江西省师范大学附属中学2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 答案和解析
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期数学素养测试卷
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期数学素养测试卷一、单选题1.若集合1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭,{}|1B x x =<-,则A B =I ( ) A .{}|14x x -<< B .1|12x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭ C .1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ D .{}|41x x -<<- 2.已知集合{}=1,2,3M ,{}=0,1,2,3,4,7N ,若M A N ⊆⊆,则满足集合A 的个数为( ) A .4 B .6 C .7 D .83.不等式20x ax b --<的解集是{|23}x x <<,则210ax bx -+<的解集是( )A .{|23}x x <<B .1{|1}5x x -<<-C .11{|}23x x -<<-D .1{|1}5x x << 4.集合{}{}21,1M xx N x ax ====∣∣,且M N N ⋂=,实数a 的值为( ) A .1 B .12 C .1或-1 D .0或1或-1 5.已知集合[]2,5A =-,[]1,21B m m =+-.若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件,则m 的取值范围是( )A .(],3-∞B .(]2,3C .∅D .[]2,36.关于x 的不等式()2220x a x a -++<的解集中恰有两个整数,则实数a 的取值范围是( )A .10a -≤<或45a <≤B .10a -≤≤或45a ≤≤C .10a -<≤或45a ≤<D .10a -<<或45a <<7.已知0x >,0y >,且22x y +=,若21m x y m xy+≤-对任意的0x >,0y >恒成立,则实数m 的值不可能为( ) A .14B .98C .127D .2 8.设,,0x y z >,1114,4,4a x b y c z y z x =+=+=+,则,,a b c 三个数( ) A .都小于4 B .至少有一个不大于4C .都大于4D .至少有一个不小于4二、多选题9.如果,,,R a b c d ∈,则下列选项不正确...的是( ) A .若a b >,则11a b < B .若a b >,则22ac bc >C .若,a b c d >>,则a c b d +>+D .若,a b c d >>,则ac bd > 10.设A 为非空实数集,若,x y A ∀∈,都有,,x y x y xy A +-∈,则称A 为封闭集.其中正确结论的是( )A .集合{2,1,0,1,2}A =--为封闭集B .集合{}2,A n n k k ==∈Z 为封闭集C .若集合A 1,2A 为封闭集,则12A A ⋃为封闭集D .若A 为封闭集,则一定有0A ∈11.下列说法正确的有( )A .1x y x+=的最小值为2B .已知1x >,则4211y x x =+--的最小值为1 C .若正数x 、y 满足23x y xy +=,则2x y +的最小值为3D .设x 、y 为实数,若2291x y xy ++=,则3x y +三、填空题12.集合{}21,2,A a =,{}2,B a =,若A B B =I ,则a 的值为. 13.命题“x ∃∈R ,()()22210a x a x +++-≥”为假命题,则实数a 的取值范围为.14.已知集合{}1,2,3,4M =,A M ⊆,集合A 中所有元素的乘积称为集合A 的“累积值”,且规定:当集合A 只有一个元素时,其累积值即为该元素的数值,空集的累积值为0.设集合A 的累积值为n .(1)若3n =,则这样的集合A 共有个;(2)若n 为偶数,则这样的集合A 共有个.四、解答题15.已知集合|35{}A x x =-≤≤,{|131}B x m x m =+≤≤-.(1)当2m =时,求集合A B ⋂;(2)若B A ⊆,求实数m 的取值范围.16.设命题[0]:,1p x ∀∈,不等式2223x m m -≥-恒成立;命题[]:1,1q x ∃∈-,使得不等式210x x m --+≤成立.(1)若p 为真命题,求实数m 的取值范围;(2)若命题p q 、有且只有一个是真命题,求实数m 的取值范围.17.(1)解关于x 的不等式()22(31)220x a x a --+->.(2)已知正数,a b 满足111a b+=,求41611a b +--的最小值. 18.某火车站正在不断建设,目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x 米(26x ≤≤).(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为900(1)a x x +元(0)a >,若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a 的取值范围.19.设集合A 为非空数集,定义{}|,,A x x a b a b A +==+∈,{}|,,A x x a b a b A -==-∈.(1)若{}1,1A =-,写出集合A +、A -;(2)若{}1234,,,A x x x x =,1234x x x x <<<,且A A -=,求证:1423x x x x +=+;(3)若{}|02021,N A x x x ⊆≤≤∈,且AA +-=∅I ,求集合A 元素个数的最大值.。
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1.已知集合{}{}220,1||A x x B x x =+>=>,则A B = ()A .{}|21x x -<<B .{}|1x x >C .{|21x x -<<-或}1x >D .{|1x x <-或}1x >2.已知集合{}{}1,1,2,41,2,4,16M N =-=,.给出下列四个对应法则:①1y x=;②1y x =+;③y x =;④2y x =.请由函数定义判断,其中能构成从M 到N 的函数的是()A .①③B .①②C .③④D .②④3.已知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减,则对实数120,0x x >>,“12x x >”是“()()12f x f x <”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.函数()233xx f x =-的大致图象是()A .B .C .D .5.若函数()y f x =为奇函数,则它的图象必经过点()A .()0,0B .()(),a f a --C .()(),a f a -D .()(),a f a ---6.已知函数11(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点A ,且点A 在直线(,0)y mx n m n =+>上,则11m n+的最小值为()A .4B .1C .2D .327.设()f x 是定义在R 上的奇函数、对任意()12,0,x x ∈+∞,且12x x ≠,都有()()2121f x f x x x ->-且(1)0f =、则不等式()0xf x >的解集为()A .(1,0)(1,)-+∞B .(,1)(0,1)-∞-C .(,0)(1,)-∞⋃+∞D .(,1)(1,)-∞-+∞ 8.已知函数()2,123,1x a a x f x ax ax a x ⎧+≥=⎨-+-+<⎩(0a >且1a ≠),若函数()f x 的值域为R ,则实数a 的取值范围是()A .20,3⎛⎤⎝⎦B .31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C .[)2,+∞D .[)3,+∞二、多选题9.下列说法正确的是()A .命题“0x ∀>,都有e 1x x >+的否定是“0x ∃>,使得e 1≤+x xB .若0a b >>,则11a ab b+>+C .()xf x x =与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数D .函数()y f x =的定义域为[]2,3,则函数()21y f x =-的定义域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.已知函数()e 1e 1x x f x -=+,则下列结论正确的是()A .函数()f x 的定义域为RB .函数()f x 的值域为()1,1-C .()()0f x f x +-=D .函数()f x 为减函数11.已知函数()f x 的定义域为R ,其图象关于()1,2中心对称.若()()424f x f x x --=-,则()A .()()4214f x f x -+-=B .()()244f f +=C .()12y f x =+-为奇函数D .()22y f x x =++为偶函数三、填空题12()1132081π3274⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13.已知幂函数()()215m f x m m x -=+-在0,+∞上单调递减,则m =.14.将()22xx af x =-的图象向右平移2个单位后得曲线1C ,将函数=的图象向下平移2个单位后得曲线2C ,1C 与2C 关于x 轴对称.若()()()f x F x g x a=+的最小值为m 且2m >+则实数a 的取值范围为四、解答题15.已知集合U 为实数集,{5A x x =≤-或}8x ≥,{}121B x a x a =-≤≤+.(1)若5a =,求()U A B ⋂ð;(2)设命题p :x A ∈;命题q :x B ∈,若命题p 是命题q 的必要不充分条件,求实数a 的取值范围.16.已知函数()()3211f x x ax b x =++-+是定义在R 上的奇函数.(1)求a ,b 的值;(2)解不等式()3279333x x x xf >+-⨯+.17.已知定义域为R 的奇函数()21212x x f x =-+(1)判断函数()f x 的单调性,并用定义加以证明;(2)若对任意的[]1,2x ∈,不等式()()²²40f x mx f x -++>成立,求实数m 的取值范围.18.已知0a >且1a ≠,函数()4,02,0x a x x h x x -⎧≥=⎨<⎩,满足()()11h a h a -=-,设()x p x a -=.(1)若()()()231p x f x p x +=+,[)0,x ∞∈+,求函数()f x 的最小值;(2)函数()()()231p x f x p x +=+,()21g x x b x =-+-,若对[]11,1x ∀∈-,都存在[)20,x ∈+∞,使得()()21f x g x =,求b 的取值范围.19.对于定义在区间[],a b 上的函数f (x ),若()(){}[]()|,f P x max f t a t x x a b =≤≤∈.(1)已知()()[]121,2,0,1xf xg x x x ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭试写出()f P x 、()g P x 的表达式;(2)设0a >且1a ≠,函数()()2131,12x xf x a a a x ⎡⎤=+-⨯-∈⎢⎥⎣⎦,,如果()f P x 与()f x 恰好为同一函数,求a 的取值范围;(3)若()(){}[]()min ,f Q x f t a t x x a b =≤≤∈存在最小正整数k ,使得()()()f f P x Q x k x a -≤-对任意的[],x a b ∈成立,则称函数()f x 为[],a b 上的"k 阶收缩函数",已知1b >,函数()4f x x x=+是[]1,b 上的“3阶收缩函数”,求b 的取值范围.。
江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题
江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题.B ...已知△ABC 有一个内角为100°,则△一定是(锐角三角形钝角三角形.锐角三角形或钝角三角形.下列正多边形的地板瓷砖中,单独使用一种不能铺满地面的是(.正方形.正五边形已知三条线段的长分别是3,8,a 若它们能构成三角形,109A .50°B .6.如图,A ABC CB =∠∠,外角EAC ∠.以下结论:①④90ADC ABD ∠=︒-∠;⑤A .2个B .3个C .4个D .5个二、填空题10.如图,在ABC ∆中,的度数为.11.如图,D 在BC 边上,△12.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点60A ∠=︒,30D ∠=︒;∠满足三角尺BCE 有一条边与斜边(1)画出ABC中边AB上的中线(2)画出ABC△的面积为______ (3)直接写出ACE15.一个多边形的内角和比它的外角和的条数.16.已知a、b、c是一个三角形的三边长.+-______0,a(1)填空:a b c+---++(2)化简:a b c a b c17.如图,已知B,E,C,F与DE交于点G,(1)求证ABC DEF ≌△△;(2)若50,60B ACB ∠︒=︒=∠,求EGC ∠的度数.18.如图,在三角形ABC 中,AB =10cm ,AC =6cm ,D 是BC 的中点,E 点在边AB 上.(1)若三角形BDE 的周长与四边形ACDE 的周长相等,求线段AE 的长.(2)若三角形ABC 的周长被DE 分成的两部分的差是2cm ,求线段AE 的长.19.请认真思考,完成下面的探究过程.已知在ABC 中,AE 是BAC ∠的角平分线,=60B ∠︒,40C ∠=︒.【解决问题】(1)如图,若AD BC ⊥于点D ,求DAE ∠的度数;【变式探究】(2)如图,若F 为AE 上一个动点(F 不与E 重合),且FD BC ⊥于点D 时,则DFE ∠=______°;【拓展延伸】(3)如图,ABC 中,B x ∠=︒,C y ∠=︒,(且B C ∠>∠),若F 为线段AE 上一个动点(F 不与E 重合),且FD BC ⊥于点D 时,试用x ,y 表示DFE ∠的度数,并说明理由.20.[概念认识]如图①,在ABC ∠中,若ABD DBE EBC ∠=∠=∠,则BD ,BE 叫做ABC ∠的“三分线”,其中,BD 是“邻AB 三分线”,BE 是“邻BC 三分线”.(1)[问题解决]如图②,在ABC 中,70A ∠=︒,50B ∠=︒,若C ∠的三分线CD 交AB 于点D ,则BDC ∠=________.(2)如图③,在ABC 中,BP 、CP 分别是ABC ∠邻AB 三分线和ACB ∠邻AC 三分线,且BP CP ⊥,求A ∠的度数.(3)[延伸推广]在ABC 中,ACD ∠是ABC 的外角,B ∠的三分线所在的直线与ACD ∠的三分线所在的直线交于点P .若A m ∠=,B n ∠=,并且m n >.直接写出BPC ∠的度数.(用含m 、n 的代数式表示)21.北京奥运会,2008年8月8日晚上8时整在中国首都北京开幕,这或许能体现出中国人如何痴迷于幸运数字“8”,恰逢今年11月江西师大附中将迎来80周年华诞,岁经八秩,桃李芬芳,那么让我们一起来感受一下“8”的魅力.如图1的图形我们把它称为“8字形”,显然有A B C D ∠+∠=∠+∠;新定义:在图1中,我们把AB ,CD ,BC ,AD 叫做“8字形”的边,A ∠,B ∠,C ∠,D ∠叫做“8字形”的内角,“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角.例如,图2中,BAD ∠,BCD ∠为“8字形”的内角,图3中,BCE ∠,FAD ∠为“8字形”的外角.(1)在图2中,BAD ∠的平分线和BCD ∠的平分线相交于点P ,若36B ∠=︒,16D ∠=︒,求P ∠的度数.(2)在图3中,BCE ∠的平分线和FAD ∠的平分线所在直线相交于点P ,猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系,并说明理由.(3)在图4中,BCE ∠的平分线和FAD ∠的平分线相交于点P ,猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系,并说明理由.(4)在图5中,BCE ∠的平分线和BAD ∠的平分线相交于点P ,用B ∠、D ∠来表示出P ∠,直接写出结论,无需说明理由.。
高一上学期期末数学考试卷及答案
2020~2021学年度上学期高一年级期末考试卷数 学 试 卷注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(阅读题)和第Ⅱ卷(表达题)两部分。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.作答时,请认真阅读答题卡上的注意事项,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
一、单选题 本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1}, 则(C U A)∩B= ( )A.{-1}B.{0,1}C{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}2.“”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数,则( )A.B.C.6D.74.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(a<b),且α,β(α<β)是方程f(x)=0的两根,则α,β,a,b的大小关系是( )A.a<α<β<b B.a<α<b<βC.α<a<b<βD.α<a<β<b5.是定义在上的偶函数,在上是增函数,且,则使的的范围是( )A.B.C. D.6.已知,,且,则( )A.B.C.D.7.函数的定义域是( )A.B.C.D.8.函数的零点个数有( )A.0个B.1个C.2个D.3个二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分. 9.下列命题是“,”的表述方法的是()A.有一个,使得成立B.对有些,使得成立C.任选一个,都有成立D.至少有一个,使得成立10.下列命题中是真命题的有( )A.幂函数的图象都经过点和B.幂函数的图象不可能过第四象限C.当时,幂函数是增函数D.当时,幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小11.如果函数在上是增函数,对于任意的,则下列结论中正确的是( )A.B.C.D.12.已知函数有两个零点,,以下结论正确的是( )A.B.若,则C.D.函数有四个零点三、填空题 (每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知,则的解析式为___________.14.用二分法研究函数f(x)=x3+3x-1的零点时,第一次计算得f(0)<0,f(0.5)>0,第二次应计算f(x1),则x1=________.15.已知函数,若,则____.16.已知函数 (a>0,且a≠1),若在区间[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是________.四 解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(1);(2).18.(12分)已知函数,试画出的图象,并根据图象解决下列两个问题.(1)写出函数的单调区间;(2)求函数在区间上的最大值.19.(12分)已知函数f(x)=,g(x)=(a>0且a≠1).(1)求函数φ(x)=f(x)+g(x)的定义域;(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围.20.(12分)已知函数(1)判断函数在上的单调性,并给予证明;(2)求函数在,的最大值和最小值.21.(12分)已知函数(1)若在恒成立,求的取值范围;(2)设函数,解不等式.22.(12分)设函数是定义域为R的奇函数.(1)求的值;(2)若,试判断的单调性(不需证明),并求使不等式恒成立的t的取值范围;(3),求在上的最小值.数 学 试 卷 参考答案1 A 2.B 3.A 4.A 5.B 6.C 7.A 8.C9.ABD 10.BD 11.AB 12.ABC13. 14.0.25 15.1或-2 16.17.(1)原式;(2)原式.18. 的图象如图所示.(1) 在和上是增函数,在上是减函数,∴单调递增区间为,;单调递减区间为;(2)∵,,∴在区间上的最大值为.19. 解:(1)φ(x)=f(x)+g(x)的定义域为:,解得:,所以定义域为.(2) f(x)≤g(x),即为,定义域为.当时,,解得:,所以x的取值范围为.当时,,解得:,所以x的取值范围为.综上可得:当时,x的取值范围为.当时,x的取值范围为.20(1),函数在上是增函数,证明:任取,,且,则,,,,,即,在上是增函数;(2)在上是增函数,在,上单调递增,它的最大值是,最小值是.21.(1)在恒成立,即在恒成立, 分离参数得:,∵,∴从而有:.(3)令,得,,因为函数的定义域为,所以等价于(1)当,即时,恒成立,原不等式的解集是(2)当,即时,原不等式的解集是(3)当,即时,原不等式的解集是(4)当,即时,原不等式的解集是综上所述:当时,原不等式的解集是当时,原不等式的解集是当时,原不等式的解集是当时,原不等式的解集是22.(1) ∵是定义域为R的奇函数,∴ f(0)=0,∴ 1-(k-1)=0,∴ k=2, (2)单减,单增,故f(x)在R上单减 ,故不等式化为∴,解得令∵在上为递增的 ∴∴设∴.即在上的最小值为.。
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、单选题1.已知直线3(2)20x a y ---=与直线80x ay ++=互相垂直,则a =()A .1B .3-C .1-或3D .3-或12.已知椭圆22:1x C y m+=,则“2m =”是“椭圆C ”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.如图,空间四边形OABC 中,,,OA a OB b OC c === ,点M 在OA 上,且满足2OM MA =,点N 为BC 的中点,则MN =()A .121232a b c-+ B .211322a b c -++C .111222a b c+- D .221332a b c+- 4.点1F ,2F 为椭圆C 的两个焦点,若椭圆C 上存在点P ,使得1290F PF ∠=,则椭圆C 方程可以是()A .221259x y +=B .2212516x y +=C .22169x y +=D .221169x y +=5.若21x -=22x y +的最小值为()A .1B .2C .4D .146.若实数,x y 满足22(2)1x y -+=,则下列结论错误的是()A .24x y +≤B .()122x y -≤C .y x ≤D .25x y -≤7.已知12,F F 分别是双曲线22:1412x yE -=的左、右焦点,M 是E 的左支上一点,过2F 作12F MF ∠角平分线的垂线,垂足为,N O 为坐标原点,则||ON =()A .4B .2C .3D .18.从椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>外一点0,0向椭圆引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 称作点P 关于椭圆C 的极线,其方程为00221x x y ya b +=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ,离心率分别为12,e e ,2C 内含于1C ,椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ,若原点O 到直线l 的距离为1,则2212e e -的最大值为()A .12B .13C .15D .14二、多选题9.关于曲线22:1E mx ny +=,下列说法正确的是()A .若曲线E 表示两条直线,则0,0m n =>或0,0n m =>B .若曲线E 表示圆,则0m n =>C .若曲线E 表示焦点在x 轴上的椭圆,则0m n >>D .若曲线E 表示双曲线,则0mn <10.已知圆22:4O x y +=,则()A .圆O 与直线10mx y m +--=必有两个交点B .圆O 上存在4个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1C .若圆O 与圆22680x y x y m +--+=恰有三条公切线,则16m =D .已知动点P 在直线40x y +-=上,过点P 向圆O 引两条切线,A ,B 为切点,则||||OP AB 的最小值为811.如图,曲线C 是一条“双纽线”,其C 上的点满足:到点()12,0F -与到点()22,0F 的距离之积为4,则下列结论正确的是()A .点()D 在曲线C 上B .点(),1(0)M x x >在C 上,则1MF =C .点Q 在椭圆22162x y+=上,若12FQ F Q ⊥,则Q C ∈D .过2F 作x 轴的垂线交C 于,A B 两点,则2AB <三、填空题12.设12,F F 是双曲线C :2213y x -=的两个焦点,O 为坐标原点,点P 在C 上且120PF PF ⋅= ,则12PF F 面积为.13.已知,A B 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的左右顶点,设点P 为椭圆上异于,A B 的任意一点,直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,若椭圆离心率为2,则12k k ⋅为.14.如图,在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中,P 在正方形11CC D D 及其内部上运动,若tan 2tan PAD PBC ∠∠=,则点P 的轨迹的长度为.四、解答题15.已知圆22:4O x y +=.(1)若线段AB 端点B 的坐标是(4,2),端点A 在圆O 上运动,求线段AB 的中点D 的轨迹方程;(2)若,EF GH 为圆22:4O x y +=的两条相互垂直的弦,垂足为M ,求四边形EGFH 的面积S 的最大值.16.在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为2的正方形,PC PD ⊥,二面角A CD P --为直二面角.(1)求证:PB PD ⊥;(2)当PC PD =时,求直线PC 与平面PAB 所成角的正弦值.17.给定椭圆C :()222210+=>>x y a b a b,称圆心在原点O C 的“准圆”.已知椭圆C 的一个焦点为)F ,其短轴的一个端点到点F(1)求椭圆C 和其“准圆”的方程;(2)若点A ,B 是椭圆C 的“准圆”与x 轴的两交点,P 是椭圆C 上的一个动点,求AP BP ⋅的取值范围.18.已知O 为坐标原点,圆O :221x y +=,直线l :y x m =+(01m ≤<),如图,直线l 与圆O 相交于A (A 在x 轴的上方),B 两点,圆O 与x 轴交于,M N 两点(M 在N 的左侧),将平面xOy 沿x 轴折叠,使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面(平面AMN )与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面(平面BMN )互相垂直,再以O 为坐标原点,折叠后原y 轴负半轴,原x 轴正半轴,原y 轴正半轴所在直线分别为x ,y ,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.(1)若0m =.(ⅰ)求三棱锥A BMN -的体积;(ⅱ)求二面角A BN M --的余弦值.(2)是否存在m ,使得AB 折叠后的长度与折叠前的长度之比为6?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由.19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动,在我国源远流长,某些折纸活动蕴含丰富的数学知识,例如:用一张圆形纸片,按如下步骤折纸(如图):步骤1:设圆心是E ,在圆内异于圆心处取一定点,记为F ;步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F (即折叠后图中的点A 与点F 重合);步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕,记折痕与AE 的交点为P ;步骤4:不停重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.现取半径为4的圆形纸片,设点F 到圆心E 的距离为按上述方法折纸.以线段EF 的中点为原点,线段EF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ,记动点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程;(2)设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ,B ,点P 为轨迹C 上异于A ,B ,的动点,设PB 交直线4x =于点T ,连结AT 交轨迹C 于点Q .直线AP 、AQ 的斜率分别为AP k 、AQ k .(i )求证:AP AQ k k ⋅为定值;(ii)证明直线PQ经过x轴上的定点,并求出该定点的坐标.。
江西省南昌市南昌师范学院附属中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试卷(无答案)
南昌师范学院附属中学高一上学期第一次月考数学试卷总分150分 考试时间120分钟一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列表述中正确的是( )A .B .C .D .2.命题“,”的否定是( )A .,B .,C .,D .,3.“”是“关于x 的一元二次方程有实数根”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.设集合A 含有,1两个元素,B 含有,2两个元素,定义集合,满足,且,则中所有元素之积为( )A .B .C .8D .165.若,,则的取值范围是( )A .B .C .D .6.如图,三个圆的内部区域分别代表集合A ,B ,C ,全集为I ,则图中阴影部分的区域表示( )A .B .C .D .7.已知关于x 的不等式的解集为,则的最大值是( )AB .CD .{0}=∅{(1,2)}{1,2}={}∅=∅0N ∈0x ∀≥210x x -+≥0x ∃≥210x x -+<0x ∀<210x x -+≥0x ∀≥210x x -+<0x ∃≥210x x -+≥3m >210x mx -+=2-1-A B e 1x A ∈2x B ∈12x x A B ∈e A B e 8-16-14a b <+<24a b -<-<3a b +(5,13)-(2,10)-(2,9)-(5,10)-A B C ()I A C Bð()I A B C ð()I B C A ð22430(0)x ax a a -+<<()12,x x 1212a x x x x ++8.已知,,,则的最小值为( )A .0B .C .1D二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列不等式的解集正确的是( )A .的解集是B .的解集是C .的解集是D .的解集是10.设正实数x ,y 满足,则下列说法正确的是( )A .的最小值为4B .xy 的最大值为C的最小值为2D.的最小值为11.设非空集合满足:当时,有.给出如下命题,其中真命题是( )A .若,则B .若,则C .若,则D .若,则三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.集合的真子集的个数是__________.13.若命题p :“,”是假命题,命题q :,,是真命题,则实数a 的取值范围是__________.14.若对,,使得成立,则实数m 的取值范围为__________.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本题共13分)(1)比较与的大小;(2)已知,求证:.1x y +=0y >0x >121x x y ++542440x x -+-<{}2x x ≠2111x x +≤-{}21x x -≤<2104x x -+<423x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭|1||23|x x ->-423xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭23x y +=3y x y+98224x y +92{}S x m x n =≤≤x S ∈2x S ∈1m ={}1S x x =≥12m =-114n ≤≤12n =0m ≤≤1n =10m -≤≤{}22(,)2,,x y x y x Z y Z +<∈∈x ∃∈R 2230x ax a ++<0x ∀≤2x a +≥x ∀∈R 0a ∃>221x ax a x am +-≥-+231x x -+221x x +-0c a b >>>a b c a c b>--16.(本题共15分)已知集合,.(1)若,求实数k 的取值范围;(2)已知命题,命题,若p 是q 的必要不充分条件,求实数k 的取值范围.17.(本题共15分)已知x 的不等式:.(1),求不等式的解集.(2),求不等式的解集.18.(本题共17分)已知,,.(1)当时,求xy 的最小值;(2)当时,满足恒成立,求m 的取值范围.19.(本题共17分)某公司决定对旗下的某商品进行一次评估,该商品原来每件售价为25元,年销售8万件.(1)据市场调查,若价格每提高1元,销售量将相应减少2000件,要使销售的总收入不低于原收入,该商品每件定价最多为多少元?(2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量,公司决定立即对该商品进行全面技术革新和销售策略调整,并提高定价到x 元,公司拟投入万元,作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用,投入万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品改革后的销售量a 至少达到多少万件时,才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时每件商品的定价.2511x A x x ⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭{}21B x k x k =-<<+A B A = :p x A ∈:q x B ∈222ax x ax -≥-1a =a ∈R 0x >0y >4xy x y a =++12a =0a =2413x y m m x y+++≥-()216006x -15x。
2020-2021学年上学期高一数学期末模拟卷03(人教A版新教材)(浙江专用)【解析版】
数学模拟试卷03第I 卷 选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020·河北高二学业考试)已知集合{}012M =,,,{}1,2N =,则M N ⋃=( ).A .{}1,2B .{}0C .{}0,1,2D .{}0,1【答案】C 【解析】由并集定义可得:{}0,1,2M N =.故选:C.2.(2019·浙江高二学业考试)已知a ,b 是实数,则“a b >”是“22a b >”的( ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】若a b >,则a b b >≥,即a b >,故22a b >. 取1,2a b ==-,此时22a b >,但a b <, 故22a b >推不出a b >, 故选:A.3.(2019·伊宁市第八中学高一期中)若偶函数()f x 在区间(]1-∞-,上是增函数,则( ) A .3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭B .3(1)(2)2f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C .3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭D .3(2)(1)2f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】函数()f x 为偶函数,则()()22f f =-.又函数()f x 在区间(]1-∞-,上是增函数. 则()()3122f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭-,即()()3212f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭故选:D.4.(2020·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三开学考试(理))设2313a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,532b =,21log 3c =,则( )A .b a c <<B .a b c <<C .c a b <<D .b c a <<【答案】C 【解析】23110133⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,503221>=,221log log 103<=, ∴c a b <<. 故选:C5.(2020·江苏南通市·高三期中)已知角α的终边经过点()3,4P ,则πcos 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .50-B .50C .50-D .50【答案】A 【解析】角α的终边经过点()3,4P ,5OP ∴==,由三角函数的定义知:3cos 5α=,4sin 5α, 2237cos 22cos 121525αα⎛⎫∴=-=⨯-=- ⎪⎝⎭,4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=,()()π724cos 2cos2cos sin 2sin 4442525ππααα∴+=-=-=.故选:A.6.(2020·甘肃兰州市·西北师大附中高三期中)函数()f x 在[)0,+∞单调递增,且()3f x +关于3x =-对称,若()21f -=,则()21f x -≤的x 的取值范围( )A .[]22-,B .(][),22,-∞-+∞C .()[),04,-∞+∞D .[]0,4【答案】D 【解析】因为()3f x +关于3x =-对称,所以()f x 关于y 轴对称,所以()()221f f -==, 又()f x 在[)0,+∞单调递增,由()21f x -≤可得222x -≤-≤,解得:04x ≤≤, 故选:D7.(2020·浙江高一期末)对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭,有以下四种说法: ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭ ④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增. 其中正确的说法的个数是( ) A .1 B .2C .3D .4【答案】A 【解析】函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭, 当3=42x ππ+时,即=12x π,函数()f x 取得最小值为132122-⨯+=-,故①正确;当342x k πππ+=+时,即=,123k x k Z ππ+∈,函数()f x 的图象的对称轴是直线=,123k x k Z ππ+∈,故②错误; 当34x k ππ+=时,即,123k x k Z ππ=-+∈,函数()f x 的图象的对称中心为1,,1232k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭,故③错误; 当3232242k x k πππππ+≤+≤+,即2523,123123k k x k Z ππππ+≤≤+∈,函数()f x 的递增区间为252,,123123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦, 当1k =-时,()f x 的递增区间为7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,故④错误. 故选:A8.(2020·山西吕梁市·高三期中(文))函数1()11f x x=+-的图象与函数()2sin 1(24)g x x x π=+-的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A .8 B .6C .4D .2【答案】A 【解析】由函数图象的平移可知, 函数1()11f x x=+-与函数()2sin 1g x x π=+的图象都关于(1,1)M 对称. 作出函数的图象如图,由图象可知交点个数一共8个(四组,两两关于点(1,1)对称), 所以所有交点的横坐标之和等于428⨯=.故选:A9.(2020·山西吕梁市·高三期中(文))已知函数2,0()()21,0x e a x f x a R x x ⎧+=∈⎨->⎩,若函数()f x 在R 上有两个零点,则a 的取值范围是( ) A .(,1)-∞- B .[2,0)-C .(1,0)-D .[1,0)-【答案】B 【解析】当0x >时,()21f x x =-有一个零点12x =,只需当0x ≤时,20x e a +=有一个根,利用“分离参数法”求解即可.解:因为函数()2,021,0x e a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩, 当0x >时,()21f x x =-有一个零点12x =, 所以只需当0x ≤时,202x xa e a e +==-即有一个根即可,因为2xy e =单调递增,当0x ≤时,(]0,1xe ∈,所以(]0,2a -∈,即[)2,0a ∈-,故选:B.10.(2020·河北高二学业考试)已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时,()()2log 1f x x =+,则不等式()2f x ≤的解集是( ). A .[]3,3- B .[]4,4-C .(][),33,-∞-+∞D .(][),44,-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】0x ≥时,()()2log 1f x x =+,()f x ∴在[)0,+∞上单调递增,又()f x 是定义在R 上的奇函数,()f x ∴在R 上单调递增,易知()()223log 31log 42f =+==,()()332f f -=-=-, 由()2f x ≤, 解得:()22f x -≤≤, 由()f x 在R 上单调递增, 解得:33x -≤≤,()2f x ∴≤的解集是[]3,3-.故选:A.第II 卷 非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11.(2020·上海青浦区·高三一模)圆锥底面半径为1cm ,母线长为2cm ,则其侧面展开图扇形的圆心角θ=___________.【答案】π; 【解析】因为圆锥底面半径为1cm ,所以圆锥的底面周长为2cm π, 则其侧面展开图扇形的圆心角22πθπ==, 故答案为:π.12.(2020·浙江宁波市·高三期中)设2log 3a =,则4a =______(用数值表示),lg 36lg 4=______.(用a 表示)【答案】9 1a + 【解析】2log 3a =,22394429log log a ∴===,4222236log 36log 6log (23)log 2log 314lg a lg ===⨯=+=+, 故答案为:9,1a +.13.(2020·深圳科学高中高一期中)某移动公司规定,使用甲种卡,须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)30元,在国内通话时每分钟另收话费0.10元;使用乙种卡,不收“基本月租费”,但在国内通话时每分钟话费为0.2元.若某用户每月手机费预算为50元,则使用__________种卡才合算;若要使用甲种卡合算,则该用户每月手机费预算(元)的区间为__________. 【答案】乙 (60,)+∞ 【解析】由题意,设月通话时间为t 分钟,有甲费用为300.1t +,乙费用为0.2t , ∴每月手机费预算为50元,则:由300.150t +=知,甲的通话时间为200分钟, 由0.250t =知,乙的通话时间为250分钟, ∴用户每月手机费预算为50元,用乙种卡合算;要使用甲种卡合算,即月通话时间相同的情况下甲费用更低,即300.10.2t t +<, 解得300t >时,费用在(60,)+∞. 故答案为:乙,(60,)+∞14.(2020·商丘市第一高级中学高一期中)设函数()112,1,1x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则()3f x ≤成立的x 的取值范围为______. 【答案】(],9-∞ 【解析】当1x <时,由13x e -≤得1ln3x ≤+,所以1x <; 当1≥x 时,由213x ≤得9x ≤,所以19x ≤≤. 综上,符合题意的x 的取值范围是(,9]-∞. 故答案为:(,9]-∞.15.(2020·辽宁本溪市·高二月考)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施,稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮,其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图,永乐桥摩天轮的直径为110m ,到达最高点时,距离地面的高度为120m ,能看到方圆40km 以内的景致,是名副其实的“天津之眼”.实际上,单从高度角度来看,天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱,开启后按逆时针方向匀速旋转,游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,转一周大约需要30min .游客甲坐上摩天轮的座舱,开始转到min t 后距离地面的高度为m H ,则转到10min 后距离地面的高度为______m ,在转动一周的过程中,H 关于t 的函数解析式为______.【答案】1852 π55cos 6515H t =-+,030t ≤≤. 【解析】如图,设座舱距离地面最近的位置为点P ,以轴心O 为原点,与地面平行的直线为x 轴,建立直角坐标系.设0min t =时,游客甲位于点()0,55P -,以OP 为终边的角为π2-; 根据摩天轮转一周大约需要30min , 可知座舱转动的角速度约为πmin 15rad , 由题意可得πππ55sin 6555cos 6515215H t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭,030t ≤≤.当10t =时,π18555cos 1065152H ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为:1852;π55cos 6515H t =-+,030t ≤≤ 16.(2020·浙江建人专修学院高三三模)已知2,0()(),0x x f x f x x ⎧≥=⎨--<⎩,若4log 3a =,则()f a =___________;()1f a -=___________.3 233-因为4log 3a =,所以43a =,即2a =01a <<,所以()2a f a ==1(1)(1)2a f a f a --=--=-==3-17.(2020·上海虹口区·高三一模)已知(0,)απ∈,且有12sin2cos2αα-=,则cos α=___________.【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=,因为(0,)απ∈,所以sin 0α≠,因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈,而22sin cos 1(1)αα+=,把sin 2cos αα=代入(1)得:22214cos cos 1cos cos 5αααα+=⇒=⇒=(0,)2πα∈,因此cos α=.三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.(2020·黑龙江工农�鹤岗一中高二期末(文))函数()22xxaf x =-是奇函数. ()1求()f x 的解析式;()2当()0,x ∈+∞时,()24x f x m ->⋅+恒成立,求m 的取值范围.【答案】(1)()122xxf x =-;(2)5m <-.() 1函数()22x x af x =-是奇函数, ()()1222222x x x x x x a af x a f x --∴-=-=-+=-+=-,故1a =, 故()122xx f x =-; ()2当()0,x ∈+∞时,()24x f x m ->⋅+恒成立,即21(2)42x xm +<-⋅在()0,x ∈+∞恒成立,令()2(2)42x xh x =-⋅,(0)x >,显然()h x 在()0,+∞的最小值是()24h =-, 故14m +<-,解得:5m <-.19.(2020·宁夏长庆高级中学高三月考(理))已知函数()22sin cos 22222x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1)求()f x 的最小正周期;(2)求()f x 在区间[]0,π上的最小值及单调减区间.【答案】(1)最小正周期为2π;(2)()min f x =()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】(1)1cos ()2sin cos 222x x xf x +=+sin x x =+12sin cos 2sin 223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以()f x 的最小正周期为2π. (2)因为[]0,x π∈,所以4,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,所以当433x ππ+=,即x π=时,函数()f x 取得最小值由4233x πππ≤+≤,得6x ππ≤≤,所以函数()f x 的单调递减区间为,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 20.(2019·河北师范大学附属中学高一期中)已知二次函数()f x 的图象经过点()4,4-,方程()0f x =的解集为{}0,2.(1)求()f x 的解析式;(2)是否存在实数(),m n m n <,使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在,求出m ,n 的值;若不存在,说明理由.【答案】(1)21()2f x x x =-+;(2)存在;2m =-,0n =. 【解析】(1)由已知,设()()2f x ax x =-.因为()f x 的图象经过点()4,4-,所以()4442a -=-,解得12a =-, 即()f x 的解析式为21()2f x x x =-+; (2)假设满足条件实数m ,n 的存在, 由于221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤,因此122n ≤,即14n ≤. 又()f x 的图象是开口向下的抛物线,且对称轴方程1x =,可知()f x 在区间[],m n 上递增,故有()2()2f m m f n n=⎧⎨=⎩,并注意到14m n <≤,解得2m =-,0n =. 综上可知,假设成立,即当2m =-,0n =时,()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n .21.(2020·山西吕梁市·高三期中(文))已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值,无最大值,且满足63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求()f x 的最小正周期;(2)将函数()f x 的图象向右平移06πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象,若对满足()()122f x g x -=的1x 、2x 有12min 7x x π-=,求ϕ的值. 【答案】(1)37π;(2)14π. 【解析】(1)由()sin ,(0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最小值,无最大值, 可知:236T πππω-≤=,故有012ω<≤. 又6x π=与3x π=在一个周期内,且63f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 4x π∴=时,函数取到最小值.2,()432k k Z πππωπ∴+=-+∈ 故有1083k ω=-+, 又因为012ω<≤,所以143ω=. 所以函数()f x 的最小正周期为37π. (2)由()()122f x g x -=∣∣可知的()()12,f x g x 中一个对应最大值,一个对应最小值. 对于函数()f x 其最大值与最小值对应的x 的距离为半个周期314π. ∴有12min 314x x πϕ-+=. 即314714πππϕ=-=.22.(2020·安徽省蚌埠第三中学高一月考)设函数()()21x x a t f x a--=(0a >,且1a ≠)是定义域为R 的奇函数.(1)求t 的值;(2)若函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,是否存在正数()1m m ≠,使函数()()22log x x m g x a a mf x -⎡⎤=+-⎣⎦在[]21,log 3上的最大值为0,若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)2t =;(2)不存在,理由见解析.【解析】(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数,∴()00f =,∴2t =;经检验知符合题意.(2)函数()f x 的图象过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以2132a a -=, ∴2a =(12a =-舍去), 假设存在正数m ,且1m ≠符合题意,由2a =得()()22log 2222x x x x m g x m --⎡⎤=+--⎣⎦, 设22x x t -=-,则()()22222222x x x x m t mt -----+=-+,∵[]21,log 3x ∈,2[2,3]x ∈,∴38,23t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,记()22h t t mt =-+, ∵函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0,∴(i )若01m <<时,则函数()22h t t mt =-+在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦有最小值为1, 由于对称轴122m t =<,∴()min 31731312426h t h m m ⎛⎫==-=⇒= ⎪⎝⎭,不合题意. (ii )若1m 时,则函数()220h t t mt =-+>在38,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立,且最大值为1,最小值大于0, ①()max 1252512212736873241324m m m h t h m ⎧⎧<≤<≤⎪⎪⎪⎪⇒⇒=⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩, 而此时7338,24823m ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,又()min 73048h t h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭, 故()g x 在[]21,log 3无意义, 所以7324m =应舍去; ②()max 25252126313126m m h t h m ⎧⎧>>⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎛⎫⎪⎪=== ⎪⎪⎪⎩⎝⎭⎩m 无解, 综上所述:故不存在正数m ,使函数()g x 在[]21,log 3上的最大值为0.。
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案
2020-2021学年高一上学期期末考试数学卷及答案1.集合A和B分别表示y=x+1和y=2两个函数的图像上所有的点,求A和B的交集。
答案:A={(-∞,1]}。
B={2}。
A∩B=A={(-∞,1]}2.已知函数y=(1-x)/(2x^2-3x-2),求函数的定义域。
答案:分母2x^2-3x-2=(2x+1)(x-2),所以函数的定义域为x∈(-∞,-1/2]∪(2,∞)。
3.如果直线mx+y-1=0与直线x-2y+3=0平行,求m的值。
答案:两条直线平行,说明它们的斜率相等,即m=2.4.如果直线ax+by+c=0经过第一、第二,第四象限,求a、b、c应满足的条件。
答案:第一象限中x>0.y>0,所以ax+by+c>0;第二象限中x0,所以ax+by+c0.y<0,所以ax+by+c<0.综上所述,应满足ab<0.bc<0.5.已知两条不同的直线m和n,两个不同的平面α和β,判断下列命题中正确的是哪个。
答案:选项A是正确的。
因为如果m与α垂直,n与β平行,那么m和n的夹角就是α和β的夹角,所以m和n垂直。
6.已知圆锥的表面积为6π,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面半径。
答案:设底面半径为r,侧面的母线长为l,则圆锥的侧面积为πrl。
根据题意,πrl=6π,所以l=6/r。
而侧面展开图是一个半圆,所以底面周长为2πr,即底面直径为2r,所以侧面母线长l=πr。
将上述两个式子代入公式S=πr^2+πrl中,得到r=2.7.已知两条平行线答案:两条平行线的距离等于它们的任意一点到另一条直线的距离。
我们可以先求出l2上的一点,比如(0,7/8),然后带入l1的方程,得到距离为3/5.8.已知函数y=ax-1/(3x^2+5),如果它的图像经过定点P,求点P的坐标。
答案:点P的坐标为(1,2)。
因为当x=1时,y=a-1/8,所以a=17/8.又因为当x=2时,y=1/13,所以17/8×2-1/13=2,解得a=17/8,所以y=17x/8-1/(3x^2+5),当x=1时,y=2.9.已知a=3/5,b=1/3,c=4/3,求a、b、c的大小关系。
2020-2021江西师范大学附属中学高中必修一数学上期末一模试题(带答案)
2020-2021江西师范大学附属中学高中必修一数学上期末一模试题(带答案)一、选择题1.已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =,则(2)f -=( )A .4B .3C .2D .12.已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且)的定义域和值域都是[0,1],则a=( ) A .12BC.2D .23.已知二次函数()f x 的二次项系数为a ,且不等式()2f x x >-的解集为()1,3,若方程()60f x a +=,有两个相等的根,则实数a =( )A .-15B .1C .1或-15D .1-或-154.若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围是( ) A .()1,+∞B .(1,8)C .(4,8)D .[4,8)5.设函数()f x 的定义域为R ,满足(1) 2 ()f x f x +=,且当(0,1]x ∈时,()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞,都有8()9f x ≥-,则m 的取值范围是 A .9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C .5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D .8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6.已知函数2()log f x x =,正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =,若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2,则,m n 的值分别为A .12,2 BC .14,2 D .14,4 7.函数y =的定义域是( ) A .(-1,2]B .[-1,2]C .(-1 ,2)D .[-1,2)8.已知()y f x =是以π为周期的偶函数,且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()1sin f x x =-,则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()f x =( )A .1sin x +B .1sin x -C .1sin x --D .1sin x -+9.偶函数()f x 满足()()2f x f x =-,且当[]1,0x ∈-时,()cos 12xf x π=-,若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点,则实数a 的取值范围是( )A .()3,5B .()2,4C .11,42⎛⎫⎪⎝⎭D .11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭10.已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则()U P Q ⋃ð= A .{1}B .{3,5}C .{1,2,4,6}D .{1,2,3,4,5}11.对任意实数x ,规定()f x 取4x -,1x +,()152x -三个值中的最小值,则()f x ( )A .无最大值,无最小值B .有最大值2,最小值1C .有最大值1,无最小值D .有最大值2,无最小值12.已知函数()()f x g x x =+,对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-,且(1)1g -=,则(1)g =( )A .1-B .3-C .3D .1二、填空题13.已知函数241,(4)()log ,(04)x f x xx x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩.若关于x 的方程,()f x k =有两个不同的实根,则实数k 的取值范围是____________.14.已知函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞,则实数m 的值为__________15.已知log log log 22a a ax y x y +-=,则x y的值为_________________. 16.若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值,则实数m 的取值范围是______; 17.已知函数()211x x xf -=-的图象与直线2y kx =+恰有两个交点,则实数k 的取值范围是________. 18.若函数()121xf x a =++是奇函数,则实数a 的值是_________. 19.已知正实数a 满足8(9)aaa a =,则log (3)a a 的值为_____________. 20.()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21.已知()()()22log 2log 2f x x x =-++.(1)求函数()f x 的定义域; (2)求证:()f x 为偶函数;(3)指出方程()f x x =的实数根个数,并说明理由. 22.设函数()()2log xxf x a b=-,且()()211,2log 12f f ==.(1)求a b ,的值; (2)求函数()f x 的零点;(3)设()xxg x a b =-,求()g x 在[]0,4上的值域.23.已知函数()log (1)2a f x x =-+(0a >,且1a ≠),过点(3,3). (1)求实数a 的值;(2)解关于x 的不等式()()123122xx f f +-<-.24.已知函数()224x x a f x =-+,()()log 0,1a g x x a a =>≠. (1)若函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性,求实数m 的取值范围; (2)若()()11f g =,设()112t f x =,()2t g x =,当()0,1x ∈时,试比较1t ,2t 的大小. 25.已知2()12xf x =+,()()1g x f x =-. (1)判断函数()g x 的奇偶性; (2)求101011()()i i f i f i ==-+∑∑的值.26.即将开工的南昌与周边城镇的轻轨火车路线将大大缓解交通的压力,加速城镇之间的流通.根据测算,如果一列火车每次拖4节车厢,每天能来回16次;如果一列火车每次拖7节车厢,每天能来回10次,每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数. (1)写出与的函数关系式;(2)每节车厢一次能载客110人,试问每次应拖挂多少节车厢才能使每天营运人数最多?并求出每天最多的营运人数(注:营运人数指火车运送的人数)【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+,则()g x 是R 上的奇函数,利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值.【详解】令3()g x ax bx =+ ,则()g x 是R 上的奇函数,又(2)3f =,所以(2)35g +=, 所以(2)2g =,()22g -=-,所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=,故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用,属于中档题.2.A解析:A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0,1],可得f(x)为增函数,但在[0,1]上为减函数,得0<a<1,把x=1代入即可求出a 的值.【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0,1],可得f(x)为增函数, 但在[0,1]上为减函数,∴0<a<1,当x=1时,1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a , 故选A .本题考查了函数的值与及定义域的求法,属于基础题,关键是先判断出函数的单调性. 点评:做此题时要仔细观察、分析,分析出(0)=0f ,这样避免了讨论.不然的话,需要讨论函数的单调性.3.A解析:A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++,可知1、3为方程()20f x x +=的两根,且0a <,利用韦达定理可将b 、c 用a 表示,再由方程()60f x a +=有两个相等的根,由0∆=求出实数a 的值.【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3,即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3,则0a <.由题意可知,1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根,由韦达定理得2134b a +-=+=,133ca=⨯=,42b a ∴=--,3c a =, ()()2423f x ax a x a ∴=-++,由题意知,关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根, 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根,则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=,0a <Q ,解得15a =-,故选:A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识,考查二次不等式解集与方程之间的关系,解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.4.D解析:D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式,解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数, 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选:D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数,考查基本分析判断能力,属中档题.5.B解析:B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题,考查函数平移伸缩,恒成立问题,需准确求出函数每一段解析式,分析出临界点位置,精准运算得到解决. 【详解】(0,1]x ∈Q 时,()=(1)f x x x -,(+1)= ()f x 2f x ,()2(1)f x f x ∴=-,即()f x 右移1个单位,图像变为原来的2倍.如图所示:当23x <≤时,()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---,令84(2)(3)9x x --=-,整理得:2945560x x -+=,1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==(舍),(,]x m ∴∈-∞时,8()9f x ≥-成立,即73m ≤,7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦,故选B .【点睛】易错警示:图像解析式求解过程容易求反,画错示意图,画成向左侧扩大到2倍,导致题目出错,需加深对抽象函数表达式的理解,平时应加强这方面练习,提高抽象概括、数学建模能力.6.A解析:A 【解析】试题分析:画出函数图像,因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =,且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2,所以()()f m f n ==2,由2()log 2f x x ==解得12,2x =,即,m n 的值分别为12,2.故选A .考点:本题主要考查对数函数的图象和性质.点评:基础题,数形结合,画出函数图像,分析建立m,n 的方程.7.A解析:A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可.【详解】 由题意得:2010x x -≥⎧⎨+>⎩解得:﹣1<x≤2,故函数的定义域是(﹣1,2], 故选A . 【点睛】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式的性质,是一道基础题.常见的求定义域的类型有:对数,要求真数大于0即可;偶次根式,要求被开方数大于等于0;分式,要求分母不等于0,零次幂,要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.8.B解析:B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期,所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()()3πf x f x =-, 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数,所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-,故选B.9.D解析:D 【解析】试题分析:由()()2f x f x =-,可知函数()f x 图像关于1x =对称,又因为()f x 为偶函数,所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2,要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点,即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知,0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-,故D 正确. 考点:函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.10.C解析:C 【解析】试题分析:根据补集的运算得{}{}{}{}2,4,6,()2,4,61,2,41,2,4,6UP UP Q =∴⋃=⋃=痧.故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“⋂”还是求“⋃”,否则很容易出现错误;一定要注意集合中元素的互异性,防止出现错误.11.D解析:D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像,利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像,如图(实线部分),由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A . 故()f x 有最大值2,无最小值 故选:D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质,考查对最值的理解,属中档题.12.B解析:B 【解析】由题意,f (﹣x )+f (x )=0可知f (x )是奇函数, ∵()()f x g x x =+,g (﹣1)=1, 即f (﹣1)=1+1=2 那么f (1)=﹣2. 故得f (1)=g (1)+1=﹣2, ∴g (1)=﹣3, 故选:B二、填空题13.【解析】作出函数的图象如图所示当时单调递减且当时单调递增且所以函数的图象与直线有两个交点时有 解析:(1,2)【解析】作出函数()f x 的图象,如图所示,当4x ≥时,4()1f x x =+单调递减,且4112x<+≤,当04x <<时,2()log f x x =单调递增,且2()log 2f x x =<,所以函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点时,有12k <<.14.1【解析】【分析】根据二次函数的值域为结合二次函数的性质列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的值域为所以满足解得即实数的值为1故答案为:1【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用其中解答中解析:1 【解析】 【分析】根据二次函数的值域为[0,)+∞,结合二次函数的性质,列出不等式组,即可求解. 【详解】由题意,函数()22f x mx x m =-+的值域为[0,)+∞,所以满足2440m m ⎧∆=-=⎨>⎩,解得1m =.即实数m 的值为1. 故答案为:1. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.15.【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知:即解方程即可【详解】因为且所以即整理得:所以或因为所以所以故答案为:【点睛】本题主要考查对数的运算性质同时考查了学生的计算能力属于中档题解析:3+【解析】 【分析】首先根据对数的运算性质化简可知:2()2x y xy -=,即2()6()10x x y y -+=,解方程即可.【详解】 因为log log log 22a a ax yx y +-=,且x y >, 所以2log log ()2aa x y xy -=,即2()2x y xy -=. 整理得:2260x y xy +-=,2()6()10x xy y-+=.26432∆=-=,所以3x y =-3x y =+因为0x y >>,所以1xy >.所以3x y=+故答案为:3+【点睛】本题主要考查对数的运算性质,同时考查了学生的计算能力,属于中档题.16.【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为: 解析:[)5,+∞【解析】 【分析】根据条件可化为分段函数,根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时,()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+, 当12x ≤<时,()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+, 且()112f m =+,当23x ≤<时,()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-,且()27f =,当3x ≥时,()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++,且()32f m =+,若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值,根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩,解得5m ≥,故实数m 的取值范围为[)5,+∞故答案为:[)5,+∞【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围,考查了分类讨论的思想,属于中档题.17.【解析】【分析】根据函数解析式分类讨论即可确定解析式画出函数图像由直线所过定点结合图像即可求得的取值范围【详解】函数定义域为当时当时当时画出函数图像如下图所示:直线过定点由图像可知当时与和两部分图像 解析:(4,1)(1,0)--⋃-【解析】【分析】根据函数解析式,分类讨论即可确定解析式.画出函数图像,由直线所过定点,结合图像即可求得k 的取值范围.【详解】函数()211x x x f -=-定义域为{}1x x ≠ 当1x ≤-时,()2111x x xf x -==--- 当11x -<<时,()2111x x xf x -==+- 当1x <时,()2111x x xf x -==--- 画出函数图像如下图所示:直线2y kx =+过定点()0,2由图像可知,当10k -<<时,与1x ≤-和11x -<<两部分图像各有一个交点;当41-<<-k 时,与11x -<<和1x <两部分图像各有一个交点.综上可知,当()()4,11,0k ∈--⋃-时与函数有两个交点故答案为:()()4,11,0--⋃-【点睛】本题考查了分段函数解析式及图像画法,直线过定点及交点个数的求法,属于中档题.18.【解析】【分析】由函数是奇函数得到即可求解得到答案【详解】由题意函数是奇函数所以解得当时函数满足所以故答案为:【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键 解析:12- 【解析】【分析】由函数()f x 是奇函数,得到()010021f a =+=+,即可求解,得到答案. 【详解】由题意,函数()121x f x a =++是奇函数,所以()010021f a =+=+,解得12a =-, 当12a =-时,函数()11212x f x =-+满足()()f x f x -=-, 所以12a =-. 故答案为:12-. 【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求解参数问题,其中解答中熟记奇函数的性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.19.【解析】【分析】将已知等式两边同取以为底的对数求出利用换底公式即可求解【详解】故答案为:【点睛】本题考查指对数之间的关系考查对数的运算以及应用换底公式求值属于中档题 解析:916【解析】【分析】将已知等式8(9)a a a a =,两边同取以e 为底的对数,求出ln a ,利用换底公式,即可求解.【详解】8(9)a a a a =,8ln ,l )l n 8(ln 9(9ln n )a a a a a a a a +==,160,7ln 16ln 3,ln ln 37a a a >∴=-=-Q , ln 3ln 39log (3)116ln 16ln 37a a a a ∴==+=-.故答案为:916. 【点睛】 本题考查指对数之间的关系,考查对数的运算以及应用换底公式求值,属于中档题. 20.5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为:5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题 解析:5【解析】【分析】由[]0,2x π∈,求出cos x π的范围,根据正弦函数为零,确定cos x 的值,再由三角函数值确定角即可.【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-,当[]0,2x π∈时,cos 0x =的解有3,22ππ,cos 1x =-的解有π,cos 1x =的解有0,2π, 故共有30,,,,222ππππ5个零点, 故答案为:5【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值,属于中档题.三、解答题21.(1)()2,2-;(2)证明见解析;(3)两个,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据对数函数的真数大于0,列出不等式组求出x 的取值范围即可;(2)根据奇偶性的定义即可证明函数()f x 是定义域上的偶函数.(3)将方程()f x x =变形为()22log 4x x -=,即242x x -=,设()242x g x x =--(22x -≤≤),再根据零点存在性定理即可判断.【详解】解:(1) ()()()22log 2log 2f x x x =-++Q2020x x ->⎧∴⎨+>⎩,解得22x -<<,即函数()f x 的定义域为()2,2-; (2)证明:∵对定义域()2,2-中的任意x ,都有()()()()22log 2log 2f x x x f x -=++-=∴函数()f x 为偶函数;(3)方程()f x x =有两个实数根,理由如下:易知方程()f x x =的根在()2,2-内,方程()f x x =可同解变形为()22log 4x x -=,即242x x -= 设()242x g x x =--(22x -≤≤).当[]2,0x ∈-时,()g x 为增函数,且()()20120g g -⋅=-<,则在()2,0-内,函数()g x 有唯一零点,方程()f x x =有唯一实根,又因为偶函数,在()0,2内,函数()g x 也有唯一零点,方程()f x x =有唯一实根, 所以原方程有两个实数根.【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题,函数的零点,函数方程思想,属于基础题.22.(1)4,2a b ==(2)2log x =(3)()[]0,240g x ∈ 【解析】【分析】(1)由()()211,2log 12f f ==解出即可(2)令()0f x =得421x x -=,即()22210xx --=,然后解出即可 (3)()42x x g x =-,令2x t =,转化为二次函数【详解】(1)由已知得()()()()222221log 12log log 12f a b f a b ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩,即22212a b a b -=⎧⎨-=⎩, 解得4,2a b ==;(2)由(1)知()()2log 42x x f x =-,令()0f x =得421x x -=,即()22210x x --=,解得2x =,又120,22x x >∴=,解得21log 2x =; (3)由(1)知()42x x g x =-,令2x t =,则()221124g t t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭,[]1,16t ∈, 因为()g t 在[]1,16t ∈上单调递增 所以()[]0,240g x ∈,23.(1)2(2){}2log 5x|2<x <【解析】【分析】(1)将点(3,3)代入函数计算得到答案.(2)根据函数的单调性和定义域得到1123122x x +<-<-,解得答案.【详解】(1)()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. (2)()()2log 12f x x =-+Q 的定义域为{}|1x x >,并在其定义域内单调递增, ∴()()1123122,123122x x x x f f ++-<-∴<-<-,不等式的解集为{}22<log 5x x <.【点睛】本题考查了函数解析式,利用函数单调性解不等式,意在考查学生对于函数知识的综合应用.24.(1)()1,+∞;(2)12t t >【解析】【分析】(1)根据二次函数的单调性得到答案.(2)计算得到2a =,再计算()2110x t ->=,22log 0t x =<,得到答案.【详解】(1)函数()224x x a f x =-+的对称轴为1x =, 函数()f x 在区间[]1,m -上不具有单调性,故1m >,即()1,m ∈+∞.(2)()()11f g =,即24log 10a a -+==,故2a =.当()0,1x ∈时,()()212212110x x x t f x -+=-=>=;()22log 0t g x x ==<. 故12t t >【点睛】 本题考查了根据函数的单调性求参数,比较函数值大小,意在考查学生对于函数性质的综合应用.25.(1)()g x 为奇函数;(2)20【解析】【分析】(1)先求得函数()g x 的定义域,然后由()()g x g x -=-证得()g x 为奇函数.(2)根据()g x 为奇函数,求得()()0g i g i -+=,从而得到()()2f i f i -+=,由此求得所求表达式的值.【详解】 (1)12()12xx g x -=+,定义域为x ∈R ,当x ∈R 时,x R -∈. 因为11112212()()112212x x x x x x g x g x --+----====-++,所以()g x 为奇函数. (2)由(1)得()()0g i g i -+=,于是()()2f i f i -+=. 所以101010101111[()()()10()]2220i i i i f i f f i i i f ====-+====⨯+=-∑∑∑∑【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的判断,考查利用函数的奇偶性进行计算,属于基础题.26.(1);(2)每次应拖挂节车厢才能使每天的营运人数最多为人. 【解析】试题分析:(1)由于函数为一次函数,设出其斜截式方程,将点代入,可待定系数,求得函数关系式为;(2)结合(1)求出函数的表达式为,这是一个开口向下的二次函数,利用对称轴求得其最大值. 试题解析:(1)这列火车每天来回次数为次,每次拖挂车厢节,则设. 将点代入,解得∴.(2)每次拖挂节车厢每天营运人数为,则,当时,总人数最多为人.故每次应拖挂节车厢才能使每天的营运人数最多为人.。
2024-2025学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高一上学期数学素养测试卷(含答案)
2024-2025学年江西省南昌市江西师范大学附属中学高一上学期数学素养测试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A ={x|−4<x <12},B ={x|x <−1},则A ∩B =( )A. {x|−1<x <4}B. {x|−1<x <−12}C. {x|−1<x <12}D. {x|−4<x <−1}2.已知集合M ={1,2,3},N ={0,1,2,3,4,7},若M ⊆A ⊆N ,则满足集合A 的个数为( )A. 4B. 6C. 7D. 83.不等式x 2−ax−b <0的解集是{x|2<x <3},则ax 2−bx +1<0的解集是( )A. {x|2<x <3}B. {x|−1<x <−15}C. {x|−12<x <−13}D. {x|15<x <1}4.集合M ={x∣x 2=1},N ={x∣ax =1},且M ∩N =N ,实数a 的值为( )A. 1B. 12C. 1或−1D. 0或1或−15.已知集合A =[−2,5],B =[m +1,2m−1].若“x ∈B ”是“x ∈A ”的充分不必要条件,则m 的取值范围是( )A. (−∞,3]B. (2,3]C. ⌀D. [2,3]6.关于x 的不等式x 2−(a +2)x +2a <0的解集中恰有两个整数,则实数a 的取值范围是( )A. −1≤a <0或4<a ≤5B. −1≤a ≤0或4≤a ≤5C. −1<a ≤0或4≤a <5D. −1<a <0或4<a <57.已知x >0,y >0,且2x +y =2,若m m−1≤x +2y xy 对任意的x >0,y >0恒成立,则实数m 的值不可能为( )A. 14B. 98C. 127D. 28.设x,y,z >0,a =4x +1y ,b =4y +1z ,c =4z +1x ,则a,b,c 三个数( )A. 都小于4B. 至少有一个不大于4C. 都大于4D. 至少有一个不小于4二、多选题:本题共3小题,共18分。
江西省南昌市江西师范大学附属中学2024届高三下学期开学考(数学)试卷
D.三棱锥 A BCD 体积最大为 4 55 9
三、填空题 12.某老师为了了解班级学生一周体育锻炼的时间,随机抽查了一位学生一周的锻炼时 间,如下表:
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
锻炼时长 /h 1.2 1.5 1.6 1.3 1
2 1.8
则这组数据的 40% 分位数为 h.
13.蒙日是法国著名的数学家,他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是
11.在三棱锥 A BCD 中, BD AC , BD 2AC 4 ,且 AB CB 2 ,则( ) AD CD
A.当VACD 为等边三角形时, AB CD , AD BC
B.当 AD BD , CD BD 时,平面 ABD 平面 BCD
C.△ ABD 的周长等于△ BCD 的周长 试卷第 2 页,共 4 页
π 6
1
10.定义域为 R 的函数 f x ,对任意 x, y R , f x y f x y 2 f x f y ,且
f x 不恒为 0,则下列说法正确的是( )
A. f 0 0
B. f x 为偶函数
C. f x f 0 0
2024
D.若 f 1 0 ,则 f i 4048 i 1
(1)求证:平面 ABE 平面 ABC ; (2)求直线 AE 与平面 BDE 的余弦值.
试卷第 3 页,共 4 页
17.为丰富学生的课外活动,学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛,赛制采取 5 局 3 胜制,
即某队先赢得 3 局比赛,则比赛结束且该队获胜,每局都是单打模式,每队有 5 名队员,
比赛中每个队员至多上场一次目上场顺序是随机的,每局比赛结果互不影响,经过小组
C.x 0 x 2
江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
江西省南昌市江西师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下列各个角中与2020°终边相同的是A.−150°B.680°C.220°D.320°2.下列说法正确的是()A.若a=b,则a与b共线B.若a与b是平行向量,则a=bC.若|a|=|b|,则a=b D.共线向量方向必相同3.函数f(x)=tan x1+cos x的奇偶性是A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数4.已知平面向量a=(1,2),b=(−2,m),且a//b,则2a+3b=A.(−5,−10)B.(−4,−8)C.(−3,−6)D.(−2,−4)5.已知cos(x–π6)=33,则cos x+cos(x–π3)=A.–1 B.1 C.233D.36.化简sin x+y sin x−y−cos x+y cos x−y的结果是()A.sin2x B.cos2x C.−cos2x D.−sin2x7.函数f x=sin x+2φ−2sinφcos x+φ的最小值为()A.−2B.−1C.0 D.18.将塑料瓶底部扎一个小孔做成漏斗,再挂在架子上,就做成了一个简易单摆.在漏斗下方纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴,把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,它就是简谐运动的图像.它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况.如图所示,已知一根长为l cm的线一端固定,另一端悬一个漏斗,漏斗摆动时离开平衡位置的位移s(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系是s=2cos2glt,其中g≈980cm/s2,π≈3,则估计线的长度应当是(精确到0.1cm)()A.15.4cm B.16.4cm C.17.4cm D.18.4cm二、多选题9.若扇形的弧长变为原来的2倍,半径变为原来的2倍,则()A.扇形的面积不变B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积变为原来的4倍D.扇形的圆心角变为原来的2倍10.已知a,b为非零向量,则下列命题中正确的是A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同B.若|a|+|b|=|a−b|,则a与b方向相反C.若|a|+|b|=|a−b|,则a与b有相等的模D.若|a|−|b|=|a−b|,则a与b方向相同11.已知函数f(x)=cos2x+sin x cos x−1的图象为C,以下说法中正确的是()2A.函数f x的最大值为2+12B.图象C相邻两条对称轴的距离为π2,0中心对称C.图象C关于 −π8sin x的图象,只需将函数f x的图象横坐标伸长为原来的2倍,D.要得到函数y=22个单位再向右平移π4三、填空题12.函数f x=tan x−1的定义域为.13.将函数y=3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于原点对称,则m的最小值是.14.给出下列命题:①函数:y=−sin kπ+x(k∈Z)为奇函数;②函数y=cos2x的最小正周期是π;③函数y=sin(−2x+π3)的图象可由函数y=−sin2x的图象向左平移π6个单位长度得到;④函数y=cos x是最小正周期为π的周期函数;⑤函数y=sin2x+cos x的最小值是−1.其中真命题是(写出所有真命题的序号). 四、解答题15.设函数f x=cos2x−π6−3cos2x−12.(1)求f x的最小正周期及其图象的对称中心;(2)若x0∈5π12,2π3且f x0=33−12,求cos2x0的值.16.已知函数f x=log a cos2x−π3(其中a>0,a≠1).(1)求它的定义域;(2)求它的单调区间;(3)判断它的奇偶性;(4)判断它的周期性,如果是周期函数,求出它的最小正周期.17.4月11日至13日,我校组织高一高二全体师生一千六百余人前往九江、景德镇、上饶、抚州等地开展为期三天的融研学实践活动,汤显祖文化馆是此次研学的路线点之一,该文化馆每年都会接待大批游客.在该文化馆区的一家专门为游客提供住宿的客栈中,工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多,浪费很严重.为了控制经营成本,减少浪费,计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增,在8月份达到最多.(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系;(2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物?18.人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活,所谓人脸识别,就是利用计算机分析人脸视频或者图像,并从中提取出有效的识别信息,最终判别对象的身份,在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A x1,y1,B x2,y2,则曼哈顿距离为:d A,B=x1−x2+y1−y2,余弦相似度为:cos A,B=1x1+y1×2x2+y21x1+y1×2x2+y2,余弦距离为1−cos A,B(1)若A−1,2,B35,45,求A,B之间的曼哈顿距离d A,B和余弦距离;(2)已知M sinα,cosα,N sinβ,cosβ,Q sinβ,−cosβ,若cos M,N=15,cos M,Q=25,求tanαtanβ的值19.已知函数f x=2cosωx+φ+20<ω<2,0<φ<π2.请在下面的三个条件中任选两个解答问题.①函数f x的图象过点0,22;②函数f x的图象关于点12,2对称;③函数f x相邻两个对称轴之间距离为2.(1)求函数f x的解析式;(2)若x1,x2是函数f x的零点,求cos x1+x2π2的值组成的集合;(3)当a∈−2,0时,是否存在a满不等式f2a+32>f(a)?若存在,求出a的范围,若不存在,请说明理由.。
江西省赣州市赣南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
江西省赣州市赣南师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷一、单选题1.过点()1,1P ,且在y 轴上的截距为2的直线方程为()A .220x y +-=B .240x y -+=C .20x y +-=D .20x y -+=2.若()()1i 12z -+=,则z =()A .3B .2C D3.“1m =”是“直线1:(1)10l x m y +++=与直线2:(1)10l m x my +--=垂直”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.设圆221:244C x y x y +-+=,圆222:680C x y x y ++-=,则圆1C ,2C 的公切线有()A .1条B .2条C .3条D .4条5.直线10(0,0)ax by a b +-=>>等分圆22(1)(2)4x y -+-=的周长,则12a b+的最小值为()A .9B .4C .6D .186.已知点P 在抛物线2:8M y x =上,过点P 作圆()22:41C x y -+=的切线,若切线长为,则点P 到M 的准线的距离为()A .5B .6C .7D .7.地震预警是指在破坏性地震发生以后,在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息,以减小相关预警区域的灾害损失.根据Rydelek 和Pujol 提出的双台子台阵方法,在一次地震发生后,通过两个地震台站的位置和其接收到的信息,可以把震中的位置限制在双曲线的一支上,这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中,两地震台A 站和B 站相距10km .根据它们收到的信息,可知震中到B 站与震中到A 站的距离之差为6km .据此可以判断,震中到地震台B 站的距离至少为()A .8kmB .6kmC .4kmD .2km8.已知A B 、是圆2123:C x y +=上的动点,且AB =P 是圆()()222:341C x y -+-=的动点,则PA PB + 的取值范围是()A .[]8,12B .[]6,10C .[]10,14D .[]6,14二、多选题9.已知方程22162x y m m +=--表示的曲线为C ,则下列四个结论中正确的是()A .当6m >或2m <时,曲线C 是双曲线B .当26m <<时,曲线C 是椭圆C .若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆,则6m >D .若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,则24m <<10.已知空间向量()2,1,1a =-- ,()3,4,5b = ,则下列结论正确的是()A .()2a b a+∥B .5a =C .()56a a b ⊥+ D .a 在b 上的投影向量为321,,1052⎛⎫--- ⎪⎝⎭11.我们把平面内到两个定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中,设定点为1(1,0)F -,2(1,0)F ,动点(,)P x y 满足124PF PF =,化简可得卡西尼卵形线22:1C x y ++=,则()A .曲线C 既是中心对称图形也是轴对称图形B .曲线C 关于直线y x =对称C .曲线C 都在圆226x y +=内D .曲线C 与椭圆22132x y +=没有公共点三、填空题12.已知()2,3,1A ,()4,1,2B ,若点B 关于平面yOz 的对称点为C ,则A ,C 两点间的距离为.13.若直线1:230l x y --=与直线2:10++=l x my 平行,则1l 与2l 之间的距离为.14.已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的焦点为1F ,2F ,M 为椭圆上一点,12π3F MF ∠=,3OM b =,则椭圆的离心率为.四、解答题15.如图所示,平行六面体1111ABCD A B C D -中,11,2AB AD AA===,11ππ,23BAD BAA DAA ∠=∠=∠=.(1)用向量1,,AB AD AA 表示向量1BD,并求1BD ;(2)求1AC BD ⋅ .16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>(1)求双曲线C 的标准方程;(2)若O 为坐标原点,直线20l x y -+=:交双曲线C 于,A B 两点,求OAB △的面积.17.已知F 为抛物线C :()220x py p =>的焦点,且C 上一点(),3m 到点F 的距离为4.(1)求C 的方程;(2)若斜率为2的直线l 与C 交于A ,B 两点,且24AF BF +=,求l 的方程.18.已知圆C 过()()()4,1,0,1,2,3A B M 三点,直线:2l y x =+.(1)求圆C 的方程;(2)求圆C 关于直线l 对称的圆C '的方程;(3)若P 为直线l 上的动点,Q 为圆C 上的动点,O 为坐标原点,求||||OP PQ +的最小值.19.已知椭圆C :()222210+=>>x y a b a b的离心率为12,右顶点Q 与C 的上,下顶点所围成的三角形面积为(1)求C 的方程.(2)不过点Q 的动直线l 与C 交于A ,B 两点,直线QA 与QB 的斜率之积恒为14.(i)证明:直线l过定点;面积的最大值.(ii)求QAB。
江西省江西师范大学附属中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试数学试题
江西省江西师范大学附属中学2020-2021学年高一数学上学期期末考试试题一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知幂函数()f x 的图像经过点42(,),则2f =() A .12B .1C .2D .22.若角θ满足tan 0θ<,sin 0θ<,则角θ所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若2cos(π)3α-=,]π2,π[∈α,则sin 2α= A .306-B .66-C .66D .3064.已知向量(1,)(3,1)m =-,=a b ,且//a b ,则m =A .3-B .13-C .13D .35.已知2log e a =,12π5sin =b ,23log 22=c ,则 A .b a c >>B .a c b >>C .a b c >>D .c a b >>6.已知a 与b 的夹角为 60,4|a |=,则λ-|a b |(R ∈λ)的最小值为 A .23B .72C .103D .4337.已知)1,3(),3,3(),2,2(----C B A ,且CA CM 2=,CB CN 21=,则MN = A .)2,4(-B .)2,4(-C .)7,1(-D .)7,1(-8.在平面直角坐标系xOy 中,若点P 从)0,2(出发,沿圆心在原点,半径为2的圆按逆时针方向运动3π4弧长到达点Q ,则点Q 的坐标是 A .)3,1(-B .)3,1(--C .)3,1(D .)3,1(-9.若将函数πtan()(0)4y x ωω=+>的图像向右平移π3个单位长度后,与函数的图像重合,则ω的最小值为A .16B .14C .13D .1210.已知2232,0,()|lg |,0.x x x f x x x ⎧--≤=⎨>⎩若关于x 的方程()()f x m m =∈R 有四个不相等的实根1234,,,x x x x ,则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是A .1[0,)4B .7[0,)16C .1[0,)2D .9[0,)1611.已知M 是ABC ∆内一点,23MA MB MC ++=0,记MBC ∆的面积为1S ,ABC ∆的面积为2S ,则=12S S A .3B .4C .5D .612.设函数π()tan ||3f x x =-,π()|sin()|3g x x =-,则函数()()()h x f x g x =-在区间[2π,2π]-上的零点个数是 A .4B .5C .12D .13二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.已知集合{}2|20A x x x =->,{|B y y ==,则A B = .14.已知向量,a b 的夹角为120,||4=a ,||1=b ,则a 在b 方向上的投影为 . 15.已知向量,a b 的夹角为60,||2=a,||-=a b ||=b .16.如图所示,在梯形ABCD 中,AB AD ⊥,//AB CD ,1AD CD ==,2AB =,E 是AB的中点,点P 在以A 为圆心,AE 为半径的四分之一圆弧DE 上运动,若AP AD AB λμ=+,,λμ∈R ,则34λμ-的取值范围是 .三.解答题:本大题共6小题,共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题10分)已知3π(π,)2α∈,sin 5α=-. (Ⅰ)求πtan()4α-的值; (Ⅱ)求2πcos(2)3α-的值.18.(本小题12分)在ABC ∆中,3AC BC ==,2AB =,3BC BM =,2AC AN =. (Ⅰ)用AB 和AC 表示AM ; (Ⅱ)求MN AB ⋅.19.(本小题12分)设函数2π()cos(2)2sin 3f x x x =++.(Ⅰ)求函数()f x 取得最大值时的自变量x 的值; (Ⅱ)求函数()f x 的单调递增区间.20.(本小题12分)在ABC ∆中,3AB =,6AC =,2π3BAC ∠=,D 为边BC 的中点,M 为中线AD 的中点. (Ⅰ)求中线AD 的长;(Ⅱ)求BM 与AD 的夹角θ的余弦值.21.(本小题12分)已知向量a =(cos sin )αα,,b =(cos sin )ββ,,(20)=,c . (Ⅰ)求向量b+c 的长度的最大值; (Ⅱ)设π3α=,且()+⊥a b c ,求cos β的值.22.(本小题12分)已知函数21()log ()2xf x m =+,m ∈R . (Ⅰ)若关于x 的方程()210f x x +-=恰有两个解,求m 的取值范围;(Ⅱ)设0m >,若对任意的实数[2,0]t ∈-,函数()f x 在区间[,2]t t +上的最大值与最 小值之和不大于2log 10,求m 的取值范围.江西师大附中高一数学期末考试卷▁▃▅▇█参 *考 *答 *案█▇▅▃▁一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
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16.
【解析】
由正弦定理、余弦定理得 .
答案:
17.(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)运用向量的数量积求解即可.(Ⅱ)先根据单位向量的概念求得 ,再求 的坐标.
试题解析:
(Ⅰ)因为向量 ,
所以 , ,
所以 ,
又因为 ,
A. B. C. D.
10.为了得到函数 的图像,可以将函数 的图像
A.向右平移 个单位长度B.向右平移 个单位长度
C.向左平移 个单位长度D.向左平移 个单位长度
11.已知向量 满足 ,且 ,若向量 满足 ,则 的取值范围是
A. B.
C. D.
12.设函数 ( ), ,则方程 在区间 上的解的个数是
(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置,要做到观察仔细,避免出错.
13.-2
【解析】
因为向量 与 平行,
所以存在 ,使 ,
所以 ,解得 .答案:1ຫໍສະໝຸດ .【解析】三、解答题
17.已知向量 ,向量 分别为与向量 同向的单位向量.
(Ⅰ)求向量 与 的夹角 ;
(Ⅱ)求向量 的坐标.
18.已知函数 , .
(Ⅰ)求 的最小正周期及单调递增区间;
(Ⅱ)求 在区间 上的最大值和最小值.
19.设函数 ( )在 处取最大值.
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)在 中, 分别是角 的对边.已知 , , ,求 的值.
A. B. C. D.
二、填空题
13.设向量 不平行,向量 与 平行,则实数 _________.
14.在平面直角坐标系 中,角 与角 均以 为始边,它们的终边关于 轴对称.若 , ____________.
15.已知向量 的夹角为 , ,则 __________.
16. 的边 的长分别为 ,且 , , ,则 __________.
20.设向量 .
(Ⅰ)若 与 垂直,求 的值;
(Ⅱ)求 的最小值.
21.已知一次函数 的图像与 轴、 轴分别相交于点 , ( 分别是与 轴、 轴正半轴同方向的单位向量),函数 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)当 满足 时,求函数 的最小值.
22.如图,在 中, , ,点 在 的延长线上,点 是边 上的一点,且存在非零实数 ,使 .
因为角 与角 关于 轴对称,
所以 , ,
所以 ,
所以 .
答案:
15.
【解析】
由已知得 ,
所以 ,
所以 .
答案:
点睛:向量数量积的求法及注意事项:
(1)计算数量积的三种方法:定义、坐标运算、数量积的几何意义,要灵活选用,和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.
(2)求向量模的常用方法:利用公式 ,将模的运算转化为向量的数量积的运算,解题时要注意向量数量积运算率的灵活应用.
所以 .
即向量 与 的夹角为 .
选C.
3.D
【解析】
.选D.
4.B
【解析】
由已知得 ,
因为 ,
所以 ,即 ,
解得 .选B.
5.C
【解析】
因为 ,所以 ;
因为 , ,所以 ,
所以 .选C.
6.D
【解析】
令 ,则 , ,
故 .
选D.
7.A
【解析】
由 得 ,
故函数 的定义域为 .
又 ,
所以函数为奇函数,排除B.
又当 时, ;当 时, .排除C,D.选A.
由题意得,方程 在区间 上的解的个数即函数 与函数 的图像在区间 上的交点个数.
在同一坐标系内画出两个函数图像,注意当 时, 恒成立,易得交点个数为 .选A.
点睛:函数零点的求解与判断方法:
(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理:利用定理不仅要函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点.
点睛:解决抽象函数问题的两个注意点:
(1)对于抽象函数的求函数值的问题,可选择定义域内的恰当的值求解,即要善于用取特殊值的方法求解函数值.
(2)由于抽象函数的解析式未知,故在解题时要合理运用条件中所给出的性质解题,有时在解题需要作出相应的变形.
10.B
【解析】
因为 ,
所以为了得到函数 的图像,可以将函数
江西省师范大学附属中学【最新】高一上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知集合 , ,则
A. B.
C. D.
2.下列函数中,既是偶函数,又在区间 上单调递增的函数为
A. B. C. D.
3.计算2sin2105°-1的结果等于( )
的图像向右平移 个单位长度即可.选B.
11.B
【解析】
设 ,根据 作出如下图形,
则 .
当 时,则点 的轨迹是以点 为圆心, 为半径的圆,且 .
结合图形可得,当点 与 重合时, 取得最大值 ;
当点 与 重合时, 取得最小值 .
所以 的取值范围是 .
故当 时, 的取值范围是 的子集.选B.
12.A
【解析】
A. B. C. D.
4.已知向量 ,且 ,则
A. B. C. D.
5.已知 ,则( )
A. B. C. D.
6.设四边形 为平行四边形, ,若点 满足 , ,则
A. B. C. D.
7.函数 的图像大致为( )
A. B.
C. D.
8.设 ,则
A. B. C. D.
9.已知函数 是定义在实数集 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数 都有 ,则 的值为
(Ⅰ)求 与 的数量积;
(Ⅱ)求 与 的数量积.
参考答案
1.A
【解析】
由 得 ,所以 ;
由 得 ,所以 .
所以 .选A.
2.C
【解析】
选项A中,函数的定义域为 ,不合题意,故A不正确;
选项B中,函数的定义域为 ,无奇偶性,故B不正确;
选项C中,函数为偶函数,且当x>0时, ,为增函数,故C正确;
选项D中,函数为偶函数,但在 不是增函数,故D不正确.
8.B
【解析】
因为 ,
所以 .选B.
9.A
【解析】
方法一:
当 且 时,由 ,得 ,
令 ,则 是周期为 的函数,
所以 ,
当 时,由 得, ,
又 是偶函数,所以 ,
所以 ,
所以 ,所以 .选A.
方法二:
当 时,由 得, ,即 ,
同理 ,
所以 .
又当 时,由 ,得 ,
因为 是偶函数,
所以 ,
所以 .选A.