2013年华约自主招生数学试题解析

2013年华约自主招生数学试题解析
戴又发
1．设},10|{Z x x x A ∈≥=，A B ⊆，且B 中元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9． （1）求B 中的两位数和三位数的个数； （2）是否存在五位数，六位数？
（3）将B 中的元素从小到大排列，求第1081个元素．
解析（1）所有的两位数共90个，其中数字相同的有9个，两数字之和为9的有9个， 所以B 中的两位数有90―9―9＝72个；
所有的各数位的数字互不相同三位数共9×9×8＝648个，
其中含有数字0和9的有4×8＝32个，
含有数字1和8，2和7，3和6，4和5的各有4×8＋2×7＝46个， 所以B 中的三位数有648―32―46×4＝432个；
另解（1）将10个数字分为5组：（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），每组中的两数不能同时出现在一个元素中．
对于两位数，若最高位为9，则共有2×4＝8个，
若最高位不为9，则共有2×4×4×2＝64个，所以B 中的两位数有72个； 对于三位数，若最高位为9，则共有2
4A ×2×2＝48个， 若最高位不为9，则共有1
4A ×2×2
4A ×2×2＝384个， 所以B 中的三位数有48＋384＝432个；
（2）对于五位数，若最高位为9，则共有4
4A ×2×2×2×2＝384个， 若最高位不为9，则共有1
4A ×2×4
4A ×2×2×2×2＝3072个， 所以B 中的五位数有3072＋384＝3456个； 显然B 中不存在六位数．
（3）B 中的两位数和三位数共有72＋432＝504个，
在B 中的四位数中，千位上为1，2，3的各有192个， 而504＋192×3＝1080个，
所以第1081个元素应为四位数中，千位上为4的最小数，即4012．
2．已知31
sin sin =
+y x ，5
1cos cos =-y x ，求)cos(y x +，)sin(y x -． 解析 由3
1sin sin =+y x ，得91=sin sin 2+sin +sin 2
2y x y x ……①
由5
1
cos cos =
-y x ，得251=
2cosx cosy cos +cos 22－y x ……② 两式相加，得225
34
=
251+91=)+cos(22y x －， 所以 225
208
=
225171=)+cos(－y x ． 又由3
1
sin sin =
+y x ，得31=2cos 2+sin 2y x y x － ……③
由5
1
cos cos =
-y x ，得51=2sin 2+sin 2y x y x －－ ……④
两式相除，得5
3
=2tan －－y x ，
所以 17
15=259+153×
2=2
tan +12
tan
2=)sin(2
－－－－－y x y
x y x ．
3．点A 在kx y =上，点B 在kx y -=上，其中0>k ，12
+=k OB OA ，且A ，B 在y 轴同侧．
（1）求AB 中点M 的轨迹C 的方程；
（2）曲线C 与抛物线)0(22
>=p py x 相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方程．
解析 （1）设),(11kx x A ，),(22kx x B －，021＞
x x ， 由 12
+=k OB OA ，得2
22222221221)1+(=)+)(+(k x k x x k x ，
所以1=21x x ．
设点M 的坐标为),(y x M ，则2+=2
1x x x ，2
=2=2121x x k
kx kx y －－ 所以 1==)y
(2122x x k x －，即点M 的轨迹C 的方程为 1=22
2k
y x －．
（2）因为曲线C 与抛物线)0(22>=p py x 相切，得 2
22=2k y y pk －，
由 0=4)2(=2
22k pk －－
∆，得p
k 1=，此时p y 1
=，
两切点坐标为)1,2(p ，)1
,2(p － ，即切点分别在两定直线2±=x 上．
切线方程分别为0=12－
－py x 和0=1++2py x ．
4．7个红球，8个黑球，任取4个． （1）求恰有1个红球的概率；
（2）记取黑球个数为x ，求其分布列和期望； （3）取出4球同色，求全为黑球的概率． 解析 （1）恰有1个红球的概率为415
3
817C C C 13×15×756×7=
195
56
=
； （2）黑球个数为4,3,2,1,0=x ，
黑球数为0的概率为
4150
847C C C 13×15×735=
1955
=
； 黑球数为1的概率为
415
1837C C C 13×15×78×35=
195
40
=
； 黑球数为2的概率为
4152
827C C C 13×15×728×21=
19584
=； 黑球数为3的概率为
415
3817C C C 13×15×756×7=
195
56
=
；
黑球数为4的概率为415
4807C C C 13×15×710×7=
195
10
=
； 其分布列为
x 的数学期望为0×
1955＋1×19540＋2×19584＋3×19556＋4×19510＝15
32．
（3）由（2）知4球同色的概率为 195519510+195
15
=
， 所以，取出4球同色，全为黑球的概率为 32
=195
1519510
．
5．已知2
1++=n n n ca a a ， ,3,2,1=n ，0>1a ，0>c ．
（1）证明对任意的0>M ，存在正整数N ，使得对于N n >，M a n > （2）设1
+1=
n n ca b ，记n s 为n b 前项和，证明n s 有界，且0>d 时，存在正整数k ，k
n >时d ca s n <1
<01
－
． 解析 （1）由0>1a ，0>c ，知0=2
1+＞
－n n n ca a a ，于是 11121121+++1=+=－－－－－－））＞（）（－（－－－n n n n n n n n n n n n a a a a c a a ca a ca a a a
122111+a a a a a a a a n n n n n n －＞＞－＞－＞－－－－
所以
2112112211)1(n =))(1(n ++++=ca a a a a a a a a a a n n n n n －－－＞－－－－－－
对任意的0>M ，要使M a n >，只需M ca n >)1(2
1－
，1+>2
1ca M
n ， 取]2+[=21
ca M
N ，于是N n >，M a n >．
（2）1+1
=n n ca b n n n
a ca a +=21+=n n a a 1+2=n n n a ca ca 1+1+=n n n n a ca a a －n
ca 1=1+1n ca －
， 所以 n s 11=
ca 1
+1
n ca －
，1+11=1n n ca ca s －＞0， 由（1）知2
11+nca a n ＞，所以
21
21+1<1a nc ca n ，即1+11=1n n ca ca s －2121
<a nc ， 所以n s 有界； 令d 2121=
a nc ，得 n 2
121
=a dc ， 取k ]1+1
[=2
12a dc ，则k n >时d ca s n
<1<01－．
6．设z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，求所有使得xyz 整除)1)(1z (1)(－－－zx y xy 的
z y x ,,．
解析 因为)1)(1z (1)(－－－zx y xy ＝z)+y +z(x z)(2
xy xy －＋zx y xy +z +－1， 而z)+y +z(x z)(2
xy xy －能被xyz 整除， 于是只需zx y xy +z +－1能被xyz 整除即可．
又z y x ,,是两两不等且大于1的正整数，不妨设z >>y x
∴ ≤xyz zx y xy +z +－1xy 3<，即3<z ，∴2=z ． 于是只需x y xy 2+2+－1能被xy 2整除，
当然 12+2+≤2－x y xy xy ，即12+2－x y xy ≤，∴x x y xy 4<2+2<． 于是4<y ，∴ 3=y ，进而5≤x ，∴ 5=x ，4． 检验知2、3、5能使zx y xy +z +－1能被xyz 整除，
∴ ),,(z y x )5,3,2(=)3,5,2(=)5,2,3(=)2,5,3(=)3,2,5(=)2,3,5(=．
7．设1e )1(=)(－
－x
x x f ． （1）证明当0>x 时，0<)(x f ；
（2）令1e =1
+－n n x x n e
x ，1=1x ，证明n x 递减且n
n x 21
>
． 解析 （1）因为0=1e )01(=)0(0
－－
f ， 又当0>x 时，x
x
e x e x
f )1(+=)('
－－x
xe －=0<， 所以当0>x 时，0<)(x f ；
（2）由1e =1
+－n n x x n e
x ，得n
x x x e
n n 1e =1
+－，又x e x
+1>，可得0>n x ．
由（1）知0>x 时，0<)(x f ，0<1e )1(=)(－
－n x
n n x x f ， 1+e =1>e n n n x n x x n x e x －，∴1+e >e n n x x ，即n n x x ＜1+，n x 递减．
下面用数学归纳法证明 n
n x 21
>
． 1=n 时显然成立，假设k n =（*
∈N k ）时，k k x 2
1>
， 构造函数x 1=)(－x e x g ，当0>x 时，)(x g 为增函数，∴)2
1
(>)(k k g x g ．
又当0>x 时，2
+1>2
x
e x ，再设函数))((=)(2x
e x g x x h －，
则0))2+1(=2+1=)(2
22'＞－（）－（x e e e x e x h x
x x x ，)(x h 在)÷∞,0(上是增函数，
0>)21(k h ，∴1+21>)21(k e g k ， ∴1121++>k k e e x
, 112
1++>k k x ,
由数学归纳法知，对于正整数n ，有n n x 2
1>．。