鲁教版三角形的有关证明复习 解析

直角三角形
如图所示，已知点D、A、E在直线MN上，BD⊥MN， CE⊥MN，D、E为垂足，AB＝AC，BD＝AE.求证： △ABC是等腰直角三角形.
证明：∵ BD⊥MN，CE⊥MN， ∴ ∠ADB＝∠AEC＝90°. 又∵ AB＝AC，BD＝AE，∴ Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)， ∴ ∠ABD＝∠CAE. ∴ ∠BAD＋∠CAE＝∠BAD＋∠ABD＝90°. ∴ ∠BAC＝90°.又∵ AB＝AC， ∴ △ABC为边三角形， ∴∠DAB=∠ABD=60°，∠CAE=∠ECA=60°. ∵∠DAE=∠CBD， ∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠BAC+120°， ∠CBD=∠ABD+∠CBA=∠CBA+60°， ∴∠BAC+120°=∠CBA+60°即∠BAC+60°=∠CBA. ∵设∠BAC=x，∠BAC+60°=∠CBA， ∴∠CBA=x+60°. ∵AB=AC， ∴∠CBA=∠ACB. ∵∠CBA=∠ACB，∠CBA=x+60°，∠BAC=x， ∴2(x+60°)+x=180°， ∴x=20°， ∴∠BAC=x=20°. ∴∠CBA=∠ACB=80°
全等三角形
已知AD＝AE，AB＝AC，那么△BCD与△CBE全等吗？ 并说明理由.
等腰三角形
已知：如图所示，AD∥BC，CA平分∠DCB，求证：AD＝
CD.
等边三角形
如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，分别以两腰为边向 外作等边三角形ABD与等边三角形ACE，已知∠DAE=∠DBC. 求△ABC的三个内角的度数.
线段的垂直平分线
线段垂直平分线的性质&轴对称
如图所示，已知点P在∠AOB内，点M、N分别是点P关 于射线OA、OB的对称点，点M、N的连线与OA、OB交 于点E、F.若线段MN的长为20 cm，求△PEF的周长.
解：∵ 点P、M关于射线OA对称，点P、N关于射 线OB对称， ∴ OA、OB分别垂直平分PM、PN， ∴ ME＝PE，NF＝PF ∵ C△PEF＝PE＋PF＋EF， ∴ C△PEF＝ME＋NF＋EF＝MN. ∵ MN＝20 cm， ∴ △PEF的周长为20 cm.