考研数学模拟测试题完整版及答案解析数三
考研数学(数学三)模拟试卷369(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷369(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设f(x)是(一∞,+∞)内以T为周期的连续奇函数,则下列函数中不是周期函数的是( ).A.f(t)dtB.f(t)dtC.f(t)dtD.tf(t)dt正确答案:D解析:因f(x)是周期为T的连续周期奇函数,则其原函数也是周期函数.据此,可知(A)、(B)、(C)中的函数都是周期函数.但(D)中变项积分不是f(x)的原函数,因而不是周期函数.解一(D)中函数不是周期函数.事实上,令φ(x)=tf(t)dt,则故(D)中函数不是周期函数.解二下证(A)、(B)、(C)中函数均是周期函数.对于(A),令g(x)=f(t)dt,则对于(B),令h(x)=f(t)dt,则故h(x)=h(x+T).同法可证均是周期为T的周期函数,故其差也是周期为T的周期函数.仅(D)入选.2.若直线y=x与对数曲线y=logax相切,则a=( ).A.eB.1/eC.eeD.ee-1正确答案:D解析:两曲线相切即两曲线相交且相切,而两曲线相切就是在切点导数值相等,相交就是在交点(切点)其函数值相等.据此可建立两个方程求解未知参数.由y′=1=(logax)=该点也在曲线y=logax上,于是有故=lna,所以a=ee -1.仅(D)入选.3.设f(x)g(x)在点x=0的某邻域内连续,且f(x)具有一阶连续导数,满足=0,f′(x)=一2x2+g(x一t)dt,则( ).A.x=0为f(x)的极小值点B.x=0为f(x)的极大值点C.(0,f(0))为曲线y=f(x)的拐点D.x=0不是f(x)的极值点,(0,f(0))也不是曲线y=f(x)的拐点正确答案:C解析:由f′(x)的表示式易知f′(0)=0,为判定选项的正确性,只需考察.f″(0)的符号的有关情况,为此计算,看其是否等于非零常数.由有f″(x)=-4x+g(x),则=-4+0=-4,可见在x=0的两侧因x变号,f″(x)也变号,因而(0,f(0))为曲线y=f(x)的拐点.仅(C)入选.4.计算二重积分I==( ).A.π2/32B.-π2/32C.π/16D.π/4正确答案:A解析:由所给的二次积分易求出其积分区域如下图所示.由于积分区域为圆域的一部分,且被积函数又为f(x2+y2),应使用极坐标求此二重积分.所给曲线为(y+1)2+x2=1的上半圆周,区域D如下图所示,其直角坐标方程为(y+1)2+x2≤1,即y2+x2≤一2y,将x=rcosθ,y=rsinθ代入得到极坐标系下的方程r2≤一2rsinθ,即r≤一2sinθ.于是D={(r,θ)|-π/4≤θ≤0,0≤r≤一2sinθ},则仅(A)入选.5.设四阶行列式D=,则第3列各元素的代数余子式之和A13+A23+A33+A34=( ).A.3B.一3C.2D.1正确答案:B解析:尽管直接求出每个代数余子式的值,再求其和也是可行的,但较繁,一般不用此法.因行列式D中元素aij的代数余子式Aij与aij的值无关,仅与其所在位置有关.常用此性质构成新行列式,利用行列式性质求出各元素的代数余子式的线性组合的值.将行列式D的第3列元素换为1,1,1,1,则6.设A是四阶方阵,A*是A的伴随矩阵,其特征值为1,一1,2,4,则下列矩阵中为可逆矩阵的是( ).A.A—EB.2A—EC.A+2ED.A一4E正确答案:A解析:利用矩阵行列式与其矩阵特征值的关系:|A|=λ1λ2…λn判别之,其中λi为A的特征值.解一设A*的特征值为,则于是|A*|=1.(-1).2.4=-8,因而|A|4-1=|A*|,故|A|3=-8,即|A|=-2,所以A的特征值为因而A-E的特征值为μ1=-2-1=-3,μ2=2-1=1,μ3=-1-1=-2,μ4=-1/2-1=-3/2,故|A-E|=μ1.μ2.μ3.μ4=-9≠0,所以A-E可逆.解二由A的特征值易求得其他矩阵2A+E,A+2E,A-2E的特征值分别都含有零特征值,因而其行列式等于0,它们均不可逆.仅(A)入选.7.已知随机变量(X,Y) 的联合密度函数为则t的二次方程t2一2Xt+Y =0有实根的概率为( ).A.eB.e-1C.e-2D.e2正确答案:B解析:先找出有实根的X与Y所满足的条件,再在此条件范围内求出其概率.因二次方程t2一2Xt+Y=0有实根的充要条件为4X2一4Y≥0,即X2≥Y,如下图所示,故所求概率为8.设X1,X2,…,Xn,…是相互独立的随机变量序列,Xn服从参数为n(n=1,2,…)的指数分布,则下列不服从切比雪夫大数定律的随机变量序列是( ).A.X1,X2,…,Xn,…B.X1,22X2,…,n2Xn,…C.X1,X2/2,…,Xn/n,…D.X1,2X2,…,nXn,…正确答案:B解析:根据切比雪夫大数定律所要求的条件判别.切比雪夫大数定律要求三个条件:首先是要求X1,X2,…,Xn相互独立;其次是要求Xn(n=1,2,…)的期望和方差都存在;最后还要求方差一致有界,即对任何正整数n,D(Xn)<L,其中L是与n无关的一个常数.题中四个随机变量序列显然全满足前两个条件,由于对于(A),有对于(B),有E(n2Xn)=n2E(Xn)=n2.=n,D(n2Xn)=n4D(Xn)=n4.=n2;对于(C),有对于(D),有E(nXn)=nE(Xn)=n.=1,D(nXn)=n2D(Xn)=n2.=1.显然(B)序列的方差D(n2Xn)不能对所有n均小于一个共同常数,因此不满足切比雪夫大数定律.综上分析,仅(B)入选.填空题9.若函数y=[f(x2),其中f为可微的正值函数,则dy=_________.正确答案:解析:y为幂指函数,为求其导数,可先用取对数法或换底法处理,再用复合函数求导法则求之.因为y=,于是故dy=y′dx=[2f′(x2)(f(x2)lnf(x2))]dx.10.=_________.正确答案:arctane—π/4解析:分母提取因子n,再使用定积分定义求之.原式==arctanex=arctane—π/4.11.e-y2dy=___________.正确答案:解析:直接先求内层积分无法求出.可变更积分次序,再用Γ函数计算较简;也可用分部积分法求之.解—解二12.差分方程yx+1一的通解是___________.正确答案:解析:先求对应的齐次差分方程的通解,再求特解.齐次差分方程yx+1-yx=0的特征方程为λ-=0,解得特征根λ=,故齐次差分方程的通解为C()x 因a=(特征根不等于底数),故其特解为,代入原方程得A=.故所求通解为13.设随机变量X和Y的联合概率分布为则X和Y的协方差cov(X,Y)=_________.正确答案:0.056解析:由定义或同一表格法分别求出X,Y与XY的分布,再求其期望.解一由表易知因此E(X)=0×0.40+1×0.60=0.60,E(Y)=(一1)×0.18+0×0.50+1×0.32=0.14.E(XY)=(-1)×0.08+0×0.70+1×0.22=0.14.从而cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.056.解二用同一表格法求之.为此将所给的联合分布改写成下表,并在同一表格中求出X,Y及XY的分布.故下同解一.14.设X1,X2,…,Xn是取自正态总体N(0,σ2)(σ>0)的简单随机样本,Xi(1≤k≤n),则cov()=___________.正确答案:解析:利用协方差的有关性质,特别是线性性质求之.由于Xi,Xj(i≠j)独立,cov(Xi,Xj)=0,又cov(Xi,Xj)=D(Xi)=σ2,则解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学三)模拟试卷440(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷440(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设f(χ)在χ=1的某邻域内连续,且则χ=1是f(χ)的( ).A.不可导点B.可导点但不是驻点C.驻点且是极大值点D.驻点且是极小值点正确答案:C解析:因为f(χ)在χ=1连续,所以f(χ+1)=f(1),由知ln[f(χ+1)+1+3sin2χ]=ln[f(1)+1]=0,即f(1)=0.则当χ→0,ln[f(χ+1)+1+3sin2χ]~f(χ+1)+3sin2χ,推得原式==4,即=2-3=-1,于是所以χ=是f(χ)的驻点.又由=-1,以及极限的保号性知当χ∈(1)时,<0,即f(χ)<0,也就是f(χ)<f(1).所以f(1)是极大值χ=1是极大值点.故应选C.2.设在区间[a,b]上,f(χ)>0,f′(χ)<0,f〞(χ)>0,令S1=∫abf(χ)d χ,S2=f(b)(b-a),S3=[f(a)+f(b)](b-a),则( ).A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S3<S1<S2D.S2<S3<S1正确答案:B解析:由f′(χ)<0,f〞(χ)>0知曲线y=f(χ)在[a,b]上单调减少且是凹的,于是有f(b)<f(χ)<f(a)+(χ-a),χ∈(a,b).∫ABf(b)dχ=f(b)(b -a)=S2,所以,S2<S1<S3 故应选B.3.设z=f(u),方程u=φ(u)+∫yχp(t)dt确定是χ,y的函数,其中f(u),φ(u)可微,p(t),φ′(u)连续且φ′(u)≠1,则=( ).A.p(χ)B.p(y)C.0D.z正确答案:C解析:方程u=φ(u)+∫yχp(t)dt两端分别关于χ,y求偏导数,得由z=f(u)可微,得故应选C.4.设D是由直线χ=-1,y=1与曲线y=χ3所围成的平面区域,D1是D在第一象限的部分,则I==( ).A.2χydσB.2sinydσC.D.0正确答案:B解析:积分区域D如图5—2所示:被分割成D1,D2,D3,D4四个小区域,其中D1,D2关于y轴对称,D3,D4关于χ轴对称,从而由于χy关于χ或y都是奇函数,则而siny关于χ是偶函数,关于y是奇函数,则故应选B.5.设α1,α2,α3,α4是四维非零列向量,A=(α1,α2,α3,α4),A*为A的伴随矩阵,又知方程组Aχ=0的基础解系为(1,0,2,0)T,则方程组A*χ=0基础解系为( ).A.α1,α2,α3B.α1+α2,α2+α3,α3+α1C.α2,α3,α4或α1,α2,α4D.α1+α2,α2+α3,α3+α4,α4+α1正确答案:C解析:由Aχ=0的基础解系仅含有一个解向量知,R(A)=3,从而R(A*)=1,于是方程组A*χ=0的基础解系中含有3个解向量.又A*A=A*(α1,α2,α3,α4)=|A|E=O,所以向量α1,α2,α3,α4是方程组A*χ=0的解.因为(1,0,2,0)T是Aχ=0的解,故有α1+2α3=0,即α1,α3线性相关.从而,向量组α1,α2,α3与向量组α1,α2,α3,α4均线性相关,故排除A、B、D选项.事实上,由α1+2α3=0,得α1=0α2-2α3+0α4,即α1可由α2,α3,α4线性表示,又R(α1,α2,α3,α4)=3,所以α2,α3,α4线性无关,即α2,α3,α4为A*χ=0的一个基础解系.故应选C.6.设A,B为挖阶矩阵,下列命题成立的是( ).A.A与B均不可逆的充要条件是AB不可逆B.R(A)<n与R(B)<n均成立的充要条件是R(AB)<nC.Aχ=0与Bχ=0同解的充要条件是A与B等价D.A与B相似的充要条件是E-A与E-B相似正确答案:D解析:A与B类似,故均错误,而C仅是必要而非充分条件,故应选D.事实上,若A~B,则由相似矩阵的性质知E-A~E-B;反之,若E-A~E-B,则E-(E-A)~E-(E-B),即A~B.对于选项A,若A与B均不可逆,则|A|=|B|=0,从而|AB|=|A||B|=0,即AB不可逆,但若AB不可逆,推出A与B均不可逆,如A=E,B=,则AB=B不可逆,但A可逆.对于选项B,与选项A 相近,由于R(AB)≤min{R(A),R(B)},故若R(A)<n与R(B)<n均成立,则R(AB)<n但反之,若R(AB)<n,推不出R(A)<n或R(B)<n,如A=E,B=,则R(AB)=R(B)=1<2,但R(A)=2.对于选项C,由同型矩阵A与B等价R(A)=R(B)可知,若Aχ=0与Bχ=0同解,则A与B等价;但反之不然,如A=,B=,则A,B等价,但Aχ=0与Bχ=0显然不同解.故应选D.7.设随机变量X~N(μ,42),Y=N(μ,52),记P1=P{X≤μ-4},P2=P{Y≥μ+5},则( ).A.对任意实数μ,有P1=p2B.对任意实数μ,有P1<p2C.对任意实数μ,有p1>p2D.对μ的个别值,有P1=p2正确答案:A解析:由于~N(0,1),~N(0,1),所以故p1:p2,而且与μ的取值无关.故应选A.8.设随机变量X的概率密度为f(χ)=表示对X的3次独立重复观测中事件{X≤}发生的次数,则P(Y≤2)=( ).A.B.C.D.正确答案:C解析:故P{Y≤2}=1-P{Y-3}=1-.故应选C.填空题9.∫arctan(1+)dχ=_______.正确答案:解析:令=t,则χ=t2,所以∫arctan(1+)dχ=∫arctan(1+t)dt2=t2arctan(1+t)-=t2arctan(1+t)-∫(1-)dt =t2arctan(1+t)-t+ln(2+t2+2t)+C =χarctan+C.故应填10.没函数y=y(χ)由方程χef(y)=eyln29确定,其中f具有二阶导数且f′≠1,则=_______.正确答案:解析:方程两边取自然对数,得lnχ+f(y)=y+ln(ln29),方程两边对χ求导,得+f′(y).y′=y′,解得y′=则y〞=11.设四次曲线y=aχ4+bχ3+cχ2+dχ+f经过点(0,0),并且点(3,2)是它的一个拐点.该曲线上点(0,0)与点(3,2)的切线交于点(2,4),则该四次曲线的方程为y=_______.正确答案:解析:因曲线经过(0,0)点,则f=0;①又经过(3,2)点,所以y|χ=3=81a+27b+9c+3d+f=2;②又因为(3,2)是拐点,所y〞|χ=3=(12aχ+6bχ+2c)|χ=3=108a+18b+2c=0;③又因为经过(0,0)的切线斜率为=2,所以y′|χ=0=(4aχ3+3bχ2+2cχ+d)|χ=0=d=2;④经过点(3,2)的切线斜率为=-2,所以y′|χ=3=(4aχ+3bχ+2cχ+d)|χ=3=108a+27b+6c+d=-2.⑤联立解①~⑤得a=,b=-,c=,d=2,f=0.所以曲线方程为y=+2χ.故应填.12.差分方程yχ+1-的通解为_______.正确答案:yχ=,C∈R解析:齐次差分方程yχ+1-yχ=0的特征方程为λ-=0,解得λ=.故齐次差分方程的通解为C.设特解为yχ*=A,代入原方程得A=.故所求通解为yχ=,C∈R.故应填yχ=,C∈R.13.设A是3阶实对称矩阵,且满足A2+2A=O,若kA+E是正定矩阵,则k_______.正确答案:小于或<解析:由A2+2A=O知,A的特征值是0或-2,则kA+E的特征值是1-2k+1.又因为矩阵正定的充要条件是特征值大于0,所以,k<.故应填小于.14.设E(X)=2,E(y)V1,D(X)=25,D(y)=36,ρXY=0.4,则E(2X -3Y+4)2=_______.正确答案:305解析:E(2X-3Y+4)2=D(2X-3Y+4)+[E(2X-3Y+4)]2 =4D(X)+9D(Y)+2Cov(2X,-3Y)+[2E(X)-3E(Y)+4]2=305.故应填305.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学三)模拟试卷280(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷280(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.函数f(x)=x3一3x+k只有一个零点,则k的取值范围为A.|k|>2.B.|k|>1.C.|k|<1.D.|k|<2正确答案:A解析:f(x)为三次多项式,至少有一个零点y=f(x)只有以下三种情形f(x)只有一个零点同号f(一1),f(1)>0k>2;f(一1),f(1)k|k|>2.故选A.2.设函数则f10(1)=A.101×210B.111×211.C.一101×210.D.一101×211正确答案:C解析:故选C.3.在反常积分①②③④中收敛的是A.①,②B.①,③C.②,④D.③,④正确答案:B解析:由题设选项可知,这4个反常积分中有两个收敛,两个发散.方法1。
找出其中两个收敛的.①由知①收敛③知③收敛.因此选B.方法2。
找出其中两个发散的.对于②:由而发散,知发散,即②发散.④由可知发散,即④发散.故选B.4.下列级数中属于条件收敛的是A.B.C.D.正确答案:D解析:【分析一】A,B,C不是条件收敛.由其中收敛,发散→A发散.由其中均收敛→B绝对收敛.由→C绝对收敛.因此应选D.【分析二】直接证明D条件收敛单调下降趋于零(n→∞)→交错级数收敛.又而发散→发散→D条件收敛.故应选D.5.设A是m×n矩阵,且方程组Ax=b有解,则A.当Ax=b有唯一解时,必有m=n.B.当Ax=b有唯一解时,必有r(A)=nC.当Ax=b有无穷多解时,必有m<n.D.当Ax=b有无穷多解时,必有r(A)<m.正确答案:B解析:方程组Ax=b有唯一解的列数,所以B正确.注意方程组有唯一解不要求方程的个数,n和未知数的个数n必须相等,可以有m>n.例如方程组Ax=b 有无穷多解的列数.当方程组有无穷多解时,不要求方程的个数必须少于未知数的个数,也不要求秩r(A)必小于方程的个数,例如6.下列矩阵中不能相似对角化的是A.B.C.D.正确答案:C解析:A~AA有n个线性无关的特征向量.记C项的矩阵为C,由可知矩阵C的特征值为λ=1(三重根),而那么n—r(E—C)=3—2=1.说明齐次线性方程组(E—C)x=0只有一个线性无关的解,亦即λ=1只有一个线性无关的特征向量,所以C不能对角化.故选C.7.设随机变量X的密度函数为且已知,则θ=A.3B.ln3C.D.正确答案:C解析:本题有两个参数,先由密度函数的性质确定k的值,再由已知概率确定θ的值.故即又所以故选C.8.设随机变量X的密度函数为则下列服从标准正态分布的随机变量是A.B.C.D.正确答案:D解析:由于可知X~(一3,2),而A,B,C三个选项都不符合,只有D符合,可以验证即填空题9.=__________.正确答案:解析:【分析一】于是【分析二】其中用到了从(*)式也可以再用罗毕达法则.10.x轴上方的星形线:与x轴所围区域的面积S=________.正确答案:解析:x轴上方的星形线表达式为11.若f’(cosx+2)=tan2x+3sin2x,且f(0)=8,则f(x)=________.正确答案:解析:令t=cosx+2→cosx=t-2,cos2x=(t-2)2由因此12.一阶常系数差分方程yt+1一4t=16(t+1)4t满足初值y0=3的特解是yt=___________.正确答案:(2t2+2t+3)4t.解析:应设特解为yt=(At2+Bt+c)B,C其中A,B,C为待定常数.令t=0可得y0=C,利用初值y0=3即可确定常数C=3.于是待求特解为yt=(At2+Bt+3)4t.把yt+1=[A(t+1)2+B(t+1)+3]4t+1=4[At2+(2A+B)t+4+B+3]4t与yt代入方程可得yt+1—4yt=4(2At+A+B)4t,由此可见待定常数A与B应满足恒等式4(2At+A+B)≡16(t+1)A=B=2.故特解为yt=(2t2+2t+3)4t.13.已知.A*是A的伴随矩阵,则=________.正确答案:解析:因为AA*=A*A=|A|E,又所以于是14.设X1,X2,…,Xn+1是取自正态总体N(μ,σ2)的简单随机样本,则服从____________分布.正确答案:解析:由于Xi(i=1,2,…,n+1)均来自同一总体,且相互独立.故EXi=p,DXi=σ2,Y是X的线性组合,故仍服从正态分布.所以解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学三)模拟试卷365(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷365(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.把当x→0时的无穷小量α=In(1+x2)一1n(1一x4),,γ=arctanx-x排列起来,使排在后面的是前一个的高阶无穷小,则正确的排列次序是A.α,β,γ.B.γ,α,β.C.α,γ,β.D.γ,β,α.正确答案:C解析:2.设a<x1<x2<x3<b,y=f(x)在(a,b)内二阶可导且f”(x)<0(x∈(a,b)),又则下列不等式成立的是A.k1>k2>k3.B.k1>k3>k2.C.k2>k1>k3.D.k3>k1>k2.正确答案:B解析:3.设δ>0,f(x)在(一δ,δ)有连续的三阶导数,f’(0)=f”(0)=0且,则下列结论正确的是A.f(0)是f(x)的极大值.B.f(0)是f(x)的极小值.C.(0,f(0))是y=f(x)的拐点.D.x=0不是f(x)的极值点,(0,f(0))也不是y=f(x)的拐点.正确答案:C解析:4.在反常积分中收敛的是A.①,②.B.①,③.C.②,④.D.③,④.正确答案:B解析:5.设A是3阶矩阵,其特征值为1,一1,一2,则下列矩阵中属于可逆矩阵的是A.A+E.B.A—E.C.A+2E.D.2A+E.正确答案:D解析:由于,故A可逆A的特征值不为0.由A的特征值为1,一1,一2,可知2A+E的特征值为3,一1,一3.所以2A+E可逆.故选(D).6.n维向量组(I):α1,α2,…,αs和向量组(Ⅱ):β1,β2,…,βi 等价的充分必要条件是A.秩r(Ⅰ)=r(Ⅱ)且s=t.B.r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n.C.向量组(Ⅰ)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价.D.向量组(Ⅰ)线性无关,向量组(Ⅱ)线性无关且s=t.正确答案:C解析:向量组等价的必要条件是秩相等,等价与向量的个数无关.例如:向量组(1,0,0),(2,0,0)与向量组(0,1,0),(0,2,0)的秩相等,但它们不等价;向量组(1,0,0),(2,0,0)与向量组(3,0,0)等价,但向量个数不同,故(A)不正确.r(I)=r(Ⅱ)=n是向量组(I)与向量组(Ⅱ)等价的充分条件,不必要.例如,向量组(1,0,0),(0,1,0)与向量组(2,0,0),(0,2,0)等价,但秩不为n.故(B)不正确.向量组(I)与向量组(I)的极大无关组等价,向量组(Ⅱ)与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价.如果向量组(I)的极大无关组与向量组(Ⅱ)的极大无关组等价,由等价的传递性自然有向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价,反之亦对.故(C)正确.应选(C).注意,等价与向量组的相关、无关没有必然的联系,故(D)不正确.7.设随机变量X的密度函数为且已知,则θ=A.3.B.1n3.C.D.正确答案:C解析:本题有两个参数,先由密度函数的性质确定k的值,再由已知概率确定θ的值.8.设随机变量X~N(μ,σ2),且满足P{X<σ}<P{X>σ},则μ/σ满足A.0<μ/σ<1.B.μ/σ>1.C.μ/σ=1.D.μ/σ<0.正确答案:B解析:由P{X<σ}<P{X>σ}=1一P{X≤σ}→P{X<σ}<.又P{X>μ}=P{X<μ}=,从而有P{X<σ}<P{X<μ},可知σ<μ,而σ>0,故μ/σ>1.因此选(B).填空题9.设,则=_________.正确答案:解析:10.设f(x)为连续函数,且f(0)=f(1)=1,F(x)=,则F’(1)=_________.正确答案:2解析:11.微分方程(x+y)dy+(y+1)dx=0满足y(1)=2的特解是y=___________.正确答案:解析:12.设某产品的需求函数Q=Q(p),它对价格的弹性为8(0<ε<1),已知产品收益R对价格的边际效应为c(元),则产品的产量应是___________个单位.正确答案:解析:13.已知,则A-1=_________.正确答案:解析:14.设(X,Y)服从下图矩形区域D上的均匀分布则正确答案:解析:解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三模试题及答案
考研数学三模试题及答案一、选择题(每题3分,共36分)1. 下列函数中,满足条件f(-x) + f(x) = 0的是:A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(x)D. f(x) = e^x2. 已知函数f(x)在区间(a, b)内可导,且f'(x) > 0,则f(x)在该区间内:A. 单调递增B. 单调递减C. 常数函数D. 无单调性3. 设曲线C:y^2 = 4x与直线l:x = 2 + t,y = 3 - 2t相切,则实数t的值为:A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数f(x) = 2x - 3,g(x) = x^2 + 1,若f[g(x)] = 9x^2 - 6x,则x的取值范围是:A. x > 1B. x < 1C. x > 0D. x < 05-10. (略,类似结构)二、填空题(每题4分,共24分)11. 若函数f(x) = √x在区间[0, 4]上的最大值为M,则M的值为________。
12. 设等比数列{an}的首项为1,公比为2,其前n项和为S_n,则S_5的值为________。
13. 若矩阵A = [1, 2; 3, 4],则|A| =________。
14. 设双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的离心率为2,且过点(1, √3),则a的值为________。
15-16. (略,类似结构)三、解答题(共40分)17. (12分)设函数f(x)在区间[a, b]上连续,且∫[a, b] f(x) dx = 3,证明对于任意的m,n ∈ [a, b],都有∫[a, b] f(x) dx ≥(1/(b-a)) * (m - n)^2。
18. (14分)已知某工厂生产商品x件的总成本为C(x) = 2000 +50x,销售每件商品的收入为p(x) = 110x - x^2,求该工厂的月利润最大值。
考研数学(数学三)模拟试卷485(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷485(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设当x→0时,esin x-ex与xn是同阶无穷小,则n的值为( )A.1。
B.2。
C.3。
D.4。
正确答案:C解析:本题考查同阶无穷小的概念。
利用sin x的泰勒展开式计算极限,从而确定n的值。
根据同阶无穷小的定义,因此n=3,此时。
故本题选C。
2.设(k=1,2,3),则有( )A.M1>M2>M3。
B.M3>M2>M1。
C.M2>M3>M1。
D.M2>M1>M3。
正确答案:D解析:本题考查定积分的比较。
根据定积分的线性性质可以将M2和M3分别化为,对于M3,可以利用公式cos(x+π)=-cosx化简定积分。
通过比较被积函数在积分区间的正负比较Mk(k=1,2,3)的大小。
根据积分区间的可加性,因此M2>M1>M3,故本题选D。
3.已知dx(x,y)=[ax2y2+sin(2x+3y)]dx+[2x3y+bsin(2x+3y)]dy,则( )A.B.C.D.正确答案:A解析:本题考查多元函数偏导数。
分别求出,观察这两个混合偏导数是否连续,如果连续,则两者相等,利用对应项系数相等的性质得出a和b的值。
由dx(x,y)=[ax2y2+sin(2x+3y)]dx+[2x3y+bsin(2x+3y)]dy可知上面第一个式子对y求偏导,第二个式子对x求偏导,得2ax2y+3cos(2x+3y)=6x2y+2bcos(2x+3y) 观察对应项系数,可得a=3,。
故本题选A。
4.级数( )A.绝对收敛。
B.条件收敛。
C.发散。
D.无法判断。
正确答案:B解析:本题考查数项级数的敛散性。
首先判断是否收敛,如果收敛,则原级数绝对收敛;如果发散,再判断是否收敛,如果收敛,则原级数条件收敛;否则原级数发散。
设先判断的敛散性,因为,且调和级数发散,则由比较审敛法可知发散。
考研数学(数学三)模拟试卷488(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷488(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.若f’’(x)在(0,2)上连续,则( ).A.点(1,f(1))是曲线y=f(x)的拐点B.f(1)是函数y=f(x)的极小值C.f(1)是函数y=f(x)的极大值D.点(1,f(1))不是曲线y=f(x)的拐点,f(1)也不是函数y=f(x)的极值正确答案:C解析:由得f’(1)=0,且存在δ﹥0,当0﹤|x-1|﹤δ时,,当x∈(1-δ,1)时,f’>0;当x∈(1,1+δ)时,f’﹤0;从而x=1为f(x)的极大值点;由,存在δ﹥0,当0﹤|x-1|﹤δ时,,从而f’’﹤0,即(1,f(1))不是y=f(x)的拐点,应选(C).2.xex+1=的根的个数为( ).A.0B.1C.2D.3正确答案:B解析:令f(x)=xex+1-,由f’(x)=(x+1)ex+1=0得x=﹣1,f’’(x)=(x +2)ex+1,由f’’(﹣1)=1>0得x=﹣1为最小值点,最小值为m=f(﹣1)=3.设f(x)连续,且满足,则关于f(x)的极值问题有( ).A.存在极小值B.存在极大值C.存在极小值D.存在极小值正确答案:A解析:等式两边求导,得f’(x)+2f(x)=2x,其通解为f(x)=因为f(0)=,所以C=1,从而f(x)=e﹣2x+令f’(x)=﹣2e﹣2x+1=0,得唯一驻点为x=因为f’’(x)=4e﹣2x>0,故x=是极小值点,极小值为,选(A).4.当x>0时,A.B.C.D.正确答案:A解析:,由拉格朗日中值定理,存在θ(x)∈(0,1),使得f(x+1)-f(x)=f’[x +0(x)],应选(A).5.已知四维列向量α1,α2,α3线性无关,若向量βi(i=1,2,3,4)是非零向量且与向量α1,α2,α3均正交,则向量组β1,β2,β3,β4的秩为( ).A.1B.2C.3D.4正确答案:A解析:设αi=(αi1,αi2,αi3,αi4)T(i=1,2,3),由已知条件有βiTαj=0(i =1,2,3,4;j=1,2,3).即βi(i=1,2,3,4)为方程组的非零解.由于α1,α2,α3线性无关,所以方程组系数矩阵的秩为3,所以其基础解系含1个解向量,从而向量组β1,β2,β3,β4的秩为1,选(A).6.设A=(α1,α2,α3,α4)为四阶方阵,且α1,α2,α3,α4为非零向量组,设AX=0的一个基础解系为(1,0,﹣4,0)T,则方程组A*X=0的基础解系为( ).A.α1,α2,α3B.α2,α3,α1+α3C.α1,α3,α4D.α1+α2,α2+2α4,α4正确答案:D解析:由r(A)=3得r(A*)=l,则A*X=0的基础解系由3个线性无关的解向量构成.由α1-4α3=0得α1,α3成比例,显然(A)、(B)、(C)不对,选(D).7.设X~N(1,4),Y~N(3,16),P{Y=aX+b)=1,且ρXY=﹣1,则( ).A.a=2,b=5B.a=﹣2,b=﹣5C.a=﹣2,b=5D.a=2,b=﹣5正确答案:C解析:由E(Y)=aE(X)+b得a+b=3,再由D(Y)=a2D(X)得4a2=16,因为ρXY=﹣1,所以a,A.~N(0,1)B.~N(0,1)C.~t(n-1)D.~t(n-1)正确答案:D解析:因为X1,X2,…,Xn与总体服从相同的分布,所以显然,所以(B)不对;,选(D).填空题9.正确答案:e12解析:由x-sinx~得10.设由x=zey+z确定z=z(x,y),则.正确答案:解析:将x=e,y=0代入得z=1.方法一:z=zey+z两边求微分得dx=zey +zdy+(z+1)ey+zdz,将x=e,y=0,z=1代入得.方法二:.11.正确答案:解析:因为为奇函数,所以12.y’’-2y’-3y=e﹣x的通解为.正确答案:y=解析:特征方程为λ2-2λ-3=0,特征值为λ1=﹣1,λ2=3,则方程y’’-2y’-3y=0的通解为y=.令原方程的特解为y0(x)=Axe﹣x,代入原方程得A=,于是原方程的通解为13.设A为三阶实对称矩阵,a1=(m,﹣m,1)T是方程组AX=0的解,a2=(m,1,1-m)T是方程组(A+E)X=0的解,则m=.正确答案:1解析:由AX=0有非零解得r(A)<3,从而λ=0为A的特征值,a1=(m,﹣m,1)T为其对应的特征向量.由(A+E)X=0有非零解得r(A+E)<3,|A+E|=0,λ=﹣1为A的另一个特征值,其对应的特征向量为a2=(m,1,1-m)T,因为A为实对称矩阵,所以A的不同特征值对应的特征向量正交,于是有m=1.14.设随机变量X,Y独立,且X~E(),Y的概率密度为f(y)=则D(XY)=.正确答案:4-π解析:由X~E()得E(X)=2,E(X2)=4,故D(XY)=E[(XY)2]-[E(XY)]2=E(X2)·E(y2)-[E(X)·E(y)]2=4-π.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学三)模拟试卷360(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷360(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.=A.1.B..C..D.一1.正确答案:B解析:2.函数f(x)=cosx+xsinx在(一2π,2π)内的零点个数为A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.正确答案:D解析:3.设f(x)在[0,1]上连续,且f(x)+f(1一x)≠0,则=A.0.B..C..D.1.正确答案:B解析:该积分不可能直接计算,需作变量替换得出一个类似的积分,二者合并后消去f(x).令1一x=t,x=1一t则4.设函数f(r)当r>0时具有二阶连续导数,令,则当x,y,z与t不全为零时=A.B.C.D.正确答案:C解析:5.已知,则代数余子式A21+A22=A.3.B.6.C.9.D.12.正确答案:B解析:6.已知α1,α2,α3,α4是3维非零向量,则下列命题中错误的是A.如果α4不能由α1,α2,α3线性表出,则α1,α2,α3线性相关.B.如果α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,那么α1,α2,α4也线性相关.C.如果α3不能由α1,α2线性表出,α4不能由α2,α3线性表出,则α1可以由α2,α3,α4线性表出.D.如果秩r(α1,α1+α2,α2+α3)=r(α4,α1+α4,α2+α4,α3+α4),则α4可以由α1,α2,α3线性表出.正确答案:B解析:例如α1=(1,0,0)T,α2=(0,1,0)T,α3=(0,2,0)T,α4=(0,0,1)T,可知(B)不正确.应选(B).关于(A):如果α1,α2,α3线性无关,又因α1,α2,α3,α4是4个3维向量,它们必线性相关,而知α4必可由α1,α2,α3线性表出.关于(C):由已知条件,有(I)r(α1,α2)≠r(α1,α2,α3),(Ⅱ)r(α2,α3)≠r(α2,α3,α4).若r(α2,α3)=1,则必有r(α1,α2)=r(α1,α2,α3),与条件(I)矛盾.故必有r(α2,α3)=2.那么由(Ⅱ)知r(α2,α3,α4)=3,从而r(α1,α2,α3,α4)=3.因此α1可以由α2,α3,α4线性表出.关于(D):经初等变换有(α1,α1+α2,α2+α3)→(α1,α2,α2+α3)→(α1,α2,α3),(α4,α1+α4,α2+α4,α3+α4)→(α4,α1,α2,α3)→(α1,α2,α3,α4),从而r(α1,α2,α3)=r(α1,α2,α3,α4).因而α4可以由α1,α2,α3线性表出.7.在区间(一1,1)上任意投一质点,以X表示该质点的坐标.设该质点落在(一1,1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比,则A.X与|X|相关,且相关系数|ρ|=1.B.X与|X|相关,但|ρ|<1.C.X与|X|不相关,且也不独立.D.X与|X|相互独立.正确答案:C解析:8.设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,,则当n→∞时Yn以正态分布为极限分布,只要X1,…,Xn,…A.服从同一离散型分布.B.服从同一连续型分布.C.服从同参数的超几何分布.D.满足切比雪夫大数定律.正确答案:C解析:根据林德伯格一列维中心极限定理,如果X1,X2,…Xn,…相互独立同分布且期望、方差都存在,只有(C)满足该定理条件,因此应选(C).填空题9.与曲线(y一2)2=x相切,且与曲线在点(1,3)处的切线垂直,则此直线方程为__________.正确答案:解析:10.设,g(x)在x=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0).又F(x)=f[g(x)],则F’(0)=____________.正确答案:4e解析:11.累次积分=____________.正确答案:解析:12.设,其中f(u,v)是连续函数,则dz=___________·正确答案:解析:13.已知矩阵只有一个线性无关的特征向量,那么矩阵A的特征向量是__________.正确答案:k(一1,1,1)T,k≠0为任意常数解析:“特征值不同特征向量线性无关”,已知矩阵A只有一个线性无关的特征向量,故特征值λ0必是3重根,且秩r(λ0E—A)=2.由∑λi=∑aii 知3λ0=4+(一2)+1,得特征值λ=1(3重).又因为秩r(E一A)=2,因此有a=-2.此时(E一A)x=0的基础解系是(一1,1,1)T.故A的特征向量为k(一1,1,1)T,k≠0为任意常数.14.一学徒工用同一台机床连续独立生产3个同种机器零件,且第i个零件是不合格品的概率Pi=(i=1,2,3).则三个零件中合格品零件的期望值为__________·正确答案:解析:解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学三)模拟试卷384(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷384(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.若≠0,则( ).A.k=2,a=一2B.k=一2,a=一2C.k=2,a=2D.k=一2,a=2正确答案:A解析:当x→0时,,cos2x-=(1-)-(1-cos2x),因为1一=x2,1-cos2x~(2x)2=2x2所以cos2x一=(1-)-(1-cos2x)~-x2,故k=2,a=一2,选(A).2.y=坐的渐近线的条数为( ).A.2B.3C.4D.5正确答案:C解析:由为两条水平渐近线;由为铅直渐近线;由=0得曲线没有斜渐近线,故曲线共有4条渐近线,选(C).3.设D为xOy平面上的有界闭区域,z=f(x,y)在D上连续,在D内可偏导且满足+=一z,若f(x,y)在D内没有零点,则f(x,y)在D上( ).A.最大值和最小值只能在边界上取到B.最大值和最小值只能在区域内部取到C.有最小值无最大值D.有最大值无最小值正确答案:A解析:因为f(x,y)在D上连续,所以f(x,y)在D上一定取到最大值与最小值,不妨设f(x,y)在D上的最大值M在D内的点(x0,y0)处取到,即f(x0,y0)=M ≠0,此时==0,这与≠0矛盾,即f(x,y)在D上的最大值M不可能在D内取到,同理f(x,y)在D上的最小值m不可能在D内取到,选(A).4.设常数a>0,正项级数收敛,则( ).A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.级数敛散性与a有关正确答案:C解析:因为0≤又因为都收敛,所以收敛,根据比较审敛法得收敛,即(一1)n绝对收敛,选(C).5.A=,其中a1,a2,a3,a4两两不等,下列命题正确的是( ).A.方程组AX=0只有零解B.方程组ATX=0有非零解C.方程组ATAX=0只有零解D.方程组AATX=0只有零解正确答案:D解析:由=(a3一a1)(a3一a2)(a2一a1)≠0,得r(A)=3.由r(A)=3<4,得方程组Ax=0有非零解,不选(A);由r(AT)=r(A)=3,得方程组ATX=0只有零解,不选(B);由r(A)=r(ATA)=3<4,得方程组A TAX=0有非零解,不选(C);由R(A)=r(AAT)=3,得方程组AATX=0只有零解,选(D).6.对三阶矩阵A的伴随矩阵A*先交换第一行与第三行,然后将第二列的一2倍加到第三列得一E,且|A|>0,则A等于( ).A.B.C.D.正确答案:A解析:由一E=E13A*E23(一2),得A*=一(一2)=一E13E23(2),因为|A*|=|A|2=1且|A|>0,所以|A|=1,于是A*=A-1 故A=(A*)-1=-(2)=-E23(-2)E13=-,选(A)7.设连续型随机变量X的分布函数F(x)严格递增,Y~U(0,1),则Z=F1(Y)的分布函数( ).A.可导B.连续但不一定可导且与X分布相同C.只有一个间断点D.有两个以上的间断点正确答案:B解析:因为Y~U(0,1),所以Y的分布函数为FY(y)=,则Z=F-1(Y)的分布函数为FZ(Z)=P{Z≤z}=P{F-1(Y)≤z}=P{Y≤F(z)}=FY[F(z)],因为0≤F(z)≤1,所以Fz(z)=F(z),即Z与X分布相同,选(B).8.设X1,X2,X3,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)的简单随机变量,是样本均值,记= .则___________.A.B.C.D.正确答案:B解析:令S2=.~N(0,1),由~χ2(n-1),且与相互独立,由t分布的定义,~t(n-1),选(B).填空题9.曲线在t=0对应点处的法线方程为__________.正确答案:解析:当t=0时,x=3,y=1,,而=2t一2,eycost+eysint一=0,将t=0。
全国硕士研究生招生考试数学三模拟试题及详解【圣才出品】
f x In cos x x g x t dt , lim g x 2 ,则( )。
0
x0 x
A. x 0 为 f (x) 的极大值点
B. x 0 为 f (x) 的极小值点
C.(0, f (0) )为曲线 y= f (x) 的拐点
D. x 0 不是 f (x) 的极值点,(0, f (0) )也不是曲线 y= f (x) 的拐点
x0
x
y f (x) 的拐点。
2.设函数
f
x
g
xsin
1 x
,
x 0 ,且 g 0 g0 0 ,则 f (x) 在点 x=0 处
0,
x0
( )。
A.连续但不可导
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B.可导但 f (0) 0
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C.极限存在但不连续
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全国硕士研究生招生考试数学三模拟试题及详解
一、选择题:1~8 小题。每小题 4 分,共 32 分。下列每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答.题.纸.指定位置上。
1.已知 f (x) 具有二阶连续导数, g(x) 为连续函数,且
D.可微且 df x x0 0
【答案】D
【解析】
由 g(0) 0 知 g(x) 在 x=0 处可导;也可知 g(x) 在 x=0 处连续,即 lim g x g 0 x0
0 ,又 sin 1 1,故 lim g x sin 1 0 。即 lim f x f 0 0 。故 f x 在 x =0
【答案】C
【解析】由
f
考研数学(数学三)模拟试卷275(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷275(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.当x→1时,函数的极限( ).A.等于2B.等于0C.为∞D.不存在但不为∞正确答案:D解析:x→1时函数没有极限,也不是∞,故应选(D).2.设f(x)=2x+3x-2,则当x→0时( ).A.f(x)是x等价无穷小B.f(z)与x是同阶但非等价无穷小C.f(x)比x更高阶的无穷小D.f(x)是比z较低阶的无穷小正确答案:B解析:且ln2+ln3≠1,所以应选(B).3.若3a2-5b<0,则方程x5+2ax3+3bx+4c=0( ).A.无实根B.有唯一实根C.有三个不同的实根D.有五个不同的实根正确答案:B解析:设f(x)=x5+2ax3+3bx+4c 则f’(x)=5x4+6ax2+3b=5(x2)2+6a(x2)+3b 由于(6a)2-4*5*3b=12(3a2-5b)<0,所以f’(x)=0无实根又于是f’(x)>0 根据连续函数的介值定理及f(x)的严格单调增加性质,知f(x)有唯一零点,即方程f(x)=0有唯一实根.4.设f(x)=|x(1-x)|,则( ).A.x=0是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线)y=f(x)的拐点B.x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)是曲线y=f(x)的拐点C.x=0是f(x)的极值点,且(0,0)是曲线y=f(x)的拐点D.x=0不是f(x)的极值点,但(0,0)不是曲线y=f(x)的拐点正确答案:C解析:f(x)是(-∞,+∞)上的连续函数,在(-1/2,1/2)内有表达式即x=0是f(x)的极小值点,(0,0)是曲线y=f(x)的拐点.故应选(C)。
5.设3阶矩阵,若A的伴随矩阵的秩等于1,则必有( ).A.a=b或a+2b=0B.a=b或a+2b≠0C.a≠b且a+2b=0D.a≠b且a+2b≠0正确答案:C解析:由秩(A*)=1知秩(A)=3-1=2,则|A|=0 但a=b时秩(A)=1≠2.故a ≠b且a+2b=0.故应选(C).6.设λ0是n阶矩阵A的特征值,且齐次线性方程组(λ0E-A)X=0的基础解系为η1,η2,则A的属于λ0的全部特征向量为( ).A.η1和η2B.η1或η2C.c1η1+c2η2(c1,c2全不为零)D.c1η1+c2η2(c1,c2不全为零)正确答案:D解析:A的属于λ0的全部特征向量为方程组(λE-A)X=0的通解,即c1η1+c2η2 (c1,c2不全为零).应选(D).7.设随机变量X和Y相互独立,X在区间(0,2)上服从均匀分布,Y服从参数为1的指数分布,则概率P{X+Y>1}=( ).A.1-1/2eB.1-eC.1-eD.2e正确答案:A解析:由题设知∵随机变量X和Y相互独立.∴二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=∴P{X+Y>1}=1-P{X+Y≤1}=8.设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,Sn=X1+X2+…+Xn,则根据列维一林德伯格中心极限定理,Sn近似服从正态分布,只要X1,X2,…,Xn( ).A.有相同的数学期望B.有相同的方差C.服从同一指数分布D.服从同一离散型分布正确答案:C解析:列维-林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理要求X1,X2, (X)既有相同的数学期望,又有相同的方差,因此(A)、(B)、(D)都不是答案,(C)为答案.填空题9.设方程exy+y2=cosx确定y为x的函数,则dy/dx=__________.正确答案:解析:等式两边同时对x求导得exy(y+xy’)+2yy’=-sinx,解得10.=__________.正确答案:ln3解析:11.函数f(u,v)由关系式f[xg(y),y]=x+g(y)确定,其中函数g(y)可微,且g(y)≠0,则=__________.正确答案:解析:南已知关系式f[xg(y),y]=x+g(y)两边对x求二次偏导,有fu’*g(y)=1,(1) fuu’’[g(y)]2=0.(2) 由已知g(y)≠0,所以fuu’’=0,在(1)式两边对y求一次偏导,有fu’*g’(y)+{fuu’’*[x*g’(y)]+fuv’’*1}g(y)=0. 将fuu’’=0代入上式,得fu’*g’(y)+fuv’’*g(y)=0,从而12.交换积分次序=__________.正确答案:解析:由题设,设原积分中两部分的积分区域分别如图所示,则原式13.设矩阵,则A3的秩为__________.正确答案:解析:矩阵所以故A3的秩为r(A3)=1.14.设随机变量X与Y相互独立,且均服从区间[0,3]上的均匀分布,则P{max{X,Y}≤1}=__________.正确答案:1/9解析:由题设有P{max(x,Y)≤1}=P{X≤1,Y≤1}=P{X≤1}P{Y≤1}=1/3*1/3=1/9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数三)
2021考研数学模拟测试题完整版及答案解析〔数三〕一、选择题:1~8小题,每题4分,共32分。
在每题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。
〔1〕()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数,对任何0b a >>,记()baM xf x dx =⎰,01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+⎰⎰,那么必有〔 〕〔A 〕M N ≥;〔B 〕M N ≤;〔C 〕M N =;〔D 〕2M N =; 〔2〕设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,在(,0)(0,)-∞+∞内可导,函数()y y x =的图像为那么其导数的图像为〔 〕(A) (B)y xOyxOxyO(C) (D)(3)设有以下命题: ①假设2121()n n n uu ∞-=+∑收敛,那么1n n u ∞=∑收敛; ②假设1n n u ∞=∑收敛,那么10001n n u ∞+=∑收敛;③假设1lim1n n n u u +→∞>,那么1n n u ∞=∑发散; ④假设1()n n n u v ∞=+∑收敛,那么1n n u ∞=∑,1nn v∞=∑收敛正确的选项是〔 〕〔A 〕①②〔B 〕②③〔C 〕③④〔D 〕①④(4)设220ln(1)()lim 2x x ax bx x→+-+=,那么〔 〕 〔A 〕51,2a b ==-;〔B 〕0,2a b ==-;〔C 〕50,2a b ==-;〔D 〕1,2a b ==- (5)设A 是n 阶矩阵,齐次线性方程组〔I 〕0Ax =有非零解,那么非齐次线性方程组〔II 〕T A x b =,对任何12(,,)T n b b b b =〔A 〕不可能有唯一解; 〔B 〕必有无穷多解;〔C 〕无解; 〔D 〕可能有唯一解,也可能有无穷多解(6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵,那么行列式1020TA B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为 〔A 〕1(2)n A B--; 〔B 〕2T A B -; 〔C 〕12A B --; 〔D 〕12(2)n A B--(7)总体~(2,4)X N ,12,,,n X X X 为来自X 的样本,X 为样本均值,那么〔 〕y xOyxO〔A 〕2211()~(1)1n i i X X n n χ=---∑; 〔B 〕2211(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑; 〔C 〕2212()~()2ni i X n χ=-∑; 〔D 〕221()~()2n i i X X n χ=-∑;(8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ,假设概率1()2P aX bY μ-<=那么〔 〕 〔A 〕11,22a b ==;〔B 〕11,22a b ==-;〔C 〕11,22a b =-=;〔D 〕11,22a b =-=-; 二、填空题:9~14小题,每题4分,共24分。
考研数学(数学三)模拟试卷480(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷480(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设f(x)是(-∞,+∞)上连续的偶函数,且︱f(x)︱≤M当xε(-∞,+∞)时成立,则F(x)=是(-∞,+∞)上的( )。
A.无界偶函数B.有界偶函数C.无界奇函数D.有界奇函数正确答案:B解析:首先讨论F(x)的奇偶性,注意有可见F(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,这样就可以排除答案C和答案D。
其次讨论F(x)的有界性,因F(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,所以可限于讨论x≥0时F(x)的有界性,由于,由此可知,F(x)也是(-∞,+∞)上的有界函数,故应选B。
2.设f(x)=xex+1+,则f(x)在(-∞,+∞)内( )。
A.没有零点B.只有一个零点C.恰有两个零点D.恰有三个零点正确答案:C解析:求f’(x),分析其单调性区间,由于f’(x)=ex+1(x+1)①<0,x<-1,②=0,x=-1,③>0,x>-1,因此x=-1是f(x)的最小值点,且f(-1)=,又,由连续函数的介值定理知,在(-∞,-1)与(-1,+∞)内必存在f(x)的零点,又因f(x)在(-∞,-1)与(-1,+∞)均单调,所以在每个区间上也只能有一个零点,因此,f(x)在(-∞,+∞)恰有两个零点,故应选C。
3.设f(x)是区间上的正值连续函数,且I=,K=,若把I,J,K按其积从小到大的次序排列起来,则正确的次序是( )。
A.I,J,KB.J,K,IC.K,I,JD.J,I,K正确答案:D解析:用换元法化为同一区间上的定积分比较大小,为此在中令arcsinx=t,由于,且dx=d(sint)=costdt,代入可得。
与此类似,在K=中令arctanx=t,由于,且dx=d(tant)=,代入可得。
由f(x)>0且当时0<cosx<1,故在区间上f(x)cosx<f(x)<,从而积J<I<K,故应选D。
考研数学(数学三)模拟试卷470(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷470(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设f(x)在x=0处存在4阶导数,又设则必有( )A.f(0)=1.B.f”(0)=2.C.f”‘(0)=3.D.f(4)(0)=4.正确答案:C解析:用佩亚诺泰勒公式.先考虑分母,tan x—sin x=x3(x→0).将f(x)在x=0处按佩亚诺余项泰勒公式展开至n=3,得所以f(0)=0,f’(0)=0,f”(0)=0,f”‘(0)=3.故应选C.2.设f(x)=,则关于f(x)的单调性的结论正确的为( )A.在区间(一∞,0)内是严格单调增,在(0,+∞)内严格单调减.B.在区间(一∞,0)内是严格单调减,在(0,+∞)内严格单调增.C.在区间(一∞,0)与(0,+∞)内都是严格单调增.D.在区间(一∞,0)与(0,+∞)内都是严格单调减.正确答案:C解析:f’(x)=.取其分子,令φ(x)=xex—ex+2,有φ(0)=1>0,φ’(x)=xex,当x<0时,φ’(x)<0;当x>0时,φ’(x)>0.所以当x<0时,φ(x)>0;当x >0时,也有φ(x)>0.故知在区间(一∞,0)与(0,+∞)内均有f’(x)>0.从而知f(x)在区间(一∞,0)与(0,+∞)内均为严格单调增.3.设f(x)=arctan 2x,则f(2017)(0)= ( )A.2 017!22017.B.2 016!22017.C.一(2 017!)22017.D.一(2 016!)22017.正确答案:B解析:f(x)=arctan 2x,由麦克劳林展开式的唯一性知,(一1)n22n+1=,所以φ(2n)(0)=(一1)n(2n)!22n+1,从而f(2n+1)(0)=(一1)n(2n)!22n+1.将2n+1=2 017,n=1 008代入,得f(2017)(0)=2 016!22017.选B.4.设f(x,y)=则在点O(0,0)处( )A.偏导数存在,但函数不连续.B.偏导数不存在,但函数连续.C.偏导数存在,函数也连续.D.偏导数不存在,函数也不连续.正确答案:A解析:由偏导数定义,得即两个偏导数都存在.考虑连续性,取y=kx2,让点(x,y)→(0,O).则f(x,kx2)=(x≠0),所以当x→0时,f(x,kx2)→f(x,y)不存在,更谈不上连续性.故应选A.5.设A,B是n阶可逆矩阵,满足AB=A+B.则下列关系中不正确的是( )A.|A+B|=|A||B|.B.(AB)-1=A-1B-1.C.(A—E)x=0只有零解.D.B—E不可逆.正确答案:D解析:因A,B满足AB=A+B,两边取行列式,显然有|A+B|=|AB|=|A||B|,A正确.由AB=A+B,移项,提公因子得AB—A=A(B —E)一B,A(B—E)=B—E+E,(A—E)(B—E)=E.故A—E,B—E都是可逆矩阵,且互为逆矩阵,从而知方程组(A—E)x=0只有零解,(C)正确.B—E 不可逆是错误的,(D)不正确.又因(A—E)(B—E)=E,故(B—E)(A —E)=E,从而有BA一A—B+E=E,BA=A+B,得AB=BA,则(AB)-1=(BA)-1=(BA)-1=A-1B-1,故(B)正确.因此(A),(B),(C)是正确的,应选D.6.设A,B,C均是3阶方阵,满足AB=C,其中则必有( )A.a=一1时,r(A)=1.B.a=一1时,r(A)=2.C.a≠—1时,r(A)=1.D.a≠—1时,r(A)一2.正确答案:C解析:显然r(C)=1,又当a≠一1时,有r(B)=3,B可逆,因AB=C,故r(A)=r(AB)=r(C)=1.故应选(C).因(C)成立,显然(D)不能成立.当a=—1时,取A=,有AB=C,此时r(A)=1;也可取A=,也有AB=C,此时r(A)=2.故(A),(B)均不成立.7.某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据:设这三家工厂的产品在仓库中均匀混合且无区别标志.现从仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品,则最有可能来自( ) A.元件制造厂1.B.元件制造厂2.C.元件制造厂3.D.无法判断.正确答案:B解析:设事件Ai={元件来自工厂i},i=1,2,3,B={取出一只是次品},则P(A1)=0.15,P(A2)=0.80,P(A3)=0.05,P(B|A1)=0.02,P(B|A2)=0.01,P(B|A3)=0.03.由贝叶斯公式,知P(Ai|B)=,i=1,2,3.因为分母相同,故只需比较分子大小即可,P(A1)P(B|A1)=0.003,P(A2)P(B|A2)=0.008,P(A3)P(B|A3)=0.0015.所以P(A2|B)最大,故选B.8.抛一枚均匀的硬币若干次,正面向上次数记为X,反面向上次数记为Y,当X—Y>2时停止,则试验最多进行5次停止的概率为( ) A.B.C.D.正确答案:D解析:满足条件的情况有:“正正正”、“反正正正正”、“正反正正正”、“正正反正正”,所以概率为.故选D.填空题9.设y(x)是微分方程y”+(x+1)y’+x2y=x的满足y(0)=0,y’(0)=1的解,并设存在且不为零,则正整数k=___________,该极限值=___________。
考研数学(数学三)模拟试卷368(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷368(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设函数f(x)在x=2的某邻域内可导,且f′(2)=0,又=一2,则f(2)( ).A.必是f(x)的极大值B.必是f(x)的极小值C.不一定是f(x)的极值D.一定不是f(x)的极值正确答案:D解析:利用极限的保号性及极值的定义判别之.仅(D)入选.由f(x)可导和f′(2)=0知,x=2是f(x)的驻点,但由根据极限保号性及(x一2)2>0知,当x≠2时,f′(x)<0,所以f(2)一定不是f(x)的极值.2.下列函数中在点x=0处可微的是( ).A.f(x)=e|x|B.f(x)=arctan|x|C.f(x)=D.f(x)=arcsin,|x|<1正确答案:C解析:因函数f(x)在x=x0处可微的充要条件是f(x)在x=x0处可导,归结为讨论下列函数在x=0处是否可导的问题.解一对选项(A),故f(x)在x=0处不可导,所以f(x)在x=0处不可微.对选项(B),故f(x)在x=0处不可导,因而在x=0处也不可微.对选项(C),解二利用本书试卷七第1题的解题思路中的命题结论而知仅(C)入选(因α=>1).所以f(x)在x=0处可导.仅(C)入选.对选项(D),即不存在,故f(x)在x=0处不可导,当然在x=0处也不可微.3.函数f(x,y)=在点(0,0)处( ).A.不连续B.连续,但偏导数f′x(0,0)和f′y(0,0)不存在C.连续,且偏导数f′x(0,0)和f′y(0,0)都存在D.可微正确答案:C解析:f(x,y)在整个平面上有定义,且f(0,0)=0.又=0=f(0,0),这表明f(x,y)在点(0,0)处连续,从而(A)不正确.因f(x,0)≡f(0,y)≡0,对任意x∈R,任意y∈R.于是(0,y)=0,且在点(0,0)处有(0,0)=0,可见(B)不正确.因f(x,y)在点(0,0)处可微的充分必要条件是不难发现,当△y=△x>0时,这表明上述极限不为零,即(D)不正确.仅(C)入选.4.给定两个正项级数Un及Vn,已知=ρ,当ρ=( )时,不能判断这两个正项级数同时收敛或同时发散.A.0B.1/2C.1D.2正确答案:A解析:利用比较判别法的极限形式判别之,对于此判别法,一是要注意仅适用于正项级数,二要注意极限值ρ的取值情况不同,结论是不同的,特别当ρ=0或+∞时,其结论要记清楚.这时不能判断两个正项级数同时收敛或发散.对于比较判别法,当=ρ,0<ρ<+∞时,级数同时收敛或发散,因此仅(A)入选.当ρ=时,有可能发散;当ρ=+∞时,有可能收敛.5.矩阵A=与下面矩阵( )相似.A.A1=B.A2=C.A3=D.A4=正确答案:D解析:先由两矩阵相似的必要条件(行列式相等),排除一些矩阵,再由特征值相等的条件确定选项.|A1|=2,而|A2|=0,|A3|=一2,故排除(B)、(C).再由A的特征值为1,2,而A1的特征值为一1,一2,排除A1,仅A4~A=.仅(D)入选.注意常用的两矩阵A与B相似的必要条件有:(1)|A |=|B|;(2)r(A)=r(B);(3)|λE-A|=|λE-B|,即A与B有相同的特征值,(4)tr(A)=tr(B),即,其中A=[aij]n×n,B=[bij]n×n.6.设三元二次型f(x1,x2,x3)=XTAX的正惯性指数p=1,且二次型A 满足A2+2A一3E=0,则在正交变换下该二次型的标准形是( ).A.B.C.D.正确答案:D解析:先求出A的特征值,确定正负惯性指数,再确定选项.设λ是矩阵A 的特征值,α是矩阵A属于特征值λ的特征向量,即Aα=λα,α≠0.那么由(A2+2A-3E)α=0有(λ2+2λ—3)α=0,λ2+2λ—3=(λ+3)(λ-1)=0.由此可知,矩阵A的特征值只能是1或一3.因为A可逆,正惯性指数p=1,则负惯性指数必为2,所以A的特征值为λ1=,λ2=λ3=一3,从而正交变换下该二次型的标准形为.仅(D)入选.7.设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量ξ=X+Y与η=X—Y不相关的充分必要条件为( ).A.E(X)=E(Y)B.E(X2)-(E(X))2=E(Y2)-(E(Y))2C.E(X2)=E(Y2)D.E(X2)+(E(X))2=E(Y2)+(E(X))2正确答案:B解析:X,Y不相关的充要条件有:(1)E(XY)=E(X).E(Y);(2)D(X+Y)=D(X)+D(Y);(3)cov(X,Y)=0;(4)ρxy=0.本例使用条件cov(X,Y)=0更方便.由E(ξη)=E(X2一Y2)=E(X2)-E(Y2),而ξ=X+Y.η=X—Y则E(ξ)=E(X)+E(Y),E(η)=E(X)-E(Y),于是cov(ξ,η)=E(X2)一E(Y2)一(E(X)+E(Y))(E(X)-E(Y)) =E(X2)一(E(X))2一(E(Y2)一(E(Y))2)+E(X)E(Y)一E(X)E(Y) =D(X)一D(Y).因此cov(ξ,η)=0的充要条件是D(X)=D(Y).仅(B)入选.8.若随机变量X~N(2,σ2),且概率P(2<X<4)=0.3,则概率P(X<0)等于( ).A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5正确答案:A解析:利用服从正态分布的随机变量取值概率的对称性求之,也可利用标准正态分布的性质求之.解一因X~N(2,σ2),由其对称性得到P(X>2)=P(X <2)=0.5,且P(0<X<2)=P(2<X<4).于是由P(X<2)=P(X<0)+P(0<X<2),P(X>2)=P(2<X<4)+P(X>4)得到P(X<0)+P(0<X <2)=P(2<X<4)+P(X>4),即P(X<0)=P(X>4)=P(X>2)一P(2<X<4)=0.5—0.3=0.2.解二由P(2<X<4)=P(0<一Ф(0) =Ф()—0.5=0.3得到Ф()=0.8.而P(X<0)=p()=1,故P(x<0)=Ф()=1—0.8=0.2.仅(A)入选.填空题9.f(x)=sint2dt,当x→0时,f(x)是x的n阶无穷小,则n=_________.正确答案:6解析:可用下述结论观察求出,也可利用n阶无穷小定义求出.当f(x)连续且x→a时,f(x)是x→a的n阶无穷小量,g(x)是x一a以的m阶无穷小量,则当x→a时,f(t)dt必为x-a的n+1阶无穷小量,f(t)dt必为x一a的(n+1)m阶无穷小量.解一因sinx2是x-0=x的2阶无穷小量,1-cosx~x2/2为x的2阶无穷小量,则x→0时,sint2dt为x的(2+1)×2=6阶无穷小量,即n=6.解二因而n=6.10.dx=___________.正确答案:解析:分段积分,且作变量代换求之.11.dx=____________.正确答案:解析:积分区域为圆域的一部分,被积函数又为f(x2+y2)的形式,应用极坐标系计算.所给二次积分的积分区域为D={(x,y)|y≤x≤}.它为圆域x2+y2≤a2在第一象限的1/2,即D={(r,θ)|0≤r≤a,0≤θ≤π/4).应改换为极坐标系计算:原式=12.微分方程xdy=y(xy-1)dx的通解为__________.正确答案:解析:所给方程化为全微分方程而解之.此方程可化为xdy+ydx=xy2dx.两边乘以得到故得d(13.设A,B均为四阶方阵,r(A)=3,r(B)=4,其伴随矩阵分别为A*,B*,则r(A*B*)=___________.正确答案:1解析:分别求出r(A*),r(B*).如果r(B*)为满秩矩阵,则r(A*B*)=r(A*).因r(A)=3,故r(A*)=1(因当r(A)=n一1时,r(A*)=1).又r(B)=4,故r(B*)=4(因r(B)=n,则r(B*)=n),即B*为满秩矩阵,于是r(A*B*)=r(A*)=1.14.设随机变量,且协方差cov(X,Y)=,则X与Y的联合分布为__________.正确答案:解析:由X,Y所服从的分布即知E(X)=3/4,E(Y)=1/2,且E(XY)=P(X=1,Y=1).今又已知cov(X,Y)=1/8,从而可由cov(X,Y)=E(XY)—E(X)E(Y)=1/8求出E(XY)=P(X=1,Y=1)=1/2.有了这个数据,就可利用联合分布与边缘分布的关系求出其联合分布.由题设易知,E(x)=又cov(x,Y)=E(XY)一E(x)E(Y)=E(XY)一,故E(XY)=.由于XY仅取0与1两个值,E(XY)=1.P(XY=1)=P(x=1,Y=1)=,再根据联合分布与边缘分布的关系,即可求出X与Y的联合分布.事实上由p12+p22=p12+1/2=1/2,得到p12=0.由p11+p12=p11+0=1/4,即得p11=1/4.又由p11+p21=1/4+p21=1/2,得到p21=1/4.于是得到其联合分布为注意大家知道由联合分布可求出边缘分布,但仅由边缘分布求不出联合分布.如果在给出边缘分布的同时还附加某些条件,如相互独立,或条件分布或某些概率值,则可求出其联合分布.上例就是在给出边缘分布的条件下,还给出了一个概率值P(X=1,Y=1)=E(XY)=1/2.当然,这个值不是直接给出,而是要你推导的.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学三)模拟试卷200(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷200(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设f(x)为R上不恒等于零的奇函数,且fˊ(0)存在,则函数A.在x=0处左极限不存在B.有跳跃间断点x=0C.在x=0处右极限不存在D.有可去间断点x=0正确答案:D2.设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数,且φˊy(x,y)≠0,已知(xo,yo)是f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的一个极值点,下列选项正确的是( ).A.若fˊx(xo,yo)=0,则fˊy(xo,yo)=0B.若fˊx(xo,yo)=0,则fˊy(xo,yo)≠0C.若fˊx(xo,yo)≠0,则fˊy(xo,yo)=0D.若fˊx(xo,yo)≠0,则fˊy(xo,yo)≠0正确答案:D3.设非齐次线性微分方程yˊ+P(x)y=Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数,则该方程的通解是( ).。
A.C[y1(x)-y2(x)]B.y1(x)+C[y1(x)-y2(x)]C.C[y1(x)+y2(x)]D.y1(x)+C[y1(x)+y2(x)]正确答案:B4.下列各选项正确的是( ).A. B. C. D. 正确答案:A5.设A为3阶矩阵,将A的第2行加到第1行得B,再将B的第1列的一1倍加到第2列得C,记则( ).A.C=P-1APB.C=PAP-1C.C=PTAPD.C=PAPT正确答案:B6.设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组中线性无关的是( ).A.α1+α2,α2+α3,α3-α1B.α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3C.α1+2α2,2α2+3α3,3α3+α1D.α1+α2+α3,2α1-3α2+2α3,3α1+5α2+3α3正确答案:C7.设F1(x)与F2(x)分别为随机变量,X1与X2的分布函数,为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取( ).A.a=3/5,b=-2/5B.a=2/3,b=2/3C.a=-1/2,b=3/2D.a=1/2,b=-3/2正确答案:A8.设两个随机变量X与Y独立同分布,P{X=-1}=P{Y=-1}=1/2,P{X=1}=P{Y=1}=1/2,则下列各式中成立的是( ).A.P{X=Y}=1/2B.P{X=Y}=1C.P{X+Y=0}=1/4D.P{XY=1}=1/4正确答案:A填空题9.正确答案:10.差分方程yx+1-3yx=7.2x的通解为_______.正确答案:显然其齐次方程的通解为yx=C.3x(C为任意常数).设其特解为yx=b.2x,所以有b.2x-1-3b.2x=7.2x,从而得b=-7.因此,原方程的通解为yx=C.3x-7.2x.11.正确答案:12.正确答案:13.若四阶矩阵A与B为相似矩阵,A的特征值为1/2、1/3、1/4、1/5,则行列式|B-1-E|=________.正确答案:由已知A与B相似,则A与B的特征值相同,即B的特征值也为1/2、1/3、1/4、1/5,从而B-1-E的特征值为1,2,3,4,因此|B -1-E|=1.2.3.4=24.14.设总体X的概率密度为而X1,X2…,Xn是来自总体X的简单随机样本,则未知参数θ的矩估计量为_________.正确答案:本题考查矩估计量的求法,由题设,解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学三)模拟试卷366(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷366(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.曲线A.没有渐近线B.仅有水平渐近线C.仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线也有铅直渐近线正确答案:D解析:因为则原曲线有水平渐近线,则原曲线有铅直渐近线x=0,所以应选D.2.设g(x)=x3+x4,则当x→0时,f(x)是g(x)的A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小正确答案:B解析:3.设周期函数f(x)在(一∞,+∞)内可导,周期为4,又则曲线y=f(x)在点(5,f(5))处的切线斜率为A.B.0C.一1D.一2正确答案:D解析:则f’(1)=一2,由f’(x)周期性知,f’(5)=f’(1)=一2.故应选D.4.设在区间[a,b]上f(x)>0,f’(x)<0,f’(x)>0,令则A.S1<S2<S3B.S2<S1<S3C.S3<S1<S2D.S2<S3<S1正确答案:B解析:由题设可知,在[a,b]上,f(x)>0单调减。
曲线y=f(x)上凹,如图1.5,S1表示y=f(x)和x=a,x=b及x轴围成曲边梯形面积,S2表示矩形abBC的面积,S2表示梯形AabB的面积.由图1.5可知,S2<S1<S3.故应选B.5.若f(一x)=f(x),(一∞<x<+∞),在(一∞,0)内f’(x)>0,且f’’(x)<0,则在(0,+∞)内A.f’(x)>0,f’’(x)<0B.f’(x)>0,f’’(x)>0C.f’(x)<0,f’’(x)<0D.f’(x)<0,f’’(x)>0正确答案:C解析:由f(一x)=f(x)知,f(x)为偶函数.而由在(一∞,0)内f’(x)>0,且f’’(x)<0知在(一∞,0)内,y=f(x)的图形下凹单调增,则f(x)由图1.6图形可知,在(0,+∞)内,f’(x)<0,f’’(x)<0,则应选C.6.设随机变量X的密度函数是φ(x),且φ(一x)=φ(x),f(x)是X的分布函数,则对任意实数a,有A.B.C.F(一a)=F(a)D.F(一a)=2F(a)一1正确答案:B解析:由φ(一x)=φ(x)知,φ(x)为儡函数,其图形关于y轴对称,如图1.7由几何意义可知,F(一a)=S17.设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则A.B.C.D.正确答案:B解析:由于独立正态分布的随机变量的线性组合仍服从正态,则由正态分布的几何意义知,正态分布的密度函数关于均值左右对称,则其小于均值的概率为,则故应选B.8.设函数y=f(x)具有二阶导数,且f’(x)>0,f’’(x)>0,△x为自变量x在点x0处的增量,Ay与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分,若△x>0,则A.0<dy<△y.B.0<△y<dy.C.△y<dy<0.D.dy<△y<0.正确答案:A解析:令f(x)=x2,在(0,+∞)上,f’(x)=2x>0,f’’(x)一2>0,取x0=1,则dy=2△x△y=f(1+△x)一f(1)一(1+ax)2一12=2Ax+(ax)2由于△x>0,则0<dy<△y,从而BCD均不正确,故应选A.9.设函数f(x)在x=0处连续,且,则A.f(0)=0且f-’(0)存在.B.f(0)=1且f-’(0)存在.C.f(0)=0且f+’(0)存在.D.f(0)=1且f+’(0)存在.正确答案:C解析:令显然f(x)满足原题设条件,而,(不存在),则ABD均不正确,故应选C.10.以下四个命题中正确的是A.若f’(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界.B.若f(x)在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界.C.若f’(x)在(0,1)内有界,则f(x)在(0,1)内有界.D.若f(x)在(0,1)内有界,则f’(x)在(0,1)内有界.正确答案:C解析:令,显然f(x),都在(0,1)内连续,但在(0,1)内无界,则AB不正确.若令显然f(x)在(0,1)内有界,但.在(0,1)内无界,则D不正确,故应选C.11.设an>0(n=1,2,…),若收敛,则下列结论正确的是A.B.C.D.正确答案:D解析:令ABC均不正确,故应选D.12.设函数f(x)在区间(一δ,δ)内有定义,若当x∈(一δ,δ)时,恒有|f(x)|≤x2,则x=0必是f(x)A.间断点.B.连续而不可导的点.C.可导的点,且f’(0)=0.D.可导的点,且f’(0)≠0.正确答案:C解析:令f(x)=x3,显然x∈(一δ,δ)时,|f(x)|=|x3|≤x2.且f’(x)=3x2,f’(0)=0,则ABD均不正确,故应选C.13.已知f(x)在x=0某邻域内连续,且则在点x=0处f(x)A.不可导.B.可导且f’(x)≠0.C.取得极大值.D.取得极小值.正确答案:D解析:由于当x→0时,所以令f(x)=x2,则f(x)符合原题设条件.而f(x)在x=0处可导,f’(0)=0,取极小值,则ABC均不正确,故应选D.14.设f(x)的导数在x=a处连续,又则A.x=a是f(x)的极小值点.B.x=a是f(x)的极大值点.C.(a,f(a)是曲线y=f(x)的拐点D.x=a不是f(x)的极值点,(a,f(a)也不是曲线y=f(x)的拐点.正确答案:B解析:若取f’(x)=一(x一a),即令则显然f(x)符合原题条件,在x=0取极大值,且(a,f(a)也不是的拐点,则ACD均不正确,故应选B.15.设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则A.当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数.B.当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数.C.当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数.D.当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调增函数.正确答案:A解析:令f(x)=cosx+1,F(x)=sinx+x+1.显然f(x)是偶函数,周期函数,但F(x)不是奇函数,也不是周期函数,则BC均不正确.若令f(x)=x,则f(x)单调增,但F(x)不单调增,因此,D也不正确,故应选A.16.设f(x)处处可导,则A.当时,必有B.当时,必有C.当时,必有D.当时,必有正确答案:A解析:令f(x)=x,则f’(x)≡1则B和D均不正确若令f(x)=x2,则f’(x)=2x 所以C也不正确,故应选A.17.设f(x)有连续导数,f(0)=0,f’(0)≠0,且当x→0时,F’(x)与xk是同阶无穷小,则k等于A.1B.2C.3D.4正确答案:C解析:由f(0)=0,f’(0)≠0.取f(x)=x,则F’(x)=x3.由x→0时,F’(x)与x4是同阶无穷小,知k=3,从而,ABD均不正确,故应选C.18.设f(x)在x=a处可导,则等于A.f’(a)B.2f’(a)C.0D.f’(2a)正确答案:B解析:令f(x)=x,则但f’(x)=1,从而f’(a)=f’(2a)=1,则ACD均不正确,故应选B.19.若连续函数f(x)满足关系式则,f(x)等于A.exln2B.e2xln2C.ex+ln2D.e2x+ln2正确答案:B解析:由知f(0)=ln2 (1)f’(x)=2f(x) (2)显然CD选项不符合(1)式,A 选项不符合(2)式,故应选B.20.设f(x)和φ(x)在(一∞,+∞)内有定义,f(x)为连续函数,且f(x)≠0,φ(x)有间断点,则A.φ[f(x)]必有间断点.B.[φ(x)]2必有间断点.C.f[φ(x)]必有间断点.D.必有间断点.正确答案:D解析:令显然f(x)和φ(x)符合原题条件,而φ[f(x)]=1,φ2(z)一1,f[φ(x)]=2均无间断点,则ABC均不正确,故应选D.21.若f(x)=一f(一x),在(0,+∞)内,f’(x)>0,f’’(x)>0,则f(x)在(一∞,0)内A.f’(x)<0,f’’(x)<0B.f’(x)<0,f’’(x)>0C.f’(x)>0,f’’(x)<0D.f’(x)>0,f’’(x)>0正确答案:C解析:由原题设可令f(x)=x3,显然f(x)符合原题条件.而在(一∞,0)内,f’(x)=3x2>0,f’’(x)=6x<0.则ABD均不正确,故应选C.22.设f’(x0)=f(x0)=0,f’’’(x0)>0,则下列选项正确的是A.f’(x0)是f’(x)的极大值.B.f(x0)是f(x)的极大值.C.f(x0)是f(x)的极小值.D.(x0,f(x0))是曲线y=f(x)的拐点.正确答案:D解析:由题设f’(x0)=f’’(x0)=0,f’’’(x0)>0.可令f(x)=(x—x0)3.显然此f(x)符合原题条件,而f’(x)=3(x-x0)2显然f’(x0)是f’(x)极小值而不是极大值,则A 不正确,又f(x0)=0,而在x0任何邻域内f(x)可正也可负,从而f(x0)不是f(x)的极值点,因此B和C也不正确,故应选D.23.设f(x)连续,则A.xf(x2)B.一xf(x2)C.2xf(x2)D.一2xf(x2)正确答案:A解析:令f(x)≡1,则显然BCD均不正确,故应选A.24.设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(x)>0,则方程在开区间(a,b)内的根有A.0个B.1个C.2个D.无穷多个正确答案:B解析:由题设条件,可令f(x)≡1,此时方程变为(x一a)+(c一b)=0,即2x 一(a+b)=0.该方程在(a,b)内有且仅有一个实根则ACD均不正确,故应选B.25.设f(x)为不恒等于零的奇函数,且f’(0)存在,则函数A.在x=0处左极限不存在.B.有跳跃间断点x=0.C.在x=0处右极限不存在.D.有可去间断点x=0.正确答案:D解析:令f(x)=x,显然f(x)满足原题条件,而显然ABC均不正确,故应选D.26.设A是m×n矩阵,B是n×m矩阵,则A.当m>n时,必有行列式|AB|≠0.B.当m>n时,必有行列式|AB|=0.C.当n>m时,必有行列式|AB|≠0.D.当n>m时,必有行列式|AB|=0.正确答案:B解析:用排除法;当m>n时,若B=[3,4],则有故A不对;当n>m时,若则有|AB|=0,故C不对;当n>m时,若则有|AB|=3≠0,故D不对;因此,只有B正确.27.设有向量组α1=(1,一1,2,4),α2=(0,3,1,2),α3=(3,0,7,14),α4=(1,一2,2,0),α5=(2,1,5,10).则该向量组的极大无关组是A.α1,α2,α3B.α1,α2,α4C.α1,α2,αSD.α1,α2,α3,α4,α5正确答案:B解析:观察易知α3=3α1+α2,α5=2α1+α2.故AC都是线性相关组,AC都不对.当C组线性相关时,D组也线性相关,故D也不对,于是只有B 正确.28.设n阶矩阵A非奇异(n≥2),A*是矩阵A的伴随矩阵,则(A*)*等于A.|A|n-1AB.|A|n+1AC.|A|n-2AD.|A|n+2A正确答案:C解析:令显然A符合愿题条件,由伴随矩阵定义易知而|A|=2,则|A|n-1=2,|A|n+1=8,|A|n+2=16.故ABD均不正确,故应选C.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学三)模拟试卷406(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷406(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.函数f(x)=x3一3x+k只有一个零点,则k的取值范围为A.|k|>2.B.|k|>1.C.|k|<1.D.|k|<2.正确答案:A解析:f(x)为三次多项式,至少有一个零点,y=f(x)只有以下三种情形2.设正数列{an}满足A.e.B.1.C.0.D.正确答案:B解析:3.在反常积分中收敛的是A.①,②.B.①,③.C.②,④.D.③,④.正确答案:B解析:由题设选项可知,这4个反常积分中有两个收敛,两个发散.方法1°找出其中两个收敛的.知③收敛.因此选(B).4.设f(x)在[一δ,δ]有定义,且f(0)=f’(0)=0,f”(0)=a>0,又收敛,则p的取值范围是A.B.C.(1,+∞).D.[1,+00).正确答案:B解析:由因此,的取值范围是应选(B).5.a=一5是齐次方程组有非零解的A.充分必要条件.B.充分条件,但不是必要条件.C.必要条件,但不是充分条件.D.既不是必要条件又不是充分条件.正确答案:B解析:根据克拉默法则,当齐次方程组的系数矩阵是方阵时,它有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式值为0.于是a=一5是(Ⅰ)有非零解的充分条件,但不是必要条件.6.n维向量α=(1/2,0….,0,1/2)T,A=E一ααT,β=(1,1….,1)T,则Aβ的长度为A.B.C.n.D.n2.正确答案:B解析:Aβ=(E一4ααT)β=β一4α(αTβ)=β一4α=(一1,1, (1)一1)T,||Aβ||=7.袋中有2个白球和1个红球.现从袋中任取一球且不放回,并再放入一个白球,这样一直进行下去,则第n次取到白球的概率为A.B.C.D.正确答案:D解析:设Ai表示第i次取到白球,i=1,2,…,n,则由乘法公式可得所以应选(D).8.设随机变量X1,X2,…,Xn,…相互独立,Yn=则当n→∞时Yn以正态分布为极限分布,只要X1,…,Xn,…A.服从同一离散型分布.B.服从同一连续型分布.C.服从同参数的超几何分布.D.满足切比雪夫大数定律.正确答案:C解析:根据林德伯格.列维中心极限定理,如果X1,X2,…,Xn,…相互独立同分布且期望、方差都存在,只有(C)满足该定理条件,因此应选(C).填空题9.数列极限正确答案:1.解析:10.设y(x)是由x2+xy+y=tan(x一y)确定的隐函数,且y(0)=0,则y”(0)=________.正确答案:解析:将方程看成关于变量x的恒等式,两端同时对变量x求导数可得在(*)式中令x=0,又y(0)=0,则有y’(0)=1一y’(0),于是y’(0)=将(*)式看成关于变量x的恒等式,两端同时对变量x求导数又可得在(**)式中令x=0,又y(0)=0,y’(0)=,即得2+2y’(0)+y”(0)=一y”(0),于是11.曲线的斜渐近线方程为________.正确答案:y=±x.解析:因为同理因此斜渐近线方程为y=±x.12.反常积分正确答案:解析:13.已知的任意两个特征向量都线性相关,则a=________.正确答案:一2.解析:因为属于不同特征值的特征向量一定线性无关,所以条件说明A的三个特征值都相等,即A有一个3重特征值λ.3λ=tr(A)=3,于是λ=1.有|λE—A|=(λ一1)3.=λ+1+a(a+λ+2)+(λ一1)(λ2—2λ一8—5a)=a2+λ(a+1)+2a+1+(λ一1)(λ2—2λ+1—9—5a)=(λ一1)3+λ(a+1)+a2+2a+1一(λ一1)(5a+9)=(λ一1)3一(8+4a)λ+a2+7a+10.则8+4a=0并且a2+7a+10=0,得a=一2.14.设二维随机变量(X,Y)服从正态分布N(μ,μ;σ2,σ2;0),则Emin(X,Y)=________.正确答案:解析:由题设X,y独立,则有Z=X—Y—N(0,2σ2),于是解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学(数学三)模拟试卷489(题后含答案及解析)
考研数学(数学三)模拟试卷489(题后含答案及解析) 题型有:1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。
1.设函数f(x)连续可导,g(x)为连续函数,又,且φ(x)=,则x=0为φ(x)的( ).A.极大值点B.极小值点C.不是极值点D.不确定正确答案:B解析:因为f(x)连续,所以由=2得f(0)=0,由2=得f’(0)=0,再由2=得f’’(0)=4;由=﹣3得g(0)=0,g’(0)=﹣3,,则φ’(x)=f’(x)+g(x),φ’(0)=0,由φ’’(0)==f’’(0)+g’(0)=1>0,得x=0为φ(x)的极小值点,应选(B).2.设f(x)连续可导,,f(0)为f(x)的极值,则( ).A.当f(0)=0时,f(0)是f(x)的极小值B.当f(0)=0时,f(0)是f(x)的极大值C.当f(0)>0时,f(0)是f(x)的极大值D.当f(0)<0时,f(0)是f(x)的极小值正确答案:A解析:因为f(x)连续可导,所以由=1得f(0)+f’(0)=0.当f(0)≠0时,因为f’(0)≠0,所以f(0)不是极值,(C),(D)不对;当f(0)=0时,f’(0)=0,由1==f’’(0)+f’(0)得f’’(0)=1>0,故f(0)为f(x)的极小值,选(A).3.设f(x,y)=,则f(x,y)在点(0,0)处( ).A.连续,但不可偏导B.可偏导,但不连续C.连续、可偏导,但不可微D.可微正确答案:D解析:由=f(0,0)得f(x,y)在(0,0)处连续.由=0得fx’(0,0)=0,再由得fy’ (0,0)=,即f(x,y)在(0,0)处可偏导且fx’(0,0)=0,fy’ (0,0)=.令ρ=,A=fx’(0,0)=0,B=y’ (0,0)=,则⊿z-A(x-0)-B(y-0)=,因为≤1且所以=0.故f(x,y)在(0,0)处可微,应选(D).4.设级数an(2x-1)n在x=﹣1收敛,在x=2处发散,则级数nanx2n+1的收敛半径为( ).A.3B.C.2D.正确答案:B解析:设级数an(2x-1)n的收敛半径为r,由得r=3;由得级数nanx2n+1的收敛半径为R=,应选(B).5.设A,B为n阶矩阵,则下列结论正确的是( ).A.若A2~B2,则A~BB.矩阵A的秩与A的非零特征值的个数相等C.若A,B的特征值相同,则A~BD.若A~B,且A可相似对角化,则B可相似对角化正确答案:D解析:由A~B得A,B的特征值相同,设为λ1,λ2,…,λn,且存在可逆矩阵P1,使得P1﹣1AP1=B,即A=P1BP1﹣1;因为A可相似对角化,所以存在可逆矩阵P2使得P2﹣1AP2=即A=,于是有P1BP1﹣1=,或P2﹣1P1BP1﹣1P2=,取P=P1﹣1P2,则PBP﹣1=即B可相似对角化,应选(D).6.设向量组α1,α2,α3线性无关,β1不可α1,α2,α3线性表示,而β2可由α1,α2,α3线性表示,则下列结论正确的是( ).A.α1,α2,β2线性相关B.α1,α2,β2线性无关C.α1,α2,α3,β1+β2线性相关D.α1,α2,α3,β1+β2线性无关正确答案:D解析:因为β1不可由α1,α2,α3线性表示,而β2可由α1,α2,α3线性表示,所以β1+β2不可由α1,α2,α3线性表示,从而α1,α2,α3,β1+β2线性无关,故选(D).7.设P(A|B)-P(B|A)=,则( ).A.事件A,B独立且P(A+B)=B.事件A,B独立且P(A+B)=C.事件A,B不独立且P(A+B)=D.事件A,B不独立且P(A+B)=正确答案:C解析:由P(A|B)=P(B|A)=得P(A)=P(B),再由P()=得P(A)=P(B)=且P(AB)=,因为P(AB)≠P(A)P(B),所以A,B不独立,故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=,选(C).8.设总体X~N(0,σ2),(X1,X2,X3)为总体X的简单随机样本,为样本均值,S2为样本方差,则A.B.σ4C.D.σ2正确答案:A解析:且X与S2独立,则.填空题9.设f(x)为连续函数,且f(1)=1,则正确答案:解析:10.正确答案:解析:11.差分方程的通解为.正确答案:解析:对差分方程yx1-ayx=kbx,当b≠a时,通解为;当b=a时,通解为,于是的通解为12.设u=ex+y+z,且y,z由方程及ey+z=e+lnz确定为x的函数,则正确答案:解析:令x=0得y=0,x=1,将方程及ey|x=e+lnz对.x求导得将x =0,y=0,z=1代入得13.设,且ABAT=E+2BAT,则B=.正确答案:解析:由ABAT=E+2BAT,得ABAT=(AT)﹣1AT+2BAT,因为AT可逆,所以AB=(AT)﹣1+2B或B=(A-2E)﹣1(AT)﹣1=[AT(A-2E)]﹣1,解得14.设随机变量X,Y相互独立,且都服从(﹣1,1)上的均匀分布,令Z =max{X,Y),则P{0<Z<1}=________.正确答案:解析:因为X,Y都服从(﹣1,1)上的均匀分布,所以解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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2017考研数学模拟测试题完整版及答案解析(数三)一、 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。
(1)()f x 是在(0,)+∞内单调增加的连续函数,对任何0b a >>,记()baM xf x dx =⎰,01[()()]2b a N b f x dx a f x dx =+⎰⎰,则必有()(A )M N ≥;(B )M N ≤;(C )M N =;(D )2M N =;(2)设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续,在(,0)(0,)-∞+∞U 内可导,函数()y y x =的图像为则其导数的图像为()(A)(B)(C)(D)(3)设有下列命题:①若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛,则1n n u ∞=∑收敛;②若1n n u ∞=∑收敛,则10001n n u ∞+=∑收敛;③若1lim1n n nu u +→∞>,则1n n u ∞=∑发散;④若1()n n n u v ∞=+∑收敛,则1n n u ∞=∑,1n n v ∞=∑收敛 正确的是()(A )①②(B )②③(C )③④(D )①④(4)设220ln(1)()lim 2x x ax bx x→+-+=,则() (A )51,2a b ==-;(B )0,2a b ==-;(C )50,2a b ==-;(D )1,2a b ==-(5)设A 是n 阶矩阵,齐次线性方程组(I )0Ax =有非零解,则非齐次线性方程组(II )T A x b =,对任何12(,,)T n b b b b =L(A )不可能有唯一解;(B )必有无穷多解; (C )无解;(D )可能有唯一解,也可能有无穷多解(6)设,A B 均是n 阶可逆矩阵,则行列式1020TA B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值为 (A )1(2)n A B --;(B )2T A B -;(C )12A B --;(D )12(2)n A B -- (7)总体~(2,4)X N ,12,,,n X X X L 为来自X 的样本,X 为样本均值,则()(A )2211()~(1)1n i i X X n n χ=---∑;(B )2211(2)~(1)1n i i X n n χ=---∑;(C )2212()~()2ni i X n χ=-∑;(D )221()~()2ni i X X n χ=-∑;(8)设随机变量,X Y 相互独立且均服从正态分布2(,)N μσ,若概率1()2P aX bY μ-<=则()(A )11,22a b ==;(B )11,22a b ==-;(C )11,22a b =-=;(D )11,22a b =-=-;二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。
把答案填在题中的横线上。
(9)已知3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭,2()arcsin f x x '=,则0x dy dx ==。
(10)方程3001()()3x x f x t dt x f t dt -=+⎰⎰满足(0)0f =的特解为。
(11)2222()Dx y d a b σ+=⎰⎰。
其中D 为221x y +≤。
(12)24610(1)1!2!3!x x x x dx -+-+=⎰L 。
(13)设A 是三阶矩阵,已知0,20,30A E A E A E +=+=+=,B 与A 相似,则B 的相似对角形为。
(14)设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取的两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率为。
三、解答题15~23小题,共94分。
解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)(本题满分10分)设函数(,)u f x y =具有二阶连续偏导数,且满足等式22222430u u u x x y y ∂∂∂++=∂∂∂∂。
确定,a b 的值,使等式在变换,x ay x by ξη=+=+下简化为20uξη∂=∂∂。
(16)(本题满分10分)求幂级数1(1)n n n x ∞=-∑的收敛域及其在收敛域内的和函数;(17)(本题满分10分)设()f x 在[0,)+∞连续,且101()2f x dx <-⎰,()lim 0x f x x→+∞=。
证明:至少0,ξ∃∈(+∞),使得()f ξξ+=0。
(18)(本题满分10分)过椭圆223231x xy y ++=上任一点作椭圆的切线,试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。
(19)(本题满分10分)设()0()0x f x e x x g x xax b x ⎧--<⎪=⎨⎪+≥⎩,其中()f x 在0x =处二阶可导,且(0)(0)1f f '==。
(I )a 、b 为何值时()g x 在0x =处连续? (II )a 、b 为何值时()g x 在0x =处可导? (20)(本题满分11分)(21)(本题满分11分)设A 为三阶方阵,123,,ααα为三维线性无关列向量组,且有123A ααα=+,213A ααα=+,312A ααα=+。
求(I )求A 的全部特征值。
(II )A 是否可以对角化?(22)(本题满分11分)设,A B 为相互独立的随机事件,已知()(01)P A p p =<<,且A发生B 不发生与B 发生A 不发生的概率相等,记随机变量 (I )求(,)X Y 的联合分布律;(II )在0Y =的条件下,求X 的条件分布律; (Ⅲ)计算XY ρ.(23)(本题满分11分)设两随机变量(,)X Y 在区域D 上均匀分布,其中{(,):1}D x y x y =+≤,又设U X Y =+,V X Y =-,试求: (I )U 与V 的概率密度()U f u 与()V f v ; (II )U 与V 的协方差cov(,)U V 和相关系数UV ρ数三参考答案二、 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号中。
(1) A解:设0()(),0xF x x f t dt x =>⎰,则所以,001()[()()]2b b a a M xf x dx b f x dx a f x dx N =≥+=⎰⎰⎰(2)B解:由于函数可导(除0x =)且取得两个极值,故函数有两个驻点,即导函数图像与x 轴有且仅有两个交点,故A ,C 不正确。
又由函数图像,极大值应小于极小值点,故D 不正确。
(3)B解:因级数10001n n u ∞+=∑是1n n u ∞=∑删除前1000项而得,故当1n n u ∞=∑收敛时,去掉有限项依然收敛,因此10001n n u ∞+=∑收敛,若1lim1n n nu u +→∞>,则存在正整数N ,使得n N ≥是,n u 不变号。
若0n u >,有正项级数的比值判别法知n n Nu ∞=∑发散。
同理可知,如果0n u <,则正项级数()n n Nu ∞=-∑发散,因此nn Nu∞=∑发散。
故②③正确,选B(4)A解:2200ln(1)()1/(1)(2)limlim 22x x x ax bx x a bx x x→→+-++-+==,因0lim 0x x →=,则 0lim1/(1)(2)0x x a bx →+-+=,故1a =。
而22200ln(1)()ln(1)lim lim 2x x x x bx x x b x x →→+-++-=+=,故122b +=-,所以52b =- 【也可以用泰勒公式计算】 (5)A解:0Ax =有非零解,充要条件是()r A n <,由此即可找到答案。
(6)D解:1020TA B -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=11202202TT A A B B --⎡⎤-=--⎢⎥-⎣⎦=12(2)nA B -- (7)C解:由于2~(2,2)i X N ,所以2~(0,1)2i X N - 故222~(1)2i X χ-⎛⎫ ⎪⎝⎭,2212~()2ni i X n χ=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑ (8)B因为aX bY -服从正态分布,股根据题设1()2P aX bY μ-<=知, ()()()()E aX bY aE X bE Y a b μμ-=-=-=,从而有1a b -=,显然只有(B )满足要求。
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分。
把答案填在题中的横线上。
(9)应填32π。
解:由3232x y f x -⎛⎫= ⎪+⎝⎭,2()arcsin f x x '=得(10)应填()2(1)2x f x x e =+-解:令x t u -=,原方程变为30001()()()3x x x x f u du uf u du x f t dt -=+⎰⎰⎰方程两边对x 求导得20()()xf u du x f x =+⎰再两边对x 求导得()2()f x x f x '=+,即2dyy x dx-=- 由(0)0y =得2C =-,故()2(1)2x y f x x e ==+- (11)应填2211()4a bπ+(12)应填11(1)2e --解:因224622223()()(1)[1]1!2!3!1!2!3!x x x x x x x x x xe -----+-+=++++=L L 故原式22211121000111(1)222x x x xedx e dx e e ----===-=-⎰⎰(13)应填123-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭【形式不唯一,只要是对角线上为-1,-2,-3就对】 解:由0,20,30A E A E A E +=+=+=,知A 的特征值为11231,2,3λλλ=-=-=-,相似矩阵具有相同的特征值,所以B 的特征值也为11231,2,3λλλ=-=-=-,故B 相似的标准形为123-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (14)应填解:设A :“所取的两件产品中至少有一件事不合格品”,B :“所取的两件都是不合格品”因为226102()1()1(/)3P A P A C C =-=-=,224102()/)15P B C C ==所以()()1()()()5P AB P B P B A P A P A === 三、解答题15~23小题,共94分。
解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。
(15)(本题满分10分)解:2222222,2u u u u u u ux x ξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂, 222222222,2u u u u u u u a b a ab b y y ξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=+=++∂∂∂∂∂∂∂∂, 将以上各式代入原等式,得2222222(341)[64()2](341)0u u u a a ab a b b b ξξηη∂∂∂+++++++++=∂∂∂∂,由题意,令223410,3410,a ab b ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩且64()20ab a b +++≠ 故1,1,31,1,3a a b b =-⎧⎧=-⎪⎪⎨⎨=-⎪⎪=-⎩⎩或(16)(本题满分10分)解:(I )由于lim11n nn →∞=+,所以11x -<,即02x <<, 当0x =和2x =时幂级数变为1(1)nn n ∞=-∑及1n n ∞=∑,均发散,故原级数的收敛域为(0,2)设1111()(1)(1)(1)(1)()nn n n s x n x x n x x s x ∞∞-===-=--=-∑∑则11111()(1)1(1)2xn n x x s x dx x x x∞=--=-==---∑⎰, 所以1211()2(2)x s x x x '-⎛⎫== ⎪--⎝⎭,则21()(2)x s x x -=- (17)(本题满分10分)证明:作函数()()F x f x x =+,有1111()[()]()02F x dx f x x dx f x dx =+=+<⎰⎰⎰。