2015-2016年宁夏吴忠三中八年级上学期数学期中试卷与答案

赠送初中数学几何模型
【模型三】
双垂型：图形特征：
60°
运用举例：
1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；
（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.
P 2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.
（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；
（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝3
5
，求
AB
BC的值.
3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，
（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积
（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

D
B
C
2015-2016学年宁夏吴忠三中八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9 B．7 C．12 D．9或12
2．（3分）下列图案是轴对称图形的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）在平面直角坐标系内点P（﹣3，a）与点Q（b，﹣1）关于y轴对称，则a+b的值为（）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
4．（3分）如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=（）
A．55°B．65°C．75°D．85°
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，AB=7cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则EB的长是（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定
6．（3分）如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE等于（）
A．1m B．2m C．3m D．4m
7．（3分）如图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的
直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确的是（）
A．△ABD≌△CBD B．△ABC≌△ADC C．△AOB≌△COB D．△AOD≌△COD 8．（3分）如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB=ED；
②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；
③折叠后得到的图形是轴对称图形；
④△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（3分）已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P 关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
10．（3分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是角平分线，图中的等腰三角形共有（）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为4cm和5cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=4cm，则AB=cm．13．（3分）等腰三角形的一边长是6，另一边长是12，则它的周长为．14．（3分）如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC 的垂直平分线，则∠C=．
15．（3分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是边形．16．（3分）如图，△ABC中，∠C=75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=°．
17．（3分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是．
18．（3分）已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为．
19．（3分）如图，若AE是△ABC边BC上的高，AD是∠EAC的角平分线交BC 于D．若∠ACB=40°，则∠DAE等于°．
20．（3分）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于．
三、解答题（40分）
21．（4分）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案（要求保留作图痕迹）
22．（6分）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
23．（6分）如图，AC，BD相交于O，∠A=∠D，AB=DC．
求证：AC=BD．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
求证：AF平分∠BAC．
25．（8分）将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°．（1）求∠1的度数；
（2）求证：△GEF是等腰三角形．
26．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP 是否全等，请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
2015-2016学年宁夏吴忠三中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9 B．7 C．12 D．9或12
【解答】解：∵2+5＞5，
∴等腰三角形的腰长为5，底边长为2，
∴周长=5+5+2=12．
故选：C．
2．（3分）下列图案是轴对称图形的有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，
第二个图形不是轴对称图形，
第三个图形不是轴对称图形，
第四个图形是轴对称图形，
综上所述，轴对称图形共有2个．
故选：B．
3．（3分）在平面直角坐标系内点P（﹣3，a）与点Q（b，﹣1）关于y轴对称，则a+b的值为（）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【解答】解：∵在平面直角坐标系内点P（﹣3，a）与点Q（b，﹣1）关于y轴对称，
∴b=3，a=﹣1，
则a+b=3﹣1=2．
故选：C．
4．（3分）如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=（）
A．55°B．65°C．75°D．85°
【解答】解：∵∠1=100°，∠2=145°，
∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣100°=80°，
∠5=180°﹣∠2=180°﹣145°=35°，
∵∠3=180°﹣∠4﹣∠5，
∴∠3=180°﹣80°﹣35°=65°．
故选：B．
5．（3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，AB=7cm，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则EB的长是（）
A．3cm B．4cm C．5cm D．不能确定
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=DC，
又∵AD=AD，
∴△AED≌△ACD（HL）
∴EB=AB﹣AE=7﹣4=3
故选：A．
6．（3分）如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB=8m，∠A=30°，则DE等于（）
A．1m B．2m C．3m D．4m
【解答】解：∵点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，
∴点E是AC的中点，
∴DE是直角三角形ABC的中位线，
根据三角形的中位线定理得：DE=BC，
又∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴BC=AB=×8=4．
故DE=BC=×4=2m，
故选：B．
7．（3分）如图是一个风筝设计图，其主体部分（四边形ABCD）关于BD所在的直线对称，AC与BD相交于点O，且AB≠AD，则下列判断不正确的是（）
A．△ABD≌△CBD B．△ABC≌△ADC C．△AOB≌△COB D．△AOD≌△COD 【解答】解：∵四边形ABCD关于BD所在的直线对称，
∴△ABD≌△CBD，△AOB≌△COB，△AOD≌△COD，故A、C、D判断正确；∵AB≠AD，
∴△ABC和△ADC不全等，故B判断不正确．
8．（3分）如图，把长方形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB=ED；
②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；
③折叠后得到的图形是轴对称图形；
④△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①△EBD是等腰三角形，EB=ED，正确；
②折叠后∠ABE+2∠CBD=90°，∠ABE和∠CBD不一定相等（除非都是30°），故此说法错误；
③折叠后得到的图形是轴对称图形，正确；
④△EBA和△EDC一定是全等三角形，正确．
故选：C．
9．（3分）已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P 关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是（）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解答】解：如图，连接OP，
∵P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，
∴OP=OP1=OP2，∠BOP1=∠BOP，∠AOP2=∠AOP，
∴∠P1OP2=∠BOP1+∠BOP+∠AOP2+∠AOP=2（∠BOP+∠AOP）=2∠AOB，
∵∠AOB=45°，
∴∠P1OP2=2×45°=90°，
∴P1，O，P2三点构成的三角形是等腰直角三角形．
故选：D．
10．（3分）如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是角平分线，图中的等腰三角形共有（）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【解答】解：①∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵BD，CE是角平分线，
∴∠ABD=∠ACE，∠OBC=∠OCB，
∴△BOC是等腰三角形；
③∵△EOB≌△DOC（ASA），
∴OE=OD，ED∥BC
∴△EOD是等腰三角形；
④∵ED∥BC，
∴∠AED=∠B，∠ADE=∠C，
∴∠AED=∠ADE，
∴△AED是等腰三角形；
⑤∵△ABC是等腰三角形，BD，CE是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB，∠ECB=∠DBC，
又∵BC=BC，
∴△EBC≌△DCB，
∴BE=CD，
∴AE=AD，
∴=，∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴∠AED=∠ABC，
∴∠ABC+∠BED=180°，
∴DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC=∠EBD，
∴ED=EB，
即△BED是等腰三角形，
同理可证△EDC是等腰三角形．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）一木工师傅现有两根木条，木条的长分别为4cm和5cm，他要选择第三根木条，将它们钉成一个三角形木架．设第三根木条长为x cm，则x的取值范围是1＜x＜9．
【解答】解：由三角形三边关系定理得5﹣4＜x＜5+4，
即1＜x＜9．
即x的取值范围是1＜x＜9．
故答案为：1＜x＜9．
12．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，BC=4cm，则AB=8cm．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°﹣60°=30°，
∵BC=4cm，
∴AB=2BC=8cm．
故答案是：8．
13．（3分）等腰三角形的一边长是6，另一边长是12，则它的周长为30．【解答】解：∵等腰三角形的一边长为6，另一边长为12，
∴有两种情况：①12为底，6为腰，而6+6=12，那么应舍去；
②6为底，12为腰，那么12+12+6=30；
∴该三角形的周长是12+12+6=30．
故答案为：30．
14．（3分）如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC 的垂直平分线，则∠C=30°．
【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，DE⊥BC，
∴∠CED=∠BED，
∴△CED≌△BED，
∴∠C=∠DBE，
∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=2∠DBE=2∠C，
∴∠C=30°．
故答案为：30°．
15．（3分）一个多边形的内角和等于1260°，则这个多边形是九边形．【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180=1260，
解得n=9．
16．（3分）如图，△ABC中，∠C=75°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=255°．
【解答】解：∵△ABC中，∠C=75°，
∴∠A+∠B=180°﹣75°=105°，
∵∠1+∠2+∠A+∠B=360°，
∴∠1+∠2=360°﹣105°=255°．
故答案为：255．
17．（3分）如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．
【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，
当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；
当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；
点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．
18．（3分）已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC边上，且AD=CE，AE与BD交于点F，则∠AFD的度数为60°．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAD=∠C=60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）
∴∠DAF=∠ABD，
∴∠AFD=∠ABD+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=60°，
故答案为：60°．
19．（3分）如图，若AE是△ABC边BC上的高，AD是∠EAC的角平分线交BC 于D．若∠ACB=40°，则∠DAE等于25°．
【解答】解：∵AE是△ABC边上的高，∠ACB=40°，
∴∠CAE=90°﹣∠ACB=90°﹣40°=50°，
∴∠DAE=∠CAE=×50°=25°，
故答案为：25
20．（3分）如图：∠DAE=∠ADE=15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE=8，则DF等于4．
【解答】解：作DG⊥AC，垂足为G．
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∵∠DAE=∠ADE=15°，
∴∠DAE=∠ADE=∠BAD=15°，
∴∠DEG=15°×2=30°，
∴ED=AE=8，
∴在Rt△DEG中，DG=DE=4，
∴DF=DG=4．
故答案为：4．
三、解答题（40分）
21．（4分）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案（要求保留作图痕迹）
【解答】解：仓库D在∠AOB的平分线OE和MN的垂直平分线的交点上和∠AOB 的邻补角平分线OE和MN的垂直平分线的交点上，
理由是：∵D在∠AOB的角平分线上，
∴D到两条公路的距离相等，
∵D在MN的垂直平分线上，
∴DM=DN，
∴D为所求．
同理可得出：D′也符合要求．
22．（6分）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
【解答】（1）证明：∵正五边形ABCDE，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
∴在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）；
（2）解：∵△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．
即∠APN的度数为108°．
23．（6分）如图，AC，BD相交于O，∠A=∠D，AB=DC．求证：AC=BD．
【解答】解：在△ABO和△DCO中，
∴△ABO≌△DCO（AAS），
∴OA=OD，OB=OC，
∴OA+OC=OD+OB，
∴AC=BD．
24．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F．
求证：AF平分∠BAC．
【解答】证明：∵AB=AC（已知），
∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．
∵BD、CE分别是高，
∴BD⊥AC，CE⊥AB（高的定义）．
∴∠CEB=∠BDC=90°．
∴∠ECB=90°﹣∠ABC，∠DBC=90°﹣∠ACB．
∴∠ECB=∠DBC（等量代换）．
∴FB=FC（等角对等边），
在△ABF和△ACF中，
，
∴△ABF≌△ACF（SSS），
∴∠BAF=∠CAF（全等三角形对应角相等），
∴AF平分∠BAC．
25．（8分）将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°．（1）求∠1的度数；
（2）求证：△GEF是等腰三角形．
【解答】解：（1）∵一张长方形纸条ABCD折叠，
∴∠GEF=∠FEC=64°，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠GEB=180°﹣64°﹣64°=52°，
（2）∵∠FGE=∠1=52°，
∵AD∥BC，
∴∠GFE=∠FEC=64°，
∴∠GEF=180°﹣52°﹣64°=64°，
∴∠GEF=∠GFE，
∴△GEF是等腰三角形．
26．（10分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA 上由点C向A点运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP 是否全等，请说明理由．
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
【解答】解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，
∵△ABC中，AB=AC，
∴在△BPD和△CQP中，
，
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=8﹣3tcm，CQ=xtcm，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD=PC，BP=CQ时，②当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；
①当BD=PC且BP=CQ时，8﹣3t=5且3t=xt，解得x=3，∵x≠3，∴舍去此情况；
②BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=8﹣3t，解得：x=；
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等．。