第五章 连续系统的S域分析

解：
L[es0t (t)] es0test dt e(ss0 )t dt
0
0
1 s s0 , Re[s] Re[s0 ]
若s0为实数，令s0＝，则有
et (t) 1 , Re[s] s
et (t) 1 , Re[s] s
若s0为实数，令s0＝j，则有
e jt (t) 1 , Re[s] 0 s j
相应傅里叶逆变换:
二、单边拉氏变换
实际系统分析时，t<0时，f(t)=0
单边拉氏变换
例1、求L[ (t)]
解：L[ (t)] (t)est dt est dt
0
0
1 est 1
s
0
s
例2、求L[ (t)]
解：L[ (t)]
(t)est dt
1
0
例5.1－5： f(t)=es0t(t)的象函数（式中s0为复常数）
故i(t) L1[I (s)] 0.75 (t) 4.25e 2t (t)
6、时域积分特性（积分定理）
• 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0, 则
f
(n) (t)
(
t )n
f
(x)dx
1 sn
n
F(s)
m1
1 s nm1
f
(m) (0 )
7. 卷积性质: 若 x1(t) X1(s), ROC : R1 x2 (t) X 2 (s), ROC : R2 则
e jt (t) 1 , Re[s] 0 s j
三、常见函数拉普拉斯变换
(t) ←→1，Re(S)> -∞
(t)或1 ←→1/s , Re(S)> 0 • ’(t) ←→S， Re(S)> -∞
es0t 1 s s0
• t(t) ←→1/s2 , Re(S)> 0
§5.2拉氏变换的基本性质
2
1 L[e jt ] 1 L[e jt ]
2
2
1 1 1 1 s
2 s j 2 s j s2 2
2、尺度变换
若L f t F s
则L[ f (at)] 1 F ( s ) aa
a0
X (s)
s
1 1
2, 2s 1
2
ROC : 1
2
可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的
1. 线性（Linearity ）：
若 x1(t) X1(s), x2 (t) X 2 (s),
ROC : R1
ROC : R2
则 ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC至少是 R1 I R2
例1、 求L[cost]
解 ：L[cost] L[ 1 (e jt e jt )]
5.3 拉普拉斯逆变换
直接利用定义式求反变换---复变函数积分。
比较困难
• 通常的方法: （1）查表法 （2）利用性质（3） 部分分式展开-----结合 • 若象函数F(s)是s的有理分式，可写为
若m≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解 为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
• 下面主要讨论有理真分式的情形。 • 部分分式展开法 • 若F(s)是s的实系数有理真分式（m<n)，则可
L[ f n (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f (0) f n1(0)
例4、求L[sin t]
解 : L[sint] L[ 1 (cos t )]
1
(s
s2
s
2
1)
s2
2
例5、求图示RL串联电路的电流响应。
3 (t)V
2H i(t)
解：列回路方程 2 di 4i 3 (t)
x(t)es0t X (s s0), ROC : R Re[s0 ]
表明 X (s s0)的ROC是将X (s)的ROC平移了
一个Re[s0 ] 。
例3、求L[et sin t]
由sin
t
s2
2
得L[et
sin
t]
s
2
2
5、时域微分性质 若L[ f (t)] F (s)
则L[ df (t)] sF (s) f (0) dt
ROC在S平面上作相反的尺度变换。
特例 x(t) X (s), ROC : R
3. 时移性质（Time Shifting）:
若 x(t) X (s), ROC : R
则 x(t t0) X (s)est0 , ROC不变
4. S域平移（Shifting in the s-Domain）: 若 x(t) X (s), ROC : R 则
写为
式中A(s)称为F(s)的特征多项式，方程A(s)=0称为特征方 程，它的根称为特征根，也称为系统的固有频率（或自 然频率）。n个特征根pi称为F(s)的极点。
（1）F(s)为单极点（单根）
（2）F(s)有重极点（重根） • 若A(s) = 0在s = p1处有r重根，
x1(t) x2 (t) X1(s) X 2 (s) ROC: 包括R1 I R2
复卷积定理
若L[ f1(t)] F1(s), L[ f2 (t)] F2 (s)
则L[
f1 (t )
f2 (t)]
1
2j
[F1(s)
F2 (s)]
8、 S域微分:（Differentiation in the s-Domain）
第五章 连续系统的S域分析
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变来自百度文库 二、收敛域 三、(单边)拉普拉斯变换
5.2 拉普拉斯变换的性质 5.3 拉普拉斯变换逆变换 5.4 复频域分析
一、微分方程的变换解 二、系统函数 三、系统的s域框图 四、电路的s域模型
5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶到拉普拉斯变换
dt
4 方程两边取拉氏变换2[sI (s) i(0)] 4I (s) 3
s
i(0) 5A
整理 I (s)(2s 4) 3 10 3 10s
s
s
I (s) 3 10s 1.5 5
2(s 2) s s(s 2) s 2
0.75 0.75 5 0.75 4.25 s s2 s2 s s2
若 x(t) X (s), ROC: R 则 tx(t) dX (s) , ROC: R
ds
9、初值定理和终值定理 初值定理和终值定理常用于由F(s)直接求f(0+)和f(∞）， 而不必求出原函数f(t) 初值定理 设函数f(t)不含(t)及其各阶导数，
终值定理
若f(t)当t →∞时存在，并且f(t) ← → F(s) , Re[s]>0,