14x ∈[,2]，使得0()c f x ≥成立，等价于()min c f x ≥”（2）结合极值考查了函数的额单调性，需要分类讨论思想在解题中的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力．。

四川省泸州市泸县部分高中2022-2023学年高三上学期12月第三次月考数学(文科)试题(解析版)

泸县2020级高三（上）第三次学月考试数学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．本试卷满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，请将答题卡交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x += A ．22B ．22-C ．5D ．5-3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为A ．B ．C ．D ．6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =A ．-6B ．-4C ．-2D ．27．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是A ．12 B ．1336 C ．49 D ．5128．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（）A B ． C ．12 D ．12-9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称”A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应a0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=A ．-2B ．2C ．-1D ．1 12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（）A ．y x z >>B ．x y z >>C ．z x y >>D ．x z y >>二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________.14．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：共60分．17．（12分）2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．（ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；良好不良好合计男 48 女 16 合计()2P K k ≥0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828(2)求四面体F ACE -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列； (2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T .20．（12分）已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围． 21．（12分）已知函数()()ln 1f x x a x x =--- (1)若0a =，求()f x 的极小值 (2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=. (1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.2023届四川省泸县高三上学期第三学月考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合22{|log (6)},{|15}A x y x x B x x ==+-=<≤，则A B =（）A ．(,3)(2,)-∞-+∞B ．[1,5]C ．(2,5]D ．(1,5]【答案】C【分析】利用对数函数的定义域化简集合A ，再根据集合交集的定义求解即可. 【详解】由对数函数的定义域可得2603x x x +->⇒<-或2x >，所以{|3A x x =<-或2}x >，所以{|25}A B x x ⋂=<≤，故选：C. 2．若2i1ix -+是纯虚数，则|i |x +=（） A ．22 B ．22-C ．5D ．5-【答案】C【分析】根据复数的除法运算，复数的概念，可得复数，即可求解复数的模.【详解】解：2i(2i)(1i)22i 1i (1i)(1i)22x x xx ----+==-++-，因为2i1ix -+是纯虚数，所以2x =，则22i 2i 215x +=+=+=.故选：C ．3．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20℃的月份有5个【答案】D【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A 正确；由图可知在七月的平均温差大于7.5C ︒，而一月的平均温差小于7.5C ︒，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10C ︒，基本相同，C 正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D ．【解析】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B ．4．下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是 A ．22=14y x -B ．22=14x y -C ．22=14y x -D ．22=14x y -【答案】C【详解】试题分析：焦点在y 轴上的是C 和D ，渐近线方程为ay x b=±，故选C ．【解析】1．双曲线的标准方程；2．双曲线的简单几何性质．5．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称，因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<，所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数，当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数．故选：D.6．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a = A ．-6 B ．-4 C ．-2 D ．2【答案】A【详解】由已知得()11187842,{26 2.a d a d a d ⨯+=++=- 解得110,{2.a d ==-91810826a a d ∴=+=-⨯=-．故选A ．【解析】等差数列的通项公式和前n 项和公式．7．若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为m ，n ，则满足2225+<m n 的概率是（） A ．12 B ．1336 C ．49D ．512【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为m 、n ，两次抛掷得到的结果可以用(,)m n 表示，则结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种．其中满足2225+<m n 有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，共13种，所以满足2225+<m n 的概率1336P =．故选：B8．已知1sin 22α=，π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，则sin cos αα-=（）A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】1sin22=α11sin212sin co 2s ∴-=-=ααα，即221sin 2sin cos cos 2-+=αααα， ()21sin cos 2∴-=αα， π0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭α，sin cos ∴<αα，即sin cos 0-<αα，则sin cos -=αα 故选：B9．设函数()y f x =，x R ∈，“()y f x =是偶函数”是“()y f x =的图象关于原点对称” A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2．【详解】“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”，x ∈R ，可得y ＝|f （x ）|是偶函数．反之不成立，例如f （x ）＝x 2，满足y ＝|f （x ）|是偶函数，x ∈R ．因此，“y ＝|f （x ）|是偶函数”是“y ＝f （x ）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题考查了函数的奇偶性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 10．某种绿茶泡茶的最佳水温为85℃，饮茶的最佳温度为60℃．在标准大气压下，水沸腾的温度为100℃．把水煮沸后，在其冷却的过程中，只需要在最佳温度对应的时间泡茶、饮茶，就能喝到一杯好茶．根据牛顿冷却定律，一个物体温度的变化速度与这一物体的温度和所在介质温度的差值成比例，物体温度()f t 与时间t 的函数关系式为()()()00001tf t C T C a a =+-<<，其中0C 为介质温度，0T 为物体初始温度．为了估计函数中参数a 的值，某试验小组在介质温度024.3C =℃和标准大气压下，收集了一组数据，同时求出对应参数a 的值，如下表，现取其平均值作为参数a 的估计值，假设在该试验条件下，水沸腾的时刻为0，则泡茶和饮茶的最佳时间分别是（）（结果精确到个位数）参考数据：lg0.8020.095≈-，lg0.4720.326≈-，lg91.7 1.962≈．A ．3min ，9min B ．3min ，8min C ．2min ，8min D ．2min ，9min【答案】A【分析】根据给定条件，求出参数a 的估计值，再利用给定模型分别求出泡茶和饮茶的最佳时间作答. 【详解】依题意，0.90450.91220.91830.92270.9271(53)0.917a ++++==，而024.3C =，0100T =，则()24.3(10024.3)0.24.9170.917375.7t t f t =+⨯=+-⨯，当85t =时，24.375.70.98517t +⨯=，有8524.30.80275.70.917t-=≈，lg 0.8020.0953lg 0.917 1.9622t -==≈-，当60t =时，24.375.70.96017t +⨯=，有6024.30.47275.70.917t-=≈，lg 0.4720.3269lg 0.917 1.9622t -==≈-，所以泡茶和饮茶的最佳时间分别是3min ，9min. 故选：A11．ABC 中已知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ⋅⋅=++且34A B π+=，则(1tan )(1tan )A B --=（） A ．-2 B ．2C ．-1D ．1【答案】B【分析】根据tan 1C =进行化简整理即可求得(1tan )(1tan )A B --的值. 【详解】由题意得4C π=，则有tan tan tan tan 1A B A B ⋅=++ ,整理得：()()tan 1tan 12A B --=，()()1tan 1tan 2A B --= 故选：B12．已知44354,log 5,log 43x y z ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则x ､y ､z 的大小关系为（） A ．y x z >> B ．x y z >> C ．z x y >> D ．x z y >>【答案】D【分析】作商，由对数的性质、运算及基本不等式可比较出z y >，再由4334log 33=，可比较出43与z 的大小即可得出,x z 的大小关系. 【详解】43log 51,log 41y z =>=>，(()2222444444443log 5log 5log 3log 15log 5log 3log log 41log 422y z +⎛⎫⎛⎫∴==⋅≤==<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即z y >，4334log 33=，而344333381464⎛⎫==>= ⎪⎝⎭， 43334log 3log 43∴=>，又514444333⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， x z ∴>，综上，x z y >>，故选：D二、填空题13．假定生男孩和生女孩是等可能的，某家庭有两个小孩，如果已经知道这个家庭有女孩，则这个两个小孩都是女孩的概率是__________. 【答案】13【分析】首先列出样本空间，再判断题目为条件概率，然后根据条件概率的公式求解概率即可.【详解】观察两个小孩的性别，用b 表示男孩，g 表示女孩，则样本空间{},,,bb bg gb gg Ω= ，且所有样本点是等可能的.用A 表示事件“选择的家庭中有女孩”，B 表示事件“选择的家庭中两个小孩都是女孩”，则{},,A bg gb gg =,{}B gg =.“在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A 发生的条件下，事件B 发生”的概率，记为()|P B A .此时A 成为样本空间，事件B 就是积事件AB .根据古典概型知识可知，()()()1|3n A P A B n A B ==. 故答案为：1314．某学生在研究函数()3f x x x =-时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增.该学生继续深入研究后发现将该函数乘以一个函数()g x 后得到一个新函数()()()h x g x f x =，此时()h x 除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③()00h '=.写出一个符合条件的函数解析式()g x =__________.【答案】2x （答案不唯一）【分析】由题意可知()g x 为常函数或为偶函数，然后分别令()1g x =或2()g x x =进行验证即可【详解】因为()3f x x x =-为奇函数，()()()h x g x f x =为奇函数，所以()g x 为常函数或为偶函数，当()1g x =时，()3h x x x =-，则'2()31h x x =-，此时'(0)10h =-≠，所以 ()1g x =不合题意，当2()g x x =时，53()h x x x =-，因为5353()()()()()h x x x x x h x -=---=--=-，所以()h x 为奇函数，'42()53h x x x =-，由'()0h x >，得155x <-或155x >，由'()0h x <，得151555x -<<，所以()h x 的增区间为15,5⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭和15,5⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为1515,55⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()h x 为先增后减再增，因为()00h '=，所以2()g x x =满足题意，故答案为：2x （答案不唯一）15．陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成，以前的制作材料多为木头，现在多为塑料或铁，玩耍时可用绳子缠绕用力抽绳，使其直立旋转；或利用发条的弹力使其旋转，图中画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为______.【答案】32333π+ 【分析】根据三视图可知该陀螺模型的直观图，然后根据几何体的体积公式，简单计算，可得结果. 【详解】依题意，该陀螺模型由一个四棱锥、一个圆柱以及一个圆锥拼接而成，如图故所求几何体的体积2211442333233ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯V 即32333π=+V . 故答案为：32333π+ 【点睛】本题考查三视图的还原以及几何体的体积，考验空间想象能力以及对常见几何体的熟悉程度，属基础题题.16．已知函数()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则满足()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦的最小正整数x 的值为_______．【答案】1【分析】先根据图像求得()π2sin(26f x x =+），再解()()π5π0312f x f f x f ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫--> ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦求得最小正整数x ．【详解】解：由题意得函数f （x ）的最小正周期2ππ2π2π36T ω⎛⎫=⨯-== ⎪⎝⎭，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x =+．又π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以π2sin 226φ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，即πsin 13φ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2πZ 32k k φ+=+∈，，解得π2πZ 6k k φ=+∈，．由π||2φ<，得π6φ=，所以()π2sin(26f x x =+），所以π5π5π2sin 103612f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．由()π3f x f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()5π012f x f ⎡⎤⎛⎫-> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，可得()()10f x f x ⎡⎤->⎣⎦，则()0f x <或()1f x >，即πsin 206x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭或1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭． ① 由sin 206x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，可得()π2ππ22πZ 6n x n n -<+<∈，解得()7ππππZ 1212n x n n -<<-∈，此时正整数x 的最小值为2；② 由1sin 262x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得()ππ5π222πZ 666k x k k π+<+<+∈，解得()πππZ 3k x k k <<+∈，此时正整数x 的最小值为1．综上所述，满足条件的正整数x 的最小值为1．故答案为：1．三、解答题17．2022年6月17日，我国第三艘航空母舰“中国人民解放军海军福建舰”下水试航，这是我国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，采用平直通长飞行甲板，配置电磁弹射和阻拦装置，满载排水量8万余吨．“福建舰”的建成，下水及试航，是新时代中国强军建设的重要成果．某校为纪念“福建舰”下水试航，增强学生的国防意识，组织了一次国防知识竞赛，共有100名学生参赛，成绩均在区间[]50,100上，现将成绩制成如图所示频率分布直方图（每组均包括左端点，最后一组包括右端点）．(1)学校计划对成绩不低于平均分的参赛学生进行奖励，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，试求受奖励的分数线的估计值；(2)对这100名参赛学生的成绩按参赛者的性别统计，成绩不低于80分的为“良好”，低于80分的为“不良好”得到如下未填写完整的列联表．良好不良好合计男48女16合计（ⅰ）将列联表填写完整；（ⅱ）是否有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．()2P K k≥0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828【答案】(1)73.8(2)（ⅰ）表格见解析；（ⅱ）没有，理由见解析.【分析】（1）利用频率之和为1列出方程，求出0.018a =，进而利用中间值求出平均值，得到受奖励的分数线的估计值为73.8；（2）完善列联表，计算出卡方，与3.841比较得到结论.【详解】（1）由频率分布直方图可知：()100.0060.0080.0260.0421a ++++=，解得0.018a =．所以平均分的估计值为0.08550.26650.42750.18850.069573.8⨯+⨯+⨯⨯+⨯=＋，故受奖励的分数线的估计值为73.8．（2）（ⅰ）列联表如下表所示．良好不良好合计男8 40 48 女16 36 52 合计24 76 100（ⅱ）由列联表得()2210083616406050 2.72 3.841247648522223K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%以上的把握认为参赛学生的成绩是否良好与性别有关．18．如图，正方形ABCD 和直角梯形BEFC 所在平面互相垂直，,BE BC BE CF ⊥∥，且2,3AB BE CF ===.(1)证明：AE 平面DCF ；(2)求四面体F ACE -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)2【分析】（1）方法一：由线面平行的判定理可得AB平面DCF ，BE 平面DCF ，再由面面平行的判定可得平面ABE 平面DCF ，然后由面面平行的性质要得结论，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，则可得四边形BEGC 是平行四边形，再结合已知条件可得四边形ADGE 是平行四边形，则AE DG ∥，由线面平行的判定可得结论；（2）由13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯求解，根据已知条件求出CEF S △和h ，从而可求出其体积.【详解】（1）证明：方法一：由正方形ABCD 的性质得：AB ∥CD .又AB ⊄平面,DCF CD ⊂平面DCF ， AB ∴平面DCF .,BE CF BE ⊄∥平面,DCF CF ⊂平面DCF ，BE ∴平面DCF .,,AB BE B AB BE ⋂=⊂平面ABE ，∴平面ABE 平面DCF ，AE ⊂平面ABE ，AE ∴平面DCF ，方法二：在CF 取点G 使得2CG BE ==，连结EG DG ､，如图BE CF ∥，∴四边形BEGC 是平行四边形，故EG BC ∥，且EG BC =，又,AD BC AD BC =∥，,AD EG AD EG ∴=∥，∴四边形ADGE 是平行四边形，AE DG ∴∥.又AE ⊄平面,DCF DG ⊂平面DCF ，AE ∴平面DCF ，（2）由体积的性质知：13F ACE A CEF CEF V V S h --==⨯，平面BCFE ⊥平面ABCD ，平面BCFE ⋂平面ABCD BC =，,AB BC AB ⊥⊂平面ABCD ，AB ∴⊥平面BCFE .又2AB =，故点A 到平面CEF 的距离为2，即三棱锥A CEF -底面CEF 上的高2h =，由题意，知,BE BC BE CF ⊥∥且3,2CF BC ==， 132CEF SCF BC ∴=⨯=， 1132 2.33F ACE A CEF CEF V V S h --∴==⨯=⨯⨯=19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N 有23n n S a n =+-.(1)证明：数列{}1n a -为等比数列；(2)求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1)证明见解析(2)2122+=-n n n T【分析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-，两式作差可得出()1121n n a a --=-，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求得111122n n n a a +=+-，利用分组求和法可求得n T . 【详解】（1）证明：当1n =时，1122a a =-，则12a =；.当2n ≥时，由23n n S a n =+-可得1124n n S a n --=+-.两式相减得1221n n n a a a -=-+，即121n n a a -=-，()1121n n a a -∴-=-.因为1110a -=≠，则212a -=，，以此类推可知，对任意的N n *∈，10n a -≠，所以，数列{}1n a -构成首项为1，公比为2的等比数列.（2）解：由（1）112n n a --=，故121n n a -=+，则1121111222n n n n n a a -++==+-. 所以，22111111111111222222222222n n n T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⋯++=++⋯++++⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1112121222212n n n n -+=+⋅=--. 20．已知椭圆C ：()2222 1x y a b c a b +=>>的离心率为2，且过点()2,1P ． (1)求C 的方程；(2)若A ，B 是C 上两点，直线AB 与曲线222x y +=相切，求AB 的取值范围．【答案】(1)22163x y +=(2)⎡⎤⎣⎦【分析】（1）根据已知条件求得,,a b c ，由此求得椭圆C 的方程.（2）对直线AB 的斜率分成不存在，0k =，0k ≠三种情况进行分类讨论，结合弦长公式、基本不等式求得AB 的取值范围.【详解】（1）依题意22222411c aa b c ab a bc ⎧=⎪⎪⎪+=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩所以椭圆C 的方程为22163x y +=. （2）圆222x y +=的圆心为()0,0，半径r =当直线AB 的斜率不存在时，直线AB的方程为xx =22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163x y x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率为0时，直线AB的方程为yy =22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩22163y x x y ⎧=⎪⇒=⎨+=⎪⎩所以AB =当直线AB 的斜率0k ≠时，设直线AB 的方程为,0y kx b kx y b =+-+=，由于直线AB 和圆222x y +=()2221b k =+.22163y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并化简得()222124260k x kbx b +++-=， ()()222222164122648248k b k b k b ∆=-+-=+-()22248248213280k k k =+-⨯+=+>.设()()1122,,,A x y B x y 则2121222426,1212kb b x x x x k k --+=⋅=++，所以AB ====>另一方面，由于2214448k k ++≥=，当且仅当222114,2k k k ==时等号成立.所以3=，即3AB ≤.综上所述，AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦.21．已知函数()()ln 1f x x a x x =---(1)若0a =，求()f x 的极小值(2)讨论函数()f x '的单调性；(3)当2a =时，证明：()f x 有且只有2个零点.【答案】(1)2-(2)答案见解析(3)证明见解析【分析】（1）利用导数求得()f x 的极小值.（2）先求得()f x '，然后通过构造函数法，结合导数以及对a 进行分类讨论，从而求得函数()f x '的单调区间.（3）结合（2）的结论以及零点存在性定理证得结论成立.【详解】（1）当0a =时，()ln 1f x x x x =--，()f x 的定义域为()0,∞+，()ln 11ln f x x x '=+-=，所以在区间()()()0,1,0,f x f x '<递减；在区间()()()1,,0,f x f x '+∞>递增.所以当1x =时，()f x 取得极小值12f .（2）()()ln 1f x x a x x =---的定义域为()0,∞+，()ln 1ln x a a f x x x x x-'=+-=-. 令()()()221ln 0,a a x a h x x x h x x x x x +'=->=+=，当0a ≥时，()0h x '>恒成立，所以()h x 即()f x '在()0,∞+上递增.当a<0时，在区间()()()0,,0,a h x h x '-<即()f x '递减；在区间()()(),,0,a h x h x '-+∞>即()f x '递增.（3）当2a =时，()()2ln 1f x x x x =---，()2ln f x x x'=-，由（2）知，()f x '在()0,∞+上递增，()()22ln 210,3ln 303f f ''=-<=->，所以存在()02,3x ∈使得()00f x '=，即002ln x x =. 在区间()()()00,,0,x f x f x '<递减；在区间()()()0,,0,x f x f x '+∞>递增.所以当0x x =时，()f x 取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln 1211f x x x x x x x x x ⎛⎫=---=-⨯--=-+ ⎪⎝⎭，由于0044x x +>=，所以()00f x <.11111122ln 12110e e e e e ee f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅--=----=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2222222e e 2ln e e 12e 4e 1e 50f =-⋅--=---=->，根据零点存在性定理可知()f x 在区间()00,x 和()0,x +∞各有1个零点，所以()f x 有2个零点.【点睛】本题第一问是简单的利用导数求函数的极值，第二问和第三问是连贯的两问，合起来可以理解为利用多次求导来研究函数的零点.即当一次求导无法求得函数的零点时，可考虑利用多次求导来解决. 22．在直角坐标系xOy 中，点A 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C . （1）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，求cos α的值.【答案】（1）1C ： 4cos ρθ=，2C ：2cos ρθ=；（2）cos α=【分析】（1）直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用（1）的结论，利用一元二次方程根和系数关系式的应用和等比数列的等比中项的应用求出结果．【详解】解：（1）点A 是曲线1C ：()2224x y -+=上的动点，根据222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪+=⎩，转换为极坐标方程为 4cos ρθ=，由于点B 满足2OB OA =的点B 的轨迹是2C .所以()2,A ρθ，则2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）直线l 的参数方程是1tcos sin x y t αα=-+⎧⎨=⎩(t 为参数)，点P 的直角坐标是()1,0-，若直线l 与曲线2C 交于M ，N 两点，2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，转换为直角坐标方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=，得到()()()221cos sin 21cos t t t ααα=-++-+，化简得：24cos 30t t α-+=，所以124cos t t α+=，123t t =，当线段PM ，MN ，PN 成等比数列时，则2MN PM PN =，整理得：()21212t t t t -=，故()212125t t t t +=，整理得cos α=23．已知a ，b ，R c ∈，且2223a b c ++=.(1)求证：3a b c ++≤；(2)若不等式()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，求x 的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2)(][),33,∞∞--⋃+.【分析】（1）对2()a b c ++应用基本不等式可证；（2）由（1）只要解不等式1219x x -++≥，根据绝对值的定义分类讨论求解．【详解】（1）2222()222a b c a b c ab bc ca ++=+++++()222329a b c ≤+++=，所以3a b c ++≤，当且仅当a b c ==时等号成立（2）由（1）可知()2121x x a b c -++≥++对一切实数a ，b ，c 恒成立，等价于1219x x -++≥，令3,11()1212,1223,2x x g x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，当1x ≥时，393x x ≥⇒≥，当112x -<<时，297x x +≥⇒≥，舍去，当12x ≤-时，393x x -≥⇒≤-，即3x ≥或3x ≤-. 综上所述，x 取值范围为(][),33,∞∞--⋃+.。

广东省肇庆市2022-2023学年高三12月月考语文试题及答案解析

广东省肇庆市2022-2023学年高三12月月考语文试题及答案解析高三语文一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成下面各题。

材料一壮游，指的是胸怀壮志的游历，包括旅游时间长、行程挑战性高、与人文社会互动深三个特质，所以特别强调经过规划、以高度意志彻底执行，以期达成用自己的筋骨去体验“不局限于自然、更深入民间”的世界之大的目的。

中国的壮游传统久远。

司马迁二十岁那年，父亲给他一辆马车，指导他有目标、有计划地到广阔社会中实地考察，接触壮丽河山和了解四方之民的生活习俗，并搜求历史传说与各种史料。

司马迁“读无字之书，禀山川豪气”，最终“究天人之际，通古今之变，成一家之言”，完成了《史记》。

后有高僧玄奘到天竺（印度）取经；徐霞客经30年考察，“达人之所未达，探人之所未知”，撰成60万字的《徐霞客游记》；连诗圣杜甫都曾在苏州准备好船，差点东游到日本，他自传性的诗《壮游》中就写道：“东下姑苏台，已具浮海航。

到今有遗恨，不得穷扶桑……”可惜的是，中国在郑和之后失掉了壮游的传统。

西方的壮游传统由17世纪的英国贵族子弟开启。

在17岁的时候，他们将由家里的一名管家陪同，用几年时间游历欧洲，参观博物馆，开阔眼界，直到成为真正的男子汉才回家继承祖业。

18 ～19世纪的英国浪漫主义诗人拜伦、雪莱和济慈都有这样的经历。

发展到今天，就是很多西方学生在大学入学前一年，或是大学毕业、参加工作前一年要进行的深度游历：Gap Year（空档年）。

壮游的价值，在于对人的改变。

古今中外，有太多经历壮游而改变人生，甚至提升人类的文明水平的例子。

三四百年来，西方社会的壮游传统，已经沉淀到社会的最底层。

有报告认为：“空档年”可提高外语能力，提升个人竞争力（包括独立精神、人际关系、解决问题的能力、自我约束力、沟通能力等）。

更重要的是，许多人因此寻找到人生的方向，那是完成自我的最大动能。

在我们的教育里，太强调“书中自有黄金屋”，不鼓励年轻人在真实环境中超越自我。

2022-2023学年重庆市长寿中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

重庆市长寿中学校高三上期·12月月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1．已知集合，集合，则( )A. B. C. D.2．复数在复平面内对应点的点是，则复数是虚数单位的虚部为( )A. B. C. D.3．若两个正实数，满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A. 或B.C. 或D.4．如图所示，等腰梯形中，，点为线段上靠近的三等分点，点为线段的中点，则( )A. B.C. D.5．某地高考规定每一考场安排名考生，编成六行四列就坐若来自同一学校的甲、乙两名学生同时排在“考点考场”，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是( )A. B. C. D.6．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则当取最大值时，外接圆的面积( )A. B. C. D.7．如图所示，在直角梯形中，，、分别是、上的点，，且如图将四边形沿折起，连结、、如图在折起的过程中，下列说法中错误的个数是( ) 平面；、、、四点不可能共面；若，则平面平面；平面与平面可能垂直．A. 1B. 2C. 3D. 48．已知函数，若关于的函数有个不同的零点，则实数的取值范围是( )A. 或B. 或C. D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9．已知函数，下列叙述正确的有( )A. 函数是偶函数B. 函数的周期为C. 函数在区间上单调递减D. ，，10．已知为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于，点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则( )A. 的最小值为B. 面积的最大值为C. 直线的斜率为D. 直线与直线的斜率之积为定值11．已知二项式的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的是( )A. B. 展开式中二项式系数和为C.展开式中项的系数为D.展开式中有项有理项12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本元与月处理量吨之间的函数关系可近似表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元．以下判断正确的是( )A. 该单位每月处理量为吨时，才能使每吨的平均处理成本最低B. 该单位每月最低可获利元C. 该单位每月不获利也不亏损D. 每月需要国家至少补贴元才能使该单位不亏损三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是．14．已知函数为奇函数，设，则．15．若，，，且，，共面，则．16．已知函数是定义在的奇函数，当时，，则不等式的解集为．四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2024届天津市南开中学高三上学期12月月考数学试题及答案

2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}ln A x y x ==，{}21B y y x ==+，则()R A B ⋂=ð（）A. ()0,1 B. (]0,1 C. [)0,1 D. []0,12. 设数列{}n a 的公比为q ，则“10a >且01q <<”是“{}n a 是递减数列”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()2cos e ex x x x f x -+=-的大致图像为（）A. B.C. D.4. 设5log 2a =，ln 2b =，0.20.5c -=，则a ，b ，c 的大小关系为（）A. a c b <<B. a b c <<C. b<c<aD. c a b <<5. 设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，5a ，33a ，4a 成等差数列，则84S S 的值为（）A. 116 B. 117 C. 16D. 176. 已知35a b =且211a b +=，则a 的值为（）A. 3log 15 B. 5log 15 C. 3log 45 D. 5log 457. 我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何?”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体．在图1所示羡除中，////AB CD EF ，10AB =，8CD =，6EF =，等腰梯形ABCD 和等腰梯形ABFE 的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直．按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除”的体积为（）A. 84B. 66C. 126D. 1058. 记()n a τ表示区间[],n n a 上的偶数的个数．在等比数列{}n a n -中，14a =，211a =，则()4a τ=（）A. 39B. 40C. 41D. 429. 将函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A. ()g x 为奇函数 B. ()3πcos 24g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C. ()g x 最小正周期为2πD. ()g x 的单调递增区间为5πππ,π88k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 设i 是虚数单位，()12a i i bi +=+（,a b ∈R ），则b a -=_____．11. 在5223x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数是______．12. 已知直线():20l y kx k =->与圆221x y +=相切，且被圆()()2240x y a a ++=>截得的弦长为k =______；=a ______．13. 锐角α，β满足2π23αβ+=，tan tan 22αβ=-α和β中的较小角等于______．14. D 为ABC 的边AB 一点，满足2AD DB = ．记CA a = ，CB b = ，用a ，b 表示CD = ______；若的的1CD = ，且ABC 的面积为98，则ACB ∠的最小值为______．15. 若二次函数()()2121f x ax b x a =+---在区间[]2,3上存在零点，则22a b +的最小值为______．三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,A B C 对应的边为,,a b c .已知1cos 2a C cb +=.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若4,6b c ==，求cos B 和()cos 2A B +的值.17. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BC BB ===，D 为棱AB 中点．M 为线段1BC 的中点．（1）求证：1//BC 平面1ACD ；（2）求平面1ACD 与平面1C DC 的夹角的余弦值；（3）求点M 到平面1ACD 的距离．18. 椭圆22221x y a b+=的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为()0,2C ，左、右焦点分别为1F ，2F ，且1AF ，12F F ，1F B 成等比数列．（1）求椭圆的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线CM ，CN 分别与x 轴交于P ，Q 两点．若CMN CPQ S S =△△，求直线l 的斜率．19. 已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，数列{}n b 是公比不为1的等比数列，满足122a a b +=，233a a b +=，454a a b +=．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；的（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（3）若数列{}n d 满足11d =，1n n n d d b ++=，记12nk n i k d T b ==∑．是否存在整数m ，使得对任意*n ∈N 都有212n n nd mT b ≤-<成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．20. 已知函数()2e xf x a x =-，0a >且1a ≠．（1）当e a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若1a >，且()f x 存在三个零点1x ，2x ，3x ．（i ）求实数a 的取值范围；（ii ）设123x x x <<，求证：1233x x x ++>．的2024南开中学高三数学第二次月考一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】B二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．【10题答案】【答案】3．【11题答案】【答案】720【12题答案】【答案】①. ②. 4【13题答案】【答案】π6##30︒【14题答案】【答案】 ① 1233a b + ②. π2【15题答案】【答案】125三．解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．【16题答案】【答案】（Ⅰ）π3A =（Ⅱ）1114-【17题答案】【答案】（1）证明见解析；（2；（3.【18题答案】【答案】（1）22154x y += （2）12-或0【19题答案】【答案】（1）21n a n =-，2n n b =（2）()12326n n S n +=-⋅+（3）存在5m =，理由见解析【20题答案】【答案】（1）e e 0x y -+=（2）（i）1a <<，（ii ）证明见解析.。

2024届河南省九师联盟大联考高三上学期12月月考数学试题及答案

高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2log 0A x x =<，{}220B x x x =--≤，则BA =ð（）A. (,2)-∞B. (1,0]-C. (1,2)-D. [1,0][1,2]- 2. 已知复数11i z =-，2i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A. 2- B. 2C. 1- D. 13. 函数()cos exx x f x =的图象大致为（）B.A.D.C.4. 已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A. 若//m α，//n β，且//m n ，则//αβB. 若//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C. 若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥5. 已知角θ的始边为x 轴非负半轴，终边经过点，将角θ的终边顺时针旋转π3后得到角β，则tan β=（）A.B. C. D. 6. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过E 上的一点A 作l 的垂线，垂足为B ，若3AB OF =（O 为坐标原点），且ABF △的面积为，则E 的方程为（）A. 24y x =B. 2y =C. 28y x =D. 2y =7.一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球1O 后，再放入一个球2O ，则球2O 的表面积与容器表面积之比的最大值为（）A481B.127C.D.8. 已知函数()f x 的定义域为3π3π,44⎛⎫-⎪⎝⎭，且()sin 2,sin cos sin ,sin cos x x x f x x x x<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程()f x a =有4个不同实根1234,,,x x x x ()1234x x x x <<<，则()12341sin2x x x x f x +++的取值范围是（）A. 12⎛ ⎝B. 12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.D. (二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（）A. 2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19~50岁之间的男性占比超过13B. 2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过70%C. 2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为30.6%D. 2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用其中间值作代表）.10. 若矩形ABCD 的所有顶点都在椭圆222:1(0)2x y E a a +=>上，且AB =，AC =，点P 是E 上与,,,A B C D 不重合的动点，则（）A. E 的长轴长为4B. 存在点P ，使得12PA PC ⋅=-C. 直线,PA PB 的斜率之积恒为12-D. 直线,PA PC 的斜率之积恒为12-11. 已知正数,,x y z 满足5915x y z ==，则（）A. 220xz yz xy +-= B. 5915x y z<< C. 22xy z < D. 9216x y z+<12. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法正确的是（）A. 若12μ=，则P 点轨迹所在直线与平面1ACD 平行B. 若1λμ+=，则1A C BP⊥C. 若λμ=D. 若BP 与平面11CC D D 所成角的大小为π4，则λμ的最大值为12三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2()3f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,2)-处的切线方程为______.14. ()52221x y y ---的展开式中22x y 的系数为______.（用数字作答）15. 求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的2倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837年法国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前427—公元前347年）的方法：假设已知立方体的边长为a ，作两条互相垂直的直线，相交于点O ，在一条直线上截取OA a =，在另一条直线上截取2=OB a ，在直线,OB OA 上分别取点,C D ，使90ACD BDC ∠=∠=︒（只要移动两个直角尺，使一个直角尺的边缘通过点A ，另一个直角尺的边缘通过点B ，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角顶点即为,C D ），则线段OC 即为所求立方体的一边.以直线OA 、OC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，若圆E 经过点,,A C D ，则圆E 的方程为______.16. 已知数列{}n a 满足12π3n n a a +=+，集合{}*sin N n S a n =∈，若S 恰有4个子集，则S =______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若13a =，21(1)(21)2n n n a n S ++++=.（1）求n S ；（2）若21(21)n nb n n S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为锐角，ABC 的面积为S ，()2224bS a b c a =+-.（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如图，若π4ABC ∠=，BC =，O 为ABC 内一点，且1OC =，3π4AOC ∠=，求OB 的长.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，116A A A C ==，11A C =1A BC ⊥平面11AAC C .（1）求证：1BC CC ⊥；（2）若11A B A C ⊥，三棱锥1A ABC -的体积为18，点D 在棱AC 上，且12AD DC =，求平面11A DB与的平面ABC夹角的余弦值.20. 2023年5月28日我国具有完全自主知识产权的国产大飞机C919开启全球首次商业载客飞行，C919飞机的研制，聚集了我国数十万科研人员的心血，其中A B C D E F、、、、、等高校为C919大飞机做出了重要贡献，如A高校参与了气动总体、结构强度、航电、飞控和液压等设计，参加人数如下表：项目气动总体结构强度航电飞控液压参与人数55343B高校有8位教师参加了相关设计论证，具体如下表：（1）某科普博主准备从A B C D E F、、、、、共6所高校中随机选3所高校介绍其为C919大飞机做出的贡献，连续3天，每天发布一篇博文，每篇博文介绍一所高校（3天将选中的3所高校全部介绍完），求C D、被选到，且C在第2天被介绍的概率；（2）若从A高校参与设计的20人中随机选3人，在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人员的概率；（3）若从B高校参与6个论证项目中随机选取3个，记这3个论证项目中B高校参与教师人数为X，求X的分布列与期望.21. 已知双曲线Γ：()222210,0x ya ba b-=>>，1A，2A为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，1PA的斜率与2PA的斜率之积为14．过点()3,0A且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．（1）求Γ的方程；（2）若点E，F为直线3x=上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．的22 已知函数21()(21)2ln (R)2f x ax a x x a =-++∈.（1）若()f x 有唯一极值，求a 的取值范围；（2）当0a ≤时，若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：124x x <..高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2log 0A x x =<，{}220B x x x =--≤，则BA =ð（）A. (,2)-∞B. (1,0]-C. (1,2)-D. [1,0][1,2]- 【答案】D 【解析】【分析】解对数不等式、一元二次不等式求集合，再应用补运算求集合.【详解】由题设{|01}A x x =<<，{|(1)(2)0}{|12}B x x x x x =+-≤=-≤≤，所以[1,0][1,2]B A =- ð故选：D2. 已知复数11i z =-，2i z a =+，若12z z ⋅为纯虚数，则实数a 的值为（）A. 2- B. 2C. 1- D. 1【答案】C 【解析】【分析】应用复数乘法及纯虚数定义列方程求参数.【详解】12i (1i i)11)()(z a a a z ++-+-⋅==为纯虚数，所以10110a a a +=⎧⇒=-⎨-≠⎩.故选：C 3. 函数()cos exx xf x =的图象大致为（） B.A. D.C..【答案】B 【解析】【分析】根据给定的函数，利用奇偶性可排除两个选项，再利用当π(0,)2x ∈时，函数值的正负即可判断作答.【详解】函数()cos e x x x f x =的定义域为R ，()()()cos cos e ex xx x x xf x f x ----==-=-，即函数()f x 是奇函数，排除CD ；当π(0,2x ∈时，()cos 0exx x f x =>，即当π(0,2x ∈时，函数()f x 的图象在x 轴的上方，显然A 不满足，B 满足.故选：B4. 已知,αβ是空间两个不同的平面，,m n 是空间两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A. 若//m α，//n β，且//m n ，则//αβB. 若//m α，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥C. 若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则αβ⊥D. 若m α⊥，n β⊥，且m n ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用空间线面、面面平行、垂直的判定定理和性质定理分别分析各个选项可得解.【详解】对于A ，若//m α，//n β，且//m n ，则,αβ可能相交或平行，故A 错误；对于B ，若//m α，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交或平行，故B 错误；对于C ，若m α⊥，//n β，且m n ⊥，则,αβ可能相交或平行，故C 错误；对于D ，若m α⊥，m n ⊥，则n 在平面α内或//n α，又n β⊥，所以αβ⊥，故D 正确.故选：D.5. 已知角θ始边为x轴非负半轴，终边经过点，将角θ的终边顺时针旋转π3后得到角β，则tan β=（）的A.B.C.D. 【答案】B 【解析】【分析】由三角函数的定义可得tan θ=，依题意得π3βθ=-，结合两角差的正切公式运算求值.【详解】因角θ的终边经过点，由三角函数的定义可得tan θ=，又依题意得π3βθ=-，所以tan tanπ3tan =tan 31tan tan 3πθβθπθ-⎛⎫-== ⎪⎝⎭+⋅，故选：B.6. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过E 上的一点A 作l 的垂线，垂足为B ，若3AB OF =（O 为坐标原点），且ABF △的面积为，则E 的方程为（）A. 24y x =B. 2y =C. 28y x=D. 2y =【答案】C 【解析】【分析】表达出AB 和点A 坐标，利用ABF △的面积求出p ，即可得出E 的方程.【详解】由题意，在抛物线2:2(0)E y px p =>中，3AB OF =，焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线:2p l x =-∴2p OF =，32AB p =，则(),A p∴113222ABFA S AB y =⋅=⋅ ，解得：4p =∴E 的方程为：28y x =.故选：C.7.一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥型封闭容器内放入一个半径为1的小球1O 后，再放入一个球2O ，则球2O 的表面积与容器表面积之比的最大值为（）A.481B.127C.D.【答案】A 【解析】【分析】由题设易知放入一个半径为1的小球1O 后，圆锥轴截面中小球1O 的截面圆为内切圆，要使比值最大，球2O 的半径2r 最大，利用内切圆性质求2r ，进而求球体、圆锥表面积，即可得比值.【详解】由边长为1113r =⨯=，即轴截面是边长为1，所以放入一个半径为1的小球1O 后，再放一个球2O ，如下图，要使球2O 的表面积与容器表面积之比的最大，即球2O 的半径2r 最大，所以只需球2O 与球1O 、圆锥都相切，其轴截面如上图，此时21112)33r r =⨯=，所以球2O 的表面积为224π4π9r =，圆锥表面积为13π9π2+⨯=，所以球2O 的表面积与容器表面积之比的最大值为481.故选：A8. 已知函数()f x 的定义域为3π3π,44⎛⎫-⎪⎝⎭，且()sin 2,sin cos sin ,sin cos x x x f x x x x <⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程()f x a =有4个不同实根1234,,,x x x x ()1234x x x x <<<，则()12341sin 2x x x x f x +++的取值范围是（）A. 12⎛⎝ B. 12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C. D. (【答案】A 【解析】【分析】利用辅助角公式得πsin cos 4x x x -=-，讨论其符号求x 范围，进而写出()f x 解析式并画出草图，数形结合得1234π,π2x x x x +=-+=1()1f x <<，即可得答案.【详解】由πsin cos )4x x x -=-，若sin cos x x <，则πsin()04x -<，可得()()π21π21π,4k x k k +<-<+∈Z ，所以5π9π2π2π,44k x k k +<<+∈Z ,若sin cos x x ≥，则πsin(04x -≥，可得()π2π21π,4k x k k ≤-≤+∈Z ，所以π5π2π2π,44k x k k +≤≤+∈Z ，所以3ππsin 2,44()π3πsin ,44x x f x x x ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩，其函数图象如下图，要使()f x a =有4个不同实根1234,,,x x x x ()1234x x x x <<<1a <<，由图知：1234π,π2x x x x +=-+=，故1234π24x x x x +++=1()1f x <<，所以()12341sin 2x x x x f x +++的范围为12⎛ ⎝.故选：A【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换研究正弦型函数性质，并画出()f x 的图象为关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 近年来，乡村游成为中国国民旅游的热点，下面图1，2，3，4分别为2023年中国乡村旅游消费者年龄、性别、月收入及一次乡村旅游花费金额的有关数据分析，根据该图，下列结论错误的是（）A. 2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19~50岁之间的男性占比超过13B. 2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比超过70%C. 2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为30.6%D. 2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值高于650元（同一花费区间内的数据用其中间值作代表）【答案】BC 【解析】【分析】由图1和图2可判断A 选项，由图3可判断B 选项，由图4可判断C 、D 选项【详解】由图1和图2可知，2023年中国乡村旅游消费者中年龄在19~50岁之间的男性占比为97.6%37.2%36.3%⨯≈，故A 正确；由图3可知，2023年中国乡村旅游消费者中月收入不高于1万元的占比为60%，故B 错误；由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者中一次乡村旅游花费4个范围占比的中位数为23.7%30.6%27.15%2+=，故C 错误；由图4可知，2023年中国乡村旅游消费者一次乡村旅游花费的平均数估计值为150 3.9%45041.8%75030.6%105023.7%672.3⨯+⨯+⨯+⨯=，故D 正确.故选：BC10. 若矩形ABCD 的所有顶点都在椭圆222:1(0)2x y E a a +=>上，且AB =，AC =，点P 是E 上与,,,A B C D 不重合的动点，则（）A. E 的长轴长为B.4存在点P ，使得12PA PC ⋅=-C. 直线,PA PB 的斜率之积恒为12- D. 直线,PA PC 的斜率之积恒为12-【答案】ABD 【解析】【分析】对A ，根据椭圆的对称性结合AB =可判断椭圆焦点在x 轴上，由此求得,,,A B C D 坐标，代入椭圆方程求得2a =，得解；对B 、D ，设点(),P x y 代入运算可判断得解；对C ，举反例可判断.【详解】因为矩形ABCD 的顶点都在椭圆上，根据椭圆的对称性可得,A C 关于原点对称，,B D 关于原点对称，由22212x y a +=，AB =，可得22a >，即椭圆焦点在x 轴上，如图所示，又AC =2BC ∴=，易得)A ，()B ，()1C -，)1D-.对于A ，将点)A代入椭圆方程可得22112a +=，解得2a =，椭圆的方程为22142x y +=，所以椭圆的长轴长为4，故A 正确；对于B ，设点(),P x y ，且2224x y +=，x ≠，则),1PA x y =-- ，(),1PC x y =--，所以)()()()2221131PA PC x x y y x y y ⋅=--+---=+-=- ，又y ≤≤，即当y =时，12PA PC ⋅=- ，故B 正确；对于C ，当点P 是左顶点时，()2,0P -，则PA k =，PB k =所以12PA PB k k ⋅==，故C 错误；对于D ，设点(),P x y ，且2224x y +=，x ≠则PA k =，PC k =，所以22221112222PA PC y y k k x y --⋅===---，故D 正确.故选：ABD.11. 已知正数,,x y z 满足5915x y z ==，则（）A. 220xz yz xy +-= B. 5915x y z<< C. 22xy z < D. 9216x y z+<【答案】AB 【解析】【分析】设15915,x y z t t ==>=，求出,,x y z ，利用对数的运算及换底公式计算判断A ；利用作商法计算判断B ；利用作差法计算判断CD.【详解】依题意，设15915,x y z t t ==>=，则log 5log 9log 151t t t x y z ===，11,,log 5log 9t t x y z ===对于A ，22592log 5log 92log 15)lo 0122(g 122)5(t t t t x x z yz xy xyz xyz z yz y x ⨯++-=+--===，A 正确；对于B ，9555log 95log 999log 5t t x y ==，而51046993933381()15555125==⨯<<，即有955log 91<，则59x y <，又5393log 1593log 151555log 9t t y y z z ===，33571551251932439==<⨯，即有539log 151<，则915y z <，所以5915x y z <<，B 正确；对于C ，由选项A 知，1220y x z +-=，得22xyz x y=+，则2222222(2)8(2)22(02(2)(2)xy x y xy xy x y xy z xy xy x y x y x y +---=-=⋅=>+++，C错误；对于D ，232()(2)32(32)092921692222x y x y xy x y xy x y x y x yx x z y y +-++---==>++=++，因此9216x y z +>，D 错误.故选：AB12. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1CP CD CC λμ=+，其中[0,1]λ∈，[0,1]μ∈，则下列说法正确的是（）A. 若12μ=，则P 点轨迹所在直线与平面1ACD 平行B. 若1λμ+=，则1A C BP⊥C. 若λμ=，则1DP A P +的最小值为D. 若BP 与平面11CC D D 所成角的大小为π4，则λμ的最大值为12【答案】ABD 【解析】【分析】A 、B 、C 根据条件确定P 点轨迹，结合线面平行判定、线面垂直的判定及性质、平面上两点距离最短判断；D 由条件得P 在线段 1C D上运动，令π[0,]2DCP θ∠=∈，则cos ,sin λθμθ==，结合三角恒等变换及正弦型函数性质求最值判断.【详解】A ：若,E F 11,CC DD 中点，当12μ=时P 在线段EF 上运动，而//EF CD ，EF ⊄面1ACD ，CD ⊂面1ACD ，则//EF 面1ACD ，A 对；B ：由1λμ+=，则P 在线段1C D 上运动；在正方体中易知11B C BC ⊥，且11A B ⊥面11BCC B ，1BC ⊂面11BCC B ，则11A B ⊥1BC ，1111B C A B B = ，111,B C A B ⊂面11A B C ，则1BC ⊥面11A B C ，1AC ⊂面11A B C ，为所以1BC ⊥1AC ，同理可证BD ⊥1AC ，又1BC BD B = ，1,BC BD ⊂面1BC D ，所以1A C ⊥面1BC D ，BP ⊂面1BC D ，则1A C BP ⊥，B 对；C ：若λμ=，则P 在线段1CD 上运动；将面1CDD 翻折至与面11BCD A 共面，如下图，111111,135DD A D DD A ==∠=︒，所以1,,D P A 共线时1DP A P +的最小值为1DA ==，C 错；D ：若BP 与平面11CC D D 所成角的大小为π4，连接1,BC BD ，又BC ⊥面11CDD C ，结合正方体性质1π4CC B CDB ∠=∠=，要使线面角CPB ∠恒为π4，只需P 在面11CDD C 中以C 为圆心，1CC 为半径的圆弧 1C D上运动；如上图，令π[0,]2DCP θ∠=∈，则cos ,sin λθμθ==，所以11sin cos sin 222λμθθθ==≤，当且仅当π4θ=时取等号，所以λμ的最大值为12，D 对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据条件确定P 点运动轨迹为关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2()3f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,2)-处的切线方程为______.【答案】10x y ++=【解析】【分析】应用导数几何意义求切线方程即可.【详解】由题设()23f x x '=-，则(1)1f '=-，故点(1,2)-处的切线方程为2(1)y x +=--，所以10x y ++=.故答案为：10x y ++=14. ()52221x y y ---的展开式中22x y 的系数为______.（用数字作答）【答案】140【解析】【分析】要产生22x y 可能是1个2x ，1个2y -，3个1-或1个2x ，2个2y -，2个1-，分别进行计算求解即可.【详解】()52221x y y ---的展开式中要产生22x y 可能是1个2x ，1个2y -，3个1-或1个2x ，2个2y -，2个1-，故展开式中含22x y 项为()()()()32212123122222543542C C C 1C C 2C 1140x yx y x y --+--=，即展开式中22x y 的系数为140.故答案为：140.15. 求作一个立方体，使其体积等于已知立方体体积的2倍，这就是历史上有名的立方倍积问题.1837年法国数学家闻脱兹尔证明了立方倍积问题不能只用直尺与圆规作图来完成，不过人们发现，跳出直尺与圆规作图的框框，可以找到不同的作图方法.如图是柏拉图（公元前427—公元前347年）的方法：假设已知立方体的边长为a ，作两条互相垂直的直线，相交于点O ，在一条直线上截取OA a =，在另一条直线上截取2=OB a ，在直线,OB OA 上分别取点,C D ，使90ACD BDC ∠=∠=︒（只要移动两个直角尺，使一个直角尺的边缘通过点A ，另一个直角尺的边缘通过点B ，并使两直角尺的另一边重合，则两直角尺的直角顶点即为,C D ），则线段OC 即为所求立方体的一边.以直线OA 、OC 分别为x 轴、y 轴建立直角坐标系，若圆E 经过点,,A C D ，则圆E 的方程为______.【答案】222()x y -+=【解析】【分析】根据题设有22OC OA ODOD OC OB ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩求OC 、OD ，再求出E 坐标和圆的半径，进而写出圆的方程.【详解】由题设，222OC OA OD a OD OD OC OB a OC⎧=⋅=⎪⎨=⋅=⎪⎩，则432OC a OC OC =⇒=，所以OD =，由=90ACD ∠︒，要使圆E 经过点,,A C D ，则圆心E 为AD 中点，所以,0)Ea ，故圆E的方程为222()x y +=.故答案为：222()x y +=16. 已知数列{}n a 满足12π3n n a a +=+，集合{}*sin N n S a n =∈，若S 恰有4个子集，则S =______.【答案】1{1,}2-或1{,1}2-【解析】【分析】根据题设sin n a 有且仅有2个对应值，结合等差数列定义得12π2π33n a a n =-+，*N n ∈，根据正弦型函数周期性，只需研究123sin sin ,sin a a a ,是否相等，应用分类讨论求对应集合S .【详解】由S 恰有4个子集，故集合S 共有2个元素，即sin n a 有且仅有2个对应值，由12π3n n a a +-=，即{}n a 是公差为2π3的等差数列，则12π2π33n a a n =-+，*N n ∈，所以n a 的最小正周期为3T =，则角n a 必与123,,a a a 中的一个终边相同，所以S 中有且仅有123sin sin ,sin a a a ,且必有两个相等，若123sin sin sin a a a =≠，则11sin sin )2π3(a a +=1π03a +=，所以1πππ,Z 32a k k +=+∈，则1ππ,Z 6a k k =+∈，故121sin sin 2a a ==±，当121sin sin 2a a ==时，不妨取1π6，则25π6a =，33π2a =，此时1{1,}2S =-满足；当121sin sin 2a a ==-时，不妨取15π6a =-，则2π6a =-，3π2a =，此时1{,1}2S =-满足；若132sin sin sin a a a =≠，则11sin sin )4π3(a a +=1π)06a +=，所以1ππ,Z 6a k k +=∈，则1ππ,Z 6a k k =-∈，故131sin sin 2a a ==±，当131sin sin 2a a ==时，不妨取15π6a =，则23π2a =，313π6a =，此时1{1,}2S =-满足；当131sin sin 2a a ==-时，不妨取1π6a =-，则2π2a =，37π6a =，此时1{,1}2S =-满足；若231sin sin sin a a a =≠，则22sin sin )2π3(a a +=2π)06a +=，所以2ππ,Z 6a k k +=∈，则2ππ,Z 6a k k =-∈，故231sin sin 2a a ==±，当231sin sin 2a a ==时，不妨取25π6a =，则2π6a =，33π2a =，此时1{1,}2S =-满足；当231sin sin 2a a ==-时，不妨取2π6a =-，则15π6a =-，3π2a =，此时1{,1}2S =-满足；综上，1{1,}2S =-或1{,1}2-.故答案为：1{1,}2-或1{,1}2-【点睛】关键点点睛：利用集合子集个数得sin n a 有且仅有2个对应值，根据等差数列定义、正弦型函数的周期性，转化为研究123sin sin ,sin a a a ,且必有两个相等为关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若13a =，21(1)(21)2n n n a n S ++++=.（1）求n S ；（2）若21(21)n nb n n S =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）221n n S n+=；（2）21nn +.【解析】【分析】（1）由题设及,n n a S 关系得221(1)2n n n S n S +-+=，构造新数列并结合等差数列定义写出通项公式，进而可得n S ；（2）应用裂项相消法求前n 项和.【小问1详解】由题设21(1)(21)2()n n n n S S n S ++++-=，则221(1)2n n n S n S +-+=，又12113S a ⨯==，故2{}n n S 是首项为3，公差为2的等差数列，所以232(1)21n n S n n =+-=+，则221n n S n +=.【小问2详解】由（1）得1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+，所以11111111(1)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++ .18. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A 为锐角，ABC 的面积为S ，()2224bS a b c a =+-.（1）判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如图，若π4ABC ∠=，BC =，O 为ABC 内一点，且1OC =，3π4AOC ∠=，求OB 的长.【答案】（1）直角三角形或钝角三角形（2）2【解析】【分析】（1）利用面积公式及余弦定理代入化简，然后利用正弦定理边化角可得答案；（2）由（1）的结果得到ABC 为等腰直角三角形，然后解AOC ，可得ACO ∠，进而可得BCO ∠，再解BOC 即可求出OB 的长.【小问1详解】()2224bS a b c a =+-Q ，14sin 2cos 2b bc A a bc A ∴⋅=⋅，即sin cos b A a A =，再由正弦定理边化角得sin sin sin cos B A A A =，sin 0A ≠ ，sin cos B A ∴=，又A 锐角，sin sin 2πB A ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，2πB A ∴=-或2πB A π+-=，2πB A ∴+=或π2B A =+，ABC ∴ 为直角三角形或钝角三角形；【小问2详解】由（1）的结果以及4ABC π∠=，可得4BAC ABC π∠=∠=，ABC ∴为等腰直角三角形，又BC =，AC BC ∴==，为在AOC 中，则215cos 2AO AOC AO +-∠==，解得AO =，负值舍去，又sin sin AO AC ACO AOC=∠∠，sin sin AO AOCACO AC∠∴∠===πcos cos sin 2BCO ACO ACO ⎛⎫∴∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭在BOC中，2222cos 1524BO OC BC OC BC BCO =+-⋅⋅∠=+-=，2BO ∴=.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，116A A A C ==，11A C =1A BC ⊥平面11AAC C .（1）求证：1BC CC ⊥；（2）若11A B A C ⊥，三棱锥1A ABC -的体积为18，点D 在棱AC 上，且12AD DC =，求平面11A DB 与平面ABC 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）通过11⊥A A AC 以及平面1A BC ⊥平面11AAC C ，利用面面垂直的性质得1A A ⊥面1A BC ，进而利用三棱柱的性质可得1BC CC ⊥；（2）先利用体积求出1BA ，在利用111,,A B AC A A 两两垂直建立空间直角坐标系，利用向量法可求面面角.【小问1详解】116A A AC ==，11A C =，22221111A A A C A C AC ∴+==，即1A AC △为直角三角形，11A A AC ∴⊥，又平面1A BC ⊥平面11AAC C ，平面1A BC ⋂平面111AA C C A C =，1A A ⊂平面11AAC C1A A \^面1A BC ，又BC ⊂面1A BC ，1A A BC \^，又11A A CC ∥，1BC CC ∴⊥；【小问2详解】由（1）得1A A ⊥面1A BC ，又11A B A C ⊥，故111,,A B AC A A 两两垂直，则11111116618332A ABC AA C V S BA BA -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，得13BA =，如图建立空间直角坐标系，则()()()()()()110,0,0,6,0,0,0,3,0,0,0,6,6,3,0,4,0,2A A B C B D -，设面11A DB 的法向量为(),,n x y z =，且()()1114,0,2,6,3,0A D A B ==- ，111420630n A D x z n A B x y ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2y =得()1,2,2n =- ，设面ABC 的法向量为()000,,m x y z =，且()()6,3,0,6,0,6AB AC =-=- ，0000630660m AB x y m AC x z ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取01x =得()1,2,1m =，cos ,n m n m n m ⋅∴===，即平面11A DB 与平面ABC20. 2023年5月28日我国具有完全自主知识产权的国产大飞机C919开启全球首次商业载客飞行，C919飞机的研制，聚集了我国数十万科研人员的心血，其中A B C D E F、、、、、等高校为C919大飞机做出了重要贡献，如A高校参与了气动总体、结构强度、航电、飞控和液压等设计，参加人数如下表：项目气动总体结构强度航电飞控液压参与人数55343B高校有8位教师参加了相关设计论证，具体如下表：（1）某科普博主准备从A B C D E F、、、、、共6所高校中随机选3所高校介绍其为C919大飞机做出的贡献，连续3天，每天发布一篇博文，每篇博文介绍一所高校（3天将选中的3所高校全部介绍完），求C D、被选到，且C在第2天被介绍的概率；（2）若从A高校参与设计的20人中随机选3人，在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人员的概率；（3）若从B高校参与的6个论证项目中随机选取3个，记这3个论证项目中B高校参与教师人数为X，求X的分布列与期望.【答案】（1）115;（2）4592; （3）X 的分布列为X345P153515()1313454555E X =⨯+⨯+⨯=.【解析】【分析】（1）C 、D 均被选到，且C 在第2天被介绍有1124C A 种情况，再由古典概型的概率公式即可求得结果；（2）从A 高校参与设计的20人中随机选3人，选到航电设计人员，从对立事件求其概率；选到气动总体设计人员的情况，也从对立事件求其概率，再结合条件事件的概率公式()()()P BC P C B P B =即可求得结果；（3）6个论证项目中，其中有4个项目B 高校参与教师人数为1人；有2个项目B 高校参与教师人数为2人，由分析可知，3,4,5X =，进而写出X 的分布列，求出()E X .【小问1详解】C 、D 均被选到，且C 在第2天被介绍记为事件A ，()112436C A 1A 15P A ∴==.【小问2详解】从A 高校参与设计的20人中随机选3人，选到航电设计人员记为事件B ，从A 高校参与设计的20人中随机选3人，选到气动总体设计人员记为事件C ，()332017320C C 460C 1140P B -∴==,()()()332112321123203312312551251212320C C C C C C C C C C C C 225C 1140P BC ⎡⎤-++++++⎣⎦==,()()()4592P BC P C B P B ∴==,所以在选到航电设计人员的条件下，求选到气动总体设计人员的概率为4592.【小问3详解】由题意知，3,4,5X =，()3436C 13C 5P X ∴===;()214236C C 34C 5P X ===;()124236C C 15C 5P X ===.X ∴的分布列为X345P153515()1313454555E X ∴=⨯+⨯+⨯=.21. 已知双曲线Γ：()222210,0x y a ba b -=>>，1A ，2A 为Γ的左、右顶点，P 为Γ上一点，1PA 的斜率与2PA 的斜率之积为14．过点()3,0A 且不垂直于x 轴的直线l 与Γ交于M ，N 两点．（1）求Γ的方程；（2）若点E ，F 为直线3x =上关于x 轴对称的不重合两点，证明：直线ME ，NF 的交点在定直线上．【答案】（1）2214x y -=；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题可知()()12,0,,0A a A a -，根据条件列出方程组，进而即得；（2）设直线MN 的方程为3,0x ty t =+≠，联立双曲线方程求得1212,y y y y +，再由直线ME 和NF的方程，求得交点的横坐标，即可求解．【小问1详解】由题意得()()12,0,,0A a A a -，又P 为Γ上一点，1PA 的斜率与2PA 的斜率之积为14，所以22731414a b ⎧-=⎪=，解得224,1a b ==，所以双曲线Γ的标准方程为2214x y -=；【小问2详解】设直线MN 的方程为3,0x ty t =+≠，由22314x ty x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得()224650t y ty -++=，则240t -≠，()()2262040t t ∆=-->，设()11,M x y ，()22,N x y ，()3,E m ，()3,F m -，0m ≠，所以12122265,44t y y y y t t +=-=--，直线ME l ：()1133y m y m x x --=--，NF l ：()2233y my m x x ++=--，联立两方程，可得：()()()()()2122121212112264233335334tmy y y m y m y m y m t m x x x x t x x ty ty ty y t m -+⎛⎫⎛⎫+-+--=--=--=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭-，解得43x =，当直线MN 与x 轴重合时，则()()2,0,2,0M N -，ME l ：()25y m x =+，NF l ：()2y m x =--，联立可得43x =，综上，直线ME 与NF 的交点在定直线43x =上.22. 已知函数21()(21)2ln (R)2f x ax a x x a =-++∈.（1）若()f x 有唯一极值，求a 的取值范围；（2）当0a ≤时，若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：124x x <.【答案】（1）0a ≤；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，分析极值点情况即可得解.（2）由（1）信息可设1202x x <<<，再构造函数，探讨函数的单调性推理即得.的【小问1详解】函数21()(21)2ln 2f x ax a x x =-++的定义域为(0,)+∞，求导得2(1)(2)()(21)ax x f x ax a x x--'=-++=，当0a >时，若12a =，()0f x '≥，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点，不符合题意；若102a <<，当02x <<或1x a >时，()0f x '>，当12x a<<时，()0f x '<，即函数()f x 在1(0,2),(,)a+∞上单调递增，在1(2,)a 上单调递减，函数()f x 有两个极值点，不符合题意；若12a >，当10x a<<或2x >时，()0f x '>，当12x a <<时，()0f x '<，即函数()f x 在1(0,),(2,)a+∞上单调递增，在1(,2)a 上单调递减，函数()f x 有两个极值点，不符合题意；当0a ≤时，当02x <<时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，即函数()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，2是函数()f x 的极大值点，且是唯一极值点，所以a 的取值范围是0a ≤.【小问2详解】当0a ≤时，函数()f x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，由12()()f x f x =，12x x ≠，不妨令1202x x <<<，要证124x x <，只证124x x <，即证()124f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，就证()2240f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，令4()()(),2g x f x f x x =->，求导得244()()()()g x f x f x x '''=-⋅-22)442(1)(2)(1)(2(2)4(4)(1)4)(2a ax x x x a ax x x x x x x x x=----+-=---+⋅2222282(2)[(24)](1x x a x x a x x x ax x x x x ----++-=-+=⋅223(2)[(1)3]0x a x a x x-++-=<，于是函数()g x 在(2,)+∞上单调递减，()(2)0g x g <=，而22x >，则2()0g x <，即222244()()0()(f x f f x f x x -<⇔<，又12()()f x f x =，因此124()()f x f x <，显然12402,02x x <<<<，又函数()f x 在(0,2)上单调递增，则有124x x <，所以124x x <.【点睛】思路点睛：涉及函数的双零点问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.。

2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题(解析版)

2023届福建省南安市柳城中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题 1．已知复数i2iz =+，i 为虚数单位，则z 的共轭复数为（） A ．12i 55+B ．12i 55-C ．21i 55+D ．21i 55-【答案】B【分析】根据复数的运算公式求复数z 的代数形式，再求其共轭复数即可. 【详解】()()()i 2i i 12i 12=i 2i 2i 2i 555z -+===+++-，所以z 的共轭复数为12i 55-，故选：B.2．已知集合()(){}120A x x x =+-<，{}Z 1B x x =∈≥，则()A B =R （） A ．[]{}1,21⋃- B ．[]1,2C ．{}1,1,2-D ．{}1,2【答案】C【分析】解一元二次不等式求得集合A ，解绝对值不等式求得集合B ，由此求得()A B ⋂R . 【详解】由120x x，得1x <-或2x >，所以[]1,2R A =-；由1x ≥，得1x ≤-或1x ≥，所以{Z|1B x x =∈≤-或}1x ≥，从而(){}1,1,2A B ⋂=-R ．故选：C3．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ，若()()12436P X P X >=⋅<，则()23P X <<=（） A ．13B ．14C ．16D ．19【答案】A【分析】利用对称性可得(2)(4)P X P X <=>结合条件可求()2P X <，再由 1(2)(4)(23)2P X P X P X -<-><<=求解.【详解】因为随机变量X 服从正态分布()23,N σ，又()()12436P X P X >=⋅<，所以1(2)(4)6P X P X <=>=，故1111(2)(4)166(23)223P X P X P X =---<-><<==. 故选：A.4．已知某圆锥的侧面展开图为半圆，该圆锥的体积为，则该圆锥的表面积为（）A ．27πB ．C ．D ．16π【答案】A【分析】根据条件先算出母线长与底面半径的关系，再根据体积计算出底面半径即可.【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则r l 2π=π，所以2l r =，=，所以213r π⨯=，解得3r =，故其表面积291827S r rl πππππ=+=+=；故选：A ．5．将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（） A ．16B ．14C ．13D ．12【答案】C【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.6．已知抛物线212,,y F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a，可得2ba =，所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.7．如图，在正三棱柱111ABC A B C 中，13AA =，2AB =，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为（）A ．513B ．713C ．913D ．1213【答案】B【分析】在三棱锥内构造直线使其平行于1A B ，然后构造三角形，运用异面直线夹角的定义求解即可.【详解】取11A C 的中点D ，连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ，则1//DE A B 且112DE A B =，则1DEB ∠为异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角．易求1113A B BC =13B D ，则113DE B E ==，所以222111113133744cos 21313132DE B E B D DEB DE B E +-+-∠===⋅⨯⨯. 故选：B ．8．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数()1f x +为奇函数，当[]0,1x ∈时，()2xf x k a =⋅+，若()()036f f +=，则()2log 96f =（）A ．2B ．0C ．-3D ．-6【答案】C【分析】根据条件，可以证明()f x 是周期为4的周期函数，计算出a 和k ，由周期性可得()()22log 961log 3f f =+ ，再利用函数的对称性即可求解.【详解】因为()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，又()f x 为偶函数，所以()()11f x f x -+=-，所以()()11f x f x -=-+，即()()2=-+f x f x ，所以()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 是以4为周期的周期函数；由()()11f x f x -+=-+，易得()10f =，()()()3110f f f =-==，所以()06f =，所以6k a +=，20k a +=，解得6k =-，12a =；所以()()()222log 965log 31log 3f f f =+=+()23log 2223log 31log 621232f f ⎛⎫⎛⎫=--=-=--⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；故选：C ．9．已知0a b >>，0c d <<，则（） A ．a b d c> B ．a b d c< C ．ac bd < D ．ac bd >【答案】BC【分析】利用不等式的基本性质判断不等关系．【详解】因为0c d <<，所以0cd >，所以110d c <<，所以110d c->->，又0a b >>，所以a b d c ->-，所以a bd c<，故 A 错误，B 正确；因为0a b >>，0c d ->->，所以ac bd ->-，所以.ac bd <故D 错误，C 正确．故选：BC ．10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A ．若22n S n n =-，则{}n a 是等差数列 B ．若121n n S +=-，则{}n a 是等比数列 C ．若{}n a 是等差数列，则202310122023S a =D ．若{}n a 是等比数列，且10a >，0q >，则221212n n n S S S -+⋅> 【答案】AC【分析】利用n a 与n S 的关系，结合等差数列与等比数列的定义，可得A 、B 的正误；根据等差中项以及等差数列求和公式，可得C 的正误；取1n =时的特殊情况验证不等式，可得D 的正误.【详解】对于A ，若22n S n n =-，则11a =，当2n ≥时，143n n n a S S n -=-=-，显然1n =时也满足43n a n =-，故43n a n =-，由14n n a a --=，则{}n a 为等差数列，故A 正确；对于B ，若121n n S +=-，则13a =，2214a S S =-=，3328a S S =-=，显然3212a a a a ≠，所以{}n a 不是等比数列，故B 错误；对于C ，因为{}n a 为等差数列，则()12023101220231012202320232202322a a a S a +⨯===，故C 正确；对于D ，当1n =时，()()222222132111110S S S a q q a q a q ⋅-=++-+=-<，故当1n =时，不等式不成立，即221212n n n S S S -+⋅>不成立，故D 错误．11．关于函数()()π3sin 21R 3f x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+∈，下列说法正确的是（）A ．若()()121f x f x ==，则()12πZ x x k k -=∈B ．()y f x =的图像关于点2π,13⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．()y f x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()y f x =的图像向右平移π12个单位长度后所得图像关于y 轴对称【答案】BD【分析】对于A ，根据三角函数的对称中心性质即可判断；对于B ，可根据对称中心对应的函数值特征即可判断；对于C ，根据三角函数单调性判断即可；对于D ，求出平移后的解析式并根据偶函数的性质进行判断即可.【详解】对于A ，由()()121f x f x ==知()1,1x ，()2,1x 是()π3sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的两个对称中心，则12x x -是函数()f x 的最小正周期的整数倍，即()12πZ 2k x x k -=∈，故A 不正确；对于B ，因为2π3sin π113f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2π,13⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，故B 正确；对于C ，由()πππ2π22πZ 232k x k k -≤-≤+∈解得()π5πππZ 1212k x k k -≤≤+∈，当0k =时，()f x 在π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在5π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 不正确；对于D ，()y f x =的图象向右平移π12个单位长度后所得图象对应的函数ππ3sin 213cos 21123y x x ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x ∈R ()()3cos213cos21()f x x x f x ∴-=--+=-+=3cos 21y x =-+是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故D 正确.故选：BD.12．将边长为2的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（）A ．存在某个位置，使直线BD 与平面ABC 所成的角为45°B ．当二面角D AC B --为23π时，三棱锥D ABC - C ．当平面ACD ⊥平面ABC 时，异面直线AB 与CD 的夹角为60°D ．O 为AC 的中点，当二面角D AO B --为23π时，三棱锥A OBD -外接球的表面积为10π 【答案】ACD【分析】A.当当平面ACD ⊥平面ABC ，即可判断；B.根据锥体体积公式，即可求解； C.将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即可求解； D.将三棱锥补体为三棱柱，即可求球心和半径.【详解】A.当平面ACD ⊥平面ABC 时，取AC 的中点O ，连接,BO DO ，DO AC ⊥，DO ∴⊥平面ABC ，DBO ∴∠为直线BD 与平面ABC 所成的角， DBO 是等腰直角三角形，45DBO ∴∠=，故A 正确；B.DO AC ⊥，BO AC ⊥，DO BO O ⋂=，AC ∴⊥平面DBO ，且23DOB π∠=， AC ⊂平面ABC ，∴平面DBO ⊥平面ABC ，且交于BO ，∴点D 在平面ABC 的射影落在BO 上，∴点D 到平面ABC 的距离6sin 602d DO =⋅=，三棱锥D ABC -的体积1166223223V =⨯⨯⨯⨯=，故B 错误；C.取,BC BD 的中点,M N ，连接,,OM ON MN ，则//OM AB ，/MN DC ，所以OMN ∠或其补角是异面直线AB 与CD 的夹角，根据A 的证明可知()()22222BD =+=，112ON BD ==，且1OM MN ==，所以OMN 是等边三角形，60OMN ∠=，故C 正确；D.由条件可知AO ⊥平面DOB ，23DOB π∠=，且DO OB =，所以可以将四棱锥A DOB -补成底面是菱形的直棱柱因为四边形OBCD 是菱形，且23BOD π∠=，所以点C 是底面OBD 外接圆的圆心，取侧棱1CC 的中点E ，则E 是四棱柱外接球的球心，连结OE ，()222221022OE OC CE ⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以四棱锥A OBD -外接球的半径10R =2410S R ππ==，故D 正确. 故选：ACD三、填空题13．已知向量()3,1a =-，(),2b m =，且()2a a b ⊥+，则+=a b ______． 85 【分析】由向量线性运算及垂直的数量积表示可得方程解出m ，即可由坐标计算向量模. 【详解】()()()23,12,223,5a b m m +=-+=-，由()2a a b ⊥+得()()()23,123,5a a b m ⋅+=-⋅-6950m =-++=，解得73m =．则()723,1,2,333a b ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2228533a b ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭85. 14．63x x ⎛⎝展开式的常数项为______.【答案】2160【分析】根据给定条件，求出二项式展开式的通项公式，再求出常数项作答.【详解】6(3x展开式的通项公式为36662166C (3)(3(2)C ,N,6r r r r r r rr T x x r r ---+==⋅-∈≤，令3602r -=，解得4r =，则244563(2)C 916152160T =⋅-=⨯⨯=，所以展开式的常数项为2160. 故答案为：216015．已知函数()()()10 ln f x x x =+≥，将()f x 的图象绕原点逆时针旋转(]()0,ααθ∈角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为______．【答案】π4##1π4【分析】求得()f x 在点()0,0处的切线方程，从而求得正确答案. 【详解】依题意0x ≥， ()11f x x '=+，所以()01f '=，故函数()f x 的图象在()()0,0f 处的切线为y x =，切线向上的方向与y 轴正方向的夹角为π4，函数()f x 的图象绕原点旋转不超过π4时，仍为某函数图象，若超过π4，y 轴与图象有两个公共点，与函数定义不符，故θ的最大值为π4．故答案为：π416．有一种投掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第1站、第2站、第3站、…、第10站，共10站，设棋子跳到第n 站的概率为n P ，若一枚棋子开始在第1站，棋手每次投掷骰子一次，棋子向前跳动一次．若骰子点数小于等于3，棋子向前跳一站；否则，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第9站（失败）或者第10站（获胜）时，游戏结束．则3P =_________；该棋手获胜的概率为__________．【答案】34##0.75 85256【分析】根据题意找出(38)n P n ≤≤与21,n n P P --的关系即可求解. 【详解】由题311132224P =+⨯=，因为2111(38)22n n n P P P n --=+≤≤，故11112n n n n P P P P ----=--，由2112P P -=-，所以111,22n n n P P n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭，累加可得：2878108111118518521,1222128225612P P P ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+-+-+⋅⋅⋅+-==== ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭．故答案为：34；85256.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()22214cos a b B ab +-=-，且2cos c b B =．(1)求B ；(2)若ABC 的周长为423+，求BC 边上中线的长．【答案】(1)π6B = (2)7．【分析】（1）已知条件结合余弦定理求得2π3C =，再由正弦定理求B . （2）由（1）求出角A ，利用三角形周长求出各边的长，再由余弦定理求BC 边上中线的长．【详解】（1）由()22214cos a b B ab +-=-，有22224cos a b b B ab +-=-，又2cos c b B =，所以2224cos c b B =，即222a b c ab +-=-，由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-．又()0,πC ∈，所以2π3C =，由2cos c b B =及正弦定理，得sin 2sin cos C B B =，所以3sin 22B =，由π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得2π20,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π23B =，解得π6B =.（2）由（1）可知π6B =，2π3C =，所以π2πππ636A =--=，所以a b =，由2cos c b B =，得3c a =．因为ABC 的周长为423+，所以3423a a a ++=+，解得2a =．设BC 的中点为D ，则112CD BC ==，如图所示:AD==，所以BC．18．已知数列{}n a的前项和为n S，若()12n nnS n S+=+，且11a=.(1)求{}n a的通项公式;(2)设()2112nn nb na a-=≥，11b=，数列{}n b的前n项和为n T，求证32nT<.【答案】(1)n a n=(2)证明见解析【分析】（1）由已知等式可得12nnS nS n++=，采用累乘法可求得当2n≥时的nS，利用1n n na S S-=-可求得n a，检验首项后可得结论；（2）由（1）可得2n≥时nb的通项，由()()112122nbn n n n=<--，采用裂项相消法可求得11112nTn⎛⎫<+-⎪⎝⎭，由1n>可得结论.【详解】（1）由()12n nnS n S+=+得：12nnS nS n++=，则当2n≥时，()123211232111143123212n n n nn n nn nS S S S S S n n nS S S S S S n n n-----++-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=---，又111S a==，()12nn nS+∴=，()()11122n n nn n n na S S n-+-∴=-=-=，经检验：11a=满足na n=；()na n n*∴=∈N.（2）由（1）得：当2n≥时，()()11111212221nbn n n n n n⎛⎫=<=-⎪---⎝⎭；123111111111112223341n n nT b b b b bn n-⎛⎫∴=+++⋅⋅⋅++<+-+-+-+⋅⋅⋅+-⎪-⎝⎭11112n⎛⎫=+-⎪⎝⎭，1n>，111n∴-<，1113111222nTn⎛⎫∴<+-<+=⎪⎝⎭.19．2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”.某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明､小红打算报名参加大赛.(1)赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y (秒)与训练天数x (天)有关，经统计得到如下表数据：经研究发现，可用b y a x=+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为多少秒？(2)小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为35，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局.若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．参考数据：(其中1i t x =) 参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221n i ii n i i u v nu v unu β==-⋅=-∑∑，v u αβ=-⋅. 【答案】(1)100013ˆ0=+yx；150； (2)513625．【分析】(1)令1t x =，则可利用最小二乘法估计ˆˆˆy bt a =+，从而得到ˆˆˆb y a x=+，代入x =50即可预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度；(2)设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，最后一局一定是小明获胜，且最多再进行4局就结束比赛分出胜负，则小明赢得比赛得概率P =P (X =2)+P (X =3)+P (X =4)．【详解】（1）由题意，()19909904503203002402105007y =++++++=，令1t x =，设y 关于t 的线性回归方程为ˆˆˆy bt a =+，则7172217184570.37500ˆ10000.557i ii i i t y t y b tt ==-⋅-⨯⨯===-∑∑，则ˆ50010000.37130=-⨯=a， ∴100013ˆ0=+yt ， ∴y 关于x 的回归方程为100013ˆ0=+y x，当50x =时，ˆ150=y， ∴预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y 约为150秒；（2）设比赛再继续进行X 局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，由题意知，最多再进行4局就有胜负，X 的可能取值为2、3、4．当2X =时，小明4∶1胜，∴()33925525P X ==⨯=；当3X =时，小明4∶2胜，∴()12333363C 1555125P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭；当4X =时，小明4∶3胜，∴()2133331084C 1555625P X ⎛⎫==⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭． ∴小明最终赢得比赛的概率为93610851325125625625++=． 20．如图，圆台下底面圆O 的直径为AB ， C 是圆O 上异于,A B 的点，且30BAC ∠=，MN 为上底面圆O '的一条直径，MAC △是边长为23的等边三角形，4MB =.(1)证明：BC ⊥平面MAC ；(2)求平面MAC 和平面NAB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析313【分析】(1)线线垂直从而证明线面垂直.(2)利用向量法，即可求二面角的余弦值.【详解】（1）∵AB 为圆台下底面圆O 的直径，C 是圆O 上异于,A B 的点，故=90ACB ︒∠又∵=30BAC ︒∠，23AC =，∴4AB MB ==∵AC MC =，BC BC =∴ABC MBC ≅，∴=90BCM ︒∠∴BC MC ⊥，又∵BC AC ⊥，AC MCC ，,AC MC ⊂平面MAC ∴BC ⊥平面MAC（2）取AC 的中点，连接,DM DO ，则MD AC ⊥，由(1)可知，BC DM ⊥∵AC BC C =，∴DM ⊥平面ABC ，又∵OD AC ⊥∴以D 为原点，DA 为x 轴，DO 为y 轴，DM 为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，由题意可得(3,0,0)A ，(3,2,0)B -，∵OO '⊥平面ABC ，∴//'DM OO ，四边形ODMO '为矩形，∴(0,2,3)N平面MAC 的一个法向量为1(0,1,0)n =.设平面NAB 的一条法向量为2(,,)n x y z =，(23,2,0)AB =-，(3,2,3)AN =-由2200n AB n AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得23203230x y x y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩ 令3x =3y =，1z =-平面NAB 的一个法向量为2(3,3,1)n =-则平面MAC 与平面NAB的夹角的余弦值为1212·3nn n n ==∴平面MAC 和平面NAB 21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>在点()01,M y 处的切线斜率为12． (1)求抛物线C 的方程；(2)若抛物线C 上存在不同的两点关于直线:2l y x m =+对称，求实数m 的取值范围．【答案】(1)24x y =；(2)94m >.【分析】（1）根据给定条件，求出切线方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式计算作答.（2）设出抛物线C 上关于l 对称的两点A ，B 的坐标，并设出直线AB 的方程，再与抛物线C 的方程联立，借助判别式及韦达定理计算作答.【详解】（1）点1(1,)2M p ，则切线方程为：11(1)22y x p -=-，由221(1)2py p x x py -=-⎧⎨=⎩消去y 并整理得： 210x px p -+-=，依题意，24(1)0p p ∆=--=，解得2p =，所以抛物线C 的方程是24x y =.（2）设抛物线C 上关于l 对称的两点为1122(,),(,)A x y B x y ，则设直线AB 方程为：12y x t =-+，由2124y x t x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理得：2240x x t +-=，则有4160t '∆=+>，解得14t >-， 122x x +=-，12121()2212y y x x t t +=-++=+，显然线段AB 的中点1(1,)2t -+在直线l 上，于是得122t m +=-+，即有52t m =-，而14t >-，因此，5124m ->-，解得94m >，所以实数m 的取值范围是94m >. 【点睛】结论点睛：抛物线22(0)x py p =≠在点200(,)2x x p 处的切线斜率0x k p =；抛物线22(0)y px p =≠在点2000(,)(0)2y y y p ≠处的切线斜率0p k y =. 22．某品牌轿车经销商组织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能选择其中的一种. 方案一：每满6万元，可减6千元；方案二：金额超过6万元（含6万元），可摇号三次，其规则是依次从装有2个幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有2个幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一次，每次摇出一个号. 其优惠情况为：若摇出3个幸运号打6折；若摇出2个幸运号打7折；若摇出1个幸运号打8折；若没摇出幸运号不打折.(1)若某型号的车正好6万元，两名顾客都选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更优惠的概率；(2)若你朋友看中一款价格为10万元的轿车，请用所学知识帮助你朋友分析一下应选择哪种优惠方案.【答案】(1)247256(2)方案二【分析】（1）设顾客三次没摇出幸运号为事件A ，由独立事件概率乘法公式求得()P A ，则利用对立事件概率得所求概率为()21P A -；（2）方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈，求出X 的分布列，期望与方案一比较即可.【详解】（1）方案一相当于打9折，要使选择方案二比选择方案一更优惠，则需要至少摇出1个幸运号，设顾客不打折即三次没摇出幸运号为事件A ，则()223344416P A =⨯⨯=，故所求的概率()2232471116256P P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭. （2）若选择方案一，则需要付款100.69.4-=（万元）若选择方案二，设付款金额为X 万元，则{}6,7,8,10X ∈， ()322116416P X ⨯⨯===，()322322122157416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===， ()322322322178416P X ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯===，()31016P X ==，故X 的分布列为所以()1573678107.93759.416161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯=<（万元），所以选方案二划算.。

河北省邢台市第一中学2022-2023学年高三上学期12月月考语文试题含答案

邢台一中2022-2023学年上学期第三次月考高三年级语文试题命题人李爱芬一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1-5题。

材料一:2021年12月，南京大学城市科学研究院副院长胡小武教授注意到，作为城市化过程中衍生的一种新现象,“断亲”似乎越来越多地发生在青年人身上。

“断亲”指的是基于血缘联结的亲戚关系逐渐淡化，一些“90后”“00后”越来越疏于与亲戚产生情感联系的一种现象。

“断亲”主要表现为“基本不走亲戚”，而非正式断绝亲戚关系。

相关调查显示，越是年纪大的人，与亲戚之间的联系越频繁，关系越密切；越是年轻人，“断亲”现象也就越普遍。

那么“断亲”背后，中国家庭亲缘关系究竟发生着怎样的变化？过去中国社会以扩大家庭为主，亲缘关系较为紧密。

由于交通信息相对闭塞,人们的社会活动空间相对有限，生产生活及情感所需的信任关系和互助资源，在很大程度上依托各种亲戚关系，因而基于血缘关系的亲戚是最可靠和稳定的社会关系。

进入现代化、开放性、高流动性的社会后，中国人的社会关系网络发生较大变化，以学缘而非血缘的同学关系、校友关系逐渐占据社会关系的重要方面。

再加上现代社会中血缘亲朋因拆迁、借贷、财产继承、家庭攀比等造成的心态失衡，亲缘之间的“利益冲突”逐渐超越“利益链接”的比重。

因此，从传统到现代社会的重大变迁中，亲戚关系式微成为一种客观社会事实。

“内卷”环境加剧。

00后的独生子女常年游走于各种课堂之中，他们从小在内卷化的教育体系内生长生活。

特别是大城市中的青少年学生，几乎从小就周旋于各类培训班，休闲生活被极大压缩，社会交往特别是走亲戚形态的交往更少。

久而久之，青少年成长过程中亲戚“不在场”或被同学所替代，致使“断亲”成为必然。

城市化与社会流动造成居住地分离。

中国开启加速城镇化进程后，有超6亿人口陆续从乡村迁移到城市，其中超过2亿人口实现跨省市居住流动。

远距离流动造成兄弟姐妹分别居住在不同城市。

辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题

（1）证明：直线 l 与椭圆 C 相切；
（2）已知直线 l 与椭圆 D ：
x2 a2
+
y2 b2
= 1(a
>b
>
0) 交于 A
， B 两点，且点W
为
AB
的中
点.
（i）证明：椭圆 D 的离心率为定值；
试卷第61 页，共33 页
( ) （ii）记VOAB
的面积为 S
，若 b2
=
4 3
+
1 4n
，证明：
Sn+1 - Sn = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an+1 - 2an
an+1 = 2an
an+1 an
=
2
答案第11 页，共22 页
所以{an} 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，
an = 1× 2n-1 = 2n-1
Qa1 = 1 ，符合上式
所以{an} 是通项为 an = 2n-1 的等比数列，A 选项正确；
对于 B，已知 Sn = 2n +1 ，所以 Sn+1 = 2n+1 +1 ， a1 = S1 = 21 +1 = 3
Sn+1 - Sn = 2n+1 - 2n = 2n an+1 = 2n an = 2n-1
Q a1 = 3 ，不符合上式所以，B 选项错误；
对于 C，已知 an+1 = 2an ，当首项为零时，不符合题意，C 选项错误；
的虚部为 sin1 > 0 ，因此命题①②③都正确，即正确说法的个数为 3. 故选：A 3．A
【分析】用 Sn 与 an 的关系，求出{an} 通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误.

2024届河北省高三大数据应用调研联合测评高三上学期12月月考语文试题及答案解析

2024届河北省高三大数据应用调研联合测评高三上学期12月月考语文试题及答案解析注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名和考号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，共19分）阅读下面的文字，完成1～5题。

在1023年的时候，宋朝的穷人家会教小孩如何种稻或织布，有钱人家则是教男孩读经写字、骑马射箭，教女孩三从四德。

毫无疑问，这些技能到了1060年还是很重要。

相较之下，对于中国或世界其他地方到2060年会是什么样子，现在的我们却一无所知，唯一能确定的就是一切都会改变，但到那个时候，现在孩子学的各种技能，绝大多数可能没有什么用了。

随着改变的步伐加速，除了经济会改变，就连“作为一个人”的意义也可能不同。

想跟上2060年的世界，我们该教什么呢？被大量信息淹没的21世纪，老师最不需要教给学生的就是更多的信息。

学生需要的是能够理解信息、判断信息重要性，最重要的是能够结合点滴信息，形成一套完整的世界观。

尤其是要能够随机应变，学习新事物，在不熟悉的环境里仍然保持心智平衡。

人类得一次又一次地重塑自己。

从远古时代开始，人的一生分为两个阶段：学习阶段和工作阶段。

你在第一阶段累积各种信息、发展各种技能、建构起自己世界观的同时，也建立起稳定的身份认同。

人生的第二阶段，你依靠累积下来的技能闯荡世界，谋取生计，贡献社会。

但到2060年，由于改变速度的加快、人的寿命延长，这种传统模式将无以为继。

人一生之中的各个接缝处可能出现裂痕，不同时期的人生也不再紧紧相连。

“我是谁”会变成一个比以往更加紧迫也更加复杂的问题。

而这很可能会带来极大的压力，因为改变总是会造成压力。

2021-2022年高三上学期12月月考数学试卷(文科)含解析

2021年高三上学期12月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( ) A．（﹣∞，4] B．[0，4] C．（﹣∞，4）D．（0，4）3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．487．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=__________．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=__________．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是__________．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为__________．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是__________．（写出所有真命题的编号）三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．17．已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．xx山东省潍坊市寿光五中高三（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共计50分）1．设i是虚数单位，复数( )A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：复数===3﹣2i，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．集合A={x|x2﹣a≥0}，B={x|x＜2}，若C R A⊆B，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，4]B．[0，4]C．（﹣∞，4）D．（0，4）【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】根据集合的补集关系进行求解即可．【解答】解：∵A={x|x2﹣a≥0}={x|x2≥a}，∴C R A={x|x2≤a}，若a＜0，则C R A=∅，满足C R A⊆B，若a≥0，则C R A={x|x2＜a}={x|﹣＜x＜}，若C R A⊆B，则≤2，解得0≤a≤4，综上a≤4，故选：A【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，注意分类讨论．3．已知a0=20.5，b=log32，c=log20.1，则( )A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=20.5＞20=1，0＜b=log32＜log33=1，c=log20.1＜log21=0．∴c＜b＜a．故选：C．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．4．下列四个结论：①若x＞0，则x＞sinx恒成立；②命题“若x﹣sinx=0则x=0”的逆命题为“若x≠0则x﹣sinx≠0”；③“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的充分不必要条件；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”．其中正确结论的个数是( )A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题的真假判断与应用．【专题】规律型；探究型；构造法；导数的概念及应用；简易逻辑．【分析】令f（x）=x﹣sinx，利用导数分析其单调性，可判断①；写出原命题的逆命题，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；写出原命题的否定，可判断④．【解答】解：令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0恒成立，故f（x）=x﹣sinx在R上为增函数，故x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即x＞sinx恒成立，故①正确；命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆命题为“若x=0，则x﹣sinx=0”，故②错误；“命题p或q为真”时，“命题p且q为真”不一定成立，“命题p且q为真”时，“命题p或q为真”成立，故“命题p或q为真”是“命题p且q为真”的必要不充分条件，故③错误；④命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，故正确．其中正确结论的个数是2个，故选：B【点评】本题考查的知识点是全称命题的否定，四种命题，复合命题，函数的单调性，难度中档．5．直线x+my+1=0与不等式组表示的平面区域有公共点，则实数m的取值范围是( )A．[，]B．[﹣，﹣]C．[，3] D．[﹣3，﹣]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：即直线x+my+1=0过定点D（﹣1，0）作出不等式组对应的平面区域如图：当m=0时，直线为x=﹣1，此时直线和平面区域没有公共点，故m≠0，x+my+1=0的斜截式方程为y=x，斜率k=，要使直线和平面区域有公共点，则直线x+my+1=0的斜率k＞0，即k=＞0，即m＜0，满足k CD≤k＜k AB，此时AB的斜率k AB=2，由解得，即C（2，1），CD的斜率k CD==，由，解得，即A（2，4），AD的斜率k AD==，即≤k≤，则≤≤，解得﹣3≤m≤﹣，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划以及斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A．12 B．24 C．36 D．48【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】利用三视图判断几何体的形状，通过三视图是数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长4、3的矩形，高为3的棱锥，高所在棱垂直底面矩形的一个得到，所以棱锥的体积为：=12．故选：A．【点评】本题主要考查关于“几何体的三视图”与“几何体的直观图”的相互转化的掌握情况，同时考查空间想象能力．7．设0＜a＜1，则函数y=的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用0＜a＜1，判断a x，x＞0时的范围，以及x＜0时的范围，然后求解a x﹣1的范围，倒数的范围，即可判断函数的图象．【解答】解：因为0＜a＜1，x＞0时，0＜a x＜1，﹣1＜a x﹣1＜0，＜﹣1，x＜0时，a x＞1，a x﹣1＞0，＞0，观察函数的图象可知：B满足题意．故选：B．【点评】本题考查指数函数的图象，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，注意函数的值域以及指数函数的性质．8．已知向量=（0，sinx），=（1，2cosx），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】由题意利用两个向量的数量积公式、诱导公式可得函数f（x）=sin2x，g（x）=sin2（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：由题意可得函数f（x）=•=（2sinxcosx）=sin2x，g（x）=2+2﹣=sin2x+1+4cos2x﹣=3cos2x﹣=cos2x=sin（2x+）=sin2（x+），故把g（x）的图象向右平移个单位长度，可得f（x）的图象，故选：B．【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．9．已知函数f （x）=Asin（ωx+φ），（0＜φ＜π）的图象如图所示，若f （x0）=3，x0∈（，），则sinx0的值为( )A． B． C． D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，求出函数的解析式．再由f （x0）=3求出sin（x0+ ）的值，可得cos（x0+ ）的值，再由两角差的正弦公式求得sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]的值．【解答】解：由函数的图象可得A=5，且=，解得ω=1再由五点法作图可得1•+φ=，解得φ=．故函数的解析式为f（x）=5sin（x+ ）．再由f （x0）=3，x0∈（，），可得5sin（1•x0+ ）=3，解得sin（x0+ ）=，故有cos（x0+ ）=﹣，sinx0 =sin[（x0+ ）﹣]=sin（x0+ ）cos﹣cos（x0+ ）sin=﹣（﹣）=．故选A．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，两角差的正弦公式的应用，属于中档题．10．设f（x）=|lnx|，若函数g（x）=f（x）﹣ax在区间（0，3]上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A．（0，）B．（，e）C．（0，]D．[，）【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先，画出函数f（x）=|lnx|的图象，然后，借助于图象，结合在区间（0，3]上有三个零点，进行判断．【解答】解：函数f（x）=|lnx|的图象如图示：当a≤0时，显然，不合乎题意，当a＞0时，如图示，当x∈（0，1]时，存在一个零点，当x＞1时，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x∈（1，3]）g′（x）==，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）为减函数，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）为增函数，此时f（x）必须在[1，3]上有两个零点，∴解得，，在区间（0，3]上有三个零点时，，故选D．【点评】本题重点考查函数的零点，属于中档题，难度中等．二、解答题（每小题5分共计25分）11．已知sinα﹣cosα=，α∈（0，π），tanα=﹣1．【考点】同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】已知等式左边提取，利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sin（α﹣）的值为1，由α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，即可求出tanα的值．【解答】解：∵sinα﹣cosα=sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=1，∵α∈（0，π），∴α﹣=，即α=，则tanα=﹣1．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，特殊角的三角函数值，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．12．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，则2+3=（﹣4，7）．【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】由向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，求出m的值，则2+3的答案可求．【解答】解：∵向量=（1，2），=（﹣2，m），且⊥，∴﹣2+2m=0，解得m=1，则2+3=2×（1，2）+3×（﹣2，1）=（﹣4，7）．故答案为：（﹣4，7）．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算，考查了平面向量的坐标运算，是基础题．13．函数y=lg（1﹣）+的定义域是[log23，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即，∴x≥log23，即函数的定义域为[log23，+∞），故答案为：[log23，+∞）【点评】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．14．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1、S2，体积分别为υ1，υ2，若它们的侧面积相等，且的值为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，由=，得=，由它们的侧面积相等，得=，由此能求出．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r，高分别为H，h，∵=，∴=，∵它们的侧面积相等，∴=1，∴=，∴==（）2×=．故答案为：．【点评】本题考查两个圆柱的体积的比值的求法，是中档题，解题时要注意圆柱的体积和侧面积计算公式的合理运用．15．给出下列四个命题：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”；②a、b、c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c；③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”的逆命题为假命题；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），且当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．其中的真命题是①④．（写出所有真命题的编号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】①利用命题的否定即可判断出；②由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，另一方面由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，即可判断出；③在△ABC中，A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，可得sinA＞sinB．④利用偶函数的性质即可得出．【解答】解：①命题“∀x∈R，cosx＞0”的否定是“∃x∈R，cosx≤0”，正确；②a、b、c是空间中的三条直线，由a⊥c且b⊥c可得a∥b或相交或为异面直线，由a∥b，推不出a⊥c，b⊥c，因此“a⊥c且b⊥c”是a∥b的既不充分也不必要条件，因此②不正确；③在△ABC中，由A＞B⇔a＞b，由正弦定理可得：，因此sinA＞sinB．可知逆命题为真命题，因此不正确；④对任意实数x，有f（﹣x）=f（x），可知函数f（x）是偶函数．由当x＞0时，f′（x）＞0，则当x＜0时，f′（x）＜0．正确．综上可知：只有①④正确．故答案为：①④．【点评】本题综合考查了空间中的线线位置关系、三角形的边角关系、函数的奇偶性单调性、简易逻辑等基础知识与基本技能方法，属于基础题．三、解答题：16．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx﹣（ω＞0，x∈R）的图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c=，f（C）=0，sinB=3sinA，求a，b的值．【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，根据题意确定出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性求出函数f（x）的单调递增区间即可；（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度数，利用正弦定理化简sinB=3sinA，由余弦定理表示出cosC，把各自的值代入求出a与b的值即可．【解答】解：f（x）=sin2ωx﹣（1+cos2ωx）﹣=sin（2ωx﹣）﹣1，∵f （x ）图象上相邻两个最高点的距离为π，∴=π，即ω=1，则f （x ）=sin （2x ﹣）﹣1，（Ⅰ）令﹣+2k π≤2x ﹣≤+2k π，k ∈Z ，得到﹣+k π≤x ≤k π+，k ∈Z ，则函数f （x ）的单调递增区间为[﹣+k π，k π+]，k ∈Z ；（Ⅱ）由f （C ）=0，得到f （C ）=sin （2C ﹣）﹣1=0，即sin （2x ﹣）=1，∴2C ﹣=，即C=，由正弦定理=得：b=，把sinB=3sinA 代入得：b=3a ，由余弦定理及c=得：cosC===，整理得：10a 2﹣7=3a 2，解得：a=1，则b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及二倍角的正弦、余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．17．已知数列{a n }前n 项和S n 满足：2S n +a n =1（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（I ）利用递推式可得：．再利用等比数列的通项公式即可得出；（II ）由（I ）可得b n ==，；利用“裂项求和”即可得出数列{b n }的前n 项和为T n ，进而得到证明．【解答】（I ）解：∵2S n +a n =1，∴当n ≥2时，2S n ﹣1+a n ﹣1=1，∴2a n +a n ﹣a n ﹣1=0，化为．当n=1时，2a 1+a 1=1，∴a 1=．∴数列{a n }是等比数列，首项与公比都为．∴．（II ）证明：b n = ===，∴数列{b n }的前n 项和为T n =++…+=．∴T n ＜．【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式、“裂项求和”、不等式的证明，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值，并求出相应的x的值．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数的倍角公式和诱导公式化简函数f（x），然后直接由周期公式求周期；（2）通过函数的图象的平移求解函数g（x）的解析式为g（x）=，由x的范围求出的范围，从而求得函数g（x）的最值，并得到相应的x的值．【解答】解：（1）由，得==．∴f（x）的最小正周期为π；（2）∵将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，∴=．∵x∈[0，）时，，∴当，即时，g（x）取得最大值2；当，即x=0时，g（x）取得最小值．【点评】本题考查了三角函数的倍角公式及诱导公式，考查了三角函数的图象平移，训练了三角函数的最值得求法，是中档题．19．如图正方形ABCD的边长为ABCD的边长为，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC 交于点G，O为GC的中点，平面ABCD．（I）求证：AE∥平面BCF；（Ⅱ）若，求证CF⊥平面AEF．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）利用正方形，平行四边形的性质可得AD∥BC，DE∥BF，可证平面ADE∥平面BCF，即可证明AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）由已知可证AC2=AF2+CF2，由勾股定理可得CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，可得FO⊥BD，又AC⊥BD，即可证明BD⊥平面AFC，结合EF∥BD，即可证明EF⊥CF，从而可证CF⊥平面AEF．【解答】证明：（I）∵四边形ABCD为正方形，四边形BDEF是平行四边形，∴AD∥BC，DE∥BF，∵AD∩DE=D，BC∩BF=B，∴平面ADE∥平面BCF，又∵AE⊂平面ADE，∴AE∥平面BCF…5分（Ⅱ）∵正方形ABCD边长为2，∴对角线AC=4，又∵O为GC中点，∴AO=3，OC=1又∵FO⊥平面ABCD，且FO=，∴AF2=AO2+OF2=9+3=12，CF2=OC2+OF2=1+3=4，又AC2=16，∴AC2=AF2+CF2，∴CF⊥AF，又FO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FO⊥BD又∵AC⊥BD∴BD⊥平面AFC，又∵EF∥BD，∴EF⊥平面AFC∴EF⊥CF，又EF∩AF=F∴CF⊥平面AEF…12分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．20．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣mx，m∈R（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤﹣2m+1在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（1）先对原函数求导数，然后通过解导数大于零或小于零的不等式得到原函数的单调区间；（2）先将原不等式归零化简，然后通过求函数的最值解决问题，只需利用导数研究函数的单调性即可，注意分类讨论．【解答】解：由题意可得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=．（1）当m≤0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当m＞0时，令f′（x）＞0，解得，令f′（x）＜0，解得．所以当m≤0时，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当m＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，），单调减区间为（）．（2）因为在[1，+∞）上恒成立．即在[1，+∞）上恒成立，令g（x）=，则，（1）当，即时，若，则g′（x）＜0，g（x）是减函数，所以g（x）＜g（1）=0，即g（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立；（2）当，即时，若x＞1，则g′（x）＞0，g（x）是增函数，所以g（x）＞g（1）=0，即，故当x≥1时，f（x）恒成立．综上所述，所求的正实数m的取值范围是．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性的思路，以及不等式恒成立问题转化为函数的最值问题来解的基本思想．21．（14分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件．（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系；（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．【解答】解：（1）由题意知，，将代入化简得：（0≤x≤a）．…（2），当且仅当，即x=1时，上式取等号．…当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当a＜1时，在[0，a]上单调递增，所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．…【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．。

北京一六一中学2023—2024 学年度上学期12月月考高三语文试题及答案

北京一六一中学2023—2024学年度上学期12月月考高三语文2023.12一、实用类文本阅读（本大题5小题，共18分）材料一历史如潮，大道如砥。

十年砥砺前行，化作惊艳跨步。

2020年，嫦娥五号顺利从月球带回约2公斤月壤。

自立项以来，中国探月工程“一张蓝图绘到底”，“一条龙”攻关攻坚，“一盘棋”协同推进，“一体化”迭代提升。

诗歌中的婵娟从书页来到现实，中华民族“九天揽月”的千年梦想得以实现。

2021年，“天问一号”探测器着陆火星，实现了从地月系到行星际的跨越；随后，“祝融号”火星车成功驶上火星表面开始巡视探测，我国首次火星探测任务一次实现了“绕、着、巡”三个目标。

同年，随着首颗太阳探测科学技术试验卫星“羲和号”成功发射，中国迈入“探日”时代。

“效法羲和驭天马，志在长空牧群星”，沿着上古神话中的“太阳女神”羲和的脚步，中国人的宇宙探索终于拓展到这颗始终照耀着华夏儿女的璀璨星球。

“问鼎苍穹”承载着中国人探索浩瀚宇宙的雄心与浪漫；“跨山越海”则改写了神州大地的时空格局，挺起了泱泱大国的发展骨架。

“逢山开路、遇水搭桥”。

港珠澳大桥、伶仃洋大桥、泉州湾大桥……一座座跨海大桥，让“天堑变通途”，创造了“当惊世界殊”的发展成就。

“原来去澳门一天只能跑一趟，现在一天可以跑四趟；通过香港机场走的航空货，原来要提前两天到达香港仓库，现在通过大桥仅需提前半天。

”对于在珠海从事跨境电商工作的郑太龙来说，被英国《卫报》誉为“现代世界七大奇迹之一”的港珠澳大桥让他运货花的时间更少了，收益更高了。

2022年9月5日，在建世界高速公路第一长隧——全长22.035公里的乌尉天山胜利隧道进口端三洞顺利穿越全线最大断层，为隧道顺利贯通和乌尉高速公路顺利通车创造了良好条件。

乌尉高速全线共设置隧道20座、桥梁117座，桥隧比达到40.37%，其通车将意味着南北疆交通屏障完全被打破。

走天山，独库公路、巴里坤至哈密公路、乌尉高速公路分卧西、东、中三线，物畅其流的通衢大道让丝绸古道焕新颜；越沙漠，和若铁路自2018年底正式开工建设到正式通车仅用时三年多，建设跑出加速度，铁路在塔克拉玛干沙漠“画”了一个圈。

吉林省通化市梅河口市第五中学2022-2023学年高三上学期12月月考语文试题+PDF版含答案

梅河口市第五中学2022—2023学年度上学期12月月考高三语文试卷说明：满分150分，时间150分钟。

一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读Ⅰ（本题共5小题，19分）材料一：现文学、杂文、随笔等分别独立。

“抒情散文”成为散文的核心部分，并得到了散文创作者及研究者的广泛认可。

散文和诗歌被等同视为抒情文学品类，情感性成为散文首要的审美要素。

但是，过分倚重抒情也受到了质疑。

作家汪曾祺曾经写道：“二三十年来的散文的一个特点，是过分重视抒情。

似乎散文可以分为两大类：抒情散文和非抒情散文。

即使是非抒情散文中，也多少要有点抒情成分，似乎非如此即不足以称散文。

散文的天地本来很广阔，因为强调抒情，反而把散文的范围弄得狭窄。

”这个观点富有代表性，即散文世界欠缺进一步开掘，需要在通过写人记事、写景咏物表现情感、情趣、意境之外，获得更开阔的空间。

情感是散文的根本性要素，可是个体对于世界的经历、体验仅仅依存于抒情表达，难以得到更深入的开掘。

一些散文理论家从纵深方向探讨散文的可能。

刘锡庆将散文中的自我划分为五个层次，即“现实生活层”“情感层”“性灵层”“心灵层”“生命体验层”等。

楼肇明则提出“复调散文”理论，认为散文表现的维度应该更丰富、复杂。

新时期至今，散文创作总体上逐步摆脱过度抒情的弊病，在题材内容的选择与艺术技巧的运用上不断拓展，经历了“独语体”散文重现、文化散文繁荣，还出现“新散文”“在场主义散文”“非虚构文学”等或长或短的创作潮流。

不过，散文终究还是散文，与小说、诗歌、戏剧有别，缺少个性情感精神透视的文化历史属于学术专著，读者期待的仍然是从传统出发的散文精品，优秀的散文还需要建立在精神深度与艺术妥帖上。

与虚构文学不同，散文来自作者对日常生活的审美体验，作为自我的精神产品，打动读者的不是求新、猎奇，而是内在的生命意蕴，即对生命的价值与意义、生活诗意的准确把握。

美国作家梭罗的《瓦尔登湖》为何经典？就在于作家在对自我生活细节进行全方位展示过程中，贯穿着完整的生态主义理念。

2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三年级上册学期12月月考数学试题【含答案】

2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}32A x x =-≤≤，{}2230B x x x =+-≤，则()RAB =（）A ．(]1,2B ．[]1,2C ．[)3,1-D ．[]3,1-【答案】A【分析】求出集合B ，用补集和交集的运算性质计算即可.【详解】因为集合{}{}223031B x x x x x =+-≤=-≤≤，所以{}31R B x x x =-或．又{}32A x x =-≤≤，所以(){}12R A B x x ⋂=<≤．故选：A ．2．设函数()2log f x x =，若13log 2a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5log 2b f =，()0.2C f e =，则a ，b ，c 的大小为（）A ．b a c <<B ．c<a<bC ．b<c<aD ．a b c <<【答案】A【分析】由题可得()f x 为偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，由此可得3(log 2)a f =，然后利用对数函数和指数函数的性质比较0.253log 2,log 2,e 的大小，从而可比较出a ，b ，c 的大小【详解】解：因为22()log log ()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，所以1333(lo lo g 2)(log 22)g a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，当0x >时，2(x)log f x =在(0,)+∞上为增函数，因为530log 2log 21<<<，0.201e e >=，所以0.2530log 2log 2e <<<，因为()f x 在(0,)+∞上为增函数，所以0.253(log 2)(log 2)()f f f e <<，所以b a c <<，故选：A【点睛】此题考查对数函数和指数函数的性质，考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查转化能力，属于基础题.3．已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且()()e xf xg x +=，若关于x 的不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln3上恒成立，则正实数a 的取值范围是（）A ．15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．40,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．400,9⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．150,8⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】由奇偶性求得()f x ，()g x ，化简不等式，并用分离参数法变形为()()24e e eex x xx a --+≤-，设e e x x t -+=，换元后利用函数的单调性求得不等式右边的取值范围，从而可得a 的范围．【详解】解：已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，则()()()(),f x f x g x g x =-=--，又()()e x f x g x +=①，则()()()()e e x xf xg x f x g x ---+-=⇒-=②，由①②可得()()e e e e ,22x x x xf xg x --+-==，则不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln3上恒成立，转化为：()2e e e e 04x xx x a ---+-≥在()0,ln3上恒成立，因为()0,ln3x ∈，所以e e 0x x -->，即()()()()224e e 4e e e e e e 4x xxxx xxxa ----++≤=-+-，令e e x x t -+=，则24444t a t t t≤=--，e e x x t -=+，()0,ln3x ∈，则e e 0x x t -'=->，e e x x t -=+在()0,ln3上是增函数，102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又4y t t =-在102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时是增函数，所以432015t t <-<，则41548t t >-，又()()24e e ee x x xx a --+≤-在()0,ln3x ∈上恒成立，则158a ≤．则正实数a 的取值范围是150,8⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D ．4．函数()(1)ln 1f x x x =+-的大致图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】由1()02f ->排除两个选项，再由2x >时，()0f x >排除一个选项后可得正确选项．【详解】∵()(1)ln 1f x x x =+-，所以113()ln 0222f -=>，故排除C ，D ，当2x >时，()(1)ln(1)0f x x x =+->恒成立，排除A ，故选：B ．5．已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，4x π=-是函数的一个零点，且4x π=是其图象的一条对称轴.若,96ππ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个单调区间，则ω的最大值为A ．18B ．17C ．15D ．13【答案】D【分析】由已知可得()221T k Z k π=∈+，结合2T πω=，得到21k ω=+（k Z ∈），再由96ππ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的一个单调区间，可得1692ππ-≤T ，即9T π≥，进一步得到8.5k ≤，然后对k 逐一取值，分类求解得答案．【详解】由题意，得()1+42442k T k Z πππ⎛⎫⎛⎫=--=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()221T k Z k π=∈+，又2T πω=，∴21k ω=+（k Z ∈）．∵96ππ⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的一个单调区间，∴1692ππ-≤T ，即9T π≥，∵221T k π=+，∴2118k +≤，即8.5k ≤．①当8k =，即17ω=时，174k πϕπ-+=，k Z ∈，∴174k πϕπ=+，k Z ∈，∵||2ϕπ<，∴4πϕ=，此时()sin 174A x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调，∴17ω=不符合题意； ②当7k =，即15ω=时，154k πϕπ-+=，k Z ∈，∴154k ϕππ=+，k Z ∈， ∵||2ϕπ<，∴4πϕ=-，此时()sin 154A x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上不单调，∴15ω=不符合题意； ③当6k =，即13ω=时，134k πϕπ-+=，k Z ∈，∴134k ϕππ=+，k Z ∈． ∵||2ϕπ<，∴4πϕ=，此时()sin 134A x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在96ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，∴13ω=符合题意，故选D ．【点睛】本题主要考查正弦型函数的单调性，ω对周期的影响，零点与对称轴之间的距离与周期的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，结合选项逐步对系数进行讨论是解决该题的关键，属于中档题.6．如图所示，平面向量OA ，OB 的夹角为60°，22OB OA ==，点P 关于点A 的对称点Q ，点Q 关于点B 的对称点为点R ，则PR 为（）A 3B ．3C ．4D ．无法确定【答案】B【分析】首先根据条件转化向量()2PR OB OA =-，再利用向量数量积求模. 【详解】()()222PR QR QP QB QA AB OB OA =-=-==-，()2222222PR OB OA OB OAOB OA OB OA ∴=-=-=+-⋅241221cos60=+-⨯⨯⨯3=.故选：B7．在等差数列{}n a 中，12022a =-，其前n 项和为n S ，若1082108S S -=，则2022S =（） A ．2021 B ．-2021C ．-2022D ．2022【答案】C【分析】由等差数列前n 项和公式可得数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，根据1082108S S -=可得公差为1，即可求解20222022S的值，即可得出结论.【详解】解：因为数列{}n a 为等差数列，故1()2n n n a a S +=，则12n n S a an +=，当2n ≥时，11112n n S a a n --+=-，则111111222n n n n n n S S a a a a a an n ---++--=-=-，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ．又10822108S S d -==，即1d =，又1120221S a ==-，所以()202212023n S n n n =-+-=-+，所以20222023202212022S=-+=-，即20222022S =-．故选：C.8．已知函数()f x 是定义在R 上的可导函数，对于任意的实数x ，都有()()2e xf x f x -=，当0x >时，()()0f x f x +'>，若()()1e 212a f a f a -+≥+，则实数a 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．][(),11,-∞-⋃+∞D ．][(),22,∞∞--⋃+【答案】C【分析】令()()e x g x f x =，根据()()2e xf x f x -=，可得()()g x g x -=，即()g x 为偶函数，再根据当0x >时，()()0f x f x +'>，利用导数判断函数()g x 在()0,∞+上得单调性，再根据()()1e 212a f a f a -+≥+，即()()212e21e 2a a f a f a +++≥+，即()()212g a g a +≥+，再根据函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为()()2e xf x f x -=，所以()()()e e ex x xf x f x f x --==-，令()()e xg x f x =，则()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，当0x >时，()()0f x f x +'>，所以()()()e 0xg x f x f x ''=+>⎡⎤⎣⎦，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，根据偶函数对称区间上单调性相反的性质可知()g x 在(),0∞-上单调递减，因为()()1e212a f a f a -+≥+，所以()()212e21e 2a a f a f a +++≥+，所以()()212g a g a +≥+，即212a a +≥+，解得1a ≤-或1a ≥. 故选：C.【点睛】本题重点考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，关键在于构造正确的函数，考查了利用导数判断函数在区间上的单调性，考查了数据分析能力，有一定的难度.二、多选题9．已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①x ∀∈R ，()()f x f x -=；②m ∀，()0,n ∈+∞，当m n ≠时，都有()()0f m f n m n-<-；③()10f -=.则下列选项成立的是（）A ．()()34f f >-B ．若()()12f m f -<，则()3,m ∈+∞C ．若()0f x x<，()()1,01,x ∈-⋃+∞ D ．x ∀∈R ，∃∈M R ，使得()f x M ≤【答案】ACD【分析】根据条件判断函数的奇偶性、单调性，对于A ，根据函数性质比较函数值大小；对于B ，()()12f m f -<，等价于12m ->，求得参数范围；对于C ，若()0f x x<，分类讨论求得不等式解集；对于D ，根据函数的性质知，函数存在最大值()0f ，从而满足条件.【详解】由①知函数()f x 为偶函数；由②知，函数()f x 在()0,x ∈+∞上单调递减；则函数()f x 在(),0x ∈-∞上单调递增；对于A ，()()3(3)4f f f =->-，故A 正确；对于B ，()()12f m f -<，则12m ->，解得()(,3,1)m ∈⋃-∞-+∞，故B 错误；对于C ，若()0f x x<，由题知()1(1)0f f -==，则当0x >时，()0f x <，解得1x >；当0x <时，()0f x >，解得10x -<<，故C 正确；对于D ，根据函数单调性及函数在R 上的图形连续知，函数存在最大值()0f ，则只需()0M f ≥，即可满足条件，故D 正确；故选：ACD10．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法正确的有（）A ．166AC =B ．BD ⊥平面1ACCC ．向量1AA 与1B C 的夹角是60°D ．直线1BD 与AC 6【答案】ABD【分析】利用空间向量法，根据空间向量的线性运算和数量积运算，及线面垂直的判定定理逐项分析即得.【详解】以{}1,,AB AD AA 为空间一组基底，则11AC AB AD AA =++， ()2211AC AB AD AA =++()2221112AB AD AA AB AD AD AA AB AA =+++⋅+⋅+⋅()3636362366cos60216=+++⨯⨯⨯︒=，所以166AC =A 选项正确；由题可知四边形ABCD 是菱形，所以⊥BD AC ，又BD AD AB =-，()1111BD CC AD AB AA AD AA AB AA ⋅=-⋅=⋅-⋅66cos6066cos600=⨯⨯︒-⨯⨯︒=，所以1BD CC ⊥，即1BD CC ⊥，由于1AC CC C ⋂=，AC ⊂平面1ACC ，1CC ⊂平面1ACC ，所以BD ⊥平面1ACC ，B 选项正确；由题可知1BB 与1B C 的夹角为120，也即1B C 与1AA 的夹角为120，C 选项错误；111BD AD AB AD AA AB =-=+-，()()22222111112BD AD AA ABAD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅()363636266cos6066cos6066cos6072=+++⨯⨯⨯︒-⨯⨯︒-⨯⨯︒=，所以162BD =AC AB AD =+，()2222236266cos 6036108AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=+⨯⨯⨯︒+=，所以63AC =()()11BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+11AD AB AA AB AB AB AD AD AA AD AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅ 266cos6036=⨯⨯⨯︒=，设直线1BD 与直线AC 所成角为θ，则111cos cos ,6BDAC BD AC BD ACθ⋅===⋅D 选项正确. 故选：ABD.11．关于函数()cos 2cos f x x x x =-⋅，则下列命题正确的是（） A ．存在1x 、2x 使得当12x x π-=时，12()()f x f x =成立 B ．()f x 在区间[]63ππ-，上单调递增C ．函数()f x 的图象关于点(0)12π，中心对称 D ．将函数()f x 的图象向左平移512π个单位长度后与()2sin 2g x x =的图象重合. 【答案】AC【分析】化简f (x )的解析式，利用余弦型或正弦型函数的图像与性质即可逐项判断﹒【详解】()cos 2cos cos 222cos(2)3f x x x x x x x π=-⋅==+，A 选项，周期为22ππ=，根据f (x )图像的对称性知存在1x 、2x 使得当12x x π-=时，12()()f x f x =成立，A 对；B 选项，[],20,,2cos 633x x y t ππππ⎡⎤∈-⇒+∈=⎢⎥⎣⎦在[]0,t π∈上单调递减，故()f x 在区间[]63ππ-，上单调递减，B 错；C 选项，因为()2cos(2)012123f πππ=⨯+=，所以函数()f x 的图象关于点(0)12π，中心对称，C 对； D 选项，()f x 的图象向左平移512π个单位长度后为()52cos 22sin 22sin21233h x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 错；故选：AC.12．树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第()*,2n n n ∈N 天募得的捐款数为1180012n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭元.若甲小组前n 天募得捐款数累计为n S 元，乙小组前n 天募得捐款数累计为n T 元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（） A ．66S T >B ．甲小组募得捐款为9550元C ．从第7天起，总有n n S T <D ．121800800,2142n n nT n n --=+⋅≤≤且*n ∈N 【答案】AC【分析】利用等差数列求和公式求出甲小组两周的募捐的钱数，得到B 错误；利用等比数列求和公式及分组求和，得到乙小组两周募捐的钱数，得到D 错误；计算出66,S T ，比较得到大小；令21800252254002n n n n C T S n n -=-=--+，先计算出70C >，再结合数列单调性得到答案. 【详解】由题可知114n ≤≤且*n ∈N ，设n a 代表第n 天甲小组募得捐款，且0n a >，对于甲小组，11000,50a d ==-，所以()115010500n a a n d n =+-=-+>，所以120n ≤≤，所以()12251025,142n n n a a S n n n +==-+且*n ∈N ，所以149450S =，故选项B 不正确；设n b 代表第n 天乙小组募得捐款，由题可知，11000,118001,22n n n b n -=⎧⎪=⎨⎛⎫⋅+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以12321600111400800180018001222n n n T b b b b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()231111140080018002222n n -⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭，*1800800400,22,14n n n n -=+-∈≤≤N ，故选项D 错误；因为6665250,5175S T S ==<，故该选项A 正确；选项C ，令21800252254002n n n n C T S n n -=-=--+，所以737.50C =>，而当7n ≥时，18005020002n n n C C n +-=+->，所以数列{}n C 为递增数列，因此0n n S T -<，所以n n S T <，故选项C 正确. 故选：AC三、填空题13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2021年为3000万吨，2022年增长率约为50％.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从______年开始，快递业产生的包装垃圾超过30000万吨.（参考数据：lg20.3010≈，lg30.4771≈）【答案】2027【分析】n 年后产生的垃圾为()3000150%n⨯+，得到不等式()3000150%30000n⨯+>，解得答案. 【详解】n 年后产生的垃圾为()3000150%n ⨯+，故()3000150%30000n⨯+>，即3102n⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()lg3lg21n ->，即1 5.68lg 3lg 2n >≈-，故6n ≥，故2027年开始快递业产生的包装垃圾超过30000万吨. 故答案为：202714．在三角形ABC 中，已知1tan 2A =，1tan 3B =，若2sin()sin()sin cos x A x B C x ++=，则tan x 的值为__________．【答案】43-或12【分析】由tan 12A =，1tan 3B =解出A ，B ，C 的正余弦值，将等式化简后代入，解出tan x . 【详解】因为tan 12A =，1tan 3B =，A ，()0,πB ∈，所以5sin 5A =，5cos 52A =，10sin 10B =，310cos 10B =，2sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+=． ()()()()22sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos x A x B x A x A x B x B C xx++++==，即()()25102sin cos 3sin cos 2510cos 2x x x x x ⨯++=，所以()()2tan 13tan 15x x ++=，解得4tan 3x =-或1tan 2x =.故答案为：43-或12．15．如图所示，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ､B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是___________【答案】2-【分析】由向量的线性运算得2PA PB PO +=，因此()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅，只要求得PO PC ⋅的最大值即可，这可由基本不等式得结论．【详解】解：因为O 为AB 的中点，所以2PA PB PO +=，从而()22PA PB PC PO PC PO PC +⋅=⋅=-⋅.又2PO PC OC +==为定值，再根据2()12PO PCPO PC +⋅≤=，可得22PO PC -⋅≥-，所以当且仅当1PO PC ==时，即P 为OC 的中点时，等号成立，()PA PB PC +⋅取得最小值是2-，故答案为：2-. 16．若函数()21ln 2f x x ax x =-+存在平行于x 轴的切线，则实数a 取值范围是______. 【答案】[)2,+∞【分析】求出导函数，只需()0f x '=有正解，分离参数可得1a x x=+，利用基本不等式即可求解. 【详解】函数定义域为()0,∞+，导函数为()1f x x a x'=-+，使得存在垂直于y 轴的切线，即()0f x '=有正解，可得1a x x=+有解，因为0x >，所以12a x x =+≥，当且仅当“1x x=，即1x =”时等号成立，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞ 故答案为：[)2,+∞四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1126sin sin A B +=3C π=，6c =. (1)求证：2a b +=； (2)求ABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2)33【分析】（1）由已知条件结合正弦定理可得sin A =sin B =再由11sin sin A B+=11a b += （2）由余弦定理结合（1）的结论可求得12ab =，从而可求出三角形的面积【详解】（1）证明：3C π=，6c =，所以sin cC=根据正弦定理得sin A =sin B =，又11sin sin A B+=所以11a b +=2a b +=（2）由余弦定理得()2222222cos 3c a b ab C a b ab a b ab =+-=+-=+-，由（1），得a b +=，结合6c =可得()26720ab ab --=. 即()()1260ab ab -+=，解得12ab =或6ab =- （舍去），所以1sin 2ABCSab C ==18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n n S a n =+. （1）证明：{}1n a -为等比数列；（2）设1n n b =-，若不等式12233411111n n t b b b b b b b b ++++⋅⋅⋅+<对*n N ∀∈恒成立，求t 的最小值. 【答案】（1）见解析（2）14【解析】(1)利用1n n n a S S -=-得到1,n n a a -的递推公式再构造数列证明即可.(2)根据(1)可求得12nn a =-,进而求得2n b n =,再用裂项求和求解12231111n n b b b b b b +++⋅⋅⋅+进而求得t 的最小值【详解】解：（1）11221n n n n n a S S a a --=-=--()1121(2)n n a a n -⇒-=-≥, 故{}1n a -为等比数列.（2）令1n =,则有111211S a a =+⇒=-, 所以()111122n n n a a --=-⋅=-,所以12n n a =-,令122n n n b n =-==,令1111141n n n c b b n n +⎛⎫==- ⎪+⎝⎭, 所以122311*********...412231n n b b b b b b n n +⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-++- ⎪+⎝⎭()111111414414n n ⎛⎫=-=-< ⎪++⎝⎭.所以14t ≥. 故t 的最小值为14.【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等比数列的方法,同时也考查了裂项相消求和的方法与不等式的范围问题,属于中等题型.19．第二届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒x 万箱且全部售完，每万箱的销售收入为()H x 万元，2803,020,()3000(2)90,20.(1)x x H x x x x x -<≤⎧⎪=-⎨+>⎪+⎩(1)写出年利润()M x （万元）关于年产是x （万箱）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)()()2318040,020300021040,201x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩(2)年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元【分析】（1）分020x <≤和20x >两种情况讨论，根据利润=销售收入-成本得到函数解析式；（2）根据二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.【详解】（1）解：当020x <≤时，()()2280340100318040M x x x x x x =---=-+-，当20x >时，()()()()()30002300029010040104011x x M x x x x x x x ⎡⎤--=+--=-+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，故()()2318040,020300021040,201x x x M x x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+->⎪+⎩；（2）解：当020x <≤时，()223180403(30)2660M x x x x =-+-=--+，对称轴为30x =，开口向下，故()max ()202360M x M ==，当20x >时，()()()3000210401x M x x x -=-+-+()()300013 10401x x x +-=-+-+90001029601x x =--++ ()900010129701x x =-+-++ ()90002101297023701x x ≤-+⋅+=+，当且仅当()90001011x x +=+，即29x =时，等号成立，因为 23702360>，所以当29x =时，利润最大，最大值为2370万元，故年产量为29万箱时，该公司利润最大，最大利润为2370万元.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，且22AB AD ==，2PA =，3PAB PAD π∠=∠=．(1)求线段PC 的长度；(2)求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值； (3)若E 为AB 的中点，证明：PA ED ⊥．【答案】3215(3)证明见解析【分析】（1）由已知角的三边作为空间向量的一组基底，由基底表示PC 再进行模长计算即可；（2）由基底表示PC 、BD ，再代入向量夹角公式计算即可；（3）由()AP DE AP AE AD ⋅=⋅-计算即可得结果. 【详解】（1）因为PC PA AC PA AB AD =+=++，所以222222244122213PC PA AB AD PA AB PA AD AB AD =+++⋅+⋅+⋅=++-⨯-⨯=， ∴||3PC =，所以线段PC（2）∵()()PC BD PA AB AD AD AB ⋅=++⋅-PA AD AB AB AD AD PA AB AB AD AD AB=⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅111222112200222=-⨯⨯-⨯+⨯+⨯⨯+-=-，||5BD =，∴cos ,3PC BD PC BD PC BD⋅-<>===⋅故异面直线PC 与BD . （3）因为E 为AB 的中点，所以AD AE =，又∵()AP DE AP AE AD AP AE AP AD ⋅=⋅-=⋅-⋅112121022=⨯⨯-⨯⨯=，∴AP DE ⊥，即PA ED ⊥． 21．已知向量()()23cos ,1,sin ,cos (0)m x n x x ωωωω=-=>，函数()f x m n =⋅图象相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求()f x 的解析式；（2）若07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且()012f x =，求0cos2x 的值.【答案】（1）1()sin(2)62f x x π=--；（2）【分析】（1）由题知，根据向量数量积运算求得()23cos sin cos f x m n x x x ωωω=⋅=-，化简，由条件22T ππω==求得参数1ω=，从而写出解析式.（2）由()012f x =得0sin(2)6x π-=，根据角的范围求得0cos(2)6x π-，从而有0000cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666cos2x x x x ππππππ=-+=---，求得结果.【详解】（1）由题知，()23cos sin cos f x m n x x x ωωω=⋅=-1cos 212sin(2)262x x x ωπωω+=-=--，又函数相邻两条对称轴之间的距离为2π.即22T ππω==，则1ω=，1()sin(2)62f x x π=--（2）由题知，0011()sin(2)622f x x π=--=，则0sin(2)6x π-=07,412x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则02,63x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当02,632x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时，0)6sin(2x π-∈，而0sin(2)6x π-=，因此02,62x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，此时0cos(2)6x π-= 则0000cos(2)cos(2)cos sin(2)sin 666666cos2x x x x ππππππ=-+=---12==22．已知函数()()1ln R f x x a ax=+∈在1x =处的切线与直线210x y -+=平行.(1)求实数a 的值，并判断函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x m =有两个零点12x x ，，且12x x <，求证：121x x +>.【答案】(1)=2a ，()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减，()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增；(2)证明见解析【分析】（1）求导函数，利用导数的几何意义求出a ，然后分析导函数的符号得出函数()f x 的单调性；（2）由已知得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=，两式相减，得121211ln ln 022x x x x -+-=，即有1212122ln x x x x x x -=，令12,x t x =构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，求导函数，分析导函数的符号，得出函数()h t 的单调性和范围可得证.【详解】（1）函数()f x 的定义域：()0,∞+，由()1ln f x x ax =+可得()211f x x ax'=-，所以由题意可得()11112f a=-='，解得=2a ， ()1ln 2f x x x∴=+， ()22112122x f x x x x -'∴=-=，令()0f x '<，解得102x <<，故()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减；令0fx，解得12x >，故()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是单调递增；（2）由12,x x 为函数()f x m =的两个零点，得121211ln ,ln 22x m x m x x +=+=，两式相减，可得121211ln ln 022x x x x -+-=即112212ln 2x x x x x x -=，1212122ln x x x x x x -=，因此1211212ln x x x x x -=，2121212lnx x x x x -=，令12x t x =，由12x x <，得01t <<，则121111+=2ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=，构造函数()()12ln 01h t t t t t =--<<，则()()22211210t h t t t t-=+-=>'，所以函数()h t 在()0,1上单调递增，故()()1h t h <，即12ln 0t t t--<，可知112ln t t t->，故命题121x x +>得证【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，用导数证明有关函数零点的不等式，解题思路是对两个零点120x x <<，引入参数1201x t x <=<，把有关12,x x 的表达式表示为t 的函数，然后再由导数研究新函数得证结论。

福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题(解析版)

福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（） A ．16k ≥B ．16k >C ．8k ≥D ．8k >2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（） A ．23B ．233πC ．23π D ．32π 3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（） A ．2B ．3C ．2D ．35．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（） A ．3B ．4C ．5D ．66．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（）A ．3B ．32C ．1D ．137．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（） A ．a c b c +≥+B ．-≤-a bC ．22a b ≥D ．2211ab ba ≥10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（）A ．16B ．56C ．13D ．2311．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π412．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（）A ．0.5B ．1C ．2D ．3三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________．14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________. 四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ．18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>2过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △2(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A(),A B(),B A(),B B甲30天20天40天10天假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >．福建省南安名校2023届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有2个元素，则（） A ．16k ≥ B ．16k > C ．8k ≥ D ．8k >【答案】D【分析】由于集合A 中至少有2个元素，所以2log 3k >,从而可求出k 的取值范围【详解】解：因为集合A 中至少有2个元素，所以2log 3k >，解得8k >，故选：D2．已知圆锥的轴截面是一个正三角形，则其侧面积与轴截面面积之比是（）A ．23B C D 【答案】B【分析】分别计算侧面积和面积作比即可. 【详解】设底面圆的半径为r ，则母线长为2r ，得侧面积是212222r r r ππ⨯⨯=轴截面是一个正三角形，边长为2r ，则其面积2122sin6032r r r ⨯⨯⨯= .故选：B3．“函数tan y x =的图象关于0(,0)x 中心对称”是“0sin 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分别求出tan y x =与sin y x =的对称中心，比较两个中心关系.【详解】tan y x =的对称中心为(π,0),Z 2kk ∈，sin y x =的对称中心为(π,0),Z k k ∈，tan y x=的对称中心不一定为sin y x =的对称中心；sin y x =的对称中心一定为tan y x =的对称中心. 故选：B ．4．若()()2i 2i 1z z -+=，则z 的最大值为（）A B C ．2 D ．3【答案】D【分析】根据题意结合共轭复数的概念运算整理的()2221b a -=+，即复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上，根据圆的性质求z 的最大值.【详解】设()=+i,,R z a b a b ∈，则()()2i=+2i,+2i=2i z a b z a b ----∵()()()()()222i 2i =2i 2i 21a b a b b z z a +----=⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦+⎦⎣-∴复数z 对应的点(),a b 在圆()2221x y +-=上圆()2221x y +-=的圆心()0,2C ，半径=1r ，则z 的最大值为3OC r +=，其中O 为复平面的坐标原点故选:D.5．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 均为递增数列，且121a b ==，26a b =，若10k a b =，则k 的最小值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得3k d =+，由0d >，即可得k 的最小值. 【详解】设等差数列{}n a 公差为d ，等比数列{}n b 公比为q ，则0d >，1q >，因为121a b ==，26a b =，所以41d q +=①，而10k a b =，所以81(1)k d q +-=②，由①②得：2(1)1(1)d k d +=+-，即3k d =+，0d >，k *∈N ，所以k 的最小值为4. 故选：B6．在ABC 中，点P 满足2BP PC =，过点P 的直线与AB ，AC 所在的直线分别交于点M ，N ，若AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，则2x y +的最小值为（）A ．3B ．32C ．1D ．13【答案】A【分析】由向量加减的几何意义可得233AB ACAP =+，结合已知有233AM AN AP x y =+，根据三点共线知21133x y+=，应用基本不等式“1”的代换即可求最值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，如下图示：23333BC AC AB AB ACAP AB BP AB AB -=+=+=+=+，又AM x AB =，()0,0AN yAC x y =>>，∴233AM AN AP x y=+，由,,M P N 三点共线，有21133x y +=， ∴21522522)23333333323(2)(x y x yx y y x x xy y y x +=+=⋅++≥++，当且仅当x y =时等号成立. 故选：A【点睛】关键点点睛：利用向量线性运算的几何表示，得到AP 、AM 、AN 的线性关系，根据三点共线有21133x y+=，再结合基本不等式求最值. 7．下图中的多边形均为正多边形，M ，N 是所在边的中点，双曲线均以1F ，2F 为焦点，且经过M ，N 两点．设图1，图2，图3中双曲线的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则（）A ．123e e e >>B ．213e e e >>C ．321e e e >>D ．132e e e >>【答案】A【分析】由双曲线定义有122F F c =、122F N F N a -=，结合正多边形的性质求得12F N F N -关于c 的表达式，即可求各图对应双曲线的离心率.【详解】在图1中，122F F c =，又122(31)F N F N a c -==，则1232e =-在图2中，122F F c =，221210(2)2F N c c ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，22F N =， 121022F N F N a --==，则2102e =-．在图3中，122F F c =，212F N c =，由余弦定理得：2211221222cos 60F N F F F N F F F N =+-︒13=，121312F N F N a --==，则3131e =-．因为232102131<，所以123e e e >>．故选：A8．已知函数2()ln f x x x ax =+-有两个极值点m ，n ，且[1,2]m ∈，则()()f m f n -的最大值为（）A ．2ln 23-B ．2ln 23-C ．3ln 24-D ．3ln 24-【答案】C【分析】对()f x 求导得()f x '，得到m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系可得m ，n 的关系，然后构造函数，利用导数求单调性，进而得最值.【详解】由2()ln f x x x ax =+-得：2121()2x ax f x x a x x-+=+-=' m ，n 是2210x ax -+=两个根，由根与系数的关系得：1,22a m n mn +==，故12n m=22222221()()ln ln lnln 24m f m f n m m am n n an m n m m n m-=+---+=-+=+-，令[]2,1,4x m x =∈记[]1()ln 2,1,44g x x x x x =+-∈，则()222222111414()10444x x x g x x x x x----'=--==<，故()g x 在[]1,4x ∈上单调递减. ()()max 311n24g x g ==-故选：C二、多选题9．已知a ，b ，c 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论正确的有（） A ．a c b c +≥+ B ．-≤-a b C ．22a b ≥ D ．2211ab ba ≥ 【答案】ABD【解析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例．【详解】因为0a b -≥，所以a b ≥.根据不等式的性质可知A ，B 正确；因为a ，b 的符号不确定，所以C 不正确； 2222110a b ab ba a b --=≥. 可得2211ab ba ≥，所以D 正确. 故选：ABD ．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．10．设0ω>，函数()cos f x x x ωω=+在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有零点，则ω的值可以是（）A ．16B ．56C ．13D ．23【答案】BCD【分析】由题得()2sin 6πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ，令6x k πωπ-=，求出,6k x ππωω=+解不等式062ππω<得解.【详解】由题得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭，令6x k πωπ-=，解得,06k x ππωωω=+>，取k ＝0， 062ππω∴<，即13ω．故选：BCD11．四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，分别沿AE 、AF 及EF 所在直线把AEB △、AFD △和EFC 折起，使B 、C 、D 三点重合于点P ，得到三棱锥P AEF -，则下列结论中正确的有（）． A ．三棱锥P AEF -的体积为23B ．平面APF ⊥平面EPFC ．三棱锥中无公共端点的两条棱称为对棱，则三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直D ．若M 为AF 的中点，则过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4【答案】BCD【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明PA ⊥平面EFP ，根据面面垂直判定定理证明平面APF ⊥平面EPF ，判断B ，根据锥体体积公式求三棱锥P AEF -的体积判断A ，由线面垂直的性质判断C ，由球的截面的性质判断D.【详解】由已知22215F AE A =+22112=+=EF 翻折前AB BE ⊥，CE CF ⊥，AD DF ⊥，翻折后，则有PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF ⊥，因为PA PE ⊥，PA PF ⊥，PE PF P =，,PE PF ⊂平面EFP ，所以PA ⊥平面EFP ，因为PA ⊥平面EFP ，PE PF ⊥，又1PE PF ==，2PA =，所以111123323P AEF A EFP EFPV V SAP --==⨯⨯=⨯⨯=，A 错误，因为PA ⊥平面EFP ，又PA ⊂平面APF ，所以平面APF ⊥平面EPF ，B 正确，因为PA ⊥平面EFP ，EF ⊂平面EFP ，所以PA EF ⊥，因为PA PF ⊥，PE PF ⊥，PA PE P =，,PE PA ⊂平面PAE ，所以PF ⊥平面PAE ，又AE ⊂平面PAE ，所以PF ⊥AE ，同理可证PE AF ⊥，所以三棱锥P AEF -中有三组对棱相互垂直，C 正确，将三棱锥P AEF -补成长方体PEQA FGNH -，则三棱锥P AEF -的外接球球心O 为体对角线PN 的中点，且2226PN PE PF PA =++O 的半径为6R =，所以，过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球所得截面圆的半径设为r ，设球心O 到截面圆的距离为d ，则0d OM ≤≤， O 、M 分别为PN 、PH 的中点，则1122OM HN ==，则102d ≤≤，又22r R d -12d =时，2r 取最小值54，所以过点M 的平面截三棱锥P AEF -的外接球，所得截面的面积的最小值为5π4，D 正确，故选：BCD.12．已知实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，则a b -可能等于（）A ．0.5B ．1C ．2D ．3【答案】AB【分析】问题可转化为,a b 是()ln xf x x=大于2的两个不同零点，利用导数研究单调性并作出图象，结合图象即可求解【详解】因为实数2a >，2b >，且a b ，若b a a b =，所以ln ln b a a b =，即ln ln b a a b =，所以ln ln a ba b=，令()ln xf x x=，()21ln xf x x -'=，令0f x解得0e x <<，令()0f x '<解得e x >，所以()f x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞上单调递减，作出()ln xf x x=的图象如下：2a >，2b >，不妨设a b >，()()()()ln 2ln 4ln 22,4,24242f f f f ====，由图象可知：e 4a <<，2e b <<，且422a b -<-=，所以AB 正确，CD 错误；故选：AB三、填空题13．同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线的斜截式方程为________．【答案】2y x =【分析】求出两圆圆心坐标，过两圆圆心的直线即为所求直线. 【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0，圆22240x y x y +--=化为标准方程为：()()22125x y -+-=，其圆心为()1,2，同时将圆221x y +=和22240x y x y +--=的面积平分的直线过两圆圆心，所以所求直线方程为()200010y x --=--，即2y x =. 故答案为：2y x =.14．12233445555555C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998C 0.998++++≈_______（精确到0.01）【答案】30.84【分析】先利用二项式定理将原式化为5(10.998)1+-，再变形为5(20.002)1--，利用二项式定理展开，并近似计算．【详解】原式55(10.998)1(20.002)1=+-=--32051423255555555344C 2C 20.002C 20.002C 20.002C 20.002C 0.0021=-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯-320.16130.84≈--=故答案为：30.84．15．已知定义R 上的函数()f x 满足()()()63f x f x f =-+，又()πf x +的图象关于点()π,0-对称，且()12022f =，则()2023f =______ 【答案】2022-【分析】根据()πf x +的图象关于点()π,0-对称判断函数为奇函数，再赋值法确定()3f 的值，进而得到函数是周期函数，找出()2023f 与()1f 的关系可得答案.【详解】()πf x +的图象关于点()π,0-对称，所以()f x 的图象关于点()0,0对称，即()f x 为奇函数，在()()()63f x f x f =-+中，()()()()36333=0f f f f =-+∴，，所以()()6f x f x =-，又()(),f x f x =--∴()()6f x f x --=-,()()6,f x f x ∴-=+()()()()612,12f x f x f x f x ∴-+=+∴=+，所以()f x 是12T =的周期函数，()()()()()202312168776112022.f f f f f =⨯+==+=-=- 故答案为：2022-16．已知抛物线2:4C y x =，点()1,2P ，,,,A B M N 是抛物线C 上的四个动点，过点P 作分别作AB ，MN 的垂线，垂足分别为E ，F ，2PA PB PM PN k k k k +=+= ,则点E F ､距离的最大值为__________.【答案】【分析】设直线AB ，MN 的方程，与抛物线方程联立，运用韦达定理证明直线AB ，MN 是过定点的，运用几何意义即可求解.【详解】设直线AB 的方程为221212,,,,44y y x my n A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将x my n =+代入24y x =中有2440y my n --= ，故12124,4y y m y y n +==-，又1244,22PA PB k k y y ==++，所以()()()121212124441442224212PA PB y y m k k y y y y y y m n++++=+===++++++-，解得1n =-，故直线AB 过定点()1,0Q -.因此点E 在以PQ 为直径的圆上，同理点F 在以PQ 为直径的圆上.PQ =；故点E F ､距离的最大值为圆的直径故答案为：四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2sin sin sin()A C B A =+-． (1)证明：cos a A b=； (2)若2b ac =，求cos B ．【答案】(1)证明见解析..【分析】（1）将2sin sin sin()A C B A =+-化为2sin sin()sin()A B A B A =++-，利用两角和的正弦公式化简，结合正弦定理角化边，即可证明结论;（2）利用（1）的结论和题设，结合余弦定理可推出a c =，再用222cos 2a c b B ac +-=化简求值，可得答案.【详解】（1）由题意知，2sin sin()sin()A B A B A =++-，所以2sin sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B A =++-，所以2sin 2sin cos A B A =，而(0,π),sin 0B B ∈≠ ，结合正弦定理，所以sin cos sin A aA B b==. （2）由（1）知：222cos 2a b c a A b bc+-==, 所以222ac ac c a =+-，即220a c ac -+=，所以2210a ac c+-=解得a c =（舍）,所以2222211cos 11)2222a c b a c ac a c B ac ac c a +-+-⎛⎫===+-== ⎪⎝⎭. 18．已知数列{}n a 满足113(1)1(1)1,22n nn n a a a +--+-==+. (1)设21n n b a -=，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .【答案】(1)21nn b =-(2)123236n n S n +=⋅--【分析】（1）先化简()()1311122n nn n a a +--+-=+，再推导出111n n b b +++等于一个常数，即可求解；（2）结合第一问，先求出数列{}n a 的满足的规律，然后再求和.【详解】（1）由已知有：12=21,3(1)1(1)12,22n n n n n n a n k k Za a a n k k Z ++∈⎧--+-=+=⎨+=∈⎩，，所以21+1+1n n b a -=，()1212212121111=2222222(1)2(1)n n n n n n n b a a a a a b ++---++=++=+=+=+=+，其中11+1+12b a ==，所以数列{}1n b +为以2为首项，公比为2的等比数列. 所以11222n n n b -+=⨯=，得21n n b =-.（2）由（1）知：2121nn n b a -==-，22122(21)n n n a a -==-，所以1231232(21)(21)(21)(21)2[(21)(21)(21)(21)]n n n S =-+-+-++-+-+-+-++-1233[(21)(21)(21)(21)]n =-+-+-++-1233(2222)3n n =++++-2(12)3312n n -=⨯--13236n n +=⋅--.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥．24AB BC ==，E 是棱PD 上的动点（除端点外），,F M 分别为,AB CE 的中点．(1)求证：//FM 平面PAD ；(2)若直线EF 与平面PAD 所成的最大角为30°，求平面CEF 与平面PAD 所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)9331【分析】（1）取CD 中点N ，连接,MN NF ，先明平面//MNF 平面PAD ，再证明结论；（2）先根据题意，建立空间直角坐标系，利用用向量数量积计算直线与平面成角正弦值，列方程求最值解，再用向量数量积求二面角的余弦值．【详解】（1）证明：证明：取CD 中点N ，连接,MN NF ，因为M 为CE 中点，所以//MN DE ，因为MN ⊄平面PAD ，DE ⊂平面PAD 所以//MN 平面PAD ，又因为//AD BC ，F 为AB 中点，所以//FN AD ，因为FN ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD 所以//FN 平面PAD ，因为MN FN N ⋂=，MN 、FN ⊂平面MNF ，所以平面//MNF 平面PAD ，又因为MF ⊂平面MNF ，所以//MF 平面PAD ．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，设4AD a =，()0,43E a t t -，()0,2t a ∈，则()0,0,0A ，()2,0,0F ，()4,2,0C ， ()2,2,0FC →=，()2,4FE a t →=--，平面PAD 的法向量为()1,0,0m →=，直线EF 与平面PAD 所成的正弦值为FE mFE m→→→→⋅==⋅，当ta =1sin302=︒=，解得1a =，(FE →=-，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z →=， 220230FC n x y FE n x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令y=)n →=，3cos ,311n m n m n m⋅===⋅⋅ 所以平面CEF 与平面PAD20．某中学在一次考试后，对本年级学生物理成绩进行分析，随机抽取了300名同学的物理成绩（均在50~100分之间），将抽取的成绩分组为[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（结果精确到1）(2)已知全年级同学的物理成绩服从正态分布()2N μσ，，其中μ取（1）中的x ，经计算，σ=11，现从全年级随机选取一名同学的物理成绩，求该成绩在区间()6295，的概率（结果精确到0.1）；(3)根据（2）的条件，用频率估计概率，现从全年级随机选取n 名同学的物理成绩，若他们的成绩都在()6295，的概率不低于1%，求n 的最大值（n 为整数）. 附：lg20.301≈，若()2~N ξμσ，，则()0.68P μσξμσ-<<+≈，()220.96P μσξμσ-<<+≈. 【答案】(1)73；79 (2)0.8 (3)20【分析】（1）利用题给条件和平均数与第三四分位数的定义即可求得这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值；（2）利用正态分布的性质即可求得该成绩在区间()6295，的概率；（3）利用独立事件同时发生的概率列出关于n 的不等式，解之即可求得n 的最大值. 【详解】（1）550.1650.3750.4850.1950.173x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 35701078.7540+⨯=，则这300名同学物理平均成绩x 与第三四分位数的估计值分别为73，79 （2）()()11629520.680.960.820.822P P ξμσξμσ<<=-<<+≈⨯+⨯=≈，（3）()0.80.01n≥，即0.8lg0.012log 0.0120.62lg0.83lg21n -≤==≈-，故n 的最大值为20.21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>过坐标原点O 的直线交椭圆E 于,P A两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC .当C 为椭圆的右焦点时，PAC △(1)求椭圆E 的方程；(2)若B 为AC 的延长线与椭圆E 的交点，试问：APB ∠是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由. 【答案】(1)22142x y += (2)APB ∠为定值90【分析】（1）由离心率可得,,a b c 之间关系，根据通径长可得2b PC a=，由2PACPOCS S=可构造方程求得22,a b ，由此可得椭圆方程；（2）设直线():0AP y kx k =>，结合斜率公式可求得2AC kk =，由此可得直线AC 方程，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理可求得B 点坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得0PA PB ⋅=，由此可得结论. 【详解】（1）椭圆离心率22c e a ==，2212c a ∴=，则222212b a c a =-=，当C 为椭圆右焦点时，212b PC a a ==； 211122222224PACPOCSSc a ac a ==⨯⋅===，解得：24a =，22b ∴=，∴椭圆E 的方程为：22142x y +=.（2）由题意可设直线():0AP y kx k =>，()00,P x kx ，()11,B x y ，则()00,A x kx --，()0,0C x ，0002AC kx kk x x ∴==+，∴直线()0:2k AC y x x =-；由()0222142k y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：()22222002280k x k x x k x +-+-=， 2001222k x x x k ∴-+=+，则2010222k x x x k =++， ()2300110002222222k x k x k k y x x x x k k ⎛⎫∴=-=+-= ⎪++⎝⎭，23000222,22k x k x B x k k ⎛⎫∴+ ⎪++⎝⎭；2002222,22k x kx PB k k ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭，又()002,2PA x kx =--，()20000222222022k x kx PA PB x kx k k ⎛⎫∴⋅=-⋅+-⋅-= ⎪++⎝⎭，则PA PB ⊥，APB ∴∠为定值90.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式； ②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③结合韦达定理的结论表示出所求量； ④化简整理可得定值.22．某大学有A ，B 两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下：假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率．(1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率；(2)记X 为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(3)假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，一般来说在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：()()P M N P M N >．【答案】(1)0.3，0.4； (2)分布列见解析，1.9； (3)证明见解析.【分析】(1)由统计表确定甲午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐频率和乙午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的频率，由频率估计概率即可；(2)由条件确定随机变量X 的可能取值，再求取各值的概率，根据期望的定义求期望；(3)由条件结合条件概率公式证明()()()P NM P N P M >⋅，由此证明()()P M N P M N >.【详解】（1）设事件C 为“一天中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐”，事件D 为“乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐”，因为100个工作日中甲员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的天数为30，乙员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的天数为40，所以()300.3100P C ==，()400.4100P D ==．（2）由题意知，甲员工午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的概率为0.1，乙员工午餐和晚餐都选择A 餐厅就餐的概率为0.2，记X 为甲、乙两员工在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1、2，所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==，所以X 的分布列为：所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=．（3）由题知()()P N M P N M >，即()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P M P M ->=-，即()()()P NM P N P M >⋅，即()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-，即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，即()()()()P NM P NM P N P N >，即()()P M N P M N >．。

福建名校联盟2022届高三12月月考语文试题及答案解析

福建名校联盟2022届高三12月月考语文试题及答案解析语文试题一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：文化的重要功能是以文化人，其最深层的积淀和影响是对人格的培养。

任何一个社会的核心价值观，包括其精神追求和道德精髓，说到底都以提升人的素质，塑造理想人格或者说集体人格为旨归。

源远流长、博大精深的中华传统文化，在数千年漫长发展进程中不断塑造和培育的正面人格，或者说集体人格，就是被历代中国人广泛接受并尊崇的君子人格。

“君子”一词在《论语》里出现107次，是使用频率很高的一个核心概念，由此足见孔子对君子人格的百般钟爱和悉心打造。

冯友兰曾说，孔子一辈子思考的问题很广泛，其中最根本最突出的就是对如何“做人”的反思，最终给出的答案，就是做人要做君子。

为了让世人认识和理解他所设计的君子人格，孔子睿智地在《论语》里采取比较排除法，同时论述了比君子高大的“圣人”和比君子矮小的“小人”。

关于“圣人”，他对弟子把他奉为“圣人”的做法表示不满和反对，“若圣与仁，则吾岂敢”。

他还明确说：“圣人，吾不得而见之矣，得见君子者，斯可矣。

”关于“小人”，他在与君子一系列比照中予以贬责和否定，比如，“君子泰而不骄，小人骄而不泰”“君子求诸己，小人求诸人”“君子成人之美，不成人之恶。

小人反是”。

这就告诉我们：君子一方面不是难以见到、难以企及、仰之弥高，乃至高不可攀的圣人，另一方面也与目光短浅、心胸狭隘、见利忘义、斤斤计较的小人判然有别。

君子作为孔子心目中的崇德向善之人格，既理想又现实、既尊贵又亲切、既高尚又平凡，是可见、可感，又可学、可做，并应学、应做的人格范式。

儒学乃至整个中华传统文化，是一种面向现实人生的伦理学说，其生命力和重要影响主要是日常应用。

中华传统文化的这一特点，与西方哲学及文化大相径庭。

西方从柏拉图、亚里士多德，到康德、黑格尔、海德格尔等，都热衷于构造一个能够解释思维与存在、精神与物质关系的严密理论系统，热衷于探寻认识论、方法论、辩证法问题等。

青师大附中2022-2023学年高三上学期12月月考语文试题(含答案)

青师大附中2022-2023学年高三上学期12月月考语文一、论述类文本阅读阅读下面的文字，完成下面小题。

意象就是客观物象融入主观精神而带有情意的艺术形象。

意象是我们民族诗歌领域的一个概念，从《楚辞》《诗经》到唐诗、宋词、元曲，都有着多姿多彩的意象。

意象赋予了我国诗歌强大的生命力。

后来，随着叙事作品对诗意的追求，意象也进入叙事作品中，成为我们民族文学传统中重要的叙事形式。

《红楼梦》是意象叙事的集大成者。

《红楼梦》的某些象征意义就是靠大量的意象来实现的，太虚幻境就是一个虚无缥缈的意象空间，金陵十二钗的判词和十二支词曲则是人物命运意象化的体现，而贾宝玉的通灵宝玉、林黛玉的花谢花飞，都是象征人物命运、性情的意象。

《红楼梦》意象运用的成功经验，启发了莫言的艺术灵感。

任何物象与意义的对应与融合都可以构成意象。

作者对意与象进行选择和加工，使之成为富有意义的审美载体，使之承载独特的人文精神。

莫言在小说中运用最多的是自然意象。

有植物，如红萝卜、红高粱、白棉花、红树林等；有动物，如红马驹、牛、驴、猪、狗等；还有人体意象，如红耳朵、脚蹼、丰乳肥臀等。

这些意象或增强了小说的诗意，或丰富了哲理的意蕴，或成为叙事过程的焦点，在小说叙事中起到不可或缺的重要作用。

有些自然意象并不是孤立的自然存在，往往包含着一些神话因素，如洪水意象。

洪水是“高密东北乡”创建过程中一个重要的因素。

在《秋水》中，“我爷爷”和“我奶奶”逃到高密东北乡这一蛮荒之地。

暴雨成灾，洪水淹没了周围的一切，只有小土山成为生命的避难场所，由此衍生出高密东北乡内在的丰富和神奇。

在中外神话故事中，洪水是最为常见的模式和意象，它是远古的洪水灾害给先民心灵留下的历史印记。

洪水承载了人类的原罪意识，意味着惩罚和灾难，但又提供了社会秩序得以重新组合的契机，也增强了人类生存的本领和创造的智慧。

《秋水》中的洪水虽然不能说是上天对“爷爷”杀人放火的惩罚，但也带有创世神话原型的意味，是自然现象与神话原型相融合的独特的审美意象。

山东省青岛市第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考语文试题及答案

青岛二中教学质量检测高三语文一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I(本题共5小题，19分）阅读下面的文字，完成1~5题。

材料一：《红楼梦》是小说，是文学艺术，表达思想的方式是塑造典型形象，使用的语言是生活语言。

作者只用寥寥数笔就勾勒出人物形象，并且语言具有鲜明个性特点。

第二十四回自“贾芸出了荣国府回来”至“一面趔趄着脚儿去了”，一千八百多字，却写了四个人贾芸的舅舅卜世人、贾芸的舅妈、醉金刚倪二和贾芸。

前面三人虽然都只是寥寥数笔，但俱各传神，卜世人夫妇的鄙吝和倪二的仗义，皆历历如绘。

人物的语言也符合各自的身份和性格。

“一碗茶也争，我难道手里有蜜！”这是初恋中的智能的语言，反映她心里的甜意。

“你忙什么！金簪子掉在井里头，有你的只是有你的。

”这是金钏的语言，反映她因受宝玉的赏爱而心悦意肯、别无他虑的心态。

“‘呦呦鹿鸣，荷叶浮萍’，小的不敢撒谎”。

这是李贵的语言，反映他护送宝玉读书，但不识字，也不理会读书，只是从旁听闻的状况。

《红楼梦》里最能言善语的要数黛玉、王熙凤、红玉、麝月几人。

林黛玉慧心巧舌、聪明伶俐；王熙风先意承志、博取欢心；红玉伶牙俐齿，如簧百啭；麝月在教训老婆子时词锋逼人，势猛气锐。

作者对这四个人的语言是精心设计的，是特写。

《红楼梦》在古典长篇小说中确已成为“绝唱”，这是无庸争议的，但它还是一首不用韵的诗。

这不仅仅是因为《红楼梦》里有许多诗，而且它从开头至八十回的叙述，也都有诗的素质，它的叙述与诗是交融的，是一体。

诗是什么？是抒情，抒喜怒哀乐各种各样的情而不是干巴巴的纪事，《红楼梦》确有这种抒情性的特点。

（摘编自冯其庸《（红楼梦）的语言魅力》）材料二：《红楼梦》主题历来众说纷纭，正如鲁迅所言，经学家见《易》，道学家见淫，才子见缠绵，革命家见排满……持自传说、索引说、阶级斗争说者亦众，此现象实属正常。

有些文学作品就像饺子，就为了中间那口馅儿，有些文学作品就像点缀在西瓜里的那些子儿，人间百态尽在其中。

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远志高中高三12月月考试题（文数）答案
一、选择题:
1．D
[解析] z ＝1－2i ，故选D. 2．A
[解析] 因为A ＝{x|x>－1}，所以∁R A ＝{x|x≤－1}，所以(∁R A )∩B＝{－2，－1}． 3．D
[解析] ∵函数y ＝x 3在R 上是增函数，a>b ，∴a 3>b 3. 4．A [解析] 由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－
8a 2，由(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a)2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，解得a ＝52
(负值舍去)，故选A.
5．C [解析] 当x>0时，x ＋1x ≥2 x ·1x ＝2.因为x ，1x 同号，所以若x ＋1x
≥2，则x>0，1x >0，所以x>0是x ＋1x
≥2成立的充要条件，选C. 6．A [解析] 要使函数有意义，须有⎩
⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解之得－3<x≤0. 7．C [解析] 对于A ，y ＝1x
是奇函数，排除．对于B ，y ＝e －x 既不是奇函数，也不是偶函数，排除．对于D ，y ＝lg |x|是偶函数，但在(0，＋∞)上有y ＝lgx ，此时单调递增，排除．只有C 符合题意．
8．A [解析] AB →＝(2，1)，CD →＝(5，5)，|AB →|·cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝3 22，选A. 9．B [解析] 根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.
10．B [解析] 由三视图得三棱锥的高是2，底面是一个腰为1的等腰直角三角形，故体积是13×12×1×1×2＝13
，选B. 11．D [解析] 由正弦定理可得2sin Asin B ＝3sin B ，又sin B ≠0，所以可得sin A ＝32，又A 为锐角，故A ＝π3
，选D. 12．A [解析] 方法一：作出函数f(x)＝ln x ，g(x)＝x 2－4x ＋4的图像如图所示
可知，其交点个数为2，选二、填空题：
13．－2 [解析] f π4＝－tan π4
＝－1，f(－1)＝－2. 14 2n ＋1－2 [解析] ∵a 3＋a 5＝q(a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q＝2，∴a 1(q ＋q 3)＝20，
∴a 1＝2，∴S n ＝2（1－2n
）1－2
＝2n ＋1－2. 15．6 [解析] 根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图，
可知在点B(4，2)处x ＋y 取最大值为6.
16. 3 [解析] 设正方体的棱长为a ，则43π⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 23＝92
π，解之得a ＝ 3. 三、解答题:
17．解：(1)在△ABC 中，由a sin A ＝b sin B
，可得bsin A ＝asin B ，又由bsin A ＝3csin B ，可得a ＝3c ，又a ＝3，故c ＝1.
由b 2＝a 2＋c 2－2accos B ，cos B ＝23
，可得b ＝ 6. (2)由cos B ＝23，得sin B ＝53，进而得cos 2B ＝2cos 2 B －1＝－19
，sin 2B ＝2sin Bcos B ＝4 59
. 所以sin2B －π3＝sin 2Bcos π3－cos 2Bsin π3＝4 5＋318
. 18．解： (1)由|a |2＝(3sin x)2＋(sin x)2＝4sin 2x.
|b |2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.
又x∈⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6. (2)f(x)＝a·b ＝3sin x·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6取最大值1. 所以f(x)的最大值为32
. 因此C ＝15°或C ＝45°.
19．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，
则a n ＝a 1＋(n －1)d.
因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ），解得a 1＝1，d ＝12
. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12
. (2)因为b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1
，所以
S n ＝21－22＋22－23＋…＋2n －2n ＋1
＝2n n ＋1
. 20．证明：(1)因为平面PAD⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，
所以AB∥DE ，且AB ＝DE ，
所以ABED 为平行四边形，
所以BE∥AD.
又因为BE 平面PAD ，AD 平面PAD ，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且ABED 为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD ，
所以PA⊥CD.
又因为AD∩PA＝A ，所以CD⊥平面PAD ，
所以CD⊥PD.
因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点，
所以PD∥EF，
所以CD⊥EF，
所以CD⊥平面BEF ，
所以平面BEF⊥平面PCD.
21．解：
(1)方法一：取PB 中点N ，联结MN ，CN.在△PAB 中，∵M 是PA 中点，∴MN∥AB，MN ＝12
AB ＝3. 又CD∥AB，CD ＝3，∴MN∥CD，MN ＝CD ，
∴四边形MNCD 为平行四边形，∴DM∥CN.
又DM 平面PBC ，CN 平面PBC ，
∴DM ∥平面PBC.
方法二：取AB 的中点E ，联结ME 在梯形ABCD 中，BE∥CD，且BE ＝CD ，
∴四边形BCDE 为平行四边形，
∴DE ∥BC.又DE 平面PBC ，BC 平面PBC ，
∴DE ∥平面PBC.
又在△PAB 中，ME∥PB，
ME 平面PBC ，PB 平面PBC ，∴ME∥平面PBC.
又DE∩ME＝E ，∴平面DME∥平面PBC.
又DM 平面DME ，∴DM∥平面PBC.
(2)V D －PBC ＝V P －DBC ＝13S △DBC ·PD ，又S △DBC ＝6，PD ＝4 3，所以V D －PBC ＝8 3.
22．解：(1)f′(x)＝e x (ax ＋a ＋b)－2x －4.
由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b ＝4，a ＋b ＝8.
从而a ＝4，b ＝4.
(2)由(1)知，f(x)＝4e x (x ＋1)－x 2－4x.
f ′(x)＝4e x (x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝
⎛⎭⎪⎫e x －12. 令f′(x)＝0，得x ＝－ln 2或x ＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)<0.
故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．
当x ＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e －2)．。