抽样误差和可信区间

X =118.21cm s=4.45cm
µ＝119.41cm σ= 4.38cm
X = 120.18cm s=4.90cm
X = 120.81cm s =4.33cm
三次抽样得到了不同的结果，原因何在？ 三次抽样得到了不同的结果，原因何在？
不同男童的 身高不同 每次抽到的 人几乎不同
个体变异
随机抽样
s sX = n
标准误的意义
反映了样本统计量（样本均数，样本率）分布的 反映了样本统计量（样本均数，样本率） 离散程度，体现了抽样误差的大小。 离散程度，体现了抽样误差的大小。 标准误越大，说明样本统计量（样本均数，样本 标准误越大，说明样本统计量（样本均数， 率）的离散程度越大，即用样本统计量来直接估 的离散程度越大， 计总体参数越不可靠。反之亦然。 计总体参数越不可靠。反之亦然。 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时， 标准误的大小与标准差有关，在例数n一定时， 从标准差大的总体中抽样，标准误较大； 从标准差大的总体中抽样，标准误较大；而当总 体一定时，样本例数越多，标准误越小。 体一定时，样本例数越多，标准误越小。说明我 们可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。 们可以通过增加样本含量来减少抽样误差的大小。
例：
【例4.1】 随机抽取某地25名正常成年男子， 随机抽取某地25名正常成年男子 名正常成年男子， 测得该样本的脉搏均数为73. 测得该样本的脉搏均数为 73.6 次 / 分 ， 标准 差为6 差为6.5次/分，求该地正常成年男子脉搏总 体均数95%的可信区间。 体均数95%的可信区间。 某市2001 年 120名 【 例 4.2】 某市 2001年 120 名 7 岁男童的身高 =123.62(cm) ， 标 准 差 s=4.75(cm) ， 计 算 该 123.62(cm) 75(cm) 岁男童总体均数90%的可信区间。 市7岁男童总体均数90%的可信区间。
三. 参数估计
点估计（ 点估计（Point Estimation) 区间估计 (Interval Estimation)
参数估计之一： 参数估计之一：点估计
用样本统计量作为总体参数的估计 例如： 例如： 用样本均数作为总体均数的一个估计
ˆ µ=x
区间估计
可信区间的定义 总体均数之可信区间的求解 均数之差的可信区间 可信区间的要素 正确理解可信区间的含义
既然抽样误差是有规律的， 既然抽样误差是有规律的， 那么到底它的分布规律到底 是怎样的？ 是怎样的？
A Simulation Study
SAMPLE 1：x11 x12 x13 x14...x1n
X1
原始 总体 μ
SAMPLE 2：x21 x22 x23 x24...x2n
X2
SAMPLE k：xk1 xk2 xk3 xk4...xkn
t= X1 − X 2 s X1 − X 2 ~ t n1 + n2 − 2
X1 ， 2 样本含量较大时，服从标准正态分布。 样本含量较大时− X服从标准正态分布。 t= s X1 − X 2 ~ N (0,1)
计算
11 × 9.77 2 + 12 × 12.17 2 2 sC = = 122.93 12 + 13 − 2 sX1 − X 2 = 1 1 122.93 × ( ) = 4.439 + 12 13
二．t 二．t分布
t分布的演化
由于总体标准差往往是未知的， 由于总体标准差往往是未知的，此时 往往用样本标准差代替总体标准差， 往往用样本标准差代替总体标准差，
X −µ t= ~ tν s n
这里， 为自由度，取值为n 这里，ν为自由度，取值为n-1
由W.S. Gosset提出 Gosset提出
均数的(1- )100%可信区间 均数的(1-α)100%可信区间
P ( t > tα / 2,ν ) = α
P ( − tα / 2,ν < t < tα / 2,ν ) = 1 − α
1-α
P ( − tα / 2,ν
x−µ < < tα / 2,ν ) = 1 − α sx
P ( x − tα / 2,ν s x < µ < x + tα / 2,ν s x ) = 1 − α
精确性(Precision) 区间的大小， 精确性(Precision)：区间的大小，越 小越好。 小越好。 必须二者兼顾
可信区间的宽度及影响因素
均数的(1均数的(1-α)可信区间为
区间估计
【例4.1】 随机抽取某地25名正常成年 4.1】 随机抽取某地25名正常成年 男子，测得该样本的脉搏均数为73.6 男子，测得该样本的脉搏均数为73.6 标准差为6.5次 次/分，标准差为6.5次/分，估计正常 成年男子脉搏总体均数。 成年男子脉搏总体均数。
区间估计的实质
假设某个总体的均数为 ，需要找到两 个量A 个量A和B，使得在一个比较高的可信 度下( 95%)，区间(A,B)能包含 度下(如95%)，区间(A,B)能包含 。 即 P(A< <B)=0.95
error)。 error)。
样本统计量的标准差反映了从某个总体中随机 抽样所得样本之均数分布的离散程度。 抽样所得样本之均数分布的离散程度。
标准误的计算
σX = 计算公式为 n σ
其中， 为总体标准差， 其中，σ为总体标准差，n为抽样的样 本例数 在研究工作时 由于总体标准差 工作时， 总体标准差常常 在研究工作时，由于总体标准差常常 未知，可以利用样本标准差近似估计 未知，
-t
0
t
统计推断
所谓统计推断(statistical inference)， 是指如何抽样，以及如何用样本 是指如何抽样， 性质推断总体特征。 性质推断总体特征。
参数估计(parameter 参数估计(parameter estimation) 假设检验(hypothesis 假设检验(hypothesis testing)
t分布曲线下的面积
n +1 Γ − ( n +1) 2 x2 2 1 + f ( x) = n n nπ Γ 2
-t
0
t
t界值表
单侧： 单侧： P(t <-tα,ν)= α或 P(t P(t >tα,ν)= α P(t 双侧： 双侧： P(t <-tα/2,ν)+ P(t >tα/2,ν)= α P(t P(t :P(1即:P(-tα/2,ν<t <tα/2,ν)= 1-α [例] 查t界值表得t值表达式 界值表得t t 0.05,10=2.228 (双侧） (双侧 双侧） t 0.05,10=1.812 (单侧） (单侧 单侧）
α/2 α/2
-tα/2, v
0
tα/2, v
均数的95%可信区间 均数的95%可信区间
样本含量不是很大时， 样本含量不是很大时，
(X
− t 0.025 ,ν s X , X + t 0.025 ,ν s X
)
样本含量较大时，t分布逼近u分布 样本含量较大时， 分布逼近u
(X −u
0.025 X
s , X + u0.025 s X )
k个样本均数的频数分布图
Xk
从正态总体中随机抽样， 从正态总体中随机抽样，其样本均数 服从正态分布 从任意总体中随机抽样， 从任意总体中随机抽样，当样本含量 足够大时， 足够大时，其样本均数的分布逐渐逼 近正态分布
均数的抽样误差 x -µ的分布
3. 标准误的定义
抽 样 误 差 的 标 准 差 称 为 标 准 误 (standard
可信区间的定义
按一定的概率或可信度(1 α)用一个区间 按一定的概率或可信度(1-α)用一个区间 (1来估计总体参数所在的范围， 来估计总体参数所在的范围，该范围通 常称为参数的可信区间或者置信区间 常称为参数的可信区间或者置信区间 可信区间或者 interval，CI), ),预先给定的概 (confidence interval，CI),预先给定的概 (1-α)称为可信度或者 称为可信度或者置信度 率(1-α)称为可信度或者置信度 level),常取95% 99%。 ),常取95%或 (confidence level),常取95%或99%。 可信区间( 可信区间(CL, CU )是一开区间 CL、CU 称 为可信限
抽样研究的目的是要用样本信息推断总 体特征， 体特征，称统计推断
1. 抽样误差的定义
假如事先知道某地七岁男童的平均身高为 119.41cm。为了估计七岁男童的平均身高（ 119.41cm。为了估计七岁男童的平均身高（总体 均数）， ），研究者从所有符合要求的七岁男童中每 均数），研究者从所有符合要求的七岁男童中每 次抽取100人 共计抽取了三次。 次抽取100人，共计抽取了三次。
抽样误差
抽样误差的定义
【定义】由于个体变异的存在，在抽样 定义】由于个体变异的存在， 研究中产生样本统计量和总体参数之 间的差异，称为抽样误差 抽样误差（ 间的差异，称为抽样误差（sampling error） error）。
各种参数都有抽样误差，这里我们以均数为 各种参数都有抽样误差， 研究对象
双 侧 t 0.05 , 23 = 2.069 ( 273.18 − 231.86) m 2.069 × 4.439 = 32.14, 50.50
可信区间的两个要素
可信度（Confidence) 准确性， 可信度（Confidence)：准确性，可靠 性，即1 -α。
一般取90%,95 一般取90%,95％,可人为控制 90%,95％
均数之差可信区间的计算
正常组
µ 1＝？
肝炎组
µ 2＝？
µ 1- µ 2 ＝？
均 数:273.18ug/dL 标准差:9.77ug/dL