2021年福州一中招生综合素质测试数学题目及详细答案
福建省福州一中2021届高三数学5月校质检 文(1)
福建省福州一中数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份（总分值150分 考试时刻120分钟）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式s=222121()()()n x x x x x x n ⎡⎤-+-++-⎣⎦… V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中有且只有一项为哪一项符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．）1.设复数121,2z i z bi =+=+, 假设12z z ⋅为纯虚数,那么实数b = A.2 B.2- C.1 D.1-2.以下导数运算正确的选项是 A. 211()1x x x'+=+B. 2(cos )2sin x x x '=- C. 3(3)3log x xe '= D. 21(log )ln 2x x '=3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，若是前6项均为正数，第7项起为负数，那么它 的公差为 A ．－2B ．－3C ．－4D ．－64.运行下面的程序，若是输入的n 是6，那么输出的p 是A. 120B. 720C. 1440D. 5040 5.将一个整体分为A, B, C 三层,其个体数之比为523,假设用分层抽样 抽取容量为200的样本,那么应从C 中抽取的个体数是A. 20B. 40C. 60D. 806.将函数cos()3y x π=-的图像上各点的横坐标伸长到原的2倍(纵坐标不变),再向左平移6π个单位,所得函数图像的一条对称轴为 A. 9x π=B. 8x π=C. 2x π=D. x π=7. 已知函数2(10)(),1)x x f x x x --≤≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩那么以下图象错误的是8.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 在1A D 上且12A E ED =,点F 在AC 上且2CF FA =, 那么EF 与1BD 的位置关系是A. 相交不垂直B. 相交垂直C. 异面D. 平行9.已知A 、B 为平面内两定点, 过该平面内动点M 作直线AB 的垂线,垂足为N, 若2MN AN NB λ=⋅, 其中λ为常数, 那么动点M 的轨迹不可能是 A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线10.已知12,F F 别离为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右核心, P 为双曲线右支上一点,知足212PF F F =,直线1PF 与圆222x y a +=相切, 那么该双曲线的离心率是 A.43 B. 53 C. 54D.以上都不正确 11.已知2a b >≥, 现有以下不等式 ①23b b a >-; ②41112()ab a b+>+; ③ab a b >+; ④log 3log 3a b >; 其中正确的选项是A. ②④B.①②C.③④D.①③12.设A 是整数集的一个非空子集,关于k A ∈, 若是1k A +∉且1k A -∉, 那么称k 是A 的一个“孤立元素”. 现给定集合{}1,2,3,4,5,6,7,8S =由S 的3个元素组成的所有集合中,不含“孤立元素”的集合共有多少个A. 6B. 7C. 8D. 9 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在答题卡的相应位置．13.式子4327log 3的值为__________________________. 14.设命题21:01x p x -<-. 命题2:(21)(1)0q x a x a a -+++≤. 假设p 是q 的充分没必要要条 件.那么实数a 的取值范围是____________________________. 1[0,]215.设点(,)a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点,记A ={}2()41(0)[1,)x f x ax bx a =-+>+∞关于的一元二次函数在上是增函数, 那么事件A 发生的概率是_____________________________. 1/316.如下图, △ABC 是边长为1的正三角形，且点P 在边BC 上运动. 当PA PC ⋅取得最 小值时，那么cos PAB ∠的值为________________．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明进程或演算步骤．17.（本小题总分值12分）已知等差数列{}n a 中，n S 是它前n 项和，设10,2106==S a . (I)求数列{}n a 的通项公式；(II)假设从数列{}n a 中依次掏出第2项，第4项，第8项，……，第2n项，……，按掏出的顺序组成一个新数列{}n b ，试求数列{}n b 的前n 项和n T . 18.（本小题总分值12分）某学校甲、乙两位学生参加数学竞赛的培训,在培训期间,他们参加5次初赛,成绩记录如下 (I)用茎叶图表示这两组数据;(II)现要从甲、乙两人当选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度考虑,你以为选派哪位学生参赛更适合? 并说明理由.19.（本小题总分值12分）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边别离为,,a b c , 且A ∠知足22cos A 23cos A A -1=-,(I)假设3,2a c ==, 求ABC ∆的面积; (II)求02cos(60)b ca C -⋅+的值.20.（本小题总分值12分）如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为3的正方形,平面PCD ⊥底面ABCD,E 是 PC 的中点.(I)求证//PA BDE 平面; (II)假设22PD PC DC ==,求证平面PDA ⊥平面PCB ; (III)假设侧棱PD ⊥底面ABCD ,PD=4.求PAD ∆以PA 为轴旋转所围成的几何体体积. 21.（本小题总分值12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++恒过的定点F 为椭圆的一个核心，且椭圆上的点到核心的最大距离为3. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）假设直线MN 为垂直于x 轴的动弦，且N M ,均在椭圆C 上，定点)0,4(T ，直线 MF 与直线NT 交于点S ．①求证：点S 恒在椭圆C 上； ②求MST ∆面积的最大值． 22.(本小题总分值14分) 已知函数21()2ln 2f x x x a x =-+有两个极值点12,x x 且12x x < (I)求实数a 的取值范围,并写出函数()f x 的单调区间; (II)判定方程()(1)f x a x =+根的个数并说明理由; (III)证明232ln 2()8f x -->.高三 (文科)数学校质检试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 题号 1 23 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A DCBCCBDCBDA二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13． 14-_________ ; 14． __1[0,]2_____ ; 15．13; 16． ____513______ .三、解答题本大题共6小题,总分值74分,解答须写出文字说明、证明进程和演算步骤. 17．（本小题总分值12分）解（Ⅰ）设数列d a a n ,,}{1公差分别为首项.那么由已知得 251=+d a ①，102910101=⨯+d a ② …………4分 联立①②解得)(102,2,81*∈-==-=N n n a d a n 所以…………6分（Ⅱ）),(102102212*+∈-=-⋅==N n a b n nn n ………………9分因此41021021)21(4221--=---=+++=+n n b b b T n n n n ………… 12分 18．（本小题总分值12分） 解 (1)作出的茎叶图如下…………4分 (2)派甲参赛比较适合. 理由如下1(8282799587)855x =++++=甲…………5分 1(9575809085)855x =++++=乙…………6分2222221[(7985)(8285)(8285)(8785)(9585)]31.65s =-+-+-+-+-=甲……8分2222221[(7585)(8085)(8585)(9085)(9585)]505s =-+-+-+-+-=乙……10分∵22,;x x s s <<乙乙甲甲 ∴甲的成绩较稳固,派甲参赛比较适合. ……12分19．（本小题总分值12分）解 (1)由已知 22cos A 23cos A A -1=-, 可得sin(2)16A π-=,∵1102(,)266662A A A ππππππ<<∴-∈-⇒∴-=即3A π∠=.………… 2分在ABC ∆中,由余弦定理得 22224121cos 242b c a b A bc b +-+-===解得4b =或2b =-(舍去); ………… 4分 ∴113sin 4223222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=………… 6分 (2)原式=0002sin()2sin 2sin 22sin sin 2sin 32sin cos(60)sin cos(60)sin cos(60)C CR B R C B C R A C A C A C π---⨯-==⋅+⋅+⋅+…… 9分 00033cos sin 3cos(60)22233cos(60)cos(60)C CC C C -+==++………… 12分 20．（本小题总分值12分） 解 (1)连接AC 交BD 于O, 连接EO.∵ABCD 是正方形, ∴O 为AC 中点, 已知E 为PC 的中点, ∴OE//PA. ………2分又∵OE ⊂平面BDE, PA ⊄平面BDE, ∴PA//平面BDE. …………3分 (2)在DPC ∆中, 2222,PD PC DC PD PC DC ==∴+= , 即DP ⊥PC. ……4分又已知 平面PCD ⊥底面ABCD, 平面PCD ∩平面ABCD=DC BC ⊥DC; ∴BC ⊥平面PDC, PD ⊂平面PDC, ∴PD ⊥BC, ………… 6分 BC 与PC 相交且在平面PBC 内.∴PD ⊥平面PCB, PD ⊂平面PDA, ∴平面PDA ⊥平面PCB. ………… 8分(3)过D 作PA 的垂线.垂足为H,那么几何体为以DH 为半径,别离以PH,AH 为高的两个圆锥的组合体. …………9分侧棱PD ⊥底面ABCD, ∴PD ⊥DA, PD=4, DA=DC=3, ∴PA=5431255PD DA DH PA ⋅⨯===,…………10分 22221133111248()53355V DH PH DH AHDH PA πππππ=⋅+⋅=⋅=⨯⨯= …………12分21．（本小题总分值12分）解：（1）直线)(03)21()3(R m m y m x m ∈=---++可化为 033)12(=-++--y x y x m ，……1分 由⎩⎨⎧=-+=--033012y x y x 得⎩⎨⎧==01y x ，)0,1(F ∴， 1=∴c ， ………… 3分又3=+c a ，2=∴a ，.3222=-=∴c a b ∴椭圆的方程为.13422=+y x ………4分 （2）①设直线MN 的方程为s x =，那么可设),(),,(t s N t s M -，且.124322=+t s直线MF 的方程为)1(1--=x s t y ，直线NT 的方程为).4(4---=x s t y …… 6分 联立求得交点)523,5285(---s t s s S ，…… 7分 代入椭圆方程124322=+y x 得， 222)52(1236)85(3-=+-s t s ，化简得：.124322=+t s∴点S 恒在椭圆C 上. ……………… 8分②直线MS 过点)0,1(F ，设其方程为1+=my x ，).,(),,(2211y x S y x M 联立⎩⎨⎧=++=1243122y x my x 得096)43(22=-++my y m ， .439,436221221+-=+-=+∴m y y m m y y ………… 9分 2222122112)43(1184)(23321++=-+=-⨯=∆m m y y y y y y S MST， 令)1(12≥+=u m u ，那么.6191)13()43(12222++=+=++uu u u m mu u 19+在),1[+∞上是增函数， uu 19+∴的最小值为10. .294118=⨯≤∴∆MST S ………………………………………12分 22．（本小题总分值14分）解(Ⅰ)由题设知,函数)(x f 的概念域为(0,)+∞,222()1a x x a f x x x x-+'=-+=;…………………1分且()0f x '=有两个不同的根, ∴2220,2x x a a x x -+==-+且(0)x >有两个交点.2211112()()4424a x x x =--++=--+有两个交点求得 1102,0.48a a <<⇒<< ∴a 的取值范围是1(0,)8.…………………3分(也可利用判别式1180,8a a ∆=-><即;又10,0x a =>∴>).∵1,2x =∴()()0;002121<'<<>'><<x f x x x x f x x x x 时，当时，或当 ∴()f x单调增区间为1(0,2和1()2++∞.单调减区间为11(22-+ ………………………5分 (Ⅱ)由已知方程 ()(1)f x a x =+212ln 2x x a x ax x ⇒-+--=0 ∴令21()(2)2ln 2t x x a x a x =-++, 22(2)2()(2)()(2)a x a x a x a x t x x a x x x-++--'=-++==…………………7分 0x →时,()t x →-∞;x →+∞时,()t x →+∞;∴()t x 有且只有1个零点, ∴原方程有且只有一个根. ……………………9分 (III)由(Ⅰ)可知x(0,)aa(,2)a 2 (,)a +∞()t x +0 -0 +()t x极大值极小值12221212(1)2x x a x x x x a +=⎧∴=-⋅⎨⋅=⎩ , ………………………10分而且由2x =得21(,1)2x ∈. ………………………11分 ∵21()2ln 2f x x x a x =-+=2121ln 2x x x x x -+⋅, 222222221()()ln 2f x x x x x x =-+- 2222222222()1(12)ln (12)ln x x f x x x x x x x -'⇒=-+-+=-, 其中21(,1)2x ∈………13分∴2()0f x '>, 函数()f x 在1(,1)2递增; ∴111111132ln 2()()()ln 22422428f x f -->=⨯-+-⋅=. ………………14分。
福建省福州市第一中学2022-学年高一数学在线自测自评质检试题(含解析)
福建省福州市第一中学2020-2021学年高一数学在线自测自评质检试题（含解析）一、单项选择题（共8题，每题3分） 1.设12log 3a =，132b =，0.113c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则有（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. a c b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的性质解答即可；【详解】解：212log 3log 30a ==-<，13221b =>=，0.10111033⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭<⎭=⎝，即()0,1c ∈ 所以a c b << 故选：D【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性的应用，属于基础题.2.定义在R 上的偶函数()f x 在[]0,5上是增函数，且()53f =，则()f x 在[]5,0-上是（ ）A. 增函数，且最大值是3B. 减函数，且最大值是3C. 增函数，且最小值是3D. 减函数，且最小值是3【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数()f x 的图象关于y 轴对称，结合已知，分析()f x 在[]5,0-上单调性和最值，可得答案． 【详解】解：偶函数()f x 的图象关于y 轴对称，故偶函数()f x 在对称区间上单调性相反，若函数()f x 在[]0,5上是增函数且()53f =，即最大值是3， 则()f x 在[]5,0-上是减函数且()53f -=，即最大值是3，故选：B ．【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握偶函数()f x 的图象关于y 轴对称，在对称区间上单调性相反，是解答的关键．3.已知向量a =(－2,1)，b =(－3，0)，则a 在b 方向上的投影为 ( ) A. －2 B. 2C. －5D.【答案】B 【解析】【详解】a 在b 方向上的投影为623||a b b ⋅== 4.若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合11,0,,2,52M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（ ） A. 1 B. 3C. 7D. 31【答案】B 【解析】 【分析】由定义求出集合A 中的元素可为1-，2与12必然同时出现，然后利用n 集合的非空子集个数为21n -． 【详解】解：1A -∈，111=-- 2A ∈则12A ∈12A ∈则2A ∈ {}1A ∴=-或12,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭或11,2,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，故选：B ．【点睛】本题考查集合与元素的关系，注意运用列举法，属于基础题．5.在直角坐标系中，函数322a y x a=+（a 为大于0的常数）所表示的曲线叫箕舌线.则箕舌线可能是下列图形中的（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再判断函数的单调性，最后根据特殊值即可判断；【详解】解：因为()322a y f x x a==+定义域为R ，()()()332222a a f x f x x a x a -===+-+，故函数()322a y f x x a==+为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除D ； 又函数2yx 在()0,∞+上单调递增，函数()0ky k x=>在()0,∞+上单调递减， 根据复合函数的单调性可得函数()322a f x x a =+在()0,∞+上单调递减，故排除B ； 当0x =时，()322000a f a a==>+，故排除C ； 故选：A【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的单调性与奇偶性的应用，属于中档题.6.已知函数sin()0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，且此函数的图象如图所示，由点(,)P ωϕ的坐标是（ ）A. 2,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. 2,4π⎛⎫⎪⎝⎭C. 4,2π⎛⎫⎪⎝⎭D. 4,4π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先由函数图象与x 轴的相邻两个交点确定该函数的最小正周期，并利用周期公式求出ω的值，再将点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭代入函数解析式，并结合函数在该点附近的单调性求出ϕ的值，即可得出答案．【详解】解：由图象可得函数的周期73288T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭∴2ππω=，得2ω=， 将3,08π⎛⎫⎪⎝⎭代入sin(2)y x ϕ=+可得3sin 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴324k πϕππ+=+ （注意此点位于函数减区间上） ∴2,4k k πϕπ=+∈Z由02πϕ<可得4πϕ=，∴点(,)ωϕ的坐标是(2,)4π，故选B ．【点睛】本题考查利用图象求三角函数()()sin 0y A x b A ωϕ=++>的解析式，其步骤如下：①求A 、b ：max min 2y y A -=，max min2y y b +=； ②求ω：利用一些关键点求出最小正周期T ，再由公式2Tπω=求出ω； ③求ϕ：代入关键点求出初相ϕ，如果代对称中心点要注意附近的单调性．7.甲船在岛B 的正南方A 处，10AB =千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A. 1507分钟 B.157分钟 C. 21.5分钟 D. 2.15分钟 【答案】A 【解析】分析：设经过x 小时距离最小，然后分别表示出甲乙距离B 岛的距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法可得到答案． 详解：假设经过x 小时两船相距最近，甲乙分别行至C ，D 如图示可知BC=10﹣4x ，BD=6X ，∠CBD=120°CD 2=BC 2+BD 2﹣2BC×BD×cosCBD=（10﹣4x ）2+36x 2+2×（10﹣4x ）×6x×12=28x 2﹣20x+100 当x=514小时即1507分钟时距离最小 故选A ．点睛：解决测量角度问题的注意事项 (1)明确方位角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用．8.函数()2sin cos33f x x x =+的最小正周期为（ ） A. 15π B. 12πC. 6πD. 3π【答案】C 【解析】 【分析】直接利用函数的周期性质的应用求出结果． 【详解】解：函数2()sincos33xf x x =+的最小正周期相当于函数2sin 3y x =的最小正周期2323ππ=与函数cos3y x =的最小正周期23π的最小公倍数． 故答案为6π． 故选：C ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．二、多项选择题（共2题，每题3分，错选不得分，漏选得1分） 9.将函数2y x =的图象向右平移6π个单位后，其图象的对称轴方程有（ ） A. 12x π=-B. 6x π=-C. 512x π=D. 712x π=【答案】AC 【解析】 【分析】由条件根据sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，可得结论．【详解】解：()2y f x x =，若将它的图象向右平移6π个单位，得到函数()2263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，令232x k ππ-=π+，k Z ∈，解得212k x π5π=+，k Z ∈， 当0k =时，512x π=；当1k =-时，12x π=-；故选：AC ．【点睛】本题主要考查sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．10.定义：若存在常数k ，使得对定义域D 内的任意两个不同的实数1x ，2x ，均有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在定义域D 上满足利普希茨条件.已知函数()()1f x x x =≥满足利普希茨条件，则以下哪些是常数k 的可能取值（ ）A. 2B. 1C.12D.13【答案】ABC 【解析】 【分析】根据函数满足利普希茨条件，分离参数，并化简，即可求得常数k 的最小值． 【详解】解：由题意，不妨设12x x >，则1212121x x kx x x x -=-+．因为1x ≥，所以122x x +≥，所以121102x x <≤+ 所以12k ≥，所以满足条件的有ABC ． 故选：ABC ．【点睛】本题是一个新定义的题，考查对新定义的理解能力及根据新定义的规则解答问题的能力，属于中档题.三、填空题（共4题，每题4分，有2个小空的每小空2分）11.如图，ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 中点，G 为交点，若AB a =，AD b =，则CG =________a +________b .【答案】 (1). 13- (2). 13- 【解析】 【分析】根据向量的加法运算及图形很容易表示出,DE BF ，对于CG 用两种方式表示：一种是，CG CD DG =+，DG 和DE 共线，所以存在x 使12DG xDE x a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，这样便可表示(1)2x CG x a b =--；另一种是CG CB BG =+，用同样的办法表示(1)2yCG a y b =-+-，这样便可求得x ，y ，从而表示出CG ．【详解】解：根据图形得：12DE DC CE a b =+=-；12BF BC CF b a =+=-，CG CD DG =+，DG 和DE 共线，∴存在实数x 使12DG xDE x a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；∴1(1)22x a x a b x a b ⎛⎫-+-=-- ⎪⎝⎭；又CG CB BG =+，∴同样(1)2yCG a y b =-+-；∴1212xy yx ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得23x =，23y =．∴1133CG a b =--．故答案为：13-；13-； 【点睛】考查向量的加法运算，共线向量基本定理，共面向量基本定理，属于中档题． 12.已知()f x 是奇函数，当0x >时，()()2f x x x =-，则0x <时，()f x =________ 【答案】()()2f x x x =+ 【解析】 【分析】当0x <时，0x ->，由0x >时，()(2)f x x x =-，及奇函数的定义()()f x f x =--，代入可得答案．【详解】解：当0x <时，0x ->，奇函数的定义()()f x f x =--， 又当0x >时，()(2)f x x x =-，()()(2)f x f x x x ∴=--=+，综上所述0x <时，()(2)f x x x =+． 故答案为：()()2f x x x =+【点睛】本题是利用函数的奇偶性求函数在对称区间上的解析式，熟练掌握函数的奇偶性的定义是解答的关键．13.在ABC 中，60A =︒，45B =︒，12a b +=，则a =________；b =________【答案】 (1). 36- (2). 24【解析】 【分析】由正弦定理可得a b =，设a =，2b x =，因为12a b +=，即可得到方程，解得即可； 【详解】解：由正弦定理得：sin sin a b A B=，即sin 60sin 45a b︒︒=所以a b =设a =，2b x =，因为12a b +=212x +=，解得12x =所以36a =-24b =故答案为：36-24【点睛】本题考查正弦定理解三角形，属于基础题；14.已知A ，B 是函数()3xf x =图像上纵坐标相等的两点，线段AB 的中点C 在函数()3xg x =的图像上，则点C 的横坐标的值为________【答案】12- 【解析】 【分析】()3x f x =-，设A ，B 的坐标分别为1(x ，13x -，2(x ，23x -+．可得12663333x x -+=-，线段AB 的中点12(2x x C +，1233)2x x -， 根据线段AB 的中点C 在函数()3xg x =的图象上，可得121223332x xx x +-=，即可解出． 【详解】解：()633xf x =-， 设A ，B 的坐标分别为1(x ，163)3x -，2(x ，263)3x -+． 则12663333x x -+=-，线段AB 的中点12(2x x C +，1233)2x x -， 线段AB 的中点C 在函数()3xg x =的图象上，∴121223332x xx x +-=， ∴1226333x x =-，代入121223332x xx x +-=， 化为：2222262633333x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭-=， 化为：236333x =+，136333x =-， ∴12133x x +=，解得121x x +=-． 则点C 的横坐标的值为12-． 故答案为：12-． 点睛】本题考查了函数的图象与性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．四、解答题（共5题，15、16、17每题10分，18、19每题12分） 15.已知向量()1,1m =，向量n 与向量m 的夹角为34π，且m n ⋅1=-； （1） 求向量n ；（2） 设向量()1,0a =，向量()cos ,sin b x x =，其中x ∈R ，若0n a ⋅=，试求n b +取值范围．【答案】（1）(-1,0)n =或(0,-1)n =;（2）[]0,2n b ∈+ 【解析】【详解】试题分析：（1）先设出，由已知的运用向量的坐标运算得，再运用向量的数量积公式列出关于的方程；（2）在（1）的基础上表示出，进而表示出，其为关于的表达式，利用的范围求出的取值范围. （1）设由题意可知221{22()12x y x y +=-+⋅⋅-=-，联立解得10{{01x x y y =-===-或 所以或（6分） 由，，由（1）得（7分） 所以(cos ,sin 1)x x =-（9分） 所以()()2cos sin 122sin 21sin x x x x =+-=-=-又()sin 1,1x ∈-，所以[]0,2n b ∈+.故答案为：[]0,2n b ∈+考点1、向量的数量积；2、向量在三角函数中的应用.16.ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知cos cos ()cos b A c B c a B -=-.（1）求B 的大小；（2）若D 在BC 边上，22BD DC ==，ABC ∆的面积为33sin CAD ∠.【答案】（1）3B π=（213 【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，然后利用两角和的正弦公式、诱导公式进行恒等变换，由此求得cos B 的值，进而求得B 的大小.（2）利用三角形ABC 的面积求得c ，由余弦定理求得AD ，利用勾股定理证得AD BD ⊥，由此求得AC 进而求得sin CAD ∠的值.【详解】（1）因为cos cos ()cos b A c B c a B -=-，所以sin cos sin cos (sin sin )cos B A C B C A B -=-，所以sin cos sin cos 2sin cos B A A B C B +=，即sin()2sin cos A B C B +=，因为在ABC ∆中，A B C π+=-，(0,)C π∈，所以sin 2sin cos C C B =，且sin 0C ≠， 所以1cos 2B =， 因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）因为22BD DC ==，所以1BD =，1CD =，3BC =，因为ABC ∆的面积为33，所以13sin 3323c π⨯=，解得4c =， 由余弦定理得222212cos 422422332AD AB BD AB BD π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以()2222222316AD BD AB +=+==，即AD BD ⊥， 所以2213AC AD BD =+=，所以13sin 13CD CAD AC ∠==.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查运算求解能力，考查数形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想.17.已知幂函数()y f x =的图像经过点)2,2， （1）求函数()f x 的解析式；（2）定义：若函数自变量取值区间为(),a b ，其值域区间为()2,2a b ，则称区间A 为该函数的倍值区间.①试求函数()f x 的形如()()0,c c R ∈的倍值区间；②设函数()()3g x f x x =-，试求函数()g x 的所有倍值区间.【答案】（1）()2f x x =（2）①()0,2②0,1，0,5 【解析】【分析】（1）设()f x x α=，代入计算可得； （2）①由（1）得22c c =，解得0c 或2，即可得解；②显然，因为函数值非负，所以区间左端点非负，若所求区间为()()0,c c R ∈型区间，则232c c c -=，解得1c =或5，再检验即可，若所求区间不是()0,c 型区间，则得方程组223232a a b b b a ⎧-=⎨-=⎩，解得即可；【详解】解：（1）设()f x x α=，则2f α==，解得2α=，所以()2f x x =；（2）①由（1）得22c c =，解得0c或2，(舍去零），所以所求区间为()0,2 ②因为()()233g x f x x x x =-=-显然，因为函数值非负，所以区间左端点非负.若所求区间为()()0,c c R ∈型区间，则232c c c -=，解得1c =或5 经检验，()0,1，()0,5均符合条件.若2c 为抛物线顶点纵坐标，则98c =，但9382<，不合题意 若所求区间不是()0,c 型区间，显然区间右端点不能超过3，且左端点应大于32在该单调减区间内，则223232a a b b b a ⎧-=⎨-=⎩该方程组无解. 故所求区间为()0,1，()0,5【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，函数新定义，属于中档题.18.求证三角恒等式：532sin tantan 22cos 4cos x x x x x-=+ 【答案】证明见解析【解析】【分析】证明的思路是两边同时化简，方法是利用两角和差的余弦公式和同角三角函数的基本关系化简，得到两式子相等即可． 【详解】证明：右边sin 5353cos cos 2222xx x x x =⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2sin sin 53532cos cos cos cos 2222x x x x x x == 左边535353sin sin sin cos cos sin sin 222222535353cos cos cos cos cos cos 222222x x x x x x x x x x x x x -=-===右边 【点睛】考查学生理解三角函数恒等式的证明思路，运用和差角的三角函数及同角三角函数的基本关系的能力，属于中档题．19.定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数0M ≥，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的一个上界．已知函数11()1()()24x x f x a =++，121()log 1ax g x x -=-． （1）若函数()g x 为奇函数，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，求函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成的集合；（3）若函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a =-；（2）[3,)+∞；（3）[7,3]-．【解析】【详解】试题分析：（1）利用奇函数的定义，建立方程，即可求解实数a 的值．（2）求出函数121()log 1ax g x x -=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，结合新定义，即可求得结论；（3）由题意得函数()f x 在[0,)+∞上是以5为上界的有界函数，即()5f x ≤在区间[0,)+∞上恒成立，可得1116()()4()424x x x a --≤≤-上恒成立，求出左边的最大值右边的最小值，即可求实数a 的范围．试题解析：（1）因为函数()g x 为奇函数，所以()()g x g x -=-，即112211log log 11ax ax x x +-=----， 即1111ax x x ax+-=---，得1a =±，而当1a =时不合题意，故1a =-． （2）由（1）得：121()log 1x g x x +=-， 而112212()log log (1)11x g x x x +==+--，易知()g x 在区间(1,)+∞上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上单调递增， 所以函数121()log 1x g x x +=-在区间9[,3]7上的值域为[3,1]--，所以()3g x ≤， 故函数()g x 在区间9[,3]7上的所有上界构成集合为[3,)+∞．（3）由题意知，()5f x ≤在[0,)+∞上恒成立，5()5f x -≤≤，1116()()4()424x x x a --≤≤-． ∴1162()42()22x x x x a -⋅-≤≤⋅-在[0,)+∞上恒成立． ∴max min 11[62()][42()]22x x x x a -⋅-≤≤⋅- 设2x t =，1()6h t t t =--，1()4P t t t =-，由[0,)x ∈+∞，得1t ≥． 易知()P t 在[1,)+∞上递增，设121t t ≤<，21121212()(61)()()0t t t t h t h t t t ---=>， 所以()h t 在[1,)+∞上递减，()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)7h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)3p =， 所以实数a 的取值范围为[7,3]-．考点：函数的最值及其几何意义；函数的奇偶性的性质；函数的恒成立问题的求解．【方法点晴】本题主要考查了与函数的性质相关的新定义问题，同时考查了函数的奇偶性及其应用、函数的最值及意义、函数的恒成立问题的的求解的综合应用，着重考查了换元法和转化的思想方法，涉及知识面广，难度较大．。
招生国统一考试数学文试题福建卷,含答案
绝密★启用前2021年普通高等招生全国统一考试〔卷〕数学试题〔文史类〕第I 卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.1．复数的()12Z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于模为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设点(),,21:10P x y x y P l x y ==-+-=则“且”是“点在直线上”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．假设集合{}{}=1,2,3=1,3,4A B ⋂，，则A B 的子集个数为A ．2B ．3C ．4D ．64．双曲线221x y -=的顶点到其渐近线的距离等于 A ．12B ．22C ．1D ．25．函数()()2ln 1f x x =+的图像大致是6．假设变量,x y 满足约束条件21,20,x y x z x y y +≤⎧⎪≥=+⎨⎪≥⎩则的最大值和最小值分别为 A ．43和 B ．42和 C ．32和 D ．20和 7．假设221,xyx y +=+则的取值范围是A ．[]0,2B ．[]2,0-C ．[]2,-+∞D ．[],2-∞-8．阅读如下图的程序框图，运行相应的程序，假如输入某个正整数n 后，()10,20,S n ∈输出的那么的值为9．将函数()()()sin 2122f x x ππθθϕϕ⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭的图像向右平移个单位长度后得到函数()()()3,,02g x f x g x P ϕ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的图像若的图像都经过点，，则的值可以是A ．53π B ．56π C ．2π D ．6π10．在四边形()()1,2,4,2,ABCD AC BD ==-中，则该四边形的面积为AB．C ．5 D ．10 11．x y 与之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为,y bx a =+若某同学根据上表()()1,02,2中的前两组数据和求得的直线方程为,y b x a '''=+那么以下结论正确的选项是A ．,b b a a ''>>B ．,b b a a ''><C ．,b b a a ''<>D ．,b b a a ''<< 12．设函数()()()000f x R x x f x ≠的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的选项是A ．()()0,x R f x f x ∀∈≤B ．()0x f x --是的极小值点C ．()0x f x -是-的极小值点D ．()0x f x --是-的极小值点第II 卷〔非选择题 一共60分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.()32,0,4tan ,0,2x x f x f f x x ππ⎧<⎛⎫⎪⎛⎫==⎨ ⎪ ⎪-≤≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩则 .01,10a a -<之间的均匀随机数则时间“3?发生的概率为 .2222:1(0)x y P a b a b+=>>的左、右焦点分别为122.F F c 、，焦距为()122132,y x c P M MF F MF F =+∠=∠与椭圆的一个焦点满足那么该椭圆的离心率等于 .16．设S ，T 是R 的两个非空子集，假如存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足： 〔i 〕{}();T f x x S =∈〔ii 〕对任意121212,,()(),x x S x x f x f x ∈<<当时，恒有 那么称这两个集合“保序同构〞，现给出以下3对集合： ①,;A N B N *==②{}{}13,810;A x x B x x =-≤≤=-≤≤ ③{}01,.A x x B R =≤≤=其中，“保序同构〞的集合对的序号是_______。
福建省福州一中2021届高三数学5月校质检 理(1)
福建省福州一中数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份（总分值150分 考试时刻120分钟）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中有且只有一项为哪一项符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1. 已知命题p ：x R ∃∈，21x =．那么p ⌝是A ．x R ∀∉，21x ≠ B. x R ∀∈，21x ≠ C ．x R ∃∉，21x ≠D. x R ∃∈，21x ≠2. 设集合{}1,1M =-，{}2N a =，那么“1a =”是“MN M =”的A ．充分没必要要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又没必要要条件3. 执行如下图的程序框图，假设输入A 的值为2，那么输出的P 值为A ．2B ．3C ．4D ．54. 设变量,x y 知足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，那么2z x y =+的最大值为A.2-B. 3C. 4D. 65. 在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++等于A ．40B ．42C ．43D ．456. 若2sin 44πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么sin2α等于 A ．34 B ．34- C ．12 D ．12- 7. 函数()412x xf x +=的图象A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于直线y x =对称D ．关于原点对称8. 已知平面α外不共线的三点,,A B C 到α的距离都相等，那么正确的结论是A ．平面ABC 必平行于αB ．平面ABC 必与α相交C ．平面ABC 必不垂直于αD ．存在ABC ∆的一条中位线平行于α或在α内9. 已知共核心的椭圆和双曲线，核心为12,F F ，记它们其中的一个交点为P ，且12120F PF ∠=，那么该椭圆离心率1e 与双曲线离心率2e 必然知足的关系式为A ．1213144e e += B. 221231144e e += C ．221231144e e += D. 221213144e e += 10．设12,,,n A A A 为集合{}1,2,,S n =的n 个不同子集()4n ≥，为了表示这些子集，作n 行n 列的数阵，规定第i 行与第j 列的数为0,,1,,j ij j i A a i A ∉⎧⎪=⎨∈⎪⎩ 那么以下说法正确的个数是①数阵中第1列的数满是0当且仅当1A =∅; ②数阵中第n 列的数满是1当且仅当n A S =; ③数阵中第j 行的数字和说明元素j 属于12,,,n A A A 中的几个子集;④数阵中所有的2n 个数字之和不小于n ; ⑤数阵中所有的2n 个数字之和不大于21n n -+.A ．2 B. 3 C ．4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．假设复数1iz i=+，那么z 的共轭复数z ＝___________. 12．已知多项式()()()22012111nn n x x x b b x b x b x ++++++=++++，且知足12n b b b +++26=，那么正整数n 的一个可能值为___________.13．已知圆22:440C x y x y +--=，直线:36230l x y ++-=，在圆C 上任取一点A ，那么点A 到 直线l 的距离小于2的概率为________． 14. 已知()ln ln 1x x x '=+，那么1ln exdx =⎰___________.知15.已知两个非零向量a 和b 所成的角为()0θθπ≤≤，规定向量c a b =⨯，足：（1）模：sin c a b θ=；（2）方向：向量c 的方向垂直于向量a 和b （向量a 和b 组成的平面），且符合“右手定那么”：用右手的四指表示向量a 的方向，然后手指朝着手心的方向摆动角度θ到向量b 的方向，大拇指所指的方向确实是向量c 的方向.如此的运算就叫向量的叉乘，又叫外积、向量积. 关于向量的叉乘运算，以下说法正确的选项是___________.①0a a ⨯=; ②0a b ⨯=等价于a 和b 共线; ③叉乘运算知足互换律，即a b b a ⨯=⨯;④叉乘运算知足数乘结合律，即()()()a b a b a b λλλ⨯=⨯=⨯.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字说明、证明进程或演算步骤． 16．（本小题总分值13分）某学校随机抽取部份新生调查其上学所需时刻（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率散布直方图（如图），其中上学所需时刻的范围是[]100,0，样本数据分组为[)20,0，[)40,20，[)60,40，[)80,60，[]100,80，学校规定上学所需时刻不小于1小时的学生能够申请在学校住宿. （Ⅰ）求频率散布直方图中x 的值；（Ⅱ）依照频率散布直方图估量样本数据的中位数；（Ⅲ）用那个样本的频率散布估量整体散布，将频率视为概率，从能够住宿的学生当中随机抽取3人，记ξ为其中上学所需时刻不低于80分钟的人数，求ξ的散布列及其数学期望. 17. （本小题总分值13分）已知几何体A BCED -的三视图如下图，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形． （Ⅰ）求二面角E AD B --的余弦值;（Ⅱ）试探讨在棱DE 上是不是存在点Q ，使得 AQ BQ ⊥，假设存在，求出DQ 的长；假设不存在，请说明说明理由. 18. （本小题总分值13分）如图，直角三角形ABC 中，90B ∠=，1,3AB BC ==．点,M N 别离在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将AMN ∆沿MN 翻折，AMN ∆变成A MN '∆，使极点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设AMN θ∠=． （Ⅰ）用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； （Ⅱ）求线段A N '长度的最小值． 19. （本小题总分值13分）已知抛物线C 的极点为坐标原点,其核心()(),00F c c >到直线l 20x y -+=的距离为322. （Ⅰ）求抛物线C 的方程;（Ⅱ）若M 是抛物线C 上异于原点的任意一点，圆M 与y 轴相切. （i ）试证：存在必然圆N 与圆M 相外切，并求出圆N 的方程；（ii ）假设点P 是直线l 上任意一点，,A B 是圆N 上两点，且AB BN λ=，求PA PB ⋅的取值范围. 20. （本小题总分值14分）已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点x e =(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为3． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）假设k Z ∈，且()f x kx k >-对任意1x >恒成立，求k 的最大值； （III ）假设()*2ln 23ln3ln 3,k a k k k k N =+++≥∈，证明：311nk ka =<∑()*,n k n N ≥∈． 21. 此题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，总分值14分．若是多做，那么按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题总分值7分）选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵2413M ⎛⎫=⎪⎝⎭，2010N ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（Ⅰ）求二阶矩阵X ，使MX N =；（Ⅱ）求圆221xy 在矩阵X 变换下的曲线方程.（2）（本小题总分值7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2:sin2cos 0C a a ρθθ=>，已知过点()2,4P --的直线l的参数方程为：()2242x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩是参数，直线l 与曲线C 别离交于,M N ． （Ⅰ）写出曲线C 和直线l 的一般方程；（Ⅱ）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值． （3）（本小题总分值7分）选修4-5：不等式选讲 已知,a b 为正实数.（Ⅰ）求证22a b a b b a+≥+；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论求函数()()221011x x y x xx-=+<<-的最小值.福州一中高考模拟数学试卷（2021年5月）参考答案（理科） 一．选择题 BACDB BADCC 二．填空题 11.12i -；12. 4；13. 14；14. 1；15. ①②④ 三．解答题16.解：（I ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.因此0.0125x. …………………………………3分（II ）设中位数为y ，那么()200.0125200.0250.5y ⨯+-⨯=，解得30y =因其中位数估量为30分钟. .……………6分 （III ）依题意得13,2B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的所有可能取值为0,1,2,3, .……………7分 ()311328P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.……………11分因此ξ的散布列为ξ 0 1 2 3P18 38 38 18因此ξ的数学期望是13322E ξ=⨯=..……………13分17. 解：（I ）由三视图知，,,CA CB CE 两两两垂直，以C 为原点，以,,CA CB CE所在直线为,,x y z 轴成立空间直角坐标系．……………1分则A （4，0，0），B （0，4，0），D （0，4，1），E （0，0，4）∴(0,4,3),(4,4,0)DE AB =-=-，x()()4,4,1,0,0,1DA BD =--=……………3分设面ADE 的法向量为(),,n x y z =，面ABD 的法向量为(),,m x y z '''=那么有00n DE n DA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即430440y z x y z -+=⎧⎨--=⎩，取1z =得31,,14n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，m AB m BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4400x y z -+=⎧⎨=⎩，取1x =得()1,1,0m =，……………… 6分 设二面角E AD B --的大小为θ，由图可知θ为钝角故317824cos cos ,8241216n m n m n mθ+⋅=-=-=-=-⋅∴二面角E AD B --的余弦值为78282-．…………………………… 8分 （II ）∵点Q 在棱DE 上，∴存在()01λλ≤≤使得DQ DE λ=………………… 9分 同理()4,44,31AQ λλ=--+………………… 11分 即()()()2444+3+1=0λλλ--解得15λ=因此知足题设的点Q 存在，DQ 的长为1.…………………………13分 18. 解：（I ）设MA MA x '==，那么1MB x =-． 在Rt MBA '∆中，()1cos 2xxπθ--=， …………………………………2分 ∴2111cos22sin MA x θθ===-． …………………………………4分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合， ∴42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，．…………………………………5分 （II ）在AMN ∆中，23ANM πθ∠=- 2sin sin 3ANMAπθθ=⎛⎫- ⎪⎝⎭,21sin sin 12sin 222sin sin 2sin sin 333MA AN θθθπππθθθθ⋅===⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．…………… 8分 令22132sin sin 2sin sin cos sin 3sin cos 322t πθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1311sin 2cos2sin 222226πθθθ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭………………… 11分 ∵42ππθ<<， ∴52366πππθ<-<． 当且仅当262ππθ-=，即3πθ=时， t 有最大值32. ∴3πθ=时，AN '有最小值23．………………… 13分 19.解：(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24y cx =,由023222c -+=结合0c >,解得1c =. 因此抛物线C 的方程为24y x =. …………4分点(Ⅱ) （i ）设圆M 与y 轴的切点是点M ',连结MM '交抛物线C 的准线于的圆M ''，那么1M MF MM r ''==+，因此圆M 与以F 为核心，1为半径相切，圆N 即为圆F ，圆N 的方程为()2211x y -+=;…………8分(ii)由AB BN λ=可知，AB 为圆N 直径，…………9分 从而因此PA PB ⋅的取值范围是7,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.…………13分20.解：（I ）因为()ln f x ax x x =+，因此()ln 1f x a x '=++．………………… 1分 因为函数()ln f x ax x x =+的图像在点e x =处的切线斜率为3， 因此()e 3f '=，即lne 13a ++=． 因此1a =．………………… 2分 （II ）由（1）知，()ln f x x x x =+，因此()1f x k x <-对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立．………………… 3分令()ln 1x x xg x x +=-，则()()2ln 21x x g x x --'=-，………………… 4分令()ln 2h x x x =--()1x >， 则()1110x h x x x-'=-=>， 因此函数()h x 在()1,+∞上单调递增．………………… 5分 因为()()31ln30,422ln 20h h =-<=->，因此方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且知足()03,4x ∈．当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，6分 因此函数()ln 1x x xg x x +=-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增．因此()()()()()000000min001ln 123,411x x x x g x g x x x x ++-====∈⎡⎤⎣⎦--．……… 7分因此()()0min 3,4k g x x <=∈⎡⎤⎣⎦． 故整数k 的最大值是3．………………… 8分（III ）由（II ）知()ln 231x x x x >->，取()*2,x k k k N =≥∈，那么有将上面各式相加得 即()21k a k >-，故()()()211131(2)1k k a k k k <=≥---，因此 …………………14分21.（1）解：（Ⅰ）法１：由于24213=，∴M -1=1322112M -⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, ∴1X M N -==32201021100012⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭；…………………3分（Ⅱ）设圆上任意一点(),x y 在矩阵1M-对应的变换作用下变成(),x y ''则10000x x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭那么0x x y '=⎧⎨'=⎩，因此作用后的曲线方程为0(11)yx .…………………7分（2）解：（Ⅰ）2,22-==x y ax y …………………4分 （Ⅱ）直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=t y t x 224222（t 为参数）,代入ax y 22=取得0)4(8)4(222=+++-a t a t ,那么有)4(8),4(222121a t t a t t +=⋅+=+，因为2MN PM PN =，因此()21212t t t t -=，即()212125t t t t += ，即()()284404a a +=+解得1=a …………………7分 （3）（Ⅰ）证明：0,0a b >>，由柯西不等式得=a b =. 因此22a b a b b a+≥+.…………………4分 （Ⅱ）解：01,10x x <<∴->由（Ⅰ）知，()221111x x y x x xx-=+≥-+=-， 当且仅当1x x -=，即12x =时等号成立. 因此函数()()221011x x y x xx-=+<<-的最小值为1. …………………7分。
招生国统一考试数学理试题福建卷,解析试题
2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，解析版〕一、选择题：1、【答案】A【命题意图】此题考察学生对于三角两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆。
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-，2130sin =。
【解析】2130sin 13sin 43cos 13cos 43sin ==- 2、【答案】D【命题意图】此题考察学生对抛物线焦点的识记以及原方程的求解。
px y 22=的焦点为)0,2(p F ，求解圆方程时，确定了圆心与半径就好做了。
【解析】抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。
3、【答案】A【命题意图】此题考察学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。
d n n na S d n a a n n 2)1(,)1(11-+=-+=。
【解析】由61199164-=+-=+=+a a a a a ，得到59=a ，从而2=d ，所以n n n n n S n 12)1(112-=-+-=，因此当n S 获得最小值时，6=n .4、【答案】C【命题意图】此题从分段函数的角度出发，考察了学生对根本初等函数的掌握程度。
【解析】⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0,ln 0,4)1()(22x e x x x x f ，绘制出图像大致为所以零点个数为2。
5、【答案】C【命题意图】此题考察学生对程序框图的理解。
选材较为简单，只需要考生能从上到下一步步列出就可以正确答题。
【解析】s =0→i =1→a =2→2=s →2=i →8=a →10=s →3=i →24=a → 34=s →i =4→输出i =4，选择C6、【答案】D【命题意图】此题考察考生对立体几何体的理解程度、空间想像才能。
灵敏，全面地考察了考生对知识的理解。
【解析】假设FG 不平行于EH ，那么FG 与EH 相交，焦点必然在B 1C 1上，而EH 平行于B 1C 1，矛盾，所以FG 平行于EH ；由⊥EH 面11ABB A ，得到EF EH ⊥，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台与这个图形。
招生国统一考试数学文试题福建卷,解析试题
2021年普通高等招生全国统一考试数学文试题〔卷，解析版〕第I 卷〔选择题 一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题。
每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。
1．假设集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，那么A B ⋂等于〔 〕A. {}x|2<x 3≤B. {}x|x 1≥C. {}x|2x<3≤D. {}x|x>2 【答案】A【解析】A B ⋂={}x|1x 3≤≤⋂{}x|x>2={}x|2<x 3≤,应选A.【命题意图】此题考察集合的交运算,属容易题.2．计算12sin 22.5-的结果等于( ) A.12 B.22 C.33 D.32【答案】B【解析】原式=2cos 45=2,应选B.【命题意图】此题三角变换中的二倍角公式,考察特殊角的三角函数值.3．假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图,那么其侧．面积．．等于 ( )A.3B.2C.23【答案】D【解析】由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，所以底面积为24=3216⨯⨯=，选D. 【命题意图】此题考察立体几何中的三视图，考察同学们识图的才能、空间想象才能等根本才能。
4．i 是虚数单位,41i ()1-i+等于 ( )【答案】C 【解析】41i ()1-i +=244(1i)[]=i =12+,应选C. 【命题意图】此题考察复数的根本运算,考察同学们的计算才能.7．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A.3B.2 C【答案】B【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以函数有两个零点，选C 。
【命题意图】此题考察分段函数零点的求法，考察了分类讨论的数学思想。
【命题意图】此题考察三角函数的周期、图象变换等根底知识。
福建省福州市第一中学2022-2021学年高二数学下学期开学前质检试题(含解析)
福建省福州市第一中学2020-2021学年高二数学下学期开学前质检试题（含解析）一、单项选择题：本题共7小题，每小题4，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知{}31x A x =<，{}260B x x x =-->，则AB =（ ） A. (2,0)- B. (3,0)- C. (,2)-∞-D. (,3)-∞-【答案】C【解析】【分析】利用指数函数的单调性求出集合A ,利用一元二次不等式的解法求出集合B ,再由集合的交运算求解即可.【详解】因为指数函数3x y =在R 上为增函数，所以0313x <=，解得0x <，所以集合}{0A x x =<， 由一元二次不等式解法知，集合{3B x x =>或}2x <-，由集合的交运算知，AB =}{2x x <-. 故选:C【点睛】本题考查利用指数函数的单调性解不等式、一元二次不等式解法和集合的交运算；考查运算求解能力；属于基础题. 2.已知2(1)i z-=1i +（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】D【解析】 试题分析：由2(1)1i i z-=+，得2(1)22(1)111(1)(1)i i i i z i i i i i --====--+++-，故选D. 考点：复数的运算.3.已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的离心率为（ ） 5 5 C. 62 6【答案】B【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程求出,a b 的关系式，结合,,a b c 之间的关系求出离心率即可.【详解】因为双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，所以2b a=，即2b a =，因为222c a b =+， 所以5c a =，所以所求离心率为5c e a ==. 故选:B【点睛】本题考查双曲线方程及其几何性质；考查运算求解能力；属于基础题.4.已知等比数列{}n a 中，1a ，101a 是方程210160x x -+=的两根，则215181a a a ⋅⋅的值为（ ）A. 64B. 64±C. 256D. 256± 【答案】A【解析】【分析】利用韦达定理和等比数列的性质，结合等比数列通项公式求出51a ，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】因为1a ，101a 是方程210160x x -+=的两根， 所以由韦达定理可得，1101110116,10a a a a ⋅=+=, 即()1001110a q +=，所以10a >，由等比数列的性质知,2110121815116a a a a a ⋅=⋅==，因为50511a a q =⋅0>，所以514a =，所以215181a a a ⋅⋅64=.故选:A【点睛】本题考查等比数列的性质和通项公式；考查运算求解能力；利用韦达定理和等比数列的性质正确求出51a 的值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.5.祖暅（公元前5-6世纪），祖冲之之子，是我国齐梁时代的数学家．他提出了一条原理：“幂势既同，則积不容异．”这句话的意思是两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等，该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利发现，比祖暅晚一千一百多年．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =圆环总成立．据此，短轴长为4，长轴长为6的椭球体的体积是（ ）．A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π【答案】C【解析】【分析】 根据题意，S S =圆环总成立可知，椭半球体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，利用圆柱、圆锥的体积公式即可求解.【详解】根据题意，由椭圆的短轴长为4，长轴长为6可知,圆柱的高为3h =，底面半径2r ，由圆柱和圆锥的体积公式，结合题中结论知，()221=2-=23V V V r h r h ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭椭球体圆柱圆锥， 即221=22323163V πππ⎛⎫⨯⨯-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭椭球体.故选:C【点睛】本题考查数学文化、圆柱和圆锥的体积公式；考查运算求解能力、知识迁移能力和空间想象能力；灵活运用题中原理的含义是求解本题的关键;属于中档题. 6.函数()cos x f x x=的图象大致为 A.B. C. D.【答案】D【解析】因cos()cos ()()x x f x f x x x--===--- ,所以函数()f x 为奇函数，其图象关于原点成中心对称,排除答案A 、B ，当0x +→ 时，1,cos 1x x →+∞→ ，所以cos x x →+∞ ，排除C ，故选D.7.若函数()(sin cos )x f x e x a x =+在(,)42ππ上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. (,1]-∞B. (,1)-∞C. [1,)+∞D. (1,)+∞【答案】A【解析】 ∵f （x ）=e x（sinx+acosx ）在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增， ∴f′（x ）=e x [（1-a ）sinx+（1+a ）cosx]≥0在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， ∵e x ＞0在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，∴（1-a ）sinx+（1+a ）cosx≥0在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， ∴a （sinx-cosx ）≤sinx+cosx 在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立 ∴sin cos sin cos x x a x x+≤- ， 设g （x ）=sin cos sin cos x x x x +- ∴g′（x ）在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立， ∴g （x ）在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴g （x ）＞()2g π=1， ∴a≤1，故选A ．点睛：本题考查了导数和函数的单调性和最值得关系，利用导数研究函数的单调性，关键是分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值，属于中档题，正确的构造函数和利用导数是解决问题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．8.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论正确的有（ ）A. 甲命中个数的极差是29B. 甲命中个数的中位数是25C. 甲的命中率比乙高D. 乙命中个数的众数是21【答案】ACD【解析】【分析】根据茎叶图中的数据，分别计算相应的极差、众数、中位数、平均数并作出判断即可.【详解】由茎叶图知，甲命中个数的极差为37829-=，故选项A 正确； 由茎叶图知，甲命中个数的中位数为2224232+=，故选项B 错误； 由茎叶图中的数据知,甲的命中率为8+12+13+20+22+24+25+26+27+37==0.5351040x ⨯甲， 乙的命中率为9+11+13+14+18+19+20+21+21+23=0.42254010x =⨯乙， 所以甲的命中率比乙高，故选项C 正确；由茎叶图知,乙命中个数的众数是21，故选项D 正确；故选：ACD【点睛】本题考查利用茎叶图求样本的数字特征：极差、众数、中位数、平均数；考查运算求解能力；熟练掌握样本数字特征的计算公式和概念是求解本题的关键;属于中档题.9.将函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度所得图象对应的函数()g x ，下列有关函数()g x 的说法正确的是（ ）A. 图象关于直线6x π=-对称 B. 图象关于,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称 C. 当(Z)12x k k ππ=+∈时取得最大值 D. 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 【答案】BD【解析】【分析】根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间和最值的相关性质求解即可.【详解】由题意知,函数()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度 得到函数解析式为()23sin 23sin 2233g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当6x π=-时，223x ππ-=-,此时22,32x k k z πππ-≠+∈，故选项A 错误； 当3x π=时，2203x π-=，此时满足22,3x k k z ππ-=∈，故选项B 正确； 当(Z)12x k k ππ=+∈时，222,32x k k z πππ-=-+∈，此时函数()g x 有最小值，故选项C 错误；由2222,232k x k k z πππππ-+≤-≤+∈，解得7,1212k x k k z ππππ+≤≤+∈， 令70,1212k x ππ=≤≤，所以函数()g x 在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选项D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最值的相关性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最值的相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.10.M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，将菱形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ）A. MN ∥平面ABDB. 异面直线AC 与MN 所成的角为定值C. 在二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径先变小后变大D. 若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，则ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ABD【解析】【分析】利用线面平行的判定即可判断选项A ；利用线面垂直的判定求出异面直线AC 与MN 所成的角即可判断选项B ；借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，利用空间想象能力进行分析即可判断选项C;过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,分ABC ∠为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即可判断选项D.【详解】对于选项A:因为M ，N 分别为菱形ABCD 的边BC ，CD 的中点，所以MN 为BCD ∆的中位线，所以//MN BD ,因为MN ⊄平面ABD ,BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ,故选项A 正确；对于选项B ：取AC 的中点O ，连接,DO BO ,作图如下：则,AC DO AC BO ⊥⊥,BO DO O =,由线面垂直的判定知，AC ⊥平面BOD ,所以AC BD ⊥,因为//MN BD ,所以AC MN ⊥,即异面直线AC 与MN 所成的角为定值90，故选项B 正确；对于选项C:借助极限状态，当平面DAC 与平面ABC 重合时，三棱锥D ABC -外接球即是以ABC ∆外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角D AC B --逐渐变大时，球心离开平面ABC ，但是球心在底面的投影仍然是ABC ∆外接圆圆心，故二面角D AC B --逐渐变小的过程中，三棱锥D ABC -外接球的半径不可能先变小后变大， 故选项C 错误；对于选项D:过A 作AH BC ⊥,垂足为H ,若ABC ∠为锐角，H 在线段BC 上；若ABC ∠为直角，H 与B 重合；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上；若存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直，因为AH BC ⊥，所以CB ⊥平面AHD ,由线面垂直的性质知,CB HD ⊥,若ABC ∠为直角，H 与B 重合，所以CB BD ⊥,在CBD ∆中，因为CB CD =,所以CB BD ⊥不可能成立，即ABC ∠为直角不可能成立；若ABC ∠为钝角，H 在线段BC 的延长线上，则在原平面图菱形ABCD 中，DCB ∠为锐角，由于立体图中DB DO OB <+,所以立体图中DCB ∠一定比原平面图中更小，，所以DCB ∠为锐角，CB HD ⊥，故点H 在线段BC 与H 在线段BC 的延长线上矛盾，因此ABC ∠不可能为钝角；综上可知，ABC ∠的取值范围是0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选项D 正确; 故选：ABD【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试题.三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．11.正六边形ABCDEF 边长为1，则AB AD ⋅=________．【答案】1【解析】【分析】根据题意作出图形，利用正六边形的性质和平面向量数量积的定义求解即可.【详解】根据题意作图如下：由正六边形的性质知,2AD BC =,所以22cos60AB AD AB BC AB BC ⋅=⋅=⋅⋅，即121112AB AD ⋅=⨯⨯⨯=. 故答案为: 1【点睛】本题考查平面向量数量积的定义和正六边形的性质;考查数形结合思想和运算求解能力；属于基础题.12.已知函数1220()1log 0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，若()2f a =，则实数a 的值是________． 【答案】0或12 【解析】【分析】分0,0a a >≤两种情况分别求出()f a 的表达式，得到关于a 的方程，解方程即可.【详解】当0a >时，由题意知，()21log 2f a a =-=，即2log 1a =-，解得12a =符合题意； 当0a ≤时，由题意知，()122a f a -==， 解得0a =符合题意；综上可知，实数a 的值为0或12. 故答案为: 0或12【点睛】本题考查利用分段函数的解析式求参数的值；考查运算求解能力和分类讨论思想；属于中档题.13.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与曲线C 相交于M ，N 两点，若3PM MF =，则MN =________．【答案】9【解析】【分析】根据题意作出图形,结合图形知34PM PF =，利用PAM ∆与∆POF 相似的相似比和抛物线的定义求出点M 的横坐标，代入抛物线方程求出其纵坐标,进而求出直线PM 的方程，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线定义即可求解.【详解】根据题意作图如下：由题意知，准线:2l x =-，焦点()2,0F ,因为3PM MF =，结合图形知,34PM PF =, 因为PAM ∆与∆POF 相似,所以34AM PM OF PF ==,又4OF =, 所以3AM =,即23M x +=，解得1M x =,因为点M 满足抛物线2:8C y x =，结合图形知, 点M 的坐标为()1,22，所以2202212PM k ==--则直线PM 的方程为)222y x =--， 与抛物线2:8C y x =联立可得，2540x x -+=，由韦达定理可得,5M N x x +=,由抛物线的定义知,229M N MN x x =+++=.故答案为: 9【点睛】本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系及焦点弦问题；考查运算求解能力和数形结合思想；利用抛物线的定义求焦点弦是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.14.在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其连续10项求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为199，则此连续10项的和为________．【答案】220【解析】【分析】根据题意求出数列{}n a 的通项公式，设连续10项为12310,,,,i i i i a a a a ++++⋅⋅⋅，i N ∈，设漏掉的一项为,110i k a k +≤≤，利用等差数列前n 项和公式得到关于,i k 的关系式,再由110k ≤≤，i N ∈求出i 的值，进而求出k 的值和i k a +即可.【详解】由题意知,数列{}n a 的通项公式为21n a n =+，设连续10项为12310,,,,i i i i a a a a ++++⋅⋅⋅，i N ∈，设漏掉的一项为,110i k a k +≤≤，则由等差数列前n 项和公式得，()110101992i i i k a a a ++++⨯-=,因为11023,221,221i i i k a i a i a i k +++=+=+=++,所以940i k -=即940i k =+，因为110k ≤≤,所以41950i ≤≤，即41504699i <≤≤<，i N ∈， 所以5,5i k ==,10210121i k a a +==⨯+=,所以此连续10项的和220.故答案为: 220【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n 项和公式；考查运算求解能力和逻辑推理能力；利用等差数列通项公式和前n 项和公式得到关于,i k 的关系式是求解本题的关键;属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共48分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，在ABC ∆中，点P 在BC 边上，30B =︒，3AB BP =．（1）求BAP ∠；（2）若2CP =，3cos CAP ∠=，求ACP △的面积．【答案】（1）30； （23223+. 【解析】【分析】 （1）设BP t =，则3AB t =，在ABP ∆中，利用余弦定理求出AP 即可求解；（2）根据题意求出sin CAP ∠,利用两角差的正弦公式求出sin C ,在ACP △中利用正弦定理求出AC ，代入三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）设BP t =，则3AB t =，在ABP ∆中，由余弦定理可得2222222cos (3)23cos30AP AB BP AB BP B t t t t t =+-⋅⋅=︒+-=，所以AP t =，即AP BP =，所以30BAP B ∠=∠=︒.（2）由3cos CAP ∠=得，6sin CAP ∠=， 60APC BAP B ∠=∠+∠=︒，180120C APC PAC PAC ∠=︒-∠-∠=︒-∠，所以()36sin sin 120sin120cos cos120sin 6C PAC PAC PAC =︒-∠=︒∠-︒∠=， 由正弦定理得，sin sin CP AC CAP CPA =∠∠，所以322AC =， 所以113236sin 2222APC S CP CA C +=⋅⋅=⋅⋅△，即3223APC S +=△ 【点睛】本题考查两角差的正弦公式、利用正余弦定理解三角形和三角形的面积公式；考查运算求解能力和知识的综合运用能力;熟练掌握正余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11160,,2BAC A AC A AB AA AB AC ∠=∠=∠===,点O 是BC 的中点.（1）求证:BC ⊥ 平面1A AO ；（2）若11A O =，求直线1BB 与平面11A C B 所成角的正弦值.【答案】(1) 见解析;(2) 21sin 7θ=. 【解析】试题分析:（1）利用11A AB A AC ∆≅∆可得11A B A C =,而AB AC =，O 是BC 中点，所以1,AO BC AO BC ⊥⊥，由此可证得BC ⊥平面1A AO .（2）以1,,OA OB OA 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量，计算线面角的正弦值为217. 试题解析:(1)11111111,,A AC A AB AB AC AA AA A AB A AC A B AC ∠=∠===∴∆≅∆∴=.又O 为BC 中点，1,AO BC A O BC ∴⊥⊥.又11,,AO AO O AO AO ⋂=⊂平面1,A AO BC ∴⊥平面1A AO .(2)60,2,BAC AB AC O ∠===为BC 中点，2,1,3BC BO CO AO ∴====又222111112,1,,AA A O AO A O AA AO A O ==∴+=∴⊥.又由（1）知，1,BO AO BO AO ⊥⊥，则以O 为原点，分别以1,,OA OB OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()13,0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,1A B C A -.()()1113,1,0,0,1,1C A CA A B ∴===-.设平面11A C B 的一个法向量为(),,n x y z =，则30{0x y y z +=-=，令1x =，得()()111,3,3,3,0,1n BB AA =--==-.设1BB 与平面11A C B 的所成角为θ，则11·2321sin 27·BB n BB n θ===.17.某品牌手机厂商推出新款的旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时间(x 个月)和市场占有率(y %)的几组相关对应数据： x1 2 3 4 5 y0.02 0.05 0.1 0.15 0.18(1)根据上表中的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程；(2)根据上述回归方程，分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%(精确到月)．附：1221n i ii n i i x y nx y b xnx ==-=-∑∑ ， a y bx =-.【答案】(1)y ＝0.042x －0.026. (2) 预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.【解析】试题分析：（1）根据表中数据，计算x ，y 与,a b 写出线性回归方程；（2）根据回归方程得出上市时间与市场占有率的关系，列出不等式求出解集即可预测结果． 试题解析：(1)由题意知＝3，＝0.1，i y i ＝1.92，＝55，所以＝＝＝0.042， ＝－＝0.1－0.042×3＝－0.026， 所以线性回归方程为＝0.042x －0.026.(2)由(1)中的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，即上市时间每增加1个月，市场占有率约增加0.042个百分点． 由＝0.042x －0.026>0.5，解得x ≥13，故预计上市13个月时，该款旗舰机型市场占有率能超过0.5%.18.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F 2F ，离心率为12，点()4,0D ，2F 为线段1A D 的中点． （1）求椭圆C 的方程；（2）点(1, )P t 为椭圆C 上在第一象限内的点，过点P 作两条直线与椭圆C 分别交于,A B 两点，直线,PA PB 的倾斜角之和为π，则直线AB 斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=； （2）12. 【解析】【分析】（1）利用中点坐标公式和离心率公式得到关于,a c 的方程,解方程求出,a c ,再由,,a b c 的关系式求出2b 即可；（2）由椭圆方程求出点P 坐标, 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直3:(1)2PA y k x -=-， 联立直线方程与椭圆方程得到关于x 的一元二次方程,利用韦达定理可得1P x x 的表达式,进而求出1x 的表达式,同理可得2x 的表达式,由此可得1221,x x x x +-的表达式,代入直线AB 的斜率公式运算求解即可.【详解】（1）设点1(,0)A a -，2(,0)F c ，由题意可知：42a c -+=，即42a c =-①， 又因为椭圆的离心率12c e a ==，即2a c =②， 联立方程①②可得：2a =，1c =，2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由（1）椭圆C 的方程为：22143x y +=，代入得点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线3:(1)2PA y k x -=-， 联立椭圆方程，得()22233348412022k x k k x k ⎛⎫⎛⎫++-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则212412334p k k x x k --=+，故212412334k k x k--=+， 同理：222412334k k x k +-=+，则21221228624,3434k k x x x x k k -+=-=++， 所以()()()212121212121331121222AB k x k x k x x k y y k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤--+--+⎢⎥⎢⎥-++-⎣⎦⎣⎦====---， 故直线AB 斜率定值12． 【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、直线与椭圆的位置关系;考查运算求解能力;联立直线与椭圆方程，正确求出1x ，2x 的表达式是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.19.已知函数()ln 3f x x a x =--，1()()a g x a R x+=-∈． （1）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；（2）证明：0a ∀>，总存在1x ≥，使得()()f x g x <．【答案】（1）当1a >-时，单调递减区间为(0,1)a +，单调递增区间为(1,)a ++∞；当1a ≤-时，单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数()h x 进行求导,分1a >-和1a ≤-两种情况分别利用导数判断函数的单调性即可;（2）结合（1）中的结论,判断函数()h x 的单调性并求其最小值,构造函数()min h x = ()1ln(1)a a a a ϕ=--+,通过对其二次求导求其最大值并判断最大值的符号即可求解.【详解】（1）由题意知,1()ln 3a h x x a x x+=-+-，定义域为(0,)+∞， 则22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x+--++-+'=--==， ①当10a +>，即1a >-时，令()0h x '>，∵0x >，∴1x a >+，令()0h x '<，得01x a <<+，故()h x 在(0,1)a +上单调递减，在(1,)a ++∞上单调递增，②当10a +≤，即1a ≤-时，()0h x '>在(0,)+∞恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，综上可知，当1a >-时，()h x 的单调递减区间为(0,1)a +，单调递增区间为(1,)a ++∞； 当1a ≤-时，()h x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间．（2）证明：考虑()()()h x f x g x =-，当0a >时，由（1）知，()h x 的单调递减区间为(0,1)a +，单调递增区间为(1,)a ++∞，所以min (1)1ln(1)h h a a a a =+=--+记()1ln(1)a a a a ϕ=--+，则1()1ln(1)ln(1)11a a a a a a ϕ'=-+-=-+++，22112()0(1)1(1)a a a a a ϕ+''=--=-<+++，所以()a ϕ'在(0,)+∞单调递减， 注意到(0)10ϕ'=>，11(1)ln 2(1ln 4)022ϕ'=-=-<， 所以()a ϕ'有唯一的零点，记为0a ， 则()001ln 101a a -+=+，且0(0,1)a ∈， 所以当()00,a a ∈时，()0a ϕ'>，()a ϕ单调递增，当()0,a a ∈+∞时，()0a ϕ'<，()a ϕ单调递减，所以()()200000000001()1ln 1111a a a a a a a a a a a ϕϕ--≤=--+=--=++ 由于0(0,1)a ∈，所以2000a a -<，所以20010a a --<，所以2000101a a a --<+， 即()0a ϕ<，所以min ()0h x <，故0a ∀>，总存在1x ≥，使得()0h x <，即()()f x g x <．【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、通过构造函数并求其最值求解函数存在性问题;考查分类讨论思想、逻辑思维能力和运算求解能力;通过构造函数()a ϕ并对其二次求导求其最大值是求解本题的关键;属于综合型、难度大型试题.。
人教版_2021年福州市初中质检数学试卷与答案
2021年福州市初中毕业班质量检查数 学 试 卷(本卷共4页，三大题，共22小题；满分150分，考试时间120分钟) 友情提示:所有答案都必须填涂在答题卡的相应位置上，答在本试卷一律无效．一、选择题(共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂)1．计算－3＋3的结果是A ．0B ．－6C ．9D ．－9 2．如图，AB ∥CD ，∠BAC ＝120°，则∠C 的度数是A ．30°B ．60°C ．70°D ．80°3．节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人．350 000 000用科学记数法表示为A ．3.5×107B ．3.5×108C ．3.5×109D ．3.5×10104．下列学习用具中，不是轴对称图形的是5．已知b ＜0，关于x 的一元二次方程(x －1)2＝b 的根的情况是 A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．有两个实数根6．一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组可能是A ．⎩⎨⎧x ≥－1x ＜2B ．⎩⎨⎧x ≤－1x ＞2C ．⎩⎨⎧x ＜－1x ≥2D ．⎩⎨⎧x ＞－1x ≤27．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．随机在大正方形及其内部区域投针，若针扎到小正方形(阴影部分)的概率是19，则大、小两个正方形的边长之比是A ．3∶1B ．8∶1C ．9∶1D ．22∶1ABCD第2题图 123412341 2 3 4 0 5 6A BC D－3 －2 －1123第7题图8．如图，已知△ABC ，以点B 为圆心，AC 长为半径画弧；以点C 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧交于点D ，且A 、D 在BC 同侧，连接AD ，量一量线段AD 的长，约为A ．1.0cmB ．1.4cmC ．1.8cmD ．2.2cm9．有一种公益叫“光盘”．所谓“光盘”，就是吃光你盘子中的食物，杜绝“舌尖上的浪费”．某校九年级开展“光盘行动”宣传活动，根据各班级参加该活动的总人次拆线统计图，下列说法正确的是 A ．极差是40 B ．中位数是58 C ．平均数大于58 D ．众数是510．已知一个函数中，两个变量x 与y 的部分对应值如下表:A ．x 轴B ．y 轴C ．直线x ＝1D ．直线y ＝x二、填空题(共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡的相应位置) 11．分解因式:m 2－10m ＝________________．12．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D＝____________度．13．在一次函数y ＝kx ＋2中，若y 随x 的增大而增大，则它的图象不经过第______象限．14．若方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝73x －5y ＝－3，则3(x ＋y)－(3x －5y)的值是__________．15．如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到FC ，连接DF ．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是____________．AB第8题图第9题图九年级宣传“光盘行动”ABC D第12题图 ABCDE F第15题图二、解答题(满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡的相应位置．作图或添轴助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑) 16．(每小题7分，共14分)(1) 计算:(π＋3)0―|―2021|＋64×18(2) 已知a 2＋2a ＝－1，求2a(a ＋1)－(a ＋2)(a －2)的值．17．(每小题8分，共16分)(1) 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别是△ABC 三边的中点． 求证:四边形ADEF 是菱形．(2) 一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？CABDEF第17(1)题图18．(10分)有一个袋中摸球的游戏．设置了甲、乙两种不同的游戏规则:甲规则:乙规则:(1) 袋中共有小球_______个，在乙规则的表格中①表示_______，②表示_______；(2) 甲的游戏规则是:随机摸出一个小球后______(填“放回”或“不放回”)，再随机摸出一个小球； (3) 根据甲、乙两种游戏规则，要摸到颜色相同的小球，哪一种可能性要大，请说明理由．19．(10分)如图，由6个形状、大小完全相同的小矩形组成矩形网格．小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点．已知小矩形较短边长为1，△ABC 的顶点都在格点上． (1) 格点E 、F 在BC 边上，BEAF 的值是_________；(2) 按要求画图:找出格点D ，连接CD ，使∠ACD ＝90°； (3) 在(2)的条件下，连接AD ，求tan ∠BAD 的值．红1红2黄1黄2红2红1黄1黄2黄1红1红2黄2黄2红1红2黄1第一次第二次ABC EF第19题图20．(12分)如图，半径为2的⊙E 交x 轴于A 、B ，交y 轴于点C 、D ，直线CF 交x 轴负半轴于点F ，连接EB 、EC ．已知点E 的坐标为(1，1)，∠OFC ＝30°． (1) 求证:直线CF 是⊙E 的切线； (2) 求证:AB ＝CD ；(3) 求图中阴影部分的面积．21．(12分)如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝8，DE ＝2，线段DE 在AC 边上运动(端点D 从点A 开始)，速度为每秒1个单位，当端点E 到达点C 时运动停止．F 为DE 中点，MF ⊥DE 交AB 于点M ，MN ∥AC 交BC 于点N ，连接DM 、ME 、EN ．设运动时间为t 秒． (1) 求证:四边形MFCN 是矩形；(2) 设四边形DENM 的面积为S ，求S 关于t 的函数解析式；当S 取最大值时，求t 的值； (3) 在运动过程中，若以E 、M 、N 为顶点的三角形与△DEM 相似，求t 的值．第20题图A BCBCD E MF N 第21题图备用图22．(14分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连接AC、BC．(1) 求抛物线解析式；(2) BC的垂直平分线交抛物线于D、E两点，求直线DE的解析式；(3) 若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB＝∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标．2021年福州市初中毕业班质量检查数学试卷参考答案一、选择题(每题4分，满分40分)1．A 2．B 3．B 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．C 10．D 二、填空题(每题4分，满分20分)11．m(m－10) 12．360 13．四 14．24 15．1.5三、解答题16．(每题7分，共14分)(1) 解:原式＝1－2021＋8×18……3分＝1－2021＋1 ……4分＝－2021 ……7分(2) 解:原式＝2a2＋2a－a2＋4 ……3分＝ a2＋2a＋4 ……4分∵a2＋2a＝－1∴原式＝－1＋4＝3 ……7分另解:∵a2＋2a＝－1∴a2＋2a＋1＝0∴(a＋1)2＝0∴a＝－1 ……3分原式＝2×(－1)×(－1＋1)－(－1＋2)×(－1－2) ＝3 ……7分17．(每小题8分，共16分)(1) 证明:∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE∥＝12AC，EF∥＝12AB，…………2分∴四边形ADEF为平行四边形．…………4分又∵AC＝AB，∴DE＝EF．…………6分∴四边形ADEF为菱形．…………8分(2) 解:设江水的流速为x 千米/时，依题意，得: …………1分10020＋x ＝6020－x， ………………4分 解得:x ＝5． ………………6分 经检验:x ＝5是原方程的解． …………7分 答:江水的流速为5千米/时． …………8分 18．(10分)(1) 4 ……1分； (红2，黄1) ……2分； (黄2，红1) ……3分 (2) 不放回 ………5分(3) 乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大．理由:在甲游戏规则中，从树形图看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有4种． …………6分 ∴P(颜色相同)＝412＝13． …………7分在乙游戏规则中，从列表看出，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相同，而颜色相同的两个小球共有8种． ……………8分∴P(颜色相同) ＝816＝12． ……………9分∵13＜12， ∴乙游戏规则摸到颜色相同的小球的可能性更大． ……………10分 19．(12分)(1) 12 ………3分(2) 标出点D ， ………5分连接CD ． ………7分 (3) 解:连接BD ， ………8分∵∠BED ＝90°，BE ＝DE ＝1，∴∠EBD ＝∠EDB ＝45°，BD ＝BE 2＋DE 2＝12＋12＝2． ……9分 由(1)可知BF ＝AF ＝2，且∠BFA ＝90°，∴∠ABF ＝∠BAF ＝45°，AB ＝BF 2＋AF 2＝22＋22＝22． ……10分 ∴∠ABD ＝∠ABF ＋∠FBD ＝45°＋45°＝90°． ……11分 ∴tan ∠BAD ＝BD AB ＝222＝12． ……12分20．(12分)解:(1) 过点E 作EG ⊥y 轴于点G ，∵点E 的坐标为(1，1)，∴EG ＝1． 在Rt △CEG 中，sin ∠ECG ＝EG CE ＝12，∴∠ECG ＝30°． ………………1分 ∵∠OFC ＝30°，∠FOC ＝90°，∴∠OCF ＝180°－∠FOC －∠OFC ＝60°． ………………2分 ∴∠FCE ＝∠OCF ＋∠ECG ＝90°． 即CF ⊥CE ．∴直线CF 是⊙E 的切线． ………………3分 (2) 过点E 作EH ⊥x 轴于点H ，∵点E 的坐标为(1，1)，∴EG ＝EH ＝1． ………………4分 在Rt △CEG 与Rt △BEH 中，∵⎩⎨⎧CE ＝BE EG ＝EH，∴Rt △CEG ≌Rt △BEH ． ∴CG ＝BH ． ………………6分 ∵EH ⊥AB ，EG ⊥CD ，∴AB ＝2BH ，CD ＝2CG ．∴AB ＝CD ． ………………7分 (3) 连接OE ，在Rt △CEG 中，CG ＝CE 2－EG 2＝3，∴OC ＝3＋1． ………………8分 同理:OB ＝3＋1． ………………9分 ∵OG ＝EG ，∠OGE ＝90°，∴∠EOG ＝∠OEG ＝45°．又∵∠OCE ＝30°，∴∠OEC ＝180°－∠EOG －∠OCE ＝105°． 同理:∠OEB ＝105°． ………………10分 ∴∠OEB ＋∠OEC ＝210°．∴S 阴影＝210×π×22360－12×(3＋1)×1×2＝7π3－3－1． ………………12分21．(12分)(1) 证明:∵MF ⊥AC ，∴∠MFC ＝90°． …………1分∵MN ∥AC ，∴∠MFC ＋∠FMN ＝180°．∴∠FMN ＝90°． …………2分 ∵∠C ＝90°，∴四边形MFCN 是矩形． …………3分(若先证明四边形MFCN 是平行四边形，得2分，再证明它是矩形，得3分)(2) 解:当运动时间为t 秒时，AD ＝t ，∵F 为DE 的中点，DE ＝2，∴DF ＝EF ＝12DE ＝1．∴AF ＝t ＋1，FC ＝8－(t ＋1)＝7－t ．∵四边形MFCN 是矩形，∴MN ＝FC ＝7－t ． …………4分 又∵AC ＝BC ，∠C ＝90°，∴∠A ＝45°．∴在Rt △AMF 中，MF ＝AF ＝t ＋1， …………5分 ∴S ＝S △MDE ＋ S △MNE ＝12DE ·MF ＋12MN ·MF＝12×2(t ＋1)＋ 12(7－t)(t ＋1)＝－12t 2＋4t ＋92 …………6分 ∵S ＝－12t 2＋4t ＋92＝－12(t －4)2＋252∴当t ＝4时，S 有最大值． …………7分 (若面积S 用梯形面积公式求不扣分)(3) 解:∵MN ∥AC ，∴∠NME ＝∠DEM ． …………8分① 当△NME ∽△DEM 时，∴NM DE ＝EMME． …………9分∴7－t 2＝1，解得:t ＝5． …………10分② 当△EMN ∽△DEM 时，∴NM EM ＝EMDE． …………11分∴EM 2＝NM ·DE ．在Rt △MEF 中，ME 2＝EF 2＋MF 2＝1＋(t ＋1)2，∴1＋(t ＋1)2＝2(7－t)． 解得:t 1＝2，t 2＝－6(不合题意，舍去)综上所述，当t 为2秒或5秒时，以E 、M 、N 为顶点的三角形与△DEM 相似． ……12分ABCD EMF N22．(14分)解:(1) 由题意，得:⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝116a ＋4b ＋c ＝0c ＝2…………1分解得:⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－52c ＝2． …………3分 ∴这个抛物线的解析式为y ＝12x 2－52x ＋2． …………4分(2) 解法一:如图1，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点M 作MF ⊥x 轴于F ． ∴△BMF ∽△BCO ，∴MF CO ＝BF BO ＝BM BC ＝12．∵B(4，0)，C(0，2)， ∴CO ＝2，BO ＝4， ∴MF ＝1，BF ＝2，∴M(2，1) ………………5分 ∵MN 是BC 的垂直平分线，∴CN ＝BN ， 设ON ＝x ，则CN ＝BN ＝4－x ， 在Rt △OCN 中，CN 2＝OC 2＋ON 2，∴(4－x)2＝22＋x 2，解得:x ＝32，∴N(32，0)． ………………6分设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ，依题意，得:⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝132k ＋b ＝0，解得:⎩⎨⎧k ＝2b ＝－3． ∴直线DE 的解析式为y ＝2x －3． ………………8分 解法二:如图2，设BC 的垂直平分线DE 交BC 于M ，交x 轴于N ，连接CN ，过点C 作CF ∥x 轴交DE 于F ． ∵MN 是BC 的垂直平分线，∴CN ＝BN ，CM ＝BM ． 设ON ＝x ，则CN ＝BN ＝4－x ， 在Rt △OCN 中，CN 2＝OC 2＋ON 2，∴(4－x)2＝22＋x 2，解得:x ＝32，∴N(32，0)． ………………5分∴BN ＝4－32＝52．∵CF ∥x 轴，∴∠CFM ＝∠BNM ． ∵∠CMF ＝∠BMN ，图1∴△CMF ≌△BMN ．∴CF ＝BN ．∴F(52，2)． …………………6分设直线DE 的解析式为y ＝kx ＋b ，依题意，得: ⎩⎨⎧52k ＋b ＝232k ＋b ＝0，解得:⎩⎨⎧k ＝2b ＝－3． ∴直线DE 的解析式为y ＝2x －3． ………………8分(3) 由(1)得抛物线解析式为y ＝12x 2－52x ＋2，∴它的对称轴为直线x ＝52．① 如图3，设直线DE 交抛物线对称轴于点G ，则点G(52，2)，以G 为圆心，GA 长为半径画圆交对称轴于点P 1， 则∠CP 1B ＝∠CAB ． …………9分 GA ＝(52－1)2＋22＝52， ∴点P 1的坐标为(52，－12)． …………10分② 如图4，由(2)得:BN ＝52，∴BN ＝BG ，∴G 、N 关于直线BC 对称． …………11分∴以N 为圆心，NB 长为半径的⊙N 与⊙G 关于直线BC 对称． …………12分 ⊙N 交抛物线对称轴于点P 2，则∠CP 2B ＝∠CAB ． …………13分 设对称轴与x 轴交于点H ，则NH ＝52－32＝1．∴HP 2＝(52)2－12＝212， ∴点P 2的坐标为(52，212)．综上所述，当P 点的坐标为(52，－12)或(52，212)时，∠CPB ＝∠CAB ． ………14分G2P。
福州一中招生综合素质测试(一)
年福州一中招生综合素质测试(一)( 测试时间: 分钟全卷满分分)毕业学校姓名报考号考生注意：、本卷共有题，全部为单项选择题，其中第—题每题. 分，第—题每题分。
、请将正确选项填涂在答题卡上，写在测试卷上不计分。
、测试完毕，答题卡及测试卷不得带出考室。
. 如果在数轴上表示, 两个实数的点的位置如图所示，那么–化简的结果为. . –. .. 右图是四棱柱和圆锥的组合体，它的主视图为. .. .. 在△中，∠°，如果53, 那么的值等于.53.45.43.34. 以下五个图形中，是中心对称的图形共有. 个. 个. 个. 个. 已知△中，，, , 则△的外心在. △内. △外. 边中点. 边中点．某校为了了解学生的身体素质情况，对初三（）班的名学生进行了立定跳远、铅球、米三个项目的测试，每个项目满分为分。
如图，是将该学生所得的三项成绩（成绩均为整数）之和进行整理后，分成组画出的频率分布直方图，已知从左至右前个小组的频率分别为，，，.下列说法：①学生的成绩≥分的共有人；②学生成绩的众数在第四小组()内；0ba010.514.518.526.522.530.5分数学生人数③学生成绩的中位数在第四小组()范围内。
其中正确的说法有．个 ．个 ．个 ．个．已知3)()(33243=-÷ba b a ，那么39b a 等于． 9- . . . 27-. 用圆心角为°,半径为的扇形做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥底面的半径是. π . π . . . 当 时，代数式 的值是，则当 – 时，代数式 的值是. – . – . – . . 以下给出三个结论①若– 21( – ) , 则 – – ；②若21-+x x 222-+x x , 则21-x 22-x ； ③若 – 11-x x-11, 则 – –。
其中正确的结论共有. 个 . 个 . 个 . 个 . 若方程组⎩⎨⎧=-+=+3)1(134y a ax y x 的解与相等,则的值等于. . . .. 在△中，∠ : ∠ : ∠ , ⊥于 ,则等于.4a . 3a .2a .43a . 若 ,21x 21y ( > ) , 则 ( )的值为 . ( – ) . ( ) . ( – ) . ( ). 要得到函数2x y =的图像，只要把函数2)2(x y -=的图像．向左平移个单位 ．向右平移个单位 ．向上平移个单位 ．向下平移个单位 . 函数 (－) 和xk( ≠) 在同一平面直角坐标系中的图像可能是 xyxyxyxy. . . .．下列加点字的注音全都正确的一项是( )．歼．灭（ā） 隽．永（à） 刚愎．自用（ì） 病入膏肓．（ā）．狭隘．（à）犒．劳（à）茅塞．顿开（è）风驰电掣．（ì）．迸．发（è）毗．邻（í）休戚．与共（ī）百舸．争流（ě）．高亢．（á）恪．守（è）作茧自缚．（ù）为虎作伥．（ā）.下列词语有两个错别字的一项是（）. 针灸疗法真知卓见过犹不及记忆犹新. 纰漏百出芸芸众生出奇致胜恶意诅咒. 敲榨勒索良辰美景趋炎附势得陇忘蜀. 成规陋习伤心病狂无事生非见风驶舵．“萧伯纳知道有人管他叫驴子的时候，他并不生气，反而当作是一种美德，高兴的接受了，他更以驴子自勉。
2021-2022学年福建省福州一中九年级(上)开门考数学试卷及答案解析
2021-2022学年福建省福州一中九年级（上）开门考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．（4分）﹣2021的绝对值是（）A．2021B．﹣2021C．D．2．（4分）下列图形都是由一个圆和两个相等的半圆组合而成的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（）A．218×106B．21.8×107C．2.18×108D．0.218×109 4．（4分）下列运算正确的是（）A．2a﹣a＝2B．（a﹣1）2＝a2﹣1C．a6÷a3＝a2D．（2a3）2＝4a65．（4分）某校举办“喜迎建党100周年”校园朗诵大赛，小丽同学根据比赛中七位评委所给的某位参赛选手的分数，制作了一个表格，如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是（）中位数众数平均数方差9.39.49.29.5A．中位数B．众数C．平均数D．方差6．（4分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x辆，根据题意，可列出的方程是（）A．3x﹣2＝2x+9B．3（x﹣2）＝2x+9C．D．3（x﹣2）＝2（x+9）7．（4分）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2）元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（）A．20a元B．（20a+24）元C．（17a+3.6）元D．（20a+3.6）元8．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝110°，∠C＝80°，将△BMN沿MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠D的度数为（）A．75°B．85°C．95°D．100°9．（4分）已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为（）A．1B．2C．3D．410．（4分）抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），且抛物线的对称轴与线段y＝2x﹣1（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．5B．7C．10D．14二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分；请将答案填在答题卷上）11．（4分）因式分解：2x2﹣8＝．12．（4分）不等式组的解集为．13．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转120°，得到△ADE．这时点D、E、B恰好在同一直线上，则∠ABC的度数为．14．（4分）关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是．15．（4分）已知非零实数x，y满足y＝，则的值等于．16．（4分）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC上，连结DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上，若FD平分∠EFB，则AD的长为．三、解答题（本题共9小题，满分86分）17．（6分）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣+（﹣）﹣1．18．（6分）如图，点E、F在线段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，证明：AE＝DF．19．（8分）在创建“浙江省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：抽取的学生视力情况统计表类别检查结果人数A正常88B轻度近视▲C中度近视59D重度近视▲（1）求所抽取的学生总人数；（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数；（3）请结合上述统计数据，为该校做好近视防控，促进学生健康发展提出一条合理的建议．20．（8分）已知y+3与x成正比例，且x＝2时，y＝7．（1）求y关于x的函数解析式；（2）当x＝﹣1时，求y的值．21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，点E是AC的中点，且AC＝AD．（1）尺规作图：作∠CAD的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，证明：△BEF为等边三角形．22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若AD＝4，求△BED的面积．23．（12分）在“乡村振兴”行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品．A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少100kg．生产该产品每盒需要A原料2kg和B原料4kg，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒．（1）填空：A、B两原料的单价分别为元、元，每盒产品的成本元（成本＝原料费+其他成本）；（2）设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的常数且是整数），直接写出每天的最大利润．24．（13分）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．25．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a为常数，a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．（Ⅰ）求点C的坐标和抛物线的解析式；（Ⅱ）P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，当PD取得最大值时，求点P的坐标；（Ⅲ）M是抛物线的对称轴l上一点，N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN 的边MN时，求点N的坐标．2021-2022学年福建省福州一中九年级（上）开门考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分；每小题只有一个正确选项，请在答题卡的相应位置填涂）1．【分析】根据绝对值的定义直接求得．【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，故选：A．【点评】本题考查了绝对值的定义，掌握绝对值的定义及性质是解题的关键．2．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案和利用旋转设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将218000000用科学记数法表示为2.18×108．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．【分析】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A.2a﹣a＝a，故本选项不合题意；B．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项不合题意；C．a6÷a3＝a3，故本选项不合题意；D．（2a3）2＝4a6，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．5．【分析】根据中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数可得答案．【解答】解：如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不发生变化的是中位数，故选：A．【点评】此题主要考查了中位数，关键是掌握中位数定义．6．【分析】设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设车x辆，根据题意得：3（x﹣2）＝2x+9．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7．【分析】应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费．【解答】解：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）．故选：D．【点评】此题考查列代数式，掌握收费的分段以及总费用的求法是解决问题的关键．8．【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，进而求出∠B的度数即可得出∠D的度数．【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC，∠A＝110°，∠C＝80°，∴∠BMF＝110°，∠FNB＝80°，∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠FMN＝∠BMN＝55°，∠FNM＝∠MNB＝40°，∴∠F＝∠B＝180°﹣55°﹣40°＝85°，∴∠D＝360°﹣110°﹣80°﹣85°＝85°，故选：B．【点评】此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN＝∠BMN，∠FNM＝∠MNB是解题关键．9．【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．【解答】解：依题意得：，解得，∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3＝0，解得a＝3．故选：C．【点评】本题考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2．10．【分析】由点A坐标可得到b、c的关系式，再由对称轴的范围可求得b的范围，代入可求得c的取值范围．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A（2，6），∴6＝4+2b+c，即c＝2﹣2b，∵对称轴为x＝﹣，且抛物线的对称轴与线段y＝2x﹣1（1≤x≤3）有交点，∴1≤﹣≤3，解得2≤﹣b≤6，∴4≤﹣2b≤12，∴6≤2﹣2b≤14，即6≤c≤14，故选：A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，由对称轴与x轴的交点求得b的取值范围是解题的关键．二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分；请将答案填在答题卷上）11．【分析】观察原式，找到公因式2，提出后，再利用平方差公式分解即可得出答案．【解答】解：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．12．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式x﹣3＜4，得：x＜7，解不等式3x+2＞5，得：x＞1，则不等式组的解集为1＜x＜7，故答案为：1＜x＜7．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13．【分析】由旋转性质知∠EAC＝∠DAB＝120°，∠ABC＝∠ADE，AB＝AD，再等腰△DAB中得∠ADE＝∠DBA＝＝30°，据此可得答案．【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，∴∠EAC＝∠DAB＝120°，∠ABC＝∠ADE，AB＝AD，∴在△DAB中，∠ADE＝∠DBA＝＝30°，则∠ADE＝∠ABC＝30°，故答案为：30°．【点评】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是掌握①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等．14．【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1有实数根，∴，解得：a≥﹣1且a≠0．故答案为：a≥﹣1且a≠0．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．15．【分析】根据分式的基本性质，得＝＝1+．欲求，需求．由y＝，可求．【解答】解：∵y＝，∴．∴．∴＝＝1+＝1+3×1＝4．故答案为：4．【点评】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的基本性质以及分式的运算是解决本题的关键．16．【分析】由翻折得出AD＝DF，∠A＝∠DFE，再根据FD平分∠EFB，得出∠DFH＝∠A，然后借助相似列出方程即可．【解答】解：如图，过点D作DH⊥BC于H，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：AB＝＝5．∵将△ADE沿DE翻折得△DEF，∴AD＝DF，∠A＝∠DFE，∵FD平分∠EFB，∴∠DFE＝∠DFH，∴∠DFH＝∠A，设DH＝3x，在Rt△DHF中，sin∠DFH＝sin A＝，∴DF＝5x，∴BD＝5﹣5x，∵△BDH∽△BAC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴AD＝5x＝．故答案是：．【点评】本题考查了以直角三角形为背景的翻折问题，紧扣翻折前后对应线段相等、对应角相等来解决问题，通过相似表示线段和列方程是解题本题的关键．三、解答题（本题共9小题，满分86分）17．【分析】根据有理数混合运算的运算顺序，先算乘方和开方，负整数指数幂等，再算乘除，最后算加减即可．【解答】解：4×（﹣3）+|﹣8|﹣+（﹣）﹣1＝﹣12+8﹣3﹣7＝﹣14．【点评】本题主要考查实数的混合运算，本题是中考必考题，题目比较简单，属基础题．掌握实数混合运算顺序及平方根与立方根的定义是本题解题基础．18．【分析】欲证AE＝DF，可证△ABE≌DCF．由AB∥CD，得∠B＝∠C．又因为∠A＝∠D，BE＝CF，所以△ABE≌△DCF．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C．在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF（AAS）．∴AE＝DF．【点评】本题主要考查平行线的性质以及全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解决本题的关键．19．【分析】（1）从所取样本中根据正常的人数和所占比例求出样本总数；（2））由扇形统计图可直接求近视程度为中度和重度的总人数；（3）根据数据提出一条建议即可．【解答】解：（1）抽取的学生总人数是：88÷44%＝200（人），答：所抽取的学生总人数为200人；（2）由扇形统计图可得，近视程度为中度和重度的总人数为：1800×（1﹣11%﹣44%）＝1800×45%＝810（人）．答：在该校1800人学生中，估计近视程度为中度和重度的总人数是810人；（3）答案不唯一，例如：该校学生近视程度为中度及以上占45%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控．【点评】本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．20．【分析】（1）根据题意设y+3＝kx，把x与y的值代入求出k的值，即可确定出y与x的解析式；（2）把x＝﹣1代入（1）确定出的解析式中求出y的值即可．【解答】解：（1）根据题意设y+3＝kx，把x＝2，y＝7代入得：10＝2k，解得：k＝5，则y+3＝5x，即y＝5x﹣3；（2）把x＝﹣1代入得：y＝﹣5﹣3＝﹣8．【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）想办法证明EB＝EF，∠BEF＝60°，可得结论．【解答】（1）解：如图，图形如图所示．（2）证明：∵AC＝AD，AF平分∠CAD，∴∠CAF＝∠DAF，AF⊥CD，∵∠CAD＝2∠BAC，∠BAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAF＝∠FAD＝15°，∵∠ABC＝∠AFC＝90°，AE＝EC，∴BE＝AE＝EC，EF＝AE＝EC，∴EB＝EF，∠EAB＝∠EBA＝15°，∠EAF＝∠EFA＝15°，∴∠BEC＝∠EAB+∠EBA＝30°，∠CEF＝∠EAF+∠EFA＝30°，∴∠BEF＝60°，∴△BEF是等边三角形．【点评】本题考查作图﹣基本作图，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是证明EB＝EF，∠BEF＝60°．22．【分析】（1）根据已知条件证得DE是∠BDC的平分线，得到∠EDB＝∠EDC，进而证得∠ABD＝∠EDB，得到AB∥DE，根据平行四边形的判定证得四边形ABED是平行四边形，再证得AB＝AD，可得四边形ABED是菱形；（2）根据平行线的性质证得∠ADC＝90°，进而推出∠EDC＝30°，由三角函数的定义求出CD，根据三角形的面积公式即可求出△BED的面积．【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∴EC⊥DC，∵EF⊥BD，EF＝EC，∴DE是∠BDC的平分线，∴∠EDB＝∠EDC，∵∠ADB＝∠BDC，∴∠ADB＝∠EDB，∵∠ADB＝∠ABD，∴∠ABD＝∠EDB，∴AB∥DE，∵AD∥BC，∴AD∥BE，∴四边形ABED是平行四边形，∵∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD，∴四边形ABED是菱形；（2）解：由（1）知，四边形ABED是菱形，∴DE＝BE＝AD＝4，∵AD∥BC，∴∠ADC+∠C＝180°，∵∠C＝90°，∴∠ADC＝90°，∵∠EDB＝∠EDC＝∠ADB，∴∠EDC＝30°，∴CD＝DE•cos30°＝4×＝2，＝BE•CD＝×4×2＝4．∴S△BED【点评】本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的判定，由角平分线的性质结合已知条件推出∠ABD＝∠EDB是解决问题的关键．23．【分析】（1）根据题意列方程先求出两种原料的单价，再根据成本＝原料费+其他成本计算每盒产品的成本即可；（2）根据利润等于售价减去成本列出函数关系式即可；（3）根据（2）中的函数关系式，利用函数的性质求最值即可．【解答】解：（1）设B原料单价为m元，则A原料单价为1.5m元，根据题意，得﹣＝100，解得m＝3，经检验m＝3是方程的解，∴1.5m＝4.5，即A、B两原料的单价分别为4.5元，3元，∴每盒产品的成本是：4.5×2+4×3+9＝30（元），故答案为：4.5、3，30；（2）根据题意，得w＝（x﹣30）[500﹣10（x﹣60）]＝﹣10x2+1400x﹣33000，∴w关于x的函数解析式为：w＝﹣10x2+1400x﹣33000；（3）由（2）知w＝﹣10x2+1400x﹣33000＝﹣10（x﹣70）2+16000，∵60＜a＜70，当x＝a时，有最大值，∵a是大于60的常数且为整数，∵a＝69时，∴w＝15990元．最大值【点评】本题主要考查二次函数的性质和分式方程，熟练应用二次函数求最值是解题的关键．24．【分析】（1）连接AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可；（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；（3）如图3，连接CG、BE，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．理由如下：如图2，连接AC、BD，∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，理由如下：如图1中，∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（3）如图3，连接CG、BE，∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∵∠AME＝∠BMN，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，∵AC＝4，AB＝5，∴BC＝＝＝3，∵CG＝＝＝4，BE＝＝＝5，∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝（4）2+（5）2﹣32＝73，∴GE＝．【点评】本题为四边形综合题，主要考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．25．【分析】（Ⅰ）当x＝0时，y＝6，可求点C坐标，利用待定系数法可求解析式；（Ⅱ）先求出直线AC的解析式，再设D（t，﹣t+6）（0＜t＜6），知P（t，﹣t2+5t+6），从而得PD＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，据此可得答案；（Ⅲ）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，当x＝0时，y＝6，∴点C（0，6）；（Ⅱ）如图（1），∵A（6，0），C（0，6），∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，设D（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），∴PD＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，当t＝3时，PD最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，∴P（3，12）；（Ⅲ）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，∵l∥y轴，∴∠MFC＝∠OCA＝45°，∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，∴NF∥x轴，由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，当x＝时，y＝，∴F（，），∴点N的纵坐标为，设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），∴﹣m2+5m+6＝，∴m＝或m＝，∴点N的坐标为（，）或（，）．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD＝PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．。
(参考答案)福州市2021年高中毕业班综合质量检测数学
2021 年 3 月福州市高中毕业班质量检测评分说明：1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4. 只给整数分数。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．1．C 2．B 3．B 4．A5．D 6．C 7．D 8．C二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．9．AC 10．ABD 11．BCD 12．BCD三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13． [-2 ，4] 14．5 15． 25π 16． 12四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．17. （本小题满分 10 分）【命题意图】本小题主要考查等比数列、 a n 与 S n 的关系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 10 分．【解答】（1）选①，即 S n = 2a n + 1 ．（ⅰ）则 当 n = 1 时， S 1 = 2a 1 + 1，故 a 1 = -1 ； ································ ·······················1 分 当 n ≥2 时， S n -1 = 2a n -1 + 1 ，（ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）两式相减得 a n = 2a n -1 ， ································ ···························· 3 分 所以{a n } 为等比数列，其中公比为 2，首项为-1 ．····································· 4 分 n -1所以 a n = -2 ．································ ································ 选②，即 a 1 = -1, log 2 (a n a n +1 ) = 2n -1 ．·················· 5 分 所以当 n ≥ 2 时， log 2 (a n a n +1 ) - log 2 (a n -1a n ) = 2 ， ································ ······· 1 分1 n 2k 2k -1 ⎨⎩ n n 即 a n +1= 4 ， ································ ································ ······················· 2 分 a n -1所以{a 2k -1 } （ k ∈ N * ）为等比数列，其中首项为 a = -1 ，公比为 4，所以 a = -1⨯ 4k -1 = -2(2k -1)-1 ． ································ ······························ 3 分由 a 1 = -1, log 2 (a 1a 2 ) = 1 ，得 a 2 = -2 ，同理可得， a = -2 ⨯ 4k -1 = -22k -1 （ k ∈ N * ）． ································ ············ 4 分综上， a = -2n -1 ．································ ································ ··············· 5 分 选③，即 a 2 = a a ，S = -3，a = -4 ．n +1 n n +2 2 3所以{a n } 为等比数列，设其公比为 q ， ································ ···················· 1 分 ⎧⎪a (1 + q ) = -3， ⎧a = -1， ⎧a 1 = -9 ，则⎨ 1 ⎪a q 2 = -4 ， 解 得 1 q = 2 ， ⎪ ⎨q =- 2 . ································ ··········· 3 分 ⎩ 1 ⎩ ⎪⎩3 又因为{a } 为单调数列，所以 q ＞ 0 ，故⎧a 1 = -1， ·····4 分n ⎨q = 2 ， ································所以 a = -2n -1 ．································ ································ ·················· 5 分（2）由（1）知， -na = n ⋅ 2n -1 ，所以T n = 1 + 2 ⨯ 2 + 3⨯ 22 + + (n -1) ⋅ 2n -2 + n ⋅ 2n -1 ， ···································· 6 分2T n = 2 + 2 ⨯ 22 + + (n - 2) ⋅ 2n -2 + (n -1) ⋅ 2n -1 + n ⋅ 2n ， ······················ 7 分 两式相减得-T n = 1 + 2 + 22 + + 2n -2 + 2n -1 - n ⋅ 2n ································ ········ 8 分= (2n - 1) - n ⋅ 2n ．································ ···························· 9 分所以T n = (n -1) ⋅ 2n + 1 ． ······································································· 10 分18. （本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力； 考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 12 分．【解答】解法一：（1）因为 a + b = c cos B - b cos C ，由正弦定理得sin A + sin B = sin C cos B - sin B cos C ， ··································· 2 分 因为sin ( B + C ) = sin (π - A ) = sin A ，所 以 sin (B + C ) +sin B = sin C cos B - sin B cos C ， ································ ········· 3 分所以2sin B cos C + sin B = 0 ， ·································································· 4 分 因为 B ∈(0, π) ，所以sin B ≠ 0 ，所以cos C =- 1 ， ······································ 5 分 2或又C ∈(0, π) ，所以C = 2π ···································································· 6 分3 （2）因为CD 是△ABC 的角平分线，且C = 2π ，3所以∠ACD = ∠BCD = π ． ································ ············ 7 分3在△ABC 中， S △ ABC = S △ ACD + S △BCD ，则由面积公式得1 CA ⋅ CB sin 2π = 1 CA ⋅ CD sin π + 1 CD ⋅ CB sin π ， ····································· 10 分23 2 3 2 3即CA ⋅ CB = CA ⋅ CD + CD ⋅ CB . ································ ······························· 11 分 两边同时除以CA ⋅ CB ⋅ CD 得 1 + 1 = 1 . ································ ············ 12 分CA CB CD解法二：（1）因为 a + b = c cos B - b cos C ，a 2 + c 2 -b 2 a 2 + b 2 -c 2 由余弦定理得 a + b = c ⋅ - b ⋅ ， ··································· 2 分2ac 2ab整理得 2a (a + b ) = 2c 2 - 2b 2 ，即 a 2 + b 2 - c 2 + ab = 0 ， ································· 3 分 所以 ab (1 + 2 c os C ) = 0 ， ······································································· 4 分 所以cos C =- 1 ， ································ ································ ················ 5 分2又C ∈(0, π) ，所以C = 2π ···································································· 6 分3 （2）因为CD 是△ABC 的角平分线，且C = 2π ，3所以∠ACD = ∠BCD = π ． ································ ·········· 7 分3在△ABC 中，由正弦定理得CA sin B = CB = sin A ABsin 2π3， ································ ·············· 8 分 即 CAsin B = CB= sin A AD sin π + DB sin π．································ ······························ 9 分3 3 同理在△CAD 和△CBD 中，得 CD = sin AAD sin π3 ， CD sinB= DB ，sin π3所以 CA sin B = CD + sin A CD sin B ，即 CA - CD = sin B CDsin A， ······································· 10 分A 1C = C 3 ⎫ 故 CA - CD = CD ，即1 = CD + CD ， ································ ····················· 11 分CA CB CB CA故 1 + 1 = 1 ． ································ ································ ············ 12 分 CA CB CD19. （本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分 12 分．【解答】（1）依题意，四边形 ACC 1 A 1 为等腰梯形，过 A 1 ，C 1 分别引 AC 的垂线，垂足分别为 D ，E ，则AD = 1 ( AC - AC ) = 1 ⨯ (2 - 1) = 1 = 1 AA ，故∠A AC = 60︒ ．2 1 1 2 2 2 1 1在△ACA 中， AC 2 = A A 2 + AC 2 - 2A A ⋅ AC cos ∠A AC = 12 + 22 - 2 ⨯1⨯ 2 ⨯ 1 = 3 ，1 1 1 1 1 2所以 AC 2+ A A 2 = AC 2 ，故∠AAC = 90︒ ，即 AC ⊥ AA ． ···························· 2 分1 1 1 1 1 因为 A 1C ⊥ AB ，AB AA 1 = A ，且 AB ，AA 1 ⊂ 平面 ABB 1 A 1 ，所以 A 1C ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ， ······································································ 4 分 因为 A 1C ⊂ 平面 ACC 1 A 1 ，所以平面 ACC 1 A 1 ⊥ 平面 ABB 1 A 1 ． ································ ··························· 5 分（2）因为 AB ⊥ AC ，A 1C ⊥ AB ，AC ，且 AC ，A 1C ⊂ 平面 ACC 1 A 1 ，所以 AB ⊥ 平面 ACC 1 A 1 ，结合（1）可知 AB ，AC ，A 1D 三条直线两两垂直． ····· 6 分 以 A 为原点，分别以 AB ，AC ，DA 1 的方向为 x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A - xyz ，如图所示，则各点坐标为A (0 ，0 ，0)，B (1，0 ，0) ，C (0 ，2 ，0)， ⎛1 3 ⎫ ，A 1 0 ， ，⎪⎝ 2 2 ⎭⎛ 3 3 ⎫． ································ ···················· 7 分C 1 0 ， ， ⎪ ⎝ 2 2 ⎭由（1）知， n = 2 AC = 2 ⎛ 0 3 -= (0 ， 3 ，-1) 为平面 ABB A 的法向量．1 1 ， ， ⎪1 13 3 ⎝ 2 2 ⎭································ ································ ································ ·············· 8 分⎛ 1 3 ⎫BC = (-1，2 ，0)，C 1C = 0 ， ，-⎪ ，⎝ 2 2 ⎭ 设 n 2 = ( x ，y ，z ) 为平面 BCC 1B 1 的法向量，则n 1 ⋅ n 2 n 1 n 2 2 a 2 + b 2 3 故 ⎛ 2 0 0 ⎭ ⎧⎪n ⊥ BC ， ⎧n 2 ⋅ BC = -x + 2 y = 0 ，2 ⎪ ⎨ ⎨ 1取 n 2 = (2 3 ，3 ，1) ， ···················· 10 分⎪⎩n 2 ⊥ C 1C ， ⎪n 2 ⋅ C 1C = y - ⎩ 2 2 z = 0 ，所以cosn 1 ，n 2 = = 3 -1= 1 ， ································ ····················· 11 分2 ⨯ 4 4设二面角 A - BB 1 - C 的大小为θ ，则sin θ =20. （本小题满分 12 分）= 15 4． ·················· 12 分【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．满分 12 分．【解答】解法一：（1）依题意， a = ． ································ ················· 1 分由椭圆的对称性可知，四边形 A 1B 2 A 2 B 1 为菱形，其周长为4 = 4 ． ···· 3 分 所以b = 1 ， ································ ································ ························ 4 分x 2 2所以 E 的方程为 + y 2 = 1 ． ································································· 5 分（2）设 P ( x ，y ) ，则2 y 2 = 2 - x 2 ， ································ ······················· 6 分0 0 直线 A 1P 的方程为 y = 0 0y 0 (x + 2 ) ，故C 0 ， 2 y 0 ⎫ ⎪ ， ························7 分⎝ x 0 + 2 ⎭y 0⎛ 2 y 0 ⎫由 A 1D ∥ PA 2 知 A 1 D 的方程为 y = (x + 2 ) ，故 D0 ， ⎪ ， ··········8 分⎝ x 0 - 2 ⎭假设存在Q (t ，0) ，使得QC ⋅ QD = 3 ，则QC ⋅ Q D ⎛ t ， 2 y 0 ⎫ ⎛ t ，2 y0 ⎫= - ⎝ x 0 + ⎪ ⋅- ⎭ ⎝ x 0 - ⎪2 y 2 = t 2 + 0 x 2 - 22 - x 2= t 2 + 0 x 2 - 2································ ································ ············ 9 分= t 2 -1 = 3 ．································ ································ ····················10 分解得t = ±2 ． ································ ································ ····················· 11 分所以当Q 的坐标为(±2 ，0) 时， QC ⋅ QD = 3 ．································ ············12 分解法二（1）同解法一． ································ ········································ 5 分 3 1 - - 4 ⎪ ⎛ 1 ⎫2⎝ ⎭ x 0 + 2 x 0 - 2 2⎛ 2 ⎛ 2 2 0 0 ⎦ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭ （2）当点 P 与点 B 1 重合时， C 点即 B 1 (0，1) ，而点 D 即 B 2 (0，-1) ，假设存在Q (t ，0) ，使得QC ⋅ QD = 3 ，则(-t ，1) ⋅ (-t ，-1) = 3 ，即t 2 -1 = 3 ，解得t = ±2 ．··················· 6 分以下证明当Q 为(±2 ，0) 时， 设 P ( x ，y ) ，则 2 y 2 = 2 - x 2 ，································ ······························· 7 分0 0 0 0直线 AP 的方程为 y = (x + 2 ) ，故C 0 ， 2 y 0 ⎫ ，························· 8 分x 0 + ⎪ 由 A D ∥ PA 知 AD 的方程为 y = (x + 2 ) ，故 D 0 ， 2 y 0 ⎫ ， ·········· 9 分1 2 所以QC ⋅ QD 1⎛ t ， 2 y 0⎫ ⎛t ，2 y 0 ⎫x 0 -⎪ = - ⎝ x 0 + 2 y 2 ⎪ ⋅ - ⎭ ⎝ x 0 - ⎪= t 2 + 0x 2 - 2 2 - x 2································································ ········ 10 分 = 4 + 0 ································ ································ ········· 11 分 x 2 - 2= 4 -1= 3 ．································ ································ ················· 12 分说明： Q 只求出(2，0) 或(-2 ，0) ，不扣分．21. （本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识；考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、必然与或然思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性．满分 12 分．【解答】（1）设恰好有 3 个股东同时选择同一款理财产品的事件为 A ，由题意知，5 个股东共有45 种选择，而恰好有 3 个股东同时选择同一款理财产品的可能情况为C 3 ⋅ (A 2 + A 3 )种，5 4 4 C 3 ⋅ (A 2 + A 3 ) 45所以 P (A ) = 5 4 45 4 = 128 ． ································ ···························· 4 分（2）①2021 年全年该公司从协定存款中所得的利息为：⎡⎣(550 + 500 + 450 + 50) + 50⎤ ⨯ 0.016812 = ⎡550+50 ⨯11 + 50⎤ ⨯ 0.0 014 = 4.69 （万元）． ································ ············ 6 分 ⎢⎣ 2 ⎥⎦②由条件，高新项目投资可得收益频率分布表1 QC ⋅ QD = 3y 0 x 0 + 2 y 0 x 0 - 2 + 100 + 2。
福州市2021年高中毕业班综合质量检测数学试题(解析版)
准考证号 姓名 .（在此卷上答题无效）2021年3月福州市高中毕业班质量检测注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}{}1234521A B x x k k A ===+∈，，，，，，，则A B =A ．{}13，B ．{}24，C ．{}35，D ．{}135，，【答案】C ．【解答】由题意得{}3,5,7,9,11B =，所以{}3,5AB =，故选B ．【命题意图】本小题以集合为载体，主要考查集合的概念和基本运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性． 2. 设复数i z a b =+（,a b ∈∈Z Z ），则满足11z -≤的复数z 有A ．7个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】B ．【解答】由复数的几何意义可知，满足11z -≤的复数z 表示到点()1,0的距离不大于1的点．满足条件的点分别是()()()()()0,0,1,0,2,0,1,1,1,1-，共5个点，应选B ．【命题意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本概念和几何意义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养，体现基础性． 3. “5m ≤”是“2450m m --≤”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B ．【解答】2450m m --≤⇔15m -≤≤．所以“5m ≤”是“2450m m --≤”的必要而不充分条件．应选B ．【命题意图】本小题以不等关系为载体，主要考查一元二次不等式的解、充要条件等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性．4. 若抛物线2y mx =上一点(),2t 到其焦点的距离等于3，则A ．14m =B ．12m =C ．2m =D ．4m =【答案】A ．【解答】抛物线的方程可化为21x y m =，结合抛物线定义得1234m +=，解得14m =，故22t =±．应选A ．【命题意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的方程与定义等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性．5. 已知函数()ln f x x =，则函数1()1y f x=-的图象大致为【答案】D ．【解答】()11ln ln 111f x x x ⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭，其定义域为()1-∞，，为增函数，故选D ． 【命题意图】本小题以对数函数为载体，考查函数性质、图象变换等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．6. 在ABC △中，E 为AB 边的中点，D 为AC 边上的点，BD ，CE 交于点F ．若AF =3177AB AC +，则ACAD 的值为 A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C ．【解答】解法一：设AC AD λ=，所以AF =37AB +17AC =377AB AD λ+，因为F B D ，，三点共线，所以3177λ+=，解得4λ=，故4ACAD=．应选C ． 解法二：设BF BD AD AC λμ==，，则()BF AD AB AB AC λλλμ=-=-+，所以AF =()1AB BF AB AC λλμ+=-+．又因为3177AF AB AC =+，所以31717λλμ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，解得14μ=，故4ACAD=．应选C ． 【命题意图】本小题以三角形为载体，考查平面向量的线性运算、平面向量基本定理等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．7. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．如图，有一列曲线01n P P P ，，，，．已知0P 是边长为1的等边三角形，1k P +是对k P 进行如下操作而得到：将k P 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（012k =，，，）．记n P 的周长为n L 、所围成的面积为n S ．对于n ∀∈N ，下列结论正确的是A ．n n S L ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列B ．n n S L ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列C ．0M ∃＞，使n L M ＜D ．0M ∃＞，使n S M ＜【答案】D ．【解答】易知封闭曲线的周长数列{}n L 的首项03L =，公比为43．故433nn L ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，易知k P 边数为34k⨯，边长为13k ，故1k P +较k P面积增加21143439kk k +⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1490,1,2,k kk S S k +⎛⎫⎪⎝=⎭=，累加可得49nn S ⎛⎫= ⎪⎝⎭．易知A ，B 均错误；当+n →∞时，43+3nn L ⎛⎫=⨯→∞ ⎪⎝⎭，所以C错误，而n S ，所以D 正确．综上，应选D ．另解：由该曲线系列都在正三角形的外接圆内可知：0M ∃＞，使n S M ＜．应选D ． 【命题意图】本小题以数列为载体，考查数列求通项、递推数列等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养；体现综合性与创新性． 8. 已知函数()()2sin f x x ωϕ=+（π0,2ωϕ><）的图象过点()0,1，在区间ππ123⎛⎫⎪⎝⎭，上为单调函数，把()f x 的图象向右平移π个单位长度后与原来的图象重合．设12,x x ∈π5π,26⎛⎫⎪⎝⎭且12x x ≠，若()()12f x f x =，则()12f x x +的值为 A．B ．1-C ．1D【答案】C ．【解答】依题意，()01f =，即2sin 1ϕ=，故1sin 2ϕ=，又π2ϕ＜，所以π=6ϕ，所以()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为把()f x 的图象向右平移π个单位长度后与原来的图象重合，所以()ππ2sin π2sin 66x x ωω⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故π2πk ω=，即()2k k ω=∈Z ．若()f x 在ππ123⎛⎫⎪⎝⎭，上为单调函数，则ππππ31242T ω-==≤，所以04ω＜≤，所以2ω=，或4．经验证，当2ω=时，()f x 在ππ123⎛⎫⎪⎝⎭，上不是单调函数；当4ω=时，满足题意．综上，()π2sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，它在π5π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭上的对称轴为7π12x =，所以127π12x x +=⨯7π26=，所以()127ππ2sin 4166f x x ⎛⎫+=⨯+= ⎪⎝⎭． 【命题意图】本小题以三角函数的图象为载体，考查三角函数的图象与性质等基础知识；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养；体现基础性与综合性．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9. “一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2 000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如右所示的列联表，通过计算得到2K 的观测值为9．已知()2 6.6350.010P K =≥，()210.8280.001P K =≥，则下列判断正确的是A ．在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B ．在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C ．有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关 【答案】AC ．【解答】对于选项A ，随机调查的90人中认可“光盘行动”的有60人，所以大约有66.7%的客人认可“光盘行动”，故正确，从而易知选项B 错误；因为6.635910.828＜＜，所以有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，所以选项C 正确，从而选项D 错误．综上，应选AC ．【命题意图】本小题以“光盘行动”为载体，考查独立性检验等基础知识；考查数据处理能力、应用意识；考查或然与必然思想；考查逻辑推理、数据分析等核心素养；体现基础性与应用性．10. 如图，在下列四个正方体中，A B ，为正方体的两个顶点，M N P ，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB ∥平面MNP 的是【答案】ABD ．【解答】对于选项A ，如图1，平面截正方体的截面为正六边形，各顶点为所在棱的中点，由AB PC ∥，可知AB ∥平面MNP ．该选项正确；对于选项B ，由AB PN ∥可知AB ∥平面MNP ．该选项正确； 对于选项C ，如图2，平面ACBD平面PMN PQ ，若AB ∥平面MNP ，则AB PQ ∥，由Q 为AD 四等分点，P 为BD 中点知，AB PQ ∥，从而AB ∥平面MNP ．该选项错误．对于选项D ，如图3，由平面ACBD ∥平面MNP 可知AB ∥平面MNP ．该选项正确． 综上，应选ABD ．图1图2图3【命题意图】本小题以正方体为载体，主要考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力；考查化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性．A B C D11. 已知P 是双曲线:E 22145x y -=在第一象限上一点，12F F ，分别是E 的左、右焦点，12PF F △的面积为152．则以下结论正确的是 A ．点P 的横坐标为52B ．12π3F PF ∠＜＜π2C ．12PF F △的内切圆半径为1D ．12F PF ∠平分线所在的直线方程为3240x y --= 【答案】BCD ．【解答】依题意，121211156222PF F P P S F F y y =⋅=⨯=△，所以532P P y x ==，，选项A 错误；依题意，()()123030F F -，，，，则2PF ⊥x 轴，所以1212212tan 5F F F PF PF ∠==，所以12π3F PF ∠＜＜π2，选项B 正确；从上述讨论及双曲线定义可得2155134222PF PF ==+=，，设12PF F △的内切圆半径为r ，则1215136222PF F S r ⎛⎫=⨯++= ⎪⎝⎭△152，所以1r =，所以选项C正确；12PF F △的内心为()21I ，，从而12F PF ∠平分线所在的直线，即直线PI 的方程为1253212y x --=--，即3240x y --=，选项D 正确．综上，应选BCD ． 【命题意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的定义、直线方程、直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性． 12. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh x =e e 2x xx -+=等．双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达·芬奇苦苦思索的悬链线（例如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画．则下列结论正确的是 A ．22cosh +sinh 1x x =B ．cosh y x =为偶函数，且存在最小值C ．()0000sinh sinh sinh x x x ∀＞，＞ D ．12x x ∀∈R ，，且12x x ≠，1212sinh sinh 1x x x x --＞【答案】BCD ．【解答】因为2222e e e e e e 222x x x x x x---⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪⎭=⎪⎝⎝⎭，所以选项A 错误； ()e e cosh cosh 2x x x x -+-==，e e cosh 122x x x -+==≥，当且仅当0x =时cosh x 取到最小值1，所以选项B 正确；令()sinh F x x x =-，即()e e 2x xx x F -=--，则()e +e 102x x F x -'=-≥，()F x 在R 上单调递增，所以当0x ＞时，()()00F x F =＞，故0000sinh x x x ∀＞，＞，又因为sinh y x =单调递增，所以()0000sinh sinh sinh x x x ∀＞，＞，所以选项C 正确； 不妨设12x x ＞，则()()12F x F x ＞，即1122sinh sinh x x x x --＞，亦即1sinh x -2sinh x ＞12x x -，故1212sinh sinh 1x x x x --＞，所以选项D 正确．【命题意图】本小题以函数为载体、考查指数的运算、函数的基本性质、导数与函数的单调性的关系等基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、创新意识；考查数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想；考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养；体现综合性与创新性．第Ⅱ卷注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13. 设x y ，满足约束条件402600x y x y y +-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤，≥，≥，则2x y -的取值范围为 ．【答案】[]24-，． 【解答】作出可行域如图所示，当目标函数2z x y =-经过()22A ，时，z 取得最小值2222-⨯=-，当目标函数2z x y=-经过()40B ，时，z 取得最大值4204-⨯=．故2x y -的取值范围为[]24-，． 【命题意图】本小题以不等式为载体，主要考查线性规划等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想；考查直观想象、数学运算等核心素养，体现基础性．14. 51x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，1x 的系数为 ． 【答案】5．【解答】依题意，展开式中第1k +项为135522155kk kkk k T C x x C x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3512k -=-得4k =，所以1x的系数为41555C C ==． 【命题意图】本小题以二项式为载体，主要考查二项式定理等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性．15. 在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与底面ABC 垂直，9030BAC PCA ∠=︒∠=︒，，3AB =，2PA =．则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 ．【答案】25π．【解答】依题意，BA ⊥平面PAC ，将三棱锥P ABC -补成直三棱柱111PAC P A C -，则其外接球即为所求，设外接球的球心为O ，PAC △的外心为1O ，则11322OO AB ==，又1122sin PAO A PCA=⋅=∠，所以外接球的半径221152R OO O A =+=，所以所求外接球的表面积为24π25πR =． 【命题意图】本小题以空间几何体为载体，主要考查多面体的外接球等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．16. 已知圆C 的方程为()()22214x y -+-=，过点()20M ，的直线与圆C 交于,P Q 两点（点Q 在第四象限）．若2QMO QPO ∠=∠，则点P 的纵坐标为 ． 【答案】12． 【解答】解法一：因为2QMO QPO ∠=∠，所以MOP MPO ∠=∠，所以2MP MO ==，所以P 在圆()2224x y -+=上，联立两圆方程解得12P y =． 解法二：因为2QMO QPO ∠=∠，所以MOP MPO ∠=∠，所以2MP MO ==．另一方面圆C 的半径2CP =，且CM x ⊥轴，故1122P C y y ==． 【命题意图】本小题以圆为载体，主要考查直线与圆的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分）在①21n n S a =+；②()1211,log 21n n a a a n +=-=-；③212n n n a a a ++=，23S =-，34a =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并解答．问题：已知单调数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足 ． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n na -的前n 项和n T ．【命题意图】本小题主要考查等比数列、n a 与n S 的关系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分10分．【解答】（1）选①，即21n n S a =+．（ⅰ）则当1n =时，1121S a =+，故11a =-； ························································ 1分 当2n ≥时，1121n n S a --=+，（ⅱ）（ⅰ）（ⅱ）两式相减得12n n a a -=， ···························································· 3分 所以{}n a 为等比数列，其中公比为2，首项为1-． ····································· 4分 所以12n n a -=-． ·················································································· 5分 选②，即()1211,log 21n n a a a n +=-=-．所以当2n ≥时，()()2121log log 2n n n n a a a a +--=， ········································ 1分 即114n n a a +-=， ······················································································· 2分 所以{}21k a -（*k ∈N ）为等比数列，其中首项为11a =-，公比为4， 所以()211121142k k k a ----=-⨯=-． ······························································ 3分由()12121,log 1a a a =-=，得22a =-，同理可得，1212242k k k a --=-⨯=-（*k ∈N ）． ············································· 4分 综上，12n n a -=-． ··············································································· 5分选③，即212n n n a a a ++=，23S =-，34a =-．所以{}n a 为等比数列，设其公比为q ， ····················································· 1分 则()121134a q a q +=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，，解得112a q =-⎧⎨=⎩，，或192.3a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ············································ 3分 又因为{}n a 为单调数列，所以0q ＞，故112a q =-⎧⎨=⎩，， ····································· 4分所以12n n a -=-． ·················································································· 5分 （2）由（1）知，12n n na n --=⋅， 所以()22112232122n n n T n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅， ····································· 6分 ()()221222222122n n n n T n n n --=+⨯++-⋅+-⋅+⋅， ······················· 7分 两式相减得221122222n n n n T n ---=+++++-⋅ ········································· 8分()212n n n =--⋅． ···························································· 9分所以()121n n T n =-⋅+． ······································································ 10分 18. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，cos cos a b c B b C +=-． （1）求角C 的大小；（2）设CD 是ABC △的角平分线，求证：111CA CB CD+=． 【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．【解答】解法一：（1）因为cos cos a b c B b C +=-，由正弦定理得sin sin =sin cos sin cos A B C B B C +-， ···································· 2分 因为()()sin sin πsin B C A A +=-=，所以()sin +sin sin cos sin cos B C B C B B C +=-， ·········································· 3分 所以2sin cos sin 0B C B +=， ·································································· 4分因为()0,πB ∈，所以sin 0B ≠，所以1cos 2C =-，······································· 5分又()0,πC ∈，所以2π3C =. ····································································· 6分 （2）因为CD 是ABC △的角平分线，且2π3C =， 所以π3ACD BCD ∠=∠=． ··········································· 7分 在ABC △中，ABC ACD BCD S S S =+△△△，则由面积公式得12π1π1πsin sin sin 232323CA CB CA CD CD CB ⋅=⋅+⋅， ···································· 10分 即CA CB CA CD CD CB ⋅=⋅+⋅. ······························································· 11分 两边同时除以CA CB CD ⋅⋅得111CA CB CD+=. ············································ 12分 解法二：（1）因为cos cos a b c B b C +=-，由余弦定理得22222222a c b a b c a b c b ac ab +-+-+=⋅-⋅， ··································· 2分 整理得()22222a a b c b +=-，即2220a b c ab +-+=， ································· 3分 所以()12cos 0ab C +=， ········································································ 4分所以1cos 2C =-， ················································································· 5分又()0,πC ∈，所以2π3C =. ····································································· 6分 （2）因为CD 是ABC △的角平分线，且2π3C =，所以π3ACD BCD ∠=∠=． ····································································· 7分 在ABC △中，由正弦定理得2πsin sin sin 3CA CB ABB A ==， ········································································· 8分 即ππsin sin sin sin 33CA CB AD DBB A ==+． ···································· 9分同理在CAD △和CBD △中，得πsin sin 3CD AD A =，πsin sin 3CD DB B =， 所以sin sin sin CA CD CDB A B =+，即sin sin CA CD CD B A -=， ······································· 10分故CA CD CDCA CB -=，即1+CD CD CB CA =， ····················································· 11分 故111CA CB CD+=． ············································································ 12分 解法三：（1）同解法一． ······································································· 6分（2）设CB CA ==a b ，，则2π1cos 32ab ab ⋅==-a b ， ·································· 7分 因为CD 为ABC △的角平分线，所以AD AC b BC BC a==， ·································· 8分 所以()b bAD AB a b a b==-++a b ， ·························································· 9分 所以b aCD CA AD a b a b=+=+++a b ，即()a b CD a b +=+b a ，···················· 10分 两边同时平方得()()()()()222222a b CD ab ba ab ab +=++⋅=a b ，即()a b CD ab +=， ············································································ 11分 所以111a b CD ab b a +==+，即111CA CB CD+=． ·········································· 12分 注：用初中引平行线证明同样给分．19. （本小题满分12分）如图，在三棱台111ABC A B C -中，1111112AA A C CC AC A C AB ====⊥，，． （1）求证：平面11ACC A ⊥平面11ABB A ；（2）若901BAC AB ∠=︒=，，求二面角1A BB C --的正弦值．【命题意图】本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．【解答】（1）依题意，四边形11ACC A 为等腰梯形，过11A C ，分别引AC 的垂线，垂足分别为D E ，，则()()1111111212222AD AC A C AA =-=⨯-==，故160A AC ∠=︒．在1ACA △中，22222111112cos 1221232A C A A AC A A AC A AC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以22211A C A A AC +=，故190AA C ∠=︒，即11A C AA ⊥． ····························· 2分 因为11A C AB AB AA A ⊥=，，且1AB AA ⊂，平面11ABB A ， 所以1A C ⊥平面11ABB A ， ······································································· 4分 因为1A C ⊂平面11ACC A ，所以平面11ACC A ⊥平面11ABB A ． ···························································· 5分 （2）因为11AB AC A C AB AC A C C ⊥⊥=，，，且1AC A C ⊂，平面11ACC A ，所以AB ⊥平面11ACC A ，结合（1）可知1AB AC A D ，，三条直线两两垂直． ······ 6分以A 为原点，分别以1AB AC DA ，，的方向为x y z ，，轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示，则各点坐标为()()()1100010002002A B C A ⎛ ⎝⎭，，，，，，，，，，，133022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． ························································································· 7分 由（1）知，()11223300312233A C ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭n ，，，，为平面11ABB A 的法向量． ········································· 8分()113120022BC C C ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，， 设()2x y z =n ，，为平面11BCC B 的法向量，则 221BC C C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n ，，故2212013022BC x y C C y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n ，，取()22331=n ，，， ···················· 10分 所以121212311cos 244⋅-===⨯n n n n n n ，， ···················································· 11分 设二面角1A BB C --的大小为θ，则2115sin 144θ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． ·················· 12分20. （本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b ＞＞）的左、右顶点分别为()()122020A A -，，，，上、下顶点分别为12B B ，，四边形1221A B A B 的周长为43． （1）求E 的方程；（2）设P 为E 上异于12A A ，的动点，直线1A P 与y 轴交于点C ，过1A 作12A D PA ∥，交y 轴于点D ．试探究在x 轴上是否存在一定点Q ，使得3QC QD ⋅=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由．【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性．满分12分．【解答】解法一：（1）依题意，2a =． ················································· 1分 由椭圆的对称性可知，四边形1221A B A B 为菱形，其周长为22443a b +=． ···· 3分 所以1b =， ························································································ 4分。
2021年福建省福州市市第一中学高三数学理测试题含解析
2020-2021学年福建省福州市市第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知△ABC的三个内角A,B、C所对的三边分别为a，b、c，若△ABC的面积则tan等于A．1/2 B．1/4C．1/8 D．1参考答案：答案：B2. ( )A． B． C． D．参考答案：C略3. 已知下图（1）中的图像对应的函数为，则下图（2）中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，只可能是（）A． B． C． D．参考答案：D略4. 早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法，其中商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的一种标准量器，其三视图如图所示(单位：寸)，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x为A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4参考答案：B由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，故其体积为，又故.故选B．5. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：D.考点：诱导公式.6. 某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率是（）A．B．C． D．参考答案：B【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n==34，C和D至少有一辆与A和B车相邻的对立事件是C和D都不与A和B车相邻，由此能求出C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率．【解答】解：某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车，在C，D不相邻的条件下，基本事件总数n==34，C和D至少有一辆与A和B车相邻的对立事件是C和D都不与A和B车相邻，∴C和D至少有一辆与A和B车相邻的概率：p=1﹣=．故选：B．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．7. 执行如图所示的程序框图，若输出，则框图中①处可以填入（）参考答案：C8. 下列选项中，说法正确的是( )A．命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＞0”B．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的充分不必要条件C．命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题D．命题“在△ABC中，若sinA＜，则A＜”的逆否命题为真命题参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，逐一分析四个答案是否成立，最后综合讨论结果，可得结论．【解答】解：对于A，命题“?x∈R，x2﹣x≤0”的否定是“?x∈R，x2﹣x＞0”，故错误；对于B，命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要不充分条件，故错误；对于C，命题“若am2≤bm2，则a≤b”在m=0时，不一定成立，故是假命题，故正确；对于D，“在△ABC中，若sinA＜，则A＜或A＞”为假命题，故其逆否命题也为假命题，故错误；故选：C【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，特称命题的否定，充要条件的定义，四种命题的关系，难度不大，属于基础题．9. 若函数，函数，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．B11 B12解析：设z=（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方，求函数y=sin2x﹣（x∈[0，π]）的导数，f′（x）=2cos2x，直线y=x+3的斜率k=1，由f′（x）=2cos2x=1，即cos2x=，即2x=，解得x=，此时y=six2x﹣=﹣=0，即函数在（，0）处的切线和直线y=x+3平行，则最短距离d=，∴（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2的最小值d2=（）2=，故选：B【思路点拨】根据平移切线法，求出和直线y=x+3平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．10. （5分）若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是（）A． ac2＜bc2 B．＜ C．＞ D． a2＞ab＞b2参考答案：D【考点】：不等式比较大小；不等关系与不等式．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论．解：选项A，∵c为实数，∴取c=0，ac2=0，bc2=0，此时ac2=bc2，故选项A不成立；选项B，=，∵a＜b＜0，∴b﹣a＞0，ab＞0，∴＞0，即，故选项B不成立；选项C，∵a＜b＜0，∴取a=﹣2，b=﹣1，则，，∴此时，故选项C 不成立；选项D ， ∵a＜b ＜0，∴a 2﹣ab=a （a ﹣b ）＞0， ∴a 2＞ab ．∴ab﹣b 2=b （a ﹣b ）＞0， ∴ab＞b 2．故选项D 正确，故选D ．【点评】： 本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是 （结构用最简分数表示）。
2021年福建省福州一中高考数学五模试卷
2021年福建省福州一中高考数学五模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 复数z =5+i1−i ，则z 的共轭复数z −=( )A. 2+3iB. 2−3iC. 3+3iD. 3−3i2. 集合A ={x|14≤2x ≤8}，B ={x|log 2(x −a)>1}，若A ∩B =⌀，则a 的取值范围为( )A. [−1,+∞)B. (−1,+∞)C. [1,+∞)D. (1,+∞)3. 甲，乙，丙三人报考志愿，有A ，B ，C 三所高校可供选择，每人限报一所，则恰有两人报考同一所大学的概率为( )A. 19B. 29C. 13D. 234. 函数f(x)=cos2x −2sin(π2−x)cos(π2+x)，x ∈[0,π2]的最小值为( )A. −1B. −√2C. −3D. 05. 某校高三年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛.甲、乙、丙三位同学预测比赛结果，甲说：“2班得冠军，4班得第三”；乙说：“1班得第四，3班得亚军”；丙说：“3班得第三，4班得冠军”.赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是( )A. 1班B. 2班C. 3班D. 4班6. 若a >b >c >1且ac <b 2，则( )A. log a b >log b c >log c aB. log c b >log b a >log a cC. log b c >log a b >log c aD. log b a >log c b >log a c7. 过M(2,−2p)引抛物线x 2=2py(p >0)的切线，切点分别为A ，B.若AB 的斜率等于2，则p =( )A. 14B. 12C. 1D. 28. 若曲线y ={2x −4,x >a(x −1)(x −3),x ≤a与x 轴有且只有2个交点，则实数a 的取值范围是( )A. 1≤a ≤2B. a ≥3C. 1≤a ≤2或a ≥3D. 1≤a <2或a ≥3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标.如图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015年第二季度与2015年第一季度相比较.据上述信息，下列结论中正确的是()A. 2015年第三季度环比有所降低B. 2016年第一季度同比有所降低C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高10.如图是函数(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象，则()A. f(x)=sin(2x−π6) B. f(x)=cos(2x+π3)C. f(5π6+x)=f(5π6−x) D. f(π12+x)=−f(π12−x)11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则()A. D1D⊥AFB. 异面直线A1G与EF所成角的余弦值为√1010C. A1G//平面AEFD. 平面AEF截正方体的截面是平行四边形12.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例.作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列.现将斐波那契数列记为{a n}，a1=a2=1，a n=a n−1+a n−2(n≥3)，边长为斐波那契数a n的正方形所对应扇形面积记为b n(n∈N∗)，则()A. 3a n=a n−2+a n+2(n≥3)B. a1+a2+a3+⋯+a2019=a2021+1(b2020−b2019)=a2018⋅a2021C. π4a2020⋅a2021D. b1+b2+b3+⋯+b2020=π4三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为2π，k a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，则k=______ ．314.写出一个关于直线x+y−1=0对称的圆的方程______ ．15.已知函数f(x)=2sinx+e−x−e x，则不等式f(a2−a+1)+f(−2a+1)>0的解集为______ ．16.祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．，且过点(√3,2√3)，则双已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为2√33曲线方程为______ ；若直线x=0，x=1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，请在①b+bcosC=√3csinB；②(2b−a)cosC=ccosA；③a2+b2−c2=4√33S△ABC这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：(1)求∠C；(2)若a=5，c=7，延长CB到D，使cos∠ADC=√217，求线段BD的长度．18.已知数列{a n}的前n项和S n满足a n=32S n−23．(1)证明：对任意的正整数n，集合{a2n−1,a2n,a2n+1}中的三个元素可以排成一个递增的等差数列；(2)设(1)中等差数列的公差为d n，求数列{(n+1)⋅d n}的前n项和T n．19.木工技艺是我国传统文化瑰宝之一，体现了劳动人民的无穷智慧.很多古代建筑和家具保存到现代依然牢固，这其中，有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用．如图，楔子状五面体EF−ABCD的底面ABCD为一个矩形，AB=8，AD=6，EF//平面ABCD，棱EA=ED=FB=FC=5，设M，N分别是AD，BC的中点．(1)证明：E，F，M，N四点共面，且平面EFNM⊥平面ABCD；(2)若二面角F−BC−A的大小为π3，求直线BF与平面EFCD所成角的正弦值．20. 5月10日，2021年中国品牌日活动在上海拉开帷幕.中共中央政治局常委、国务院总理李克强对活动做出重要批示.批示指出：加强品牌建设、提升我国品牌影响力和竞争力，是优化供给、扩大需求、提升高质量发展的重要举措.为响应国家精神，某知名企业欲招聘一些有经验的工人，该企业提供了两种日工资方案：方案(a)规定每日底薪60元，完成每一件产品提成6元；方案(b)规定每日底薪100元，完成产品的前20件没有提成，从第21件开始，每完成一件产品提成10元，该企业记录了每天工人的人均工作量，现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．(1)随机选取一天，估计这一天该企业工人的人均工作量不少于40件的概率；(2)从以往统计数据看，新聘工人选择日工资方案(a)的概率为13，选择方案(b)的概率为23，若甲、乙、丙三人分别到该企业应聘，三人选择日工资方案相互独立，求至少有两人选择方案(a)的概率； (3)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘工人做出日工资方案的选择，并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)21. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，过C 的下顶点A 作直线l ：y =kx −1交圆E ：x 2+y 2=a 2于M 、N 两点，直线m ：y =−1k x −1交C 于另一点B ． (1)求C 的方程；(2)求△BMN 面积的最大值．22. 已知函数f(x)=lnx −m(x−1)x+1，m ∈R ．(1)讨论f(x)的零点个数；(2)若f(x)有两个极值点x 1，x 2，且m ≥83，证明：f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1≤3ln34−1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：复数z=5+i1−i =(5+i)(1+i)(1−i)(1+i)=5−1+i+5i2=2+3i，则z的共轭复数z−=2−3i．故选：B．利用复数的运算法则化简z，然后根据共轭复数的定义得到z−．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：因为集合A={x|14≤2x≤8}={x|−2≤x≤3}，又B={x|log2(x−a)>1}={x|x>a+2}，因为A∩B=⌀，所以a+2≥3，解得a≥1．故选：C．先利用指数不等式与对数不等式的解法求出集合A，B，再由集合交集以及空集的定义求解即可．本题考查了指数不等式与对数不等式的解法，空集定义以及交集定义的理解和应用，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，三人报3所高校一共有33=27种情况，而恰有2人报考同一所大学可理解为：将3人分为2组，其中一组2人，另一组1人，再将两组派给三所学校中不同的两所，则共有C32⋅C11⋅A32=18种．所以恰有两人报考同一所大学的概率为P=1827=23．故选：D．易知：三人报3所高校一共有33=27种情况，恰有2人报考同一所大学可理解为：将3人分为2组，其中一组2人，另一组1人，再将两组派给三所学校中不同的两所共有C32⋅C11⋅A32种，再根据概率计算公式即可得出结果．本题主要考查排列组合的相关计算，考查推理和运算求解能力，涉及逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：f(x)=cos2x−2sin(π2−x)cos(π2+x)=cos2x−2cosx(−sinx)=cos2x+sin2x=√2sin(2x+π4)，因为x∈[0,π2]，可得2x+π4∈[π4,5π4]，sin(2x+π4)∈[−√22,1]，所以f(x)=√2sin(2x+π4)∈[−1,√2]，即其最小值为−1．故选：A．利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f(x)=√2sin(2x+π4)，结合已知可求范围2x+π4∈[π4,5π4]，根据正弦函数的性质即可求解最小值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为三人都只猜对了一半，假设甲说：2班得冠军，4班得第三中，4班得第三是正确的，2班得冠军是错误的，则3班得第三，4班得冠军都是错误的，所以丙的说法都是错误的，这与题干矛盾，所以甲说的2班得冠军是正确的．故选：B．先假设甲说的4班得第三是正确的，2班得冠军是错误的，由此分析判断，得出矛盾，从而得到答案．本题考查了简单的合情推理的应用，考查了推理论证能力、应用意识以及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：因为a>b>c>1，令a=16，b=8，c=2，则log c a>1>log a b所以A，C错，则log c b=3>log b a=43故D错，B对．故选：B．通过和1比较大小判断，特殊值代入排除选项．本题为比较对数的大小，为基础题．7.【答案】C【解析】解：∵抛物线x2=2py(p>0)，∴y=12px2，求导可得y′=1p x，设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k MA=1p x1,k MB=1px2，且x12=2py1,x22=2py2∵切线MA过点M(2,−2p)，∴切线MA的方程为y−y1=1p x1(x−x1)，即y=1px1x−y1，同理可得切线MB的方程为y=1px2x−y2，∵两切线都过点M(2,−2p)，∴{−2p=1px1⋅2−y1−2p=1px2⋅2−y2，即{y1=2px1+2py2=2px2+2p，即点A(x1,y1)，B(x2,y2)均在直线y=2px+2p，∴直线AB的方程为y=2px+2p，∴2p=2，解得p=1．故选：C．先设切点，运用导数的几何含义，得到切线的斜率，再将点M代入切线方程，结合已知条件，即可求解．本题考查了抛物线的标准方程和导数的几何含义，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：作出函数y=2x−4与y=(x−1)(x−3)的图像，如下：由图可知，当a<1时，只有B一个零点；当1≤a<2时，有A，B两个零点；当2≤a<3时，有A一个零点；当a≥3时，有A，C两个零点；综上，实数a的取值范围是1≤a<2或a≥3，故选：D．作出函数y=2x−4与y=(x−1)(x−3)的图像，对参数分类讨论即可得到结论．本题主要考查了函数零点与方程根的关系，解题的关键是准确作出函数的图象，属于中档题．9.【答案】ABC【解析】解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所降低，故选项A正确；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所降低，故选项B正确；2016年第三季度利用率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故选项C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故选项D错误．故选：ABC．利用题中折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：由函数(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象可得，12×2πω=π3−(−π6)，所以ω=2，再根据五点法作图，可得2×π3+φ=π2，求得φ=−π6，所以f(x)=sin(2x−π6)，故A正确，B错误；因为f(5π6+x)=sin(2x+3π2)=−cos2x，f(5π6−x)=sin(−2x+3π2)=−cos2x，所以f(5π6+x)=f(5π6−x)，故C正确；因为f(π12+x)=sin2x，−f(π12−x)=−sin(−2x)=sin2x，所以f(π12+x)=−f(π12−x)，故D正确．故选：ACD．由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，由题意利用正弦函数的图象和性质，求得结果．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，可由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．11.【答案】BC【解析】解：如图，对于A，假设D1D//AF，因为D1D//A1A，所以A1A⊥AF，显然这是不可能的，故假设不成立，所以A错误；对于B，取B1C1的中点Q，连接GQ，A1Q，则GQ//EF，所以∠A1GQ为异面直线A1G与EF所成的角或其补角，设正方体的棱长为2，则A1G=A1Q=√5，QG=√2，则由余弦定理可得cos∠A1GQ=5+2−52×√5×√2=√1010，所以B正确；对于C，因为GQ//EF，A1Q//AE，则A1Q//平面AEF，因为GQ∩A1Q=Q，所以平面A1GQ//平面AEF，因为A1G⊂平面A1GQ，所以A1G//平面AEF，所以C正确；对于D，连接D1F，AD1，则EF//AD1，所以平面AEF截正方体的截面为梯形AEFD1，所以D错误．故选：BC．对于A，假设D1D//AF进行推理即可；对于B，取B1C1的中点Q，连接GQ，A1Q，则∠A1GQ为异面直线A1G与EF所成的角或其补角，然后利用余弦定理求解即可；对于C，由已知条件和选项B中条件可得平面A1GQ//平面AEF，从而可得结论；对于D，连接D1F，AD1，则EF//AD1，从而可得截面为梯形．本题考查立体几何的综合运用，涉及了异面直线所成角，二面角以及点到平面的距离等知识点，考查推理能力及计算能力，属于中档题．12.【答案】AD【解析】解：由递推公式a n=a n−1+a n−2(n≥3)，可得a n+2=a n+1+a n=2a n+a n−1，a n−2=a n−a n−1，所以a n+2+a n−2=2a n+a n−1+a n−a n−1=3a n(n≥3)，故选项A正确；由递推公式可得，a1=1，a2=a3−a1，a3=a4−a2，类似的有a n=a n+1−a n−1(n≥2)，迭加可得，a n+a n+1−a2=a n+2−1，故a1+a2+a3+⋯+a2019=a2021+1错误，故选项B错误；a n2，由题意可知，扇形面积为b n=π4a n+1a n−2，故b n−b n−1=π4(b2020−b2019)=a2018⋅a2021错误，故选项C错误；则π4由a n=a n−1+a n−2(n≥3)，可得a12=a2a1，a22=a3a2−a2a1，⋅⋅⋅⋅，a n2=a n+1a n−a n a n−1，迭加可得，a12+a22+⋅⋅⋅+a n2=a n+1a n，a n2，又b n=π4a2020⋅a2021，故选项D正确．所以b1+b2+b3+⋯+b2020=π4故选：AD．根据数列的递推公式可以判断选项A，利用叠加法可判断选项B，根据扇形的面积公式可判断选项C，再利用迭加法和递推公式判断选项D．本题考查了数列递推公式的应用，叠加法的应用，扇形面积公式的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．13.【答案】54，k a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，【解析】解：∵单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为2π3∴(k a⃗+b⃗ )⋅(a⃗−2b⃗ )=k a⃗2+(1−2k)a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=0，−2=0，∴k+(1−2k)cos2π3解得k=5．4．故答案为：54，k a⃗+b⃗ 与a⃗−2b⃗ 垂直，利用向量垂直的性质直接求解．由单位向量a⃗，b⃗ 的夹角为2π3本题考查实数值的求法，考查向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】(x−1)2+(y−1)2=1.(答案不唯一)【解析】解：圆x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径为1，则(0,0)关于直线x+y−1=0的对称点为(1,1)，故圆x2+y2=1关于直线x+y−1=0对称的圆为(x−1)2+(y−1)2=1..故答案为：(x−1)2+(y−1)2=1.(答案不唯一)．先确定单位圆，然后求出(0,0)关于直线x+y−1=0的对称点，从而得到对称圆的方程．本题考查了圆关于直线对称圆的求解，圆的标准方程的应用，点关于线对称点的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．15.【答案】{a|1<a<2}【解析】解：因为f(−x)=−2sinx−e−x+e x=−f(x)，所以f(x)为奇函数，因为f′(x)=2cosx−(e−x+e x)≤0,所以f(x)单调递减，由f(a2−a+1)+f(−2a+1)>0得f(a2−a+1)>−f(−2a+1)=f(2a−1)，所以a2−a+1<2a−1，解得1<a<2．故答案为：{a|1<a<2}．先判断函数的奇偶性，然后结合导数分析函数的单调性，结合单调性及奇偶性进行求解即可．本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性求解不等式，体现了转化思想的应用，属于中档题．16.【答案】y23−x2=13π【解析】解：∵双曲线C的焦点在y轴上，∴设双曲线方程为y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，由题意，{ca =2√33c2=a2+b212 a2−3b2=1，解得a2=3，b2=1．∴双曲线方程为y23−x2=1；双曲线的渐近线为y=±√3x，取直线x=m(0≤m≤1)，代入y23−x2=1，得y=√3+3m2，代入y=√3x，得y=√3m，可得直线x=m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S=(3+3m2)π−3m2π=3π，又高度为1，可得阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为3π．故答案为：y23−x2=1；3π．由题意可得双曲线的焦点在y轴上，由已知列关于a，b，c的方程组，求得a与b的值，则双曲线方程可求；求出直线x=m(0≤m≤1)与阴影部分所截线段绕x轴一周形成的圆环的面积，乘以高得几何体的体积．本题考查双曲线的几何性质，考查几何体体积的求法，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)选①：由正弦定理知，asinA =bsinB=csinC，∵b+bcosC=√3csinB，∴sinB+sinBcosC=√3sinBsinC，∵B∈(0,π)，∴1+cosC=√3sinC，即sin(C−π6)=12，∵C∈(0,π)，∴C−π6∈(−π6,5π6)，∴C−π6=π6，即C=π3．选②：由正弦定理知，a sinA =b sinB =csinC ，∵(2b −a)cosC =ccosA ，∴(2sinB −sinA)cosC =sinCcosA ， ∴2sinBcosC =sin(A +C)=sinB ， ∵B ∈(0,π)，∴cosC =12， ∵C ∈(0,π)，∴C =π3． 选③：∵a 2+b 2−c 2=4√33S △ABC =4√33×12absinC =2√33absinC ， 由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab=√33sinC ， ∵C ∈(0,π)，∴tanC =√3，∴C =π3． (2)在△ABC 中，由余弦定理知，cosC =a 2+b 2−c 22ab，∴12=25+b 2−492×5b，化简b 2−5b −24=0，解得b =8或−3(舍负)，由正弦定理知，b sin∠ABC =c sinC ，∴8sin∠ABC =7sin π3，∴sin∠ABC =4√37，由余弦定理得：cos∠ABC =a 2+c 2−b 22ac=25+49−642×5×7=17在△ABD 中，cos∠ADC =√217，所以sin∠ADC =√1−cos 2∠ADC =(√217)=2√77，∴sin∠BAD =sin(∠ABC −∠ADC)=sin∠ABC ⋅cos∠ADC −cos∠ABC ⋅sin∠ADC=4√37×√217−17×2√77=10√749， 由正弦定理知，BDsin∠BAD =ABsin∠ADB ， ∴10√749=2√77，∴BD =5．【解析】(1)选①：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再由辅助角公式，即可得解； 选②：利用正弦定理将已知等式中的边化角，再由三角形的内角和定理，即可得解； 选③：结合余弦定理和正弦的面积公式，可求得tan C 的值，从而得解．(2)在△ABC 中，由余弦定理求得b =8，再由正弦定理得sin∠ABC 的值，然后结合正弦两角差公式求出sin∠BAD 的值，最后由正弦定理，即可得解．本题考查解三角形与三角恒等变换的综合运用，熟练掌握正弦定理、余弦定理、正弦面积公式、两角和差公式等基础知识是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)证明：因为a n=32S n−23，当n=1时，a1=32S1−23=32a1−23，解得a1=43；n≥2时，a n−1=32S n−1−23，又a n=32S n−23，两式相减可得a n−a n−1=32S n−23−32S n−1+23=32a n，即有a n=−2a n−1，所以a n=43⋅(−2)n−1=(−2)n+13，a2n−1=(−2)2n3=22n3，a2n=−22n+13，a2n+1=22n+23，可得a2n−1−a2n=a2n+1−a2n−1=4n，即a2n，a2n−1，a2n+1构成一个递增的等差数列；(2)由(1)可得d n=4n，T n=2⋅4+3⋅42+4⋅43+...+(n+1)⋅4n，4T n=2⋅42+3⋅43+4⋅44+...+(n+1)⋅4n+1，两式相减可得−3T n=8+42+43+...+4n−(n+1)⋅4n+1，=8+16(1−4n−1)1−4−(n+1)⋅4n+1，化简可得T n=3n+29⋅4n+1−89．【解析】(1)由数列的递推式和等比数列的通项公式，可得a n，a2n−1，a2n，a2n+1，结合等差数列的定义，可得证明；(2)求得d n=4n，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．19.【答案】(1)证明：因为EF//平面ABCD，且EF⊂平面ABFE，又平面ABCD∩平面ABFE=AB，所以EF//AB，又M，N分别为矩形ABCD两边AD，BC的中点，所以MN//AB，则MN//EF，故E，F，M，N四点共面；因为FB =FC ，所以BC ⊥FN ，又因为BC ⊥MN ，FN ∩MN =N ，FN ，MN ⊂平面EFNM ， 所以BC ⊥平面EFNM ，又BC ⊂平面ABCD ， 则平面EFNM ⊥平面ABCD ；(2)解：在平面EFNM 内，过点F 作FH ⊥MN 于H ，FH ⊂平面EFNM ， 由(1)可知，平面EFNM ⊥平面ABCD ，平面EFNM ∩平面ABCD =MN ， 所以FH ⊥平面ABCD ，又因为FN ⊥BC ，HN ⊥BC ， 则二面角F −BC −A 的平面角为∠FNH ，∠FNH =π3，在Rt △FNB 和Rt △FNH 中，FN =√FB 2−BN 2=4，HN =FN ⋅cos∠FNH =4×12=2， 所以FH =2√3，过H 作边AB 的垂线交AB ，CD 于点S ，Q ， 以H 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则F(0,0,2√3),B(3,2,0),C(−3,2,0),D(−3,−6,0)， 所以FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,2,−2√3),FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,2,−2√3)， FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−6,−2√3),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−8,0)， 设平面EFCD 的法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−3x +2y −2√3z =0−8y =0，令x =−2，则z =√3，故n ⃗ =(−2,0,√3)， 设直线BF 与平面EFCD 所成的角为θ， 则sinθ=|FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=5×√7=12√735， 所以直线BF 与平面EFCD 所成角的正弦值为12√735．【解析】(1)利用线面平行的性质定理证明EF//AB ，从而可证明MN//EF ，即可证明四点共面； 可证BC ⊥FN ，BC ⊥MN ，由线面垂直的判定定理可证明BC ⊥平面EFNM ，由面面垂直的判定定理即可证明；(2)过点F 作FH ⊥MN 于H ，则FH ⊥平面ABCD ，从而证明FN ⊥BC ，HN ⊥BC ，得到二面角F −BC −A 的平面角为∠FNH ，过H 作边AB 的垂线交AB ，CD 于点S ，Q ，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFCD 的法向量，由向量的夹角公式求解即可． 本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．20.【答案】解：(1)设事件A 为“随机选取一天，这一天该企业工人的人均工作量不少于40件”，依题意，该企业工人的人均工作量不少于40件的频率分别为0.20，0.10，0.05， ∴估计这一天该企业工人的人均工作量不少于40件的概率为： P(A)=0.20+0.10+0.05=0.35．(2)设事件B 为“甲、乙、丙三人中至少有两人选择方案(a)”， 设事件C 1为“甲、乙、丙三人中恰有i(i =0,1，2，3)人选择方案(a)”，则P(B)=P(C 2)+P(C 3)=C 32(13)2(23)+C 33(13)3=727， ∴至少有两人选择方案(a)的概率为727． (3)设工人每日完成产品数为X 件， 方案(a)的日工资Y 1=60+60X(X ∈N ∗)，方案(b)的日工资Y 2={100,X ≤20,X ∈N ∗100+10(X −20),X >20,X ∈N ∗，∴随机变量Y 1的分布列为：E(Y 1)=90×0.05+150×0.05+210×0.2+270×0.3+330×0.2+390×0.15+450×0.05=273． 随机变量Y 2的分布列为：E(Y 2)=100×0.1+150×0.25+250×0.3+350×0.2+450×0.1+550×0.05=265， ∵EY 1>EY 2，∴建议新聘工人选择方案(a)．【解析】(1)求出该企业工人的人均工作量不少于40件的频率分别为0.20，0.10，0.05，由此能估计这一天该企业工人的人均工作量不少于40件的概率．(2)设事件B 为“甲、乙、丙三人中至少有两人选择方案(a)”，设事件C 1为“甲、乙、丙三人中恰有i(i =0,1，2，3)人选择方案(a)”，则P(B)=P(C 2)+P(C 3)，由此能求出至少有两人选择方案(a)的概率． (3)设工人每日完成产品数为X 件，方案(a)的日工资Y 1=60+60X(X ∈N ∗)，方案(b)的日工资Y 2={100,X ≤20,X ∈N ∗100+10(X −20),X >20,X ∈N ∗，分别求出随机变量Y 1的分布列、数学期望和随机变量Y 2的分布列数学期望，从而建议新聘工人选择方案(a)．本题考查概率的求法，考查方案的选择，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解等能力，体现基础性，导向对发展数学运算、数据处理等核心素养的关注，是基础题．21.【答案】解：(1)由已知得b =1，又ca =√22，a 2=b 2+c 2， 所以a =√2， 所以椭圆的方程为x 22+y 2=1．(2)圆心(0,0)到直线l ：y =kx −1的距离d =√1+k 2， 直线l 被圆x 2+y 2=2解得弦长为|MN|=2√2−d 2=2√2k 2+1√1+k 2，由{x +ky +k =0x 22+y 2=1，得(k 2+2)x 2+4kx =0， 设B(x 1,y 1)，所以x A +x B =x B =−4kk 2+2且k ≠0， 所以点|AB|=√1+1k 2|x B −x A |=√1+1k 2⋅4|k|k 2+2=4√k 2+1k 2+2， 所以S △BMN =12|MN|⋅|AB|=122√2k 2+1√1+k 2×4√1+k 2k 2+2=4√2k 2+1k 2+2，令√2k 2+1=t ，t >1则k 2=t 2−12，t >1，S △BMN =4√2k 2+1k 2+2=4t t 2−12+2=8t t 2+3=8t+3t，因为t >1，t +3t ≥2√3， 当且仅当t =√3时，等号成立， 所以S △BMN 面积最大值为4√33．【解析】(1)由直线l ：y =kx −1过C 的下顶点A ，得b =1，又ca =√22，a 2=b 2+c 2，解得a ，c ，即可得出答案．(2)计算圆心(0,0)到直线l ：y =kx −1的距离d ，直线l 被圆x 2+y 2=2解得弦长为|MN|，联立直线m 与椭圆的方程，结合韦达定理可得x A +x B =x B =−4k k 2+2且k ≠0，由弦长公式可得|AB|，则S △BMN =12|MN|⋅|AB|=4√2k 2+1k 2+2，令√2k 2+1=t ，t >1则k 2=t 2−12，t >1，结合基本不等式，即可得出S △BMN 面积最大值．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．22.【答案】(1)解：函数f(x)=lnx −m(x−1)x+1的定义域是(0,+∞)，且f′(x)=1x −2m(x+1)2=x 2+(2−2m)x+1x(x+1)2；令g(x)=x 2+(2−2m)x +1，则m ≤1时，因为x ∈(0,+∞)，所以g(x)=x 2+(2−2m)x +1>0， 所以f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增； 又f(1)=0，所以f(x)有且只有1个零点； 1<m ≤2时，△=4m 2−8m =4m(m −2)≤0， 所以f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增； 又f(1)=0，所以f(x)有且只有1个零点；m >2时，x 2+(2−2m)x +1=0有2个正根，解得x 1=m −1−√m 2−2m ，x 2=m −1+√m 2−2m ， 因为x 1x 2=1，所以0<x 1<1，x 2>1．当0<x <x 1时，g(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x 1<x <x 2时，g(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x >x 2时，g(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增；因为1∈(x 1,x 2)，f(1)=0，所以f(x)在(x 1,x 2)上有1个零点，且f(x 1)>0，f(x 2)<0， 又e m >1，0<e −m <1，且f(e m )=m −m(e m −1)e m +1=2me m +1>0，f(e −m )=−m −m(e −m −1)e −m +1=−2me m +1<0，所以f(x)在(0,x 1)和(x 2,+∞)上各有1个零点；综上知，当m ≤2时，f(x)有且只有1个零点，当m >2时，f(x)有3个零点． (2)证明：由(1)知，f(x)有两个极值点当且仅当m >2；由f(x)的两个极值点x 1，x 2满足x 2+(2m −2)x +1=0，所以x 1+x 2=2m −2，x 1x 2=1， 不妨设x 1<x 2，则1x 2+x 2=2m −2≥103，解得x 2≥3；所以f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1=lnx 2−lnx 1−m(x 2−1x 2+1−x 1−1x 1+1)x 2−x 1=lnx 2−lnx 1x 2−x 1−m⋅2(x 2−x 1)x 1x 2+x 1+x 2+1x 2−x 1=lnx 2−lnx 1x 2−x 1−m⋅2(x 2−x 1)2mx 2−x 1=lnx 2−lnx 1x 2−x 1−1=2lnx 2x 2−1x 2−1，所以f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1≤3ln34−1，等价于2lnx 2x 2−1x 2−1≤3ln34−1，即2lnx 2x 2−1x 2≤3ln34，令g(x)=2lnxx−1x=2xlnxx 2−1，其中x ≥3，则g′(x)=2[(lnx+1)(x 2−1)−2x 2lnx](x 2−1)2=2[x 2−lnx−x 2lnx−1](x 2−1)2=2[x 2(1−lnx)−lnx−1](x 2−1)2<0，所以g(x)在[3,+∞)上单调递减，所以g(x)≤g(3)=3ln34，所以f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1≤3ln34−1．【解析】(1)写出函数f(x)的定义域，求出导数f′(x)，构造函数，讨论m 的取值情况，判断导数的单调性，结合f(1)=0，从而得出f(x)的零点个数．(2)由(1)知f(x)有两个极值点当且仅当m >2，由f(x)的两个极值点x 1，x 2满足x 2+(2m −2)x +1=0，得出x 1+x 2=2m −2，x 1x 2=1，可设x 1<x 2，求出x 2≥3；求f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1的表达式，再通过构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而求出结论成立．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、最值的应用问题，也考查了函数与不等式的综合应用问题，考查了推理与运算能力，是难题．。
福州一中高三质检数学答案
由 cos ADC 21 ，可得 sin ADC 2 7 ，
7
7
sin CAD sin C ADC sin C ADC 3 21 1 2 7 5 7 ，
2 7 2 7 14 ACD 中，由正弦定理得： CD AC ，
sin CAD sin ADC
CD 8 即 5 7 2 7 ，得 CD 10 ，
因为
，所以
.
又因为
，而
平面
，
平面
，
，
所以
平面
．又
平面
，
所以 平面
平面
．
（2）在 平面
内过 作
于 ， FH 平面EFMN
由（1）知 平面
平面
．
平面EFMN 平面ABCD=MN ，
所以
平面
．
又因为 则二面角 在
，
，
的平面角为
和
中，
, FNH . 3
，
，所以 FH 2 3 .
过 作边 的垂线交 ， 于点 ， ．以 为坐标原点，建立如图所示的坐标系．
则 F(0, 0, 2 3), B(3, 2, 0),C(3, 2, 0), D(3, 6, 0) ，
所以 FB (3, 2, 2 3), FC (3, 2, 2 3), FD (3, 6, 2 3),CD (0, 8,0)
设平面
的一个法向量
，
则由：
，得
3x
2
y
2
3z 0
，取 n (2, 0, 3) ，
4Tn 2 42 3 43 4 44 n 4n (n 1) 4n1 ，
可得 3Tn 2 41 42 43 4n (n 1) 4n1 ，
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2021年福州一中招生综合素质测试数学题目及详细答案2021年福州一中招生综合素质测试数学题目及详细答案毕业学校_________________姓名____________报考号__________考生注意：1、请将正确选项填涂在答题卡上，写在测试卷上不计分。
2、测试完毕，答题卡及测试卷不得带出考室。
测试(一)数学题1. 如果在数轴上表示a, b 两个实数的点的位置如图所示，那么| a C b| + | a + b | 化简的结果为A. 2a B. C2a C. 0 D. 2b2. 右图是四棱柱和圆锥的组合体，它的主视图为a0bA. B.C. D. 3. 在△ABC中，∠C = 90°，如果sinA=35, 那么tanB的值等于A. 35 B. 5344 C. 4 D. 34. 以下五个图形中，是中心对称的图形共有A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5. 已知△ABC中，AB = 3，BC = 4, AC = 5, 则△ABC的外心在A. △ABC内B. △ABC 外C. BC边中点D. AC边中点6．某校为了了解学生的身体素质情况，对初三（2）班的50名学生进学行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10生人分。
如图，是将该学生所得的三项成绩（成绩均为整数）之和进行数整理后，分成5组画出的频率分布直方图，已知从左至右前4个小组的频率分别为0.02，0.1，0.12，0.46. 下列说法：① 学生的成绩≥27分的共有15人；②学生成绩的众数在第四小组(22.5~26.5)内；③学生成绩的中位数在第四小组(22.5~26.5) 010.514.518.522.526.530.51分数范围内。
其中正确的说法有A．0个B．1个C．2个D．3个a32a3937．已知(4)?(?3)?3，那么ab等于bbA．?9 B. 9 C. 27 D. ?278. 用圆心角为60°,半径为24cm的扇形做成一个圆锥的侧面,那么这个圆锥底面的半径是A. 4?cmB. 8?cmC. 4cmD. 8cm9. 当x = 1 时，代数式px3 + qx + 1的值是2006，则当x = C1 时，代数式px3 + qx + 1的值是A. C 2004B. C 2005C. C 2006D. 2006 10. 以下给出三个结论①若1C1( x C 1 ) = x , 则 2 C x C 1 = 2x；2x?12x?212 = , 则=；x?2x?2x?2x?211③若x C = , 则x C 1 = C1。
x?11?x②若其中正确的结论共有A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个11. 若方程组??4x?3y?1的解x 与y相等,则a的值等于ax?(a?1)y?3?A. 4 B. 10 C. 11 D. 1212. 在△ABC中，∠A : ∠B : ∠C = 1 :2 :3, CD ⊥AB于D,AB = a,则DB等于A.aaa3a B. C. D. *****+ = b ( b0 ) , 则( x + y )2的值为22xy13. 若xy = a ,A. b ( ab C 2 )B. a ( ab + 2 )C. a (ab C 2 )D. b ( ab + 2 ) 14. 要得到函数y?x的图像，只要把函数y?(2?x)的图像A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向上平移2个单位D．向下平移2个单位15. 函数y = k (1－x) 和y =y22k ( k≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是xyyy0x0x0x0xA. B. C. D.216.下边哪一个盒子是用左边这张硬纸折成的?（）A.aB.bC.cD.d 17. 以下给出四个命题，①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边平行且两条对角线相等的四边形是矩形；③一组邻边相等且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形；④四条边相等的四边形是正方形。
其中真命题的个数为A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 0 个18. 如图，已知△ABC中，AB = AC, ∠BAC = 90°, 直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE , PF 分别交AB 、AC于E、F , 给出以下三个结论：①AE = CF ; ②△EPF是等腰直角三角形；A③ S四边形AEPF =1 S△ABC , 当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E2BEPFC 不与A、B重合），上述结论始终正确的是 A. ① ② B. ① ③ C. ② ③ D. ① ② ③ 19. 已知函数y1?2,y2?x?1，若y1?y2，则x的取值范围是x A. x －1 或0 x2 B. －1 x 0或x 2 C. －2 x 0或x 1 D. x －2 或0 x 120. 有若干个数，第一个数记为a1，第2个数记为a2，第三个数记为a3??，第n个数记为an，若a1= ?从第二个数起，每个数都等于“1与前面的那个数的差的倒数”，则a2006等于1，221 B．C．3 D．以上都不对32b21. 若不等式ax+b0的解集为x??，且a+b0，则抛物线y?ax2?bx?c的对称轴所在位置是aA．?A. y轴B. y轴的右侧C. y轴的左侧D. 无法确定22．如图，圆内接四边形ABCD的对角线相交于E，AB、DC的延长线相交于P，则图中一定相似的三角形有A. 3对B. 4对C. 5对D. 6对23. 如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD,以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为A. 123B. 153?6?C. 303?12?D. 483?36?3*****FDOECB24. 如图，某校的围墙由一段相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB间，按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF 的长为OA A．0.4米B. 0.16米C. 0.2米D.0.24米EB25. 两人要去某风景区游玩,每天某一时段开往该风景区有票价相同，但舒适度不F同的三辆车,但他们不知道这些车的舒适程度，也不知道汽车开过来的顺序。
C两人采用了不同的乘车方案，甲总是上开来的第一辆车，而乙则是观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细观察车的舒适情况，如果第二辆车的状况比第一辆好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆车好，他就上第三辆车，如果把这三辆车的舒适度分为上、中、下三等，则甲、乙两人坐上等车的概率分别是A. 甲***-***** 乙 B. 甲乙 C. 甲乙 D. 甲乙***-*****??26. 在对角线互相垂直的四边形ABCD中，?ACD=60，?ABD=45。
A到CD距离为6，D到AB距离为4，则四边形ABCD面积等于A. 66 B. 126 C. 86 D. 166BACD综合素质测试(二)数学测试题一.填空题（每小题3分，共21分）??2x?1?x?4?1．不等式组?xx?1的整数解为??1?3?22．分解因式x1?2x1x2?x1?2x2=32x?2x?1x?4?)?=x2?2xx2?4x?4xA4. 如图，△ABC中，BD平分∠ABC, AD?BD于D, F为AC中点，AB = 5,3．化简(x?4)(2BC = 7, 则DF =5．已知二次函数图象过点A（2，1）、B（4，1）且最大值为2，则二次函数的解析式为6．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90，AC=2，BC=1，若以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，则AP=_____________ ?*****x?8与x轴、y轴分别交于点A和B，M是OB 3上的一点，若将?ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B?处，7. 如图，直线y??则直线AM的解析式为4AyBMPAB'Ox8. （8分）福州一中新校区校园环境优美,设施齐全,办学条件全国一流。
校内共有三栋4层(从架空层上方起算)的教学大楼，每层楼有4间教室，进出每栋大楼均有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。
安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。
（1）求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低20%，安全检查规定，在紧急情况下全大楼的学生应在3分钟内通过这4道门安全撤离。
假设每间教室最多有56名学生，问：大楼修建的这4道门是否符合安全规定？9. （10分）已知直线y?1x和y??x?m，二次函数y?x2?px?q图像的顶点为M。
21（1）若M恰在直线y?x与y??x?m的交点处，试证明：无论m取何实数值，二次函数2y?x2?px?q的图像与直线y??x?m总有两个不同的交点;2（2）在（1）的条件下，若直线y??x?m过点D（0，-3），求二次函数y?x?px?q 的表达式;2（3）在（2）的条件下，若二次函数y?x?px?q的图像与y轴交于点C，与x轴的左交点为A，试在抛物线的对称轴上求点P，使得△PAC为等腰三角形.10. （11分）如图，矩形ABCD中，有一直径为AD的半圆，AB2cm , 现有两点E、F分别从点A 、B同时出发，点E沿线段5ODC= 4cm , BC = AB以1cm/sFAEB。