2013届高考数学一轮复习讲义：10[1].1 分类计数原理与分步计数原理

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变式训练 3
如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染 上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色， 如果只有 5 种颜色可供使用，求不同的染 色方法总数．
解 方法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染 色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步计数原理即 可得出结论．由题设，四棱锥 S—ABCD 的顶点 S、A、B 所染 的颜色互不相同，它们共有 5×4×3＝60(种)染色方法．
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第三类是用 4 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数，其步骤同第二 类，有 3×4×3＝36(个)．
对以上三类结论用分类计数原理，可得所求无重复数字的比 2 000 大的 4 位偶数有 48＋36＋36＝120(个)．
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探究提高
用两个计数原理解决计数问题时，关键是明确需要分类还是 分步． (1)分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计 数，最后用分类计数原理求和，得到总数． (2)分步要做到“步骤完整”，只有完成了所有步骤，才完成 任务，根据分步计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得 到总数． (3)对于复杂问题，可同时运用两个计数原理或借助列表、画 图的方法来帮助分析．
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变式训练 1
同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋装有 30 张英语单 词卡片，右边口袋装有 20 张英语单词卡片，这些英语单词卡 片都互不相同，则从两个口袋里任取一张英语单词卡片，共有
50 ________种不同的取法．
从口袋中任取一张英语单词卡片的方法分两类：
第一类： 从左边口袋取一张英语单词卡片有 30 种不同的取法；
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变式训练 2
已知集合 M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，若 a，b，c∈M，则： (1)y＝ax2＋bx＋c 可以表示多少个不同的二次函数； (2)y＝ax2＋bx＋c 可以表示多少个图象开口向上的二次函数．
解 (1)a 的取值有 5 种情况，b 的取值有 6 种情况，c 的取值 有 6 种情况，因此 y＝ax2＋bx＋c 可以表示 5×6×6＝180(个) 不同的二次函数． (2)y＝ax2＋bx＋c 的开口向上时，a 的取值有 2 种情况，b、c 的取值均有 6 种情况，因此 y＝ax2＋bx＋c 可以表示 2×6×6 ＝72(个)图象开口向上的二次函数．
用分类计数原理． 解 (1)50＋60＋55＝165(种)，即所求选法有 165 种． (2)30＋30＋20＝80(种)，即所求选法有 80 种．
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探究提高
分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标 准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个 基本要求，就是完成这件事情的任何一种方法必须属于某一 类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满 足这些条件，才可以用分类计数原理．
1．两个原理的联系与区别 两个原理都是对完成一件事的方法种数而言的．区别在 于：(1)分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分 步”；(2)分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能 独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只 能做这件事的一步，不能独立完成这件事．
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2．对两个原理的进一步理解 分类计数原理中，“完成一件事，有 n 类办法”，是说 每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件 事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时， 要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法 中的哪一种方法，都能独立完成这件事．只有满足这个 条件，才能直接用分类计数原理，否则不可以． 分步计数原理中，“完成一件事，需要分成 n 个步骤”， 是说每个步骤都不足以完成这件事，这些步骤彼此间也 不能有重复和遗漏．
选法；
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第二步， 选取百位上的数字， 0 和千位上已选定的数字以外， 除 还有 4 个数字可供选择，有 4 种选法；
第三步，选取十位上的数字，还有 3 种选法． 依据分步计数原理，这类数的个数有 4×4×3＝48(个)； 第二类是用 2 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数，它可以分三步 去完成： 第一步，选取千位上的数字，除去 2,1,0 只有 3 个数字可以选 择，有 3 种选法； 第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之 后，还有 4 个数字可供选择，有 4 种选法； 第三步，选取十位上的数字，还有 3 种选法． 依据分步计数原理，这类数的个数有 3×4×3＝36(个)；
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失误与防范
应用两种原理解题： (1)分清要完成的事情是什么？ (2)分清完成该事情是分类完成还是分步完成，“类”间互相 独立，“步”间互相联系； (3)有无特殊条件的限制； (4)检验是否有重漏．
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知识网络
计数原理
分类计数原理
分步计数原理
排列的定义 排列、组合
排列
排列数公式
组合的定义
方法三 按所用颜色种数分类． 第一类，5 种颜色全用，共有 A5种不同的方法； 5
第二类，只用 4 种颜色，则必有某两个顶点同色(A 与 C，或 B 与 D)，共有 2×A4种不同的方法； 5
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第三类，只用 3 种颜色，则 A 与 C、B 与 D 必定同色，共有
3 A5种不同的方法．
由分类计数原理，得不同的染色方法总数为
(3)若 2 个相同，又分为以下情况： ①若位置一与二相同，则信息为：0101； ②若位置一与三相同，则信息为：0011； ③若位置一与四相同，则信息为：0000； ④若位置二与三相同，则信息为：1111； ⑤若位置二与四相同，则信息为：1100； ⑥若位置三与四相同，则信息为：1010. 共有 6 个． 故与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数 为 1＋4＋6＝11.
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分类计数原理
例 1 高三一班有学生 50 人，男生 30 人，女生 20 人；高三 二班有学生 60 人，男生 30 人，女生 30 人；高三三班有 学生 55 人，男生 35 人，女生 20 人． (1)从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主 席，有多少种不同的选法？ (2)从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一 名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
方法二 以 S、A、B、C、D 顺序分步染色． 第一步，S 点染色，有 5 种方法；
第二步，A 点染色，与 S 在同一条棱上，有 4 种方法； 第三步，B 点染色，与 S、A 分别在同一条棱上，有 3 种方法；
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第四步，C 点染色，也有 3 种方法，但考虑到 D 点与 S、A、C 相邻，需要针对 A 与 C 是否同色进行分类，当 A 与 C 同色时， D 点有 3 种染色方法；当 A 与 C 不同色时，因为 C 与 S、B 也 不同色， 所以 C 点有 2 种染色方法， 点也有 2 种染色方法． D 由 分步、 分类计数原理得不同的染色方法共有 5×4×3×(1×3＋ 2×2)＝420(种)．
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方法与技巧
1．分类计数原理和分步计数原理，都是关于做一件事的不同 方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类” 问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以 做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相 互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事． 2．混合问题一般是先分类再分步． 3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏． 4．要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚， 便于探索规律．
学生答案展示 10
审题视角
至多有两个对应位置上的数字相同是本题的题眼，可分为 0 个 相同，1 个相同，2 个相同．
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方法一
分 0 个相同、1 个相同、2 个相同讨论．
(1)若 0 个相同，则信息为：1001.共 1 个．
(2)若 1 个相同，则信息为：0001,1101,1011,1000.共 4 个．
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两个计数原理的综Hale Waihona Puke Baidu应用
例 3 用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000 大 的 4 位偶数？
解答本题可以先选个位数字，后选千、百、十位数字．
解 完成这件事可分为 3 类方法： 第一类是用 0 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数，它可以分三步 去完成： 第一步，选取千位上的数字，只有 2,3,4,5 可以选择，有 4 种
完成“确定点 P”这件事需依次确定横、纵坐标，应用分 步计数原理．
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解
(1)确定平面上的点 P(a，b)可分两步完成：
第一步确定 a 的值，共有 6 种确定方法；
第二步确定 b 的值，也有 6 种确定方法． 根据分步计数原理，得到平面上的点的个数是 6×6＝36.
(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定 a，由于 a<0，所以有 3 种确定方法； 第二步确定 b，由于 b>0，所以有 2 种确定方法． 由分步计数原理，得到第二象限的点的个数是 3×2＝6.
第二类： 从右边口袋取一张英语单词卡片有 20 种不同的取法；
上述的其中任何一种取法都能独立完成取一张英语单词卡片 这件事，应用分类计数原理来解题，所以从中任取一张英语单 词卡片的方法种数为 30＋20＝50(种)．
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分步计数原理
例 2 已知集合 M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)表示平面 上的点(a，b∈M)，问： (1)P 可表示平面上多少个不同的点？ (2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？ (3)P 可表示多少个不在直线 y＝x 上的点？
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要点梳理
忆一忆知识要点
3．分类计数原理与分步计数原理，都涉及完成一件事情的不 同方法的种数．它们的区别在于：分类计数原理与分类有 关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成 这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存， 只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
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[难点正本
疑点清源]
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当 S、A、B 染好时，不妨设其颜色分别为 1、2、3，若 C 染 2， 则 D 可染 3 或 4 或 5，有 3 种染法；若 C 染 4，则 D 可染 3 或 5， 2 种染法； C 染 5， D 可染 3 或 4， 2 种染法． 有 若 则 有 可 见，当 S、A、B 已染好时，C、D 还有 7 种染法，故不同的染 色方法有 60×7＝420(种)．
(3)点 P(a，b)在直线 y＝x 上的充要条件是 a＝b. 因此 a 和 b 必须在集合 M 中取同一元素，共有 6 种取法， 即在直线 y＝x 上的点有 6 个．
由(1)得不在直线 y＝x 上的点共有 36－6＝30(个)．
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探究提高
利用分步计数原理解决问题：①要按事件发生的过程合理分 步，即分步是有先后顺序的；②各步中的方法互相依存，缺一 不可，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
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方法二 若 0 个相同，共有 1 个；
1 若 1 个相同，共有 C4＝4(个)；
2 若 2 个相同，共有 C4＝6(个)．
故共有 1＋4＋6＝11(个)．
正确答案 11
批阅笔记
(1) 本题考查的是分类计数原理，难度不大，属中档题． (2) 本题要求至多有两个对应位置上的数字相同，应按照 个相同的情况． 0 个 0 相同、 1 个相同、 2 个相同进行讨论，本题易错点是易漏掉
一轮复习讲义
分类计数原理与分步计数原理
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要点梳理
1．分类计数原理
忆一忆知识要点
完成一件事，有 n 类方式，在第 1 类方式中有 m1 种不同 的方法，在第 2 类方式中有 m2 种不同的方法，„„，在 第 n 类方式中有 mn 种不同的方法，则完成这件事情，共 有 N＝ m1＋m2＋„＋mn 种不同的方法． 2．分步计数原理 完成一件事情，需要分成 n 个步骤，完成第 1 步有 m1 种 不同的方法，完成第 2 步有 m2 种不同的方法，„„，完 成第 n 步有 mn 种不同的方法，那么完成这件事情共有 N ＝ m1×m2ׄ×mn 种不同的方法．
5 3 A5＋2×A4＋A5＝420(种)． 5
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易错警示
分类不准、计数原理使用不当致误
(5 分)在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列(数字允 许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字 只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相 同的信息个数为________．