牛顿运动定律中的临界和极值问题
牛顿运动定律专题03动力学的临界和极值问题
§专题03：动力学的临界和极值问题教学目标：教学重点、难点：新课引入：教学过程：一、临界和极值在应用牛顿定律解决动力学问题中，当物体运动的加速度不同时，物体有可能处于不同的状态，特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，往往会有临界现象。
此时要采用极限分析法，看物体在不同加速度时，会有哪些现象发生，尽快找出临界点，求出临界条件。
在某些物理情境中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值。
这类问题称为临界问题。
在解决临界问题时，进行正确的受力分析和运动分析，找出临界状态是解题的关键。
1、相互接触的物体，它们分离的临界条件是：它们之间的弹力N，而且此时它们的速度相等，加速度相同。
【例】如图，在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板，将薄板上放一重物，并用手将重物往下压，然后突然将手撤去，重物即被弹射出去，则在弹射过程中，（即重物与弹簧脱离之前），重物的运动情况是（）A、一直加速B、先减速，后加速C、先加速、后减速D、匀加速答案：C【例】如图所示，劲度系数为k 的轻弹簧竖直固定在水平面上，上端固定一质量为0m 的托盘，托盘上有一个质量为m 的木块。
用竖直向下的力将原长为0l 的弹簧压缩后突然撤去外力，则m 即将脱离0m 时的弹簧长度为（ ）A 、0lB 、()k g m m l +-00C 、k mg l -0D 、kg m l 00- 答案：A【例】如图所示，物体A 静止在台秤的秤盘B 上，A 的质量为kg m A 5.10=，B 的质量kg m B 5.1=，弹簧质量不计，劲度系数m N k /800=，现给A 施加一个竖直向上的力F ，使它向上做匀加速直线运动，已知力F 在开始的s t 2.0=内是变力，此后是恒力，求F 的最大值和最小值。
答案：N 168、N 72解：由题意可知，它们将在s t 2.0=时分离。
编号16、牛顿定律临界极值
牛顿定律应用临界、极值问题1.接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力FN=0.2.相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值.3.绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：FT=0.4.加速度最大与速度最大的临界条件：当物体在受到变化的外力作用下运动时，其加速度和速度都会不断变化，当所受合外力最大时，具有最大加速度；合外力最小时，具有最小加速度.当出现速度有最大值或最小值的临界条件时，物体处于临界状态，所对应的速度便会出现最大值或最小值.例1．个质量为0.2 kg的小球用细绳吊在底角θ＝53°的斜面顶端，如图所示．斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以10 m/s2的加速度向左做加速运动时，求绳子的拉力及斜面对小球的弹力．(g取10 m/s2)变式练习1：如图所示，质量为m=1 kg的物块放在倾角为θ=37°的斜面体上，斜面质量为M=2 kg，斜面光滑，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物块m相对斜面静止，试确定推力F的取值.(g=10 m/s2 )拓展：若斜面与物块间的动摩擦因数为μ=0.4，其他不变，试确定推力F的取值范围.(g=10 m/s2 )例2．如图所示，一轻绳上端系在车的左上角的A 点，另一轻绳一端系在车左端B 点，B 点在A 点正下方，A 、B 距离为b ，两绳另一端在C 点相结并系一质量为m 的小球，绳AC 长度为2b ，绳BC 长度为b.两绳能够承受的最大拉力均为2mg.求：(1)绳BC 刚好被拉直时，车的加速度是多大？(2)为不拉断轻绳，车向左运动的最大加速度是多大？2-1.小车在水平路面上加速向右运动，一质量为m 的小球用一条水平线和一条斜线（与竖直方向成30度角）把小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力：(1)加速度a1=g/3 (2)加速度a2=2g/3例3．如图6所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静止，P 的质量m=12kg ，弹簧的劲度系数k=300N/m ，用竖直向下的力压物体稳定后撤掉，物体与秤盘分开时弹簧的形变量 。
2024高考物理一轮复习--牛顿第二定律的应用--动力学中的临界和极值问题
动力学中的临界和极值问题一、动力学中的临界极值问题1．“四种”典型临界条件(1)接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是弹力F N＝0。
(2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是静摩擦力达到最大值。
(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛与拉紧的临界条件是F T＝0。
(4)速度达到最值的临界条件：加速度为0。
2. 解题指导（1）直接接触的连接体存在“要分离还没分”的临界状态，其动力学特征：“貌合神离”，即a相同、F N＝0.（2）靠静摩擦力连接(带动)的连接体，静摩擦力达到最大静摩擦力时是“要滑还没滑”的临界状态.（3）极限分析法：把题中条件推向极大或极小，找到临界状态，分析临界状态的受力特点，列出方程（4）数学分析法：将物理过程用数学表达式表示，由数学方法(如二次函数、不等式、三角函数等)求极值．3.解题基本思路(1)认真审题，详细分析问题中变化的过程(包括分析整个过程中有几个阶段)；(2)寻找过程中变化的物理量；(3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系．4. 解题方法二、针对练习1、（多选）如图所示，长木板放置在水平面上，一小物块置于长木板的中央，长木板和物块的质量均为m ，物块与木板间的动摩擦因数为μ，木板与水平面间的动摩擦因数为4μ，已知最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g ．现对物块施加一水平向右的拉力，则木板加速度a 大小可能是（ ）A ．0a =B ．4ga μ=C ．3g a μ=D ．23ga μ=2、（多选）如图所示，A 、B 两物块的质量分别为2m 和m ，静止叠放在水平地面上．A 、B 间的动摩擦因数为μ，B 与地面间的动摩擦因数为12μ.最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g .现对A 施加一水平拉力F ，则( ) A ．当F <2μmg 时，A 、B 都相对地面静止 B ．当F ＝52μmg 时，A 的加速度为13μgC ．当F >3μmg 时，A 相对B 滑动D ．无论F 为何值，B 的加速度不会超过12μg3、如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。
牛顿运动定律的应用之临界问题的处理方法(解析版)
牛顿运动定律的应用之临界极值问题一、临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。
(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。
(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。
学#科网(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。
二、几种临界状态和其对应的临界条件如下表所示临界状态 临界条件 速度达到最大 物体所受的合外力为零 两物体刚好分离 两物体间的弹力F N ＝0绳刚好被拉直 绳中张力为零绳刚好被拉断绳中张力等于绳能承受的最大拉力三、 解决临界问题的基本思路(1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)； (2)寻找过程中变化的物理量； (3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。
挖掘临界条件是解题的关键。
如例5中第(2)的求解关键是：假设球刚好不受箱子的作用力，求出此时加速度a 。
【典例1】如图所示，θ＝37°，m ＝2 kg ，斜面光滑，g 取10 m /s 2，斜面体以a ＝20 m /s 2的加速度沿水平面向右做匀加速直线运动时，细绳对物体的拉力为多大？【答案】【解析】 设m 处在这种临界状态，则此时m 对斜面体的压力为零．由牛顿第二定律可知，临界加速度a 0＝g c otθ＝10×43 m /s 2＝403 m /s 2.将临界状态的加速度a 0与题设给出的加速度进行比较，知a>a 0，所以m已离开斜面体，此时的受力情况如图所示，由平衡条件和牛顿第二定律可知： T c o s α＝m a ，T s i n α＝mg .注意：a≠0， 所以【典例2】如图所示，水平地面上的矩形箱子内有一倾角为θ的固定斜面，斜面上放一质量为m 的光滑球。
牛顿定律应用：临界、极值、连接体问题
牛顿定律的应用-----牛顿定律中的临界与极值问题一． 概念：1． 临界状态和临界问题：某种物理现象（或物理状态）刚好要发生或刚好不发生的状态叫临界状态；临界状态是一些物理现象在动态变化过程中发生量变和质变的转折点.；涉及临界状态的问题叫临界问题。
2． 极值问题：有关在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的问题叫极值问题。
二、临界与极值问题的主要类型：类型一：与弹力有关的临界问题【例题1】在水平向右运动的小车上，有一倾角θ=370的光滑斜面，质量为m 的小球被平行于斜面的细绳系住而静止于斜面上，如图所示。
(1)使小车从静止开始向右做加速度逐渐增大的加速运动,试分析绳子拉力和斜面对小球支持力随加速度增大如何变化? 要使小球对斜面无压力，求小车运动的加速度范围。
【解析】(2)使小车从静止开始向左做加速度逐渐增大的加速运动,试分析绳子拉力和斜面对小球支持力随加速度增大如何变化? 要使小球对绳子无拉力，求小车运动的加速度范围.【解析】【小结】(3)若小车以①a 1=g, ②a 2=2g 的加速度水平向右做加速运动，求绳对小球的拉力及斜面对小球的弹力各为多大？【解析】a【小结】解决临界值问题的基本方法：关键：类型二：与摩擦力有关的临界问题【例题２】如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m,A 、B 间的最大静摩擦力为fm 。
若（1）对Ｂ加一向右的水平力F ，要使A 、B 刚好不发生相对滑动，一起沿水平面运动,求Ｆ的大小。
（2）若改为水平力F ′拉A ，使A 、B 也保持相对静止，一起沿水平面运动，则F ′不得超过多大?【解析】【练习】有一质量M=4kg 的长木板置于光滑水平桌面上，在木板上放一质量m=6kg 的物块，物块与木板间的动摩擦因数µ=0.2, 现对物块分别施加F 1=50N 、F 2=25N 的水平拉力,如图所示，求木板的加速度？M 、m 间的摩擦力？（设木板与物块之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力且g 取10m/s 2)【解析】F F ′课后练习：1.如图所示，木块A 、B 静止叠放在光滑水平面上，A 的质量为m ，B 的质量为2m 。
牛顿运动定律应用(临界、极值)课件-高一上学期物理人教版(2019)必修第一册
即 F＝kx 时，A、B 分离，此时弹簧仍处于压缩状态，
由 F＝mg，设用恒力 F 拉 B 前弹簧压缩量为 x0，
则 2mg＝kx0，h＝x0－x，
mg
解以上各式得 k＝ h ，综上所述，只有 C 项正确。
[答案]
C
类型二
相对滑动的临界
在力F作用下A、B是否一起运动？
(A C )
A.当t=3 s时，A、B开始分离
B.当t=4.5 s时，A、B开始分离
C.A、B分离之前整体做加速度相同的匀加速直线运动
D.A、B分离之后A、B各做加速度不同的匀加速直线运动
A、B两物体由接触到脱离的临界条件: A、B间弹力FN=0
解析
当A、B分离时两者间作用力为零，且a相同，所以
竖直方向有
Ncosθ=mg+fsinθ，
联立以上各式，代入数据解得F=310N.
故F的大小范围为0≤F≤310N.
[练习3]
如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保
持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下
滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块，木块能匀速上升，
已知木楔在整个过程中始终静止。当α为多大时，F有最小值，求
误;F=7 N<F0时,物块和长木板一起加速运动,长木板的加速度a=
F
7
=m/s 2 ,
M m 3
C错误;F=9 N>F0时,物块和长木板相对运动,长木板受到的摩擦力大小为μmg=
5 N,D正确。
类型三 动力学中的极值问题
例3 如图所示，一块质量m=2kg的木块放置在质量M=6kg、
倾角=37°的粗糙斜面体上，木块与斜面体间的动摩擦因数
牛顿运动定律应用临界与极值问题
牛顿运动定律应用（三）临界与极值问题临界问题：当物体由一种物理状态变为另一种物理状态时，可能存在一个过渡的转折点，这时物体所处的状态通常称为临界状态，与之相关的物理条件则称为临界条件。
解答临界问题的关键是找临界条件。
许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语发掘其内含规律，找出临界条件。
极值问题：是指研究动力学问题中某物理量变化时出现的最大值或最小值一、平衡中的临界与极值问题在平衡问题中当物体平衡状态即将被打破时常常会出现临界现象，分析这类问题要善于通过研究变化的过程与物理量来寻找临界条件。
解题的关键是依据平衡条件及相关知识进行分析，常见的解题方法有假设法、解析法、极限分析法等。
1.跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和物体B，物体A放在倾角为θ的斜面上，如图甲所示．已知物体A的质量为m，物体A与斜面的动摩擦因数为μ(μ<tanθ)，滑轮的摩擦不计，要使物体A静止在斜面上，求物体B的质量的取值范围(按最大静摩擦力等于滑动摩擦力处理)．2：如图所示，水平面上两物体m1、m2经一细绳相连，在水平力F 的作用下处于静止状态，则连结两物体绳中的张力可能为( )A、零B、F/2C、FD、大于F3.三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定。
若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳A 、必定是OAB 、必定是OBC 、必定是OCD 、可能是OB ，也可能是OC二．非平衡态中的临界与极值问题（一．在动力学的问题中，物体运动的加速度不同，物体的运动状态不同，此时可能会出现临界现象。
分析这类问题时挖掘隐含条件，确定临界条件，对处于临界准确状态的研究对象进行受力分析，并灵活应用牛顿第二定律是解题的关键，常见的解题方法有极限法、假设法等。
微专题15 牛顿运动定律应用之临界与极值问题
微专题15 牛顿运动定律应用之临界与极值问题【核心要点提示】 五种典型临界条件(1)物体离开接触面的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力F N ＝0. (2)相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．(3)绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是：F T ＝0. (4)加速度变化时，速度达到最值的临界条件：当加速度变为0时． (5)物块与弹簧脱离的临界条件：弹力F N ＝0，速度相等，加速度相等 【微专题训练】类型一：物体与弹簧分离临界问题【例题1】如图甲所示，一轻质弹簧的下端固定在水平面上，上端叠放两个质量均为M 的物体A 、B (B 物体与弹簧连接)，弹簧的劲度系数为k ，初始时物体处于静止状态。
现用竖直向上的拉力F 作用在物体A 上，使物体A 开始向上做加速度为a 的匀加速运动，测得两个物体的v -t 图象如图乙所示(重力加速度为g )，则( )A ．施加外力前，弹簧的形变量为2gkB ．外力施加的瞬间，A 、B 间的弹力大小为M (g －a )C ．A 、B 在t 1时刻分离，此时弹簧弹力恰好为零D ．弹簧恢复到原长时，物体B 的速度达到最大值 答案 B解析 施加外力F 前，物体A 、B 整体平衡，根据平衡条件有2Mg ＝kx ，解得x ＝2Mgk ，故A 错误；施加外力F 的瞬间，对物体B ，根据牛顿第二定律有F 弹－Mg －F AB ＝Ma ，其中F弹＝2Mg ，解得F AB ＝M (g －a )，故B 正确；由题图乙知，物体A 、B 在t 1时刻分离，此时A 、B 具有共同的v 和a ，且F AB ＝0，对B 有F 弹′－Mg ＝Ma ，解得F 弹′＝M (g ＋a )，故C 错误；当F 弹′＝Mg 时，B 达到最大速度，故D 错误。
牛顿运动定律的应用——临界极值问题
牛顿运动定律的应用——临界极值问题典型问题一：张紧的绳子变成松驰绳子的临界条件是F T =0 1.如图所示，小球的质量为m ，斜面光滑，小球与斜面向右匀加速运动，求：（1）为保持小球与斜面体相对静止，问斜面体的最大加速度不能超过多少？（2）当a=g/2时，求绳子的张力多大？2.小车在水平路面上加速向右运动，一质量为m 的小球用一条水平线和一条斜线（与竖直方向成300）把小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力： （1）加速度a 1=g/3 （2）加速度a 2=2g/33、如图所示，1、2两细绳与水平车顶的夹角分别为30°和60°，物体质量为m ，现让小车以2g(g 为重力加速度)的加速度向右做匀加速直线运动，当物体与车保持相对静止时，求：绳1中弹力的大小？aa典型问题二：相互挤压的物体发生分离的临界条件是F N =04、一个质量为0.2 kg 的小球用细线吊在倾角θ=53°的斜面顶端，如图，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计摩擦，当斜面以5 m/s 2、10 m/s 2的加速度向右做加速运动时，求绳的拉力及斜面对小球的弹力.变式训练：在光滑的水平地面上有一质量为M 、倾角为θ的表面光滑斜劈A ，在劈顶端的钉子上系着一条长为l 的轻线，线下端栓一个质量为m 的小球B 。
用如图所示的方向的水平恒力F 拉劈，求B 相对A 静止时线的拉力T 。
5、如图所示，把长方体切成质量分别为m 和M 的两部分，切面与底面的夹角为θ，长方体置于光滑的水平面上。
设切面是光滑的，要使m 和M 一起在水平面上滑动，作用在m 上的水平力F 满足什么条件？6、选做题）、如图所示，光滑小球恰好放在木块的圆弧槽中，它左边的接触点为A ，槽的半径为R ，且OA 与水平线成α角，通过实验知道，当木块的加速度过大时，小球可以从槽中滚出来，圆球的质量为m ，木块的质量为M ，各种摩擦及绳和滑轮的质量不计，则木块向右的加速度最小为多大时，小球恰好能滚出圆弧槽。
牛顿运动定律的应用-临界问题与极值问题
牛顿运动定律的应用——临界和极值问题一、概念临界状态常指某种物理现象由量变到质变过渡到另一种物理现象的连接状态常伴有极值问题出现。
（1）临界问题：某种物理现象（或物理状态）刚好要发生或刚好不发生的转折状态，这种涉及临界状态的问题叫临界问题。
（2）极值问题：在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。
二、关键词语在动力学问题中出现的“最大”、“最小”、“刚好”、“恰能”“恰好”、“刚刚”等词语，一般都暗示了临界状态的出现，隐含了相应的临界条件。
有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类问题一般用假设法。
三、常见类型动力学中的常见临界问题主要有三类：一是弹力发生突变时接触物体间的脱离与不脱离的问题；二是绳子的绷紧与松弛问题；三是摩擦力发生突变的滑动与不滑动问题。
四、解题关键解决此类问题的关键是对物体运动情况的正确描述，对临界状态的判断与分析，找出处于临界状态时存在的独特的物理关系，即临界条件。
常见的三类临界问题的临界条件： 1、相互接触的两个物体将脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。
2、绳子松弛的临界条件是：绳子的拉力为零。
3、存在静摩擦的系统，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达到最大值。
例题例1：有一质量M=4kg的小车置于光滑水平桌面上，在小车上放一质量m=6kg的物块，动摩擦因素µ=0.2,现对物块施加F=25N的水平拉力,如图所示，求小车的加速度？（设车与物块之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力且g取10m/s2)例1例2．托盘A 托着质量为m 的重物B ，B 挂在劲度系数为k 的弹簧下端，弹簧的上端悬挂于O 点，开始时弹簧竖直且为原长，今让托盘A 竖直向下做初速为零的匀加速运动，其加速度为a ，求经过多长时间，A 与B 开始分离（a <g ）．临界问题与极值问题针对训练一、选择题（第1到第4为单选题，第5到第8题为多选题）1．如图在前进的车厢的竖直后壁上放一个物体，物体与后壁间的滑动摩擦系数为μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．要使物体不下滑，车厢至少应以多大的加速度前进（ ）A ．g/μB ．gμC ．μ/gD ．g2．如图2所示，质量为M 的木板，上表面水平，放在水平桌面上，木板上面有一质量为m 的物块，物块与木板及木板与桌面间的动摩擦因数均为μ，若要以水平外力F 将木板抽出，则力F 的大小至少为（ ）A. μmgB. ()μM m g +C. ()μm M g +2D. ()2μM m g +3．一个物体沿摩擦因数一定的斜面加速下滑，下列图象，哪个比较准确地描述了加速度a 与斜面倾角θ的关系（ ）4．如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg 。
牛顿运动定律 应用四临界和极值
1
例4全解
A
F1 解：（1）研究物块1上升的过程。以物块1为研究对象，其 受力分析和运动过程分析如图1所示。物块1在最高点A O 处，加速度最大，且方向竖直向下，F1+m1g=mam F1最 F2 ’ 大。以物块2为研究对象，其受力分析如图2所示。F1 最 大时，N=0，即F1’=m2g 因F1’=F1 所以，m1g+m2g=m1am B
m g 2 (F （ / M m） )2
牛顿定律运用中的临界和极值问题
例题分析:1、小车在水平路面上加速向右运动，一质量为m的 小球用一条水平线和一条斜线（与竖直方向成30度角）把 小球系于车上，求下列情况下，两绳的拉力：(1)加速度 a1=g/3 (2)加速度a2=2g/3
B A θ O
300 图1
分析：讨论涉及静摩擦力的临界问题的一般方法是：1、抓住静摩擦力方向的
可能性。2、物体即将由相对 静止的状态即将变为相对 滑动状态的条件是 f=μN（最大静摩擦力）。本题有两个临界状态，当物体具有斜向上的 运动趋 势时，物体受到的摩擦力为最大静摩擦力；当物体具有斜向下的运动趋势时， 物体受到的摩擦力为最大静摩擦力。 N y f1 当物体具有斜向下的运动趋势时，受力分析如图2所示， sin300 N1 - f1 cos300=ma0 (1) f1 sin300+N1 cos300=mg (2) f 1 =μN1 (3) a 01=？ 当物体具有斜向上的运动趋势时，受力分析如图3所示， N2sin300+ f2 cos300=ma0 (1) N2 cos300=mg + f2 sin300(2) f 2 =μN2 (3) a 02=？ （求出加速度的取值范围）
B
θ
A O
牛顿定律：临界和极值问题
力μmg，对于整体和物体B，分别应用牛顿 第二定律
A
FA (m M )a ①
A m
B
m
FmAΒιβλιοθήκη mg Ma ②联立①②两式解出 FA
M
m(m M ) g
M
量变积累到一定程度，发生质变，出现临界状态．
⑵设保持A、B相对静止施于B的最大拉力为FB ,此时A、B之间达 到最大静摩擦力μmg，对于整体和物体A，分别应用牛顿第二定 律
解：设物体与木板一起匀加速运动 的距离为x时，木板与物体分离， 它们之间的弹力为零 N
kx
a
m g kx m a ① 1 2 x at ② 2
2m( g a) t ka
mg
必须清楚面接触物体分离条件 （1）接触面间的弹力为零; （2）两个物体的加速度相等。
联立①②两式解出
第三章 牛顿运动定律
专题十 临界和极值问题
临界状态：当物体从某种物理状态变化到另一种 物理状态时，发生质的飞跃的转折状态通常叫做临界 状态，出现“临界状态”时，既可理解成“恰好出现” 也可以理解为“恰好不出现”的物理现象.
两物体分离的临界条件是：两物体之间刚好无相 互作用的弹力，且此时两物体仍具有相同的速度和加 速度。
5. 如图所示,把长方体切成质量分别为m和M的两部分， 切面与底面的夹角为θ,长方体置于光滑的水平地面，设 切面亦光滑，问至少用多大的水平推力推m，m才相对 M滑动？ F
解: 设水平推力为F时，m刚好相对M滑 动．对整体和m分别根据牛顿第二定律
m
θ
M
F ( M m)a ①
F N1 sin ma ② N1 cos mg 0 ③
mg tan a g tan m
牛顿运动定律的应用之临界极值问题
牛顿运动定律的应用之临界极值问题一、临界或极值条件的标志(1)有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，表明题述的过程存在临界点。
(2)若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程存在“起止点”，而这些起止点往往就对应临界状态。
(3)若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程存在极值，这个极值点往往是临界点。
(4)若题目要求“最终加速度”、“稳定速度”等，即是求收尾加速度或收尾速度。
二、几种临界状态和其对应的临界条件如下表所示临界状态临界条件速度达到最大物体所受的合外力为零两物体刚好分离两物体间的弹力F N＝0绳刚好被拉直绳中张力为零绳刚好被拉断绳中张力等于绳能承受的最大拉力三、(1)认真审题，详尽分析问题中变化的过程(包括分析整体过程中有几个阶段)；(2)寻找过程中变化的物理量；(3)探索物理量的变化规律；(4)确定临界状态，分析临界条件，找出临界关系。
注意：挖掘临界条件是解题的关键。
【题型1】如图所示，细线的一端固定在倾角为45°的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m的小球(重力加速度为g)．(1)当滑块至少以多大的加速度向右运动时，线对小球的拉力刚好等于零？(2)当滑块至少以多大的加速度向左运动时，小球对滑块的压力等于零？(3)当滑块以a′＝2g的加速度向左运动时，线上的拉力为多大？【题型2】日本大地震以及随后的海啸给日本造成了巨大的损失。
灾后某中学的部分学生组成了一个课题小组，对海啸的威力进行了模拟研究，他们设计了如下的模型：如图甲所示，在水平地面上放置一个质量为m＝4 kg的物体，让其在随位移均匀减小的水平推力作用下运动，推力F随位移x变化的图象如图乙所示。
已知物体与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，g＝10 m/s2。
求：(1)运动过程中物体的最大加速度为多少？(2)距出发点多远时物体的速度达到最大？【题型3】跳伞运动员在下落过程中(如图所示)，假定伞所受空气阻力的大小跟下落速度的平方成正比，即F ＝kv 2，比例系数k ＝20 N·s 2/m 2，跳伞运动员与伞的总质量为72 kg ，跳下高度足够高，(g 取10 m/s 2)则：(1)跳伞运动员在空中做什么运动？收尾速度是多大？(2)当速度达到4 m/s 时，下落加速度是多大？【题型4】(多选)如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k ，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A 连接，两物块A 、B 质量均为m ，初始时均静止。
牛顿运动定律在临界和极值问题中的应用教案
第28点 牛顿运动定律在临界和极值问题中的应用在某些物理情景中，物体运动状态变化的过程中，由于条件的变化，会出现两种状态的衔接，两种现象的分界，同时使某个物理量在特定状态时，具有最大值或最小值．这类问题称为临界、极值问题． 临界极值问题是动力学的常见问题，常用的解决方法有：(1)极限法：在题目中如出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，可把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)显现出来，达到快速求解的目的．(2)假设法：有些物理过程中没有明显出现临界状态的线索，但在变化过程中有可能出现临界状态，也可能不出现临界状态，解答这类问题，一般用假设法．(3)数学方法：将物理过程转化为数学表达式，根据数学表达式求解得出临界条件．对点例题 一个质量为m 的小球B ，用两根等长的细绳1、2分别固定在车厢的A 、C 两点，如图1所示，已知两绳拉直时，两绳与车厢前壁的夹角均为45°.试求：图1(1)当车以加速度a 1＝12g 向左做匀加速直线运动时1、2两绳的拉力的大小；(2)当车以加速度a 2＝2g 向左做匀加速直线运动时，1、2两绳的拉力的大小．解题指导 设当细绳2刚好拉直而无张力时，车的加速度为向左的a 0，由牛顿第二定律得，F 1cos 45°＝mg ，F 1sin 45°＝ma 0，可得：a 0＝g .(1)因a 1＝12g <a 0，故细绳2松弛，拉力为零，设此时细绳1与车厢前壁夹角为θ，有：F 11cos θ＝mg ，F 11sin θ＝ma 1，得：F 11＝52mg .(2)因a 2＝2g >a 0，故细绳1、2均张紧，设拉力分别为F 12、F 22，由牛顿第二定律得⎩⎪⎨⎪⎧F 12cos 45°＝F 22cos 45°＋mg F 12sin 45°＋F 22sin 45°＝ma 2 解得：F 12＝322mg ，F 22＝22mg .答案 (1)52mg 0 (2)322mg 22mg 特别提醒 求解此类问题时，一定要找准临界点，从临界点入手分析物体的受力情况和运动情况，看哪些量达到了极值，然后对临界状态应用牛顿第二定律结合整体法、隔离法求解即可．如图2所示，质量为m 的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面的质量为M ，斜面与物块无摩擦，地面光滑．现对斜面施加一个水平推力F ，要使物块相对斜面静止，力F 应为多大？(重力加速度为g )图2答案 (m ＋M )g tan θ解析两物体无相对滑动，说明两物体加速度相同，且沿水平方向．先选取物块m 为研究对象，求出它的加速度就是整体的加速度，再根据F ＝(m ＋M )a ，求出推力F .物块受两个力，重力mg 和支持力N ，且二力合力方向水平．如图所示，可得：ma ＝mg tan θ，即a ＝g tan θ以整体为研究对象，根据牛顿第二定律得F ＝(m ＋M )a ＝(m ＋M )g tan θ。
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牛顿运动定律中的临界和极值问题
1．动力学中的典型临界问题
(1)接触与脱离的临界条件
两物体相接触或脱离的临界条件是接触但接触面间弹力F N＝0.
(2)相对静止或相对滑动的临界条件
两物体相接触且处于相对静止时，常存在着静摩擦力，则相对静止或相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值．
(3)绳子断裂与松弛的临界条件
绳子断与不断的临界条件是绳子张力等于它所能承受的最大张力．绳子松弛的临界条件是
F T＝0.
(4)速度最大的临界条件
在变加速运动中，当加速度减小为零时，速度达到最大值．
2．解决临界极值问题常用方法
(1)极限法：把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，以达到正确解决问题的目的．
(2)假设法：临界问题存在多种可能，特别是非此即彼两种可能时，或变化过程中可能出现临界条件，也可能不出现临界条件时，往往用假设法解决问题．
(3)数学法：将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式解出临界条件．
题型一：接触与脱离类的临界问题
例1: 如图所示，在劲度系数为k的弹簧下端挂一质量为m的物体，物体下有一
托盘，用托盘托着物体使弹簧恰好处于原长，然后使托盘以加速度a竖直向下做
匀速直线运动（a<g），试求托盘向下运动多长时间能与物体脱离？
例2: 如图，竖直固定的轻弹簧，其劲度系数为k=800N/m，上端与质量为3.0 kg
的物块B相连接。
另一个质量为1.0 kg的物块A放在B上。
先用竖直向下的力
F=120N压A，使弹簧被压缩一定量后系统静止，突然撤去力F，A、B共同向上运
动一段距离后将分离，分离后A上升最大高度为0.2 m，取g＝10 m/s2，求刚撤
去F时弹簧的弹性势能？
例3:如图所示，质量均为m 的A 、B 两物体叠放在竖直轻质弹簧上并
保持静止，用大小等于mg 21的恒力F 向上拉A ，当运动距离为h 时A 与B 分离。
则下列说法正确的是（ ）
A ．A 和
B 刚分离时，弹簧为原长
B ．弹簧的劲度系数等于h
mg 23 C ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中，两物体的动能先增大后减
小
D ．从开始运动到A 和B 刚分离的过程中，A 物体的机械能一直增大
例4:如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k ，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A 连接；两物块A 、B 质量均为m ，初始时均静止。
现用平行于斜面向上的力F 拉动物块B ，使B 做加速度为a 的匀加速运动，A 、B 两物块在开始一段时间内的v-t 关系分别对应图乙中A 、B 图线（t 1时刻
A 、
B 的图线相切，t 2时刻对应A 图线的最高点），重力加速度为g ，则（ ）
A ．t 1和t 2时刻弹簧形变量分别为k
ma mg +θsin 和0 B ．A 、B 分离时t 1()ak
ma mg +=θsin 2 C ．拉力F 的最小值ma mg +θsin
D ．从开始到t 2时刻，拉力F 逐渐增大
题型二：相对静止或相对滑动的临界问题
例1：如图所示，质量分别为15kg和5kg的长方形物体A和B静止叠放在水平桌面上。
A与桌面以及A、B间动摩擦因数分别为μ1=0.1和μ2=0.6，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
问：
（1）水平作用力F作用在B上至少多大时，A、B之间能发生相对滑动？
（2）当F=30N或40N时，A、B加速度分别各为多少？
跟踪训练：（多选）如图甲所示，一质量为M的长木板静置于光滑水平面上，其上放置一质量为m小滑块．木板受到随时间t变化的水平拉力F作用时，用传感器测出长木板的加速度a与水平拉力F的关系如图乙所示，取g=10m/s2，则（）
A．小滑块的质量m=2kg
B．当F=8N时，滑块的加速度为1m/s2
C．滑块与木板之间的动摩擦因数为0.1
D．力与加速度的函数关系一定可以表示为F=6a（N）
例2：如图所示，两个质量均为m的小木块A和B放在转盘上，且木块A、B与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的k倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动。
开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，使角速度ω缓慢增大。
为使细绳有弹力，而木块A和B又能相对转盘保持静止，求角速度ω的取值范围和细绳张力的最大值。
例3：如图所示的水平转盘可绕竖直轴OO′旋转，盘上水平杆上穿着两个质量均为m=2kg的小球A和B。
现将A和B分别置于距轴r A=0.5m和r B=1m处，并用不可伸长的轻绳相连。
已知两球与杆之间的最大静摩擦力都是f m=1N。
试分析转速ω从零缓慢逐渐增大（短时间内可近似认为是匀速转动），两球对轴保持相对静止过程中，在满足下列条件下，ω的大小。
（1）绳中刚要出现张力时的ω1；
（2）A、B中某个球所受的摩擦力刚要改变方向时的ω2，并指明是哪个球的摩擦力方向改变；
（3）两球对轴刚要滑动时的ω3。
跟踪训练：（多选）圆形转盘上的A、B、C三个物块如图放置，A、O、B、C在一条直线上，A、B间用一轻质细线相连(开始细线刚好伸直)，三个物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，A、B、C三个物块的质量分别为m、m、2m，到转盘中心O的距离分别为3r、r、2r，现让转盘以角速度ω（可调）匀速转动，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（）
A、当物块C相对转盘刚要滑动时，物块B所受摩擦力为μmg
B、当物块C相对转盘刚要滑动时，细线张力为0.5μmg
C、当细线内刚出现张力时，物块C所受摩擦力为μmg
D、当细线内刚出现张力时，A、B、C所受摩擦力大小之比为3:1:4
题型三：绳子断裂与松弛的临界问题
例5．如图所示，在竖直的转动轴上，a、b两点间距为40 cm，细线ac长50 cm，
bc长30 cm，在c点系一质量为m的小球，在转动轴带着小球转动过程中，下列说
法不正确的是( )
A．转速小时，ac受拉力，bc松弛
B．bc刚好拉直时，ac中拉力为1.25mg
C．bc拉直后转速增大，ac拉力不变
D．bc拉直后转速增大，ac拉力增大
例6．如图所示，将两物块A、B用一轻质细绳（沿水平方向）连接放在粗糙的水平面上，已知两物块A、B的质量分别为m1=8kg,m2=2kg,滑块与地面间的动摩擦因数均为
μ=0.2,g=10m/s2,细绳的最大拉力为T=8N.今在滑块A上施加一水平向
右的力F,设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
为使两滑块共同向右运动,
则拉力F多大?
题型四：速度最大的临界问题
例7．如图所示，在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，有一足够长的绝缘细棒OO′在竖直面内垂直于磁场方向放置，细棒与水平面夹角为α.一质量为m、带电荷量为＋q的圆环A套在OO′棒上，圆环与棒间的动摩擦因数为μ，且μ＜tan α.现让圆环A由静止开始下滑．试问圆环在下滑过程中：
(1)圆环A的最大加速度为多大？获得最大加速度时的速度为多大？
(2)圆环A能够达到的最大速度为多大？
跟踪练习：
1.如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P处于静止，
P的质量m=12kg，弹簧的劲度系数k=300N/m。
现在给P施加一个竖直向上的力F，使P
从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0.2s内F是变力，在0.2s以后F是恒力，
g=10m/s2,则F的最小值是，F的最大值是。
思维拓展：若上题中秤盘质量m1=1．5kg，盘内物体P质量为m2=10．5kg，弹簧的劲度系数 k=800N/m，其他条件不变，则F的最小值是，F的最大值是。
2. 如图所示，细线的一端固定于倾角为450的光滑楔形滑块A的顶端P处，细线的另一端拴一质量为m 的小球。
当滑块至少以多大的加速度a向左运动时，小球对滑块的压力等于零，当滑块以a=2g的加速度
向左运动时，球此时线中拉力T 大小？
3. 一个带负电荷q ，质量为m 的小球，从光滑绝缘的斜面轨道的A 点由静止
下滑，小球恰能通过半径为R 的竖直圆形轨道的最高点B 而做圆周运动．现
在竖直方向上加如图所示的匀强电场，若仍从A 点由静止释放该小球，则
( )
A ．小球不能过
B 点 B ．小球仍恰好能过B 点
C ．小球能过B 点，且在B 点与轨道之间压力不为0
D ．以上说法都不对
5.如图，在光滑水平面上放着紧靠在一起的ＡＢ两物体，Ｂ的质量是Ａ的2倍，Ｂ受到向右的恒力ＦB =2N ，Ａ受到的水平力ＦA =(9-2t)N ，(t 的单位是s)。
从t ＝0开始计时，则：
A ．Ａ物体在3s 末时刻的加速度是初始时刻的5／11倍；
B ．t ＞４s 后,Ｂ物体做匀加速直线运动；
C ．t ＝4.5s 时,Ａ物体的速度为零；
D ．t ＞4.5s 后,ＡＢ的加速度方向相反。
6.如图所示，在光滑水平面上有一辆小车A ，其质量为m A ＝2.0 kg ，小车上放一个物体B ，其质量为m B ＝1.0 kg.如图甲所示，给B 一个水平推力F ，当F 增大到稍大于3.0 N 时，A 、B 开始相对滑动．如果撤去F ，对A 施加一个水平推力F ′，如图乙所示．要使A 、B 不相对滑动，求F ′的最大值F m .
a A P
450。