中考数学压轴题复习-胡不归和阿氏圆模型 (无答案)
中考专题- 胡不归专题(解析版)
专题03 胡不归专题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如P A +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“P A +kP ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题； （2）阿氏圆． 【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BCV V的值最小．V 1V 2V 1驿道砂石地ABCV 2V 1MNCBA【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值． 【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CHk AC=，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．M M【模型总结】在求形如“P A+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“P A+kPB”型问题转化为“P A+PC”型．而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段．例题1. 如图，△ABC中，AB=AC=10，tan A=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD 的最小值是_______．【分析】本题关键在于处理BD”，考虑tan A=2，△ABE三边之比为1:2sin∠，故作DH⊥AB交AB于H点，则DH=．问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H共线时值最小，此时CD DH CH BE+===．【小结】本题简单在于题目已经将BA线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．变式练习>>>1．如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+的最小值等于________．【分析】考虑如何构造”，已知∠A=60°，且，故延长AD，作PH⊥AD延长线于H点，即可得PH，将问题转化为：求PB+PH最小值．当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角△ABH即可得BH长．AB CDEHEDCBA AB CDEHαsinα5H EDCBAEDCBA BCD PMHPD CBA A BCD PHM例题2. 如图，AC是圆O的直径，AC＝4，弧BA＝120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵的度数为120°，∵∵C＝60°，∵AC是直径，∵∵ABC＝90°，∵∵A＝30°，作BK∵CA，DE∵BK于E，OM∵BK于M，连接OB．∵BK∵AC，∵∵DBE＝∵BAC＝30°，在Rt∵DBE中，DE＝BD，∵OD+BD＝OD+DE，根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，∵∵BAO＝∵ABO＝30°，∵∵OBM＝60°，在Rt∵OBM中，∵OB＝2，∵OBM＝60°，∵OM＝OB•sin60°＝，∵DB+OD的最小值为，故选：B．变式练习>>>2．如图，∵ABC中，∵BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝﹣．【解答】解：如图将∵ABP绕点A顺时针旋转60°得到∵AMG．连接PG，CM．∵AB＝AC，AH∵BC，∵∵BAP＝∵CAP，∵P A＝P A，∵∵BAP∵∵CAP（SAS），∵PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∵GAP＝60°，∵∵GAP是等边三角形，∵P A＝PG，∵P A+PB+PC＝CP+PG+GM，∵当M，G，P，C共线时，P A+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为2，∵CM＝2，∵∵BAM＝60°，∵BAC＝30°，∵∵MAC＝90°，∵AM＝AC＝2，作BN∵AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∵BC＝＝＝﹣．故答案为﹣．例题3. 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为（0，）．【解答】解：如图作GM∵AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），在Rt∵AMG中，GM＝AG，∵电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），当C、G、M共线时，且CM∵AB时，GM+CG最短，此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝所以点G的坐标为（0，﹣）．故答案为：（0，﹣）．变式练习>>>3．如图，∵ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P 从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH∵AC交AC于点H，交OA于D，易证∵ADH∵∵ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为∵ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为∵AOC∵∵BOD，所以＝，即＝，所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．例题4. 直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD＝CB．∵求点B的坐标；∵在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是（3，）．【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），∵点D在点C的下方，∵CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．（3）∵依照题意画出图形，如图1所示．过点C作CE∵x轴，过点B作BE∵y轴交CE于点E．∵直线BC的解析式为y＝x，∵BE＝CE，由勾股定理得：BC＝＝CE．∵CD＝CB，∵有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，∵m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．∵作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM∵BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．∵直线BC的解析式为y＝x，FM∵BC，∵tan∵FCM＝＝，∵sin∵FCM＝．∵B、B′关于对称轴对称，∵BF＝B′F，∵BF+CF＝B′F+FM．当点B′、F、M三点共线时B′F+FM最小．∵B点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x＝3，∵B′点的坐标为（0，8）．又∵B′M∵BC，∵tan∵NB′F＝，∵NF＝B′N•tan∵NB′F＝，∵点F的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．变式练习>>>4．如图1，在平面直角坐标系中将y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，直线l1与x轴交于点C；直线l2：y＝x+2与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线l1交于点D．（1）填空：点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（0，2）；（2）直线l1的表达式为y＝2x﹣2；（3）在直线l1上是否存在点E，使S∵AOE＝2S∵ABO？若存在，则求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，点P为线段AD上一点（不含端点），连接CP，一动点H从C出发，沿线段CP以每秒1个单位的速度运动到点P，再沿线段PD以每秒个单位的速度运动到点D后停止，求点H在整个运动过程中所用时间最少时点P的坐标．【解答】解：（1）直线l2：y＝x+2，令y＝0，则x＝﹣2，令y＝0，则x＝2，故答案为（﹣2，0）、（0，2）；（2）y＝2x+1向下平移3个单位长度得到直线l1，则直线l1的表达式为：y＝2x﹣2，故：答案为：y＝2x﹣2；（3）∵S∵AOE＝2S∵ABO，∵y E＝2OB＝4，将y E＝4代入l1的表达式得：4＝2x﹣2，解得：x＝3，则点E的坐标为（3，4）；（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，直线l2：y＝x+2，则∵ABO＝45°＝∵HBD，PH＝PD，点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．例题5. 已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得∵ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∵点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∵b＝﹣3，∵y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∵a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∵直线AC的解析式为：y＝x+3，∵∵∵ACP是以AC为直角边的直角三角形，∵CP∵AC，∵设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∵直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，解得，（不合题意，舍去），∵P（﹣，）；∵∵∵ACP是以AC为直角边的直角三角形，∵AP∵AC，∵设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，∵直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解y＝得，，∵P（，﹣），综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；（3）如图2中，作DM∵x轴交抛物线于M，作DN∵x轴于N，作EF∵DM于F，则tan∵DAN＝＝＝，∵∵DAN＝60°，∵∵EDF＝60°，∵DE＝＝EF，∵Q的运动时间t＝+＝BE+32DE=BE+EF，∵当BE和EF共线时，t最小，则BE∵DM，此时点E坐标（1，﹣4）．变式练习>>>5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的∵M与y轴的另一个交点为D．（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q 从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+8）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4；当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+4＝4，则C（0，4）∵BC＝4，AC＝2，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∵∵ABC为直角三角形，且∵ACB＝90°，∵AB为直径，∵圆心M点的坐标为（﹣3，0）；（2）以AP•AN为定值．理由如下：如图1，∵AB为直径，∵∵APB＝90°，∵∵APB＝∵AON，∵NAO＝∵BAP，∵∵APB∵∵AON．∵AN：AB＝AO：AP，∵AN•AP＝AB•AO＝20，所以AP•AN为定值，定值是20；（3）∵AB∵CD，∵OD＝OC＝4，则D（0，﹣4），易得直线BD的解析式为y＝﹣x﹣4，过F点作FG∵x轴于G，如图2，∵FG∵OD，∵∵BFG∵∵BDO，∵＝，即＝＝＝，∵点Q沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，∵当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，作∵EBI＝∵ABE，BI交y轴于I，作FH∵BI于H，则FH＝FG，∵AF+FG＝AF+FH，当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH∵BI，如图2，作DK∵BI，垂足为K，∵BE平分∵ABI，∵DK＝DO＝4，设DI＝m，∵∵DIK＝∵BIO，∵∵IDK∵∵IBO，∵＝＝＝，∵BI＝2m，在Rt∵OBI中，82+（4+m）2＝（2m）2，解得m1＝4（舍去），m2＝，∵I（0，﹣），设直线BI的解析式为y＝kx+n，把B（﹣8，0），I（0，﹣）代入得，解得，∵直线BI的解析式为y＝﹣x﹣，∵AH∵BI，∵直线AH的解析式可设为y＝x+q，把A（2，0）代入得+q＝0，解得q＝﹣，∵直线AH的解析式为y＝x﹣，解方程组，解得，∵F（﹣2，﹣3），即当点F的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q在整个运动过程中所用时间最少．1. 如图，在平面直角坐标系中，点()3,3A ，点P 为x 轴上的一个动点，当OP AP 21+最小时，点P 的坐标为___________.[答案]：()0,2P2. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M 为对角线BD （不含点B ）上的一动点，则BM AM 21+的最小值为___________.[答案]：323. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，﹣），C（2，0），其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求PB +PD 的最小值．【解答】（1）由题意，解得，∵抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∵顶点坐标（，﹣）；（2）设点M的坐标为（，y）．∵A（﹣1，0），B（0，﹣），∵AB2＝1+3＝4．∵以A为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM＝AB，则（+1）2+y2＝4，解得y＝±，即此时点M的坐标为（，）或（，﹣）；∵以B为圆心AB为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM＝AB，则（）2+（y+）2＝4，解得y＝﹣+或y＝﹣﹣，即此时点M的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；∵线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，则（+1）2+y2＝（）2+（y+）2，解得y＝﹣，即此时点M的坐标为（，﹣）．综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣+）或（，﹣﹣）或（，﹣）；（3）如图，连接AB，作DH∵AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∵tan∵ABO＝＝，∵∵ABO＝30°，∵PH＝PB，∵PB+PD＝PH+PD＝DH，∵此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt∵ADH中，∵∵AHD＝90°，AD＝，∵HAD＝60°，∵sin60°＝，∵DH＝，∵PB+PD的最小值为．4. 【问题提出】如图∵，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图∵，过点C做射线CM，使得∵BCM＝30°．（1）过点D作DE∵CM，垂足为E，试说明：DE＝；（2）请在图∵中画出所用时间最短的登陆点D′．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图∵中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）【综合运用】（4）如图∵，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．【解答】解：（1）如图∵，∵DE∵CM，∵∵DEC＝90°，在Rt∵BCM中，DE＝CD sin30°＝CD；（2）如图∵过点A作AE′∵CM交BC于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点；（3）如图∵，过点C作射线CM，使得sin∵BCM＝，过点A作AE∵CM，垂足为E交BC于点D，则点D为为所用时间最短的登陆点；（4）由题意得：t＝＝EF+CF，过点C作CD∵x轴交抛物线于点D，过点F作GF∵CD交CD于点G，∵ACB＝∵DCB＝α，sin∵ABC＝＝，则EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，点E是OB中点，其坐标为：（3，0），当x＝3时，对于y＝﹣x+3，y＝，点F坐标为（3，），t＝＝EF+CF，当H、F、E三点共线时，EF+FH＝OC＝3，即：最小时间为3秒．5. 如图，∵ABC是等边三角形．（1）如图1，AH∵BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∵CBQ的度数；（2）如图2，若点D为∵ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图1中∵∵ABC是等边三角形，AH∵BC，∵∵CAP＝∵BAC＝30°，CA＝CB，∵ACB＝60°，∵∵PCQ是等边三角形，∵CP＝CQ，∵PCQ＝∵ACB＝60°，∵∵ACP＝∵BCQ，∵∵ACP∵∵BCQ，∵∵CBQ＝∵CAP＝30°．（2）证明：如图2中，将∵ADC绕当A顺时针旋转60°得到∵ABQ，连接DQ．∵∵ACD∵∵ABQ，∵AQ＝AD，CD＝BQ，∵∵DAQ＝60°，∵∵ADQ是等边三角形，∵AD＝DQ，∵DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中∵BDQ）．（3）如图3中，作PE∵AB于E，CF∵AB于F交AH于G．∵PE＝P A，∵P A+2PC＝2（P A+PC）＝2（PE+PC），根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，P A+2PC的值最小，最小值为2CF．由（1）可知∵ACP∵∵BCQ，可得BQ＝P A，∵P A＝BQ＝AG＝CG＝y，FG＝y，∵x＝2（y+y），∵y＝x．6. 如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与∵ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F 的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线y＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∵A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y＝﹣x+b经过点B（4，0），∵﹣×4+b＝0，解得b＝，∵直线BD解析式为：y＝﹣x+．当x＝﹣5时，y＝3，∵D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝（x+2）（x﹣4）上，∵（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∵k＝．∵抛物线的函数表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）．即y＝x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∵C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∵ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是∵ABC∵∵APB或∵ABC∵∵P AB．∵若∵ABC∵∵APB，则有∵BAC＝∵P AB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN∵x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∵BAC＝tan∵P AB，即：，∵y＝x+k．∵P（x，x+k），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∵P（8，5k）．∵∵ABC∵∵APB，∵，即，解得：k＝．∵若∵ABC∵∵P AB，则有∵ABC＝∵P AB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN∵x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∵ABC＝tan∵P AB，即：＝，∵y＝x+．∵P（x，x+），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∵P（6，2k）．∵∵ABC∵∵P AB，＝，∵＝，解得k＝±，∵k＞0，∵k＝，综上所述，k＝或k＝．（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN∵x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，∵tan∵DBA＝＝＝，∵∵DBA＝30°．过点D作DK∵x轴，则∵KDF＝∵DBA＝30°．过点F作FG∵DK于点G，则FG＝DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AF+DF，∵t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH∵DK于点H，则t最小＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y＝﹣x+，∵y＝﹣×（﹣2）+＝2，∵F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK∵AB，AH∵DK，AH交直线BD于点F，∵∵DBA＝30°，∵∵BDH＝30°，∵FH＝DF×sin30°＝，∵当且仅当AH∵DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t＝，∵l BD：y＝﹣x+，∵F X＝A X＝﹣2，∵F（﹣2，）．7. 已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∵x轴交直线BC于Q，求线段PQ的最大值；（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为（﹣1，0）、（3，0），令x＝0，则y＝3，则点C的坐标为（0，3），直线BC过点C（0，3），则直线表达式为：y＝kx+3，将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2+2m+3，则点Q坐标为（3﹣n，n），则PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，∵a＝﹣1＜0，则PQ有最大值，当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；（2）过直线CG作∵GCH＝α，使CH∵GH，当sinα＝时，HG＝GC，则BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，则∵GBO＝α，∵sinα＝，则cosα＝，tanα＝，OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G（0，），CG＝3﹣＝，而BG＝，BG+CG的最小值为：；（3）作点A关于直线BG的对称点A′，过A′作A′N∵x轴，交BG于点M，交x轴于点N，则此时AM+MN取得最小值，即为A′N的长度，则：∵GBA＝∵AA′N＝∵OGB＝α，AA′＝2AB sin∵ABG＝2×4×sinα＝，A′N＝A′A cosα＝×＝，即：AM+MN的最小值为．8. 如图，在Rt∵ABC中，∵ACB＝90°，∵B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE∵CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH∵BP于点H，取AC中点O，连接OG，过点O作OQ∵BP于点Q，∵∵ACB＝90°，∵ABC＝30°，AB＝4，∵AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∵∵ABP是等边三角形，∵∵FBH＝30°∵Rt∵FHB 中，FH ＝FB∵当G 、F 、H 在同一直线上时，GF +FB ＝GF +FH ＝GH 取得最小值 ∵AE ∵CD 于点G ，∵∵AGC ＝90° ∵O 为AC 中点，∵OA ＝OC ＝OG ＝AC∵A 、C 、G 三点共圆，圆心为O ，即点G 在∵O 上运动 ∵当点G 运动到OQ 上时，GH 取得最小值 ∵Rt∵OPQ 中，∵P ＝60°，OP ＝3，sin∵P ＝ ∵OQ ＝OP ＝，∵GH 最小值为故选：C ．9. 抛物线2623663y x x =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．【分析】根据抛物线解析式得A ()32,0-、B ()2,0、C ()0,6，直线AC 的解析式为：363y x =+，可知AC 与x 轴夹角为30°． 根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC取到最大值． 过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC， 问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，设2623,663P m m m ⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭，则3,63E m m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，30,63H m ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，2636PE m m =--，E B 1O 1P A BCFyx O H O xyFC BA P O 1B 1EC 1O xyF CBAP O 1B 1ECH=，22=PE CH m+=+∵当PE+EC的值最大时，x＝﹣2，此时P（﹣2，），∵PC＝2，∵O1B1＝OB＝，∵要使四边形PO1B1C周长的最小，即PO1+B1C的值最小，如图2，将点P向右平移个单位长度得点P1（﹣，），连接P1B1，则PO1＝P1B1，再作点P1关于x轴的对称点P2（﹣，﹣），则P1B1＝P2B1，∵PO1+B1C＝P2B1+B1C，∵连接P2C与x轴的交点即为使PO1+B1C的值最小时的点B1，∵B1（﹣，0），将B1向左平移个单位长度即得点O1，此时PO1+B1C＝P2C＝＝，对应的点O1的坐标为（﹣，0），∵四边形PO1B1C周长的最小值为+3.。
2020年九年级数学中考复习专题：胡不归和阿氏圆问题 教案设计(无答案)
2020年中考复习专题：“胡不归”问题在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA+PB最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA+kPB”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：(1)胡不归问题；(2)阿氏圆.本文简单介绍“胡不归”模型【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家，根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不归?”(“胡”同“何”)而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早到家?【模型建立】如图，一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1＜V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使ACV2+BCV1的值最小【问题分析】AC V2+BCV1=1V1(BC+V1V2AC)，记k=V1V2，即求BC+kAC的最小值【问题解决】构造射线AD使得sin∠DAN＝k，CHAC=k，CH＝kAC.将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH 取到最小值，即BC+kAC最小.【模型总结】在求形如“PA+kPB＂的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PH+kPB”型问题转化为“PA+PC”型.而这里的PB必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB的等线段.【2019长沙中考】如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BEBD的最小值是上的一个动点，则CD+√55【2019南通中考】如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB＝6，BC=2，P为边CD上PD的最小值等于的一动点，则PB+√32【2014成都中考】如图，已知抛物线y＝k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝−√33x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式(2)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?【2018重庆中考】抛物线y=−√66x2−2√33x+√6与x轴交于点A，B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点P是直线AC上方抛物线上一点，PF⊥x轴于点F，PF与线段AC交于点E;将线段OB沿x轴左右平移，线段OB的对应线段是O1B1，当PE+12EC的值最大时，求四边形PO1B1C周长的最小值，并求出对应的点O1的坐标。
2024专题4.3圆---利用“胡不归”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)
F
由勾股定理可求得OD= 2 ,∴ D(0, 2 )
B
4
4
D
D
O
C
x
典例精讲
胡不归模型
知识点一
【例3】如图,菱形ABCD的对角线AC上有一动点P,BC=6,△ABC=150º,
则线段AP+BP+PD的最小值为___.
E
A
M
F
D
P
C
B
解析：根据对称性,AP+BP+PD=AP+2PB=2(0.5AP+PB),所以只需求0.5AP+PB
胡不归模型
知识点一
“已知在驿道和沙砾道行走的速度分别为v1和v2,显然v1＜v2,在BC上求
一定点D,使从点A至点D、再从点D至点B的行走时间最短”
不妨假设在AD上行走的速度为1个单位长度/s,在BD上行走的速度为2
A
个单位长度/s,总共用时为：t= AD1+D1H=AD1+BD1sin30º
第一步：在速度快的线段与起点相异的一侧,
1
AF
DF
点M运动的时间为
2
9
1
AF
DF
的最小值.
.即求
2
9
接下来问题便是如何构造DF/2,考虑BD与x轴夹角
y
为30º,且DF方向不变,故过点D作DM∥x轴,过点F
作FH⊥DM交DM于H点,则任意位置均有FH=DF/2.当
9
D
H
M
F F
A、F、H共线时取到最小值,根据A、D两点坐标可
中考数学复习方案 提分微课(05) 利用胡不归、阿氏圆 最值问题
∵ =2, =2,∴ = ,又∵∠PBG=∠PBC,
1
1
∴△PBG∽△CBP,∴ = =2,∴PG=2PC,
1
∴PD+2PC=DP+PG,∵DP+PG≥DG,
∴当 D,G,P 共线,且 P 在线段 DG 上时,
1
PD+2PC 的值最小,最小值为 DG 长,
1
上的一个动点,求4AQ+EQ 的最小值.
图W5-11
解:(1)∵OB=3OA= 3OC,A( 3,0),
∴点 B,C 的坐标分别为(-3 3,0),(0,-3).
设抛物线的解析式为 y=a(x+3 3)(x- 3),
1
代入点 C 的坐标,得: -3=a·3 3×(- 3),解得:a=3.
1
1
2 3
2
动点,那么 PD+3PC 的最小值为
2
,PD-3PC 的最大值为
图W5-8
.
[答案](2) 106
106
[解析]如图③中,在 BC 上取一点 G,使得 BG=4.
6 3
9 3
4 2
6 2
2
2
2
3
3
3
∵ = = , = = ,∴ = ,又∵∠PBG=∠PBC,
7.如图 W5-9,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,☉C 的半径为 2,点 P 是☉C 上
1
的一动点,则 AP+2PB 的最小值为
.
图W5-9
[答案] 10
[解析]记 BC 与☉C 交于点 E.取 CE 中点 D,
胡不归+阿氏圆(学生版)
（一）最短路径--------点P 在直线上运动------“胡不归”问题（PA+k·PB 型）如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P 为角∠MBN 其中一边BM 上的一个动点，点A 在射线BM、BN 的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P 作PQ⊥BN 垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q 三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
“胡不归”一般解题步骤：构造新的线段，使其等于k ·PB.Ps ：一般系数k 满足0＜k ＜1时直接构造，若k ＞1时，需要先提取系数，如”PA+2PB=2(21PA+PB).【例题精讲】1.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，M 为对角线BD（不含B 点）上任意一点,则AM+21BM 的最小值为___________.2.图1,抛物线与x 轴交于A(−1,0),B(3,0),顶点为D(1,−4)，点P 为y 轴上一动点。
(1)求抛物线的解析式；(2)在BC 下方的抛物线上，是否存在异于点D 的点E ，使S 三角形BCE=S 三角形BCD ？若存在，求出E 的坐标；(3)如图2,点M(−32,m)在抛物线上,求MP+22PC 的最小值。
3.如图,抛物线y=1/2x2+mx+n 与直线y=−1/2x+3交于A,B 两点,交x 轴于D,C 两点,连接AC,BC,已知A(0,3),C(3,0).(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan ∠BAC 的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ ⊥PA 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ACB 相似?若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
中考专题 阿氏圆专题(解析版)
阿氏圆专题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图 1 所示，⊙O 的半径为R ，点 A 、B 都在⊙O 外 ，P 为⊙O 上一动点，已知R=25OB ，连接 PA 、PB ，则当“PA+25PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段 OB 上截取OC 使 OC=25R ，则可说明△BPO 与△PCO 相似，则有25PB=PC 。
故本题求“PA+25PB ”的最小值可以转化为“PA+PC ”的最小值，其中与A 与C 为定点，P 为动点，故当 A 、P 、C 三点共线时，“PA+PC ”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB +的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P 使得PA k PB +的值最小，解决步骤具体如下： 1. 如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP ，OB2. 计算出这两条线段的长度比OPk OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM△△BOP ，则PCk PB=，PC k PB =4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值典题探究 启迪思维 探究重点例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB ≥BM 最小值，故当B ，P ，M 三点共线时得最小值，直接连BM变式练习>>>1．如图1，在RT △ABC 中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C 的半径为2，点P 为圆上一动点，连接AP ,BP ， 求①BP AP 21+，②BP AP +2，③BP AP +31，④BP AP 3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④= EABC DP例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，△C 的半径为10,点B 在△C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5. 变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，△AB＝BD＝4，BD是切线，△△ABD＝90°，△BAD＝△D＝45°，△AB是直径，△△APB＝90°，△△P AB＝△PBA＝45°，△P A＝PB，PO△AB，△AC＝PO＝2，AC△PO，△四边形AOPC是平行四边形，△OA＝OP，△AOP＝90°，△四边形AOPC是正方形，△PM＝PC，△PC+PD＝PM+PD＝DM，△DM△CO，△此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，△B的半径为2，P是△B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：△如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．△PB2＝4，BE•BC＝4，△PB2＝BE•BC，△＝，△△PBE＝△CBE，△△PBE△△CBE，△＝＝，△PD+PC＝PD+PE，△PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，△PD+PC的最小值为5．△连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF △BC 于F ．△PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，△BP 2＝BE •BD ，△＝，△△PBE ＝△PBD ，△△PBE △△DBP ， △＝＝，△PE ＝PD ，△PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），△PE +PC ≥EC ，在Rt△EFC 中，EF ＝，FC ＝，△EC ＝，△PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152．AB CDPABCDP MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，△B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．△＝＝，＝＝，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF△BC于F．△＝＝2，＝＝2，△＝，△△PBG＝△PBC，△△PBG△△CBP，△＝＝，△PG＝PC，△PD+PC＝DP+PG，△DP+PG≥DG，△当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，△DCF＝60°，CD＝4，△DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝△PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=，∴=，∵=，∴=，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴=，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM△AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y ＝0，则ax 2+（a +3）x +3＝0， △（x +1）（ax +3）＝0，△x ＝﹣1或﹣，△抛物线y ＝ax 2+（a +3）x +3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0）， △﹣＝4，△a ＝﹣．△A （4，0），B （0，3）， 设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，则，解得，△直线AB 解析式为y ＝﹣x +3．（2）如图1中，△PM △AB ，PE △OA ，△△PMN ＝△AEN ，△△PNM ＝△ANE ，△△PNM △△ANE ，△＝，△NE △OB ，△＝，△AN ＝（4﹣m ），△抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +3，△PN ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，△＝，解得m ＝2．（3）如图2中，在y 轴上 取一点M ′使得OM ′＝，连接AM ′，在AM ′上取一点E ′使得OE ′＝OE ． △OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， △OE ′2＝OM ′•OB ， △＝，△△BOE ′＝△M ′OE ′，△△M ′OE ′△△E ′OB ， △＝＝，△M ′E ′＝BE ′，△AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小 （两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时）， 最小值＝AM ′＝＝．1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值.[答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为________.[答案]：3. 如图，等边⊙ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.[答案]：2.4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C的半径为2，点P是C上的一动点，则12 AP PB的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A，()0,2B，()4,0C，()3,2D，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC+的最小值是多少？[答案]6. 如图，Rt△ABC，△ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝，连接AF，BD（1）求证：△BDC△△AFC；（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+AD的值；（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，△四边形CDEF是正方形，△CF＝CD，△DCF＝△ACB＝90°，△△ACF＝△DCB，△AC＝CB，△△FCA△△DCB（SAS）．（2）解：△如图2中，当点D，E在AB边上时，△AC＝BC＝2，△ACB＝90°，△AB＝2，△CD△AB，△AD＝BD＝，△BD+AD＝+1．△如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，△BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．△CD＝，CM＝1，CA＝2，△CD2＝CM•CA，△＝，△△DCM＝△ACD，△△DCM△△ACD，△＝＝，△DM＝AD，△BD+AD＝BD+DM，△当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；△AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，△AE＝AD，△AB＝AC，△A＝△A，AD＝AE，△△BAD△△CAE（SAS），△BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．△P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，△P A2＝AE•AD，△＝，△△P AE＝△DAP，△△P AE△△DAP，△＝＝，△PE＝PD，△PC+PD＝PC+PE，△PC+PE≥EC，△PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝6，DE＝，△EC＝＝，△PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．△MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，△MA2＝AE•AE，△＝，△△MAE＝△DAM，△△MAE△△DAM，△＝＝＝，△ME＝MD，△MC+MD＝MC+ME，△MC+ME≥EC，△MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，△△CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，△EC＝＝2，△MC+MD的最小值为2．。
线段最值之胡不归、阿氏圆、费马点+解析
关键词：注塑模具；数字化设计；智能制造；应用分析数字化设计与智能制造技术是管理科学、网络技术、制造技术以及计算机技术等多种先进技术的融合与应用的结果，是制造业向数字化与智能化发展的必然趋势[1]。
基于模具制造业发展形势，需要积极研究和应用数字化设计与智能制造技术，将相关技术与现代工业信息化技术的结合，打造模具设计与制造的系统化平台，从而提升模具设计与制造的智能化与数字化水平，以模具数字化设计、智能化制造促进高新技术科学应用，推动模具制造行业的创新与发展[2-4]。
1传统工艺流程传统情况下，精密铣削、精密三坐标测量和精密放电加工都是精密注塑模具制造过程的几大部分。
制造精密注塑模具的过程中，一般从以下几个方面着手。
第一，计算机辅助设计（ComputerAssistantDesign，CAD）部门主要负责模具的设计工作。
第二，计算机辅助制造（ComputerAidedManufacturing，CAM）部门主要负责工艺制定和数控加工工作[5]。
第三，电加工部门主要负责模具主要零件的电火花放电加工工作。
其中，电火花放电加工是精密模具制造的重要环节。
电加工过程中，三坐标指定测量点的选择、电极是否偏心、放电间隙是否准确等方面都需要进行严格的质量检测工作。
对于电极偏心和放电间隙存在问题的情况，需要基于质量控制（QualityControl，QC）提供的电极检测报告进行电火花放电加工工作。
只有在确定三坐标精密检测的情况下，才能够不断提高整个模具的制造精密度。
在电极偏心量和放电间隙存在偏差的情况下，模具精度会受到严重影响。
这种情况下运用手写标签的方式不仅会大大降低整体的生产效率，还无法实现3个工序之间的信息互享，无法达到高效率状态。
为了提高检测效率，大多数企业会使用电极抽检的方式进行检测[6]。
电极抽检是选择个别电极之间的偏差来指导电极的补偿，但是这种方式对模具精度的把控还没有达到较为准确的状态，有时甚至会引发模具报废。
2023年九年级数学中考专题复习——最值问题(将军饮马,胡不归,阿氏圆)
牛吃草最值问题：1.如图，AB 是⊙O 的直径，AB=8，点M 在⊙O 上，∠MAB=20°，N 是弧MB 的中点，P 是直径AB 上的一动点．若MN=1，则△PMN 周长的最小值为．2.如图,点P 是∠AOB 内一定点，点M 、N 分别在边OA 、OB 上运动，若∠AOB =45°，OP =32，则△PMN 周长的最小值为.3.如图,∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合,点P 是OA 上一动点,点N(6,0)是OB 上的一定点,点M 是ON 中点,∠AOB=30∘，要使PM+PN 最小，则点P 的坐标为.4.如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90º，∠CAB=30º， BC=1，将△ABC 绕点B 顺时针转动, 并把各边缩小为原来的一半，得到△DBE ，点A ，B ，E 在一直线上．P 为边DB 上的动点，则AP+CP 的最小值为 ．5.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立坐标系如图所示．若P 是x 轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA+QB 的值最小的点，则OP OQ ⋅＝ ．N M O P B A Ay6.如图，当四边形PABN 的周长最小时，a =．7.矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA=3，OB =4，D 为边OB 的中点. 若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF =2，当四边形CDEF 的周长最小时，则点F 的坐标为8.如图，在Rt △ABO 中，∠OBA ＝90°，A （4，4），点C 在边AB 上，且＝，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为三角形条件及隐圆最值问题1.如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△A′MN ，连接A′C. 则A′C 长度的最小值是.N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)O y x F D C B A x y O E F D C B A x y O E2如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是3.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是．4.如图，AB为直径，C为⊙O上一点，其中AB=4，∠AOC=120°，P为⊙O上的动点，取AP中点Q，连CQ，则线段CQ的最大值为5.如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时BH:CF＝6.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_____．7.如图，A(1，0)、B(3，0)，以AB为直径作⊙M，射线OF交⊙M于E、F两点，C为弧AB的中点，D为EF的中点．当射线OF 绕O点旋转时，CD的最小值为________8.如图，点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是______9.AB是半圆O的直径，AB=10，弦AC长为8，点D是弧BC上一个动点，连接AD，作CP⊥AD，垂足为P，连接BP，则BP的最小值是_____10.直线y＝x＋4 分别与x 轴、y 轴相交与点M、N，边长为2 的正方形OABC 一个顶点O 在坐标系的原点，直线AN 与MC 相交与点P，若正方形绕着点O 旋转一周，则点P 到点(0，2)长度的最小值是__________11.如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是x−3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结PA、12.如图，已知直线y=34PB．则△PAB面积的最小值是_____．13.如图，C、D是以AB为直径的圆O上的两个动点（点C、D不与A、B重合），在运动过程中弦CD始终保持不变，M是弦CD 的中点，过点C作CP⊥AB于点P．若CD=3，AB=5，PM=x，则x的最大值是14.如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是15.如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段P A的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是16.如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕着点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE ＝17.如图，在直角坐标系中，已知C（3，4），以点C为圆心的圆与y轴相切．点A、B在x轴上，且OA＝OB．点P为⊙C上的动点，∠APB＝90°，则AB长度的最大值为18.在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是19.如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝20..如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是路径问题：1.如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC 的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2.如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，OB＝2，P为上任意一点，过点P作PE⊥OB于点E，设M为△OPE的内心，当点P从点A运动到点B时，则内心M所经过的路径长为3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是4.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，则点P经过的路径长为．5.如图，边长为2 的正方形ABCD 的两条对角线交于点O，把BA 与CD 分别绕点B 和点C 逆时针旋转相同的角度，此时正方形ABCD 随之变成四边形A′BCD′．设A′C，BD′交于点O′，若旋转了60°，则点O 运动到点O′所经过的路径长为6.已知等边三角形ABC 的边长为4，点D 是边BC 的中点，点E 在线段BA 上由点B 向点A 运动，连接DE，以DE 为边在DE 右侧作等边三角形DEF．设△DEF 的中心为O，则点 E 由点 B 向点 A 运动的过程中，点O 运动的路径长为胡不归型问题：当 k≠1 且 k 为正数时，若点 P 在某条直线上运动时，此时所求的最短路径问题称之为“胡不归”问题．那么对于当“PA + k·PB”的值最小时，点 P 的位置如何确定呢?过点 P 作 PQ⊥BN，垂足为 Q，如图3则 k·PB = PB·sin∠MBN = PQ．因此，本题求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA +PQ”的最小值，即 A，P，Q 三点共线时最小．1.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=60°,M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+1BM的最小值为．22.在△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+BD的最小值是阿氏圆模型问题：已知平面上两点 A，B，则所有满足 PA + k·PB(k≠1，且 k 为正数)，若点 P 的轨迹是一个圆，当点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”（阿波罗尼斯圆）问题．如图所示，⊙O 的半径为 r，点 A，B 都在圆外，P 为⊙O 上的动点，已知 r = k·OB，连接 PA，PB，则当“PA + k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定?在线段 OB 上截取 OC 使 OC = k·r，则可说明△BPO∽△PCO，即 k·PB = PC．因此，求“PA + k·PB”的最小值转化为求“PA + PC”的最小值，即 A，P，C 三点共线时最小1.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上AM的最小值．一动点，求CM+122.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，则AP+1BP的最小值为．2旋转最值及路径问题：1.如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=3，以O为圆心，OA长为半径作⊙O，点M在⊙O上运动，连接MB，以MB为腰作等腰Rt△MBC，使∠MBC=90°，M，B，C三点为逆时针顺序，连接AC，则AC长的取值范围为___________．2.如图，线段AB为⊙O的直径，AB=4，点C为OB的中点，点P在⊙O上运动，连接CP，以CP为一边向上作等边△CPD，连接OD，则OD的最大值为___________．3.如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为y轴正半轴上一动点，连接AB，以AB为一边向下做等边△ABC，连接OC，则OC的最小值为__________4.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，点P为AB边上一动点，连接CP，以CP为边向下作等腰RT△CPD，连接BD，则BD的最小值为____________．5..如图，在直角坐标系中，已知点A（4，0），点B为直线y=2上一动点，连接AB，以AB为底边向下做等腰Rt△ABC，∠ACB=90°，连接OC，则OC的最小值为__________6.如图，已知点A（3，0），C（0，-4），⊙C的半径为√5，点P为⊙C上一动点，连接AP，若M为AP的中点，连接OM，则OM的最大值为．7．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90°得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是．8.如图，Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠C=90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC=CD，连接PD，过点D作．则当点P从点A运动到B点时，点E运动的路径长为DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE=252的一个定点，AC⊥x 轴于点M，交直线y=-x 于点N．若点P 是线段ON 上9.如图，点A 是第一象限内横坐标为3的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是旋转构图法（补形）问题：常见旋转模型：1.如图，在△ABC 中，AB=AC=32，∠BAC=120°，点D ，E 都在BC 上，∠DAE=60°，若BD=2CE ，则DE 的长为_____．2.在四边形ABCD 中，AD=4，CD ＝3，∠ABC=∠ACB ＝∠ADC=45°，则BD 的长为；3.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，将AB 边绕点A 逆时针旋转90°得到线段AD ，将AC 边绕点C 顺时针旋转90°得到线段CE ，AE 与BD 交于点F ．若DF=2，EF=22，则BC 边的长为____________．A D CB E FDE CB A4.如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6，∠ABC=150°，则线段AP+BP+PD的最小值为5.如图，在△ABC中,∠ABC＝30°，AB＝4 ,BC＝5 , P是△ABC内部的任意一点，连接PA , PB , PC，则PA + PB + PC 的最小值为．。
胡不归和阿氏圆问题(14页)
胡不归+阿氏圆(PA k PB +∙) 当你遇到“PA+kPB ”型最值时，当k=1时，可以转化为“将军饮马”模型，我们可以利用对称变换来处理。
而如果k ≠1的话，此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P 在直线上运动和点P 在圆上运动。
其中点P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题：点P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
利用“胡不归，阿氏圆”解决初中"PA k PB +∙"型的最值问题(加权线段和最值)
胡不归图
阿氏圆图
胡不归
①
'C
'
H ②
1
(2019长沙中考)如图，△ABC中,AB=AC=10,tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的一个动点,则的最小值是_____ (2019南通中考)如图，平行四边形ABCD中,∠DAB=60°,AB=6，BC=2,P为边CD上的一动点,则PB+的最小值等于．
阿氏圆
你会发现：原来我暗藏着“母子型”相似三角形！(形状完全一样，多像母子啊！)
, OPA OBP
，则∽所以
转化为简单的将军饮马型问题。
的距离与半径之比等于半径与圆心到定点r OB
这类题目虽然所求两条线段系数不为1，但并不是胡不归和阿氏圆问题，这和动点的运动轨迹有关系，需要大家细致辨别。
这是一道“隐藏的”隐形圆问题。
它的解法也非常巧妙，但仍然属于常规思路，只要对隐形圆基本模型掌握的熟练，应该是比较容易想到的。
这个题如果放在高中，也可以用正余弦定理去解决。
胡不归与阿氏圆问题精讲(已印)
中考数学培优之胡不归与阿氏圆问题精讲一、胡不归问题模型话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题．如图，A是出发点，B是目的地，直线AC是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂土，为了选择合适的路线，根据不同路面速度不同（驿道速度为a米/秒，砂土速度为b米/秒），小伙子需要在AC上选取一点D，再折往至B．例题：2019年长沙中考数学第12题二、胡不归问题典型题目汇总1.如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A(-1.0)、B )3,0(-)、C(2,0)，其对称轴与X 轴交于点D 。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标。
（2）若P 为y 轴上的一动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为_____ 。
（3）()t s M ,为抛物线对称轴上的一个动点。
①若平面内存在点N ，使得以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有_____个。
②连接MA 、MB ，若AMB ∠不小于 60，求t 的取值范围。
2.二次函数c x ax y +-=22的图象与x 轴交于A 、C 两点,点C （3，0）,与y 轴交于点B （0，－3）. (1)a=_____,c=_____.(2)如图1,P 是x 轴上一动点,点D （0，1）在y 轴上,连接PD,求PC PD +2的最小值;(3)如图2,点M 在抛物线上,若3=∆MBC S ,求点M 的坐标.3.如图1,在平面直角坐标系中,直线l 与x 轴、y 轴分别交于点B （4，0）、C （0，3）,点A 为x 轴负半轴上一点,BC AM ⊥于点M 交y 轴于点N,满足4CN ＝5ON.已知抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 、C. (1)求抛物线的函数关系式;(2)连接AC,点D 在线段BC 上方的抛物线上,连接DC 、DB,若BCD ∆和ABC ∆面积满足ABC BCD S S ∆∆=53,求点D 的坐标;(3)如图2,E 为OB 中点,设F 为线段BC 上一点(不含端点),连接EF.一动点P 从E出发,沿线段EF 以每秒1个单位的速度运动到F,再沿着线段FC 以每秒35个单位的速度运动到C 后停止.若点P 在整个运动过程中用时最少,请直接写出最少时间和此时点F 的坐标.4.如图，抛物线n mx x y ++=221与直线321+-=x y 交于A ，B 两点，交x 轴与D ，C 两点，连接AC ，已知A(0,3),C(3,0)。
中考数学之阿氏圆、胡不归模型求最值
“PA+k·PB”型的最值问题【问题类型】对于“PA+k·PB”型最值问题，根据k的取值可分两种情况：①当 k=1 时，即求“PA+PB”的最值，可用“将军饮马”模型来解决，主题思想是做轴对称；②当 k 取任意不为 1 的正数时，不能再用常规的轴对称思想来解决，必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P 所在图像的不同来分类，一般分为2类研究：①点 P 在直线上运动，即“胡不归”模型；②点P 在圆周上运动，即“阿氏圆”模型。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
②两点间线段最短。
③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
点P在直线上运动——“胡不归”问题一、背景故事从前，有一个小伙在在外地求学，得知父亲病危的消息后便日夜赶路回家。
然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚刚咽气了。
人们告诉他，在弥留之际，老人在不断喃喃地叨念：“胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线：如下图（1），A是出发地，B是目的地；直线l是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧是沙地。
为了急切回家，小伙子选择了直线路程AB。
但是，他忽略了在驿道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。
如果他能选择一条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。
那么，这合适的路线应该是哪条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在驿道上选定一点C，小伙子从A走到点C，然后从点C折往点B，可望最早到达点B。
用现代的科学语言表达，就是：若在驿道上行走的速度为v1，在沙地上行走的速度为v2，即求ACv1+BCv2的最小值。
二、问题解决说明：为了便于理解胡不归问题，将上述模型具体化。
即驿道上的速度为2m/s，沙地上的速度为1m/s，则问题转化为求AC2+BC的最小值。
联系：关于线段之和最小，我们熟悉的模型是将军饮马，但本题AC前的系数是12，应该如何做呢？假如能将AC2转化为系数为1的某条线段，就成为熟悉的将军饮马模型。
中考数学胡不归与阿氏圆模型讲解及例题
a=45时， BC 2 AC BC CD BD ；a=30时， BC 1AC BC CD BD22两定一动求最值，最终用垂线段最短来求解阿氏圆-两点之间线段最短构造S ΓMC Sd BpC »51^..∙.CΛΓ=J x炉枝・孔"・与WlU 交点HP 刃点" “亠 fP CJ ΛfPMff9 ・■■• • CRCPRP做中字宁中做• ：/>” -J 4~Z ><"点P 刃99匕—必点•詩BP. ・，p*t^⅛Ci ∣lli⅜ BJ«2B>« 2R3Λ0≡K第S 步.【焜示】9522tχ »3«>.斗歩： 笫3F二做中学穿中做•・.PM BP构UrM Szf 次" 9il»Znr rc在BC 上职点3. 快得∙^∙—L rnr J.∙. HM Ii⅛tt<5f ・ ⅛M M 3⅛Z∙J ΨΛA∕∙・PM 」2.:ΛM+ £ PO-Af^PM^JS必诗u.尸.M 三点火SeN 玄小.颠Λff ・ HyNr 中./刀■ W • an■ r∙zr匕在 Q»f Z m■小佢Q C梅系澈不为（的绒段的站个蠟点分别 T例心匕Hlil；接・连接C". CB,il ≡HiMΛtfc[ftc∕>. C"长皮8 辻卸这两务找段长度的比：：C .r>~ . Cr 1座CIr上収点Λ*∙ KfW VP 一2桥耒数不为f的电耳曲跆个* 口分别∖UIQ"4H述牍・嗖按〃化HC I il ΛM I WΛ(⅛WΛ∕F・"ciC∕θ½EP/〒it Mix∣*∣*ten κj(r r∣比十T .年CtRJ AΛYK-換第MJBO如四，在RuMC中，NA5 ・9(f^ ,AC-BC- 2 9以於2为顶点的正方用9DEF(C. D、E. F四个頂点按逆时针方向拮列》可以绕点C 自由恰动，且CD■返•连接—IiD.在证方形CDEF施籽过和中∙Bl)D2∕JK]:^j∩ΛCDM ^ΛCΛD Bl*.Λ2*≡^r r∙7∙r74rΓ'fe<*Λ¾Λ4^;的UBlr) H⅜ 个Ml 点分JMWiR∙DCWIFM： .JrlrCiW C2>. 汁Je川两条GW<∕>ιscfv sCD 2itJtlXRMβBWβ:/V的血K■厶T ；CM J2&d卜圾攻H.位够7齐■：..ev h»>r∕Mr.^MI<∙ ΛWΛΛ∕>.,CD CM DM√5・— ------- ----- ■ ——■・■eι CJ>yj.t∕>.W- — ^z>S∙ f “― 职W、z>. Λ/ Xtyy僅"・【盘WJlW?、5】・.，做中T r G做R厠劝XoyΛ" SM <Λ 1 /»第■步•g步■ 弟*步=宋••海5C兰珈=Z>桁系＜&不％MM J侦Bt旳网TaX点分別耳剧心LfH ⅛fR ,崔渍6"r?Z>；卄XHlFr 条tfcWl<Λ<. O∕>UΛ*it ∙F⅛∙*⅛Λe⅛wLκ^αft9 比ON J"≡"≡ββCP 2在QMfl9莊匸:级上lRΛCΛr・使御.-.OV釜J^*⅛U.VJ ,⅛Mc ⅛f/Λttp 为点"・CA-IOPOF 1「—■ ■”■ IIt 一■—OM R^f 2..Λ-<y*∙√∙z/ mru 135当■、几M三舄其曲MB小.金上AM「存.<≡><∙丹尸Λτ>fr2 ・AnFGX•上旳动点・x⅛ A ∕≠MC上∙CH-I .经Att .3、"&■ Λff-.m 2D匕的娠小俏[ _________________________________ S SfiB示】:B. O. M三τ≡HαtHgfi⅛<M .【窓兀认1上乐7】<fc∕A7∙ □JU∕V G" 圧为C的IF力用"5 内/W A^Λ⅛• /忖-・？• ∙W∕y IZ、的最小伯・I ISzRlD O n：1 ⅛{⅛*"T∙rςr ,⅛^滋貫口乎手匚门伪CQ 2 CΛf Z>M C∙l ~ √ " O 一 "QCQ 2€：H 47> >Γ- [ 17> CZ S Z?Z S€./> Hn> Hn 2ΠE。
【中考压轴】二次函数-胡不归，阿氏圆，米勒问题
【中考压轴】二次函数-胡不归，阿氏圆，米勒问题
（看到每天增加的患者数字，他们的背后都是一个个幸福的家庭，如今却因为这场疫情心力交瘁，还有那些因为疫情而牺牲的英雄们，他们不是为了自己，而是为了我们所有人。
所以希望大家真的不要给社会添乱，乖乖在家待着，这才是最正确的做法。
因为所有的悲欢离合，只有降临在自己头上的时候，我们才会知道那种感觉是多么的无助多么的痛苦。
加油，一切终会过去）加油中国！
二次函数压轴题题型全国来说也就那么多，最近的胡不归，阿氏圆，米勒问题和二次函数的融合比较难，如果学生不知道它们的背景，可能无从下手。
闲话少续，给几个典型中考题：
二次函数+胡不归问题（2015山东日照中考题）
二次函数+阿氏圆问题（2019日照）
二次函数+米勒问题（最大张角问题）（2019烟台）
上面几个问题，网上比较流行，答案就不在写了，童鞋们都可以查到。
篇幅所限不再细写，下面给些二次函数的习题，
答案：
二次函数综合题（胡不归，阿氏圆问题）主要是三角形知识的综合应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会构造三角函数三角形或相似三角形，利用两点之间线段最短解决最值问题，而米勒问题主要是切割线定理的应用，角度的最值在动点所在的直线与圆相切时取。
·END·。
【资料1】“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)
“PA+k·PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。
而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；【模型初探】（一）点P在直线上运动“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知sin∠MBN=k,点P为角∠MBN其中一边BM上的一个动点，点A在射线BM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定?分析：本题的关键在于如何确定“k·PB”的大小，过点P作PQ⊥BN垂足为Q，则k·PB=PB·sin∠MBN=PQ,∴本题求“PA+k·PB”的最小值转化为求“PA+PQ”的最小值(如图1-1-2)，即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3），本题得解。
图1-1-1图1-1-2图1-1-3思考：当k值大于1时，“PA+k·PB”线段求和问题该如何转化呢？提取系数k即可哦！！！【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
胡不归与阿氏圆专题
“PA+k•PB”型的最值问题【问题背景】“PA+k-PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时，即可转化为“PA+PB”之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理，即可以转化为轴对称问题来处理;2.当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，则无法进行，因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。
即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
【知识储备】线段最值问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；［模型初探］（-）点P在直线上运动►“胡不归”问题如图1-1-1所示，已知SIB/MBN=k,点F为角NMBN其中一边刷上的一个动点，点A在射线EM、BN的同侧，连接AP,则当“PA+k•FB”的值最小附，P点的位置如何确定？分析:本题的关键在于如何确定“k・PB”的大小,过点P作PQ_LBN垂足为Q,则k•PB 二PB•gin/MBX二PQ,二本题求“PA+k・P¥'的最小值转化为求“PA+PQ"的最小值（如图1-1-2）.即A、F、Q三点共线时最小（如图本题得解口【数学故事】从前，&一个小伙子在外地学徒「巧他来悉在冢的老父亲病危的消息后.便立即是程赶路.由于思多心切，他又考虑.了四点之间线段最坦的屏理,所以逸择「全是沙砾姓帝的直线路校q如图所不3而忽祝了赵析筵虽然蹄程多但速度快的实际情况.当他气喘回吁地赶到彖时，老人倒叫叫了气，小伙子失声描矍。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老A弥留之际小新念叨者"制不如？相不打？何以归:这个占•者的传混,引起『人们的思索.小伙子能否提前到宗？倘若可以，他应该选抒一条k睇的路线呢？这就是风靠干讦创的“制不出问详解；如图，作AN_L于BC垂足为N,丁四边形ABCD是菱形且/瓯=60°..：/DEC=30口，即8】“面子磊2:.AM+-BM=AM+MC,即AM+-BM的最小值为AN.2Z在RTZ\ABN中，AN=AB.sinNABUs曰=3忑\工蚓十次的最小值为内瓦2【变式训练】►（胡不归问题）1.如图,等腰△ABC中，旭二AC=3,BC=2f EC边上的高为AO,点D为射线AO上一点,一动点P,从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD卜.运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时,运动时间最短为秒.答案：；石，土£43工如图，在菱形ABCD中，AB=6,旦/ABC=150",点P是对角线观上的一个动点.则PA+FB+PD的最小值为.答案：6下(216-56.52)-4-216［模型初探］（二）点P在圆上运动►“阿氏圆”问题如图所示00的半径为叫点A、B都在外，P为上的动点।已知r-k•0B.连接PMPB,则当w PA+k•PB M己值最小时,P点的位置如何确图2-1-1图2-1-2【模型类比】①.胡不归”构造某角正弦值等于小于I系数起点构造所需角（k=Kn/CAE）过终点作所构角边的垂线利用垂线段最短解决问题2,（阿氏圆问题）如图，点A、B在Q0上，且0A二0B=6,且OA-OB.点C是0A 的中点，点D在05匕且OEM,动点P在它0匕则"C+P口的最小值为.分析；如何将2PC转化为其他线段呢？不难发现本题出现了中点，即2倍关系/r-\就出现「0套用.•阿氏圆”模型:构造共边共角相似半径的平方二原有线段工构造线段心0.738^73.8% 变式思考，（1）本题如要求“FC +^PD ”的最小值你会求吗?⑵本题如要求'（PC +|PD-的最小值你会求吗?答案:(1)二/(2)B^LQ 1.（2Q16•徐州）如图，在平面直角坐标系中,二次函数尸打一+bx+c 的图像经过 点#（-b0）,B （0,Y ）、C S0）,其中对称轴与范轴交于点D.若尹为¥轴上的一个动点，连接FD,则工号十期的最小值为9工（20L1.成都）如图，已知抛物线，=半/+工脂-4）与又轴从左至右依次交于点A,B,与y 轴交于点C,经过点B 的直线y —冬+苧与抛物线的另一个交点为以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D【中考真题】 *（胡不归问设F 为线段即上一点［不含端点），连接此 ・动点M 从点儿出发，沿线段AF 后停止,当点F 的坐标为时，点U 在整个运动过村中用时最少?【中考真题】>（阿氏•圆问题）（2017•甘肃兰州》如图，抛物线下=炉」去上上与宜线斯交于/电4,且Q4两点，直线此交通与点C点茎是直线里上的动点，过点EI车班Ur轴交女'于点F,交抛物线于点U⑴求抛物线-I区+e的表达式②）连接G』，EO,当四边形皿阳是平行四边形时，求点G的坐标:⑶①轴上存左一点H,连接&/,5当点E运动到什么位置时,以为顶点的四边形是矩.形？求出此时点瓦且的坐“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+k•PB”（k/1的常数）型的最值问题。
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P
中考模拟压轴题（2）
集合 3.胡不归模型
姓名
学习评价
1. 如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=10，∠BAC=30°，AD ⊥BC ，点 P 在线段 AD 上，则
PA+PB+PC 的最小值为
.
A
A
B
D
C
（第 1 题图）
（第 2 题图）
C
（第 3 题图）
2. 如图，在△ABC 中，AB=AC=10，tan A=2，BE ⊥AC 于点 E ，D 是线段 BE 上的一个动点，则
CD +
BD 的最小值为 ．
5
1
3. 如图，在△ABC 中，AB=4，AC=6，∠A=30°，点 D 为 AC 边上一动点，则
最小值为
．
4. 如图，四边形 ABCD 是菱形，AB=6，且∠ABC=60°， 点 M 是对角线 BD 上任意一点，则2AM + BM 的最 小值为
．
AD + DB 的
2
（第 4 题图）
5 D
B
5.如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5 千米的地方有一居民点B，A、B 的直线距离是13 千米.一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80 千米/小时，而在草地上的最快速度是40 千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B. (消防车可从公路的任意位置进入草地行驶)
6.如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB=50 km，B、C 间的距离为100 km，从A 到C 必须先坐船到BC 上的某一点D，航速为25 km/h，再乘汽车到C，车速为50 km/h，由A 到C 所用的时间t 最少h.
（第5 题图）（第6 题图）
7.如图，AB 为半圆O 的直径，AB=4，点P 为半圆O 圆弧上的一动点，点Q 为线段AB 上一点，且∠PQA=60°，则PQ+AQ 的最大值为．
（第7 题图）
（第8 题图）
8.如图，在△ACE 中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O 经过点C，且⊙O 的直径AB 在线段AE 上，
1设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD，当⊙O 的直径AB 为．CD OD 的最小值为6 时，则
2
3 9. 如图，二次函数 y = 4
15 x 2
- 8
15
x - 4 的图象与 x 轴交于 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左边），
3
与 y 轴交于点 C ，其对称轴与 x 轴交于点 D ，若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD ，则 5
的最小值为
．
10. 如图，P 为正方形 ABCD 对角线 BD 上一动点，若 AB=4，则 AP+BP+CP 的最小值为
．
（第 10 题图）
PC+PD
11. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象经过点 A(−1,0)，B(0, - )，
C(2,0)，其对称轴与 x 轴交于点 D
（1） 求二次函数的表达式及其顶点坐标；
1
（2） 若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD ，求 2
PB+PD 的最小值为.
y
x
集合 4.阿氏圆模型
姓名
学习评价
1. 如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点 D 是△ABC 内一动点，满足 CD=2，
2
则AD + BD 的最小值为
.
3
B
D
C
A
（第 1 题图）
（第 2 题图）
2. 如图，菱形 ABCD 的边长为 2，∠ABC 的度数为 60°，⊙A 与 BC 相切于点 E ，在⊙A 上任
取一点 P ，则PB
+
PD 的最小值为 .
2
3. 在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则 2PD+PC 的最小值是
.
（第 3 题图）
3
P
B
C
C P O
D
G
P
C
4. 如图，在正方形 ABCD 中，G 是正方形内一点，AD=4，P 是 BC 中点，且 BG=BP ，则 DG +
的最小值为
.
1 CG
2
A
D
A
D
B
（第 4 题图）
（第 5 题图）
5. 如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，∠B=60°，⊙B 的半径为 2，点 P 为⊙B 上的一动点，则
1
PD + PC 的最小值为
.
2
1
6. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，⊙B 的半径为 2，点 P 为⊙B 上的一动点，则 PD + PC
2
1
的最小值为 ； P D - PC 的最大值为
. 2
D
C
（第 6 题图）
A
B
（第 7 题图）
A
P
B
7. 如图，点 A 、B 在⊙O 上，OA=OB=12，且 OA ⊥OB .点 C 是 OA 的中点，点 D 在 OB 上，且
1
OD=10.动点 P 在⊙O 上，则PC
+ PD 的最小值为
.
2
⌒
8. 如图，已知⊙O 的半径是 1，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2，P 为AB
上一动点，则
PC + PD
2
的最小值为
.
D
A O
（第 8 题图）
B
（第 9 题图）
9. 如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点 B 为圆心作⊙B 于 AC 相切，P 为⊙B 上任
意一点，则PA +
PC 的最小值为 .
2
10. 如图，已知扇形 COD ，∠COD=90°，OC=6， ⌒
OA=3，OB=5，点 P 是CD 上任意一点，则
2PA + PB 的最小值为
.
（第 10 题图）
2 2 C
P
11. 如图1，抛物线y =ax2 + (a + 3)x + 3 (a≠0)与x 轴交于点A(4,0)，与y 轴交于点B，在x 轴上有一动点E(m,0)(0<m<4)，过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N，交抛物线于点P，过点P 作PM⊥AB 于点M.
（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；
（2）设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若C
1 =
6
，求m 的值；
C
2
5
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，
2
连接E′A、E′B，求E′A+
3
E′B 的最小值.。