2010组合数学复习题
组合数学第二章2010
1 3 3 1 3 3 cn ( n )(2 3)n ( n )(2 3) n 3 9 3 9
求方砖数量 设总的方砖数量为 en，右下角少一个小三角时的方砖数量为 fn。则： en = en-1 + an-1 + 2fn fn = en-1 + fn-1 上面两式整理得 en –4en-1 + en-2 = an-1 - an-2 求出结果为
1 3 1 3 gn ( n )(2 3)n ( n )(2 3) n 6 9 6 9
总砖数为上面三式之和，得
(
(2 3)n 3 (2 3)n 3 )(2 3) n ( )(2 3) n 3 18 3 18
2.25 记 G 记F
4 3x (1 x)(1 x x3 )
b x
n 0 n n 0
n
F an x n an x n 1
n 0
=（1-x）G
F
4 3x 1 x x3
2.46 证明： Fa+b=Fa+1Fb+FaFb-1 Fa+b+c+3=Fa+2Fb+c+2+Fa+1Fb+c+1 =Fa+2(Fb+2Fc+1+Fb+1Fc)+Fa+1(Fb+1Fc+1+FbFc) 2.49 设 Tn=n 位的 A/B/C/D 组成的排列中不包含 AB 的项。 An=Tn 中以 A 结尾的项 Kn=Tn 中不以 A 结尾的项。 有：T0=K0=1 A0=0 T1=4 Tn=An+Kn An=Tn-1 Kn=2An-1+3Kn-1 A1=1 K1=3
2010届高考数学复习强化双基系列课件__《排列与组合的综合问题》
排列组合的综合问题 往往和代数 三角, 排列组合的 综合问题往往和代数 , 三角 , 综合问题 往往和代数, 立体几何, 平面解析几何的某些知识联系, 立体几何 , 平面解析几何的某些知识联系 , 从而增加了问题的综合性, 从而增加了问题的综合性 , 解答这类应用 题时, 题时 , 要注意使用相关知识对答案进行取 舍.
在一块并排10垄的田地中 例4在一块并排 垄的田地中,选择 垄分别种 在一块并排 垄的田地中,选择2垄分别种 两种作物, 植A,B两种作物,每种作物种植一垄,为有利 , 两种作物 每种作物种植一垄, 于作物生长,要求A, 两种作物的间隔不小于 于作物生长,要求 ,B两种作物的间隔不小于 6垄,则不同的选垄方法共有多少种? 垄 则不同的选垄方法共有多少种? 有两排座位, 个座位, 例5有两排座位,前排 个座位,后排 个座 有两排座位 前排11个座位 后排12个座 现安排2人就座 规定前排中间的3个座 人就座, 位,现安排 人就座,规定前排中间的 个座 位不能坐,并且这2人不左右相邻 人不左右相邻, 位不能坐,并且这 人不左右相邻,那么不同 排法的种数是( 排法的种数是( )
个优秀指标分配给6个班级 例 7, ( 1) 10个优秀指标分配给 个班级 , 每 , ) 个优秀指标分配给 个班级, 班至少一个,共有多少种不同的分配方法? 班至少一个,共有多少种不同的分配方法? 个优秀名额分配到一, 个班, (2)10个优秀名额分配到一,二,三3个班, ) 个优秀名额分配到一 个班 若名额数不少于班级序号数, 若名额数不少于班级序号数,共有多少种不同 的分配方法? 的分配方法?
解题回顾】由于化为一元二次不等式n 【 解题回顾 】 由于化为一元二次不等式 2-n-40≥0求解 求解 较繁,考虑到n为正整数 故解有关排列, 为正整数, 较繁,考虑到 为正整数,故解有关排列,组合的不等 式时,常用估算法. 式时,常用估算法
2010年高考数学排列组合试题分类汇编(学生)
2010年高考数学试题分类汇编——排列组合（2010全国卷2理数）（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（2010重庆文数）（10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天 . 若6位员工中的甲不值14日，乙不值16日，则不同的安排方法共有（ ）（A ）30种 （B ）36种（C ）42种 （D ）48种（2010重庆理数）(9)某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种（2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）（A ）8289A A （B ）8289A C （C ） 8287A A （D ）8287A C（2010四川理数）（10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144（2010天津理数）(10) 如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）（A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种（2010全国卷1理数）(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种（2010四川文数）（9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（ ）（A）36 （B）32 （C）28 （D）24（2010湖北文数）6．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（）A．65 B. 56 C. 5654322⨯⨯⨯⨯⨯D.6543⨯⨯⨯⨯2（2010湖南理数）7、在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（）A.10B.11C.12D.15（2010湖北理数）8、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
2010年上海市高三数学复习综合卷3新人教版
2010年高三数学复习综合卷（3）一．填空题：1．集合},30{R x x x A ∈≤<=，},21{R x x x B ∈≤≤-=，则=B A _____________．2．若53sin -=θ，则行列式θθθθcos sin sin cos 的值是______________ ．3．函数1log )(2+=x x f （0>x ）的反函数是=-)(1x f_________________．4．若用样本数据10-1213、、、、、来估计总体的标准差，则总体的标准差点估计值是____________． 5．函数x x x x f cos )cos (sin )(+=（R x ∈）的最小正周期为_______________． 6．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为_________3cm ． 7．连结球面上任意两点的线段称为球的弦，已知半径为5的球上有两条长分别为6和8的弦，则此两弦中点距离的最大值是____________．8．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个 字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ” 的概率为（结果用数值表示）9．运行如图所示的程序流程图，则输出I 的值为_________________．10．已知无穷等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足n n a S -=1，则该数列所有项的和为11．下列有关平面向量分解定理的四个命题．．．．中， 所有正确命题的序号是 . ① 一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基； ② 一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； ③ 平面向量的基向量可能互相垂直； ④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.（第9题图）12．在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++的最大值为 . 二．选择题13．已知a ，b 都是实数，则“b a >”是“22b a >”的………………………………（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件14．rn C （1≥>r n ，n ，Z r ∈）恒等于………………………………………………（ ） A ．11-+-r n C r r n B ．11--+r n C r r n C ．111-++-r n C r r n D ．11--+r n C r n 15．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频 率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]， 样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)， [102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98 克并且小于104克的产品的个数是( ).A.90B.75C.60D.4516．若不等式[(1)]lg 0a n a a --<对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{1}a a >．B ．1{0}2a a <<． C ．1{01}2a a a <<>或． D ．1{01}3a a a <<>或． 三．解答题：17．若集合2)2(log |{2>--=x x x A a ，0>a 且}1≠a（1）若2=a ，求集合A ； （2）若A ∈49，求a 的取值范围．第8题图18．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，060=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，PC 与平面ABCD 所成角的大小为2arctan ，M 为PA 的中点． （1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求异面直线BM 与PC 所成角的大小（结果用反三角函数表示）．19．已知ABC ∆三个顶点分别是A （3，0）、B （0，3）、C (cos sin )αα，，其中322ππα<<． （1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求sin cos αα-的值．20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数12||)(2-+-=a x ax x f （a 为实常数）．（1）若1=a ，作函数)(x f 的图像；（2）设)(x f 在区间]2,1[上的最小值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （3）设xx f x h )()(=，若函数)(x h 在区间]2,1[上是增函数，求实数a 的取值范围．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在集合k m m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k 中，是否存在正整数m ，使得不等式210052nn a S >-对一切满足m n >的正整数n 都成立？若存在，则这样的正整数m 共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m 的值；若不存在，请说明理由；（3）请构造一个与数列{}n S 有关的数列{}n u ，使得()n n u u u +++∞→ 21lim 存在，并求出这个极限值．期末复习卷（3）一．填空题：1．集合},30{R x x x A ∈≤<=，},21{R x x x B ∈≤≤-=，则=B A }31{≤≤-x x ． 2．若53sin -=θ，则行列式θθθθcos sin sin cos 的值是__257____________ ． 3．函数1log )(2+=x x f （0>x ）的反函数是=-)(1x f___12-x （R x ∈）______________．4．若用样本数据10-1213、、、、、来估计总体的标准差，则总体的标准差点估计值是．5．函数x x x x f cos )cos (sin )(+=（R x ∈）的最小正周期为_____π__________． 6．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π15 2cm ，则此圆锥的体积为___π12______3cm ． 7．连结球面上任意两点的线段称为球的弦，已知半径为5的球上有两条长分别为6和8的弦，则此两弦中点距离的最大值是__7__________．8．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个 字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ”9．为10．n S =111．⑤ 作为表示该平面所有向量的基； ⑥ 一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基； ⑦ 平面向量的基向量可能互相垂直； ⑧一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合.（第9题图）12．在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++的最大值为 2 . 二．选择题13．已知a ，b 都是实数，则“b a >”是“22b a >”的………………………………（ D ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件14．rn C （1≥>r n ，n ，Z r ∈）恒等于………………………………………………（ A ） A ．11-+-r n C r r n B ．11--+r n C r r n C ．111-++-rr r n 11--+r r n 15．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)， [102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于 100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98 克并且小于104克的产品的个数是 ( A ). A.90 B.75 C.60 D.4516．若不等式[(1)]lg 0a n a a --<对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是（ C ）A ．{1}a a >．B ．1{0}2a a <<． C ．1{01}2a a a <<>或． D ．1{01}3a a a <<>或． 三．解答题：17．若集合2)2(log |{2>--=x x x A a ，0>a 且}1≠a（1）若2=a ，求集合A ； （2）若A ∈49，求a 的取值范围． （1）若2=a ，2)2(log 22>--x x ，则062>--x x ，0)2)(3(>+-x x ，得2-<x 或3>x 所以}3,2{>-<=x x x A 或第8题图（2）因为A ∈49，所以2]249)49[(log 2>--a 21613log >a ， 因为021613log >=a 10<<a 且21613a < ………………11分 1413<<a 18．如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，060=∠ABC ，⊥PA 平面ABCD ，PC 与平面ABCD 所成角的大小为2arctan ，M 为PA 的中点． （1）求四棱锥ABCD P -的体积；（2）求异面直线BM 与PC 所成角的大小 解：（1）连结AC ，因为⊥PA 平面ABCD ， 所以PCA ∠为PC 与平面ABCD 所成的角 由已知，2tan ==∠ACPAPCA ，而2=AC ， 所以4=PA ．底面积3260sin 220=⋅⋅=S ， 所以，四棱锥ABCD P -的体积3384323131=⋅⋅==Sh V ． （2）连结BD ，交AC 于点O ，连结MO ，因为M 、O 分别为PA 、AC 的中点，所以MO ∥PC ， 所以BMO ∠（或其补角）为异面直线BM 与PC 所成的角．） 在△BMO 中，3=BO ，22=BM ，5=MO ，（以下由余弦定理，或说明△BMO 是直角三角形求得）46arcsin=∠BMO 或410arccos 或515arctan ．） 19．已知ABC ∆三个顶点分别是A （3，0）、B （0，3）、C (cos sin )αα，，其中322ππα<<． （1）若AC BC =，求角α的值；（2）若1AC BC ⋅=-，求sin cos αα-的值．解：（1）∵ABC ∆三个顶点分别是A （3，0）、B （0，3）、C (cos sin )αα，， ∴{cos 3 sin }AC αα=-，，{cos sin 3}BC αα=-，由AC BC =得，=即 cos sin αα=∵322ππα<<， ∴ 54πα=．（2）由1AC BC ⋅=-得，(cos 3)cos sin (sin 3)1αααα-+-=-即 2sin cos 3αα+=， 24(sin cos )12sin cos 9αααα+=+=，52sin cos 9αα=- 又322ππα<<， ∴sin 0α>，cos 0α<2514(sin cos )12sin cos 1()99αααα-=-=--=∴sin cos αα-=．20．已知函数12||)(2-+-=a x ax x f （a 为实常数）．（1）若1=a ，作函数)(x f 的图像；（2）设)(x f 在区间]2,1[上的最小值为)(a g ，求)(a g 的表达式； （3）设xx f x h )()(=，若函数)(x h 在区间]2,1[上是增函数，求实数a 的取值范围． 解：（1）当1=a 时，1||)(2+-=x x x f⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<++=0,10,122x x x x x x ．作图（如右所示）（2）当]2,1[∈x 时，12)(2-+-=a x ax x f ． 若0=a ，则1)(--=x x f 在区间]2,1[上是减函数，3)2()(-==f a g ．若0≠a ，则141221)(2--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a a x a x f ，)(x f 图像的对称轴是直线ax 21=． 当0<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数，36)2()(-==a f a g ．… 当1210<<a ，即21>a 时，)(x f 在区间]2,1[上是增函数， 23)1()(-==a f a g ．当2211≤≤a ，即2141≤≤a 时，141221)(--=⎪⎭⎫⎝⎛=a a a f a g ，…当221>a ，即410<<a 时，)(x f 在区间]2,1[上是减函数，36)2()(-==a f a g ．综上可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=2123214114124136)(a ，a a ，a a a ，a a g 当当当 ．（3）当]2,1[∈x 时，112)(--+=xa ax x h ，在区间]2,1[上任取1x ，2x ，且21x x <， 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-211211221212)(112112)()(x x a a x x x a ax x a ax x h x h 212112)12()(x x a x ax x x --⋅-=．…因为)(x h 在区间]2,1[上是增函数，所以0)()(12>-x h x h ，因为012>-x x ，021>x x ，所以0)12(21>--a x ax ，即1221->a x ax ， 当0=a 时，上面的不等式变为10->，即0=a 时结论成立．当0>a 时，a a x x 1221->，由4121<<x x 得，112≤-a a ，解得10≤<a ， 当0<a 时，a a x x 1221-<，由4121<<x x 得，412≥-a a ，解得021<≤-a ，所以，实数a 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21． 21．设正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意的*N n ∈，n S 是2n a 和n a 的等差中项．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在集合k m m M 2{==，Z k ∈，且}15001000<≤k 中，是否存在正整数m ，使得不等式210052nn a S >-对一切满足m n >的正整数n 都成立？若存在，则这样的正整数m 共有多少个？并求出满足条件的最小正整数m 的值；若不存在，请说明理由；（3）请构造一个与数列{}n S 有关的数列{}n u ，使得()n n u u u +++∞→ 21lim 存在，并求出这个极限值．解：（1）由题意得，n n n a a S +=22 ①， 当1=n 时，12112a a a +=，解得11=a ，当2≥n 时，有12112---+=n n n a a S ②，①式减去②式得，12122---+-=n n n n n a a a a a于是，1212--+=-n n n n a a a a ，111))((---+=-+n n n n n n a a a a a a ， 因为01>+-n n a a ，所以11=--n n a a ，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以{}n a 的通项公式为n a n =（*N n ∈）．（2）设存在满足条件的正整数m ，则210052)1(2n n n >-+，10052>n ， 2010>n ， 又2000{=M ，2002，…，2008，2010，2012，…，2998}，所以2010=m ，2012，…，2998均满足条件，它们组成首项为2010，公差为2的等差数列． 设共有k 个满足条件的正整数，则2998)1(22010=-+k ，解得495=k ．所以，M 中满足条件的正整数m 存在，共有495个，m 的最小值为2010．（3）设n n S u 1=，即)1(2+=n n u n ，则)1(232221221+++⨯+⨯=+++n n u u u n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111211*********n n n ，其极限存在，且 ()21112lim lim 21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+++∞→∞→n u u u n n n ．注：n n S c u =（c 为非零常数），121+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=n S c n n u （c 为非零常数），1+⋅=n S c n n qu （c 为非零常数，1||0<<q ）等都能使()n n u u u +++∞→ 21lim 存在．。
2010年名校精华重组数学试题
2010年名校精粹重组（2）数学试卷A . 45B . 55C . 70D . 8022_ -11 一7.若直线2ax-by ，2=0（a 0,b 0）经过圆x y 2^4y ^0的圆心，贝U的最小值是a b（ ）11A . -B .C . 4D . 22 4a （ a wb ）a （a 二b ） 8.对灯a 、b^R ，运算“㊉””定义为：a ㊉b 斗 ,a 怪一 '，则下列各式Ib.（a^b ）Ib.（awb ）其中恒成立的是（）⑴ a ： b a 二 b =a b⑵ a ： b -a 二 b = a -b⑶[a ： b] [a 二 b] = a b⑷[a ： b] ：- [a 二 b] = a" bA . -1<a<6B . 一1乞a 岂6C . a T 或 a6 D . a _ -1或 a _ 66.若(1 •2)5 =a ^,2(a,b 为有理数)，贝U a b -()i 是 虚数单位，i 3i 1()V /i -1A . -1B . 1C . - iD . i数列 ①啲前n 项和为S n , 且S n=2S n 1a n, a^ ~_1，则数列，a n 的首项为()A . 1或- 2B . _1C . - 2D . -1或2设P 为曲线C: y =x 2 2x 3上的点， 且曲线 C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,—],则点P 横坐4标的取值范围为()A . [1,1】2B . [-1 , 0]C . [0 , 1]D .右|a U , |；匸2 , c =a 亠 b , 且 c 1 a , 则向量a 与b 的夹角为()A . 30B . 60C . 120D . 150已知p: A = 'x x -a| ；4匕:X - 2 3 —x d ，且非p 是非q 的充分条件，则a 的取值范围为（)、选择题 1.2.3.4.5.A.⑴、⑵、⑶、⑷ B .⑴、⑵、⑶C.⑴、⑶ D .⑵、⑷59. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为-，则判断框中应填入的条件是（1大值，则2 2x y 在平面直角坐标系 xoy 中，已知△ ABC 的顶点A(-6,0)和C(6,0)，顶点B 在双曲线1的25 1110. 11.12._ 、 13. 14.15. 16.三、 17.18.设a,b 是不共线的两向量，其夹角是C . i _5v ，若函数f x 二xa • b ] [ a - xb x •二R 在0,亠「j 上有最A . a ：： b,且二是钝角 且二是钝角B . a b ，且是锐角 D . ，且日是锐角顶点A.第一象限C.第三象限填空题2由抛物线y =x和直线x = 2所围成图形的面积为______________________________________________________________________某剧团原定10个节目已排成节目单，开演前又增加了两个反映军民联手抗震救灾的节目，将这两个节目随机地排入原节目单，则这两个新节目恰好排在一起的概率是________________若直线x (1 ■ m)y = 2 - m与直线2mx 4y 0平行，则m的值为 ___________在平面直角坐标系中，点A, B, C的坐标分别为(0,,),(4,2) (2 6).如果P(x, y)是厶ABC围成的区域(含边界)上的点，那么当• ‘二xy取到最大值时，点P的坐标是___________________ .解答题l T T T T (本题满分12分)在ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c,且满足(、、2a-c)BA・BC二cCB CA.(1)求角B的大小；(2)若I BA - BC F，求ABC面积的最大值。
2010高考数学 排列、组合
排列、组合（一）选择题（共13题）1.（北京卷理4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A）8289A A（B）8289A C（C）8287A A（D）8287A C2.（广东卷理8）为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同。
记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁。
在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。
如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是A、 1205秒 B.1200秒 C.1195秒 D.1190秒3.（湖北卷理8）现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是A．152 B.126 C.90 D.544.（湖北卷文6）现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是A．45 B. 56 C. 5654322⨯⨯⨯⨯⨯D.6543⨯⨯⨯⨯25.（湖南卷理7）在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为A.10B.11C.12D.156.（全国Ⅰ卷理6）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种7.（全国Ⅱ卷理6文9）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种8.（山东卷理8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（A）36种（B）42种（C）48种（D）54种9.（四川卷理10）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72 （B）96 （C） 108 （D）14410.（四川卷文9）由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是（A ）36 （B ）32 （C ）28 （D ）2411.（天津卷理10）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（A ）288种 （B ）264种 （C ）240种 （D ）168种12.（重庆卷理9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙部排在10月1日，也不排在10月7日，则不同的安排方案共有A. 504种B. 960种C. 1008种D. 1108种13.（重庆卷文10）某单位拟安排6位员工在今年6月14日至16日（端午节假期）值班，每天安排2人，每人值班1天。
2010高考数学总复习(17)排列组合练习题
2010高考数学总复习排列组合练习题、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）男歌手，共有出场方案的种数是中有且只有两个人的编号与座位编号一致的坐法有4.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由若只改变其中3种氨基酸的位置，其他 4种不变，则不同的改变方法共有 （）A . 210 种B . 126 种C . 70 种D . 35 种5.某校刊设有9门文化课专栏，由甲，乙,丙三位同学每人负责 3个专栏，其中数学专栏由甲负 责,则不同的分工方法有 （）A . 1680 种B . 560 种C . 280 种D . 140 种6.电话号码盘上有10个号码，采用八位号码制比采用七位号码制可多装机的门数是（ ）A87 8 7A . A o ~'AgB .C 10 -C 10C . 10 8 - 10 7D . C 8 A 810 87. 已知集合A={1 , 2, 3, 4}，集合B={ - 1,- 2}，设映射f: A ~B 若集合B 中的元素都是A 中元素在f 下的象，那么这样的映射 f 有 （） A . 16 个B . 14 个C . 12 个D . 8 个&从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是 （）A . 208B . 2041. 4名男歌手和2名女歌手联合举行一场音乐会,出场顺序要求两名女歌手之间恰有一名3A . 6A 3 3B . 3A 3 3C . 2A 314A 42•编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的六个人分别去坐编号为2, 3, 4, 5, 6的六个座位，其A . 15 种 B.90 种 C . 135种D . 150 种3•从6位男学生和3位女学生中选出 4名代表，代表中必须有女学生，则不同的选法有（ ）A . 168B . 45C . 60D . 1117种不同的氨基酸构成,C . 200D . 1969•由0, ,2,3这四个数字可以组成没有重复数字且不能被5整除的四位数的个数是（ ）A • 24 个B • 12 个C . 6 个D • 4 个10.假设200件产品中有3件次品，现在从中任取5件，其中至少有2件次品的抽法有（）于它的编号数，则不同的放法种数是B •C 212.下面是咼考第一批录取的一份志愿表:志愿学校专业第一志愿 1 第1专业 第2专业 第—志愿 2 第1专业 第2专业 第三志愿3 第1专业第2专业现有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满意的选择， 如果表格填满且规定学校没有重复，同一学校的专业也没有重复的话，你将有不同的填写方法的种数是（）.3 …2、3.3 — 2、33 — 2 3, 3 …2 3A • 4 (A 3 )B • 4 (C 3 ) C • A 4 (C 3 )D • A 4 (A 3 )、填空题（本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果 •）15 •在（x —1 *x 3 + 6x 2 + 12 x +8 f 的展开式中，含 X 5项的系数是 __________________C . 11.把 C 3C 198种(C 200 - C 197 )种10个相同的小球放入编号为 1 ,B • (C 2C 97 • &扩97)种D • (C 200 - C 3C 197 )种3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数不小 C •C 313 •由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且数字 14 • 一电路图如图所示，从 A 到B共有 ___________ 条不同的线路可通电•1与2不相邻16 • 8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组，每组各4人，分别进行单循环赛，每组决出前两名,再由每组的第一名与另外一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠亚军,败者角逐第三,第四名,则该大师赛共有____ 场比赛.三、解答题（本大题满分74分.）17．（12分）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了5 种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200 种以上的不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种多少种？18．（12 分）一些棋手进行单循环制的围棋比赛，即每个棋手均要与其它棋手各赛一场，现有两名棋手各比赛3 场后退出了比赛，且这两名棋手之间未进行比赛，最后比赛共进行了72 场，问一开始共有多少人参加比赛？19. (12分)用红、黄、蓝、绿、黑5种颜色给如图的a、b、c、d四个区域染色，若相邻的区域不能用相同的颜色，试问：不同的染色方法的种数是多少?20. ( 12分)7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法?(1) 7人站成一排，要求较高的3个学生站在一起；(2) 7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(3) 任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮.21. (12分)4位学生与2位教师并坐合影留念，针对下列各种坐法，试问：各有多少种不同的坐法？(1)教师必须坐在中间；(2) 教师不能坐在两端，但要坐在一起；(3) 教师不能坐在两端，且不能相邻.22. ( 14分)集合A与B各有12个元素集合A B有4个元素,集合C满足条件：(1)C (A B) ; (2)C 中含有3 个元素；(3)C A试问：这样的集合C共有多少个？11. D 12. D9解：C 3C；A 2=12.二、填空题54213 解：A -A 4A 2 =72.2215 解：2016. 16 解：C 4 C 4 2 1 =15.三、解答题x 2 -x -40 _0,x N ，得 X - 7 .18 解:设这两名棋手之外有 n 名棋手，他们之间互相赛了 72-2 3=66 场，& = 66 ,解得:n=12.故一开始共有14人参加比赛.19 解: 18020解:(1) AX =144;(2 ) A 2A 2 A ? = 8；6 3 3(3) C 7C 6 C 3 =14021（1）解法1 固定法：从元素着眼，把受限制的元素先固定下来..2A 4i ）教师先坐中间，有 A 2种方法；ii ）学生再坐其余位置，有 A 4种方法.• 24共有A 2 A 4 = 48种坐法.解法2排斥法：从位置着眼，把受限制的元素予先排斥掉.i ）学生坐中间以外的位置：A 4 ； i ）教师坐中间位置： A 2 .解法3 插空法：从元素着眼，让不受限制的元素先排好（无条件） ，再让受限制元素按题意插入到允许的位置上.选择题 1. D 2. C 3. D参考答案4. C5. C6. C7. A8. B9. B 10. B5 解：C ；C ；C ；/C ； =2808 解：C$「4 _3C ； =20412 12 12 314 解: (C 2 +C 2)(C 2 +C 2) +1 + (C 3 + C 3 +C 3)=17.17解：设还需准备不同的素菜x 种，x 是自然数，则C 5 CX - 200，即A 4 A 2i ）学生并坐照相有 A 4种坐法； ii ）教师插入中间： A 2 •解法4 淘汰法（间接解法）：先求无条件限制的排法总数， 再求不满足限制条件的排法数，然后作差•即 A =全体-非A ”.i ） 6人并坐合影有A 6种坐法； i ）两位教师都不坐中间： A 4 （先固定法）A 4 .iii ）两位教师中仅一人坐中间；A ；（甲坐中间） A ；（再固定乙不坐中间） A 4 2 （甲、乙互换）；R）作差：A6-（ A 2 A 4+2A 2 A 4 A 4）解法5 等机率法：如果每一个元素被排入，被选入的机会是均等的，就可以利用等机率 法来解•将教师看作i 人（捆绑法），问题变成5人并坐照相，共有A 5种坐法，而每个人坐中间位置的机会是均等的，应占所有坐法的1/5,即教师1人坐中间的坐法有-A 5A 2即2A 5种.55（2）将教师看作1人，问题变为5人并坐照相.解法1 从位置着眼，排斥元素一一教师.先从4位学生中选2人坐两端位置：A 2 ； 其他人再坐余下的3个位置：A3；教师内部又有A 2种坐法• •-共有A 4A 3A 2=144种坐法.解法2从元素着眼，固定位置.先将教师定位：A 3 A 2 .再排学生：A 4.二 共有A；A ；A；种坐法.42⑶解 插空法：（先排学生） A 4 A 3 （教师插空）.22解：(1若C - A C u B，则这样的集合C共有C；=56个；(2)若C匸A n B，则这样的集合C共有C： = 4个；4 C8 C4 <8=160 (3)若C ~ A且C ,则这样的集合C共有C个.综合(1), ( 2), ( 3)得：满足条件的集合 C 一共有56+4+160=220个.。
(4年真题推荐)2010-2013年全国高考数学 试题分类汇编 排列、组合及二项式定理
2010排列、组合、二项式定理1．（2010·某某高考理科·Ｔ4）5()ax x+（x R ∈）展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（） （A ）-1 （B ）12(C) 1 (D) 2 【命题立意】本题考查二项式定理的通项公式的应用及运算能力，属保分题。
【思路点拨】5()ax x+⇒5215r r rr T a C x-+=⇒523r -=⇒11510 2.a C a =⇒= 【规X 解答】选D 552155,(0,1,2,3,4,5)rr r r r r r a T C x a C x r x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，令523r -=，所以1r =，所以11510 2.a C a =⇒=2．（2010·高考理科·Ｔ4）8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（） （A ）8289A A （B ）8289A C （C ）8287A A （D ）8287A C【命题立意】本题考查排列组合的相关知识。
所用技巧：有序排列无序组合、不相邻问题插空法。
【思路点拨】先排8名学生，再把老师插入到9个空中去。
【规X 解答】选A 。
8名学生共有88A 种排法，把2位老师插入到9个空中有29A 种排法，故共有8289A A 种排法。
【方法技巧】解决排列组合问题常用的方法与技巧：（1）有序排列无序组合；（2）不相邻问题插空法：可以把要求不相邻的元素插入到前面元素间的空中；（3）相邻问题捆绑法。
3．（2010·某某高考理科·Ｔ8）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ） （A ）36种（B ）42种(C)48种（D ）54种【命题立意】本题考查排列组合的基础知识，考查分类与分步计数原理，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.【思路点拨】根据甲的位置分类讨论.【规X 解答】选B ，分两类：第一类：甲排在第一位，共有44A =24种排法；第二类：甲排在第二位，共有1333A A =18⋅种排法，所以共有编排方案241842+=种，故选B.【方法技巧】排列问题常见的限制条件及对策1、有特殊元素或特殊位置，先满足特殊元素或特殊位置的要求，再考虑其他元素或位置.2、元素必须相邻的排列，将必须相邻的的元素捆绑，作为一个整体，但要注意其内部元素的顺序.3、元素不相邻的排列，先排其他元素，然后“插空”.4、元素有顺序限制的排列.4．（2010·某某高考理科·Ｔ１0）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用（ ）（A ）288种 （B ）264种 （C ）240种（D ）168种【命题立意】本题考查分类计数原理，排列组合等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力。
组合数学2010二试卷1
合肥师范学院试卷 （2009 ～2010 学年度第 2 学期） 课程名称 组合数学 考核类型 考试 A 卷 考试形式 闭（开）卷 答题时间 120 分钟 考试性质 期末（中） 一、选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 把101本书分给10名学生，则下列说法正确的是（） A.有一名学生分得11本书 B.至少有一名学生分得11本书 C.至多有一名学生分得11本书 D.有一名学生分得至少11本书 2. 8人排队上车，其中A ，B 两人之间恰好有4人，则不同的排列方法是（） A.36!⨯ B.46!⨯ C. 66!⨯ D. 86!⨯ 3. 按照字典序，排列4517632的下一个排列是 ( ). A ．4571236 B. 4517623 C. 4576321 D. 4521367 4. 把10个人分成两组，每组5人，共有多少种方法（） A.105⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.101055⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C.94⎛⎫ ⎪⎝⎭ D.9944⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5. 设,x y 均为正整数且20x y +≤，则这样的有序数对(),x y 共有（）个 A.190 B.200 C.210 D.2206. 序列{}{1,1,...1}n a =的母函数()f x =（ ）A.(1)n x + B .1x - C .1(1)x -- D .(1)n x -+7. 递推关系()44f n = f(n 1)f(n 2)－－－的特征方程有重根2，则（ ）是它的一般解 。
A.n 1n 12C 2+C 2－ B .()n 12C +C n 2 C .()n C 1+n 2 D .n n 12C 2+C 2.8. 由6颗不同颜色的珠子可以做成 （ ）种手链。
A.720B.120C.60D.6二、填空题：（本大题共7小题，每小题2分，共14分）1. 红、黄、蓝、白4个球在桌上排成一圈，有 种排法。
2. 设P Q 、为集合，则|PP + Q .3. 367个人中必有 个人生日相同。
高考数学十年真题分类汇编(2010-2019)专题13排列组合与二项式定理
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题13 排列组合与二项式定理一、选择题1.(2019·全国3·理T4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )A.12B.16C.20D.24【答案】 A【解析】(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为C43+2C41=4+8=12.故选A.2.(2018·全国3·理T5) (x2+2x )5的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.80【答案】 C【解析】由展开式知T r+1=C5r(x2)5-r(2x-1)r=C5r2r x10-3r.当r=2时,x4的系数为C5222=40.3.(2017·全国1·理T6)(1+1x2)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【答案】 C【解析】(1+x)6的二项展开式通项为T r+1=C6x r,(1+12)(1+x)6的展开式中含x2的项的来源有两部分,一部分是1×C62x2=15x2,另一部分是12×C64x4=15x2,故(1+1??2)(1+x)6的展开式中含x2的项为15x2+15x2=30x2,其系数是30.4.(2017·全国3·理T4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80【答案】 C【解析】(2x-y)5的展开式的通项公式T r+1=C5(2x)5-r(-y)r.当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C53×22×(-1)3=-40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C52×23×(-1)2=80.故展开式中x3y3的系数为80-40=40.5.(2017·全国2·理T6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种【答案】 D 【解析】先把4项工作分成3份有C 42C 21C 11A 22种情况,再把3名志愿者排列有A 33种情况,故不同的安排方式共有C 42C 21C 11A 22·A 33=36种,故选D .6.(2016·四川·理T2)设i 为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x 4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20i x 4D.20ix4【答案】 A【解析】二项式(x+i)6展开的通项Tr+1=C 6x6-r i r,则其展开式中含x 4是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x 4的项为C 62x 4i2=-15x 4,故选A .7.(2016·全国2·理T5)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9【答案】 B【解析】由题意知,小明从街道的E 处出发到F 处的最短路径有6条,再从F 处到G 处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B .8.(2016·全国3·理T12)定义“规范01数列”｛a n }如下:{a n }共有2m 项,其中m 项为0,m 项为1,且对任意k ≤２m ,a 1,a 2,…，a k 中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个【答案】 C 【解析】由题意知a 1=0,a 8=1,则满足题意的a 1,a 2,…，a 8的可能取值如下:综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.9.(2016·四川·理T4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72【答案】 D【解析】要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为1,3,5中的一个,其他位置共有A44种排法,所以其中奇数的个数为3A44=72,故选D.10.(2015·四川·理T6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个【答案】 B【解析】当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数有C21A43个;当首位数字为5,个位数字为0或2或4时,满足条件的五位数有C31A43个.故满足条件的五位数共有C21A43+C31A43=(2+3)A43=5×4×3×2×1=120个.故选 B.11.(2015·全国1·理T10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60【答案】 C【解析】(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式通项为T r+1=C5(x2+x)5-ry r(r=0,1,2,…,5).由题意,y的幂指数为2,故r=2.对应的项为C52(x2+x)3y2=10(x2+x)3y2.记(x2+x)3的展开式通项为T s+1=C3(x2)3-s x s=C3??x6-s(s=0,1,2,3),由题意令6-s=5,得s=1.故所求项的系数为10C31=30.12.(2015·陕西·理T4)二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4【答案】 B【解析】(x+1)n的展开式通项为T r+1=C n r x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为C n n-2=C n2=15,解得n=6,故选 B.13.(2015·湖北·理T3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.212B.211C.210D.29【答案】 D【解析】由条件知C n3=C n7,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.14.(2014·大纲全国·理T5)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】 C【解析】从6名男医生中选出2名有C62种选法,从5名女医生中选出1名有C51种选法,故共有C62·C51=6×５×5=75种选法,选C.2×１15.(2014·辽宁·理T6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【答案】 D【解析】插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为A43=24.故选D.16.(2014·四川·理T6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【答案】 B【解析】(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为A55;(2)当最左端排乙的时候,排法种数为C41A44.因此不同的排法的种数为A55+C41A44=120+96=216.17.(2014·重庆·理T9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【答案】 B【解析】第1步,先排歌舞类节目,有A33=6种排法,排好后有4个空位.第2步,排另3个节目,因为3个歌舞节目不相邻,则中间2个空位必须安排2个节目.分两类情况:①中间两个空位安排1个小品类节目和1个相声节目,有C21A22=4种排法,最后一个小品类节目排两端,有2种方法.共有6×4×2=48种排法.②中间两个空位安排2个小品类节目,有A22=2种排法,排好后有 6个空位,选1个将相声类节目排上,有6种排法.共有6×2×6=72种排法.所以一共有48+72=120种排法.18.(2014·四川·理T2)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )A.30B.20C.15D.10【答案】 C【解析】含x3的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为C62=15, 故含x3项的系数是15.19.(2014·湖南·理T4) (12x-2y)5的展开式中x2y3的系数是( )A.-20B.- 5C.5D.20 【答案】 A【解析】由已知,得T r+1=C5r(12x)5-r(-2y)r=C5r(12)5-r(-2)r x5-r y r(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T4=C53(12)2(-2)3x2y3=-20x2y3.20.(2014·浙江·理T5)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )A.45B.60C.120D.210【答案】 C【解析】∵(1+x)6展开式的通项公式为T r+1=C6x r,(1+y)4展开式的通项公式为T h+1=C4y h,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为C6C4?x r y h.∴f(m,n)=C6C4??.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=C63+C62C41+C61C42+C43=20+60+36+4=120.故选C.21.(2013·全国1·理T9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为 b.若13a=7b,则m=( )A.5B.6C.7D.8【答案】 B【解析】由题意可知,a=C2m m,b=C2m+1m,∵13a=7b,∴13·(2m)!m!m!=7·(2m+1)!m!(m+1)!,即137=2m+1m+1,解得m=6.故选 B.22.(2013·山东·理T10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279【答案】 B【解析】构成所有的三位数的个数为C91C101C101=900,而无重复数字的三位数的个数为C91C91C81=648,故所求个数为900-648=252,应选B.23.(2013·全国2·理T5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1【答案】 D【解析】因为(1+x)5的二项展开式的通项为C5r x r(0≤r≤5,r∈Z),则含x2的项为C52x2+ax·C51x=(10+5a)x2,所以10+5a=5,a=-1.24.(2013·辽宁·理T7)使(3x+1x√x )n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )A.4B.5C.6D.7 【答案】 B【解析】(3x+1x√x )n展开式中的第r+1项为C n r(3x)n-r x-32r=Cnr3n-r x n-52r,若展开式中含常数项,则存在n∈N*,r∈N,使n-52r=0,故最小的n值为5,故选B.25.(2013·大纲全国·理T7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )A.56B.84C.112D.168【解析】因为(1+x)8的展开式中x 2的系数为C 82,(1+y)4的展开式中y 2的系数为C 42,所以x 2y 2的系数为C 82C 42=168.故选 D.26.(2012·湖北·理T5)设a ∈Z,且0≤a<13,若512 012+a 能被13整除,则a=( )A.0B.1C.11D.12【答案】 D 【解析】∵512 012可化为(52-1)2 012,其二项式系数为T r+1=C 2012r522 012-r·（-1)r .故(52-1)2 012被13除余数为C 20122012·（-1)2 012=1,则当a=12时,512 012+12被13整除.27.(2012·安徽·理T7)(x 2+2) (1x2-1)5的展开式的常数项是( )A.-3B.-2C.2D.3【答案】 D 【解析】通项为T r+1=C 5r (1x 2)5-r(-1)r=(-1)rC 5r1x10-2r .令10-2r=2或0,此时r=4或5.故(x 2+2)(1x 2-1)5的展开式的常数项是(-1)4×C 54+2×（-1)5×C 55=3.28.(2012·全国·理T2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种【答案】 A【解析】将4名学生均分为2个小组共有C 42C 22A 22=3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有A 22=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A 22=2种分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.29.(2012·辽宁·理T5)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!【答案】 C【解析】完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位置,有A 33种排法;第二步排列每个家庭中的三个成员,共有A 33A 33A 33种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有A 33A 33A 33A 33,故选C .30.(2012·安徽·理T10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()A .1或3B .1或4C .2或3D .2或4【解析】6人之间互相交换,总共有C 62=15种,而实际只交换了13次,故有2次未交换.不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换,当甲与乙、丙与丁之间未交换时,甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物;当甲与乙、甲与丙之间未交换时,只有乙、丙两人收到4份礼物,故选D .31.(2011·全国·理T8) (x +ax)(2x -1x)5的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )A.-40B.-20C.20D.40【答案】 D【解析】令x=1得(1+a)(2-1)5=2, ∴a=1.原式=x ·(2x -1x)5+1x(2x -1x)5,故常数项为x ·C 53(2x)2(-1x )3+1x·C 52(2x)3(-1x )2=-40+80=40. 32.(2010·山东·理T8)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A.36种B.42种C.48种D.54种【答案】 B【解析】若乙排在第二位,则有A 33种方案;若乙不排在第二位,则乙只能排在第三、四、五位,此时共有A 31A 21A 33种方案,故共有A 33+A 31A 21A 33=42(种).二、填空题1.(2019·天津·理T10)（2x-18x 3）8的展开式中的常数项为【答案】28【解析】T r+1=C 8r(2x)8-r（1-8x3）r=C 8r ·２8-r·（-18）r·ｘ8-4r.需8-4r=0,r=2. 常数项为C 8226（-18）2=C 8226126=C 82=28.2.(2018·天津·理T10)在(x -12√x)5的展开式中,x 2的系数为.【答案】52【解析】展开式的通项为T r+1=C 5r x 5-r(-12√x)r=(-12)r C 5r x 5-3r2.令5-3r2=2,可得r=2.所以(x -12√x)5的展开式中的x 2的系数为(-12)2C 52=52.3.(2018·浙江·T14)二项式(√x 3+12x)8的展开式的常数项是.【答案】7 【解析】通项为T r+1=C 8r (x13)8-r(12x-1)r=(12)rC 8rx 8-4r3,当r=2时,8-4r 3=0.故展开式的常数项为(12)2C 82=14×8×７2=7. 4.(2018·上海·T3)在(1+x)7的二项展开式中,x 2项的系数为(结果用数值表示).【答案】21【解析】由(1+x)7的二项展开式的通项,得(1+x)7的二项展开式的x 2项的系数为C 72=21.5.(2018·全国1·理T15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)【答案】16【解析】方法一:①恰有1位女生时,有C 21C 42=12种选法.②恰有2位女生时,有C 22C 41=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有C 63种选法,3人全是男生时有C 43种选法,所以至少有1位女生入选时有C 63-C 43=16种选法.6.(2018·浙江·T16)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260 【解析】分两类: 第一类:从0,2,4,6中取到0,则没有重复数字的四位数有C 31C 52A 31A 33=540;第二类:从0,2,4,6中不取0,则没有重复数字的四位数有C 32C 52A 44=720.所以没有重复数字的四位数共有540+720=1260种.7.(2017·山东·理T11)已知(1+3x)n的展开式中含有x 2项的系数是54,则n=.【答案】 4【解析】二项展开式的通项T r+1=C n r(3x)r=3r·C n r·ｘr,令r=2,得32·C n2=54,解得n=4.8.(2017·浙江·T13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= .【答案】16 4【解析】由二项式展开式可得通项公式为C3r x3-r C2m x2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×２2=4.9.(2017·天津·理T14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)【答案】1080【解析】①没有一个数字是偶数的四位数有A54=120个;②有且只有一个数字是偶数的四位数有C41C53A44=960个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1 080个.10.(2017·浙江·T16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)【答案】660【解析】由题意可得,总的选择方法为C84C41C31种方法,其中不满足题意的选法有C64C41C31种方法,则满足题意的选法有C84C41C31-C64C41C31=660种.11.(2016·全国1·理T14)(2x+√x)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)【答案】10【解析】二项式的通项公式T r+1=C5r(2x)5-r x r2=C5r25-r x5-r2,令5-r2=3,解得r=4,故x3的系数为C54×２5-4=10.12.(2016·天津·理T10) (x2-1x )8的展开式中x7的系数为.(用数字作答)【答案】-56【解析】展开式通项为T r+1=C8r(x2)8-r(-1x )r=(-1)r C8r x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以展开式中x7的系数为(-1)3C83=-56.13.(2015·广东·理T12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)【答案】1560【解析】共有A402=40×39=1 560条毕业留言.14.(2015·天津·理T12)在(x-14x )6的展开式中,x2的系数为.【答案】1516【解析】由题意知T r+1=C6r x6-r·(-14x )r=C6r·ｘ6-2r·(-14)r.令6-2r=2,可得r=2.故所求x2的系数为C62(-14)2=1516.15.(2015·重庆·理T12)(x3+12√x )5的展开式中x8的系数是(用数字作答).【答案】52【解析】展开式的通项公式T r+1=C5r·(x3)5-r·(12√x )r=C5r·２-r·x15-72r(r=0,1,2,…,5).令15-72r=8,得r=2,于是展开式中x8项的系数是C52·２-2=52.16.(2015·全国2·理T15)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= . 【答案】 3【解析】∵(1+x)4=x4+C43x3+C42x2+C41x+C40x0=x4+4x3+6x2+4x+1,∴(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3.17.(2014·安徽·理T13)设a≠0,n是大于1的自然数, (1+xa )n的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n.若点A i(i,a i)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= . 【答案】 3【解析】由题意得a1=1a ·C n1=na=3,∴n=3a;a2=1a2C n2=n(n-1)2a2=4,∴n2-n=8a2.将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.18.(2014·北京·理T13)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.【答案】36 【解析】产品A,B 相邻时,不同的摆法有A 22A 44=48种.而A,B 相邻,A,C 也相邻时的摆法为A 在中间,C,B 在A的两侧,不同的摆法共有A 22A 33=12(种).故产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻的不同摆法有48-12=36(种).19.(2014·全国1·理T13)(x-y)(x+y)8的展开式中x 2y 7的系数为.(用数字填写答案)【答案】-20 【解析】(x+y)8的通项公式为Tr+1=C 8rx 8-r y r(r=0,1,…,8,r∈Z).当r=7时,T8=C 87xy 7=8xy 7,当r=6时,T7=C 86x 2y 6=28x 2y 6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x 2y 7的项为x ·8xy 7-y ·28x 2y 6=-20x 2y 7,故系数为-20.20.(2014·全国2·理T13)(x+a)10的展开式中,x 7的系数为15,则a=.(用数字填写答案)【答案】12【解析】设展开式的通项为T r+1=C 10rx 10-r a r ,令r=3,得T 4=C 103x 7a 3,即C 103a 3=15,得a=12.21.(2013·浙江·理T11)设二项式(√x-1√x3)5的展开式中常数项为A,则A= .【答案】-10 【解析】T r+1=C 5r(√x)5-r·(-1√x3)r=C 5rx 5-r2·（-1)r·x-r3=(-1)rC 5r x5-r 2-r3=(-1)rC 5rx15-5r 6.令15-5r=0,得r=3,所以A=(-1)3C 53=-C 52=-10.22.(2013·北京·理T12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.【答案】96【解析】分给同一人的2张参观券连号的情况共有12,23,34,45四种情况,从4人中选一人得到连号参观券,有4C 41种方法.其余3张分给3人可以全排列,有A 33种方法,所以不同的分法有4C 41×A 33=96种.23.(2013·大纲全国·理T14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)【答案】480【解析】先排除甲、乙外的4人,方法有A 44种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有A 52种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有A44·A52=480(种).24.(2013·浙江·理T14)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).【答案】480【解析】按C的位置分三类情况:①当C在第一或第六位时,有A55=120种排法;②当C在第二或第五位时,有A42A33=72种排法;③当C在第三或第四位时,有A22A33+A32A33=48种排法.所以共有2×(120+72+48)=480种排法.25.(2012·福建·理T11)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a= .【答案】 2【解析】∵T r+1=C4r a r x4-r,∴当4-r=3,即r=1时,T2=C41·a·ｘ3=4ax3=8x3.故a=2.26.(2012·浙江·理T14)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…，a5为实数,则a3= .【答案】10【解析】由x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5可得,{x5=a5·C55x5,0·x4=a4C44x4+a5C54x4,0·x3=a3C33x3+a4C43x3+a5C53x3,可解得{a5=1, a4=-5, a3=10.27.(2012·大纲·理T15)若(x+1x )n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中1x2的系数为. 【答案】56【解析】∵C n2=C n6,∴n=8.T r+1=C8r x8-r(1x )r=C8r x8-2r,当8-2r=-2时,r=5.∴系数为C85=56.28.(2011·北京·理T12)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)【答案】14【解析】可用排除法,这个四位数每一位上的数字只能是2或3,则共有24个,而这其中要求数字2或3至少出现一次,所以全是2和全是3不满足,即满足要求的四位数有24-2=14个.。
2010级组合数学期末试卷-答案
装订线第1页 共1页第 页 共 1 页学号：姓名：哈尔滨工程大学研究生试卷（答案）（ 2010 年 秋 季学期）课程编号： 063301 课程名称： 组合数学一．试叙述下列等式的组合含义⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n n k n nk 202证明:设有n 个男学生和n 名女学生，再要从中选n 名学生组成一个社团，问有多少种不同的方案？ （3分）则该问题是从2n 位学生中选出n 位学生的问题，即共有⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n 2种方案；（2分） 该问题还可以看成是：先从n 位女学生中选出k 位，然后再从那位男学生中选出（n-k ）位的不同方案，其中k=0，1，2，…,n ,则共有 （3分）∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n k k n n k n 0∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nk k n 02（2分）故 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=n n k n nk 202二．某人的电子邮箱密码是由p,h,w 三个字母组成的长为n 的字符串。
在输入密码时，若字符串中有两个p 连续出现，则网站直接提示“密码错，请重新输入”。
现有黑客通过编程要对其密码进行解密，令n a 表示程序可以产生的长为n 的字符串的个数，写出满足条件的n a 的递推关系，并对递推关系进行求解。
解： a n = 2a n-1 + 2a n-2, a 1=3, a 2=8（2分） ⏹ 一般形式：a n - 2a n-1 - 2a n-2=0⏹ 特征方程：m 2 – 2m - 2=0 （2分） ⏹ 特征根：m 1=1+3，m 2=1-3⏹ 通解：a n = B 1 ⋅m 1n + B 2 ⋅m 2n（2分） ⏹ 常系数：B 1=6323+，B 2=6323-⏹ 结果：a n =6323+(1+3)n +6323-(1-3)n（4分）三．8个孩子面朝里围坐在一旋转木马上（如图所示），使每个孩子都面对另一孩子。
问有多少种不同的改变方式使每个孩子面对的都与图示的不同？解：设一开始8位孩子如图所示坐在木马上，1A 为1a 与5a 相对就坐的所有就坐方案的集合； 2A 为2a 与6a 相对就坐的所有就坐方案的集合； 3A 为3a 与7a 相对就坐的所有就坐方案的集合； 4A 为4a 与8a 相对就坐的所有就坐方案的集合； （4分）4,3,2,1,!6==i A ij i 且,4,3,2,1,,2!4≠=⨯=j i A A j i ，互不相等k j,i,且,4,3,2,1k ,,,2!2A 2k =⨯=j i A A j i ,2!0A A 34321⨯= A A（4分）所求问题为：43213212114321A A A A 44A A A 34-A A 24A 14-8！8A A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A3222！24-2！46！64-！7+⨯⨯⨯⨯+⨯=（2分）四．我院实验中心有5台超高级服务器，供m 个学生通过远程登录去使用，要求使用第1台和第2台的人数均为3个，问有多少种分配方案？解：使用第1台为3人，方案数为C(m,3)； （3分） 使用第2台为3人，方案数为C(m-3,3)； （3分） 其他m-6个人，每个人都可以登陆剩余的3台服务器中的某一台，方案数为3m-6； （3分）因此，分配方案数为C(m,3)C(m-3,3)3m-6（1分）第3页 共4页第4页 共 4页五．设将n 本相同的书放到3个不同的书架上，（书架上的书无序），若第一个书架和第二个书架上摆放相同数量的书，第三个书架上放的书数量不限，问有多少种不同的摆放方式？ 解：()() +++⋅+++=24211)(x x x x x g（4分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x 11112 ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+-=x x x 111111412()[]n n n x n 13241-++=∑∞=（4分） 所以：()[]n n n a 13241-++=（2分）六．用3个红色珠子与2个蓝色珠子镶成项链，问有多少种不同的项链？解：应用Burnside 引理求解，故： 10!2!3!5=⋅=N ； （2分） 置换群可定义如下：G = {p 0,p 1,p 2,p 3,p 4,q 1,q 2,q 3,q 4,q 5}；其中：p 0,p 1,p 2,p 3,p 4表示旋转，q 1,q 2,q 3,q 4,q 5表示翻转。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题13 排列组合与二项式定理 含解析
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题13 排列组合与二项式定理一、选择题1.(2019·全国3·理T4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为( )A.12B.16C.20D.24【答案】A【解析】(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为+2=4+8=12.故选A.2.(2018·全国3·理T5) 的展开式中x4的系数为( )A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】由展开式知T r+1=(x2)5-r(2x-1)r=2r x10-3r.当r=2时,x4的系数为22=40.3.(2017·全国1·理T6)(1+x)6展开式中x2的系数为( )A.15B.20C.30D.35【答案】C【解析】(1+x)6的二项展开式通项为T r+1=x r,(1+x)6的展开式中含x2的项的来源有两部分,一部分是1×x2=15x2,另一部分是x4=15x2,故(1+x)6的展开式中含x2的项为15x2+15x2=30x2,其系数是30.4.(2017·全国3·理T4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.80【答案】C【解析】(2x-y)5的展开式的通项公式T r+1=(2x)5-r(-y)r.当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为×22×(-1)3=-40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为×23×(-1)2=80.故展开式中x3y3的系数为80-40=40.5.(2017·全国2·理T6)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()A.12种B.18种C.24种D.36种【答案】D【解析】先把4项工作分成3份有种情况,再把3名志愿者排列有种情况,故不同的安排方式共有=36种,故选D.6.(2016·四川·理T2)设i为虚数单位,则(x+i)6的展开式中含x4的项为()A.-15x4B.15x4C.-20i x4D.20i x4【答案】A【解析】二项式(x+i)6展开的通项T r+1=x6-r i r,则其展开式中含x4是当6-r=4,即r=2,则展开式中含x4的项为x4i2=-15x4,故选A.7.(2016·全国2·理T5)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B.8.(2016·全国3·理T12)定义“规范01数列”{a n}如下:{a n}共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k≤2m,a1,a2,…,a k中0的个数不少于1的个数.若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个【答案】C【解析】由题意知a1=0,a8=1,则满足题意的a1,a2,…,a8的可能取值如下:综上可知,不同的“规范01数列”共有14个.9.(2016·四川·理T4)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72【答案】D【解析】要组成没有重复数字的五位奇数,则个位数应该为1,3,5中的一个,其他位置共有种排法,所以其中奇数的个数为3=72,故选D.10.(2015·四川·理T6)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个【答案】B【解析】当首位数字为4,个位数字为0或2时,满足条件的五位数有个;当首位数字为5,个位数字为0或2或4时,满足条件的五位数有个.故满足条件的五位数共有=(2+3)=5×4×3×2×1=120个.故选B.11.(2015·全国1·理T10)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60【答案】C【解析】(x2+x+y)5=[(x2+x)+y]5的展开式通项为T r+1=(x2+x)5-r y r(r=0,1,2,…,5).由题意,y的幂指数为2,故r=2.对应的项为(x2+x)3y2=10(x2+x)3y2.记(x2+x)3的展开式通项为T s+1=(x2)3-s x s=x6-s(s=0,1,2,3),由题意令6-s=5,得s=1.故所求项的系数为10=30.12.(2015·陕西·理T4)二项式(x+1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15,则n=()A.7B.6C.5D.4【答案】B【解析】(x+1)n的展开式通项为T r+1=x n-r.令n-r=2,即r=n-2.则x2的系数为=15,解得n=6,故选B.13.(2015·湖北·理T3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A.212B.211C.210D.29【答案】D【解析】由条件知,∴n=10.∴(1+x)10中二项式系数和为210,其中奇数项的二项式系数和为210-1=29.14.(2014·大纲全国·理T5)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有()A.60种B.70种C.75种D.150种【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有种选法,从5名女医生中选出1名有种选法,故共有×5=75种选法,选C.15.(2014·辽宁·理T6)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24【答案】D【解析】插空法.在已排好的三把椅子产生的4个空档中选出3个插入3人即可.故排法种数为=24.故选D.16.(2014·四川·理T6)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()A.192种B.216种C.240种D.288种【答案】B【解析】(1)当最左端排甲的时候,排法的种数为;(2)当最左端排乙的时候,排法种数为.因此不同的排法的种数为=120+96=216.17.(2014·重庆·理T9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168【答案】B【解析】第1步,先排歌舞类节目,有=6种排法,排好后有4个空位.第2步,排另3个节目,因为3个歌舞节目不相邻,则中间2个空位必须安排2个节目.分两类情况:①中间两个空位安排1个小品类节目和1个相声节目,有=4种排法,最后一个小品类节目排两端,有2种方法.共有6×4×2=48种排法.②中间两个空位安排2个小品类节目,有=2种排法,排好后有6个空位,选1个将相声类节目排上,有6种排法.共有6×2×6=72种排法.所以一共有48+72=120种排法.18.(2014·四川·理T2)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )A.30B.20C.15D.10【答案】C【解析】含x3的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为=15, 故含x3项的系数是15.19.(2014·湖南·理T4) 的展开式中x2y3的系数是( )A.-20B.-5C.5D.20【答案】A【解析】由已知,得T r+1=(-2y)r=(-2)r x5-r y r(0≤r≤5,r∈Z),令r=3,得T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.20.(2014·浙江·理T5)在(1+x)6(1+y)4的展开式中,记x m y n项的系数为f(m,n),则f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )A.45B.60C.120D.210【答案】C【解析】∵(1+x)6展开式的通项公式为T r+1=x r,(1+y)4展开式的通项公式为T h+1=y h,∴(1+x)6(1+y)4展开式的通项可以为x r y h.∴f(m,n)=.∴f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)==20+60+36+4=120.故选C.21.(2013·全国1·理T9)设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a=7b,则m=( )A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】由题意可知,a=,b=,∵13a=7b,∴13·=7·,即,解得m=6.故选B.22.(2013·山东·理T10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279【答案】B【解析】构成所有的三位数的个数为=900,而无重复数字的三位数的个数为=648,故所求个数为900-648=252,应选B.23.(2013·全国2·理T5)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=()A.-4B.-3C.-2D.-1【答案】D【解析】因为(1+x)5的二项展开式的通项为x r(0≤r≤5,r∈Z),则含x2的项为x2+ax·x=(10+5a)x2,所以10+5a=5,a=-1.24.(2013·辽宁·理T7)使 (n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为( )A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】展开式中的第r+1项为(3x)n-r3n-r,若展开式中含常数项,则存在n∈N*,r∈N,使n-r=0,故最小的n值为5,故选B.25.(2013·大纲全国·理T7)(1+x)8(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )A.56B.84C.112D.168【答案】D【解析】因为(1+x)8的展开式中x2的系数为,(1+y)4的展开式中y2的系数为,所以x2y2的系数为=168.故选D.26.(2012·湖北·理T5)设a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,则a=( )A.0B.1C.11D.12【答案】D【解析】∵512 012可化为(52-1)2 012,其二项式系数为T r+1=522 012-r·(-1)r.故(52-1)2 012被13除余数为·(-1)2 012=1,则当a=12时,512 012+12被13整除.27.(2012·安徽·理T7)(x2+2) 的展开式的常数项是( )A.-3B.-2C.2D.3【答案】D【解析】通项为T r+1=(-1)r=(-1)r.令10-2r=2或0,此时r=4或5.故(x2+2)的展开式的常数项是(-1)4×+2×(-1)5×=3.28.(2012·全国·理T2)将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()A.12种B.10种C.9种D.8种【答案】A【解析】将4名学生均分为2个小组共有=3种分法,将2个小组的同学分给两名教师带有=2种分法,最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有=2种分法,故不同的安排方案共有3×2×2=12种.29.(2012·辽宁·理T5)一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为()A.3×3!B.3×(3!)3C.(3!)4D.9!【答案】C【解析】完成这件事可以分为两步,第一步排列三个家庭的相对位置,有种排法;第二步排列每个家庭中的三个成员,共有种排法.由乘法原理可得不同的坐法种数有,故选C.30.(2012·安徽·理T10)6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换,任意两位同学之间最多交换一次,进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换,则收到4份纪念品的同学人数为()A.1或3B.1或4C.2或3D.2或4【答案】D【解析】6人之间互相交换,总共有=15种,而实际只交换了13次,故有2次未交换.不妨设为甲与乙、丙与丁之间未交换或甲与乙、甲与丙之间未交换,当甲与乙、丙与丁之间未交换时,甲、乙、丙、丁4人都收到4份礼物;当甲与乙、甲与丙之间未交换时,只有乙、丙两人收到4份礼物,故选D.31.(2011·全国·理T8) 的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常数项为( )A.-40B.-20C.20D.40【答案】D【解析】令x=1得(1+a)(2-1)5=2,∴a=1.原式=x·,故常数项为x·(2x)2(2x)3=-40+80=40.32.(2010·山东·理T8)某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A.36种B.42种C.48种D.54种【答案】B【解析】若乙排在第二位,则有种方案;若乙不排在第二位,则乙只能排在第三、四、五位,此时共有种方案,故共有=42(种).二、填空题1.(2019·天津·理T10)（2x-8的展开式中的常数项为【答案】28【解析】T r+1=(2x)8-r（r=·28-r·（-r·x8-4r.需8-4r=0,r=2.常数项为26（-2=26=28.2.(2018·天津·理T10)在的展开式中,x2的系数为.【答案】【解析】展开式的通项为T r+1=x5-r.令5-=2,可得r=2.所以的展开式中的x2的系数为.3.(2018·浙江·T14)二项式的展开式的常数项是.【答案】7【解析】通项为T r+1=,当r=2时,=0.故展开式的常数项为=7.4.(2018·上海·T3)在(1+x)7的二项展开式中,x2项的系数为(结果用数值表示).【答案】21【解析】由(1+x)7的二项展开式的通项,得(1+x)7的二项展开式的x2项的系数为=21.5.(2018·全国1·理T15)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)【答案】16【解析】方法一:①恰有1位女生时,有=12种选法.②恰有2位女生时,有=4种选法.故不同的选法共有12+4=16种.方法二:6人中选3人共有种选法,3人全是男生时有种选法,所以至少有1位女生入选时有=16种选法.6.(2018·浙江·T16)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260【解析】分两类:第一类:从0,2,4,6中取到0,则没有重复数字的四位数有=540;第二类:从0,2,4,6中不取0,则没有重复数字的四位数有=720.所以没有重复数字的四位数共有540+720=1260种.7.(2017·山东·理T11)已知(1+3x)n的展开式中含有x2项的系数是54,则n= .【答案】4【解析】二项展开式的通项T r+1=(3x)r=3r··x r,令r=2,得32·=54,解得n=4.8.(2017·浙江·T13)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4= ,a5= .【答案】16 4【解析】由二项式展开式可得通项公式为x3-r x2-m2m,分别取r=3,m=1和r=2,m=2可得a4=4+12=16,令x=0可得a5=13×22=4.9.(2017·天津·理T14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)【答案】1080【解析】①没有一个数字是偶数的四位数有=120个;②有且只有一个数字是偶数的四位数有=960个.所以至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1 080个.10.(2017·浙江·T16)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)【答案】660【解析】由题意可得,总的选择方法为种方法,其中不满足题意的选法有种方法,则满足题意的选法有=660种.11.(2016·全国1·理T14)(2x+)5的展开式中,x3的系数是.(用数字填写答案)【答案】10【解析】二项式的通项公式T r+1=(2x)5-r25-r,令5-=3,解得r=4,故x3的系数为×25-4=10.12.(2016·天津·理T10) 的展开式中x7的系数为.(用数字作答)【答案】-56【解析】展开式通项为T r+1=(x2)8-r=(-1)r x16-3r,令16-3r=7,得r=3,所以展开式中x7的系数为(-1)3=-56.13.(2015·广东·理T12)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)【答案】1560【解析】共有=40×39=1 560条毕业留言.14.(2015·天津·理T12)在的展开式中,x2的系数为.【答案】【解析】由题意知T r+1=x6-r··x6-2r·.令6-2r=2,可得r=2.故所求x2的系数为.15.(2015·重庆·理T12)的展开式中x8的系数是(用数字作答).【答案】【解析】展开式的通项公式T r+1=·(x3)5-r··2-r·(r=0,1,2,…,5).令15-r=8,得r=2,于是展开式中x8项的系数是·2-2=.16.(2015·全国2·理T15)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .【答案】3【解析】∵(1+x)4=x4+x3+x2+x+x0=x4+4x3+6x2+4x+1,∴(a+x)(1+x)4的奇数次幂项的系数为4a+4a+1+6+1=32,∴a=3.17.(2014·安徽·理T13)设a≠0,n是大于1的自然数, 的展开式为a0+a1x+a2x2+…+a n x n.若点A i(i,a i)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .【答案】3【解析】由题意得a1==3,∴n=3a;a2==4,∴n2-n=8a2.将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).∴a=3.18.(2014·北京·理T13)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.【答案】36【解析】产品A,B相邻时,不同的摆法有=48种.而A,B相邻,A,C也相邻时的摆法为A在中间,C,B在A的两侧,不同的摆法共有=12(种).故产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻的不同摆法有48-12=36(种).19.(2014·全国1·理T13)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)【答案】-20【解析】(x+y)8的通项公式为T r+1=x8-r y r(r=0,1,…,8,r∈Z).当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,所以(x-y)(x+y)8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.20.(2014·全国2·理T13)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a= .(用数字填写答案)【答案】【解析】设展开式的通项为T r+1=x10-r a r,令r=3,得T4=x7a3,即a3=15,得a=.21.(2013·浙江·理T11)设二项式的展开式中常数项为A,则A= .【答案】-10【解析】T r+1=)5-r··(-1)r·=(-1)r=(-1)r.令15-5r=0,得r=3,所以A=(-1)3=-=-10.22.(2013·北京·理T12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.【答案】96【解析】分给同一人的2张参观券连号的情况共有12,23,34,45四种情况,从4人中选一人得到连号参观券,有4种方法.其余3张分给3人可以全排列,有种方法,所以不同的分法有4=96种.23.(2013·大纲全国·理T14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.(用数字作答)【答案】480【解析】先排除甲、乙外的4人,方法有种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有=480(种).24.(2013·浙江·理T14)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).【答案】480【解析】按C的位置分三类情况:①当C在第一或第六位时,有=120种排法;②当C在第二或第五位时,有=72种排法;③当C在第三或第四位时,有=48种排法.所以共有2×(120+72+48)=480种排法.25.(2012·福建·理T11)(a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a= .【答案】2【解析】∵T r+1=a r x4-r,∴当4-r=3,即r=1时,T2=·a·x3=4ax3=8x3.故a=2.26.(2012·浙江·理T14)若将函数f(x)=x5表示为f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5为实数,则a3= .【答案】10【解析】由x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5可得,可解得27.(2012·大纲·理T15)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为.【答案】56【解析】∵,∴n=8.T r+1=x8-r x8-2r,当8-2r=-2时,r=5.∴系数为=56.28.(2011·北京·理T12)用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有个.(用数字作答)【答案】14【解析】可用排除法,这个四位数每一位上的数字只能是2或3,则共有24个,而这其中要求数字2或3至少出现一次,所以全是2和全是3不满足,即满足要求的四位数有24-2=14个.。
北邮2010《组合数学》试题A和B
四、 （20 分）求下列递推关系的一般解或特解：
（1） an − 4an −1 + 3an-2
an − 3an −1 − 4an − 2 = 3 ⋅ 4n 。 = 3 ⋅ n ⋅ 4 ； （2） a1 3. = = a0 1,
a + 5an −1 + 4an − 2 = 3 ⋅ (−1) n （1）an + 4an −1 − 5an-2 = 3 ⋅ n ⋅ 5n ；（2） n 。 1, 3. a a = = 1 0
五、 （10 分）求由 1、2、3、4、5 组成的 10 位数中，1、3 出现奇数次，4
出现偶数次的数的个数。
二、 （15 分）六个引擎分列两排，要求引擎的点火次序两排交错开来，试
求从某一特定引擎开始点火有多少种方案？如果只指定从某一排先开始点 火，不指定某一个，其点火方案数是多少？如果第一个引擎任意选，只要 求点火过程是交错的，则其点火方案数又是多少呢？
三、 （10 分）有 18 张戏票分给甲、乙、丙、丁 4 个班（不考虑座位号） ，
求从某一特定引擎开始点火有多少种方案？如果只指定从某一排先开始点 火，不指定某一个，其点火方案数是多少？如果第一个引擎任意选，只要 求点火过程是交错的，则其点火方案数又是多少呢？
三、 （12 分）甲、乙、丙 3 人把 15 本相同的书搬到办公室，要求甲和乙 搬的本数一样多，问共有多少种分配的方法？ 四、 （20 分）求下列递推关系的一般解或特解：
i n i
r
r −1
n
八、 （10 分） 设正整数序列 a1,a2,…,a25 满足 ai+1＋
全国卷2010-2020分章节汇编(12)排列组合与二项式定理
全国卷2010-2020分章节汇编排列组合与二项式定理（排列组合）1.（2010Ⅱ文9理6）将标号为1，2，3，4，5，6 的6 张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（）A．12 种B．18 种C．36 种D．54 种2.（2011Ⅱ文9）4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰2人选修课程甲的不同选法共有（）A．12 种B．24 种C．30 种D．36 种3.（2011Ⅱ理7）某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（）A．4 种B．10 种C．18 种D．20 种4.（2012Ⅰ理2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A.12 种B.10 种C.9 种D.8 种5.（2012Ⅰ文7）6位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有（）A．240 种B．360 种C．480 种D．720 种6.（2012Ⅱ理11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种7.（2016Ⅱ理5）如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A ．24B ．18C ．12D ．98.（2017Ⅱ理6）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（ ）A ．12 种B ．18 种C ．24 种D ．36 种9.（2018Ⅰ理15）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）10.（2020Ⅱ理14）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.（二项式定理）1.（2010Ⅱ文14）9)1(x x +的展开式中x 3的系数是2.（2010Ⅱ理4）若9)(x a x - 的展开式中x 3的系数是-84，则a =3.（2011Ⅰ理8）5)12)((x x x ax -+的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．-40 B ．-20 C ．20 D ．404.（2011Ⅱ文13）(1－x )10的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为5.（2011Ⅱ理13）20)1(x - 的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为6.（2012Ⅱ文13）8)21(xx +的展开式中x 2的系数为 7.（2012Ⅱ理15） n x x )1(+展开式第3与第7项的二项式系数相等,则展开式中21x的系数为8.（2013Ⅰ理 9）设m 为正整数，m y x 2)(+展开式的二项式系数的最大值为a ， 12)(++m y x 展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m = ( )A ．5B ．6C ．7D ．89.（2013Ⅱ理5）已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a =( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－110.（2014Ⅰ理13）(x - y )(x + y )8的展开式中x 2 y 7的系数为 (数字作答)11.（2014Ⅱ理13）(x +a )10的展开式中，x 7的系数为15,则a =(数字作答) 12.（2015Ⅰ理10）（x 2+ x + y 5的展开式中，x 5 y 2的系数为()A ．10B ．20C ．30D ．60 13.(2015Ⅱ理15)(a +x )(1+ x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32,则a=14.（2016Ⅰ理14）5)2(x x +的展开式中，x 3的系数是 (数字作答)15.（2017Ⅰ理6） 62)1)(11(x x ++展开式中x 2的系数为( ) A ．15 B ．20 C ．30 D ．3516.（2017Ⅲ理4） (x + y )(2x - y )5的展开式中的x 3 y 3系数为( )A ．﹣80B ．﹣40C ．40D ．8017.（2018Ⅲ理5） 52)2(xx +的展开式中x 4的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 18.（2019Ⅲ理4） (1+2x 2 )(1+ x )4的展开式中x 3的系数为( )A ．12B ．16C ． 20D ． 2419.（2020Ⅰ理8）25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 2020.（2020Ⅲ理14）62)2(xx 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．。
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：排列组合与二项式定理(含解析)
(2010-2019)十年高考数学真题分类汇编：排列组合与二项式定理（含解析）一、选择题1.(2019·全国3·理T4)(1+2x 2)(1+x)4的展开式中x 3的系数为( ) A.12B.16C.20D.24【答案】A【解析】(1+2x 2)(1+x)4的展开式中x 3的系数为C 43+2C 41=4+8=12.故选A.2.(2018·全国3·理T5) (x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为( ) A.10B.20C.40D.80【答案】C【解析】由展开式知T r+1=C 5r (x 2)5-r (2x -1)r =C 5r 2r x 10-3r .当r=2时，x 4的系数为C 5222=40.3.(2017·全国1·理T6)(1+1x 2)(1+x)6展开式中x 2的系数为( ) A.15B.20C.30D.35【答案】C【解析】(1+x )6的二项展开式通项为T r+1=C 6r x r ，(1+1x 2)(1+x )6的展开式中含x 2的项的来源有两部分，一部分是1×C 62x 2=15x 2，另一部分是1x ×C 64x 4=15x 2，故(1+1x )(1+x )6的展开式中含x 2的项为15x 2+15x 2=30x 2，其系数是30.4.(2017·全国3·理T4)(x+y)(2x-y)5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80【答案】C【解析】(2x-y )5的展开式的通项公式T r+1=C 5r (2x )5-r (-y )r . 当r=3时，x (2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 53×22×(-1)3=-40; 当r=2时，y (2x-y )5的展开式中x 3y 3的系数为C 52×23×(-1)2=80.故展开式中x 3y 3的系数为80-40=40.5.(2017·全国2·理T6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A .12种B .18种C .24种D .36种【答案】D【解析】先把4项工作分成3份有C 42C 21C 11A 22种情况，再把3名志愿者排列有A 33种情况，故不同的安排方式共有C 42C 21C 11A 22·A 33=36种，故选D .6.(2016·四川·理T2)设i 为虚数单位，则(x+i)6的展开式中含x 4的项为( ) A.-15x 4 B.15x 4 C.-20i x 4 D.20i x 4【答案】A【解析】二项式(x+i)6展开的通项T r+1=C 6r x 6-r i r ，则其展开式中含x 4是当6-r=4，即r=2，则展开式中含x 4的项为C 62x 4i 2=-15x 4，故选A .7.(2016·全国2·理T5)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9【答案】B【解析】由题意知，小明从街道的E 处出发到F 处的最短路径有6条，再从F 处到G 处的最短路径有3条，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18，故选B .8.(2016·全国3·理T12)定义“规范01数列”{a n }如下:{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有( )A.18个B.16个C.14个D.12个 【答案】C【解析】由题意知a 1=0，a 8=1，则满足题意的a 1，a 2，…，a 8的可能取值如下:。
2010届高考数学一轮达标精品试卷第11单元排列组合
2010届高考数学一轮达标精品试卷(十一)第十一单元 排列组合、二项式定理(时量:120分钟 150分)一、选择题：本大题共18小题，每小题5分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．5人排一个5天的值日表，每天排一人值日，每人可以排多天或不排，但相邻两天不能排同一人，值日表排法的总数为 A ．120B ．324C ．720D ．12802．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是 A ．40B ．74C ．84D ．2003．以三棱柱的六个顶点中的四个顶点为顶点的三棱锥有 A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个4．从一架钢琴挑出的十个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和弦，若有一个音键不同，则发出不同的和弦，则这样的不同的和弦种数是 A ．512B ．968C ．1013D ．10245．如果(n x 的展开式中所有奇数项的系数和等于512，则展开式的中间项是A ．6810C xB ．510C xC ．468C xD ．611C x6．用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是 A ．36B ．32C ．24D ．207．若n 是奇数，则112217777n n n n n n n C C C ---+++⋯⋯+被9除的余数是A ．0B ．2C ．7D ．88．现有一个碱基A ，2个碱基C ，3个碱基G ，由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 A ．20个B ．60个C ．120个D ．90个9．某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为 A ．504B ．210C ．336D ．12010．在342005(1)(1)(1)x x x ++++⋯⋯++的展开式中，x 3的系数等于 A ．42005CB ．42006CC ．32005CD ．32006C11．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人，分别参加数理化三科竞赛，共有90种不同方案，则男、女生人数可能是 A ．2男6女B ．3男5女C ．5男3女D ．6男2女12．若x ∈R ，n ∈N ＋ ，定义nx M ＝x (x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n －1)，例如55M -＝(－5)(－4)(－3)(－2)(－1)＝－120，则函数199()x f x xM -=的奇偶性为A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数13．由等式43243212341234(1)(1)(1)(1),x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++定义映射12341234:(,,,)(,,,),f a a a a b b b b →则f （4，3，2，1）等于 A ．（1，2，3，4）B ．（0，3，4，0）C ．（－1，0，2，－2）D ．（0，－3，4，－1）14．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{4，5，6}，从A 到B 的映射f (x )，B 中有且仅有2个元素有原象，则这样的映射个数为 A ．8B ．9C ．24D ．2715．有五名学生站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，而不同的站法有 A ．24种B ．36种C ．60种D ．66种16．等腰三角形的三边均为正数，它们周长不大于10，这样不同形状的三角形的种数为 A ．8B ．9C ．10D ．1117．甲、乙、丙三同学在课余时间负责一个计算机房的周一至周六的值班工作，每天1人值班，每人值班2天，如果甲同学不值周一的班，乙同学不值周六的班，则可以排出不同的值班表有 A ．36种B ．42种C ．50种D ．72种18．若1021022012100210139),()()x a a x a x a x a a a a a a =+++⋯+++⋯+-++⋯+则 的值为A．0 B．2 C．－1 D．1答题卡二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在横线上．19．某电子器件的电路中，在A，B之间有C，D，E，F四个焊点（如图），如果焊点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B间电路不通，则焊点脱落的不同情况有种．20．设f(x)＝x5－5x4＋10x3－10x2＋5x＋1,则f(x)的反函数f－1(x)＝．21．正整数a1a2…a n…a2n－2a2n－1称为凹数，如果a1>a2>…a n，且a2n－1>a2n－2>…>a n，其中a i（i ＝1,2,3,…）∈{0,1,2,…,9}，请回答三位凹数a1a2a3（a1≠a3）共有个（用数字作答）．22．如果a1(x－1)4＋a2(x－1)3＋a3(x－1)2＋a4(x－1)＋a5＝x4，那么a2－a3＋a4．23．一栋7层的楼房备有电梯，在一楼有甲、乙、丙三人进了电梯，则满足有且仅有一人要上7楼，且甲不在2楼下电梯的所有可能情况种数有．24．已知（x＋1）6（ax－1）2的展开式中，x3的系数是56，则实数a的值为．三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．25．（本小题满分12分）将7个相同的小球任意放入四个不同的盒子中，每个盒子都不空，共有多少种不同的方法？26．（本小题满分12分）已知(41x＋3x2)n展开式中的倒数第三项的系数为45，求：⑴含x3的项；⑵系数最大的项．27．（本小题满分12分）求证：123114710(31)(32)2.n n n n n n C C C n C n -++++⋯++=+⋅第十一单元 排列组合、二项式定理参考答案一、选择题（每小题5分，共90分）：提示1．D 分五步：5×4×4×4×4＝1280．2．B 分三步：33425154545474.C C C C C C ++=3．C 46312.C -=4．B 分8类：3451001210012101010101010101010101010()2(11045)968.C C C C C C C C C C C +++⋯+=+++⋯+-++=-++=5．B 12512,10,n n -=∴=中间项为555561010T C x C x ==6．D 按首位数字的奇偶性分两类：2332223322()20A A A A A +-=7．C 原式＝（7＋1）n －1＝(9－1)2－1＝9k －2＝9k ’＋7（k 和k ’均为正整数）．8．B 分三步：12365360C C C =9．A 939966504,504.A A A ==或10．B 原式＝11．B 设有男生x 人，则2138390,(1)(8)30x x C C A x x x -=--=即，检验知B 正确．12．A 2222()(9)(8)(9191)(1)(4)(81).f x x x x x x x x x =--⋯-+-=--⋯-13．D 比较等式两边x 3的系数，得4＝4＋b 1,则b 1＝0，故排除A ，C ；再比较等式两边的常数项，有1＝1＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4,∴b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝0．14．D 223327.C =15．B 先排甲、乙外的3人，有33A 种排法，再插入甲、乙两人，有24A 种方法，又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占12 ，故所求不同和站法有3234136().2A A =种16．C 共有（1，1，1），（1，2，2），（1，3，3），（1，4，4），（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，4，4），（3，3，3）（3，3，4）10种．17．B 每人值班2天的排法或减去甲值周一或乙值周六的排法，再加上甲值周一且乙值周六的排法，共有2212264544242().C C A C A -+=种32003320062006442006(1)[1(1)](1)(1)(1).1(1)x x x x x x C x x+-+-+++=+-+即求中的系数为18．D 设f (x )＝(2－x )10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－…－a 9＋a 10)＝f (1)f (－1)＝(2＋1)10(2－1)10＝1。
2010组合数学复习题
2010-2011学年《组合数学》复习题一、填空题1、将2n 个人分成n 组，每组两个人，共有 种不同的分组方法；2、从1至100的整数中不重复地选取两个数组成有序对(x ，y )，使得x 与y 的乘积xy 不能被3整除，共可组成 对有序对；3、整除88200的正整数有 个；4、整除510510的正奇数有 个；5、有 个能被3整除而又不含数字6的三位数；6、一个抽屉里有20件衬衫，其中4件是蓝的，7件是灰的，9件是红的，则应从中随意取 件才能保证有4件是同颜色的；7、由2个0、3个1和3个2作成的八位数共有 个；8、万位数字不是5，个位数字不是2且各位数字相异的五位数共有 个；9、在m ×n 棋盘中选取两个相邻的方格(即有一条公共边的两个方格), 共有个；10、1）从1至1000的整数中，有 个整数能被5整除但不能被6整除。
2）从1至1000的整数中能被14或21整除的整数个数为 ；11、外事部门计划安排8位外宾参观4所中学和4所小学，每人参观一所学校，但外宾甲和乙要求参观中学，外宾丙要求参观小学，共有 种不同的安排方案。
12、展开式中 的系数是 。
13、由n 个相异元素,,作成的与,之间有且只有一个元素的全排列数为 。
14、10个节目中有6个演唱、4个舞蹈。
今编写节目单，要求任意两个舞蹈之间至少有1个演唱，问可编写出 种不同的演出节目单。
15、由3只绿球、2只红球、2只白球和3只黄球作成的没有2只黄球相邻的全排列数是 。
16、方程154=+++4321x x x x 的非负整数解的个数是 。
17、一张币值为二角的人民币兑换为一分、二分或五分的硬币，有 种兑换方法。
18、⑴小于10000的含数字1的正整数共有 个；⑵小于10000的含数字0的正整数共有 个；19、 6位男宾，5位女宾围坐一圆桌，则1）女宾不相邻的就坐方案有 种；2）所有女宾坐在一起的方案有 种；3）某一女宾A 和两位男宾相邻而坐的方案有 种；20、已知01221=----n n n a a a ，)2(,26,310≥==n a a ，则n a = ；二、计算题1、确定由数集{2,4,6,8}所形成的全部互异整数的总和。
2001-2010云南省10年高考排列组合二项高考题目及答案
2010年（6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（14）若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．2009年10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。
则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A. 6种B. 12种C. 30种D. 36种13. (4的展开式中33x y 的系数为 。
2008年12．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（ ） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482007年10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）2006年（13）在4101()x x+的展开式中常数项是＿＿＿＿＿。
（用数字作答）2005年（11）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（A ）3个 （B ）4个 （C ）6个 （D ）7个2004年12．在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521 的数共有 （ ） A ．56个 B ．57个 C ．58个 D ．60个 13．已知a 为实数，10)(a x +展开式中7x 的系数是－15，则=a .2003年2x15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共 有 种（以数字作答）2002年（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种 （15）72)2)(1(-+x x 展开式中3x 的系数是2001年(16)圆周上有2n 个等分点(n ＞1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 。
大学数学组合数学试题与答案(修正版)1
2009 2010学年第二学期组合数学期末试卷 一、填空题（每小题3分，共15分）1、22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为___380 _____.2、6()x y +所有项的系数和是____64 ____.3、把5个不同的球安排到4个相同盒子中，没有空盒的，共有种__10______. 不同方法。
4、不定方程1232x x x++=的非负整数解的个数为____6____.5、若1()f n n =,则2()f n ∆=_______2(1)(2)n n n ++______. 二、选择题（每小题3分，共30分） 1、设A （t ）=nn n=0at ∞∑ 和 B （t ）=nn n=0b t ∞∑ (0b 0≠) 是两个形式幂级数，则A （t ）与 B (t) 的商为 （ A ）。
A.1A(t)=A(t)B (t)B(t)-⋅ B. 1A(t)=A (t)B(t)B(t)-⋅ C.11A(t)=A (t)B (t)B(t)--⋅ D. 1A(t)=(A(t)B(t))B(t)-⋅ 2、某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。
这个年级参加课外学科小组人数（ C ）。
A ．50B ．57C ．43D ．113、将11封信放入8个信箱中，则必有一个信箱中至少有（ B ）封信。
A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、组合式⎪⎪⎭⎫⎝⎛50120与下列哪个式子相等？（ B ） A 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛60120 B 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛50119+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49119 C 、512⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛49120 D 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛491195、在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为（ A ）。
A 、 2 B 、 4 C 、 9 D 、 246、若存在一递推关系01124,956(2)n n n a a a a a n --==⎧⎨=-≥⎩则=n a ( A ).A.nn323+⋅ B.nn232+⋅ C.123+⋅n D.11323+++⋅n n7、数列0{}n n ≥的常生产函数是（ D ）。
2010年高考数学真题分类汇编(老人教)考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用
考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、二项式定理及应用1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ).（A ）65 （B ） 56 （C ）5654322⨯⨯⨯⨯⨯ （D ）6543⨯⨯⨯⨯2【命题立意】本题主要考查分类、分步计数原理以及排列组合知识的应用，考查考生的逻辑推理能力．【思路点拨】因每同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案.【规范解答】选A ，每同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法.【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法。
若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题。
利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座有25651800C A =种不同选法. 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）A ． 152 B. 126 C. 90 D. 54【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作知，司机职位很特殊。
按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人②司机安排2人，然后将其余的人安排到其它三个不同的位置。
【规范解答】选B ，当司机只安排1人时，有123343C C A =108(种)；当司机安排2人时有2333C A =18(种).由分类计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126种。
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2010-2011学年《组合数学》复习题
一、填空题
1、将2n 个人分成n 组，每组两个人，共有 种不同的分组方法；
2、从1至100的整数中不重复地选取两个数组成有序对(x ，y )，使得x 与y 的乘积xy 不能被3整除，共可组成 对有序对；
3、整除88200的正整数有 个；
4、整除510510的正奇数有 个；
5、有 个能被3整除而又不含数字6的三位数；
6、一个抽屉里有20件衬衫，其中4件是蓝的，7件是灰的，9件是红的，则应从中随意取 件才能保证有4件是同颜色的；
7、由2个0、3个1和3个2作成的八位数共有 个；
8、万位数字不是5，个位数字不是2且各位数字相异的五位数共有 个；
9、在m ×n 棋盘中选取两个相邻的方格(即有一条公共边的两个方格), 共有
个；
10、1）从1至1000的整数中，有 个整数能被5整除但不能被6整除。
2）从1至1000的整数中能被14或21整除的整数个数为 ；
11、外事部门计划安排8位外宾参观4所中学和4所小学，每人参观一所学校，但外宾甲和乙要求参观中学，外宾丙要求参观小学，共有 种不同的安排方案。
12、展开式中 的系数是 。
13、由n 个相异元素,,作成的与,之间有且只有一个元素的全排列数为 。
14、10个节目中有6个演唱、4个舞蹈。
今编写节目单，要求任意两个舞蹈之间至少有1个演唱，问可编写出 种不同的演出节目单。
15、由3只绿球、2只红球、2只白球和3只黄球作成的没有2只黄球相邻的全排列数是 。
16、方程154=+++4321x x x x 的非负整数解的个数是 。
17、一张币值为二角的人民币兑换为一分、二分或五分的硬币，有 种兑
换方法。
18、⑴小于10000的含数字1的正整数共有 个；
⑵小于10000的含数字0的正整数共有 个；
19、 6位男宾，5位女宾围坐一圆桌，则1）女宾不相邻的就坐方案有 种；
2）所有女宾坐在一起的方案有 种；3）某一女宾A 和两位男宾
相邻而坐的方案有 种；
20、已知01221=----n n n a a a ，)2(,26,310≥==n a a ，则n a = ；
二、计算题
1、确定由数集{2,4,6,8}所形成的全部互异整数的总和。
2、由数集{0,1,2…9}中的数可以构造出多少个不同的四位偶数？
3、学校有100名学生和3个宿舍A, B 和C ，它们分别能容纳25，35和40人。
1) 为学生安排宿舍有多少种方法？
2) 设100名学生中有50名男生和50名女生，而宿舍A 是全男生宿舍，宿
舍B 是全女生宿舍，宿舍C 男女生兼收。
有多少种方法可为学生安排宿
舍？
4、15个人围坐一桌，如果B 拒绝挨着A 坐，有多少种围坐方式？如果B 只拒
绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？
5、从1到300间任取3个不同的数，使得这3个数之和正好被3整除，试问有
多少种不同方案？
6、求5位数中至少出现一个数字6，而且被3整除的数的个数。
7、 1) 确定多重集S =}5,4,3{c b a ⋅⋅⋅的11-排列个数;
（或确定多重集}3,4,1{c b a M ⋅⋅⋅=的6-排列的个数；）
2)列出多重集S =}3,1,2{c b a ⋅⋅⋅的所有3-组合和4-组合。
3) 确定多重集S =}5,4,3,4{d c b a ⋅⋅⋅⋅的12-组合的个数。
8、⑴方程304321=+++x x x x 有多少满足条件：
1x ≥2, 2x ≥0, 3x ≥-5, and 4x ≥8的整数解？
⑵方程184321=+++x x x x 有多少满足条件：
1≤1x ≤5, -2≤2x ≤4, 0≤3x ≤5, 3≤4x ≤9的整数解？
9、⑴求{}500
,......3,2,1=U 中能被2，3和5整除的数的个数； ⑵从1至2000的整数中，至少能被2，3，5中的两个数整除的整数有多少？
10、⑴现有A,B,C 和D 四种材料分配于生产1，2，3和4 四种产品。
假设A 不
宜于产品1，B 不宜于产品3和4，C 不宜于产品1和3，D 不宜于产品4。
试问有多少分配方案，使得每种产品有一种其适宜的材料？
⑵现有5间房，要安排5个人住宿，每人住一间房间，其中甲不住5号房间，
乙不住4、5号房间，丙不住3号房间，丁不住2号房间，戊不住1、2
号房间，请用棋盘多项式方法求解满足题设要求的住宿安排方法总数。
11、现要安排6个人值夜班，从星期一至星期六每人值一晚，但甲不安排在星期
一，乙不安排在星期二，丙不安排在星期三，共有多少种不同的安排值班的方法？
12、由a,b,c,d,e 这五个字符，从中取6个按字典顺序构成字符串，要求：⑴第1
个和第6个字符必为辅音字符b,c,d ；⑵每一字符串必有两个元音字符a 或e ，且
两个元音字符不相邻；⑶相邻的两个字符必不相同。
求字符串的总数目。
13、求由{1，3，5，7}组成的不重复出现的整数的总和。
14、⑴n 个完全相同的球放到m （m ≤n ）个有标志的盒子，不允许空盒，问共有
多少种不同的方案？
⑵求1，3，5，7，9这5个数组成的n 位数的个数，要求其中3和7出现的
次数为偶数，其它数字出现的次数无限制。
⑶如果要把棋盘上偶数个方格涂成红色，是确定用红色、白色和蓝色对1
行n 列棋盘的方格涂色的方法数。
（解题要求：利用生成函数方法分析）
15、一部由1楼上升到10楼的电梯内共有n 个乘客，该电梯从5楼开始每层楼
都停，以便让乘客决定是否离开电梯。
（1）求n 个乘客离开电梯的不同方法种数。
（2）求每层楼都有人离开电梯的不同方法的种数。
16、设有n(n≥3)个箱子A1, A2, …, A n，每个箱子A i（i=1，2，…，n）都安上一把锁，n把锁各不相同。
今把n把锁的钥匙随意地放回这n个箱子中，每个箱子放一把钥匙。
锁上全部箱子之后撬开A1和A2，然后取出A1和A2箱子内的钥匙去开别的箱子。
如果能开出别的箱子，则把箱子内的钥匙拿出来再去开另外的箱子。
如果最终能把箱子全部打开，则称这n把钥匙的放法是一种好放法。
求n 把钥匙的好放法的种数.
三、论述题
1、结合本学期学习《组合数学》课程心得体会和你的研究方向，谈谈组合计数理论与方法可如何在计算机应用或软件工程领域发挥作用。
2、选择一个具体案例，结合案例分析组合计数理论与方法在计算机应用或软件工程领域的应用前景、应用特点和典型应用案例。