大学物理第四章 功和能

m1v12A＋12
m2v22A）
即：所有外力的功之和＋所有内力的功之和 ＝系统末动能－系统初动能
记作：A外＋A内＝EKB - EKA
质点系的动 能定理
上述结论可以推广到任意多个质点 组成的质点系
注意：内力能改变系统的总动能，但 不能改变系统的总动量。
例：炸弹爆炸
思考：为什么内力之和一定为零，而 内力作功之和不一定为零呢？
例4、一链条总长为l ，质量为m。放在桌面上并使其
下垂，下垂的长度为a，设链条与桌面的滑动摩擦系数 为，令链条从静止开始运动，则：（1）到链条离开 桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条 离开桌面时的速率是多少？
解：(1)建坐标系如图 f mg(l x) / l f
l-a
m1v12A
m2 :
B2 F 2 d r 2
A2
B2 A2
f
2
dr2

1 2
m2v22B

1 2
m2v22A
两式相加得：
B1 F1 dr1 A1
B2 A2
F
2

d
r
2＋
B1 A1
f
1

d
r1

B2 A2
f
2
dr2

1 2
m1v12B＋12
m2v22B
（1 2
2
定义：Ek=mv2/2 为质点的动能
Ek

1 2
mv 2

p2 2m
Ek状态量
AAB=EKB-EKA
A EK
动能定理
在一空间过程中，合外力对质点所做的功等于 质点动能的增量。
单位：J 量纲：ML2T－2
动能是否依赖于参考系?
说明
1、动能是状态量，任一运动状态对应一定的 动能。 2、EK=EKB-EKA为动能的增量，增量可正可 负，视功的正负而变。 3、动能是质点因运动而具有的做功本领。
a
a (F1 F2 FN ) dr

b a F1 dr
b a F2 dr
b a FN dr
A1ab A2ab ANab
合力的功等于各分力沿同一路径所 做的功的代数和
讨论
单位：J 量纲：ML2T－2
二、质点系的动能定
B1
理 两个质点组成的质点系： m1 m2
F1
f1
内力： f1
f2 初速度：v1A
v 2 A m1
外力： F1 F2 末速度：v1B v 2B
A1
B2
f2
F2
m2
A2
m1 :
B1 F1 d r1
A1
B1 A1
f
1

d
r1

1 2
m1v12B

1 2
a
b
b
b
A a dA
a F d r
F dr cos
a
解析式：A
b
a
(
Fx
dx

Fy dy )

质点同时受到N个力作用： F1, F2,, FN
在 上述力作用下沿曲线由a运动到b
合力F 对质点做的功为：
b b

Aab
F dr
1）沿圆弧（a—b）；2）沿直径（a—b）
解： Aab

b
fs
dr

b

fs

dr
圆弧 a
a
m fs dr
a
Rb
(b)
fs ds mg R
(a)

Aab fs r mg2R 直径
摩擦力的功与路径有关 一定是负的吗？
§2 动能定理
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
大海的能量 (冲浪)
太阳能飞机
讨论：力在空间的积累效应—功，动 能、势能、动能定理、能量守恒定律 等。
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
a
0
例2、质量为 2 kg 的质点在F＝12ti (SI)力
的作用下，从静止出发，沿x轴正向作直线运 动。求前三秒内该力所作的功。
W＝ F d r 12tvdt v 3t 2
W
3
12t

3t
2dt

336t3dt 9t 4 729J
0
0
例3.一质点在如图所示的坐标平面内作圆周
dA F d r
Baidu Nhomakorabea
P F dr F v dt
单位：W或Js-1 量纲：ML2T－3

例1：某质点在力 F 4 5xiˆ 的作用下沿
x轴做直线运动 ， 求在从x=0移到x=10m的 过程中，力 F 所做的功。
解：
b
10
A Fxdx (4 5x)dx 290 (J)
dr
O
a
l mg
Af f d r a l (l x)dx
x


mg
l
(lx

1 2
x
2
)
l a


mg
2l
(l

a)2
负号说明： 摩擦力作负 功！
功的其它单位：1eV=1.6×10-19J 1erg＝10-7J
1）A是标量 但有正负：取决于力与位移 的夹角。
2）功是过程量---反映力在空间过程中的积 累作用。
3）合力的功为各分力的功的代数和。
4）功与参考系有关。
三、功率：力在单位时间内所作的功
平 均 功 率 ： P A t
瞬时功率：P lim A dA t0 t dt
一、质点的动能定理
AAB＝
B A
F
dr

B
A F d r
B
m A a d r
a

dv dt
dr ds vdt
AAB＝m
B dv vdt A dt
m
vB vdv
vA
1 2
mvB2

1 2
mvA2
合外力对物体做功能改变质点的运动，在 数量上和功相应的是1 mv2 这个量的改变。
运动，有一力
F F0 (xiˆ yˆj)
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
F
F

M
M
S
位移无限小时：
dA

F

dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
二、变力做功 曲线运动
如果力是位置(时间）的函数，质
点在力的作用下沿一曲线运动，
则功的计算如下：
元位移：dr
在元位移 dr中将力
视为恒力
F

dr
b
元功：
dA F dr
从a到b，力对质点做功：