刚体的运动分解共23页文档
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第三章刚体力学§3.1 刚体运动的分析§ 3.2 角速度矢量§3.3 刚体运动微分方程§ 3.4 刚体平衡方程§3.5 转动惯量§ 3.6 刚体的平动与定轴转动§3.7 刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1. 刚体是特殊质点组dr ij =0, 注意 : 它是一种理想模型, 形变大小可忽略时可视为刚体。
2. 描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z),对刚体是否用3n 个变量？否 , 由于任意质点之间的距离不变如确定不在同一直线上的三点, 即可确定刚体的位置, 需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6 个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动 +绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z),描述转轴可由αβ, γ。
, ,二、刚体的运动分类1. 平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表. 需要三个独立变量, 可以看成质点力学问题.( 注意 : 平动未必是直线运动)2.定轴转动 : 刚体上有两点不动 , 刚体绕过这两点的直线转动 , 该直线为转轴 . 需要一个独立变量φ3.平面平行运动 : 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动 : 刚体中一点不动 , 刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动 : 平动 +转动§3.2角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示 , 右手法确定其方向 . 有向线段不一定是矢量 , 必须满足平行四边形法则 , 对定点转动时 , 不能直接推广 , 因不存在固定轴 .ωlim n dnt dt 刚体在 dt 时间内转过的角位移为d n，则角速度定义为t 0角速度反映刚体转动的快慢。
Q dr dn r , v dr ωr线速度与角速度的关系：dt§3.3刚体运动微分方程一、基础知识1. 力系：作用于刚体上里的集合。
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第三章刚体力学§3.1 刚体运动的分析§3.2 角速度矢量§3.3 刚体运动微分方程§3.4 刚体平衡方程§3.5 转动惯量§3.6 刚体的平动与定轴转动§3.7 刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组 dr ij=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用 3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变, 如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需 9-3=6 个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α, β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动§3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.ω = lim ∆n=d n刚体在 dt 时间内转过的角位移为 d n ，则角速度定义为角速度反映刚体转动的快慢。
∆t →0 ∆t dt线速度与角速度的关系：d r =d n ⨯r , ∴ v =d rdt=ω ⨯rF 1 F ⨯ M§3.3 刚体运动微分方程一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体、转动动能、转动惯量(共23张PPT)
d l －线分布λ ＝m/L
dm
d
s
－面分布σ ＝m/S
d V －体分布ρ ＝m/V
15二–、8决定多转普动勒惯效量应的三因素
1、刚体的总质量； 2、刚体的质量分布； （如圆环与圆盘的不同）；
3、刚体转轴的位置。 （如细棒绕中心、绕一端）
故刚体的动能：
E ki n11 2 m iri2 21 2(i n1 m iri2) 2
1质5量–不8连续多分普布勒（离效散应）
Ek
1( n 2 i1
miri2)2
质量连续分布 mi 0
第十五章 机械波
v
ri
i
m
i
M
Ek
lim mi 0 n
或：
IB
Ic
m( L)2 2
IA Ic mh2
15平–行8轴定多理普：勒刚体效对应任一轴A的转动惯第量十IA五和章通机过械质波
心并与A轴平行的转
动惯量Ic有如下关系：
IA ICmd2
m 为刚体的质量、
d
A
C
M
d 为轴A与轴C之间的垂直距离
正交轴定理：（仅适用于薄板状刚体）
Iz Ix Iy
vc为质心的速度
O
X
1一5、–转8动多动普能 勒效应
第十五章 机械波
刚体绕定轴以角速度旋转
刚体的动能应为各质元动能之和，
为此将刚体分割成很多很小的质
v
ri
i
m
i
M
元
m 1, m 2 m i m n
任取一质元 m i 距转轴 r i ，则该质元动能：
第二章 刚体的基本运动
ω
角加速度矢ε
dω d (ωk ) ε εk dt dt
结论：角加速度矢ε为角速度矢ω对时间的一阶导数。 二、点的速度和加速度
点的速度矢
v = ×r 结论：绕定轴转动的刚体内任
M
R
z
O
v = ×r
一点的速度矢等于刚体的角速
度矢与该点矢径的矢积。
r A
点的加速度矢
dv d (ω r ) dω dr a r ω ε r ω v dt dt dt dt at= ×r ——切向加速度
φ(t ) φ(0) ωt
角速度ω（rad/s）与转 速n（r/min）的关系：
ε t2 φ(t ) φ(0) ω(0)t 2
由上述两式消去t得
2 ( t ) (0) 2 [ (t ) (0)] 2
2πn ω 0.1n 60
【例2-1】图示机构中套筒A套在摇杆O2B上并与曲柄 O1A以销钉连接。当O1A转动时通过套筒A带动O2B 杆 左右摆动。设O1A杆长为 r并以匀角速转动。设t=0 时O1A杆位于铅垂位置，写出O2B杆的转动方程并求 出其角速度及角加速度。 O1 【解】1）求O2B杆的转动方程 B 在三角形O1O2A中，由正弦定理知 l A r sin θ sin φ sin[π (φ θ )] φ arct an r l l r cos θ r sin ωt O2 arct an l r cos ωt 2）求O2B杆的角速度
它是一个代数量。
2
弧度/秒，用符号rad/s表示。 若ε与ω同号，表示加 速转动，异号则表示 它是一个代数量，符号规 减速转动。 定与转角符号规定一致。
四、两类特殊转动
4.1 刚体平面运动-运动分解
刚体的平面运动-运动分解刚体的平面运动刚体在运动过程中，其上任意一点到某一固定平面的距离保持不变。
M NS A 1A 2 A若用一与固定平面M 平行的平面N 去截割刚体得平面图形S ， 该平面图形S 始终在平面N 内运动。
垂直于图形S 的任一条直线A 1A 2作平动。
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 在其自身平面内的运动。
研究刚体的平面运动 研究平面图形的运动12()()A A x f t y f t ==刚体平面运动方程点A 、B 是平面图形上的任意两点，AB 位置确定，平面图形的位置也唯一确定。
3()f t φ= 由刚体的平面运动方程可以看到，如果图形中的A 点固定不动，则刚体将作定轴转动；如果线段AB 的方位不变（即ϕ =常数），则刚体将作平动。
用什么方法研究刚体的平面运动？如果汽车沿直线行驶，车轮作平面运动。
建立动参考系x’o’y’,随车身一起平动。
轮相对轮心做转动刚体的平面运动分解为随平动参考系的平动（牵连运动）与绕基点的“定轴”转动（相对运动）。
SA ϕ x ' y ' O ' ϕ' 刚体的平面运动(绝对运动)随同基点的平动(牵连运动) 绕着基点的转动(相对运动) 刚体的平面运动分解与合成xy o S Aϕx ' y 'O ' 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）∆r A ≠ ∆r B ， v A ≠ v B ， a A ≠ a B—随基点的平动部分与基点的选择有关△ϕ1=△ϕ2=△ϕωA = ω B = ωαA = α B = α—绕基点的转动部分与基点的选择无关基点选择对运动分析有何影响？凡涉及到平面运动图形转动的角速度和角加速度时，不必强调基点，就是平面图形的绝对角速度和角加速度。
O ABθ ϕSA ϕ x ' y ' O ' ϕ' 刚体的平面运动(绝对运动)随同基点的平动(牵连运动) 绕着基点的转动(相对运动) 刚体的平面运动分解与合成xy o S Aϕx ' y 'O '思考题刚体的平动和定轴转动均是刚体平面运动的特例，对吗？有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。
刚体基本运动
M点旳速度与加速度。
解： AB 杆为平移，
O1 A 为定轴转动。 根据平移的特点，
在同一瞬时，M、 A 两点具有相同的
速度和加速度。
A点作圆周运动，其运动方程为
s O1 A 3π t
vA
ds dt
3π
（m/s）
a A
dv dt
与加速度
运动方程
M为刚体内任一点， OM=R，称之为转动半
径。在运动旳初瞬时，
M点与固定平面Ⅰ旳点
重叠。取为圆周弧坐标
旳原点，当刚体转动角
时，该点旳弧坐标
动点M沿其圆周轨迹旳运动方程 s M 0 M R
速度
v ds R d R
dt dt
转动刚体内任一点旳速度旳代数值等于 该点旳转动半径与刚体旳角速度旳乘积。
荡木AB旳运动
平移刚体上任一点旳轨迹可能是直线或曲线
A,B: 平移刚体上任取两点
矢量BA为一常矢量 ，刚体
在运动过程中，A、B两点
所描绘出旳轨迹曲线旳形
状彼此相同。
rA rB BA
d BA 0 dt
drA drB dt dt
结论：刚体平移时，体内全部各 点旳轨迹形状相同。在同一瞬时， 全部各点具有相同旳速度和加速 度。
➢角加速度
描述角速度变化旳快慢程度
瞬时t旳角速度为，间隔t后，角速度为 间隔t内，＝－
刚体旳角加速度 ： lim d d 2
t0 t dt dt 2
与同号，刚体加速转动； 与异号，刚体减速转动。
单位：弧度/秒2 (rad/s2 )或1/秒2 (1/s2 )
❖第三节 定轴转动刚体内各点旳速度
《刚体的运动》课件
约束的类型与特点
● 约束类型：固定约束、滑动约束、柔性约束 ● 约束特点：限制刚体运动方向、限制刚体运动范围、影响刚体运动状态 约束的类型与特点
• 约束的类型与特点 ● 固定约束：限制刚体在某一方向的移动，使刚体在空间保持相对位置不变。 ● 滑动约束：允许刚体在某一方向上移动，但限制其转动。 ● 柔性约束：通过弹性元件限制刚体的运动，具有非线性特性。 约束的类型与特点
自由度与约束的关系
自由度的定义：刚体在空间中的自由程度，由其质心位置和转动轴决定。
约束的类型：固定约束、滑动约束、柔性约束等，对刚体的自由度产生限制。
自由度与约束的关系：刚体受到约束后，其自由度会相应减少，但仍保持其整体运动状态。
实际应用：在机械设计、航空航天等领域，需要合理考虑刚体的自由度与约束关系，以确保 系统的稳定性和性能。
刚体的平面运动 可以分解为平移 和绕某点的转动
平面运动中，刚 体的形状和大小 保持不变
平面运动中，刚 体的重心轨迹是 平面曲线
平面运动的特点
刚体平面运动定义
刚体平面运动分类
刚体平面运动性质
刚体平面运动实例
平面运动的合成与分解
平面运动的定义与分类 平面运动的合成：矢量法与解析法 平面运动的分解：定轴转动与平移 平面运动的应用实例
定轴转动的特点
刚体绕某一轴线 转动
转动轴固定不动
刚体上任意一点 到转动轴的距离 相等
刚体上任意两点 间的连线在转动 过程中保持不变
定轴转动的角速度和角加速度
角速度定义：刚 体绕定轴转动的 角速度是单位时 间内转过的弧度 （或角度）
角加速度定义： 刚体绕定轴转动 的角加速度是单 位时间内转过的 弧度/秒^2（或 角度/秒^2）
第2章刚体力学分解
mv 1 ( M m )R 2
R
M
O
损失的动能为:
1 1 2 Ek 0 Ek mv ( J圆柱 mR 2 ) 2 2 2
mM v2 2 M 4m
课堂练习
3. 如图，求
解:
1 mgh mv 2 2
1 1 1 2 2 2 mgh mv J MR 2 '2 2 2 2 3
J
v r
v 'R
2 1 1 J 1 2 v 1 1 J 2 2 2 2 mgh mv 2 v MR ( m M ) v 2 2 r2 2 3 R2 2 2 r2 3
v
mi
vi
转动惯量 J ( mi ri2 )
i
转动动能
1 2 Ek J 2
1 2 E k mv 2
二、转动惯量
O
ri
m1
J
2 ( m r ii) i
2 r dm
m2
mi
vi
r1
o
r2
dl
质量为线分布 质量为面分布
dm
dS
dV 质量为体分布
转动惯量以下三个因素决定： 刚体的质量、质量的分布、转轴的位置
例2. 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一 固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最 初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度 和角速度。
解：棒下摆 时，重力矩为
1 M mgl cos 2 转动定律M = J 得
O
1 M 2 mgl cos 3 g cos 1 J 2l ml 2 3
刚体平面运动的分解
理论力学
间t的单值连续函数，即
xA xt yA yt t
上式就是刚体平面运动的运动方程。
目录
刚体的运动\刚体平面运动的分解
显然，上述刚体平面运动的运动方程 是由刚体平移的运动方程和刚体定轴转动
的运动方程所组成。 当为常数时，表明
平面图形在运动过程中，线段AB的方向始 终保持不变，显然这时图形在平面内作平 移；当xA、yA同为常数时，表明A点始终不 动，平面图形绕过A点且与图形垂直的固 定轴转动。在一般情况下，刚体的平面运 动可以看作是刚体平移和转动这两种基本 运动的合成。
向都是相同的，故有
lim lim
t0 t t0 t
得
A B
又由 d ，得
dt
A B
目录
刚体的运动\刚体平面运动的分解 以上两式表明，在任意瞬时，平面图形绕自身平面内任一点转
动的角速度和角加速度都是相同的。这样就可以将该角速度和角加 速度直接称为平面图形的角速度和角加速度，而不必再专门指出是 绕哪一个基点转动的了。此外，由于平移坐标系相对固定坐标系不 存在转动，因此上述角速度和角加速度也就是平面图形即平面运动 刚体相对固定坐标系的角速度和角加速度。
目录
刚体的运动\刚体平面运动的分解
为具体描述平面图形在自身平面内的运动， 在该平面上建立一个固定的直角坐标系Oxy， 在平面图形上任选一点A，并以A为原点作直 角坐标系Ax'y'， 如图所示。平面图形S运动时 坐标系Ax' y'随之运动，令Ax'和Ay'始终分别与 固定坐标系的Ox和Oy轴平行，这样，Ax' y'是 一平移坐标系，A点称为基点。于是，平面图 形S的运动就可以分解为两部分：
7、第七章刚体的基本运动学习课件.ppt
ω1
ω2
r1
r2
v
r2 ω2
16
概念题
1)转动刚体的角加速度为正时，则刚体 （1）越转越快
（2）越转越慢
2）两齿轮啮合时：
（3）不一定
接触点的速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定
接触点的切向加速度 （1）相等；（2）不相等；（3）不一定
3）平动刚体上点的轨迹不可能为空间曲线 4）某瞬时平动刚体上各点的速度大小相等而方向可以不同
.精品课件.
17
M O αω
A
滑轮的半径 r=0.2 m， 可绕水平轴O转动，轮缘上 缠有不可伸长的细绳，绳的 一端挂有物体A（如图）， 已知滑轮绕轴O的转动规律 φ=0.15t3 ，其中t以s计，φ 以 rad计，试求t=2 s时轮缘上 M点和物体A的速度和加速 度。
.精品课件.
18
解： 首先根据滑轮的转动规律，求得它的角 速度和角加速度
vM
O αω
0.45t2 0.9t
M
代入 t =2 s， 得
1.8rad s－ 1,1.8r asd－ 2
轮缘上 M 点上在 t =2 s 时的速度为
A
vMr0.36 m s－ 1
.精品课件.
19
加速度的两个分量
vM at
aM
M
φ
O an
αω
A
at r0.36m s－ 2
a nr2 0 .64m 8 s－ 2
解：根据题意，刚体ABC 作平动。只需求出A点或B 点的速度和加速度即可。
sllt
vA
ds dt
l
O1
O2
an
φ
v
an
A0
A
(完整word版)刚体的基本运动
第三章 刚体力学§3.1 刚体运动的分析 §3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程 §3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量 §3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7刚体的平面平行运动§3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量1.刚体是特殊质点组dr ij =0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。
2.描述刚体位置的独立变数描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变,如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需9个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需9-3=6个变量即可。
刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α,β,γ。
二、刚体的运动分类1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行.任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动)2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变量φ3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。
可以用平行于固定平面的截面代表刚体。
需要三个独立变量。
4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。
需三个独立的欧拉角。
5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴.刚体在dt 时间内转过的角位移为d n ，则角速度定义为0limt d t dt ∆→∆==∆n nω角速度反映刚体转动的快慢。
线速度与角速度的关系：,t d d d d =⨯⨯∴==rv r n r ωr Q§3.3 刚体运动微分方程 一、 基础知识1.力系：作用于刚体上里的集合。
02-16.1 刚体平面运动的概述和分解(课件)
刚体平面运动刚体平面运动
张莉
哈尔滨工业大学理论力学教研组
主要内容
1、刚体平面运动的概述和分解
2、求平面图形各点速度的基点法
3、求平面图形各点速度的投影法
4、求平面图形各点速度的瞬心法
1、刚体平面运动的概述和分解
刚体平面运动的概述和分解定义
在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离，这种运动称为平面运动。
平面运动的简化
A 1
A 2
A
x
y
O
S
S
平面图形的运动
运动方程
()()()123O O x f t y f t f t ϕ''=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
转角
刚体平面运动的概述和分解
运动分解
平面运动 = 随 的平移+绕 点的转动 O x y '''O '
O x y '''-平移坐标系
基点选择不同，对平移和转动是否有影响
？
基点
刚体平面运动的概述和分解
A B
A 1
B 1
A 2
B 2
1
ϕ∆2ϕ∆基点A ：平移轨迹AA 1，转角 1
ϕ∆基点B ：平移轨迹BB 1，转角
2ϕ∆ 平面运动可取任意基点而分解为平移和转动，其中平移的
速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。
2
1ϕϕ∆=∆。
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刚体的运动分解
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利