2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一理科数学试卷
黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
大庆实验中学2015—2016学年度上学期高三期中考试数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集,集合，，则集合A．B．C．D．2、复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A．B．C．D．3、函数的反函数为A．B．C．D．4、在等差数列中，若，则的值为A．20 B．40 C．60 D．805、函数的值域是A．B．C．D．6、是定义域为的偶函数，为的导函数，当时，恒有，设，则满足的实数的取值范围是A．B．C．D．7、已知定义在上的函数是奇函数，且，则值为A．3 B．2 C．1 D．08、已知，，夹角为，向量满足，则的最大值为A．B．C．4 D．9、若，，则A．B．C．D．10、已知，的图像与的图像关于轴对称，将图像上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为A．B．C．D．11、给出下列4个命题：①在△中，“”是“”的充要条件；②是，，成等比数列的充要条件；③若，则；④若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则；其中真命题的个数为A．1 B．2 C.3 D．412、已知为偶函数，且，在区间上，，则函数零点的个数为A．4 B．5 C.6 D．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知等比数列中，，若，则= .14、如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝6，＝3，·＝4，则·的值是________．15、已知函数则= ．16、已知，，若对任意实数，都有，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）已知等差数列中，且，。
（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求前项和的最大值。
18、（本小题满分12分）三角形中，三内角，，成等差数列，，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求，.19、（本小题满分12分）已知，其中.（Ⅰ）求函数的最值；（Ⅱ）若在区间上为增函数，求的取值范围。
2016届黑龙江省大庆实验中学高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B等于（）A．R B．{0}C．{x|x∈R，x≠0}D．∅2．化简的结果是（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）A．32 B．C．48 D．4．在△ABC中，，．若点D满足，则=（）A． B．C．D．5．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．6．函数f（x）=sin（ωx）（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω为（）A．1 B．2 C．D．7．已知f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．18．已知不等式ax2﹣bx﹣1＞0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集是（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x≤2或x≥3}C．D．9．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）10．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥C ﹣ABD的外接球表面积为（）A．16πB．12πC．8πD．4π11．已知数列{c n}的前n项和为T n，若数列{c n}满足各项均为正项，并且以（c n，T n）（n∈N*）为坐标的点都在曲线上运动，则称数列{c n}为“抛物数列”．已知数列{b n}为“抛物数列”，则（）A．{b n}一定为等比数列B．{b n}一定为等差数列C．{b n}只从第二项起为等比数列D．{b n}只从第二项起为等差数列12．已知函数f（x）在（0，）上处处可导，若[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，则（）A．一定小于B．一定大于C．可能大于D．可能等于二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2=1关于直线y=﹣x对称，则圆C的方程为．14．已知tan α=﹣，cos β=，α∈（，π），β∈（0，），则tan（α+β）=．15．已知函数f（x）=x2+ax+20（a∈R），若对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，则a的取值范围是．16．在平面直角坐标系中，设M、N、T是圆C：（x﹣1）2+y2=4上不同三点，若存在正实数a，b，使=a+b，则的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．在△ABC中，．（1）求tanA；（2）若BC=1，求AC•AB的最大值，并求此时角B的大小．18．已知直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t为参数）和圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0：（1）t∈R时，证明直线l与圆C总相交：（2）直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，M、N分别为棱AA1、CC1的中点．（1）求证：直线MN⊥平面B1BD；（2）已知AA1=AB，AA1⊥AB，取线段C1D1的中点Q，求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值．20．设数列{a n}满足a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），n∈N*，且a1=1，求证：（1）数列{a n+2n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．21．已知椭圆C与椭圆E：共焦点，并且经过点，（1）求椭圆C的标准方程；（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P 关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22．已知函数f（x）=e x+be﹣x，（b∈R），函数g（x）=2asinx，（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范围．2015-2016学年黑龙江省大庆实验中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则A∩B等于（）A．R B．{0}C．{x|x∈R，x≠0}D．∅【考点】交集及其运算．【分析】由集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x||x﹣2|≤2，x∈R}={x|0≤x≤4，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}={y|﹣4≤y≤0}，∴A∩B={0}；故选：B．2．化简的结果是（）A．2+i B．﹣2+i C．2﹣i D．﹣2﹣i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】先化简分母，然后分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b∈R）．【解答】解：=，故选C3．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（）A．32 B．C．48 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据四棱锥的三视图，得出该四棱锥是正四棱锥，结合图中数据求出它的体积．【解答】解：根据四棱锥的三视图，得该四棱锥是底面为正方形，高为2的正四棱锥；所以该四棱锥的体积是×42×2=．故选：B．4．在△ABC中，，．若点D满足，则=（）A． B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．【解答】解：∵由，∴，∴．故选A5．若点P（2，0）到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设过一、三象限的渐近线倾斜角，根据点P（2，0）到此渐近线的距离为，可求出倾斜角α的值，进而得到a，b的关系，再由双曲线的基本性质c2=a2+b2得到a与c 的关系，得到答案．【解答】解：设过一、三象限的渐近线倾斜角为α所以⇒a=b，因此，故选A．6．函数f（x）=sin（ωx）（ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω为（）A．1 B．2 C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由单调区间可知f（）=1．【解答】解：∵f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，∴f max（x）=f（）=1，且（，1）为f（x）在第一象限内的第一个最高点，∴sin=1，=，∴ω=2．故选B．7．已知f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，那么a+b的值是（）A．3 B．﹣1 C．﹣1或3 D．1【考点】二次函数的性质．【分析】由定义域关于原点对称求出a的值，再由f（﹣x）=f（x）求得b的值，则答案可求．【解答】解：由f（x）=ax2+bx是定义在[﹣2a，a2﹣3]上的偶函数，得a2﹣2a﹣3=0，解得：a=﹣1（舍）或a=3．再由f（﹣x）=f（x），得a（﹣x）2﹣bx=ax2+bx，即bx=0，∴b=0．则a+b=3+0=3．故选：A．8．已知不等式ax2﹣bx﹣1＞0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a≥0的解集是（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|x≤2或x≥3}C．D．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】由已知可知，ax2﹣bx﹣1=0的两根为﹣，﹣；根据一元二次方程根与系数的关系可求a，b，进一步解方程．【解答】解：由题意ax2﹣bx﹣1=0的两根为﹣，﹣，∴﹣+（﹣）=，﹣×（﹣）=﹣，解得a=﹣6，b=5，∴x2﹣bx﹣a≥0为x2﹣5x+6≥0，其解集为x≤2或x≥3，故不等式的解集为{x|x≤2或x≥3}，故选：B．9．已知变量x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，则实数a的取值范围（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a．【解答】解：由题意作出其平面区域，由目标函数z=ax+y仅在点（3，0）处取到最大值，将z=ax+y化为y=﹣a（x﹣3）+z，z相当于直线y=﹣a（x﹣3）+z的纵截距，则﹣a，则a，故选C．10．将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥C ﹣ABD的外接球表面积为（）A．16πB．12πC．8πD．4π【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出三棱锥C﹣ABD的外接球直径，从而求出外接球的表面积．【解答】解：将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥C﹣ABD，如图所示：则BC ⊥CD ，BA ⊥AD ；三棱锥C ﹣ABD 的外接球直径为BD=2，外接球的表面积为4πR 2=π=8π．故选：C ．11．已知数列{c n }的前n 项和为T n ，若数列{c n }满足各项均为正项，并且以（c n ，T n ）（n ∈N *）为坐标的点都在曲线上运动，则称数列{c n }为“抛物数列”．已知数列{b n }为“抛物数列”，则（ ） A ．{b n }一定为等比数列 B ．{b n }一定为等差数列C ．{b n }只从第二项起为等比数列D ．{b n }只从第二项起为等差数列 【考点】数列的函数特性．【分析】以（c n ，T n ）（n ∈N *）为坐标的点都在曲线上运动，可得T n =++．当n ≥2时，c n =T n ﹣T n ﹣1，化为：（c n +c n ﹣1）（c n ﹣c n ﹣1﹣1）=0，由于数列{c n }满足各项均为正项，可得c n ﹣c n ﹣1=1，即可得出．【解答】解：∵以（c n ，T n ）（n ∈N *）为坐标的点都在曲线上运动，∴aT n =+c n +b ，即T n =++．当n=1时，ac 1=+ac 1+b ，化为﹣c 1+=0，解得c 1=或c 1=．当n ≥2时，c n =T n ﹣T n ﹣1=++﹣，化为：（c n +c n ﹣1）（c n﹣c n ﹣1﹣1）=0，∵数列{c n }满足各项均为正项， ∴c n ﹣c n ﹣1=1，∴数列{b n }为等差数列，公差为1，首项为c 1． 故选：B ．12．已知函数f（x）在（0，）上处处可导，若[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，则（）A．一定小于B．一定大于C．可能大于D．可能等于【考点】导数的运算．【分析】构造g（x）=f（x）sinx，根据已知条件判断g（x）与g′（x）的关系，再构造h（x）=，判断h（x）的单调性，利用单调性得出结论．【解答】解：∵[f（x）﹣f′（x）]tanx﹣f（x）＜0，∴f（x）sinx＜f′（x）sinx+f（x）cosx．令g（x）=f（x）sinx，则g′（x）=f′（x）sinx+f（x）cosx＞f（x）sinx=g（x）．∴g′（x）﹣g（x）＞0．令h（x）=，则h′（x）=＞0．∴h（x）是增函数．∴h（ln）＜h（ln），即＜，化简得f（ln）sin（ln）＜0.6f（ln）sin（ln）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13．已知圆C与圆（x﹣1）2+y2=1关于直线y=﹣x对称，则圆C的方程为x2+（y+1）2=1．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】设圆心A（1，0）关于直线y=﹣x对称点C（m，n），根据垂直、和中点在对称轴上这两个条件求出m，n的值，即得对称圆的圆心，再由半径等于1，求出圆C的标准方程．【解答】解：圆A（x﹣1）2+y2=1的圆心A（1，0），半径等于1，设圆心A（1，0）关于直线y=﹣x对称点C（m，n），则有=﹣1，且=﹣，解得m=0，n=﹣1，故点C（0，﹣1）．由于对称圆C的半径和圆A（x﹣1）2+y2=1的半径相等，故圆C的方程为x2+（y+1）2=1，故答案为x2+（y+1）2=1．14．已知tan α=﹣，cos β=，α∈（，π），β∈（0，），则tan（α+β）=1．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tanβ，再利用两角差的正切公式求得tan （α+β）的值．【解答】解：∵tanα=﹣，cosβ=，α∈（，π），β∈（0，），∴sinβ==，tanβ==2，∴tan（α+β）===1，故答案为：1．15．已知函数f（x）=x2+ax+20（a∈R），若对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，则a的取值范围是[﹣8，+∞）．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】由题意可得﹣a≤x+（x＞0）的最小值，运用基本不等式，可得右边函数的最小值，解不等式即可得到a的范围．【解答】解：对于任意x＞0，f（x）≥4恒成立，即为﹣a≤x+（x＞0）的最小值，由x+≥2=8，当且仅当x=4取得最小值8，即有﹣a≤8，解得a≥﹣8．故答案为：[﹣8，+∞）．16．在平面直角坐标系中，设M、N、T是圆C：（x﹣1）2+y2=4上不同三点，若存在正实数a，b，使=a+b，则的取值范围为（2，+∞）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，圆的位置不影响向量的大小，可设=（2cosθ，2sinθ），=（2cosα，2sinα），=（2cosβ，2sinβ），利用=a+b，可得cosθ=acosα+bcosβ，sinθ=asinα+bsinβ，平方相加，可35得a+b＞1，利用a3+ab2=a（a2+b2）=a[1﹣2abcos（α﹣β）]＞a（1﹣2ab），即可得出结论．【解答】解：由题意，圆的位置不影响向量的大小，可设=（2cosθ，2sinθ），=（2cosα，2sinα），=（2cosβ，2sinβ），∵=a+b，∴cosθ=acosα+bcosβ，sinθ=asinα+bsinβ，平方相加，可得1=a2+b2+2abcos（α﹣β）＜（a+b）2，∴a+b＞1，∴a3+ab2=a（a2+b2）=a[1﹣2abcos（α﹣β）]＞a（1﹣2ab），∴＞＞＞2，∴的取值范围为（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.）17．在△ABC中，．（1）求tanA；（2）若BC=1，求AC•AB的最大值，并求此时角B的大小．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得，利用三角函数恒等变换的应用进一步化简可得，结合范围0＜A＜π，即可得解．（2）由已知及余弦定理可得1=AC2+AB2﹣AC•AB，利用基本不等式解得AC•AB≤1，从而得解．【解答】解：（1）由正弦定理知，即，∴，∴，∵0＜A＜π，∴．（2）在△ABC中，BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcosA，且BC=1，∴1=AC2+AB2﹣AC•AB，∵AC2+AB2≥2AC•AB，∴1≥2AC•AB﹣AC•AB，即AC•AB≤1，当且仅当AC=AB=1时，AC•AB取得最大值1，此时．18．已知直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0（t为参数）和圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+16=0：（1）t∈R时，证明直线l与圆C总相交：（2）直线l被圆C截得弦长最短，求此弦长并求此时t的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化为t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0，解方程组，可得直线l恒过定点，即可得出结论；（2）直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l，求出CA的斜率，可得l的斜率，从而可求t的值，求出弦心距，可得直线l被圆C截得的弦长的最小值．【解答】（1）证明：直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0可化为t（x﹣y）+（3x﹣y﹣4）=0令，解得x=y=2∴直线l恒过定点A（2，2），（2，2），代入可得22+22﹣12﹣16+16＜0，∴t∈R时，证明直线l与圆C总相交（2）解：直线l被圆C截得的弦长的最小时，弦心距最大，此时CA⊥l∵圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，圆心C（3，4），半径为3∴CA的斜率为2，∴l的斜率为﹣∵直线l：（3+t）x﹣（t+1）y﹣4=0的斜率为∴=﹣∴t=﹣∵|CA|==∴直线l被圆C截得的弦长的最小值为2=4．19．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，M、N分别为棱AA1、CC1的中点．（1）求证：直线MN⊥平面B1BD；（2）已知AA1=AB，AA1⊥AB，取线段C1D1的中点Q，求二面角Q﹣MD﹣N的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明．（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】（1）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AA1⊥AC，∵M、N分别为棱AA1、CC1的中点，∴MN∥AC，∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，∴MN⊥BD，∵BB1⊥AC，∴MN⊥BB1，∵BB1∩BD=B，∴MN⊥平面BB1D．（2）∵AA1⊥AB，∴四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立直角坐标系，设棱长为2，则M（2，0，1），D（0，0，0），N（0，2，1），Q（0，1，2），易求得面MDN的一个法向量为，则面QMD的一个法向量为，则，所以二面角Q﹣MD﹣N的余弦值为．20．设数列{a n}满足a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），n∈N*，且a1=1，求证：（1）数列{a n+2n}是等比数列；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【考点】数列的求和；等比关系的确定．【分析】（1）利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】（1）证明：∵a1+a2+…+a n+2n=（a n+1+1），+2n﹣1=（a n+1），∴当n≥2时，a1+a2+…+a n﹣1∴a n+2n﹣1=，化为a n+1=3a n+2n，变形为：a n+1+2n+1=3，∴数列{a n+2n}是等比数列，首项为3，公比为3．（2）解：由（1）可得：a n+2n=3n，∴a n=3n﹣2n，∴数列{a n}的前n项和S n=﹣=﹣2n+1+．21．已知椭圆C与椭圆E：共焦点，并且经过点，（1）求椭圆C的标准方程；（2）在椭圆C上任取两点P、Q，设PQ所在直线与x轴交于点M（m，0），点P1为点P 关于轴x的对称点，QP1所在直线与x轴交于点N（n，0），探求mn是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），可得c==，点代入椭圆方程，解方程即可得到所求方程；（2）当PQ斜率不存在时，不合题意．故设PQ为y=kx+b，（k≠0，b≠0），代入椭圆方程，运用韦达定理，以及直线方程的运用，即可得到定值．【解答】解：（1）椭圆E：的焦点为（±，0），设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），可得c==，点代入椭圆方程，可得+=1，解得a=2，b=，即有椭圆C的方程为；（2）当PQ斜率不存在时，不合题意．故设PQ为y=kx+b，（k≠0，b≠0），则，设点P（x1，y1），则P1（x1，﹣y1），设Q（x2，y2），则P1Q方程为，令y=0，，由得（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣4=0，则．则，故，所以mn=4．所以mn是定值，定值为4．22．已知函数f（x）=e x+be﹣x，（b∈R），函数g（x）=2asinx，（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若b=﹣1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；（2）构造函数h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π），通过讨论a的范围确定函数的单调性，从而求出a的范围．【解答】解：（1）①当b≤0时，f'（x）≥0，所以f（x）的增区间为（﹣∞，+∞）；②当b＞0时，减区间为，增区间为．（2）由题意得e x﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，构造函数h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx，x∈（0，π）显然a≤0时，e x﹣e﹣x﹣2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，下面考虑a＞0时的情况：h（0）=0，h′（x）=e x+e﹣x﹣2acosx，h′（0）=2﹣2a，当0＜a≤1时，h′（x）≥0，所以h（x）=e x﹣e﹣x﹣2asinx在（0，π）为增函数，所以h（x）＞h（0）=0，即0＜a≤1满足题意；当a＞1时，h′（0）=2﹣2a＜0，又，所以一定存在，h′（x0）=0，且h′（x）＜0，x∈（0，x0），所以h（x）在（0，x0）单调递减，所以h（x）＜h（0）=0，x∈（0，x0），不满足题意．综上，a取值范围为（﹣∞，1]．2016年8月1日。
2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考数学(理)试题(解析版)
2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考数学（理）试题及解析一、选择题1．已知集合{}{}2cos 0,sin 2700A B x x x A B ==+=⋂o o ，，则为（ ）A ．{}01-，B ．{}11-，C ．{}1-D ．{}0 【答案】C【解析】试题分析：由于c o s 01,s i n 27==- 故{}1,1A =-，由于()210x x x x +=+=，故{}0,1B x =-，从而{}1A B ⋂=-．【考点】1、特殊角三角函数值；2、一元二次方程；3、集合的交集．2．用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反设内容为（ ）A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零 【答案】C【解析】试题分析：本题考察命题的否定是否定结论，“最多有一个”的否定就是“至少有两个”．【考点】1、命题的否定；2、反证法．【易错点晴】对于命题的否定，只是否定结论，不否定结论．3．用数学归纳法证明不等式“241321...2111>++++n n n （n ＞2）”过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ）A ．增加了一项)1(21+k B ．增加了两项++121k )1(21+kC ．增加了两项++121k )1(21+k ，又减少了一项11+k D ．增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+k【答案】C【解析】试题分析：当n k =时，左边为111122k k k+++++ ，当1n k =+时，左边为()111111111112212322122k k k k k k k k +++=++++++++++++++ ，故增加了两项()112121k k +++，又减少了一项11k +．【考点】1、数学归纳法；2、数列． 4．若两个正数b a ,满足24a b +<，则222-+=a b z 的取值范围是（ ）A ．{}|11z z -≤≤B ．{}|11z z -≥≥或z C ．{}|11z z -<< D ．{}|11z z ->>或z 【答案】D【解析】试题分析：将a 看成x ，b 看成y ，则24x y +<，()2212221y y z x x --+==⋅--，z 的几何意义就是区域24x y +<内的点(),x y 与点()1,2- 连线的斜率乘以12．作出可行域如下图所示，由图可知，连线斜率的取值范围是()(),22,-∞-⋃+∞，故{}|11z z ->>或z ． 【考点】1、线性规划——斜率型；2、换轨与转化的思想；3、数形结合的思想． 5．已知函数()cos f x x x ωω=+（0ω>）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ）A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 【答案】D【解析】试题分析：()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，函数()f x 图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，故函数()f x 的最小正周期为22T ππ=⋅=，所以222T ππωπ===；函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象沿x 轴向左平移6π个单位得，()2sin 22sin 22cos 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤=++=+= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故()g x 为偶函数，并在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以A 、C 错误．2sin 20442g πππ⎛⎫⎛⎫-=⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误．因为263x ππ≤≤，所以4233x ππ≤≤，[]2cos22,1x ∈-，所以D 正确． 【考点】1、三角函数辅助角公式；2、三角函数图像平移；3、三角函数奇偶性单调性． 6．,,,a b c d R +∈ 设a b c dS a b c b c d c d a d a b=+++++++++++则下列判断中正确的是（ ）A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S << 【答案】B【解析】试题分析：令1a b c d ====，则1111433333S =+++=，故选B ． 【考点】特殊值法．7．已知等差数列{}n a 的等差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A ．4B ．3 C ．2 D 【答案】A【解析】试题分析：因为1331,,a a a 成等比数列，所以23113a a a =⋅，即()()2111212a d a a d +=⋅+，将11a =带入上式，解得2d =（0d =不合题意，舍去），所以221,n n a n S n =-=，所以2221621687122321311n n S n n n a n n n +++===++-≥+-+++，等号成立的条件是711n n +=+，即1n =，因为n 是自然数，故2n =时取得最小值为4． 【考点】1、等差数列、等比数列；2、基本不等式；3、最值问题．8．如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n>1，n ∈N ）个点，相应的图案中总的点数记为n a（ ）A．20102011 D ．20112012【答案】A 【解析】试题分析：由图象可得()()191112(2)131,11n n n a n n n a a n n n n+=+-+=-==---，所以23344521420199991111...1...22320132a a a a a a a a ++++=-+-+，故选A ．【考点】1、合情推理与演绎推理；2、数列裂项求和法．9．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）A．． C． D．【答案】C【解析】试题分析：画出该四面体D ABC -的直观图如下图所示由三视图及直观图可知，,,3,2C D C B C DA D CB C⊥⊥===AD BD AB =====故选C ．【考点】三视图．10．如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直 【答案】D【解析】试题分析：依题意可知四边形ADFE 为菱形，对角线AF 与DE 互相垂直平分，故A 正确，在旋转过程中DE 始终垂直GF 和'GA ，故'DE AGF ⊥平面，所以恒有平面GF A '⊥平面BCDE ，故B 正确．当'AG ABC ⊥平面时，三棱锥EFD A -'的体积取得最大值，故C 正确．因为//EF BD ，故异面直线E A '与BD 所成的角为'FEA ∠，旋转过程中有可能为直角，故D 错误．【考点】1、立体几何折叠问题；2、立体几何面面垂直的判定定理；3、异面直线所成的角．11．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b a c << 【答案】A 【解析】试题分析：依题意，当≠x 时，()()()()()'''0xf x f x xf x f x f x x x x⎡⎤+⎣⎦+==>，即当0x >，时，()'0xf x >⎡⎤⎣⎦，函数()xf x 单调递增．令()()g x xf x =，则12a g ⎛⎫=⎪⎝⎭，()()222b f g =⋅=，()()ln 2ln 2ln 2c f g =⋅=，1ln 222<< ，a c b ∴<<，选A ．【考点】1、函数的奇偶性与单调性；2、函数与导数；3、化归与转化的思想．【思路点晴】本题突破口在于()()'f x f x x +变形为()'xf x x⎡⎤⎣⎦，这是一种非常常见的题型，例如：已知()()'0f x xfx +>，可以得到()'0xf x >⎡⎤⎣⎦，函数()xf x 单调递增．本题还考察了函数的奇偶性，即对于()22b f =-⋅-，要利用()f x 是奇函数，变形为()22f ⋅，对与11ln ln 22c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭要变形为()ln 2ln 2f ⋅．最后，还需要会比较1,2,ln 22的大小．12．分析函数()f x 的性质： ①()f x 的图象是中心对称图形； ②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为)+∞；④方程(())1f f x =其中描述正确个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】试题分析：①因为()()f x f x -=≠- ，所以函数不是奇函数，所以错误；②因为()()3f x f x -===，所以函数()f x 关于直线32x =对称，所以正确；③由②可得()32f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭故函数()f x 的值域为,)+∞，所以正确；④令()t f x =，则方程(())1f f x =等价于()10f t =，即0,3t t ==，由③可知()3t f x =>，故t 不存在，所以④错误．【考点】1、命题的真假判断与应用；2、函数的图像与性质；3、函数的值域．【方法点晴】本题是选择题中的压轴题，设计的知识点很多．我们在考查一个函数的时候，主要通过函数的奇偶性、对称性、单调性来寻找突破口．本题中①利用函数的奇偶性来判断；②利用的是对称性来判断，也就是若函数()f x 满足()()2f a x f x -=,则有函数()f x 关于直线x a =对称，这个可以作为一个结论来记忆；③利用了②的结论，通过函数对称轴来判断；④利用了③的结论来判断，环环相扣，考查了复合函数的取值． 二、填空题13．已知a 与b 的夹角为︒60，1=a 且22=-b a ，则b = _________．【答案】2【解析】试题分析：依题意有22222=4444cos602a b a a b b b b --⋅+=-⋅⋅+=，解得2b =．【考点】向量的模与向量数量积的运算． 14．在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________． 【答案】64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为,,x y z ，则根据柯西不等式()()21916134x y z x y z ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭64=，所以8,24,32x y z ===时，最小值为64．【考点】柯西不等式．15．如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直线EF 的平面分别与棱'BB 、'DD 分别交于,M N 两点，设BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个结论：①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②直线AC ∥平面M ENF 始终成立；③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常数；以上结论正确的是___________． 【答案】①②④【解析】试题分析：①因为',EF BB EF BD ⊥⊥，所以''EF BDD B ⊥平面，所以平面MENF ⊥平面BDD B ''成立；②因为//AC EF ，所以直线AC ∥平面MENF 始终成立；③因为()MF f x ==()f x 在[]01，上不是单调函数；④'''1111134346C MENF F MC E F C NE V V V --=+=⋅+⋅=，故()h x 为常数． 【考点】1、线面平行的证明；2、面面垂直的证明；3、函数的单调性；4、不规则几何体体积求法．【方法点晴】线面平行的证明，只需要在平面MENF 内找一条直线和AC 平行就可以，这个很容易得到；面面垂直的证明，需要在一个平面内，找到另一个平面的垂线，本题只要将目标瞄准EF ，很快就能得到结论；四边形的周长，需要用勾股定理先把表达式求出来，再根据表达式判断函数的单调性；不规则几何体求体积，主要方法就是切割成规则的几何体，本题就是将其分解成两个三棱锥来解决．16．若关于x 的不等式(1)(ln )0ax x ax -+≥在（0，+∞）上恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1|a a a e e⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或【解析】试题分析：令()()()()()1,ln ,f x ax g x x ax M x f x g x =-=+=⋅，令()'1110,ax g x a x x x a+=+===-． （1）当0a =时，()ln M x x =-，不符合题意； （2）当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒为负，在1+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，上恒为正；()g x 在()0,+∞上单调递增，则需1ln 10g a a ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭,此时a e =，符合题意； （3）当0a <时，()f x 在()0,+∞恒为负；()g x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，故()g x 在1x a=-处取得极大值也即是最大值，()11ln 10g x g a a ⎛⎫⎛⎫≤-=--≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得1a e ≤-．【考点】1、函数与导数的单调性与极值最值问题；2、数形结合与分类讨论的思想；3、划归与转化的思想．【方法点晴】本题是填空题中的压轴题，主要考查了函数与导数、分类讨论的思想．题目的突破口在于对条件(1)(ln )0ax x ax -+≥的处理，把它变成两个函数相乘，()f x 是一次函数，()g x 是一个可以利用导数作为工具很容易研究清楚的函数，这样转化之后两个函数都变成容易求解的形式．利用导数作为工具，画出两个函数图象之后，结果就显而易见了．对于选择填空题中的函数问题，如果能熟练运用函数图象，数形结合，将会提高你的解题能力． 三、解答题17．已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，满足226cos a b ab C +=，且2sin 2sin sin C A B =．（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->,()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π,求()f A 的取值范围．【答案】（Ⅰ）3π=C ；(Ⅱ) 0()f A <≤【解析】试题分析：（1）利用正弦定理对2sin 2sin sinC A B =进行角化边，变为ab c 22=，再代入余弦定理公式即可．（2）由“()f x 图象上相邻两最高点间的距离为π”得()f x 的最小正周期为π，故2==2Tπω，然后利用三角恒等变形，化简()sin =sin 233f x x x ππω⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于23A B π+=，且02B π<<，所以62A ππ<<，20233A ππ<-<，从而可求得()f A 的取值范围． 试题解析：（Ⅰ）因为C ab b a cos 622=+,由余弦定理知C ab c b a cos 2222+=+所以ab c C 4cos 2= 又因为B A C sin sin 2sin 2=,则由正弦定理得:ab c 22=，所以21424cos 2===ab ab ab c C ，所以3π=C（Ⅱ）3()sin()cos cos )6223f x x x x x x ππωωωωω=--=-=-由已知2,2==ωπωπ，则()),3f A A π=- 因为3C π=，23B A π=-，由于0,022A B ππ<<<<，所以62A ππ<< 所以20233A ππ<-<，根据正弦函数图象，所以0()f A <≤【考点】1、解三角形：正弦定理和余弦定理；2、三角恒等变换；3、三角函数周期与值域．18．已知命题p ：函数()22f x x ax =+-在[－2,2]内有且仅有一个零点．命题q ：220x ax ++≤在区间[1,2]内有解．若命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【答案】{|a a >-【解析】试题分析：因为“p 且q ”是假命题，所以命题p 和命题q 中一真一假或都为假．对于命题p ，因为212=+8020a x x ∆>+=-<，，函数()f x 必定有一个正跟和一个负根，结合()f x 对称轴和图象即可得出结论．对于命题q ，利用分离常数法，2a x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，即a 小于等于2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值．试题解析：先考查命题p ：若a ＝0，则容易验证不合题意；故()020(2)0a f f <⎧⎪-≥⎨⎪<⎩解得a<－1或()020(2)0a f f >⎧⎪≥⎨⎪-<⎩解得a>1因此a<－1或a>1 再考查命题q ：因为x ∈[1，2] ， 所以a≤－(x ＋2x)在[1，2]上有解．可知当且仅当[]1,2x =时等号成立，因此a ≤-当命题p 和命题q都真时a ≤-因为命题“p 且q”是假命题，所以命题p 和命题q 中一真一假或都为假 综上，a的取值范围为{|a a >-．【考点】1、含有逻辑连接词且或非命题真假性的理解；2、二次函数零点分布． 19．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)()n S n n n N *=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足：3122331313131n n n b b b ba =++++++++ ，求数列{}nb 的通项公式；（3）令()4n nn a b c n N *=∈，求数列{}n c 的前 n 项和n T ． 【答案】（1）n a n 2=；（2）)13(2+=nn b ；（3）432)1(43)12(1+++⨯-=+n n n T n n ． 【解析】试题分析：（1）已知n S 求n a ，代入111,1,1n nn a S n a S S n -==⎧=⎨->⎩求解得2n a n =．（2）利用111231n n n n b a a +++-==+，得出1n b +的表达式，进而求出n b ．（3）先利用前面得出的结论，求出3n n c n n =⋅+，然后利用分组求和法和错位相减法求解．试题解析：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）－（n －1）n ＝2n ，a 1＝2满足该式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 3分 （2）()1221313131n n nb b b a n =+++≥+++ ，① 11212131313131n nn n n b b b ba +++=++++++++ ② ②－①得，111231n n n n b a a +++=-=+，得b n ＋1＝2（3n ＋1＋1），又当n=1时，b 1=8，所以)13(2+=n n b ．（3）4n n n a b c =＝n （3n＋1）＝n ·3n＋n ， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋ ＋c n ＝（1×3＋2×32＋3×33＋ ＋n ×3n）＋（1＋2＋ ＋n ），令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋ ＋n ×3n ，① 则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋ ＋n ×3n ＋1②，－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋ ＋3n －n ×3n ＋1＝3(31)31n --－n ×3n ＋1 ∴1(21)334n n n H +-⨯+=， ∴数列{c n }的前n 项和432)1(43)12(1+++⨯-=+n n n T n n ． 【考点】1、数列已知n S 求n a ；2、数列求和——分组求和法、错位相减法． 20．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，BD CF ⊥，且FA AD ⊥，//EF AD ，EF AF a ==．（Ⅰ）求证：平面ADEF 垂直于平面ABCD ；（Ⅱ）若P Q 、分别为棱BF 和DE 的中点，求证：PQ ∥平面ABCD ； （Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）353a ．【解析】试题分析：（1）先证明B D A F ⊥,结合已知A F A D ⊥可得A F ABCD ⊥平面 ，从而得出结论．（2）利用P Q 、分别为棱BF 和DE 的中点，构造平行四边形来证明．（3）不规则几何体求体积，将其切割为一个三棱锥和一个四棱锥来求．注意利用（1）（2）问的结论． 试题解析：（1）连接AC ，因为四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，由已知,BD CF AC CF C ⊥⋂=，所以BD ACF ⊥平面，所以BD AF ⊥，又因为,AF AD AD BD D ⊥⋂=，所以AF ABCD ⊥平面，所以平面ADEF 垂直于平面ABCD ．（Ⅱ）作PS AB ⊥，QT AD ⊥，EM AD ⊥，S T M 、、是垂足．在ABF ∆中，::12PS AF BP BF ==：,12PS AF =． 在直角梯形ADEF 中，1122QT EM AF ==． ∴//PS QT ,∴四边形PSTQ 是平行四边形，∴//PQ ST ． 而ST ⊂平面ABCD ，∴//PQ 平面ABCD ．（Ⅲ）2231115=V +=(2)23323ABCDEF F ABCD C DEF V V a a a a a --⋅⋅+⋅⋅=多面体四棱锥三棱锥 【考点】1、面面垂直的证明；2、线面平行的证明；3、不规则几何体求体积． 21．设函数2()ln(1)f x x m x =++．（1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时，()f x 与3x 的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e ee e -⨯-⨯-+++++< 成立． 【答案】（1）1[,)2+∞；（2）3()f x x <；（3）见解析．【解析】试题分析：（1）依题意，函数()f x 是定义域上的单调函数，其导数恒大于等于零或者恒小于等于零，求导之后利用分离常数法来解决．（2）构造新函数332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+，注意到()00g =，利用导数判断()g x 的单调性即可解决．（3）利用（2）得出结论，),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x ，对x 进行赋值，令x n =，n N +∈，即有2(1)ln(1),n n n -<+所以2(1)1n nen -⨯<+（n N +∈），进而华健不等式的左边每一项，最后求和就可以证明．试题解析：（1）∵222()211m x x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数．∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，即函数()f x 是定义域上的单调地增函数，则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立，由此可得12m ≥；若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立，则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立．即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立．∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立． 综上所述，实数m 的取值范围是1[,)2+∞．（2）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+．令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++ 显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=，即3()0f x x -<恒成立．故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x < （3）法1：证明：由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x 即),1ln()1(2+<-x x x令x n =，n N +∈，即有2(1)ln(1),n n n -<+ 所以2(1)1n n en -⨯<+（n N +∈）因此201429(1)(3)2345(1)2n n n n e ee e n -⨯-⨯-⨯+++++<++++++=故对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e ee e -⨯-⨯-+++++< 成立． 法2：数学归纳法证明：1、当1=n 时，左边=10=e ，右边=2241=⨯，原不等式成立． 2、设当k n =时，原不等式成立，即2)3(2)1(92410+<++++⨯-⨯-⨯-k k e e e e k k则当1+=k n 时，左边=222)1()1()11()1(924102)3(=⨯-+⨯--⨯-⨯-⨯-++<+++++k k k k k k e k k e e e ee 只需证明2)4()1(2)3(2)1(+⨯+<+++⨯-k k e k k k k 即证22)1(+<+⨯-k e k k ，即证)2ln()1(2+<+⨯-k k k 由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x 即),1ln()1(2+<-x x x令1+=k x ，即有)2ln()1(2+<+⨯-k k k所以当1+=k n 时成立由1、2知，原不等式成立【考点】1、导数的运算；2、利用导数判断函数的单调性；3、利用导数求函数的极值和最值；4、恒成立问题．【思路点睛】本题第一问考查分离常数法解不等式问题，分离常数法是解不等式恒成立问题可以首先采用的方法．第二问是利用导数证明不等式，基本的思路是先直接作差构造一个函数，然后利用导数作为工具，求出函数的单调区间，结合特殊点就可以求解出结论．第三问是在第二问的基础上，对自变量x 进行赋值，转化为数列的问题来求解．三个问题，考查三个基本方法，是一个不错的题目．22．已知函数()ln f x x a x =+，在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-． （1）求实数a 的值；（2）设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若133b ≥， 求()()12g x g x -的最小值．【答案】(1) 1a =；(2)402ln 39-． 【解析】试题分析：(1)切点为()11，，利用()f x 在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，可得得出()'12f =,解方程即可．(2)先对()g x 进行求导，得出12,x x 的关系，根据112122211()()ln()2x x x g x g x x x x -=--，考虑令12xt x =，构造一个新的函数111()ln (),0,29h t t t t t ⎛⎤=--∈ ⎥⎝⎦来求解．试题解析：（1）由题可得()1af x x'=+ 由题意知(1)12f a '=+=，即1a =（2）由21()ln (1)2g x x x b x =+--，2(1)1()x b x g x x--+'=令2()0,(1)10g x x b x '=--+= 即12121,1x x b x x +=-=而2212121221()110022(1)9x x x x t b x x x x t +=++=++=-≥由12x x <，即01t <<，解上不等式可得：109t <≤而11212221111()()ln()ln ()22x x x g x g x t t x x x t -=--=-- 构造函数111()ln (),0,29h t t t t t ⎛⎤=--∈ ⎥⎝⎦由221(1)0,,()092t t h t t -⎛⎤∈=-< ⎥⎝⎦， 故()h t 在定义域内单调递减，min 140()()2ln 399h t h ==- 所以()()12g x g x -的最小值为402ln 39- 【考点】1、函数的切线问题；2、导数研究函数的性质；3、化归与转化的思想． 【思路点睛】本题第一问是函数的切线问题，只要牢牢把握住切点和斜率，此类问题会很快解决．第二问是压轴问，突破口有两个地方，一个是“12,x x 是函数的极值点”转化为函数导数等于零；另一个是题目要求解()()12g x g x -的表达式，先求出该式子，再用换元法解决．解决此类问题，采用步步稳盈，层层推进的方法，将题目的文字语言逐步用数学式子表示出来，问题也就迎刃而解了．。
大庆实验中学届高三考前得分训练数学试题及答案(二)(理)
大庆市实验中学2016年高三得分训练（二）数学试题（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求.1．已知集合2{230},{ln(2)}A x x x B x y x =--≤==-，则AB =( )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,2)-D ．(1,2)- 2．若复数43(cos )(sin )i 55=-+-z θθ是纯虚数（i 为虚数单位），则tan ()4-θπ的值为( )A ．7-B ．17-C ．7D ．7-或17-3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12,a =且245,2,a a a +成等差数列，记S n 是数列{}n a 的前n 项和，则5S = ( )A ．32B ．62C ．27D ．81 4．已知函数()sin()(0,)2=+><f x x ωϕωϕπ的最小正周期为π，且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像( ) A ．关于直线12=x π对称 B ．关于直线512=x π对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12π对称5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻 的概率为( ) A ．110B ．23C ．13D ．146．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈ 时, 2()log (1f x x =+）,则(31)f = ( )A ．0B ．1C ．1-D ．2 7．若如下框图所给的程序运行结果为S =41，则图中的判断框（1）中应填入的是( ) A ．6?i >B ．6?i ≤C ．5?i >D ．5?i <8．过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有( ) A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条 9．设12,F F 为椭圆22195x y +=的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值为A ．514B ．513C ．49D ．5910．已知变量,x y 满足48050,10x y x y y +-+--⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≥若目标函数(0)z ax y a =+>取到最大值6，则a 的值为( )A ．2B ．54C ．524或 D ．2-11．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某 多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( )A ．8πB ．252πC ．12πD ．414π12.设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若对任意给定的(1,)m ∈+∞，都存在唯一的R ∈x ，满足22(())2f f x a m am =+，则正实数a 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．[)2,+∞D ．()2,+∞ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知03sin m xdx π=⎰，则二项式(23)m a b c +-的展开式中23m ab c -的系数为 ．14．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 中点，点E 满足13BE BC =，则AE B D ⋅＝ ．15．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32n n n nS a n =-++-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足2sin()6+=+b C a c π．（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．18．(本小题满分12分)为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望； （2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：19．(本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 是直角梯形，AD //BC ,90BCD ∠=,PA ABCD⊥底面ABM ∆是边长为2的等边三角形，PA DM ==（Ⅰ）求证：平面PAM PDM ⊥平面；（Ⅱ）若点E 为PC 中点,求二面角P M D E --的余弦值．20．（本题满分12分）已知抛物线22x py =上点P 处的切线方程为10x y --=． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设11(,)A x y 和22(,)B x y 为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠且124y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．21．（本题满分12分）已知函数ln ()(0)1x xf x a a x =-<-． （Ⅰ）当(0,1)x ∈时，判断()f x 的单调性；（Ⅱ）若()(1)()h x x x f x =-⋅,且方程()h x m =有两个不相等的实数根12,x x ．求证：121x x +>．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22．(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于F ．（Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线； （Ⅱ）若3CD =，7=5EA ，求AB 的长．23．(本小题满分10分) 选修4-4 ：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2π，若直线l 过点P ，且倾斜角为6π，圆C 以M 为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ⋅．24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()f x =R ．（Ⅰ）求实数m 的范围；（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足41532n a b a b+=++时，求47a b +的最小值．参考答案一、选择题1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．C 9．B 10．B 11．D 12．A 二、填空题13．6480- 14．2- 152 16．311,44-⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题17．解答：（Ⅰ）12sin (sin cos )sin sin 2B C C A C +⋅=+，sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++，sin cos sin sin B C B C C =+，cos 1B B =+，所以2sin()16-=B π，得3=B π． ………6分（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =， 由（Ⅰ）知3=B π，,AD AC ∴=∴=，由正弦定理知，4sin x BAC =∠sin BAC ∠=. ………12分解法二：由（Ⅰ）知3=B π，又M 为BC 中点， 2a BM MC ∴==， 在ABM ABC ∆∆与中，由余弦定理分别得：22222()2cos ,2242a a a ac AM c c B c =+-⋅⋅⋅=+-222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-⋅=+-又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +-3,2a c b ∴=∴=，由正弦定理知，sin a BAC ∠sin BAC ∠=. 18 ．解：（1）由已知，每个男性周末上网的概率为56， 故X ～5(3,)6B ，3315()()()66k k kP x k C -==，0,1,2,3k =， 52EX np ==.（2）因为2808.9 6.6359k ==>，故有99%把握认为年轻人的休闲方式与性别有关系.19．解答：（Ⅰ）ABM ∆是边长为2的等边三角形, 底面ABCD 是直角梯形，CD ∴=又3,DM CM =∴=314,AD ∴=+=222,.AD DM AM DM AM ∴=+∴⊥又,PA ABCD ⊥底面,DM PA ∴⊥,DM PAM ∴⊥平面DM PDM ⊂∴平面，平面.PAM PDM ⊥平面 ………6分（Ⅱ）以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴， 过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则CM P 设平面PMD 的法向量为1111(,,)n x y z =，则111130,40y y +=+=⎪⎩取113,(3,x n =∴= ………8分E 为PC中点，则E， 设平面MDE 的法向量为2222(,,)n x y z =，则2222230,+20y x y +=+=取2213,(3,).2x n =∴= ………10分 由121213cos 14n n n n θ⋅==u r u u ru r u u r ．∴二面角P M D E --的余弦值为1314． ………12分 20．解答：（Ⅰ）设点200(,)2x P x p ，由22x py =得22x y p=，求导'x y p =，因为直线PQ 的斜率为1，所以1x p=且200102x x p --=，解得2p =， 所以抛物线的方程为24x y =． ………4分（Ⅱ）设线段AB 中点()00,M x y ，则121200,,22x x y y x y ++== ()222102112212114442ABx x x y y k x x x x x x --===+=--， ∴直线l 的方程为0022()y x x x -=--， 即02(4)0x x y +-+=，l ∴过定点(0,4). ………6分联立0022002:2()228024x AB y x x x xx x x y ⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩得2200044(28)0x x x ∆=--⇒-＞＜AB 12x =-=， ………8分设()4,0C 到AB的距离d CM =12ABC S AB d ∆∴=⋅=8=， ………10分 当且仅当22004162x x +=-，即20±=x 时取等号，ABC S ∆∴的最大值为8. ……12分21．解答：（Ⅰ）21ln '(),(1)x x f x x --=-设()1ln ,g x x x =--则1'()1,g x x =-∴当(0,1)x ∈时，'()0()(1)0,'()0,g x g x g f x <∴>=∴>()f x ∴在(0,1)上单调递增． ………4分（Ⅱ）22()ln (0),h x x x ax ax a =-+< '()2ln 2,h x x x x ax a ∴=+-+ ''()2ln 23h x x a ∴=-+''()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，当(2)a x e -=时，''()0,''(1)320,h x h a <=->∴必存在(2)(e ,1),a α-∈使得''()0,h x =即2ln 230,a α-+='()h x ∴在(0,)α上单调递减，在(,)α+∞上单调递增，当0x α<<时，'()(2ln 12)(2ln 2ln 2)0h x x x a a x x a α=+-+=+-+<又'()20,'(1)10,h a h a αα=-<=->则存在0(,1),x α∈使0'()0,h x =()h x ∴在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，当0(0,)x x ∈时，()[ln (1)]0h x x x x a x =--< 又(1)0,h =不妨设12,x x <则10020,1,x x x x <<<<由（Ⅰ）知21010112202022()()()()()()()()()()f x f x h x f x x x f x f x h x f x x x ⎧<>-⎫⎪⇒⎬⎨><-⎪⎭⎩，2202221011()()()()()()f x x x h x h x f x x x ∴->=>-，222211212112()()()(1)0, 1.x x x x x x x x x x ∴---=-+->∴+> ………12分22．解答：（Ⅰ）连结,.AD OD 则AD BC ⊥，又AB AC =，∴D 为BC 的中点，而O 为AB 中点，∴OD AC ∥，又DF AC ⊥，∴OD DF ∥，而OD 是半径，∴DF 是O ⊙的切线. ………5分 （Ⅱ）连DE ，则CED B C ∠=∠=∠，则DCF DEF ∆∆≌，∴CF FE =，设CF FE x ==，则229DF x =-，由切割线定理得：2DF FE FA =⋅， 即279+5x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：1295=52x x =-，（舍），∴ 5.AB AC == ………10分 23．解答：（Ⅰ）直线l的参数方程为1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）t (， 圆的极坐标方程为θρsin 6=. ………5分（Ⅱ）把1,12,2x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(3)9x y +-=，得21)70t t +-=， 127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ⋅= ………10分24． 解答：（Ⅰ） 函数的定义域为R ，6)4()2(42=--+≥-++x x x x ，6≤∴m .………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知6=n ，由柯西不等式知，47a b +=141(47)()6532a b a b a b++++1[(5)(32)]6a b a b =+++413()5322a b a b +≥++， 当且仅当15,2626a b ==时取等号， 47a b ∴+的最小值为23. ………10分。
2016届黑龙江省大庆市高三第一次模拟考试数学(理科)(解析版)
黑龙江省大庆市2016年高考数学一模试卷（理科）（解析版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x﹣2＜0}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[﹣2，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【分析】化简A，再根据A∩B=A，求得实数a的取值范围．【解答】解：∵集合A={x|x﹣2＜0}={x|x＜2}，B={x|x＜a}，A∩B=A，∴a≥2，故选：D．【点评】本题主要考查两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．2．若复数x满足x+i=，则复数x的模为（）A．B．10C．4D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算求得复数x，再求其模即可．【解答】解：x+i=，∴x=﹣i=﹣1﹣3i，∴|x|=，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题．3．下列函数中，在（0，+∞）上单调递减，并且是偶函数的是（）A．y=x2B．y=﹣x3C．y=﹣ln|x|D．y=2x【分析】本题根据函数奇偶性定义，判断函数的是否为偶函数，再根据函数单调性判断函数是否为减函数，得到本题结论．【解答】解：选项A，y=x2是偶函数，当x＞0时，y=x在在（0，+∞）上单调递增，不合题意；选项B，y=﹣x3，是奇函数，不合题意；选项C，y=﹣ln|x|是偶函数，当x＞0时，y=﹣lnx在在（0，+∞）上单调递减，符合题意；选项D，y=2x，不是偶函数，递增，不合题意．故选：C．【点评】本题考查了奇偶性与单调性，本题难度不大，属于基础题．4．双曲线的一个顶点为（2，0），一条渐近线方程为y=x，则该双曲线的方程是（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣=1D．﹣=1【分析】根据双曲线的一条渐近线方程为y=x，且一个顶点的坐标是（2，0），可确定双曲线的焦点在x轴上，从而可求双曲线的标准方程．【解答】解：∵双曲线的一个顶点为（2，0），∴其焦点在x轴，且实半轴的长a=2，∵双曲线的一条渐近线方程为y=x，∴b=2，∴双曲线的方程是﹣=1．故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，判断焦点位置与实半轴的长是关键，属于中档题．5．下列说法中不正确的个数是（）①命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；②若“p∧q”为假命题，则p、q均为假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件．A．OB．1C．2D．3【分析】①根据含有量词的命题的否定判断．②根据复合命题与简单命题之间的关系判断．③根据充分条件和必要条件的定义判断．【解答】解：①全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”正确．②若“p∧q”为假命题，则p、q至少有一个为假命题；故错误．③“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=，若a=b=c=0，满足b=，但三个数a，b，c成等比数列不成立，∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件，正确．故不正确的是②．故选：B．【点评】本题主要考查命题的真假判断，解决的关键是对于命题的否定以及真值的判定的运用，属于基础题6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题①α∥β=l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β．其中正确命题的序号是（）A．①②③B．②③④C．①③D．②④【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．所以真命题为①③．故选C．【点评】本题是对空间中直线和平面以及直线和直线位置关系的综合考查．重点考查课本上的公理，定理以及推论，所以一定要对课本知识掌握熟练，对公理，定理以及推论理解透彻，并会用．7．记定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=成立，则称x0为函数f（x）在[a，b]上的“平均值点”，那么函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】由新定义计算定积分可将问题转化为g（x）=x3+2x﹣在x∈[﹣1，1]上的零点个数，由零点判定定理和函数单调性可得．【解答】解：由题意可得（x3+2x）dx=（x4+x2）=，∴函数f（x）=x3+2x在[﹣1，1]上“平均值点”的个数为方程x3+2x=在[﹣1，1]上根的个数，构造函数g（x）=x3+2x﹣，则问题转化为g（x）在x∈[﹣1，1]上的零点个数，求导数可得g′（x）=3x2+2＞0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上单调递增，由g（﹣1）g（1）＜0，故函数g（x）在x∈[﹣1，1]上有唯一一个零点．故选：A．【点评】本题考查定积分的运算，涉及转化和数形结合的思想，属中档题．8．（5分）（2016呼伦贝尔一模）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形．若该几何体的体积为V，并且可以用n个这样的几何体拼成一个棱长为4的正方体，则V，n的值是（）A．V=32，n=2B．C．D．V=16，n=4【分析】由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，再根据公式求解即可．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面是正方形的四棱锥，所以V=，边长为4的正方体V=64，所以n=3．故选B【点评】本题考查学生的空间想象能力，是基础题．9．（5分）（2016漳州一模）已知曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）（w＞0）的两条相邻的对称轴之间的距离为，且曲线关于点（x0，0）成中心对称，若x0∈[0，]，则x0=（）A．B．C．D．【分析】利用两角和的正弦公式化简f（x），然后由f（x0）=0求得[0，]内的x0的值．【解答】解：∵曲线f（x）=sin（wx）+cos（wx）=2sin（wx+）的两条相邻的对称轴之间的距离为，∴=π，∴w=2∴f（x）=2sin（2x+）．∵f（x）的图象关于点（x0，0）成中心对称，∴f（x0）=0，即2sin（2x0+）=0，∴2x0+=kπ，∴x0=，k∈Z，∵x0∈[0，]，∴x0=．故选：C．【点评】本题考查两角和与差的正弦函数，考查了正弦函数的对称中心的求法，是基础题．10．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积是（）A．πB．3πC．D．2π【分析】求出P到平面ABC的距离为，AC为截面圆的直径，AC=，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，求出R，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC=，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（﹣d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．11．在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C：x2+（y﹣1）2=5，点A为⊙C与x轴负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M，若|OA|=|OM|，则直线AB的斜率为（）A．﹣2B．C．2D．4【分析】因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，则CM⊥AB，求出圆的直径，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sin∠OCM，利用∠OCM与∠OAM互补，即可得出结论．【解答】解：因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，由题意CM⊥AB，因此，四点C，M，A，O共圆，且AC就是该圆的直径，2R=AC=，在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=，根据题意，OA=OM=2，所以， =，所以sin ∠OCM=，tan ∠OCM=﹣2（∠OCM 为钝角），而∠OCM 与∠OAM 互补，所以tan ∠OAM=2，即直线AB 的斜率为2． 故选：C ．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．12．已知函数f （x ）=x 3﹣x 2﹣x+a 的图象与x 轴只有一个交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣，+∞）B ．（﹣，1）C ．（﹣∞，1）D ．（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）【分析】求出导数，求出单调区间，求出极值，曲线f （x ）与x 轴仅有一个交点，可转化成f （x ）极大值＜0或f （x ）极小值＞0即可．【解答】解：函数f （x ）=x 3﹣x 2﹣x+a 的导数为f ′（x ）=3x 2﹣2x ﹣1， 当x ＞1或x ＜﹣时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增； 当﹣＜x ＜1时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减． 即有f （1）为极小值，f （﹣）为极大值． ∵f （x ）在（﹣∞，﹣）上单调递增， ∴当x →﹣∞时，f （x ）→﹣∞；又f （x ）在（1，+∞）单调递增，当x →+∞时，f （x ）→+∞，∴当f （x ）极大值＜0或f （x ）极小值＞0时，曲线f （x ）与x 轴仅有一个交点． 即a+＜0或a ﹣1＞0，∴a∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的单调性，属于中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．若||=1，||=，，且，则向量与的夹角为．【分析】根据向量的数量积运算和向量的夹角公式即可求出．【解答】解：设向量与的夹角为θ，∵，且，∴=（+）=+=||2+||||cosθ=0，即1+cosθ=0，即cosθ=﹣，∵0≤θ≤π∴θ=，故答案为：．【点评】本题考查了向量的数量积运算和向量模的计算，属于基础题．14．已知在等差数列{a n}中，a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a2+a1009+a2016的值为15．【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系可得a1+a2017=10再利用等差数列的性质即可得出．【解答】解：∵a1，a2017为方程x2﹣10x+16=0的两根，∴a1+a2017=10=2a1009，∵数列{a n}是等差数列，则a2+a1009+a2016=3a1009=15．故答案为：15．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．设变量x，y满足约束条件，目标函数z=abx+y（a，b均大于0）的最大值为8，则a+b的最小值为2．【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再根据目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为8，求出a，b的关系式，再利用基本不等式求出a+b的最小值．【解答】解：满足约束条件的区域是一个四边形，如下图：4个顶点是（0，0），（0，2），（，0），（2，6），由图易得目标函数在（2，6）取最大值8，即8=2ab+6，∴ab=1，∴a+b≥2=2，在a=b=2时是等号成立，∴a+b的最小值为2．故答案为：2．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．已知F1，F2是椭圆=1的两个焦点，A，B分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点P在线段AB 上，则的最小值为﹣．【分析】求得椭圆的焦点和A，B的坐标，以及直线AB的方程，设出P（m，n），求得的坐标表示，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方，运用点到直线的距离公式即可得到所求最小值．【解答】解∵椭圆=1，∴A（﹣2，0），B（0，1），F1（﹣，0），F2（，0），可得AB的方程为x﹣2y+2=0，设P（m，n），则=（﹣﹣m，﹣n）（﹣m，﹣n）=m2+n2﹣3，由m2+n2的几何意义：表示原点与AB上的点的距离的平方．可得原点到直线AB的距离取得最小，且为=，即有m2+n2﹣3的最小值为﹣3=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查椭圆方程和性质，考查向量的坐标表示及最值的求法，解题时要认真审题，注意m2+n2的几何意义的合理运用，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）（2016大庆一模）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且a1+2a2=1，a=4a2a6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和．【分析】（1）设数列{a n}的公比为q，通过解方程组可求得a1与q，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）可知{b n}为等差数列，利用等差数列的求和公式可求得b n，利用裂项法，可求数列{}的前n项和．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由a=4a2a6得a=4，∴q2=，由已知a n＞0，∴q=，由a1+2a2=1，得2a1=1，∴a1=，∴数列{a n}的通项公式为a n=．（2）b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=﹣（1+2+…+n）=﹣∴==﹣2（），∴数列{}的前n项和=﹣2[（1﹣）+（）+…+（）]=﹣．【点评】本题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．18．（12分）（2016大庆一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，=（，c﹣2b），=（sin2C，1），且满足=0．（1）求∠A的大小；（2）若a=1，求△ABC周长的取值范围．【分析】（I）由已知及平面向量数量积的运算可得2acosC+c﹣2b=0，由余弦定理整理得b2+c2﹣a2=bc，可求cosA=，结合范围0＜A＜π，即可解得A的值．（II）由正弦定理及恒等变换的应用可得△ABC的周长l=a+b+c=1+（sinB+sinC）=2sin（B+）+1，结合范围0＜B＜，可求＜sin（B+）≤1，即可得解周长的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（I）∵=0，∴sin2C+c﹣2b=，…（2分）∴，即2acosC+c﹣2b=0，…（3分）由余弦定理得：2a+c﹣2b=0，…（4分）整理得b2+c2﹣a2=bc，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=．…（6分）（II）∵cosA=，∴sinA=，…（7分）由正弦定理得：==，…（8分）△ABC的周长l=a+b+c=1+（sinB+sinC）=1+[sinB+sin（B+）]=2sin（B+）+1，…（10分）∵0＜B＜，∴＜B＜，∴＜sin（B+）≤1，…（11分）因此2＜l≤3，故△ABC周长的取值范围为（2，3]．…（12分）【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查了计算能力，属于中档题．19．（12分）（2016大庆一模）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是菱形，PA⊥平面ABCD，AC=BC，E，F分别是BC，PC的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面PAD；（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角F﹣AE﹣B的余弦值．【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可得到结论．（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】解：（1）由四边形ABCD是菱形，AC=BC，可得△ABC为正三角形．∴AE⊥BC．又∵BC∥AD，∴AE⊥AD …（1分）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，∵PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，而AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面PAD．…（4分）（2）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH，由（I）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角．…（5分）在Rt△EHA中，AE=，∴当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，此时tan∠EHA=．…（6分）∴AH=，又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=2．…（8分）由（I）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．又E，F分别是BC，PC的中点，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（，，1）．…（9分）∴=（，0，0），=（，，1）．．设平面AEF的法向量为=（x，y，z），则，∴…（10分）取z=﹣1，则=（0，2，﹣1），为平面AEF的一个法向量．又PA⊥平面ABC，∴=（0，0，1）为平面ABE的一个法向量．∴cos＜，＞===，故所求二面角的余弦值为．…（12分）【点评】本题主要考查面面垂直判定以及二面角的求解，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解，综合性较强，运算量较大．20．（12分）（2016大庆一模）已知函数f（x）=ln（x+a）﹣x2﹣x在x=0处取得极值．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根，求实数b的取值范围；（3）对于n∈N+，证明：．【分析】（1）求导，f′（0）=0，求得a的值，写出函数及导函数表达式，f′（x）＞0，求得f（x）的单调递增区间，；由f′（x）＜0，求得函数单调递减区间；（2）构造辅助函数g（x）=f（x）﹣（﹣x+b），求导，令g′（x）=0，求得x的值，即可求得g（x）的单调区间，求得g（x）的两个零点，实数b的取值范围；（3）由（1）可知当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），可得到ln＜，求得前n项不等式，采用累加法及对数函数的性质，即可证明不等式成立．【解答】解：（1）由已知得f′（x）=﹣2x﹣1=，…（1分）∵f′（0）=0，∴=0，∴a=1．∴f（x）=ln（x+1）﹣x2﹣x（x＞﹣1），…（2分）于是f′（x）==（x＞﹣1），由f′（x）＞0得﹣1＜x＜0；由f′（x）＜0，得x＞0，∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，0），单调递减区间是（0，+∞）．…（4分）（2）令g（x）=f（x）﹣（﹣x+b）=ln（x+1）﹣x2+x﹣b，x∈（0，2），则g′（x）=﹣2x+=﹣，令g′（x）=0，得x=1或x=﹣（舍），当0＜x＜1时，g′（x）＞0；当1＜x＜2时g′（x）＜0，即g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减．…（7分）方程f（x）=﹣x+b在区间（0，2）有两个不等实根等价于函数g（x）在（0，2）上有两个不同的零点．∴，即亦即，∴ln3﹣1＜b＜ln2+，故所求实数b的取值范围为{b丨ln3﹣1＜b＜ln2+}．…（9分）证明：（3）由（1）可得，当x≥0时ln（x+1）≤x2+x（当且仅当x=0时等号成立），设x=，则ln（1+）＜+，即ln＜①…（10分）∴＞ln，＞ln，＞ln，…，＞ln，将上面n个式子相加得：+++…+＞ln+ln+ln+…+ln=ln（n+1），故：．…（12分）【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程的实数根转化为函数图象与x轴的交点的问题，同时考查了利用构造函数法证明不等式，考查了推理能力与计算能力，是一道综合题，属于难题．21．（12分）（2016大庆一模）从抛物线G：x2=2py（p为常数且p＞0）外一点P引抛物线G的两条切线PA和PB（切点为A、B），分别与x轴相交于点C、D，若AB与y轴相交于点Q．（1）求证：四边形PCQD是平行四边形；（2）四边形PCQD能否为矩形？若能，求出点Q的坐标；若不能，请说明理由．【分析】（I）设A，B的坐标，求出切线PA，PB的方程，解出P点坐标，设Q坐标和直线AB方程，联立方程组得出P，Q点的坐标关系证明CD平分PQ，求出C，D坐标，得出CD的中点，代入PQ方程即可得出PQ平分CD，于是得出结论；（II）若四边形PCQD能否为矩形，则|PQ|=|CD|，列方程解出p，t的关系得出Q坐标．【解答】解：（I）由x2=2py得y=，∴y′=．设A（x1，），B（x2，），则直线PA的方程为y﹣=（x﹣x1），①直线PB的方程为y﹣=（x﹣x2），②由①、②解得x=，y=，∴P点坐标为（，）．设点Q（0，t），则直线AB的方程为y=kx+t．由得x2﹣2pkx﹣2pt=0，则x1+x2=2pk，x1x2=﹣2pt，∴P（pk，﹣t），∴线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分．在①中，令y=0，解得x=，∴C（，0）；同理得D（，0），∴线段CD的中点坐标为（，0），即（，0）．又∵直线PQ的方程为y=﹣x+t，∴线段CD的中点（，0）在直线PQ上，即线段CD被线段PQ 平分，∴四边形PCQD是平行四边形．（II）若四边形PCQD是矩形，则|PQ|=|CD|，即==，解得t=．∴当点Q为（0，）（即抛物线G的焦点）时，四边形PCQD为矩形．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．选修4-1：几何证明选讲22．（10分）（2016大庆一模）如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC于点D．（1）求证：CE2=CDCB；（2）若AB=BC=2，求CE和CD的长．【分析】（1）要证CE2=CDCB，结合题意，只需证明△CED∽△CBE即可，故连接BE，利用弦切角的知识即可得证；（2）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，由（1）知，CE2=CDCB，代入CE即可得出CD的长．【解答】（1）证明：连接BE．∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°…（2分）∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO …（4分）∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，∴，∴CE2=CDCB …（6分）（2）解：∵OB=1，BC=2，∴OC=，∴CE=OC﹣OE=﹣1 …（8分）由（1）CE2=CDCB得：（﹣1）2=2CD，∴CD=3﹣…（10分）【点评】本题主要考查了切线的性质及其应用，同时考查了相似三角形的判定和解直角三角形等知识点，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016大庆一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ．（I）求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（II）设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|的值．【分析】（1）使用加减消元法消去参数t即得直线l的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ即可得到曲线C的直角坐标方程；（2）求出曲线C的圆心到直线l的距离，利用垂径定理求出|AB|．【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=，即直线l的普通方程为﹣y+2﹣=0．由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y．∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y．即x2+（y﹣）2=3．（II）由（1）知曲线C的圆心为（0，），半径r=．∴曲线C的圆心到直线l的距离d==．∴|AB|=2=2=2．【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．（2016大庆一模）设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式：f（x）＞0；（2）若f（x）+3|x+2|≥|a﹣1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．【分析】（1）需要去掉绝对值，得到不等式解得即可，（2）把含所有绝对值的函数，化为分段函数，再根据函数f（x）有最小值的充要条件，即可求得．【解答】解：（1）f（x）=，当x≤﹣2时，由f（x）＞0得﹣x+3＞0，解得x≤﹣2，当﹣2＜x＜时，由f（x）＞0得﹣3x﹣1＞0，解得﹣2＜x＜﹣，当x≥时，由f（x）＞0得x﹣3＞0，解得x＞3，综上，得f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣或x＞3}；（2）∵f（x）+3|x+2|=|2x﹣1|+2|x+2|=|1﹣2x|+|2x+4|≥|（1﹣2x）+（2x+4）|=5，∴由题意可知|a﹣1|≤5，解得﹣4≤a≤6，故所求a的取值范围是{a|﹣4≤a≤6}．【点评】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，关键是去绝对值，需要分类讨论，属于中档题．。
【全国百强校】黑龙江省大庆实验中学2016届高三12月月考理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}2cos 0,sin 2700A B x x x A B ==+=⋂o o ，，则为（ ）A ．{}01-，B ．{}11-，C ．{}1-D ．{}0【答案】C考点：1、特殊角三角函数值；2、一元二次方程；3、集合的交集．2.用反证法证明命题“若0a b c ++≥，0abc ≤，则,,a b c 三个实数中最多有一个小于零”的反 设内容为（ ）A ．,,a b c 三个实数中最多有一个不大于零B ．,,a b c 三个实数中最多有两个小于零C ．,,a b c 三个实数中至少有两个小于零D ．,,a b c 三个实数中至少有一个不大于零 【答案】C 【解析】试题分析：本题考察命题的否定是否定结论，“最多有一个”的否定就是“至少有两个”． 考点：1、命题的否定；2、反证法．【易错点晴】对于命题的否定，只是否定结论，不否定结论. 要熟记常见词语的否定形式：3.用数学归纳法证明不等式“242...21>++++n n n （n ＞2）”过程中，由k n =到1+=k n 时，不等式的左边（ ） A.增加了一项)1(21+k B.增加了两项++121k )1(21+kC.增加了两项++121k )1(21+k ，又减少了一项11+k D.增加了一项)1(21+k ，又减少了一项11+k【答案】C考点：1、数学归纳法；2、数列． 4.若两个正数b a ,满足24a b +<，则222-+=a b z 的取值范围是（ ）A. {}|11z z -≤≤B. {}|11z z -≥≥或zC. {}|11z z -<<D. {}|11z z ->>或z 【答案】D 【解析】试题分析：将a 看成x ，b 看成y ，则24x y +<，()2212221y y z x x --+==⋅--，z 的几何意义就是区域24x y +<内的点(),x y 与点()1,2- 连线的斜率乘以12．作出可行域如下图所示，xy B (2,0)COA (1,-2)由图可知，连线斜率的取值范围是()(),22,-∞-⋃+∞，故{}|11z z ->>或z ． 考点：1、线性规划——斜率型；2、换轨与转化的思想；3、数形结合的思想．5.已知函数()cos f x x x ωω=+（0ω>）的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为2π的等差数列，把函数()f x 的图象沿x 轴向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象．关于函数()g x ，下列说法正确的是（ ） A ．在,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．其图象关于直线4x π=-对称C ．函数()g x 是奇函数D ．当2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()g x 的值域是[]2,1- 【答案】D考点：1、三角函数辅助角公式；2、三角函数图像平移；3、三角函数奇偶性单调性． 6.,,,a b c d R +∈ 设a b c dS a b c b c d c d a d a b=+++++++++++则下列判断中正确的是（ ） A ．01S << B ．12S << C ．23S << D ．34S <<【答案】B 【解析】试题分析：令1a b c d ====，则1111433333S =+++=，故选B. 考点：特殊值法．7.已知等差数列{}n a 的等差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D【答案】A考点：1、等差数列、等比数列；2、基本不等式；3、最值问题．8.如下图所示将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n （n>1，n∈N *）个点，相 应的图案中总的点数记为n a（ ） A．20102011 D ．20112012【答案】A 【解析】试题分析：由图象可得()()191112(2)131,11n n n a n n n a a n n n n+=+-+=-==---，所以2334452014201599991111112013...1 (12232013201420142014)a a a a a a a a ++++=-+-++-=-=，故选A ． 考点：1、合情推理与演绎推理；2、数列裂项求和法．9.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）A.C.D.【答案】C考点：三视图．10.如图，等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知ED A '∆是△ADE 绕DE 旋 转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是（ ）A ．动点A '在平面ABC 上的射影在线段AF 上B ．恒有平面GF A '⊥平面BCDEC ．三棱锥EFD A -'的体积有最大值 D ．异面直线E A '与BD 不可能垂直【答案】D考点：1、立体几何折叠问题；2、立体几何面面垂直的判定定理；3、异面直线所成的角． 11.已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ， 若)21(21f a =，)2(2--=f b ，)21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 【答案】A 【解析】试题分析：依题意，当0≠x 时，()()()()()'''0xf x f x xf x f x f x x x x⎡⎤+⎣⎦+==>，即当0x >，时，()'0xf x >⎡⎤⎣⎦，函数()xf x 单调递增. 令()()g x xf x =，则12a g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()222b f g =⋅=，()()ln 2ln 2ln 2c f g =⋅=，1ln 222<<，a c b ∴<<，选A ． 考点：1、函数的奇偶性与单调性；2、函数与导数；3、化归与转化的思想．【思路点晴】本题突破口在于()()'f x f x x +变形为()'xf x x⎡⎤⎣⎦，这是一种非常常见的题型，例如：已知()()'0f x xf x +>，可以得到()'0xf x >⎡⎤⎣⎦，函数()xf x 单调递增.本题还考察了函数的奇偶性，即对于()22b f =-⋅-，要利用()f x 是奇函数，变形为()22f ⋅，对与11lnln 22c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭要变形为()ln 2ln 2f ⋅.最后，还需要会比较1,2,ln 22的大小.12.分析函数()f x 的性质：①()f x 的图象是中心对称图形；②()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 的值域为)+∞；④方程(())1f f x =有两个解．其中描述正确个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【答案】B考点：1、命题的真假判断与应用；2、函数的图像与性质；3、函数的值域．【方法点晴】本题是选择题中的压轴题，设计的知识点很多.我们在考查一个函数的时候，主要通过函数的奇偶性、对称性、单调性来寻找突破口.本题中①利用函数的奇偶性来判断；②利用的是对称性来判断，也就是若函数()f x 满足()()2f a x f x -=,则有函数()f x 关于直线x a =对称，这个可以作为一个结论来记忆；③利用了②的结论，通过函数对称轴来判断；④利用了③的结论来判断，环环相扣，考查了复合函数的取值.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知a 与b 的夹角为︒60，1=a 且22=-b a ，则b =_________.【答案】2 【解析】试题分析：依题意有22222=4444cos 602a b a a b b b b --⋅+=-⋅⋅+=，解得2b =．考点：向量的模与向量数量积的运算． 14.在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则 所填三个正整数的和的最小值是_________. 【答案】64考点：柯西不等式．15.如图所示，正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱'AA ，'CC 的中点，过直 线EF 的平面分别与棱'BB 、'DD 分别交于,M N 两点，设BM x =，[0,1]x ∈，给出以下四个结论： ①平面MENF ⊥平面BDD B ''；②直线AC ∥平面MENF 始终成立；③四边形MENF 周长()L f x =，[0,1]x ∈是单调函数；④四棱锥C MENF '-的体积()V h x =为常数；以上结论正确的是___________．【答案】①②④ 【解析】试题分析：①因为',EF BB EF BD ⊥⊥，所以''EF BDD B ⊥平面，所以平面MENF ⊥平面BDD B ''成立；②因为//AC EF ，所以直线AC ∥平面MENF 始终成立；③因为()MF f x ==，所以()f x 在[]01，上不是单调函数； ④'''1111134346C MENF F MC E F C NE V V V --=+=⋅+⋅=，故()h x 为常数. 考点：1、线面平行的证明；2、面面垂直的证明；3、函数的单调性；4、不规则几何体体积求法. 【方法点晴】线面平行的证明，只需要在平面MENF 内找一条直线和AC 平行就可以，这个很容易得到；面面垂直的证明，需要在一个平面内，找到另一个平面的垂线，本题只要将目标瞄准EF ，很快就能得到结论；四边形的周长，需要用勾股定理先把表达式求出来，再根据表达式判断函数的单调性；不规则几何体求体积，主要方法就是切割成规则的几何体，本题就是将其分解成两个三棱锥来解决. 16.若关于x 的不等式(1)(ln )0ax x ax -+≥在（0，+∞）上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【答案】1|a a a e e⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或考点：1、函数与导数的单调性与极值最值问题；2、数形结合与分类讨论的思想；3、划归与转化的思想． 【方法点晴】本题是填空题中的压轴题，主要考查了函数与导数、分类讨论的思想.题目的突破口在于对条件(1)(ln )0ax x ax -+≥的处理，把它变成两个函数相乘，()f x 是一次函数，()g x 是一个可以利用导数作为工具很容易研究清楚的函数，这样转化之后两个函数都变成容易求解的形式.利用导数作为工具，画出两个函数图象之后，结果就显而易见了.对于选择填空题中的函数问题，如果能熟练运用函数图象，数形结合，将会提高你的解题能力.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知锐角ABC ∆中内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，满足226cos a b ab C +=， 且2sin 2sin sin C A B =. （Ⅰ）求角C 的值； （Ⅱ）设函数()sin()cos (0)6f x x x πωωω=-->,()f x 且图象上相邻两最高点间的距离为π,求()f A的取值范围．【答案】（Ⅰ）3π=C ；(Ⅱ) 0()f A <≤考点：1、解三角形：正弦定理和余弦定理；2、三角恒等变换；3、三角函数周期与值域． 18.已知命题p ：函数()22f x x ax =+-在[－2,2]内有且仅有一个零点．命题q ：220x ax ++≤在区间[1,2]内有解．若命题“p 且q ”是假命题，求实数a 的取值范围．【答案】{|a a >-考点：1、含有逻辑连接词且或非命题真假性的理解；2、二次函数零点分布．19.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)()n S n n n N *=+∈．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：3122331313131n n n b b b b a =++++++++，求数列{}n b 的通项公式； （3）令()4n n n a b c n N *=∈，求数列{}n c 的前 n 项和n T . 【答案】（1）n a n 2=；（2）)13(2+=n n b ；（3）432)1(43)12(1+++⨯-=+n n n T n n . 【解析】试题分析：（1）已知n S 求n a ，代入111,1,1n nn a S n a S S n -==⎧=⎨->⎩求解得2n a n =.（2）利用111231n n n n b a a +++-==+，考点：1、数列已知n S 求n a ；2、数列求和——分组求和法、错位相减法．20.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2a 的正方形，BD CF ⊥，且FA AD ⊥， //EF AD ，EF AF a ==.（Ⅰ）求证：平面ADEF 垂直于平面ABCD ；（Ⅱ）若P Q 、分别为棱BF 和DE 的中点，求证：PQ ∥平面ABCD ；（Ⅲ）求多面体ABCDEF 的体积.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）353a ．（Ⅱ）作PS AB ⊥，QT AD ⊥，EM AD ⊥，S T M 、、是垂足.在ABF ∆中，::12PS AF BP BF ==：,12PS AF =. 在直角梯形ADEF 中，1122QT EM AF ==. ∴//PS QT ,∴四边形PSTQ 是平行四边形，∴//PQ ST .而ST ⊂平面ABCD ，∴//PQ 平面ABCD . 9分 （Ⅲ）2231115=V +=(2)23323ABCDEF F ABCD C DEF V V a a a a a --∙∙+∙∙=多面体四棱锥三棱锥 考点：1、面面垂直的证明；2、线面平行的证明；3、不规则几何体求体积.21.设函数2()ln(1)f x x m x =++．（1）若函数()f x 是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围；（2）若1m =-，试比较当(0,)x ∈+∞时，()f x 与3x 的大小；（3）证明：对任意的正整数n ，不等式201429(1)(3)2n n n n e e e e -⨯-⨯-+++++<成立． 【答案】（1）1[,)2+∞；（2）3()f x x <；（3）见解析．试题解析：（1）∵222()211mx x mf x x x x ++'=+=++又函数()f x 在定义域上是单调函数．∴ ()0f x '≥或()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立若()0f x '≥在(1,)-+∞上恒成立，即函数()f x 是定义域上的单调地增函数，则2211222()22m x x x ≥--=-++在(1,)-+∞上恒成立，由此可得12m ≥；若()0f x '≤在(1,)-+∞上恒成立，则()201mf x x x '=+≤+在(1,)-+∞上恒成立．即2211222()22m x x x ≤--=-++在(1,)-+∞上恒成立． ∵2112()22x -++在(1,)-+∞上没有最小值∴不存在实数m 使()0f x '<在(1,)-+∞上恒成立．综上所述，实数m 的取值范围是1[,)2+∞．（2）当1m =-时，函数2()ln(1)f x x x =-+．令332()()ln(1)g x f x x x x x =-=-+-+ 则32213(1)()3211x x g x x x x x +-'=-+-=-++显然，当(0,)x ∈+∞时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递减又(0)0g =，所以，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g <=，即3()0f x x -<恒成立．故当(0,)x ∈+∞时，有3()f x x <（3）法1：证明：由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x由（2）知),0(),1ln(32+∞∈+<-x x x x即),1ln()1(2+<-x x x令1+=k x ，即有)2ln()1(2+<+⨯-k k k所以当1+=k n 时成立由1、2知，原不等式成立考点：1、导数的运算；2、利用导数判断函数的单调性；3、利用导数求函数的极值和最值；4、恒成立问题．【思路点睛】本题第一问考查分离常数法解不等式问题，分离常数法是解不等式恒成立问题可以首先采用的方法.第二问是利用导数证明不等式，基本的思路是先直接作差构造一个函数，然后利用导数作为工具，求出函数的单调区间，结合特殊点就可以求解出结论.第三问是在第二问的基础上，对自变量x 进行赋值，转化为数列的问题来求解.三个问题，考查三个基本方法，是一个不错的题目.22.已知函数()ln f x x a x =+，在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-． （1）求实数a 的值；（2）设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若133b ≥， 求()()12g x g x -的最小值． 【答案】(1) 1a =；(2) 402ln 39-．试题解析：（1）由题可得()1a f x x'=+由题意知(1)12f a '=+=，即1a = （2）由21()ln (1)2g x x x b x =+--，2(1)1()x b x g x x --+'= 令2()0,(1)10g x x b x '=--+= 即12121,1x x b x x +=-= 而2212121221()110022(1)9x x x x t b x x x x t +=++=++=-≥ 由12x x <，即01t <<，解上不等式可得：109t <≤ 而11212221111()()ln ()ln ()22x x x g x g x t t x x x t-=--=-- 构造函数111()ln (),0,29h t t t t t ⎛⎤=--∈ ⎥⎝⎦ 由221(1)0,,()092t t h t t -⎛⎤∈=-< ⎥⎝⎦， 故()h t 在定义域内单调递减，min 140()()2ln 399h t h ==-所以()()12g x g x -的最小值为402ln 39- 考点：1、函数的切线问题；2、导数研究函数的性质；3、化归与转化的思想．【思路点睛】本题第一问是函数的切线问题，只要牢牢把握住切点和斜率，此类问题会很快解决.第二问是压轴问，突破口有两个地方，一个是“12,x x 是函数的极值点”转化为函数导数等于零；另一个是题目要求解()()12g x g x -的表达式，先求出该式子，再用换元法解决.解决此类问题，采用步步稳盈，层层推进的方法，将题目的文字语言逐步用数学式子表示出来，问题也就迎刃而解了.高考一轮复习：。
黑龙江省大庆市2016届高三第一次模拟考试数学(理)试题 含答案
大庆市高三年级第一次质量检测试题数 学(理科）2016．03注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共60分)一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{}{}=20,A x x B x x a -<=<，若A B A =，则实数a 的取值范围是（A)(,2]-∞- （B ）[2,)-+∞ （C ）(,2]-∞ （D)[2,)+∞（2）若复数z 满足ii i z -=+2，则复数z 的模为（A)10 (B ）10 (C)4 （D)3（3)下列函数中，在(0,)+∞上单调递减，并且是偶函数的是(A)2y x = （B ）3y x =- （C ）ln y x =- （D)2xy =（4）双曲线的一个顶点为(2,0)，一条渐近线方程为y =，则该双曲线的方程是（A ） 22148x y -= (B ）22184y x -= （C)22124x y -=(D ）22142x y -=（5）给出下列说法：①命题“32,10x R xx ∀∈-+≤”的否定是“0,x R ∃∈320010x x -+>"；②若“p q ∧”为假命题，则,p q 均为假命题； ③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b ac =的既不充分也不必要条件其中不正确的个数为（A ）0 （B ）1 (C ）2 （D ）3 （6）已知直线l ⊥平面α， 直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥βl m ⇒⊥；②αβ⊥⇒l ∥m ;③l ∥m ⇒αβ⊥;④l m αβ⊥⇒⊥，其中正确的是（A ）①②③ （B)②③④ (C)②④ （D ）①③ (7）记定义在区间[,]a b 上的连续函数()y f x =，如果存在0[,]xa b ∈，使得()()b af x dx f x b a=-⎰ 成立,则称0x 为函数()f x 在[,]a b 上的“平均值点".那么函数3()2f x xx =+在[1,1]-上“平均值点"的个数为（A ）1 （B ）2 （C)3 （D ）4 （8）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形。
黑龙江省大庆实验中学2016届高三数学考前得分训练试题(一)理
某某市实验中学2016年高三得分训练（一）数学试题（理科）说明：本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求.1. 设全集I R =，集合{}3log ,3A y y x x ==>，{B x y == ，则( )(A)A B ⊆(B)AB A = (C)A B =Φ (D)()IAB ≠Φ2.设i 为虚数单位，则复数34ii-=( ) (A)43i -- (B)43i -+(C)43i +(D)43i -3.在ABC ∆ 中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c，且c =，4B π= ，面积2S = ，则b 等于()(A)2(B)525 4. 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有( ) (A)36种(B)30种(C)24种(D)6种5. 已知,,αβγ 为互不重合的三个平面，命题:p 若αβ⊥ ，βγ⊥ ，则α∥γ ；命题:q 若α上不共线的三点到β 的距离相等，则α∥β .对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) (A)命题“p q ∧”为真 (B)命题“p q ∨⌝”为假 (C)命题“p q ∨”为假(D)命题“p q ⌝∧”为真6.如果实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥1，目标函数z ＝kx －y 的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)47. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )>1.75，则p 的取值X 围是( )(A).⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712(B)⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1(C).⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12(D).⎝ ⎛⎭⎪⎫12，18.把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为()(A)22(B)21(C)42(D)41 9.如图，在由x ＝0，y ＝0，x ＝2π及y ＝x cos 围成区 域内任取一点，则该点落在x ＝0，y ＝sinx 及y ＝cosx 围成的区 域内（阴影部分）的概率为( )(A)1－22 (B)2－1 (C)212-(D)3－22 10. 设,,A B C 是圆221x y += 上不同的三个点，且0OA OB ⋅=，若存在实数,λμ 使得OC OA OB λμ=+，则实数,λμ 的关系为( )(A)221λμ+= (B)111λμ+= (C)1λμ⋅= (D)1λμ+=11.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( ) (A).n2n －1(B).n ＋12n －1＋1(C).2n －12n －1(D).n ＋12n ＋112.定义区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >），函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ） (A)233(B)-3 (C)1 (D)3 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题: : 本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.如图是判断“实验数”的流程图，在[30，80]内的所有整数中，“实验数”的个数是________．14.已知向量()(),1,4,2a m b n ==- ，0,0m n >>，若a ∥b ，则18m n+的最小值________． 15.双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别 交于A 、B 两点.若2ABF ∆为等边三角形，则该双曲线的离 心率为________．16．在正项等比数列{}n a 中，512a =，673a a +=，则满足1212n n a a a a a a +++>⋅⋅⋅的最大正整数n 的值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. （本小题满分12分）在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,2sin sin sin 2A BA B -+224+=（1）求角C 的大小；（2）若b ＝4，△ABC 的面积为6，求边c 的值．18. （本小题满分12分）图(5)是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率;（2）设ξ是此人停留期间空气重度污染的天数，求ξ的分布列与数学期望．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB =，1AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥；（2）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．20（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆:O 224x y +=，椭圆:C 2214x y +=，A 为椭圆右顶点．过原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于,B C 两点，直线AB 与圆O 的另一交点为P ，直线PD 与圆O 的另一交点为Q ，其中6(,0)5D -．设直线,AB AC 的斜率分别为12,k k ．（1）求12k k 的值；（2）记直线,PQ BC 的斜率分别为,PQ BC k k ，是否存在常数λ，使得PQ BC k k λ=？若存在，求λ值；若不存在，说明理由；（3）求证：直线AC 必过点Q ．21． （本题满分12分）已知函数()ln 1(0).f x a x a =+> （1）当1a =且1x >时，证明：4()31f x x >-+；（2）若对(1,)x e ∀∈，()f x x >恒成立，某某数a 的取值X 围；（3）当12a =时，证明：12()2(11)n i f i n n +=>+-+∑．22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N,过N 点的切线交CA 的延长线于P 。
2016大庆一模数学(含答案)
大庆市高三年级第一次教学质量检测数学试题参考答案及评分标准（理科）2016.03说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一．选择题题号12345678911112答案D B C A B D A B C B C D二．填空题（13）；（14）；（15）；（16）.三. 解答题（17）（本小题满分12分）解: （I）设数列的公比为，由得，∴. ……………………………….2分由已知，∴，由得. …………………………….4分故数列的通项公式为. ……………………………………….6分（II），……..9分∴，∴. ……12分（18）（本小题满分12分）解：（I）∵，∴，…………………2分∴，即，…………………3分由余弦定理得：，…………………………………4分整理得，∴，∵，∴. ……………6分（II）∵，∴，…………………………………7分由正弦定理得：，…………………………8分的周长…………………………………10分∵，∴,∴, …………………11分因此，故周长的取值范围为. …………………12分（19）（本小题满分12分）解：（I）由四边形是菱形，，可得为正三角形.，∴. 又∵∥，∴……………………………………1分∵平面，平面，∴，∵平面，平面，且，∴平面，而平面，∴平面平面. …………………4分（II）设，为上任意一点，连接，由（I）知平面，则为与平面所成的角. …………5分在中，，∴当最短时，最大，即当时，最大，此时. …………………6分∴，又，∴，∴. ………………8分由（I）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. 又分别是的中点，∴，，，，，，. ………………9分∴，.设平面的法向量为，则∴………10分取，则为平面的一个法向量.又平面，∴为平面的一个法向量.∴，故所求二面角的余弦值为. ………………………12分（20）（本小题满分12分）解：（I）由已知得，……………1分∵，∴，∴.因此，………………………2分于是，由得；由，得，∴的单调递增区间是，单调递减区间是. …………………4分（II）令，则，令，得或（舍），当时，；当时，即在上单调递增，在上单调递减. ………………………7分方程在区间有两个不等实根等价于函数在上有两个不同的零点.∴即亦即∴，故所求实数的取值范围为. ………………………9分（III）由（I）可得，当时（当且仅当时等号成立），设，则，即① ………………………10分∴，将上面个式子相加得：,故. ………………………12分（21）（本小题满分12分）解：（I）由得，∴. ………………………1分设，则直线的方程为，①直线的方程为②，………………………3分由①、②解得，∴点坐标为. ……………………4分设点，则直线的方程为. ………………………5分由得，则，∴，∴线段被轴平分，即被线段平分. ………………………7分在①中，令，解得，∴；同理得，∴线段的中点坐标为，即. ………………………8分又∵直线的方程为，∴线段的中点在直线上，即线段被线段平分，因此四边形是平行四边形. ………………………9分（II）由（I）得四边形是平行四边形，要使四边形是矩形，必须使得，即，解得.∴当点为（即抛物线的焦点）时，四边形为矩形. ……………………12分（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲证明：（I）连接，∵为⊙的切线，∴∠,. ……………………3分在和中，，∴∽，∴，∴. ……………………6分（II）依题意，∴,…8分由（I）得，∴，∴. ……………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（I）……………………………3分当时，由得，解得，…………………………4分当时，由得，解得，………………5分当时，由得，解得，…………………………6分综上，得的解集为. ……………………………7分（II）∵. …………………………8分∴由题意可知，解得，……………………………9分故所求的取值范围是. …………………………10分。
黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期开学考试数学理试卷含答案
大庆实验中学2015—2016高三上半学年数学（理）开学考试第Ⅰ卷(选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则知足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42.若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R，则复数x ＋y i 的模是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 3.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π4.如图，若依次输入的x 别离为5π6、π6，相应输出的y 别离为y 1、y 2，则y 1、y 2的大小关系是( )A ．y 1＝y 2B ．y 1>y 2C ．y 1<y 2D ．无法肯定5.已知数列{a n }知足a 1＝5，a n a n ＋1＝2n ，则a 7a 3＝( )A ．2B ．4C ．56．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则a <b 的概率为( )7.若函数f (x )＝sinx ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )8. 若函数2()log (2)(0,1)a f x x x a a =+>≠在区间1(0,)2内恒有()0,f x >则()f x 的单调增区间为（ ）A. 1(,)2-∞-B. 1(,)4-+∞C. (0,)+∞D.1(,)4-∞-9.双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右核心别离是12F F ，，过1F 作倾斜角为45的直线交双曲线右支于M点，若2MF垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．2B ．2C．21+D．210.函数|1|||ln--=xey x的图象大致是（）11. 已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆组成，俯视图由圆与内接三角形组成，按照图中的数据可得几何体的体积为()＋12＋16＋16＋1212. 已知O是平面上的必然点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P知足()2||cos||cosOB OC AB ACOPAB B AC Cλ+=++, Rλ∈, 则动点P的轨迹必然通过△ABC的( )A. 重心B. 垂心C. 外心D. 心里第Ⅰ卷(非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上.）13. 圆心在直线32=-yx上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________.14. 设x y，知足约束条件：222y xx yx⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥，则yxz3-=的最小值．15. 若数列{a n }知足1a n ＋1－1a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列{1x n }为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.2006(2),,2,_____.x x S x S -==16.在的二项展开式中含的奇次幂的项之和为当时三、解答题(本大题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明，证明进程和演算步骤.) 17.（本小题满分12分）已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=．（1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．18. （本小题满分12分）某地域有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方式从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中别离抽取的学校数量；(2)若从抽取的6所学校中任取3所学校做进一步数据分析，①求掏出的3所学校中没有小学的概率；②设掏出的小学个数为随机变量X ，求X 的散布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；(2)求二面角Q －BP －C 的余弦值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个核心为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0 的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)是不是存在点P ，P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，且直线l 1，l 2都与圆C 相切.若存在，求P 的坐标，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）函数1()ln ,x e f x x-=数列{}n a 知足111,()n n a a f a +==. （1）试求()f x 的单调区间；（2）求证：数列{}n a 为递减数列，且0n a >恒成立. 请考生在第2二、23、24三题中任选一题作答，若是多做，则按所做的第一题记分。
黑龙江省大庆实验中学2016届高三考前得分训练(二)数学(理)试题 含答案
大庆市实验中学2016年高三得分训练（二）数学试题（理科）说明:本试卷分第Ⅰ卷(阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题,共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在题目给出的四个选项中,只有一个选项 是符合题目要求。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合2{230},{ln(2)}A x x xB x y x =--≤==-，则AB =（ )A ．(1,3)B ．(1,3]C ．[1,2)-D ．(1,2)-2．若复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数(i 为虚数单位），则tan ()4πθ-的值为( ）A ．7-B ．17- C ．7 D ．7-或17-3．在各项均为正数的等比数列{}na 中，12,a=且245,2,a aa +成等差数列，记S n 是数列{}na 的前n 项和，则5S = ( ）A ．32B ．62C ．27D ．814．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为π,且其图像向左平移3π个单位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像( ）A ．关于直线12x π=对称B ．关于直线512x π=对称C ．关于点(,0)12π对称D ．关于点5(,0)12π对称5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念,则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( ） A ．110 B ．23 C ．13D ．146．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈ 时，2()log (1f x x =+），则(31)f = ( )A ．0B ．1C ．1-D ．27．若如下框图所给的程序运行结果为S =41，则图中的判断框（1）中应填入的是( ） A ．6?i > B ．6?i ≤ C ．5?i > D ．5?i <8．过点(11,2)A 作圆22241640x y x y ++--=的弦，其中弦长为整数的共有（ )A 。
黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期末考试理数试题含解析
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{}22,A x x x R=-≤∈，{}2,12B y y x x ==--≤≤，则AB 等于（ ）A ．RB ．{}0C ．{},0x x R x ∈≠D ．∅【答案】B考点：集合的运算2.化简224(1)ii ++的结果是（ ）A.2i +B.2i -+C.2i -D.2i -- 【答案】C 【解析】试题分析：()()()2242424422(1)222i i i i ii i i i i +⋅-++-====-+⋅-，选C考点：复数的运算3.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）A ．32 B.323 C.48 D. 163【答案】 B考点：三视图，棱锥的体积4.在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 知足2BD DC =，则AD =（ ）A.2133b c - B.5233c b - C.2133b c + D.1233b c+【答案】C 【解析】试题分析：如图所示，在ABC 中，AD AB BD =+又2BD DC =，()2222133333BD BC BC AC AB b c AD AB BC c b c b c ∴==-=-∴=+=+-=+故选C ． 考点：向量加法5.若点(2,0)P 到双曲线22221x y a b -=2 ）23 C.2 D.23【答案】A 【解析】试题分析：双曲线22221x y a b-=＝1的渐近线为0bx ay ±=，∴(2,0)P 到0bx ay ±=，的距离222222b bd c b a be c a b =∴∴=∴+＝=2，＝，，＝．故选A ．考点：双曲线的简单性质6.函数f (x )＝sin()x ω(ω>0)在区间[0,]4π上单调递增，在区间[,]43ππ上单调递减，则ω为( )A.1B.2C ．32D ．23【答案】B 【解析】试题分析：由题意可知函数在4x π=时肯定最大值，就是20482,2k k Z k k ωπππωπ+∈∴=+=＝，，时.2ω=故选B考点： 求y Asin x ωϕ=+（）的解析式．7.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋1是概念在2[2,3]a a --上的偶函数，那么a ＋b 的值是 ( ) A ．3 B. －1 C. －1或3 D ．1【答案】A考点：偶函数的性质8.已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，则不等式20x bx a ≥－－的解集是( ) A.{}23x x <<B.{}23x x x ≤≥或C.1132x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ D.1132x x x⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或【答案】B【解析】试题分析：因为不等式210ax bx－－＞0的解集是1123x x⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭a∴＜，则方程210ax bx=－－的两个根为12-，1111,6523613ba ba a--=--=∴=-=-，，，，则20x bx a≥－－即256023xx x x-≤+≥∴≥或，故不等式的解集为{}23x x x≤≥或，选B.考点：一元二次不等式的解法9.已知变量x，y知足条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－3≤0，x＋3y－3≥0，y－1≤0，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是（）A.1[,)2+∞B.1[,)3+∞C.1(,)3+∞D.1(,)2+∞【答案】D考点：简单的线性计划10.将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，则三棱锥C ABD-的外接球表面积为（）A. 16πB. 12πC. 8πD. 4π【答案】C【解析】试题分析：沿对角线BD把正方形ABCD折起，取得的三棱椎C ABD-的外接球，球心是BD中点，BD长的一半为球半径，得1122 222R BD==⨯=故三棱椎C ABD-的外接球表面积等于248S Rππ==，选C考点：几何体的外接球11.已知数列{}nc的前n项和为nT，若数列{}nc知足各项均为正项，而且以(,)n nc T(n∈N*)为坐标的点都在曲线2,022a aay x x b a=++（为非常数）上运动，则称数列{}nc为“抛物数列”.已知数列{}nb为“抛物数列”，则（）A.{}nb必然为等比数列 B.{}nb必然为等差数列C.{}nb只从第二项起为等比数列 D.{}nb只从第二项起为等差数列【答案】B考点：新概念数列，等差数列的概念12.已知函数()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上处处可导，若[()()]tan ()0f x f x x f x '--<，则（ ）．A.33(ln )sin(ln )22f 必然小于550.6(ln )sin(ln )22f B.33(ln )sin(ln )22f 必然大于550.6(ln )sin(ln )22f C.33(ln )sin(ln )22f 可能大于550.6(ln )sin(ln )22f D.33(ln )sin(ln )22f 可能等于550.6(ln )sin(ln )22f 【答案】A 【解析】试题分析：sin [()()]tan ()0[()()]()0cos xf x f x x f x f x f x f x x ''--<∴--<，即()()sin ()sin ()cos ()sin ()sin ()cos ()sin f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x x '''-<⇒<+=即()()sin ()sin 0f x x f x x '->，设()sin ()x f x xg x e =，则()()()()2()sin ()sin ()sin ()sin ()sin ()0x xx x x f x x e e f x x f x x f x xf x xg x e e e ''--'===>，即函数()sin ()x f x x g x e =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，而350ln ln 222π<<<，所以35ln ln 2233553355(ln )sin ln (ln )sin ln (ln )sin ln (ln )sin ln 3335522222222(ln )sin ln (ln )sin ln 352252222f f f f f f e e⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<⇒<⇒< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭选A考点：构造新函数，利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的关系，函数单调性的关系，考查转化、构造、计算能力．属难题.解题的关键在于充分熟悉已知条件[()()]tan ()0f x f x x f x '--<所要表达的实际意义，构造函数()sin ()xf xxg xe=是本题的难点，这里将已知条件变形为()()sin()sinf x x f x x'<其实对构造新函数起了提示的作用，求()sin()xf x xg xe=导数，并判断增减性，从而取得答案．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.圆C与圆22(1)1x y-+=关于直线y x=-对称，则圆C的方程为【答案】22(1)1x y++=考点：点关于直线的对称14.已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈(π2，π)，β∈(0，π2),则tan（α＋β）= 【答案】1【解析】考点：同角三角函数大体关系式，两角和的正切15.已知函数2()20f x x ax=++ (a∈R)，若对于任意0x>，f(x)≥4恒成立，则a的取值范围是________.【答案】[)8-∞，＋ 【解析】试题分析：由已知对于任意(),40x f x >≥恒成立，即221616()204,0x f x x ax x a x x x --⎛⎫=++≥>∴≥=-+ ⎪⎝⎭，而16()8g x x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭即()g x 的值域为(],8-∞- ，故a 的取值范围是[)8-∞，＋考点：函数的性质及应用【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立，属中档题．解题时将不等式进行转化，利用大体不等式求函数的最值即可取得结论．注意大体不等式应用的条件和范围，不要出现错误16.在平面直角坐标系中，设,,M N T 是圆C :22(1)4x y -+=上不同三点，若存在正实数,a b ，使得CT aCM bCN =+，则3221a ab ab b a ++++的取值范围为【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：由题意，2CT CM CN ===，设,CM CN夹角为θ，对CT aCM bCN =+两边平方，整理得()()2222224424112o 11c s a abCM CN cos a b a b b a ab b θθ=+⋅+⇒=+-≤≤∴-≤++≤，可取得11,11a b a b a b -≤-≤+≤-+≥或，以为a 横坐标, b 为纵坐标,表示出知足上面条件的平面区域.如图阴影部份所示，则()3222222111211a ab ab b b b a b b a b a a a ++++++=+++=++-+，它表示点(),a b到点()0,1-的距离的平方及点(),a b与点()0,1-连线斜率的和，由可行域可知当点(),a b位于点()1,0时取到最小值2，但由题意,a b为正实数，故3221a ab ab ba++++的取值范围为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查向量的运算，简单的线性计划，及目标函数的实际意义等知识，属难题．解题时由两个难点，一个是按照题意取得可行域敞亮一个是目标函数的实际意义，需要必然的数学功底.考点：三、解答题（本大题共6小题，共74分.解承诺写出文字说明、证明进程或演算步骤.）17.在ABC∆中，tan2tanA AB ACB AC-=.(1)求tan A；(2)若1BC=，求AC AB⋅的最大值，并求现在角B的大小.【答案】(1)tanA3= (2)AC AB⋅最大值为1，现在3Bπ=试题解析：由正弦定理知sin cos2sin sin,sin cos sinA B C BB A B-=即sin cos sin cos2sin,sin cos sinB A A B CB A B+=sin()2sin1,cos,sin cos sin2A B CAB A B+∴=∴=0,,tanA33A Aππ<<∴==（2)在ABC∆中，2222cos,BC AC AB AC AB A=+-⋅且1,BC=221,AC AB AC AB ∴=+-⋅222,12,AC AB AC AB AC AB AC AB +≥⋅∴≥⋅-⋅即1AC AB ⋅≤，当且仅当1AC AB ==时，AC AB ⋅取得最大值1， 现在3B π=考点：正弦定理，余弦定理，大体不等式18.已知直线:(3)(1)40l t x t y +-+-=（t 为参数）和圆22:68160C x y x y +--+=； （1）t R ∈时，证明直线l 与圆C 总相交；（2）直线l 被圆C 截得弦长最短，求此弦长并求现在t 的值.【答案】（1）观点析（2）73t =-，最短弦长为4.∴直线被l 圆C 截得的弦长的最小值为2954-=.即73t =-，最短弦长为4.考点：直线与圆的位置关系19.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为正方形，1AA AC ⊥，M 、N 别离为棱1AA 、1CC 的中点.（1）求证：直线MN ⊥平面1B BD ；（2）已知1AA AB =，1AA AB ⊥，取线段11C D 的中点Q ，求二面角Q MD N --的余弦值. 【答案】（1）观点析（2）314cos ,14n m <>=考点：直线与平面垂直的判定，利用空间直角坐标系求二面角的余弦值20.设数列{a n }知足12n a a a +++＋2n ＝11(1)2n a ++，n ∈N *，且a 1＝1．(1)求证数列{}2n n a +是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和n S . 【答案】(1)观点析；（2）11113222n n n S ++=⋅-+【解析】 试题分析：(1) 用11, n=1,n 2n n n S a S S -⎧=⎨-≥⎩可证数列{}2n na +是等比数列考点：数列的通项，数列求和21.已知椭圆C 与椭圆E ：22175x y +=共核心，而且通过点6(1,2A ，(1)求椭圆C 的标准方程；(2)在椭圆C 上任取两点P Q 、，设PQ 所在直线与x 轴交于点(,0)M m ，点1P 为点P 关于轴x 的对称点，1QP 所在直线与x 轴交于点(,0)N n ，探求mn 是不是为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)22142x y += (2) mn 是定值，定值为4【解析】试题分析：(1由)椭圆C 与椭圆E ：22175x y +=共核心，可设2222:12x y C a a +=-，将点6A 代入求得2a 即可；（2）当PQ 斜率不存在时，不合题意. 故设PQ 为y kx b =+，(0,0k b ≠≠),(,0)b M k -，设点11(,)P x y ，则111(,)P x y -，设22Q(,)x y ，则1PQ 方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则121121211212()2()()2y x x kx x b x x n x y y k x x b -++=+=+++，联立椭圆方程和y kx b =+，即可取得1212,x x x x +的表达式，代入上即可试题解析：（1）椭圆C 与椭圆E ：22175x y +=共核心,则设2222:12x y C a a +=-，将点A 代入求得24a =，即椭圆C 的标准方程为22142x y +=（2）当PQ 斜率不存在时，不合题意.故设PQ 为y kx b =+，(0,0k b ≠≠),则(,0)b M k-，设点11(,)P x y ，则111(,)P x y -，设22Q(,)x y ，则1PQ 方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则 121211221121212112121212()()()2()()2()2y x x x y x y x kx b x kx b kx x b x x n x y y y y k x x b k x x b -++++++=+===++++++ 由22142x y y kx b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得222(12)4240k x kbx b +++-=，则2121222424,1212kb b x x x x k k -+=-=++.则22121222122()4844()2424kx x b x x kb k kb k k x x bk b b k b b ++--==-++-++， 故4(,0)k N b -，所以 4.mn =所以mn 是定值，定值为4考点：椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系，属中档题. 其中（2）考查直线与圆锥曲线的位置关系比较常规，解题的关键在于将(,0)N n 的横坐标用1212,x x x x +表示出来，则自然考虑联立椭圆与直线方程，则问题得解22.已知函数()x x f x e be -=+，（b R ∈），函数()2sin g x a x =，（a R ∈）.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若1b =-，()(),(0,)f x g x x π>∈，求a 取值范围.【答案】（1）①当0b ≤时，()0f x '≥，所以()f x 的增区间为(,)-∞+∞；②当0b >时，减区间为1(,lnb),2-∞增区间为1(lnb,)2+∞（2）(,1]-∞考点：利用导数研究函数的性质【名师点评】本题考查导数知识的运用，函数的单调性等知识，属中档题。
黑龙江省大庆实验中学高三上学期期中考试试题——数学理数学(理)
黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集,集合，，则集合A ．B ．C ．D ．2、复数（为虚数单位），则复数的共轭复数为A ．B ．C ．D ．3、函数的反函数为A ．B ．C ．D ．4、在等差数列中，若，则的值为A ．20B ．40C ．60D ．805、函数的值域是A ．B ．C ．D ．6、是定义域为的偶函数，为的导函数，当时，恒有，设，则满足的实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．7、已知定义在上的函数是奇函数，且，则值为A ．3B ．2C ．1D ．08、已知，，夹角为，向量满足，则的最大值为A ．B ．C ．4D ．9、若，，则A ．B ．C ．D ． 10、已知，的图像与的图像关于轴对称，将图像上各点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为A ．B ．C ．D ．11、给出下列4个命题：①在△中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“”的充要条件；②是，，成等比数列的充要条件；③若，则；④若是定义在[－1，1]上的偶函数，且在[－1，0]上是增函数，，则；其中真命题的个数为A ．1B ．2 C.3 D ．412、已知为偶函数，且，在区间上，34,01()222,12x x x x f x x -⎧-⎪=⎨⎪+⎩≤≤＜≤，则函数零点的个数为 A ．4 B ．5 C.6 D ．8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13、已知等比数列中，，若，则= .14、如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝6，＝3，·＝4，则·的值是________．15、已知函数(),111x e x g x x ⎧>⎪=-≤≤ 则= ． 16、已知，，若对任意实数，都有，则的最大值为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本小题满分10分）已知等差数列中，且，。
数学---黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期中考试(理)
黑龙江省大庆实验中学2016届高三上学期期中考试（理）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分 考试时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知{}{}|10,2,1,0,1A x x B =+>=--,则()R C A B ⋂= （ ）A ．{}2-B ．{}2,1--C ．{}1,0,1-D ．{}0,12. 若)1,0(),2,1(--B A ,且直线l AB ⊥，则直线l 的斜率为 （ ） A. 3-B. 3C.31-D.31 3．方程23410x x -+=的两个根可分别作为 （ ） A ．一椭圆和一双曲线的离心率 B ．两抛物线的离心率 C ．一椭圆和一抛物线的离心率 D ．两椭圆的离心率 4、已知函数2()f x ax c =+,且(1)2f '=,则a 的值为（ ）A.1B.2C.－1D. 05.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．76．函数f (x )＝sin x ＋cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为( )A. x －y ＋1＝0B. x －y －1＝0C. x ＋y －1＝0D. x ＋y ＋1＝07．已知条件1:≤x p ，条件11:<xq ，则p 是q ⌝成立的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 8．若复数z 满足()1i =-1+i 2z ⋅，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A ．1-i 2 B ．1i 2C ．21-D ．219．一几何体的三视图如图所示，则它的体积为（ ） ABCD10．已知空间四面体D ABC -的每条边都等于1，点,E F 分别是,AB AD 的中点，则FE DC ⋅等于（ ）A ．14 B ．14- CD．11. 已知 ，则有（ ） A ．最大值为 B ．最小值为 C ．最小值为 D ．最大值为1()2(0)f x x x x=+-<()f x 004－4－12. 正项等比数列中的 ，是函数的极值点，则（ ）A ．B ． CD ．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝________.14、已知集合A ={1,3,z i}（其中i 为虚数单位），B ={4}，A B =A ，则复数z 等于 ．15．如图，阴影部分的面积是___________．16．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，以|F 1F 2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为 . 三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程.) 17．（本小题满分10分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，角C 是钝角，且sin 2bB c=． （1）求角C 的值；（2）若2b =，△ABC ,求的值．18. （本小题满分12分）20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:{}n a 1a 4031a 321()4633f x x x x =-+-2016a =1-12c(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)分别求出成绩落在[)50,60 与[)60,70 中的学生人数;(3)从成绩在[)50,70的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)60,70中的概率.19．（本小题满分12分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，11AB AA ==，BC =M 是AD 中点， N 是11C B 中点．(1) 求证：1//NA CM ；（2）求证：平面MCN A 1⊥平面11BD A ．20、（本小题满分12分）已知函数，a ,b ∈R ．若在处与直线相切． 2()ln f x a x bx =-()f x 1x =12y =-（1）求的值；（2）求在上的最大值．21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =2，132n n a a +=+（*N n ∈）（1）求证：数列{}1n a +是等比数列； （2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．22. （本小题满分12分）已知F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点. (1)若P 是第一象限内该图形上的一点，1254PF PF ⋅=- ，求点P 的坐标；b a ,()f x 1[,]e e2214x y +=(2)设过定点(0,2)M 的直线与椭圆交于同的两点A B 、，且A O B 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.l l k参考答案一、 BDCAC ABCDA DB二、 13. －121314. -4i 15. 323 16. 2214y x -=三、17．解：（1）由sin 2bB c =得2sin c B b =，由正弦定理得 2sin sin sin C B B =，所以sin (2sin 1)0B C -=, ……………………… 3分因为sin 0B ≠，所以1sin 2C =， 因为C 是钝角，所以56C π=． ……………………………5分（2）因为11sin 22S ab C a ==，a = ………………………7分由余弦定理得2222cos 12422(28c a b ab C =+-=+-⋅⋅=，所以c =即的值为． …………………10分 18. (1)据直方图知组距为10 ，由(23672)101,a a a a a ++++⨯= 解得10.005200a == . …………4分 (2)成绩落在[)50,60中的学生人数为20.0051020 2.⨯⨯⨯= 成绩落在[)60,70中的学生人数为30.0051020 3.⨯⨯⨯=…………8分(3)记成绩落在[)50,60中的2 人为12,,A A 成绩落在[)60,70中的3 人123,,B B B , 则从成绩在[)50,70的学生中任选2人的基本事件共有10 个:12(,),A A 11(,),A B 12(,),A B 13(,),A B 21(,),A B 22(,),A B 23(,),A B 12(,),B B 13(,),B B 23(,),B B其中2人的成绩都在[)60,70中的基本事件有3 个：12(,),B B 13(,),B B 23(,),B B 故所求概率为3.10p =…………12分c19．证明：以D 为原点，分别以1,,DA DC DD为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则))()11,,0,0,1BA D()0,1,0,,22C M N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.………2分(1)11,0,1,0NA CM ⎫⎫=-=-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭.11,//NA CM NA CM ∴=∴…………6分（2）证法一：)()11,0,1,1,1,02D B MN CM ⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭.110110,1100D B MN D B CM ∴⋅=-=⋅=-+=＋ ，11,D B MN D B CM ∴⊥⊥，又MN CM M ⋂=，…………10分 1D B ∴⊥平面MCN A 1，又1D B ⊂平面11BD A ，∴平面MCN A 1⊥平面11BD A .…………12分证法二：))()111,1,0,1,1,1,02D A D B MN CM ⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面1A MCN 的法向量为),,(z y x =，02n MN y z n CM x y ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，取,1)n =- …8分 设平面11A BD 的法向量为(,,)m x y z =,1110m D A m D B y z ⎧⋅==⎪∴⎨⋅=+-=⎪⎩，取(0,1,1)m = …10分()1)0,1,10110n m ⋅=-⋅=+-=， n m ∴⊥ ， ∴平面MCN A 1⊥平面11BD A .…………12分20、解：（1）． 由函数在处与直线相切，得，即， 解得：．……6分（2）由（1）得：，定义域为． 此时，，令，解得，令，得．所以在上单调递增，在上单调递减，所以在上的最大值为．…………12分 21.（1）证明：∵a n+1=3a n +2（*N n ∈）， ∴a n+1+1=3（a n +1）， 又∵a 1+1=2+1=3，∴数列{a n +1}是以首项、公比均为3的等比数列； （2）解：由（1）可知：a n +1=3n ， ∴b n =na n =n （3n ﹣1）=n 3n ﹣n ，∴T n =1•31+2•32+3•33+…+n •3n ﹣（1+2+3+…+n ） =1•31+2•32+3•33+…+n •3n ﹣()+12n n ， '()2af x bx x=-()f x 1x =12y =-'(1)01(1)2f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2012a b b -=⎧⎪⎨-=-⎪⎩112a b =⎧⎪⎨=⎪⎩21()ln 2f x x x =-(0,)+∞2'11()x f x x x x-=-='()0f x >01x <<'()0f x <1x >()f x 1(,1)e(1,)e ()f x 1[,]e e 1(1)2f =-记Q n =1•31+2•32+3•33+…+n •3n ，则13Q n =1•30+2•31+3•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣2+n •3n ﹣1， 两式相减得：﹣23Q n =30+31+32+…+3n ﹣2+3n ﹣1﹣n •3n=n 1-31-3﹣n •3n =（﹣n ）•3n ﹣，∴Q n =﹣[（﹣n ）•3n ﹣]=（﹣）•3n+1+， ∴T n =1•31+2•32+3•33+…+n •3n ﹣=（﹣）•3n+1+﹣．22. 解：（1）易知，，∴，．设．则，又，联立，解得，．…………6分（2）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，． 联立 ∴，由 ，，得．①又为锐角，2a =1b =c =1(F 2F (,)P x y (0,0)x y >>22125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=--=+-=- 2214x y +=22227414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2211342x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩P 0x =l 2y kx =+11(,)A x y 22(,)B x y 22222214(2)4(14)1612042x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩1221214x x k =+1221614k x x k+=-+22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅>22163(14)0k k -+>2430k ->234k >AOB ∠cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>∴又∴ ∴．② 综①②可知，∴的取值范围是…………12分12120OA OB x x y y ⋅=+> 212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++1212x x y y +21212(1)2()4k x x k x x =++++2221216(1)2()41414k k k k k =+⋅+⋅-+++22212(1)21641414k k k k k+⋅=-+++224(4)014k k -=>+2144k -<<2344k <<k (2,-。
黑龙江省大庆实验中学2016届高三考前得分训练(一)理综试卷及答案
2016年高考得分训练（一）理科综合试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
其中第Ⅱ卷第33～40题为选考题，其它题为必考题。
考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。
满分300分，考试时间150分钟。
第Ⅰ卷可能用到的相对原子质量： H 1 C 12 Cl 35.5 Cr 52一、选择题：本题共13小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 下列关于染色剂及实验试剂的选择和使用等说法正确的是（）A.调查培养液中酵母菌数量的方法是取样器取样法，应先盖盖玻片，再在其边缘滴加培养液让其自行渗入B.低温诱导染色体加倍实验中，卡诺氏液的作用是固定细胞形态C.用纸层析法分离色素时在层析液中溶解度最大的色素在滤纸条上呈现蓝绿色D.观察核酸在细胞中分布实验和促胰液素发现实验中，盐酸的作用原理相同2. 下列有关细胞结构和功能说法正确的是（）A.生物膜上的蛋白质分子承担了生物膜的全部功能B.真核细胞的细胞骨架是蛋白质纤维组成的网架结构，与细胞运动、分裂、物质运输等有关C.病原体在非特异性免疫过程中，被人体的白细胞胞吞后，可被溶酶体中的溶菌酶水解D.所有的细胞中核糖体的形成都与核仁有关3. 下列有关生物进化的叙述，错误的是（）A.生物进化的实质是基因型频率的改变B.自然选择直接选择的是表现型C.地理隔离可使种群基因库产生差别D.基因频率的改变是产生生殖隔离的前提条件4. 下列说法正确的是（）A.密码子的一个碱基发生替换，则相应tRNA及转运的氨基酸都发生变化B.胰腺组织细胞分泌的胰岛素和淀粉酶在内环境参与血糖平衡的调节C.斐林试剂可检测“探究温度对酶活性影响实验”的因变量变化D.基因控制蛋白质的合成过程中需要ATP水解酶5. 下列有关细胞生命历程的叙述正确的是（）A.细胞增殖是细胞分化的基础，细胞分化导致细胞的种类和数量增加B.细胞免疫中效应T细胞导致的靶细胞裂解死亡，属于细胞凋亡C.人的红细胞通过无丝分裂增加其数量D.凋亡的细胞中所有酶的活性都降低，所有基因的表达都受抑制6. 下丘脑是联系神经系统和内分泌系统的枢纽，在体温、血糖、水盐平衡的调节中都有重要作用。
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2016届黑龙江大庆实验中学高三考前训练一理科数
学试卷
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设全集，集合，，则（）A．B．C．D．
2. 设为虚数单位，则复数（）
A．B．C．D．
3. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，
，，则b等于（）
B．5 C．D．25
A．
4. 某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（）
A．36种B．30种C．24种D．6种
5. 已知为互不重合的三个平面，命题若，，则
∥；命题若上不共线的三点到的距离相等，则∥.对以上两个命题，下列结论中正确的是（）
A．命题“”为真B．命题“”为假
C．命题“”为假D．命题“”为真
6. 如果实数x，y满足不等式组目标函数z＝kx－y的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
7. 已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为( )
A．B．C．D．
8. 把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）
A．B．C．D．
9. 如图，在由x＝0，y＝0，x＝及y＝围成区域内任取一点，则该点落在x＝0，y＝sinx及y＝cosx围成的区域内（阴影部分）的概率为（）
A．1－B．－1
C．
D．3－2
10. 设A，B，C是圆上不同的三个点，且，存在实数使得，实数的关系为（）
A．
B．
C．D．
11. 设数列{a
n }的前n项和为S
n
，且a
1
＝a
2
＝1，{nS
n
＋（n＋2）a
n
}为等差数
列，则a
n
＝（）
A．B．C．D．
12. 定义区间的长度为（），函数
的定义域与值域都是，则区间
取最大长度时实数的值为（）
B．-3 C．1 D．3
A．
二、填空题
13. 如下图是判断“实验数”的程序框图，在[30，80]内的所有整数中，“实
验数”的个数是______________．
14. 已知向量（2m，1）（4﹣n，2），m＞0，n＞0，若∥，则
的最小值为_____．
三、未知
15. 若?是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为________.
四、填空题
16. 在正项等比数列中，，. 则满足
的最大正整数的值为
五、解答题
17. 在中，内角所对的边分别为，已知
（1）求角的大小；
（2）已知，的面积为6，求边长的值.
18. 如图是某市2月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择2月1日至2月12日中的某一天到达该市，并停留3天．
（1）求此人到达当日空气质量重度污染的概率；
（2）设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望．
19. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABC
A．
（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆，椭圆
，为椭圆右顶点．过原点且异于坐标轴的直线与椭圆交于两点，直线与圆的另一交点为，直线与圆的另一交点为，
其中．设直线的斜率分别为．
（1）求的值；
（2）记直线的斜率分别为，是否存在常数，使得
？若存在，求值；若不存在，说明理由；
（3）求证：直线必过点．
21. 已知函数
（1）当且时，证明：；
（2）若对，恒成立，求实数的取值范围；
（3）当时，证明：．
22. 选修4-1：几何证明选讲
如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为OA上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于P。
（1）求证：PM2=PA·PC
（2）若圆O的半径为，OA=OM,求MN的长。
23. 选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，它与曲
线C：交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．
24. 设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围.。