山东省寿光现代中学2007-2008学年度第一学期期末模拟高三数学试题(文)

山东省寿光现代中学2007-2008学年度第一学期期末模拟高三数学试题（文）
本试卷分I 卷（选择题）和第II 卷）（非选择题）两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）
如果事件A 、B 互斥，那么
P （A+B ）=P （A ）+（B ）
如果事件A 、B 相互独立，那么
P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）
如果事件A 在一次试验中发生的概率是
P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的
概率 k n k
k n n P P C k P --=)1()(
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数)2
(cos 2
π
+
=x y 是
（ ）
A ．最小正周期是π的偶函数
B ．最小正周期是π的奇函数
C ．最小正周期是2π的偶函数
D ．最小正周期是2π的奇函数 2．已知点P （3，2）与点Q （1，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 （ ）
A ．01=+-y x
B ．0=-y x
C ．01=++y x
D ．0=+y x 3．函数x x y 33
-=的单调递减区间是
（ ）
A ．（－∞，0）
B ．（0，+∞）
C ．（－1，1）
D ．（－∞，－1），（1，+∞）
4．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a =（1，0，1），
b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 （ ）
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30° 5．已知直线α平面⊥l ，直线β平面⊂m ，给出下列命题
（ ） ①α∥m l ⊥⇒β； ②l ⇒⊥βα∥m ③l ∥βα⊥⇒m ④α⇒⊥m l ∥β
A ．①②③
B ．②③④
C ．②④
D ．①③
6．已知a b a ,0,0>>、b 的等差中项是
βαβα++=+=则且,1
,1,21b
b a a 的最小值是（ ） 正棱锥、圆锥的侧面积公式
cl S 2
1
=锥侧 其中c 表示底面周长，l 表示斜
高或母线长，球的体积公式
3
3
4R V π=球
其中R 表示球的半径
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O （0，0），A （3，0），B （0，3），点P 在线段AB 上，
且OP OA t AB t AP ⋅≤≤=则),10(的最大值为 （ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
8．设A 、B 是两个集合，定义}2|1||{},,|{≤+=∉∈=-x x M B x A x x B A 若且， ∈==αα|,sin ||{x x N R }，则M －N=
（ ）
A ．[－3，1]
B ．[－3，0）
C ．[0，1]
D ．[－3，0]
9．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一动点
P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线的形 状为 （ ）
10．直线l 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，
被直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是 （ ）
A ．2
B ．2
C ．
2
6
D ．5
11．在某次数学测验中，学号)4,3,2,1(=i i 的四位同学的考试成绩}98
,96,93,92,90{)(∈i f ， 且满足)4()3()2()1(f f f f <<<，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为 （ ）
A ．15种
B ．10种
C ．9种
D ．5种
12．某书店发行一套教学辅导书，定价每套20元。

为促销，该书店规定：购买不超过50套，按
定价付款；购买51至100套，按定价的9折付款；购买100套以上，按定价的8折付款。

现有钱1800元，问买书的套数最多为
（ ）
A ．120套
B ．112套
C ．100套
D ．94套
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在题中横线上。

13．将抛物线)0()3(42≠-=+a y a x 按向量v =（4，－3）平移后所得抛物线的焦点坐标为 .
14．电流强度I （安）随时间t （秒）变化的函数
I=)0,0)(6sin(≠>+
⋅ωπ
ωA t A 的图象如图 所示，则当50
1
=t 秒时，电流强度是
安.
15．如图，正三角形P 1P 2P 3，点A 、B 、C 分别为
边P 1P 2，P 2P 3，P 3P 1的中点，沿AB 、BC 、CA 折起，使P 1、P 2、P 3三点重合后为点P ，则折 起后二面角P —AB —C 的余弦值为 .
16．已知函数x
x f )2
1
()(=的图象与函数g （x ）的图象关于直线x y =对称，令|),
|1()(x g x h -=则关于函数)(x h 有下列命题
（ ）
①)(x h 的图象关于原点对称； ②)(x h 为偶函数；
③)(x h 的最小值为0；
④)(x h 在（0，1）上为减函数.
其中正确命题的序号为 （注：将所有正确．．
命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分） 已知A 、B 、C 的坐标分别为A （3，0），B （0，3），C （ααsin ,cos ），).2
3,2(π
πα∈
（I ）若|,|||=求角α的值；
（II ）若α
α
αtan 12sin sin 2,12++-=⋅求BC AC 的值.
18．（本小题满分12分）已知10件产品中有3件是次品. （I ）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率； （II ）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？
19．（本小题满分12分）在等差数列}{n a 中，首项11=a ，数列}{n b 满足
.64
1,)21(321==b b b b n a n 且
（I ）求数列}{n a 的通项公式；
（II ）求.2211n n b a b a b a +++
20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，侧面PDC
是边长为a 的正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点。

（I ）求异面直线PA 与DE 所成的角； （II ）求点D 到面PAB 的距离.
21．（本小题满分12分）如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，
点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E. （I ）求曲线E 的方程；
（II ）过点A 且倾斜角是45°的直线l 交曲线E 于两点H 、Q ，求|HQ|.
22．（本小题满分14分）已知函数∈++++=a a x a x x f (|2|lg )1()(2R ，且)2-≠a .
（I ）若)(x f 能表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 的和，求)()(x h x g 和的解析
式；
（II ）命题P ：函数)(x f 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数；
命题Q ：函数)(x g 是减函数.
如果命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围； （III ）在（II ）的条件下，比较2lg 3)2(-与f 的大小.
数学试题（文史）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. AACBD CCBCA DB
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13．)0,41(
a 14．5 15．3
1
16．②③ 三、解答题：本大题共6小题，共74分
17．（本小题满分12分）
解：（1）)3sin ,(cos ),sin ,3(cos -=-=ααααBC AC ，…………2分
αααcos 610sin )3(cos ||22-=+-=∴， )4(sin 610)3(sin cos ||22分 ααα-=-+=
由||||=得ααcos sin =. 又4
5),2
3,2(
π
απ
πα=
∴∈ .…………6分 （2）由.1)3(sin sin cos )3(cos ,1-=-+-=⋅αααα得BC AC
.3
2
cos sin =+∴αα①………………7分
又
.cos sin 2cos sin 1cos sin 2sin 2tan 12sin sin 222ααα
αα
ααααα=+
+=++………………9分 由①式两分平方得,9
4cos sin 21=
+αα .9
5tan 12sin sin 2.
9
5
cos sin 22-=++∴-=∴ααααα……………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为24
4
3103
7=C C …………3分
至少有一件是次品的概率为.24
172471=-
……………………6分 （2）设抽取n 件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为.1037
33n
n C C C -………8分 由,)!10(!!10106)!10()!3(!7,6.010
37n n n n C C n n -⋅>-->-即
整理得：689)2)(1(⨯⨯>--n n n ，……………………10分
,10,≤∈*n N n ∴当n=9或n=10时上式成立.…………11分
答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为
;24
17
为了保证使3件次 品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………12分 19．（本小题满分12分）
解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ， n a
n b a )2
1(,11== ，
.)21
(,)21(,21,)21(,12131211d d a n b b b b a n ++===∴==∴………………3分
由64
1
321=b b b ，解得d=1.…………5分 .1)1(1n n a n =⋅-+=∴…………6分
（2）由（1）得.)2
1(n
n b =
设n
n n n n b a b a b a T )2
1()21(3)21(2211322211⋅++⋅+⋅+⋅=+++= ，
则.)2
1()21(3)21(2)21(1211
432+⋅++⋅+⋅+⋅=n n n T ………………8分 两式相减得.)21()21()21()21(21211
32+⋅-++++=n n n n T ………………10分
n n n n n n n T 2212)21(22
11]
)21(1[2
1211--=⋅---⋅=∴-+.………………12分 20．（本小题满分12分）
（1）解法一：连结AC ，BD 交于点O ，连结EO.
∵四边形ABCD 为正方形，∴AO=CO ，又∵PE=EC ，∴PA ∥EO ， ∴∠DEO 为异面直线PA 与DE 所成的角……………………3分 ∵面PCD ⊥面ABCD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥面PCD ，∴AD ⊥PD.
在Rt △PAD 中，PD=AD=a ，则a PA 2=，
,2
2,23,2
2
21a DO a DE a PA EO ==
==
∴ 又 ,462
2
232212143cos 2
22=⨯⨯-+=∠∴a
a a
a a DEO ∴异面直线PA 与DE 的夹角为.4
6
arccos
……………………6分 （2）取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连PM 、MN 、PN.
,//,,//PAB DC PAB DC AB DC 面面∴⊄
∴D 到面PAB 的距离等于点M 到 面PAB 的距离.……7分 过M 作MH ⊥PN 于H ，
∵面PDC ⊥面ABCD ，PM ⊥DC ， ∴PM ⊥面ABCD ，∴PM ⊥AB ， 又∵AB ⊥MN ，PM ∩MN=M ，
∴AB ⊥面PMN. ∴面PAB ⊥面PMN ， ∴MH ⊥面PAB ，
则MH 就是点D 到面PAB 的距离.……10分 在,2
7)23(
,2
3,,22a a a PN a PM a MN PMN Rt =+=∴=
=∆中 .7212
723a a a
a PN
PM
MN MH =⋅
=⋅=
∴………………12分
解法二：如图取DC 的中点O ，连PO ， ∵△PDC 为正三角形，∴PO ⊥DC.
又∵面PDC ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD. 如图建立空间直角坐标系.xyz O -
则),0,2
,0(),0,2,(),0,2,(),23,
0,0(a C a a B a a A a P - )0,1
,0(a
D -.………………………………3分
（1）E 为PC 中点，),4
3
,4,
0(a a E )23,2,(),43,
43,0(a a a a a --==∴， 24
3
)23(43)2(43a a a a a -=-⨯+-⨯=
⋅∴， ,462
3
243
|
|||,cos ,23||,2||2
-=⨯-=⋅>=<=
=a
a a DE PA a ∴异面直线PA 与DE 所成的角为.4
6
arccos
……………………6分
（2）可求)0,,0(),2
3,2,(a AB a a a PA =--
=， 设面PAB 的一个法向量为n n z y x n ⊥⊥=,),,,(则，
.02
32=--
=⋅∴az y a xa PA n ① 0==⋅ya AB n . ② 由②得y=0，代入①得02
3
=-
az xa 令).2.0,3(,2,3=∴==n z x 则…………………………9分 则D 到面PAB 的距离d 等于.上的射影的绝对值在π
7
|
)2.0,3()0,0,(||||||
||||||cos |||⋅=⋅=
⋅=>⋅<=a n n n DA n d .7
21
7
3a a =
即点D 到面PAB 的距离等于.7
21
a ………………………………12分 21．（本小题满分12分）
解：（1）.0,2=⋅=
∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN
∴动点N 的轨迹是以点C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆. 且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===
∴b c a ……………5分
∴曲线E 的方程为.12
22
=+y x ………………6分 （2）直线l 的斜率.145tan =︒=k
∴直线l 的方程为.1-=x y …………………………8分
由.04312
122
2=-⎪⎩⎪⎨⎧=+-=x x y y x x y 得消去………………10分
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4),,(),,(21212211==+x x x x y x Q y x H 则， .23
4)34(24)(1||1||2212212212=⋅=-+⋅+=-+=∴x x x x k x x k HQ …12分 22．解：（1）),()(),()(),()()(x h x h x g x g x h x g x f =--=-+=
).()()(x h x g x f +-=-∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++-=+-++++=+∴).
2lg()1()()(|,2|lg )1()()(22a x a x x h x g a x a x x h x g ………2分 解得.|2|lg )(,)1()(2++=+=a x x h x a x g ………………4分
（2）|2|lg 4
)1()21()(22+++-++=a a a x x f 函数 在区间),)1[(2+∞+a 上是增函数， ,21)1(2+-≥+∴a a 解得.22
31-≠-≤-≥a a a 且或…………6分 又由函数x a x g )1()(+=是减函数，得.21,01-≠-<∴<+a a a 且…………8分 ∴命题P 为真的条件是：.22
31-≠-≤-≥a a a 且或 命题Q 为真的条件是：21-≠-<a a 且. 又∵命题P 、Q 有且仅有一个是真命题，.23
->∴a ……………………10分
（2）由（1）得.6)2lg(2)2(,23.6|2|lg 2)2(+++=∴-
>+++=a a f a a a f 又 设函数010ln 212)(,6)2lg(2)(>++
='+++=a a v a a a v . ∴函数)(a v 在区间),2
3[+∞-上为增函数.………………12分 又.2lg 3)2(),2
3()(,23,2lg 3)23(->->->∴-=-f v a v a v 即时当 ………14分。