抽样误差和可信区间
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MEDICAL STATISTICS
医学统计学
抽样误差和可信区间
Sampling Error & Confidence Intervals
主要内容(Content) 主要内容(Content)
抽样误差及其规律性 标准误 抽样分布与t 抽样分布与t分布 统计推断与参数估计 总结
一．均数的抽样误差(sampling 一．均数的抽样误差(sampling error) 与标准误(standard 与标准误(standard error, SE)
Βιβλιοθήκη Baidu
例：
【例4.1】 随机抽取某地25名正常成年男子， 随机抽取某地25名正常成年男子 名正常成年男子， 测得该样本的脉搏均数为73. 测得该样本的脉搏均数为 73.6 次 / 分 ， 标准 差为6 差为6.5次/分，求该地正常成年男子脉搏总 体均数95%的可信区间。 体均数95%的可信区间。 某市2001 年 120名 【 例 4.2】 某市 2001年 120 名 7 岁男童的身高 =123.62(cm) ， 标 准 差 s=4.75(cm) ， 计 算 该 123.62(cm) 75(cm) 岁男童总体均数90%的可信区间。 市7岁男童总体均数90%的可信区间。
t= X1 − X 2 s X1 − X 2 ~ t n1 + n2 − 2
X1 ， 2 样本含量较大时，服从标准正态分布。 样本含量较大时− X服从标准正态分布。 t= s X1 − X 2 ~ N (0,1)
计算
11 × 9.77 2 + 12 × 12.17 2 2 sC = = 122.93 12 + 13 − 2 sX1 − X 2 = 1 1 122.93 × ( ) = 4.439 + 12 13
-t
0
t
统计推断
所谓统计推断(statistical inference)， 是指如何抽样，以及如何用样本 是指如何抽样， 性质推断总体特征。 性质推断总体特征。
参数估计(parameter 参数估计(parameter estimation) 假设检验(hypothesis 假设检验(hypothesis testing)
二．t 二．t分布
t分布的演化
由于总体标准差往往是未知的， 由于总体标准差往往是未知的，此时 往往用样本标准差代替总体标准差， 往往用样本标准差代替总体标准差，
X −µ t= ~ tν s n
这里， 为自由度，取值为n 这里，ν为自由度，取值为n-1
由W.S. Gosset提出 Gosset提出
双 侧 t 0.05 , 23 = 2.069 ( 273.18 − 231.86) m 2.069 × 4.439 = 32.14, 50.50
可信区间的两个要素
可信度（Confidence) 准确性， 可信度（Confidence)：准确性，可靠 性，即1 -α。
一般取90%,95 一般取90%,95％,可人为控制 90%,95％
既然抽样误差是有规律的， 既然抽样误差是有规律的， 那么到底它的分布规律到底 是怎样的？ 是怎样的？
A Simulation Study
SAMPLE 1：x11 x12 x13 x14...x1n
X1
原始 总体 μ
SAMPLE 2：x21 x22 x23 x24...x2n
X2
SAMPLE k：xk1 xk2 xk3 xk4...xkn
α/2 α/2
-tα/2, v
0
tα/2, v
均数的95%可信区间 均数的95%可信区间
样本含量不是很大时， 样本含量不是很大时，
(X
− t 0.025 ,ν s X , X + t 0.025 ,ν s X
)
样本含量较大时，t分布逼近u分布 样本含量较大时， 分布逼近u
(X −u
0.025 X
s , X + u0.025 s X )
X =118.21cm s=4.45cm
µ＝119.41cm σ= 4.38cm
X = 120.18cm s=4.90cm
X = 120.81cm s =4.33cm
三次抽样得到了不同的结果，原因何在？ 三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同 每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差的表现
抽 样 误 差 的 表 现
样本均数和 样本均数间 的差别 X i − X j 样本均数和 总体均数间 的差别 X − µ
i
抽样误差的重要性
总体
同质个体、个体变异 随机 抽样
样本
代表性、抽样误差
总体参数
未知 统计 推断
样本统计量
已知
风
险
2. 抽样误差的规律性(分布) 抽样误差的规律性(分布)
均数的(1- )100%可信区间 均数的(1-α)100%可信区间
P ( t > tα / 2,ν ) = α
P ( − tα / 2,ν < t < tα / 2,ν ) = 1 − α
1-α
P ( − tα / 2,ν
x−µ < < tα / 2,ν ) = 1 − α sx
P ( x − tα / 2,ν s x < µ < x + tα / 2,ν s x ) = 1 − α
s sX = n
标准误的意义
反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的 反映了样本统计量（样本均数，样本率） 离散程度，体现了抽样误差的大小。 离散程度，体现了抽样误差的大小。 标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本 标准误越大，说明样本统计量（样本均数， 率）的离散程度越大，即用样本统计量来直接估 的离散程度越大， 计总体参数越不可靠。反之亦然。 计总体参数越不可靠。反之亦然。 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时， 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时， 从标准差大的总体中抽样，标准误较大； 从标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总 体一定时，样本例数越多，标准误越小。 体一定时，样本例数越多，标准误越小。说明我 们可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。 们可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。
2 2 ( n1 − 1) s1 + ( n2 − 1) s2 2 sC = n1 + n2 − 2
均数之差的标准误
s X1 − X 2 1 1 = s ( + ) n1 n2
2 C
与均数之差有关的抽样分布
“均数之差”与“均数之差的标准误”之 均数之差” 均数之差的标准误” 比， 分布。 服从自由度ν = n1+n2 -2的 t 分布。
t分布曲线下的面积
n +1 Γ − ( n +1) 2 x2 2 1 + f ( x) = n n nπ Γ 2
-t
0
t
t界值表
单侧： 单侧： P(t <-tα,ν)= α或 P(t P(t >tα,ν)= α P(t 双侧： 双侧： P(t <-tα/2,ν)+ P(t >tα/2,ν)= α P(t P(t :P(1即:P(-tα/2,ν<t <tα/2,ν)= 1-α [例] 查t界值表得t值表达式 界值表得t t 0.05,10=2.228 (双侧） (双侧 双侧） t 0.05,10=1.812 (单侧） (单侧 单侧）
error)。 error)。
样本统计量的标准差反映了从某个总体中随机 抽样所得样本之均数分布的离散程度。 抽样所得样本之均数分布的离散程度。
标准误的计算
σX = 计算公式为 n σ
其中， 为总体标准差， 其中，σ为总体标准差，n为抽样的样 本例数 在研究工作时 由于总体标准差 工作时， 总体标准差常常 在研究工作时，由于总体标准差常常 未知，可以利用样本标准差近似估计 未知，
抽样研究的目的是要用样本信息推断总 体特征， 体特征，称统计推断
1. 抽样误差的定义
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为 119.41cm。为了估计七岁男童的平均身高（ 119.41cm。为了估计七岁男童的平均身高（总体 均数）， ），研究者从所有符合要求的七岁男童中每 均数），研究者从所有符合要求的七岁男童中每 次抽取100人 共计抽取了三次。 次抽取100人，共计抽取了三次。
精确性(Precision) 区间的大小， 精确性(Precision)：区间的大小，越 小越好。 小越好。 必须二者兼顾
可信区间的宽度及影响因素
均数的(1均数的(1-α)可信区间为
三. 参数估计
点估计（ 点估计（Point Estimation) 区间估计 (Interval Estimation)
参数估计之一： 参数估计之一：点估计
用样本统计量作为总体参数的估计 例如： 例如： 用样本均数作为总体均数的一个估计
ˆ µ=x
区间估计
可信区间的定义 总体均数之可信区间的求解 均数之差的可信区间 可信区间的要素 正确理解可信区间的含义
k个样本均数的频数分布图
Xk
从正态总体中随机抽样， 从正态总体中随机抽样，其样本均数 服从正态分布 从任意总体中随机抽样， 从任意总体中随机抽样，当样本含量 足够大时， 足够大时，其样本均数的分布逐渐逼 近正态分布
均数的抽样误差 x -µ的分布
3. 标准误的定义
抽 样 误 差 的 标 准 差 称 为 标 准 误 (standard
可信区间的定义
按一定的概率或可信度(1 α)用一个区间 按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间 (1来估计总体参数所在的范围， 来估计总体参数所在的范围，该范围通 常称为参数的可信区间或者置信区间 常称为参数的可信区间或者置信区间 可信区间或者 interval，CI), ),预先给定的概 (confidence interval，CI),预先给定的概 (1-α)称为可信度或者 称为可信度或者置信度 率(1-α)称为可信度或者置信度 level),常取95% 99%。 ),常取95%或 (confidence level),常取95%或99%。 可信区间( 可信区间(CL, CU )是一开区间 CL、CU 称 为可信限
t分布的图形
自由度分别为1、5、 ∞时的 t 分布 f(t) ν =∞(标准正态曲线)
ν =5 ν =1
0.3
0.2
0.1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t分布的性质
t分布为一簇单峰分布曲线，高峰在0的位置上，说明 分布为一簇单峰分布曲线，高峰在0的位置上， 从正态总体中随机抽样所得样本计算出的t值接近0 从正态总体中随机抽样所得样本计算出的t值接近0的 可能性较大。 可能性较大。 t分布以0为中心，左右对称。 分布以0为中心，左右对称。 分布低，尾部高。 分布的高峰位置比 u 分布低，尾部高。 t分布与自由度ν有关，自由度越小，t分布的峰越低， 有关，自由度越小， 分布的峰越低， 而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时， 而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t分布逐渐 逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时， 逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t分布就是 标准正态分布。 标准正态分布。 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t界值 表。
抽样误差
抽样误差的定义
【定义】由于个体变异的存在，在抽样 定义】由于个体变异的存在， 研究中产生样本统计量和总体参数之 间的差异，称为抽样误差 抽样误差（ 间的差异，称为抽样误差（sampling error） error）。
各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为 各种参数都有抽样误差， 研究对象
均数之差可信区间的计算
正常组
µ 1＝？
肝炎组
µ 2＝？
µ 1- µ 2 ＝？
均 数:273.18ug/dL 标准差:9.77ug/dL
均 数: 231.86ug/dL 标准差:12.17ug/dL
X 1 − X 2 = 42.32
合并方差与均数之差的标准误
合并方差(方差的加权平均) 合并方差(方差的加权平均)
区间估计
【例4.1】 随机抽取某地25名正常成年 4.1】 随机抽取某地25名正常成年 男子，测得该样本的脉搏均数为73.6 男子，测得该样本的脉搏均数为73.6 标准差为6.5次 次/分，标准差为6.5次/分，估计正常 成年男子脉搏总体均数。 成年男子脉搏总体均数。
区间估计的实质
假设某个总体的均数为 ，需要找到两 个量A 个量A和B，使得在一个比较高的可信 度下( 95%)，区间(A,B)能包含 度下(如95%)，区间(A,B)能包含 。 即 P(A< <B)=0.95
医学统计学
抽样误差和可信区间
Sampling Error & Confidence Intervals
主要内容(Content) 主要内容(Content)
抽样误差及其规律性 标准误 抽样分布与t 抽样分布与t分布 统计推断与参数估计 总结
一．均数的抽样误差(sampling 一．均数的抽样误差(sampling error) 与标准误(standard 与标准误(standard error, SE)
Βιβλιοθήκη Baidu
例：
【例4.1】 随机抽取某地25名正常成年男子， 随机抽取某地25名正常成年男子 名正常成年男子， 测得该样本的脉搏均数为73. 测得该样本的脉搏均数为 73.6 次 / 分 ， 标准 差为6 差为6.5次/分，求该地正常成年男子脉搏总 体均数95%的可信区间。 体均数95%的可信区间。 某市2001 年 120名 【 例 4.2】 某市 2001年 120 名 7 岁男童的身高 =123.62(cm) ， 标 准 差 s=4.75(cm) ， 计 算 该 123.62(cm) 75(cm) 岁男童总体均数90%的可信区间。 市7岁男童总体均数90%的可信区间。
t= X1 − X 2 s X1 − X 2 ~ t n1 + n2 − 2
X1 ， 2 样本含量较大时，服从标准正态分布。 样本含量较大时− X服从标准正态分布。 t= s X1 − X 2 ~ N (0,1)
计算
11 × 9.77 2 + 12 × 12.17 2 2 sC = = 122.93 12 + 13 − 2 sX1 − X 2 = 1 1 122.93 × ( ) = 4.439 + 12 13
-t
0
t
统计推断
所谓统计推断(statistical inference)， 是指如何抽样，以及如何用样本 是指如何抽样， 性质推断总体特征。 性质推断总体特征。
参数估计(parameter 参数估计(parameter estimation) 假设检验(hypothesis 假设检验(hypothesis testing)
二．t 二．t分布
t分布的演化
由于总体标准差往往是未知的， 由于总体标准差往往是未知的，此时 往往用样本标准差代替总体标准差， 往往用样本标准差代替总体标准差，
X −µ t= ~ tν s n
这里， 为自由度，取值为n 这里，ν为自由度，取值为n-1
由W.S. Gosset提出 Gosset提出
双 侧 t 0.05 , 23 = 2.069 ( 273.18 − 231.86) m 2.069 × 4.439 = 32.14, 50.50
可信区间的两个要素
可信度（Confidence) 准确性， 可信度（Confidence)：准确性，可靠 性，即1 -α。
一般取90%,95 一般取90%,95％,可人为控制 90%,95％
既然抽样误差是有规律的， 既然抽样误差是有规律的， 那么到底它的分布规律到底 是怎样的？ 是怎样的？
A Simulation Study
SAMPLE 1：x11 x12 x13 x14...x1n
X1
原始 总体 μ
SAMPLE 2：x21 x22 x23 x24...x2n
X2
SAMPLE k：xk1 xk2 xk3 xk4...xkn
α/2 α/2
-tα/2, v
0
tα/2, v
均数的95%可信区间 均数的95%可信区间
样本含量不是很大时， 样本含量不是很大时，
(X
− t 0.025 ,ν s X , X + t 0.025 ,ν s X
)
样本含量较大时，t分布逼近u分布 样本含量较大时， 分布逼近u
(X −u
0.025 X
s , X + u0.025 s X )
X =118.21cm s=4.45cm
µ＝119.41cm σ= 4.38cm
X = 120.18cm s=4.90cm
X = 120.81cm s =4.33cm
三次抽样得到了不同的结果，原因何在？ 三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同 每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
抽样误差的表现
抽 样 误 差 的 表 现
样本均数和 样本均数间 的差别 X i − X j 样本均数和 总体均数间 的差别 X − µ
i
抽样误差的重要性
总体
同质个体、个体变异 随机 抽样
样本
代表性、抽样误差
总体参数
未知 统计 推断
样本统计量
已知
风
险
2. 抽样误差的规律性(分布) 抽样误差的规律性(分布)
均数的(1- )100%可信区间 均数的(1-α)100%可信区间
P ( t > tα / 2,ν ) = α
P ( − tα / 2,ν < t < tα / 2,ν ) = 1 − α
1-α
P ( − tα / 2,ν
x−µ < < tα / 2,ν ) = 1 − α sx
P ( x − tα / 2,ν s x < µ < x + tα / 2,ν s x ) = 1 − α
s sX = n
标准误的意义
反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的 反映了样本统计量（样本均数，样本率） 离散程度，体现了抽样误差的大小。 离散程度，体现了抽样误差的大小。 标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本 标准误越大，说明样本统计量（样本均数， 率）的离散程度越大，即用样本统计量来直接估 的离散程度越大， 计总体参数越不可靠。反之亦然。 计总体参数越不可靠。反之亦然。 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时， 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时， 从标准差大的总体中抽样，标准误较大； 从标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总 体一定时，样本例数越多，标准误越小。 体一定时，样本例数越多，标准误越小。说明我 们可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。 们可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。
2 2 ( n1 − 1) s1 + ( n2 − 1) s2 2 sC = n1 + n2 − 2
均数之差的标准误
s X1 − X 2 1 1 = s ( + ) n1 n2
2 C
与均数之差有关的抽样分布
“均数之差”与“均数之差的标准误”之 均数之差” 均数之差的标准误” 比， 分布。 服从自由度ν = n1+n2 -2的 t 分布。
t分布曲线下的面积
n +1 Γ − ( n +1) 2 x2 2 1 + f ( x) = n n nπ Γ 2
-t
0
t
t界值表
单侧： 单侧： P(t <-tα,ν)= α或 P(t P(t >tα,ν)= α P(t 双侧： 双侧： P(t <-tα/2,ν)+ P(t >tα/2,ν)= α P(t P(t :P(1即:P(-tα/2,ν<t <tα/2,ν)= 1-α [例] 查t界值表得t值表达式 界值表得t t 0.05,10=2.228 (双侧） (双侧 双侧） t 0.05,10=1.812 (单侧） (单侧 单侧）
error)。 error)。
样本统计量的标准差反映了从某个总体中随机 抽样所得样本之均数分布的离散程度。 抽样所得样本之均数分布的离散程度。
标准误的计算
σX = 计算公式为 n σ
其中， 为总体标准差， 其中，σ为总体标准差，n为抽样的样 本例数 在研究工作时 由于总体标准差 工作时， 总体标准差常常 在研究工作时，由于总体标准差常常 未知，可以利用样本标准差近似估计 未知，
抽样研究的目的是要用样本信息推断总 体特征， 体特征，称统计推断
1. 抽样误差的定义
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为 119.41cm。为了估计七岁男童的平均身高（ 119.41cm。为了估计七岁男童的平均身高（总体 均数）， ），研究者从所有符合要求的七岁男童中每 均数），研究者从所有符合要求的七岁男童中每 次抽取100人 共计抽取了三次。 次抽取100人，共计抽取了三次。
精确性(Precision) 区间的大小， 精确性(Precision)：区间的大小，越 小越好。 小越好。 必须二者兼顾
可信区间的宽度及影响因素
均数的(1均数的(1-α)可信区间为
三. 参数估计
点估计（ 点估计（Point Estimation) 区间估计 (Interval Estimation)
参数估计之一： 参数估计之一：点估计
用样本统计量作为总体参数的估计 例如： 例如： 用样本均数作为总体均数的一个估计
ˆ µ=x
区间估计
可信区间的定义 总体均数之可信区间的求解 均数之差的可信区间 可信区间的要素 正确理解可信区间的含义
k个样本均数的频数分布图
Xk
从正态总体中随机抽样， 从正态总体中随机抽样，其样本均数 服从正态分布 从任意总体中随机抽样， 从任意总体中随机抽样，当样本含量 足够大时， 足够大时，其样本均数的分布逐渐逼 近正态分布
均数的抽样误差 x -µ的分布
3. 标准误的定义
抽 样 误 差 的 标 准 差 称 为 标 准 误 (standard
可信区间的定义
按一定的概率或可信度(1 α)用一个区间 按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间 (1来估计总体参数所在的范围， 来估计总体参数所在的范围，该范围通 常称为参数的可信区间或者置信区间 常称为参数的可信区间或者置信区间 可信区间或者 interval，CI), ),预先给定的概 (confidence interval，CI),预先给定的概 (1-α)称为可信度或者 称为可信度或者置信度 率(1-α)称为可信度或者置信度 level),常取95% 99%。 ),常取95%或 (confidence level),常取95%或99%。 可信区间( 可信区间(CL, CU )是一开区间 CL、CU 称 为可信限
t分布的图形
自由度分别为1、5、 ∞时的 t 分布 f(t) ν =∞(标准正态曲线)
ν =5 ν =1
0.3
0.2
0.1
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
t分布的性质
t分布为一簇单峰分布曲线，高峰在0的位置上，说明 分布为一簇单峰分布曲线，高峰在0的位置上， 从正态总体中随机抽样所得样本计算出的t值接近0 从正态总体中随机抽样所得样本计算出的t值接近0的 可能性较大。 可能性较大。 t分布以0为中心，左右对称。 分布以0为中心，左右对称。 分布低，尾部高。 分布的高峰位置比 u 分布低，尾部高。 t分布与自由度ν有关，自由度越小，t分布的峰越低， 有关，自由度越小， 分布的峰越低， 而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时， 而两侧尾部翘得越高；自由度逐渐增大时，t分布逐渐 逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时， 逼近标准正态分布；当自由度为无穷大时，t分布就是 标准正态分布。 标准正态分布。 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。 每一自由度下的t分布曲线都有其自身分布规律。t界值 表。
抽样误差
抽样误差的定义
【定义】由于个体变异的存在，在抽样 定义】由于个体变异的存在， 研究中产生样本统计量和总体参数之 间的差异，称为抽样误差 抽样误差（ 间的差异，称为抽样误差（sampling error） error）。
各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为 各种参数都有抽样误差， 研究对象
均数之差可信区间的计算
正常组
µ 1＝？
肝炎组
µ 2＝？
µ 1- µ 2 ＝？
均 数:273.18ug/dL 标准差:9.77ug/dL
均 数: 231.86ug/dL 标准差:12.17ug/dL
X 1 − X 2 = 42.32
合并方差与均数之差的标准误
合并方差(方差的加权平均) 合并方差(方差的加权平均)
区间估计
【例4.1】 随机抽取某地25名正常成年 4.1】 随机抽取某地25名正常成年 男子，测得该样本的脉搏均数为73.6 男子，测得该样本的脉搏均数为73.6 标准差为6.5次 次/分，标准差为6.5次/分，估计正常 成年男子脉搏总体均数。 成年男子脉搏总体均数。
区间估计的实质
假设某个总体的均数为 ，需要找到两 个量A 个量A和B，使得在一个比较高的可信 度下( 95%)，区间(A,B)能包含 度下(如95%)，区间(A,B)能包含 。 即 P(A< <B)=0.95