高考文科数学二轮复习专题训练函数
高考文科数学二轮复习专题集训：专题二函数、不等式、导数2.4.
A 级1 π＝ ()1．已知函数 f(x) ＝ cos x ，则 f(π)＋f ′x231A ．－πB ．－π2231C ．－ πD ．－ π11分析：∵ f ′(x)＝－ x 2cos x ＋ x ( － sin x)， π 1 2 3∴ f( π)＋f ′ ＝－＋ ·(－1)＝－ .2π ππ答案：C2．已知 m 是实数， 函数 f(x)＝ x 2(x － m)，若 f ′(－1)＝－ 1，则函数 f(x) 的单一递加区间是()A. －4，0B ． 0， 433C. －∞，－4，(0，＋ ∞)D ． －∞，－ 4∪ (0，＋ ∞)33 分析：由于 f ′(x)＝ 3x 2－ 2mx ，因此 f ′(－1)＝ 3＋ 2m ＝－ 1，解得 m ＝－ 2.因此 f ′(x)＝ 3x 2＋ 4x.由 f ′(x)＝ 3x 2＋ 4x>0，解得 x<－4或 x>0 ，34即 f(x) 的单一递加区间为 － ∞，－ 3 ，(0 ，＋ ∞)，应选 C.答案： C2fx，若 F(x)的图象在 x ＝ 0 处的切线3．已知函数 f(x)＝ x ＋ bx ＋c(b ， c ∈R )，F(x)＝xe方程为 y ＝－ 2x ＋ c ，则函数 f(x)的最小值是 ()A ． 2B ． 1C ．0D ．－ 1分析：∵ f ′(x)＝ 2x ＋ b ，∴ F(x)＝2x ＋ b 2－ 2x － bx ， F ′(x)＝x，又 F(x)的图象在 x ＝ 0 处的eeF ＝－ 2，b ＝c ，∴ f(x)＝ (x ＋ 2)2≥0， f(x)min ＝ 0.切线方程为 y ＝－ 2x ＋c ，∴＝c ，得Fb ＝ 4，答案：Cx4．若函数 f( x)＝ 2sin x(x ∈ [0，π ))的图象在切点 P 处的切线平行于函数g(x)＝ 2 x 3＋ 1的图象在切点 Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为 ()8A. 3 B ． 273C.3D ． 31 1分析：由题意得 f ′(x)＝ 2cos x ，g ′(x)＝ x 2＋ x － 2.设 P( x 1， f(x 1))， Q(x 2，g(x 2))，又 f ′(x 1)＝g ′(x2cos x 1＝ x 1 ＋ x －1，故 4cos 2 ＝ x ＋ x －1 ＋2，因此－ 4＋ 4cos 2 ＝ x ＋ x －1－ 2，2)，即22 22x 1 22x 1 22即－ 4sin 2 x 1＝ x 12 －x － 12 2，因此 sin x 1＝ 0，x 1＝ 0，x 12＝ x － 12，x 2＝ 1，故 P(0,0)，Q 1， 8 ，222 23故 k PQ ＝ 8.3答案：A5．已知偶函数 f(x)( x ≠ 0)的导函数为 f ′(x)，且知足 f(1) ＝ 0，当 x>0 时， xf ′(x)<2 f(x)，则使得 f(x)>0 建立的 x 的取值范围是 ()A ． (－ ∞，－ 1)∪ (0,1)B ． (－ ∞，－ 1)∪ (1，＋ ∞)C ．( －1,0)∪ (1，＋ ∞ )D ． (－ 1,0)∪ (0,1)分析：依据题意， 设函数 g(x)＝ f xf x x － 2·f xx 2(x ≠ 0)，当 x>0 时，g ′(x)＝3<0，x说明函数 g(x)在 (0，＋ ∞)上单一递减，又 f( x)为偶函数，因此 g( x)为偶函数，又 f(1) ＝0，所以 g(1) ＝0，故 g( x)在 (－ 1,0)∪ (0,1) 上的函数值大于零，即 f(x)在( － 1,0)∪ (0,1)上的函数值大于零．答案：D6．函数 y ＝ x ＋ 2cos x 在区间 0， π上的最大值是 ________．2π π ππ π分析： y ′＝ 1－ 2sin x ，令 y ′＝ 0，且 x ∈ 0， 2 ，得 x ＝ 6，则 x ∈ 0， 6 时，y ′>0；x ∈ 6，2时， y ′<0，故函数在 π 上递加，在 π π 上递减，因此当 ππ 0， 6 ， 2 x ＝ 时，函数取最大值 ＋ 3.6 66 π答案：6＋ 32x ＋ 1，则曲线 y ＝ f(x)在点 (1，f(1)) 处的切线方程为 ____________ ．7．已知函数 f( x ＋1)＝ x ＋ 1分析：设 x ＋1＝ t ，则 x ＝t － 1，因此 f(t)＝2t － 1＝ 2－ 1，故 f(x)＝ 2－1，f(1) ＝1，又 f ′(x)t tx1＝x2，故切线的斜率k ＝ 1，切线方程为 y ＝ x.答案： y ＝ x8．设函数 f(x)＝ ln x－12－ bx，若 x＝ 1是 f(x)的极大值点，则 a 的取值范围为ax2____________．1分析：∵ f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝x－ ax－ b，由 f′(1)＝ 0，得 b＝ 1－a.∴f′(x)＝ 1－ax＋a－1＝－ax2＋1＋ax－xxx＝－ax＋x－x.①若 a≥0，当 0<x<1 时， f′(x)>0 ，f(x)单一递加；当 x>1 时， f′(x)<0， f(x)单一递减；因此 x＝1 是 f(x) 的极大值点．1②若 a<0，由 f′(x)＝ 0，得 x＝ 1 或 x＝－a.由于 x＝1 是 f(x) 的极大值点，1因此－>1，解得－ 1< a<0.综合①②得 a 的取值范围是 (－ 1，＋∞)．答案：(－ 1，＋∞)ax9． (2017 ·西省高三教课质量检测试题陕(一 ))已知函数 f(x)＝ ln(x＋ 1)＋x＋1(a∈R)．(1)当 a＝ 1 时，求 f(x)的图象在x＝0 处的切线方程；(2)当 a<0 时，求 f( x)的极值．分析：(1)当 a＝ 1 时， f(x)＝ ln(x＋ 1)＋x，x＋ 1∴ f′(x)＝1＋12＝x＋ 22.x＋x＋ 1x＋∵f(0) ＝ 0， f′(0)＝ 2，∴所求切线方程为 y＝ 2x.(2)f(x)＝ ln(x＋ 1)＋ax(x>－ 1)， f′(x)＝x＋a＋12，x＋ 1x＋∵a<0 ，∴当 x∈ (－ 1，－ a－1) 时， f′(x)<0，当 x∈ (－ a－ 1，＋∞)时， f′(x)>0 ，函数 f(x)的极小值为 f(－a－ 1)＝ a＋ 1＋ ln( － a)，无极大值．10． (2016 ·京卷北 )设函数f(x)＝ xe a－x＋ bx，曲线y＝ f(x)在点(2， f(2)) 处的切线方程为y＝(e－1)x＋ 4.(1)求 a， b 的值；(2)求 f(x)的单一区间． a － x分析：(1) 由于 f( x)＝ xe ＋ bx ，a － x因此 f ′(x)＝ (1－ x)e ＋ b.f＝2e ＋ 2，2e a －2＋ 2b ＝ 2e ＋ 2，依题设，即a － 2f＝ e － 1，－ e ＋ b ＝ e －1.a ＝ 2， 解得b ＝ e.(2)由 (1) 知 f(x)＝ xe 2－x ＋ ex.由 f ′(x)＝ e 2－x (1－ x ＋ e x － 1)及 e 2－ x >0 知， f ′(x)与 1－ x ＋e x －1 同号．令 g(x)＝ 1－ x ＋ e x － 1，则 g ′(x)＝－ 1＋ e x －1.因此， 当 x ∈ (－ ∞， 1)时， g ′(x)<0 ， g(x)在区间 ( －∞，1)上单一递减；当 x ∈ (1，＋ ∞)时， g ′(x)>0 ，g( x)在区间 (1，＋ ∞)上单一递加．故 g(1)＝ 1 是 g(x)在区间 (－ ∞，＋ ∞)上的最小值，进而 g(x)>0，x ∈ (－ ∞，＋ ∞)．综上可知， f ′(x)>0， x ∈ (－∞，＋ ∞)，故 f(x)的单一递加区间为 (－ ∞，＋ ∞)．B 级fn － f m ，1．定义：假如函数 f(x)在 [m ， n] 上存在 x 1，x 2(m<x 1<x 2<n)知足 f ′(x 1)＝n － mf n－ f mf(x)＝ x 3－ x 2＋ af ′(x 2)＝.则称函数 f(x)是 [m ， n]上的 “双中值函数 ”，已知函数n －m是[0 ， a]上的 “双中值函数 ”，则实数 a 的取值范围是 ()1 1 3 A. 3， 2B ． 2，31， 11， 1C. 2D ． 3分析：由于 f(x)＝ x 3－ x 2＋ a ，因此由题意可知， f ′(x)＝ 3x 2－ 2x 在区间 [0，a]上存在 x 1，f a － f＝ a 2－a ，因此方程 3x 2－ 2x ＝ a 2－ a 在区间x 2(0< x 1<x 2<a)，知足 f ′(x 1)＝ f ′(x 2)＝a － 0 (0， a)上有两个不相等的实根．＝4－－a 2＋ a，1222令 g(x)＝ 3x－ 2x －a ＋a(0<x<a)，则 g ＝－ a ＋ a>0 ，解得 2<a<1，因此实g a ＝ 2a 2－ a>0，数 a 的取值范围是 12， 1 .答案： C3x12． (2017 ·苏卷江 )已知函数f(x)＝ x －2x ＋ e － e x ，此中 e 是自然对数的底数．若f(a － 1)＋f(2a2) ≤0，则实数 a 的取值范围是 ________．分析：易知函数 f(x)的定义域对于原点对称．3x1∵ f(x)＝x － 2x＋ e－ x，e∴f(－ x)＝ (－x)3－ 2(－x) ＋e－x－1－x e31x ＝－ x＋ 2x＋x－ e ＝－ f(x)，e∴ f(x)为奇函数，又 f′(x)＝ 3x2－ 2＋ e x＋1x≥3x2－ 2＋ 2＝ 3x2≥0(当且仅当 x＝ 0 时，取“＝”)，进而 f(x)在R e上单一递加，因此 f(a－ 1)＋ f(2a2)≤0? f(a－ 1)≤f(－ 2a2)? － 2a2≥a－ 1，1解得－ 1≤a≤2.答案：－1，123．已知函数 f(x) ＝(ax＋ b)ln x－bx＋ 3 在 (1， f(1)) 处的切线方程为y＝2.(1)求 a， b 的值；(2)求函数 f(x)的极值；(3)若 g(x)＝f(x)＋ kx 在 (1,3)上是单一函数，求k 的取值范围．分析：(1) 由于 f(1) ＝－ b＋ 3＝ 2，因此 b＝ 1.又 f′(x)＝bx＋aln x＋a－ b＝1x＋aln x＋a－ 1，而函数 f(x)＝ (ax＋ b)ln x－bx＋ 3 在(1， f(1)) 处的切线方程为y＝ 2，因此 f′(1)＝1＋ a－ 1＝0，因此 a＝ 0.(2)由 (1) 得 f(x)＝ ln x－ x＋ 3， f′(x)＝1x－ 1， x>0.令 f′(x)＝ 0，得 x＝ 1.当0<x<1 时，f′(x)>0 ；当 x>1 时， f′(x)<0，因此 f(x)在 (0,1)上单一递加，在(1，＋∞)上单一递减，故 f(x) 的极大值为f(1)＝ 2，无极小值．(3)由 g(x)＝f(x)＋ kx，则 g(x) ＝ln x＋( k－ 1)x＋3(x>0)， g′(x)＝1＋ k－ 1，x 又 g(x)在 x∈ (1,3)上是单一函数，若 g(x)为增函数，有 g′(x)≥0，即 g ′(x)＝ 1＋ k － 1≥0，即 k ≥1－1在 x ∈ (1,3)上恒建立．xx122又1－ ∈0， 3 ，因此 k ≥x3.若 g(x)为减函数，有g ′(x)≤0，即 g ′(x)＝ 1＋ k － 1≤0，即 k ≤1－1在 x ∈ (1,3)上恒建立，x x12又 1－ x ∈ 0， 3 ，因此 k ≤0.2综上， k 的取值范围为 (－ ∞， 0]∪ ，＋ ∞ .11，此中 a>0.4． (2017 成·都市第二次诊疗性检测 )已知函数 f(x)＝ a ＋a ln x － x ＋ x(1)若 f(x)在 (0，＋ ∞)上存在极值点，求 a 的取值范围；(2)设 a ∈ (1， e]，当 x 1 ∈(0,1)， x 2∈ (1，＋ ∞)时，记 f(x 2)－ f(x 1)的最大值为 M(a)．那么 M(a)能否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明原因．－ x －a11 1x － a1x 2分析： (1) f ′(x)＝ a ＋ a x － 1－ x 2＝， x ∈ (0，＋ ∞)．x － 2①当 a ＝ 1 时， f ′(x)＝－≤0， f(x)在 (0，＋ ∞)上单一递减，不存在极值点；x21 ②当 a>0 且 a ≠1时， f ′(a)＝ f ′＝ 0.a1经查验 a ， 均为 f(x)的极值点．∴ a ∈ (0,1) ∪ (1，＋ ∞)．1(2)当 a ∈ (1， e]时， 0<a <1< a.由(1) 知，当 f ′(x)>0 时，1 1 .<x<a ；当 f ′(x)<0 时， x>a 或 x<aa1 1∴ f(x)在 0， a 上单一递减，在 a ， a 上单一递加，在 (a ，＋ ∞)上单一递减．∴对 ? x 1∈(0,1) ，有 f(x 1)≥f1a ；对 ? x 2∈ (1，＋ ∞)，有 f(x 2)≤f(a)．1∴ [f( x 2)－ f(x 1 )] max ＝ f( a) － f a .1∴ M(a)＝ f(a)－ f a＝1 1 －11－1＋ aa ＋a ln a － a ＋ a a ＋ a ln a a＝ 211， a∈ (1， e]．a＋a ln a－ a＋a1 1 11 M′(a)＝2 1－a2 ln a＋ 2 a＋a a＋ 2－ 1－a2 1＝2 1－a2 ln a， a∈ (1， e]．∴M′(a)>0 ，即 M(a)在 (1， e]上单一递加．114∴ M(a)max＝ M(e) ＝ 2 e＋e＋ 2 e－ e ＝e.∴ M(a)存在最大值4e.。
高考文科数学二轮复习专题集训：专题二函数、不等式、导数2.2
A 级1 11．若 a <b <0 ，则以下结论不正确的选项是 ()222A ． a <bB ． ab<bC ．a ＋ b<0D ． |a|＋ |b|>|a ＋b|分析：由题可知 b<a<0，因此 A ，B ，C 正确，而 |a|＋ |b|＝－ a － b ＝ |a ＋ b|，故 D 错误，选 D.答案：Dx ≥0，x12． (2017 兰·州市高考实战模拟 )若变量 x ， y 知足拘束条件 y ≥0，y，则 z ＝ 2 ·3x ＋4y ≤ 12 2的最大值为 ()A ．16B ． 8C ．4D ． 3x ≥0，x1分析：作出不等式组 y ≥0， 表示的平面地区如图中暗影部分所示． 又 z ＝2 ·2 3x ＋4y ≤12yx －y，令 u ＝ x －y ，则直线 u ＝ x － y 在点 (4,0)处 u 获得最大值，此时z 获得最大值且 z max＝ 2＝ 24－0＝ 16，应选 A.答案： A3．要制作一个容积为 4 m 3 ，高为 1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价是每平方米10 元，则该容器的最低总造价是 ()A ．80 元B ． 120 元C ．160 元D ． 240 元分析： 设底面矩形的一条边长是x m ，总造价是 y 元，由题意知，体积V ＝ 4 m 3，高h ＝ 1 m ，因此底面积 S ＝ 4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4 m ，又设x总造价是 y 元，则 y ＝ 20×4＋10× 2x ＋ 88＝ 160，当且仅当 2x ＝8，即 x ＝ 2x ≥80＋ 20 2x ·xx时获得等号．答案： Cx－ y＋ 2≥0，4．若 x， y 知足拘束条件y＋2≥0，则 ( x＋2) 2＋ (y＋ 3)2的最小值为 ()x＋ y＋2≥09A ． 1B．2C．5D． 9分析：可行域为以下图的暗影部分，由题意可知点P(－ 2，－ 3)到直线 x＋y＋ 2＝ 0的距离为|－2－3＋2|＝3，因此 (x＋ 2)2＋ (y＋3) 2的最小值为32＝9，应选 B.2222答案：B5．已知函数 f(x)(x∈R )的图象以下图， f ′(x)是 f(x)的导函数，则不等式 (x2－ 2x－3)f′(x)>0的解集为 ()A ． (－∞，－ 2)∪ (1，＋∞)B．( －∞，－ 2)∪ (1,2)C．( －∞，－ 1)∪ (－ 1,0)∪ (2，＋∞)D． (－∞，－ 1)∪ (－ 1,1)∪ (3，＋∞)分析：由 f(x)的图象可知，在 (－∞，－ 1)，(1，＋∞)上， f ′(x)>0，在 (－ 1,1)上， f′(x)<0.f x f x，x>1或 x<－1或－ 1<x<1由 (x2－ 2x－ 3)f′(x)>0 ，得或，即，x2－2x－ 3>0x2－ 2x－3<0x>3或 x<－1－1<x<3因此不等式的解集为 (－∞，－ 1)∪ (－ 1,1)∪ (3，＋∞)，选 D.答案：Dx≥1，6．设变量 x， y 知足拘束条件x＋ y－ 4≤0，则目标函数 z＝ 3x－ y 的最大值为x－ 3y＋4≤0，________．分析： 依据拘束条件作出可行域如图中暗影部分所示，∵z ＝ 3x －y ，∴ y ＝ 3x －z ，当该直线经过点 A(2,2)时， z 获得最大值，即z max ＝ 3×2－ 2＝ 4.答案：4x －3＝1 y 1 m3，则 m 的值为 ________．7．已知 x ，y ∈ (0，＋ ∞)，22，若 ＋y ( m>0) 的最小值是x分析：由 2x －31 y 1 ＋ m 1 1 m＝ 1y ＋ mx 1 ＝2得 x ＋y ＝ 3，则y ＝ ( x ＋y) · ＋y 31＋ m ＋≥ (1 ＋mx 3xx y 3＋ 2 m)，因此 13(1＋ m ＋2 m)＝ 3，即 ( m ＋ 1)2＝ 9，解得 m ＝4.答案：48． (2017 湖·南省五市十校联考 )某工厂制作木质的书桌和椅子，需要木匠和漆工来达成两道工序， 已知木匠均匀四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌， 该工厂每礼拜木匠最多有 8 000 个工作时；漆工均匀两个小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该工厂每礼拜漆工最多有 1 300 个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的收益分别是 15 元和 20 元，依据以上条件，生产一个礼拜能获取的最大收益为________元．分析：设一个礼拜能生产椅子x 把，书桌 y 张，收益为z 元，可得拘束条件4x ＋ 8y ≤8 0002x ＋ y ≤1 300， 收益 z ＝ 15x ＋ 20y ，画出不等式组所表示的平面地区 (图略 )，可知在点x ∈ N ， y ∈ N(200,900) 处 z 获得最大值，此时 z max ＝ 21 000 元．答案：21 000x 2 －2x 的定义域为 A.9．已知函数 f(x) ＝9－ x 2(1)求 A ；(2)若 B ＝ { x|x 2－ 2x ＋ 1－ k 2≥ 0}，且 A ∩B ≠?，务实数 k 的取值范围．x 2－ 2x>0 ，分析：(1) 由解得－ 3<x<0 或 2<x<3 ，29－ x >0，∴ A ＝ (－ 3,0)∪ (2,3)．(2)x 2 －2x ＋ 1－ k 2≥0，∴当 k ≥0 时， 1－ k ≤x ≤1＋ k ，当 k<0 时， 1＋ k ≤x ≤1－ k ，∵ A ∩B ≠?，k ≥0， k ≥0， k<0， 或k<0， ∴或或，1－ k ≥－ 31＋ k ≤31＋ k ≥－ 31－k ≤3∴ k ∈ [ － 4,4] ．10． (2017 合·肥市第二次教课质量检测 )已知函数 f( x)＝ 4－ |ax － 2|(a ≠ 0)．(1)求函数 f(x)的定义域；(2)若当 x ∈ [0,1] 时，不等式 f(x) ≥1恒建立，务实数 a 的取值范围．分析：(1) 要使函数存心义，需 4－ |ax － 2|≥0，即 |ax － 2|≤4， |ax －2|≤4? － 4≤ax － 2≤4? － 2≤ax ≤6.当 a>0 时，函数f(x)的定义域为2 6 时，函数 f( x) 的定义域为x － ≤x ≤ ；当 a<0aa6 2x a ≤x ≤－ a .(2)f(x)≥1? |ax －2|≤3，记 g(x)＝ |ax － 2|，由于 x ∈ [0,1] ，因此需且只要g ≤3， g?≤32≤3? － 1≤a ≤5，又 a ≠0，因此－ 1≤a ≤5 且 a ≠0.|a － 2|≤3故 a 的取值范围为 [－ 1,0)∪ (0,5] ．B 级1y ≥ x ，1．已知 x ， y 知足2z ＝ 3x ＋ y 的最大值比最小值大 14，则 a 的值是 ()x ＋y ≤3，x ≥a ，A ．－ 2B ．－ 1C ．1D ． 2分析：如图，不等式组所表示的可行域为△ABC 及其内部，作出目标函数z ＝ 3x ＋ y对应的直线 l .由于 z 的几何意义为直线 l 在 y 轴上的截距．明显，当直线l 过点 B 时， z 获得最大值；当直线 l 过点 A 时， z 获得最小值．x －2y ＝ 0， x － 2y ＝ 0， 解得 A a ，a .由解得 B(2,1)；由x ＝ a ，2x ＋y ＝ 3，因此目标函数的最大值为z max ＝ 3×2＋ 1＝7，最小值为 z min ＝ 3×a ＋a ＝ 7a.2 2由题意可得 7－72a ＝ 14，解得 a ＝－ 2.应选 A.答案： A2．若不等式 2x 2 －axy ＋ y 2≥0对随意的 x ∈[1,2] 及 y ∈ [1,3] 恒建立，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，2 2]B ． [2 2，＋ ∞) C. －∞，11D ． － ∞，932分析：由于 y 不为 0，因此对原不等式两边同时除以2x 2xy ，获取 2－ a ×＋ 1≥0，令 tyyx21＝ y ，则不等式变成 2t －at ＋ 1≥0，由 x ，y 的范围可知 t ∈3， 2 ，因此原不等式恒建立刻2t 2－ at ＋ 1≥0 在 t ∈1， 2 上恒建立，由 22t 2＋ 11 ，因此只要3 2t－at ＋1≥0 可得 a ≤，即 a ≤2t ＋tta ≤ 2t ＋1min ，当 t ＝2时， 2t ＋1获得最小值2 2，且此时 t ＝ 2∈ 1， 2 ，因此 a ≤2 2，故t2t2 3选 A.答案： A3．运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶130 千米，按交通法例限制50≤x ≤ 100(单位：千米 /小时 )．假定汽油的价钱是每升2x 2元，而汽车每小时耗油2＋ 360 升，司机的薪资是每小时 14 元．(1)求此次行车总花费 y 对于 x 的表达式；(2)当 x 为什么值时，此次行车的总花费最低，并求出最低花费的值． 分析：(1) 设所用时间为 t ＝130x (h)，130x 2130y ＝ x ×2×2＋ 360 ＋ 14× x ， x ∈ [50,100] ． 因此，此次行车总花费y 对于 x 的表达式是130 ×18 ＋ 2×130y ＝x 360 x ， x ∈ [50,100] ．2 340 13或 y ＝ x ＋ 18x ， x ∈ [50 ， 100] .130 ×18 2×130(2)由 (1) 知 y ＝x＋ 360 x ≥26 10，当且仅当 130 ×18＝ 2×13010时，等号建立．x360 x，即 x＝ 18故当 x＝18 10千米 /小不时，此次行车的总花费最低，最低花费的值为26 10元．4．(2017 ·津卷天)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次以下表所示：连续剧播放时长 (分钟 )广告播放时长 (分钟 )收视人次 (万 )甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600 分钟，广告的总播放时间许多于 30 分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的 2 倍．分别用 x，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．(1)用 x， y 列出知足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面地区；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？70x＋60y≤600，5x＋5y≥30，解析：(1) 由已知， x ， y满足的数学关系式为x≤2y，即x≥0，y≥0，7x＋ 6y≤60，x＋ y≥6，x－ 2y≤0，x≥0，y≥0，该二元一次不等式组所表示的平面地区为图 1 中的暗影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z＝ 60x＋ 25y.考虑z＝60x＋ 25y，将它变形为y＝－ 12x＋ z ，这是斜率为－52512，随5z 变化的一族平行直线 . z 为直线在y 轴上的截距，当z 获得最大值时，z 的值最大．又由于x， y知足拘束条2525件，因此由图 2 可知，当直线z＝ 60x＋25y 经过可行域上的点M 时，截距 25z最大，即 z 最大．7x＋6y＝ 60，解方程组得点 M 的坐标为 (6,3)．x－ 2y＝ 0，因此，电视台每周播出甲连续剧 6 次、乙连续剧 3 次时才能使总收视人次最多．。
2023高考数学二轮复习专项训练《指数函数》(含解析)
2023高考数学二轮复习专项训练《指数函数》一 、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）某工厂2005年某种产品的年产量为a,，若该产品年增长率为x ，则2010年该厂这种产品的年产量为y ，那么x 与y 的函数关系式是( )A. y=10axB. y= 10x aC. y = a(1+10%)xD. y = a(1+x)52.（5分）把函数y =2x 的图象向右平移t 个单位长度，所得图象对应的函数解析式为y =2x 3，则t =( )A. 12B. log 23C. log 32D. √33.（5分）设a >0，b >0，化简(a 23b 13).(−a 12b 12)÷(13a 16b 56)的结果是( )A. −13a 23B. −3a 23C. −13aD. −3a4.（5分）某地为了保持水土资源，实行退耕还林，如果2013年退耕8万公顷，以后每年比上一年增加10%，那么2018年需退耕（ ）A. 8×1.14万公顷B. 8×1.15万公顷C. 8×1.16万公顷D. 8×1.13万公顷5.（5分）下列运算正确的是（ ）A. a2•a3=a6B. （x5）2=x7C. （-3c ）2=9c2D. （a-2b ）2=a2-2ab+4b26.（5分）给出下列结论，其中正确的序号是( )A. 当a <0时，(a 2)32=a 3 B. √a n n=|a|C. 函数y =(x −2)12−(3x −7)0的定义域是(2,+∞) D. √63=√64127.（5分）已知3x −3−y ⩾5−x −5y 成立，则下列正确的是( )A. x +y ⩽0B. x +y ⩾0C. x −y ⩾0D. x −y ⩽08.（5分）已知集合A ={ x |1<2x ⩽4}，B ={ x |x >1}，则A ∩B =( )A. { x |1⩽x <2}B. { x |1<x ⩽2}C. { x |0<x ⩽2}D. { x |0⩽x <2}9.（5分）三个数0.76，60.7，log 0.76的大小关系为( )A. log 0.76<0.76<60.7B. 0.76<60.7<log 0.76C. log 0.76<60.7<0.76D. 0.76<log 0.76<60.710.（5分）下列运算中，正确的是( )A. x 3⋅x 2=x 5B. x +x 2=x 3C. 2x 3÷x 2=xD. (x2)3=x 3211.（5分）化3√3√3√3为分数指数幂结果是( )A. 3 78B. 3 158C. 3 74D. 3 17812.（5分）下列判断正确的是( )A. 1.61.5>1.62B. 0.50.2>0.50.3C. 1.60.2<0.53.2D. log 20.5>log 32二 、填空题（本大题共6小题，共30分）13.（5分）log √22√2+log 23⋅log 34= ______ ，当a <0时，√a 2⋅3a 3⋅a −1= ______ ． 14.（5分）(279)0.5+0.1−2+(21027)3−π0=__________;lg √2+lg 3−lg √10lg 1.8=__________15.（5分）若√9a 2−6a +1=3a −1，则实数a 的取值范围是________. 16.（5分）若x ⋅log 32=1，则2x +2−x =________________.17.（5分）已知函数f(x)为R 上的奇函数且x <0时f(x)=(12)x −7，则不等式f(x)<1的解集为 ______ .18.（5分）解方程：52x −6×5x +5=0的解集为__________. 三 、解答题（本大题共6小题，共72分） 19.（12分）计算下列各式的结果： (1)lo g 53+lo g 5115+(lo g 3315).(lo g √2216)；(2)(6+2√5)12+8−23×(94)−12−(0.01)12−(√5−2)−1．20.（12分）计算下列各式的值：(1)log 4√8+≶50+≶2+5 log 53+(−9.8)0； (2)(2764) 23−(254)0.5+(0.008) −23×25．21.（12分）求值：(1)√49−(278)−13+(π−1)0；(2)4a 23b −13÷(−23a −13b −13)(a >0, b >0)．22.（12分）22-1.(1)√259−(827)13−(π+e )0+(14)−12； lg √10.(−lg 10)；23.（12分）求值与化简：(1)(179)12+(32)−1−√(√3−2)2； (2)2lg 6−lg 31+12lg 0.36+13lg 8+2log 24−log 29×log 32.24.（12分）已知函数y =f(x)的图象与g(x)=log a x(a >0，且a ≠1)的图象关于x 轴对称，且g(x)的图象过(4,2)点． (Ⅰ)求函数f(x)的解析式；(Ⅱ)若f(x −1)>f(5−x)，求x 的取值范围． 四 、多选题（本大题共6小题，共30分）25.（5分）已知实数a ，b 满足log 3a −log 3b <(13)a −(13)b ，则下列结论正确的是 ( )A. a<bB. 1a <1bC. 2a−b <1D. ln(b −a)>026.（5分）下列判断正确的有( )A. √(π−4)2=π−4B. 0∈{−1,0,2}C. cos 1°>sin π6D. y =(√x)2与y =x 是同一个函数27.（5分） 已知集合M ={(x,y)|y =f(x)}，若对于任意实数对(x 1,y 1)∈M ，存在(x 2,y 2)∈M ，使x 1x 2+y 1y 2=0成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是()A. M ={(x,y)|y =1x 2} B. M ={(x,y)|y =sinx +1} C. M ={(x,y)|y =2x −2} D. M ={(x,y)|y =log 2x}28.（5分）下列说法不正确的是( )A. 命题“∀x > 0，2x > 1”的否定为“∀x ⩽0，2x ⩽1”B. “xy > 0”是“x +y > 0”的充要条件C. “α=β”是“sinα=sinβ”成立的充分不必要条件D. 若“1 x 3”的必要不充分条件是“m−2 x m+2”，则实数m 的取值范围是[1,3] 29.（5分）已知x >0,y >0，lg 2x +lg 8y =lg 2，则1x +13y( )A. 有最小值4B. 有最小值−4C. 有最大值4D. 无最大值30.（5分）函数f （x ）是指数函数，则下列等式中正确的是（）A. f(x +y)=f(x)f(y)B. f(x −y)=f(x)f(y)C. f(xy )=f(x)−f(y) D. f(nx)=[f(x)]n (n ∈Q)答案和解析1.【答案】D;【解析】因为2005年年底的产量为a，年平均增长率为x，则2011年年底产量为a+ax=a（1+x），2010年年底的产量为a（1+x）+a（1+x）x=a（1+x）（1+x）=a（1+x）2，由此得出，从2005年年底开始，每一年年底的产量构成以a为首项，以1+x为公比的等比数列，以2005年年底的产量a为首项，则2010年年底的产量为a5所以，2011年年底的产量y=a（1+x）5．故选D。
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的概念和几何意义》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）直线y=x与曲线y=e x+m(m∈R,e为自然对数的底数)相切，则m=()A. 1B. 2C. −1D. −22.（5分）与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为()A. 2B. −5C. −1D. −23.（5分）曲线y=ax2在点P(1,a)处的切线平行于直线y=2x+1，则a=()A. 1B. 12C. −12D. −14.（5分）在曲线y=x3+x-2的切线中，与直线4x-y=1平行的切线方程是( )A. 4x-y=0B. 4x-y-4=0C. 2x-y-2=0D. 4x-y=0或4x-y-4=05.（5分）若函数f(x)=1x−3ax的图象在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直，则a= ()A. −1B. 1C. −712D. −536.（5分）函数f(x)=−x2+3ln x的图象在x=1处的切线倾斜角为α，则cos2α=()A. 13B. 12C. 23D. 347.（5分）已知函数y=3x在x=2处的自变量的增量为Δx=0.1，则Δy为( )A. -0.3B. 0.6C. -0.6D. 0.38.（5分）曲线在点(1,2)处的切线方程为A. B. C. D.9.（5分）曲线y=12x2−2x在点(1,−32)处的切线的倾斜角为()A. −135°B. 45°C. −45°D. 135°10.（5分）已知曲线C：x2−2x+y2+b=0，且曲线C上一点P(2,2)处的切线与直线ax−y+1=0垂直，则a=()A. 2B. 12C. −12D. −211.（5分）设f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0 ,0)处的切线方程为()A. y=xB. y=−xC. y=2xD. y=−2x12.（5分）物体运动方程为s=14t4−3，则t=5时的瞬时速率为()A. 5m/sB. 25m/sC. 125m/sD. 625m/s二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）曲线y=x+lnx−1往点(1,0)处的切线方程为______．14.（5分）已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>0，且f(f(x)−e x)=e+1，若f(x)⩾ax−a+1恒成立，则实数的取值范围是____________.15.（5分）如果质点A的位移s与时间t满足方程s=2t3，则在t=3时的瞬时速度为____．16.（5分）已知函数f(x)={1x,x∈(0,2]f(x−2),x∈(2,+∞)，则f(x)在x=3处的切线方程为______．17.（5分）若函数f(x)=−x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于−1，则Δx的取值范围是____________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=x2−2x−alnx+ax，a∈R.(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)设f(x)的极小值点为x0，且f(x0)<a−a24，求a的取值范围．19.（12分）已知函数f(x)=ln x−ax，其中a为非零常数．(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x=1处的切线斜率为−1，求f(x)的极值．20.（12分）已知函数f(x)=−x2+x图像上两点A(2,f(2))、B(2+Δx,f(2+Δx)).(1)若割线AB的斜率不大于−1，求Δx的范围；(2)用导数的定义求函数f(x)=−x2+x在x=2处的导数f′(2)，并求在点A处的切线方程．21.（12分）已知函数y=23x3−2x2+3，(1)求在点(1,53)处的切线方程，(2)求函数在[−1,3]的最值．22.（12分）已知函数f(x)=e x ln x−ae x(a∈R).(1)若f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线y=−e x+1平行，求a的值;(2)若f(x)在(0,+∞)上是单调函数，求实数a的取值范围.23.（12分）已知函数f(x)=ae x，g(x)=ln(ax)+52，a>0．(Ⅰ)若y=f(x)的图象在x=1处的切线过点(3,3)，求a的值并讨论ℎ(x)=xf(x)+m(x2+2x−1)(m∈R)在(0,+∞)上的单调增区间；(Ⅱ)定义：若直线l：y=kx+b与曲线C1：f1(x,y)=0、C2：f2(x,y)=0都相切，则我们称直线l为曲线C1、C2的公切线．若曲线y=f(x)与y=g(x)存在公切线，试求实数a的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）已知函数f(x)=√x−ln x，若f(x)在x=x1和x=x2(x1≠x2)处切线平行，则()A.√x1√x2=12B. x1x2<128C. x1+x2<32D. x12+x22>51225.（5分）函数f(x)的导函数为f′(x)，若已知f′(x)的图像如图，则下列说法不正确的是()A. f(x)存在极大值点B. f(x)在(0,+∞)单调递增C. f(x)一定有最小值D. 不等式f(x)<0一定有解26.（5分）关于函数f(x)=a ln x+2x，下列判断正确的是()A. 函数f(x)的图象在点x=1处的切线方程为(a−2)x−y−a+4=0B. x=2a是函数f(x)的一个极值点C. 当a=1时，f(x)⩾ln2+1D. 当a=−1时，不等式f(2x−1)−f(x)>0的解集为(12,1)27.（5分）已知函数f(x)=ax3+x2+axe x，则()A. 若曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线与x+5y=0相互垂直，则a=5B. 若a=0，则函数f(x)的单调递减区间为(−∞,0)∪(2,+∞)C. 若a=0，则函数f(x)有2个极值点D. 若关于x的不等式函数x2+1⩾f(x)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(−∞,e-12]28.（5分）函数f(x)={e x−1,x⩽1,ln(x−1),x>1,若函数g(x)=f(x)−x+a只有一个零点，则a的值可以为()A. 2B. −2C. 0D. 1答案和解析1.【答案】C;【解析】解：设切点为(x,y)，则x=y，∵y=e x+m，∴y′=e x+m∴e x+m=1，即x+m=0，又e x+m=x，∴e0=x，∴x=1，∴m=−1，故选：C.先求导函数，利用直线y=x与曲线y=e x+m相切，可知切线的斜率为1，即切点处的函数值为1，再利用切点处的函数值相等，即可求出a的值本题以直线与曲线相切为载体，考查了利用导数研究曲线上过某点切线方程的斜率，解答该题的关键是正确理解导数的几何意义．2.【答案】B;【解析】解：设切点坐标为P(x0,y0)，由曲线y=f(x)=x3−5x，得f′(x)=3x2−5，所以过原点的切线斜率为k=f′(x0)=3x02−5，所以切线方程为y−y0=(3x02−5)(x−x0)；又切线过原点O(0,0)，所以−x03+5x0=−3x03+5x0，解得x0=0，所以y0=0，则P(0,0)；所以与曲线y=x3−5x相切且过原点的直线的斜率为k=f′(0)=−5．故选：B．设切点为(x0,y0)，求出切线l的斜率为f′(x0)，写出切线l的方程，根据且线1过原点求出切点坐标和斜率．该题考查了导数的几何意义与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．3.【答案】A;【解析】解：y=ax2的导数为y′=2ax，可得曲线在点P(1,a)处的切线斜率为k=2a，由切线平行于直线y=2x+1，可得k=2，即2a=2，解得a=1，故选：A．求得y=ax2的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得a的方程，解方程可得a的值．该题考查导数的几何意义，考查两直线平行的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】D;【解析】曲线y=x 3+x-2求导可得y′=3x 2+1 设切点为(a ，b)则3a 2+1=4，解得a=1或a=-1 切点为(1，0)或(-1，-4)与直线4x-y-1=0平行且与曲线y=x 3+x-2相切的 直线方程是：4x-y-4=0和4x-y=0 故选D 。
2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》(含解析)
2023高考数学二轮复习专项训练《一次函数与二次函数》一 、单选题（本大题共12小题，共60分） 1.（5分）关于x 的不等式1x +4x a⩾4在区间[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. (0,43] B. (1,43] C. [1,43] D. [167,43] 2.（5分）若函数f(x)=x 2+2x +m ，x ∈R 的最小值为0，则实数m 的值是()A. 9B. 5C. 3D. 13.（5分）函数y=x2-2x ，x ∈[0，3]的值域为（ ）A. [0，3]B. [1，3]C. [-1，0]D. [-1，3]4.（5分）函数y =x 2−8x +2的增区间是()A. (−∞,−4]B. [−4,+∞)C. (−∞,4]D. [4,+∞)5.（5分）二次函数y =x 2−2x −3在x ∈[−1,2]上的最小值为( )A. 0B. −3C. −4D. −56.（5分）某工厂生产的A 种产品进入某商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70.x%1−x%元，预计年销售量减少x 万件，要使第二年商场在A 种产品经营中收取的管理费不少于万元，则x 的最大值是( )A. 2B. 6.5C. 8.8D. 107.（5分）函数y =−x 2+2x −3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为()A. 0，−2B. −2，−6C. −2，−3D. −3，−68.（5分） 函数f(x)=|x 2−3x +2|的单调递增区间是( )A. [1,32]和[2,+∞)B. [32,+∞)C. (−∞,1]和[32,2]D. (−∞,32]和[2,+∞)9.（5分）下列命题正确的是( )A. 命题“∃x ∈R ，使得2x <x 2”的否定是“∃x ∈R ，使得2x ⩾x 2”B. 若a >b ，c <0，则ca >cbC. 若函数f(x)=x 2−kx −8(k ∈R)在[1,4]上具有单调性，则k ⩽2D. “x >3”是“x 2−5x +6>0”的充分不必要条件10.（5分）已知函数y=b+a x2+2x(a,b是常数，且0<a<1)在区间[−32,0]上有最大值3，最小值52，则ab的值是()A. 1B. 2C. 3D. 411.（5分）已知f(x)=x2+2(a−2)x+5在区间[4,+∞)上是增函数，则实数a的范围是()A. (−∞,−2]B. [−2,+∞)C. [−6,+∞)D. (−∞,−6]12.（5分）函数f(x)=ln x+12x2−ax(x>0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是()A. (52,3] B. [52,103)C. (52,103] D. [2,103]二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.（5分）设b>0，二次函数y=ax2+bx+a2−1的图象为下列图象之一：则a的值为______．14.（5分）已知f(x)=m(x−2m)(x+m+3)，g(x)=2x−2，若对任意x∈R有f(x)<0或g(x)<0，则m的取值范围是____.15.（5分）函数y=x2+2ax+1在区间[2,+∞)上是增函数，那么实数a的取值范围是______ ．16.（5分）函数f(x)=log2(4−x2)的值域为__________________.17.（5分）若不等式−1<ax2+bx+c<1的解集为(−1,3)，则实数a的取值范围为_______.18.（5分）f(x)=x2−ax+3a−1在(3,+∞)上是增函数，实数a的范围是 ______ .三、解答题（本大题共6小题，共72分）19.（12分）求函数f（x）=x2+2ax+3在[-5，5]上的最大值和最小值．20.（12分）已知关于x的一元二次方程(m2−1)x2+(2m−1)x+1=0(m∈R)的两个实根是x1、x2.(1)求1x1+1x2的取值范围；(2)是否存在m，使得|x1−x2|=11−m2若存在，求m的值；若不存在，说明理由．21.（12分）已知函数f(x)=x2+bx+c，且f(1)=0．(1)若函数f(x)是偶函数，求f(x)的解析式；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)在区间[t,t+1]上的最小值．22.（12分）已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[-5，5]．（1）当a=-1时，求函数f（x）的最大值和最小值．（2）当a∈R时，求函数f（x）在区间[-5，5]上的最值．23.（12分）某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)={400x−12x2,0⩽x⩽400 80000,x>400，其中x是仪器的月产量．(总收益=总成本+利润．)(1)将利润表示为月产量的函数；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？24.（12分）平阳木偶戏又称傀偏戏、木头戏，是浙江省温州市的传统民间艺术之一.平阳木偶戏是以提线木偶为主，活跃于集镇乡村、广场庙会，演绎着古今生活百态.其表演形式独特，活泼多样，具有浓厚的地方色彩和很高的观赏性与研究价值.现有一位木偶制作传人想要把一块长为4dm(dm是分米符号)，宽为3dm的矩形木料沿一条直线MN切割成两部分来制作不同的木偶部位.若割痕MN(线段)将木料分为面积比为1:λ的两部分(含点A的部分面积不大于含点C的部分面积，M，N可以和矩形顶点重合)，有如下三种切割方式如图：①M点在线段AB上，N点在线段AD上;②M点在线段AB上，N点在线段DC上;③M点在线段AD上;N点在线段BC上.设AM=xdm，割痕MN(线段)的长度为ydm，(1)当λ=1时，请从以上三种方式中任意选择一种，写出割痕MN的取值范围(无需求解过程，若写出多种以第一个答案为准);(2)当λ=2时，判断以上三种方式中哪一种割痕MN的最大值较小，并说明理由.四、多选题（本大题共6小题，共30分）25.（5分）已知函数f(x)={ln(x+1),x⩾0x2−2ax+1,x<0，其中实数a∈R，则下列关于x的方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0的实数根的情况，说法正确的有()A. a取任意实数时，方程最多有5个根B. 当−1−√52<a<1+√52时，方程有2个根C. 当a=−1−√52时，方程有3个根D. 当a⩽−4时，方程有4个根26.（5分）若二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(2+x)=f(2-x)，则下列结论错误的是()A. b=cB. 2a+b=0C. 4a=-bD. a+b=027.（5分）已知函数f(x)=e2x-2e x-3，则()A. f(ln3)=0B. 函数f(x)的图象与x轴有两个交点C. 函数f(x)的最小值为-4D. 函数f(x)的单调增区间是[0,+∞)28.（5分）设a，b均为正数，且2a+b=1，则下列结论正确的是()A. ab有最大值18B. √2a+√b有最小值√2C. a2+b2有最小值15D. a−12a−1−4bb有最大值1229.（5分）已知函数f(x)=x，g(x)=√x，则下列说法正确的是()A. 函数y=1f(x)+g(x)在(0,+∞)上单调递增B. 函数y=1f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减C. 函数y=f(x)+g(x)的最小值为0D. 函数y=f(x)−g(x)的最小值为−1430.（5分）已知f(x)是定义域为R的奇函数，x>0时，f(x)=x(1−x)，若关于x的方程f[f(x)]=a有5个不相等的实数根，则实数a的可能取值是()A. 132B. 116C. 18D. 14答案和解析1.【答案】A;【解析】由1x +4xa⩾4，分离变量a得1a⩾−14(1x−2)2+1，由x∈[1,2]求得1x∈[12,1]，则−14(1x−2)2+1∈[716,3 4 ].∴1a ⩾34，由此求得实数a的取值范围．该题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，属于中档题．解：由1x +4xa⩾4，得4xa⩾4−1x=4x−1x，即1a⩾4x−14x2=−14(1x)2+1x=−14(1x−2)2+1，∵x∈[1,2]，∴1x ∈[12,1]，则−14(1x−2)2+1∈[716,34].∴1a ⩾34，则0<a⩽43．∴实数a的取值范围为(0,43].故选：A．2.【答案】D;【解析】解：由题知y=(x+1)2+m−1，易知当x=−1时，f(x)min=m−1=0，故m=1即为所求．故选：D.将二次函数配方，易求得最小值，据此求解．此题主要考查利用配方法求二次函数的最值．3.【答案】D;【解析】解：∵函数y=x2-2x=（x-1）2-1，x∈[0，3]，∴当x=1时，函数y取得最小值为-1，当x=3时，函数取得最大值为 3，故函数的值域为[-1，3]，故选D．4.【答案】D;【解析】解：函数y=x2−8x+2=(x−4)2−14，对称轴为x=4，则函数的增区间为[4,+∞).故选：D.求出二次函数的对称轴，结合二次函数的图象和性质，即可得到所求增区间．此题主要考查二次函数的单调区间的求法，注意结合二次函数的对称轴，属于基础题．5.【答案】C;【解析】此题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，属于基础题.解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，x∈[−1,2]，∴x=1时，函数取得最小值为−4.故选C.6.【答案】D;【解析】由已知有，第二年的年销售收入为(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)万元，商场对该商品征收1％20−％20x%％20的管理费记为y，y％20=％20(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)x%％20(x％20％3E％200)1％20−％20x%％20，则y⩾14，所以(％2070％20+％2070x%％20％20)(11.8％20−％20x)x%％20％20⩾％2014，1％20−％20x%％20化简得x2−12x+20⩽0，所以2⩽x⩽10，故x得最大值为10，选D.7.【答案】B;【解析】此题主要考查二次函数的最值的求法，属于简单题.解：函数y=−x2+2x−3的开口向下，对称轴为x=1，结合图象可得当x=3是y有最小值−6，当x=1时，y有最大值−2，所以本题选B.8.【答案】A; 【解析】此题主要考查函数的单调性和函数的单调区间，考查函数图象的应用，考查数形结合思想，属于基础题.由题函数f(x)=|x 2−3x +2|={x 2−3x +2,x ⩽1或x ⩾2−(x 2−3x +2),1<x <2，利用数形结合即可得到答案.解：由题可知函数f(x)=|x 2−3x +2|， 等价于f(x)={x 2−3x +2,x ⩽1或x ⩾2−(x 2−3x +2),1<x <2，画图可得如下图所示：∴函数的单调递增区间是[1,32]和[2,+∞) ，故选A.9.【答案】D;【解析】解：对于A ，命题“∃x ∈R ，使得2x <x 2”的否定是“∀x ∈R ，使得2x ⩾x 2”，故A 错误；对于B ，由条件知，比如a =2，b =−3，c =−1，则ca=−12<cb=13，故B 错误；对于C ，若函数f(x)=x 2−kx −8(k ∈R)在[1,4]上具有单调性，则k 2⩽1或k2⩾4，故k ⩽2或k ⩾8，故C 错误；对于D ，x 2−5x +6>0的解集为{ x |x <2或x >3}，故“x >3”是“x 2−5x +6>0”的充分不必要条件，正确． 故选：D.A 由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B 由条件，注意举反例，即可判断；C 由二次函数的图象，即可判断；D 先求出不等式x 2−5x +6>0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断． 此题主要考查函数的单调性，充分必要条件的判断、命题的否定、不等式的性质，属于基础题．10.【答案】A;【解析】复合指数函数，当0<a<1时，整体指数为减函数，指数部分为二次函数，根据复合函数同增异减原则，对该区间内进行分块讨论，从而得到最值点−1，0本题着重考察求复合函数最值问题，通常利用图象法法讨论函数单调性的最值问题．解：A.令u=x2+2x=(x+1)2−1，当0<a<1时，整体指数为减函数，则借助二次函数图象，再由复合函数同增异减原则，在已知区间内，x=0取得最大值，x=−1取得最小值时．即{b+a−1=3b+a0=52，解得{a=23b=32，有ab=1．故选：A．11.【答案】B;【解析】解：∵函数f(x)=x2+2(a−2)x+5的图象是开口方向朝上，以x=2−a为对称轴的抛物线若函数f(x)=x2+2(a−2)x+5在区间[4,+∞)上是增函数，则2−a⩽4，解得a⩾−2．故答案为：B．由函数f(x)=x2+2(a−2)x+5的解析式，根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以x=2−a为对称轴的抛物线，此时在对称轴右侧的区间为函数的递增区间，由此可构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．该题考查的知识点是函数单调性的性质，及二次函数的性质，其中根据已知中函数的解析式，分析出函数的图象形状，进而分析函数的性质，是解答此类问题最常用的办法．12.【答案】C;【解析】此题主要考查导数与二次方程根的分布，考查学生分析能力及运算能力，属于中档题. 对f(x)求导，问题转化为f′(x)=0在区间[12,3]上有且只有一解，根据二次方程根的分布建立不等式即解.解：f ′(x )=1x +x −a =x 2−ax +1x，x >0，令g(x)=x 2−ax +1，函数f (x )=ln x +12x 2−ax (x >0)在区间[12,3]上有且仅有一个极值点， 所以g (12).g (3)⩽0，即(14−12a +1)(9−3a +1)⩽0，且Δ≠0； 解得52⩽a ⩽103.当a =52时，令g(x)=x 2−52x +1=0，解得x 1=12，x 2=2，此时f (x )在(0,12]上单调递增，在[12,2]上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，故f (x )在x =2处取得极小值，在x =12处取得极大值.不符合题意； 当a =103时，令g(x)=x 2−103x +1=0，解得x 1=13，x 2=3，此时f (x )在(0,13]上单调递增，在[13,3]上单调递减，在(3,+∞)上单调递增， 故f (x )在x =3处取得极小值，在x =13处取得极大值. 此时f (x )在区间[12,3]上有且仅有一个极值点，符合题意； 故选C.13.【答案】-1;【解析】解：若a >0，即图象开口向上，∵b >0，∴对称轴x =−b 2a<0，故排除第2和4两图，若a <0，即图象开口向下，∵b >0∴对称轴x =−b2a >0，故函数图象为第3个图， 由图知函数过点(0,0)，∴a 2−1=0， ∴a =−1 故答案为−1先根据二次函数的开口方向和对称轴的位置，选择函数的正确图象，再根据图象性质计算a 值即可该题考查了二次函数的图象和性质，排除法解图象选择题14.【答案】(−4,0); 【解析】此题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．解：∵g(x)=2x −2，当x ⩾1时，g(x)⩾0， 又∵∀x ∈R ，f(x)<0或g(x)<0，∴此时f(x)=m(x −2m )(x +m +3)<0在x ⩾1时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面，则{m<0−m−3<12m<1，∴−4<m<0故答案为(−4,0).15.【答案】[-2，+∞）;【解析】解：函数y=x2+2ax+1的对称轴为：x=−a，函数y=x2+2ax+1在区间[2,+∞)上是增函数，可得−a⩽2，解得a⩾−2，即a∈[−2,+∞)．故答案为：[−2,+∞)．求出二次函数的对称轴，结合函数的单调性，写出不等式求解即可．该题考查二次函数的简单性质的应用，是基础题．16.【答案】(−∞,2];【解析】此题主要考查了复合函数，先求出定义域，再根据复合函数的值域，属基础题. 解：由4−x2>0，得−2<x<2，即函数f(x)的定义域为(−2,2)，且0<4−x2⩽4，所以，f(x)⩽log24=2，即函数f(x)的值域为(−∞,2].故答案为(−∞,2].17.【答案】(−12,12);【解析】此题主要考查一元二次不等式得解法，考查二次函数的性质，是中档题. 分a=0，a>0和a<0三类讨论，结合二次函数的性质求解即可.解：当a=0时，b≠0，不等式的解集(−1,3)，适当选取b，c可以满足题意.当a>0时，不等式−1<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向上，所以x=−1时，a−b+c=1，x=3时，9a+3b+c=1，最小值为x=1时，a+b+c>−1，联立解这个不等式组得：a<12，所以0<a<12;当a<0时，不等式−1<ax2+bx+c<1对应的二次函数的对称轴为x=1，开口向下，所以x=−1时，a−b+c=−1，x=3时，9a+3b+c=−1，最大值为x=1时，a+b+c<1，联立解这个不等式组得：a>−12，所以−12<a<0;综上所述得−12<a<12.所以实数a的取值范围为(−12,12).故答案为(−12,12).18.【答案】（-∞，6]; 【解析】解：由题意得：对称轴x=−−a2=a2，∴a2⩽3，∴a⩽6；故答案为：(−∞,6].由已知得，函数图象开口向上，由题意读出对称轴x=a2⩽3，解出即可．本题考察了二次函数的对称轴，单调性，是一道基础题．19.【答案】解：∵函数f（x）=x2+2ax+3=（x+a）2+3-a2的对称轴为x=-a，①当-a＜-5，即a＞5时，函数y在[-5，5]上是增函数，故当x=-5时，函数y取得最小值为28-10a；当x=5时，函数y取得最大值为28+10a．②当-5≤-a＜0，即0＜a≤5时，x=-a时，函数y取得最小值为3-a2；当x=5时，函数y取得最大值为28+10a．③当0≤-a≤5，即-5≤a≤0时，x=-a时，函数y取得最小值为3-a2；当x=-5时，函数y取得最大值为28-10a．④当-a＞5，即a＜-5时，函数y在[-5，5]上是减函数，故当x=-5时，函数y 取得最大值为28-10a ； 当x=5时，函数y 取得最小值为28+10a ．;【解析】由于二次函数的对称轴为x=-a ，分①当-a ＜-5、②当-5≤-a ＜0、③当0≤-a≤5、④当-a ＞5四种情况，分别利用二次函数的性质求得函数的最值．20.【答案】解：（1）由题意知，Δ=（2m−1）2−4（m 2−1） =4m 2−4m+1−4m 2+4 =5−4m ⩾0， ∴m ⩽54， ∵m 2−1≠0， ∴m≠±1，∴m 的取值范围是(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]，由题意x 1+x 2=1−2m m 2−1，x 1x 2=1m 2−1 ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=1−2m ，又m ∈(−∞，−1)∪(−1，1)∪(1，54]， ∴2m ∈(−∞，−2)∪(−2，2)∪(2，52]，∴1−2m ∈[−32，−1)∪(−1，3)∪(3，+∞)，所以1x 1+1x 2的取值范围是[-32，−1）∪（-1，3）∪（3，+∞）．（2）(x 1−x 2)2=(x 2+x 2)2−4x 1x 2 =(1−2m )2(m 2−1)2−4m 2−1=5−4m (m 2−1)2，∴|x 1−x 2|=√5−4m |m 2−1|， 若|x 1−x 2|=−1m 2−1， 则m 2−1＜0， 即m ∈（−1，1）， ∴5−4m=1，即m=1∉（−1，1）， 故不存在．; 【解析】(1)由一元二次方程有两个根，则Δ>0，求出m 的范围，再利用韦达定理求解即可， (2)由(1)中结论，对所求式子进行变形，再求解．此题主要考查一元二次方程及韦达定理求参数的范围，属于中档题．21.【答案】解：（1）由f （1）=0，得：1+b+c=0， 由f （x ）是偶函数，得：b=0 ∴c=-1，因此f （x ）=x 2-1，（2）当t+1＜0，即t ＜-1时，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上为减函数， 当x=t+1时，取最小值t 2+2t ，当t≤0≤t+1，即-1≤t≤0时，函数f （x ）在区间[t ，0]上为减函数，在[0，t+1]上是增函数 当x=0时，取最小值-1，当t ＞0时，函数f （x ）在区间[t ，t+1]上为增函数， 当x=t 时，取最小值t 2-1; 【解析】(1)利用函数的奇偶性，求出b ，利用f(1)=0求出c ， (2)分类讨论区间[t,t +1]与对称轴的关系，可得答案．该题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．22.【答案】解：（1）当a=-1时，f （x ）=x 2-2x+2=（x-1）2+1，对称轴x=1， 在[-5，5]上，最大值为f （-5）=37，最小值为f （1）=1； （2）函数f （x ）的对称轴是：x=-a ， ①当-a≤-5，即a≥5时，f （x ）在[-5，5]递增，f （x ）最小值=f （-5）=-10a+27，f （x ）最大值=f （5）=10a+27； ②当-5＜-a≤0，即0≤a ＜5时，f （x ）在[-5，-a ）递减，在（-a ，5]递增，f （x ）最小值=f （-a ）=-a 2+2，f （x ）最大值=f （5）=10a+27； ③当0＜-a≤5，即-5≤a ＜0时，f （x ）在[-5，-a ）递减，在（-a ，5]递增，f （x ）最小值=f （-a ）=-a 2+2，f （x ）最大值=f （-5）=-10a+27； ④-a≥5，即a≤-5时，f （x ）在[-5，5]递减，f （x ）最小值=f （5）=10a+27，f （x ）最大值=f （-5）=-10a+27．;【解析】（1）直接将a=-1代入函数解析式，求出最大最小值，（2）先求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的位置，得到函数的单调性，从而求出函数的最值．23.【答案】解：(1)设月产量为x 台，则总成本为20000+100x ， 从而利润f(x)={−12x 2+300x −20000,0⩽x ⩽40060000−100x ,x >400.(2)当0⩽x ⩽400时，f(x)=−12(x −300)2+25000， 所以当x =300时，有最大值25000；当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，所以f(x)<60000−100×400<25000． 所以当x =300时，有最大值25000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25000元．;【解析】该题考查了一次函数与二次函数的单调性、函数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)设月产量为x 台，则总成本为20000+100x ，即可得出利润f(x)．(2)当0⩽x ⩽400时，f(x)=−12(x −300)2+25000，利用二次函数的单调性即可最大值．当x >400时，f(x)=60000−100x 是减函数，利用一次函数的单调性即可得出最大值．24.【答案】解：(1)选①y =5， 选②y ∈[3,5]， 选③y ∈[4,5]， (2)选①令AN =z ，则S =12xz =4，z =8x，y =√x 2+z 2=√x 2+64x 2，∵{0<x ⩽40<z ⩽3z =8x∴83⩽x ⩽4，∴x ∈[83,2√2]时，y =f(x)为减函数，∴x ∈[2√2,4]时，y =f(x)为增函数， 当x =83时，y =√1453，当x =4时，y =2√5，∴y max =2√5;选②令DN =z ，则S =12(x +z)×3=4，z =83−x ，y =√(x −z)2+9=√(2x −83)2+9，∵{0<x ⩽40⩽z ⩽4,∴0⩽x ⩽83,z =83−x∴x ∈[0,43]时，y =f(x)为减函数，∴x ∈[43,83]时，y =f(x)为增函数， 当∴x =0或x =83时，y max =√1453; 选③令BN =z ，则S =12(x +z)×4=4，z =2−x ，y =√(x −z)2+16=2√(x −1)2+4，∵{0⩽x⩽30⩽z⩽3,∴0⩽x⩽2z=2−x∴x∈[0,1]时，y=f(x)为减函数，∴x∈[1,2]时，y=f(x)为增函数，当∴x=0或x=2时，y max=2√5，综上所述，方式②割痕MN的最大值较小，值为√1453.;【解析】此题主要考查了函数最值的综合应用，属于中档题.25.【答案】CD;【解析】此题主要考查分段函数，二次函数及对数函数的性质，函数图象的应用，函数与方程的综合应用，属难题.求解方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0，可得f(x)=1或f(x)=a，即可得原方程的实数根的个数，即为f(x)=1和f(x)=a的根的个数之和.分别对0⩽a⩽1，a>1，−1−√52<a<0，a=−1−√52和a<−1−√52时讨论画图即可判定.解：对于方程f2(x)−(1+a)⋅f(x)+a=0，解得f(x)=1或f(x)=a.所以原方程的实数根的个数，即为f(x)=1和f(x)=a的根的个数之和.对于函数f(x)={ln(x+1),x⩾0x2−2ax+1,x<0，若a⩾0，当x∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，且f(x)⩾0，当x∈(−∞,0)时，f(x)单调递减，且f(x)>1.如图：，由f(x)=1可得x=e−1，方程有1个根；又由f(x)=a可得，当0⩽a⩽1时，方程有1个根；当a>1时，方程有2个根.所以当0⩽a⩽1时，原方程共有2个根；当a>1时，原方程共有3个根.若a<0，当x∈[0,+∞)时，f(x)单调递增，且f(x)⩾0，当x∈(−∞,0)时，f(x)在(−∞,a)单调递减，在(a,0)单调递增，且f(x)⩾1−a2.又由{1−a2=aa<0，可得a=−1−√52.所以当−1−√52<a<0时，1−a2>a，如图：，由f (x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程无解.所以此时原方程有2个根；当a=−1−√52时，1−a2=a，如图：，由f(x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程有1个根.所以此时原方程有3个根；当a<−1−√52时，1−a2<a，如图：，由f(x)=1可得，方程有2个根；又由f(x)=a可得，方程有2个根.所以此时原方程有4个根；综上所述，当0⩽a⩽1或−1−√52<a<0时，原方程有2个根；当a>1或a=−1−√52时，原方程有3个根；当a<−1−√52时，原方程有4个根.对于A，对于a∈R，方程最多有4个根，故A错误；对于B，当1<a<1+√52时，方程有3个根，故B错误；对于C，当a=−1−√52时，方程有3个根，故C正确；对于D，当a<−1−√52时，方程有4个根，所以a⩽−4时，方程有4个根成立，故D正确. 故选：CD.26.【答案】ABD;【解析】【解析】此题主要考查二次函数性质，属于基础题.由f(2+x)=f(2−x)可知对称轴x=2，即−b2a=2，即可得到答案.解：由f(2+x)=f(2−x)可知对称轴x =2，即−b 2a=2，得4a =−b ，只有C 正确.故选A 、B 、D.27.【答案】ACD; 【解析】此题主要考查了函数定义域与值域，二次函数的最值，复合函数的单调性以及函数零点与方程根的关系，属于基础题．A 选项，将x =ln 3代入f(x)求解即可；B 选项，令f(x)=0，根据方程根的个数判断f(x)的图象与x 轴有几个交点；C 选项，求二次函数f(x)=(e x -1)2-4的最值即可；D 选项，利用复合函数的单调性判断即可．解：A 选项，f(ln 3)=e 2ln 3-2e ln 3-3=9-6-3=0，正确；B 选项，令f(x)=0，得(e x -3)(e x +1)=0，得e x =3或e x =-1(舍)，所以x =ln 3， 即函数f(x)的图象与x 轴只有1个交点，错误；C 选项，f(x)=(e x -1)2-4，当e x =1，即x =0时，f(x)min =-4，正确；D 选项，因为函数y =e x 在[0,+∞)上单调递增且值域为[1,+∞),函数y =x 2-2x -3在[1,+∞)上单调递增，所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，正确． 故选ACD .28.【答案】ACD; 【解析】此题主要考查基本不等式的应用和函数的最值，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解答该题的关键，属于中档题.利用基本不等式分别判断选项A ，B ，D 的对错，对于C ，由b =1−2a ，且0<a <12，转化为关于a 的二次函数，由函数的性质可得最值，可判断对错.解：∵正实数a ，b 满足2a +b =1，由基本不等式可得2a +b =1⩾2√2ab ， ∴ab ⩽18，当2a =b =12时等号成立，故ab 有最大值18，故A 正确； 由于(√2a +√b)2=2a +b +2√2ab =1+2√2ab ⩽2 ， ∴√2a +√b ⩽√2，当且仅当2a =b =12时等号成立， 故√2a +√b 有最大值为√2，故B 错误；由a ，b 均为正数，且2a +b =1，则b =1−2a ，且0<a <12，则a 2+b 2=a 2+(1−2a )2=5a 2−4a +1，当a =25∈(0,12)时，a 2+b 2有最小值15，故C 正确； b2a+2a b⩾2√b 2a =2,当且仅当2a =b =12时等号成立，a−12a −1−4b b=−a−b 2a −2a −3b b=52−b 2a−2a b⩽52−2=12,当且仅当b2a =2ab 时等号成立， 所以a−12a−1−4b b有最大值12，故D 正确，故选ACD .29.【答案】BCD; 【解析】此题主要考查函数的单调性、最值，属中档题.对于A ，求x =12和x =1时的函数值，即可判断不为单调递增，对于BC ，根据常见函数的单调性即可判断组合函数单调性、最值，对于D ，利用配方法求最值即可得解. 解：对于A:函数y =1f(x)+g(x)=1x+√x ，当x =12时，y =2+√22，当x =1时， y =2，所以函数y =1f(x)+g(x)在(0,+∞)上不单调递增，A 错误. 对于B:函数y =1f(x)−g(x)=1x −√x ，因为函数y =1x 和函数y =−√x 在(0,+∞)上单调递减， 所以y =1f(x)−g(x)在(0,+∞)上单调递减，B 正确.对于C:因为函数y =f(x)+g(x)=x +√x 在[0,+∞)上单调递增， 且当x =0时，y =0，所以y =f(x)+g(x)的最小值为0，C 正确. 对于D:函数y =f(x)−g(x)=x −√x =(√x −12)2−14，当√x =12时，函数y =f(x)−g(x)取得最小值，且最小值为−14，D 正确. 故选BCD.30.【答案】ABC; 【解析】根据函数的奇偶性，由已知区间的解析式，画出函数图象，令f(x)=t ，分别讨论a >14，a =14，316⩽a <14，0⩽a <316，四种情况，得出0⩽a <316满足题意，再根据对称性，得a <0时，−316<a <0满足题意，最后结合选项，即可得出结果．此题主要考查数形结合解决函数的零点个数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．解：因为f(x)是定义域为R 的奇函数，x >0时，f(x)=x(1−x)=−(x −12)2+14⩽14，且f(12)=14，画出函数f(x)的图象如下：令f(x)=t ，f(14)=316，当a >14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有一个交点，且t <−1， 由图象可得f(x)=t 只有一个根，不满足题意，当a =14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有两个不同交点，交点的横坐标分别记作t 1，t 2，则t 1<−1，t 2=12， 则f(x)=t 1与f(x)=t 2共有两个根，不满足题意，当316⩽a <14时，由图象可得y =a 与y =f(t)有三个不同的交点， 记作t 1，t 2，t 3，不妨令t 1<t 2<t 3， 由图象可得，t 1<−1<14⩽t 2<12<t 3<1，则f(x)=t 1与f(x)=t 3各有一个根，而f(x)=t 2有一个或两个根，共三个或四个根，不满足题意，当0⩽a <316时，由图象可得y =a 与y =f(t)有三个不同的交点， 记作t 1，t 2，t 3，不妨令t 1<t 2<t 3，由图象可得，t 1⩽−1<0⩽t 2<14<12<t 3⩽1，则f(x)=t 1与f(x)=t 3以及f(x)=t 2共有5个根，满足题意，根据函数图象的对称性，当a <0时，为使关于x 的方程f[f(x)]=a 有5个不相等的实数根，只需要−316<a <0，综上，满足条件的a 的取值范围是(−316,316). 故选：ABC .。
文科数学专题函数的应用(学案)高考二轮复习资料含答案
专题03函数的应用(讲学案)求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理•增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力.1函数的零点与方程的根(1) 函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)= 0的实数x叫做函数f(x)的零点.(2) 函数的零点与方程根的关系函数F(x) = f(x) —g(x)的零点就是方程f(x)= g(x)的根，即函数y = f(x)的图象与函数y = g(x)的图象交点的横坐标.(3) 零点存在性定理如果函数y= f(x)在区间［a, b］上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a) • f(b)<0，那么，函数y=f (x)在区间(a, b)内有零点，即存在c€(a, b)使得f(c) = 0,这个c也就是方程f(x) = 0的根.注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.(4) 二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解.2. 应用函数模型解决实际问题的一般程序读题建模求解反馈文字语言? 数学语言? 数学应用? 检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.3. 在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x),g(x)，即把方程写成f(x) = g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系考点一函数的零点判断x1例1、⑴函数f(x) = e x+ 2X-2的零点所在的区间是()A. 0, 1B. 1, 1C. (1,2) D . (2,3)「log i x, x>0,(2)已知偶函数y = f (x), x € R满足:f(x) = x2- 3x(x》0)，若函数g(x) = 1 则y=f (x)I-X，x<0，—g(x)的零点个数为()A. 1 B . 3 C . 2 D . 4【答案】(1)B (2)B【解析】⑴"閃=己十》(b・"瑚E K上单调递増，又盘二证-謂—殳①夬1)二叶|>0零点在区间G，J上.(2游出函数用>与群0的图象如图所示，易知两个国数图象有3个不同的交点，所以函数y二用)-gW 有扌个零点'故选E【方法技巧】函数零点的求法(1) 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理•当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断.(2) 已知函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转化为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解.(3) 对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.【变式探究】设f(x)= In x + x—2,则函数f(x)的零点所在的区间为()A. (0,1) B . (1,2) C . (2,3) D . (3,4)【解析】选 B 法一：T f(1) = In 1 + 1 —2=—1<0,f(2) = In 2>0 ,••• f(1) • f(2)<0 ,•••函数f (x) = In x+ x —2的图象是连续的，•••函数f (x )的零点所在的区间是(1,2) 法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x ) = In x ,h ( x ) =- x + 2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知 f (x )的零点所在的区间为(1,2).考点二、二次函数的零点2例 2、已知函数 f (x ) = x + ax + 2, a € R(1)若不等式f (x ) <0的解集为［1,2］，求不等式f (x ) > 1-x 2的解集；⑵ 若函数g (x ) = f (x ) + x + 1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.【解析】⑴因为不等式金述0的解集为［1刀，所以Q —矢于罡用)=£—女乜由X 归F 得舁— ％】—珀2,解得磐或立】，所以不等式金阁—0的解集为"寺戎°I 护_24冷「a + 5>0, 2a +11>0, —8<a < - 4,a <- 2 6或a >2 6,所以实数a 的取值范围是(一5, - 2 6). 【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式； (2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.【变式探究】已知f (x ) = x 2 + (a 2- 1)x + (a -2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围.2 2解：设方程 x + (a -1) x + ( a - 2) = 0 的两根分别为 X 1, X 2(X 1<X 2)，则(x — 1)(X 2— 1)<0 ,即卩 X 1X 2—(X 1 +X 2)+ 1<0,由根与系数的关系，得 (a — 2) + (a 2- 1) + 1<0,2即 a + a — 2<0,.. — 2<a <1. 故实数a 的取值范围为(一2,1). 考点三、函数的实际应用数炎尸X+QC+ $在区间(切上有两个不同的零点,则S解得—5<a <-2 6.例3、【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入 .若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资 金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：Ig1.12=0.05 , Ig1.3=0.11, Ig2=0.30）（A ）2018 年 （B ） 2019 年 （C ）2020 年 （D ）2021 年 【答案】B【解析】设从2015年开始第算年该公司全年投入的研炭资金开始超过加0万元》由已知得130x （1+ 12%）^ >200 二 1一12门〉誥，两边取常用对数得（川-1血1 1221吕誥..，科一12吨:［丫；3=°卷口二3&…用乏厂故从2019年开始，i 亥公司全年投入的研发资金开始超过200万元,故选B.【方法技巧】解决函数实际应用题的两个关键点（1）认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问 题归纳为相应的数学问题.（2）要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中 的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.【变式探究】某汽车销售公司在 A , B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润（单位：万元）为y 1= 4.1 x — 0.1 x 2,在B 地的销售利润（单位：万元）为y 2= 2x ，其中x 为销售量（单位：辆），若该公司在两 地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是（ ）A. 10.5万元B . 11万元 C. 43万元 D . 43.025万元【解析】选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车（16 — x ）辆，所以可 x € N,所以当x = 10或11时，总利润取得最大值 43万元.【举一反三】（2016 •四川卷）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg 1.12 〜0.05，lg 1.3 〜0.11，lg 2 〜0.30） A. 2018 年 B . 2019 年 C. 2020 年 D . 2021 年 【答案】B2 2得利润 y = 4.1 x — 0.1 x + 2(16 — x ) =— 0.1 x + 2.1 x + 32=— 0.1 21 2x —+ 0.1 X214 2-+ 32.因为 x € [0,16]且【解析】建立不爭式求解.设2015年后的第矗年，该公司全年投入的研发资金幵始超过200万元，由好0(1+12%户吃0仍得1-1肚磊两边取对数，得丛釜警邛等严=苓二厨…：从如9年开始，该公司全年投入的 研发资金幵始超过2如万元*1.【2017北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物(A ) 1033(B ) 1053(C ) 1073 (D) 1093【答案】D质的原子总数N 约为1080-则下列各数中与M最接近的是(参考数据：Ig3〜0.48 )【解析】设3361*声，两边取对数,3613361g x=© 乔二 s-Ig10 80=361 Ig3 -80 =93.28 ,所以x = 1093.28，即M最接近1093，故选D. N2.【2017江苏,14】设f(x)是定义在R且周期为1的函数，在区间2I x D[0,1)上，f(x)二, ,其中集[x, x更D,【答案】8【解析】由于,n・N*，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是—▲f x • 0,1，则需考虑1 <x <10的情况,在此范围内，x Q且x D时，设x=q,p,q・N ,p_2，且p,q互质，Pn *若lgx • Q ,则由Igx 三［0,1，可设lgx ,m, n ・N,m_2，且m,n 互质，m因此10m= q，则10n i q，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx「一Q ,因此不可能与每个周期内血D 对应的部分相等, 只需考虑炉与每个周期ND 的咅吩的交鼠画出函数團象，團中交点除外(1,0)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xfP 的部分, 且尤=1处(Igx)" =1= —^― < I ,则在X = I 附近仅有一个交点*JOD IO L G IO因此方程/(x)-lgx = Q 的解的个数为S.2f(a -1) f(2a ) w 0,则实数a 的取值范围是▲1【答案】[-1,—]21【解析】因为f -x = -x 3 • 2x •飞-e x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，e因为 f'x =3x 2 -2 e x e 」_3x 2-2 2.e x e "0，所以数f x 在R 上单调递增, 又 f a -1f 2a 2 < 0，即 f 2a 2 乞 f 1 -a ，所以 2a 2 乞 1 一a ，即 2a 2 a -1 乞 0，1_1 1 解得-1乞a ，故实数a 的取值范围为-1, • 21 2」1. 【2016高考山东文数】若函数 y = f (X )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相 垂直，则称y = f(x)具有T 性质.下列函数中具有 T 性质的是()(A ) y =sinx ( B ) y=lnx(C ) y =e x( D ) y =x 3【答案】A【解析】当y 二si nx 时，y = cosx , cos0 cos 二--1，所以在函数y 二si nx 图象存在两点使条件成 立，故A 正确；函数y=|nx,y =e x , y=x 3的导数值均非负，不符合题意，故选A._ 32. 【2016高考山东文数】已知函数 f( x )的定义域为R.当x v 0时，f( x )=x -1 ;当-1 w x w 1时，f(- x )=1 1 1—f( x );当 x >—时，f(x + —)=f(x ——)•则 f(6)=()222e若(A ) -2 (D ) 2【答案】D【解析】当兀时'=所以当时，函数才(对是周期为1的周期函数，Jafj£tJL茎所以/(6) = /(I),又因为当一 1M G 时*(一力二-/(x),所以/(I) = -/(-1) = -［(-1)3-1］ = 2 , 故选D-3.【2016高考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：Ig1.12=0.05 , Ig1.3=0.11, Ig2=0.30)(A)2018 年 (B) 2019 年 (C)2020 年 (D)2021 年 【答案】B【解析】设从2015年开始第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元，由已知得130 汇(1 +12% 汀>200; 1.12心》200130 '两边取常用对数得(n- 1)lg1.12 _lg 空，.n-1 _© 2 _ lg1.3=空 竺二3.8,. n_5，故从130Ig1.12 0.052019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.X20. 【2016高考北京文数】函数 f(x)=」^(x^2)的最大值为X_1【答案】21【解析】f(x ) =1 •—1，1 =2，即最大值为2.x T21. 【2016高考天津文数】已知函数f(x)=x(4a -3)x 3a,x :：0(a .0且 a = 1)在R 上单调递减，且1 log a (x+1)+1,x^0x关于x 的方程I f (x)|=2 -—恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是3【答案】［丄2)3 3【解析】由函数f (x)在R 上单调递减得—4a — K00£av13aX1二［兰a 兰3，又方程| f (x) |=22 3 4 3恰有两个不相等的实数解，所以 3a ：：：2,解得a< -，因此a 的取值范围是［丄,2).33 3(B ) -1(C ) 022. 【2016高考上海文科】1 已知 a •二R ,函数 f(x)=log 2( a). x(1) 当a =1时，解不等式f (x)>i ； (2)若关于x 的方程f (x)+iog 2(x 2)=0的解集中恰有一个元素，求a 的值;1 一 一(3)设a >0,若对任意L ［ ,1］，函数f (x)在区间［t,t 1］上的最大值与最小值的差不超过1,求a2的取值范围【答案】(1) {x|0<xv1}. (2) a=0 或一£ . ( 3) .j,邑: 【解析】⑴由+ 得£ + H 解得xe(O t l)r< 1 、(2〉log -+盘 +log 1(x 3)=0有且仅有一解 \x 丿等价于(-十口］< = 1有且仅有一解，等价于a^ + x-l =0有且仅有一解. k x 丿 当日寸，x=l,符合题意,当° H 0时』Z J = 1 + 4£7 = O> a ――—・4综上,灯=0或一［・4(3〉当0<珂<花时』—++所以與对在(O 3-HJD )±M 调递减.函数几力在区间［如+1］上的最犬值与最小值分别为fit} , /(f + 1)・因为a 0，所以函数y 二at — a 1 t -1在区间 -,1上单调递增，IL 2”1 3 13 1^ 2f t -f t 1 Rog ?(1^ ( 1 I t 丿 ®2l t +1+ a *1 即 at 2+(a +1)t —1色0，对任意 t €所以t 时，y有最小值一a ，由一a 0,得a亠一.2 4 2 4 2 3故a的取值范围为Z, •::.：3丿1. 【2015高考安徽，文14】在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x —a|-1的图像只有一个交点，则a的值为1【答案】-丄222.【2015高考湖北，文13】函数f (x) =2sin xsin(x+ -x2的零点个数为 ______________________ .【答案】2.【解析】函数/W=2snjcsn(x + ^)-jr:的零点个数等价于方程2Ssin(x碍d =0的根的个如即fflS4^W = 2sinjfsifi(i +^)-2sinjicoffl =sin2x与的图像交点个数于是'分别画出其国数图像如下图所示，由图可知；函数与城莺的图像有2个交点一3.【2015高考湖南，文14】若函数f(x) =|2x _2|_b 有两个零点，则实数b 的取值范围是 【答案】0 ::: b :：: 2【解析】由函数/(x) =| 2= -2 |-b 有两个零点，可得|21-2|=^有两个不尊的根，从而可得函数 $二|才一2|函数y=b 的團象有两个交点，结合函数的團象可得，Q<b<2｝故答案为：0<b<2，若 f (f (；)) =4，则 b =()6【答案】D1bS ，故选D.5. 【2015高考上海，文21】(本小题14分)本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.衆",-1I 2x ,x 却(A ) 1( B )(C ) 3(D)4【解析】由题意, 5555f(5)=3 --^2-b ，由 f(f(6)"4得，5 b ：： 1 2 53( b) _ b = 4 2--^12，解得%22 =44.【2015高考山东，文10】设函数如图，A, B,C 三地有直道相通， AB =5千米，AC =3千米，BC =4千米.现甲、乙两警员同时从 A地出发匀速前往 B 地，经过t 小时，他们之间的距离为 f(t)(单位：千米).甲的路线是 AB ，速度为5千 米/小时，乙的路线是 ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待.设时乙到达C 地.(1)求t i 与f (t i )的值;(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是 3千米•当tjt 乞1时，求f (t)的表达式，并判断f(t)在［叩］上得最大值是否超过 3?说明理由.【答案】(1)3h ，1 千米；(2)超过了 3千米.8 8/厂* 315【解析】勺=—— =-h, 此时甲运动到点尸，则AP = ^=-~干米』 吃 **所以才01)= PC = J AC 2+ AP 1-2AC AP cos A ==(2)当/寸，乙在切上的0轧 设甲在尸点,所“J2月二“+伽一册=7—込 PB = AB-AP = 5-5t f 所決/X0 =PQ = ^QB 2-hPB 2-2OB PB s 汀二 J(7-8?)1 +(5-501 -2(7-80(5-5r)x^ = 725?-42r+18 ,7 当§ 时，乙在月点不动，设此时甲在P 点,所次/X0 = PB = AB- AP = 5-5/,J25t 2 —42t +18, 所以f (t)=;7 ” 5 —5t,— 21 L8吋!書千米.33 '41所以当 t <1时，f （t ）・[O,…]，故f （t ）的最大值超过了 3千米.8 86. 【2015高考四川，文8】某食品的保鲜时间 y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系^e kx b （ ^2.718...为自然对数的底数，k,b 为常数）.若该食品在0 C 的保鲜时间是192小时，在22 C的保鲜时间是48小时，则该食品在 33 C 的保鲜时间是（）【答案】C24（小时）1f (x ) = x 2 + e x — 2( x <0)与g ( x ) = x 2+ ln( x + a )的图像上存在关于 y 轴对 称的点，贝U a 的取值范围是（）A. （ —g,却 B . （—g,曲 「士'呵D.（一念，士）【答案】B【解析】依题意，设存在氏-盹的團像上，则如,琦6朮）的图像上，则有詁+严—尹 沖+10（胸+0），解得即a —ee 刑一卜耐脚>0）丿可得盘€〈一口 &）.2. (2014 •天津卷)已知函数 f (x ) = | x 2+ 3x | , x € R.若方程f (x ) — a | x — 1| = 0恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为【答案】(0,1) U (9 ,+^) 【解析】在同一坐标系内分别作出y = f （x ）与y = a |x — 1|的图像如图所示.当 y = a | x — 1|与y = f （x ）—ax + a = — x — 3x , 2 22的图像相切时，由* 整理得 x + (3 — a )x + a = 0，^UA= (3 — a ) — 4a = a — 10a + 9= 0,a >0, 解得a = 1或a = 9.故当y = a | x — 1|与y = f （x ）的图像有四个交点时，0<a <1或a >9.(A )16小时B ）20小时（C ）24小时D ）21小时【解析】由题意, 192 二 e b48 二 e 22k b192 二 e b 得1 I 11ke 2是当x = 33时,33k + b11k 3b13! = (e ) • e = (一)x 192 =1 . （2014 •湖南卷）已知函数 C._ 3 23. (2014 •浙江卷)已知函数 f (x ) = x + ax + bx + c ,且 0<f ( — 1) = f ( — 2) = f ( — 3) < 3,贝 U ( )A. c w 3 B . 3<c < 6 C. 6<c w 9 D .少9 【答案】C-l + a-b+c=-^+4a-2tr+c ? -8+4cr- 2b+c-~27^9a-3b + c— l + 3a —b —Q f a —6fb 19-5a+f>=0二故选Uin n |4. _____________________________________________________________________________________ (2014 •全国卷)若函数f (x ) = cos 2x + a sin x 在区间 g 是减函数，则a 的取值范围是 ___________________________【答案】(—3 2]2 2【解析】f (x ) = cos 2 x + a sin x =— 2sin x + a sin x + 1,令 sin x = t ，贝U f (x ) =— 2t + at + 1.因为 x € -6,y ，所以 t € 2, 1，所以 f (x ) =— 2t 2+ at + 1, t € 1, 1 .因为 f (x ) = cos 2 x + a sin x 在区间 着,n 是减函数，所以f (x )=—2t 2+at +1在区间<,1上是减函数，又对称轴为彳w 2，所以 a € ( —3, 2].【解析】由=>则金）二卫+血+11工十6而故X-6+卫,1-1所示，则下列函数图像正确的是（ ）图1-1【解析】由函数尸1。
江苏省高考文科数学二轮专题复习练习：专题一 第2讲 函数的概念、图象与性质
1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________． [解析] 由题意知，f (0)＝20＋1＝2，则f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，即4＋2a ＝4a ，所以a ＝2．[答案] 22．(2019·江苏省六市高三调研)函数f (x )＝lg （5－x 2）的定义域是________．[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg （5－x 2）≥0，5－x 2＞0，解得－2≤x ≤2，所以所求函数的定义域为[－2，2]． [答案] [－2，2]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．[解析] 因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13．又f (－x )＝f (x )， 所以b ＝0，所以a ＋b ＝13． [答案] 134．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝________．[解析] 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1．①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1．②①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，即f (x )＝x ＋1．[答案] x ＋15．(2019·江苏省高考名校联考信息(八))已知a ∈R ，函数f (x )＝a －24x＋1的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫12，13，则关于x 的不等式f (x 2＋x )＋f (x －8)<0的解集为______．[解析] 因为函数f (x )＝a －24x ＋1的图象经过点A (12，13)，所以f (12)＝a －23＝13，解得a ＝1，所以f (x )＝1－24x ＋1＝4x －14x ＋1，易知函数f (x )是R 上的增函数．又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数，所以关于x 的不等式f (x 2＋x )＋f (x －8)<0可转化为f (x 2＋x )<f (8－x )，所以x 2＋x <8－x ，即x 2＋2x －8<0，解得－4<x <2．[答案] －4<x <26．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知定义在[0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＝12f (x ＋2)，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝x 2＋1，则log 2 f (8)＝______．[解析] 由题意得f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (8)＝2f (6)＝4f (4)＝8f (2)＝16f (0)＝16，所以log 2f (8)＝log 216＝4．[答案] 47．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．[解析] 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2．因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6．[答案] 68．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2－x ＋2，x ＞0，2，x ≤0，则不等式f (－x 2－1)≤f (－x 2＋5x )的解集为________．[解析] 因为－x 2－1≤－1＜0，所以f (－x 2－1)＝2，当－x 2＋5x ≤0时，f (－x 2－1)＝f (－x 2＋5x )＝2，原不等式成立，此时，x ≥5或x ≤0；当－x 2＋5x ＞0时，则需f (－x 2＋5x )≥2，即14(－x 2＋5x )2－(－x 2＋5x )＋2≥2，－x 2＋5x ≥4，得1≤x ≤4．故原不等式的解集为(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)．[答案] (－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)9．(2019·江苏省高考名校联考(五))已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－mx (m ∈R )．若函数y ＝f (x )在区间(－2，1)上单调递减，则实数m 的最小值为________．[解析] 当x ＞0时，f (x )＝x 2－mx ＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m 24，所以当m ≤0时，函数y ＝f (x )在区间(－2，1)上不可能单调递减，所以不满足条件；当m ＞0时，根据函数的图象可知，函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫－m 2，m 2上单调递减，所以⎩⎨⎧－m 2≤－2，m 2≥1，即m ≥4，所以实数m 的最小值为4． [答案] 410．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为________(填序号)．[解析] 当x ∈[0，π4]时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除①，③． 当x ∈[π4，3π4]时，f (π4)＝f (3π4)＝1＋5，f (π2)＝22．因为22＜1＋5， 所以f (π2)＜f (π4)＝f (3π4)，从而排除④． [答案] ②11．若函数f (x )＝x ax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式． [解] 由f (2)＝1得22a ＋b＝1， 即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b＝x ，变形得x ⎝⎛⎭⎫1ax ＋b －1＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－b a， 又因方程有唯一解，故1－b a＝0， 解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12， 所以f (x )＝2x x ＋2． 12．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图(1)所示，求a ，b 的值；(2)若f (x )的图象如图(2)所示，求a 、b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．[解] (1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2，解得a ＝3，b ＝－3．(2)由题图(2)知，f (x )单调递减，所以0<a <1，又f (0)<0，即a 0＋b <0，所以b <－1．(3)画出y ＝|f (x )|的草图，如图所示，知当m ＝0或m ≥3时，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解．13．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝e x －e －x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－e －x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数且是奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立，f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立，x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立，t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R恒成立，t 2＋t ≤(x 2＋x )min 对一切x ∈R 恒成立，即t 2＋t ≤－14，(2t ＋1)2≤0，所以t ＝－12． 即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． 14．(2019·扬州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )．(1)求f (2 016)的值；(2)求证：函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(3)若f (x )在区间[0，2]上是增函数，试比较f (－25)，f (11)，f (80)的大小．[解] (1)因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (x －4)＝－{－f [(x －4)－4]}＝f(x－8)，知函数f(x)的周期为T＝8．所以f(2 016)＝f(252×8)＝f(0)．又f(x)为定义在R上的奇函数．所以f(0)＝0，故f(2 016)＝0．(2)证明：因为f(x)＝－f(x－4)，所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)，即f(2＋x)＝f(2－x)成立．故函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．(3)由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)，f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)．又f(x)在[0，2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在[－2，2]上为增函数，则有f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．。
函数的图象与性质+课件-2025届高三数学二轮复习
则f(x)的定义域为(-1,1),
由-1<2x-1<1,得0<x<1,
∴f(2x-1)的定义域为(0,1).故选C.
- 2 -2, < 0,
(2)(2024·江西南昌二模)已知 f(x)= log ( + 1), ≥ 0, 则不等式f(x)<2的解
2
集是( B )
+
1
1
=3+3
2lo g 2 3
=
10
.故
3
(2)已知函数f(x)=x2+2x,g(x)=ex-a,若f(g(2))=3,则实数a=( A )
A.2
B.1
C.0
D.-1
解析 令g(2)=t,则t>0.令f(t)=3,则t2+2t-3=0,解得t=1或t=-3(舍去),
即g(2)=e2-a=1,解得a=2.故选A.
(方法二
复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数
f(x)=2x(x-a)在(0,1)内单调递减,只需函数
单调递减,所以 ≥1,即
2
a≥2.故选 D.
2
h(x)=x(x-a)=(- 2 )
2
− 4 在(0,1)内
2.(2023·新高考Ⅱ,4)若
A.-1
2-1
f(x)=(x+a)ln2+1为偶函数,则
-1- 5
m= 2 (舍去).
所以实数 a 的取值范围为
5-1
,
2
+∞ .
考点三 函数的性质
考向1已知函数的单调性、奇偶性、最值求参数
高考文科数学二轮复习题导数及其应用专题
高考文科数学二轮复习题导数及其应用专题高考文科数学二轮复习题导数及其应用专题一、选择题1．函数f(x)＝12x2－ln x的单调递减区间为 ( )．A．(－1,1] B．(0,1]C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－1x≤0，解得0<x≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．答案 B2．(2014全国新课标Ⅱ卷)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝ ( )．A．0 B．1C．2 D．3解析令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－1x＋1.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.答案 D3．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为( )．A.－∞，12∪12，2B.－∞，0∪12，2C.－∞，12∪12，＋∞D.－∞，12∪2，＋∞解析xf′(x)<0x>0，f′x<0或x<0f′x>0.当x∈12，2时，f(x)单调递减，此时f′(x)<0.当x∈(－∞，0)时，f(x)单调递增，此时f′(x)>0.故选B.答案 B4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是 ( )．A．(0,2] B．(0,2)C．[3，2) D．(3，2)解析由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得Δ＝2a2－4×3×1>0，－1<－2a6<1，f′－1＝3－2a＋1>0，f′1＝3＋2a＋1>0，又a>0，解得3<a<2，故选D.答案 D5．(2013浙江卷)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ( )．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析当k＝1时，f′(x)＝exx－1，f′(1)≠0，∴f(1)不是极值，故A，B错；当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，x在1的右侧附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取得极小值．故选C.答案 C6．(2014潍坊模拟)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝30.3f(30.3)，b＝logπ3f(logπ3)，c＝log319flog319，则a，b，c间的大小关系是 ( )．A．a>b>c B．c>b>aC．c>a>b D．a>c>b解析设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0(x<0)，∴当x<0时，g(x)＝xf(x)为减函数．又g(x)为偶函数，∴当x>0时，g(x)为增函数．∵1<30.3<2,0<logπ3<1，log319＝－2，又g(－2)＝g(x)，∴g(－2)>g(30.3)>g(logπ3)，即c>a>b.答案 C二、填空题7．(2013江西卷)设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.解析设ex＝t，则x＝ln t(t>0)，∴f(t)＝ln t＋t，即f(x)＝ln x＋x，∴f′(x)＝1x＋1，∴f′(1)＝2.答案 28．(2014江西卷)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x ＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析设P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，∴点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，∴y0＝eln 2＝2，∴点P的坐标为(－ln 2,2)．答案 (－ln 2,2)9．(2014盐城调研)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．解析依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴ab≤a＋b22＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9.答案 910．已知函数f(x)＝aln x＋x在区间[2,3]上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝aln x＋x.∴f′(x)＝ax＋1.又∵f(x)在[2,3]上单调递增，∴ax＋1≥0在x∈[2,3]上恒成立，∴a≥(－x)max＝－2，∴a∈[－2，＋∞)．答案 [－2，＋∞)11．(2013新课标全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图象关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值是________．解析由题意知f0＝f－4，f－1＝f－3，即b＝－15×16－4a＋b，0＝9－3a＋b，解得a＝8，b＝15，所以f(x)＝(1－x2)(x2＋8x＋15)，则f′(x)＝－4(x＋2)(x2＋4x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝－2－5或x＝－2＋5，当x<－2－5时，f′(x)>0；当－2－5<x<－2时，f′(x)<0；－2<x<－2＋5时，f′(x)<0；当x>－2＋5时，f′(x)<0，所以当x＝－2－5时，f(x)极大值＝16；当x＝－2＋5时，f(x)极大值＝16，所以函数f(x)的最大值为16.答案 16三、解答题12．已知f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围．解(1)∵f(x)＝ex－ax－1(x∈R)，∴f′(x)＝ex－a.令f′(x)≥0，得ex≥a.当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立；当a>0时，有x≥ln a.综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞)．(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，即a≤ex在R上恒成立．∵x∈R时，ex>0，∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0]．13．(2014西安五校二次联考)已知函数f(x)＝12ax2－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的'切线互相平行，求a的值；(2)求f(x)的单调区间．解f′(x)＝ax－(2a＋1)＋2x(x>0)．(1)由题意得f′(1)＝f′(3)，解得a＝23.(2)f′(x)＝ax－1x－2x(x>0)．①当a≤0时，x>0，ax－1<0.在区间(0,2)上，f′(x)>0；在区间(2，＋∞)上，f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．②当0<a<12时，1a>2.在区间(0,2)和1a，＋∞上，f′(x)>0；在区间2，1a上，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是(0,2)和1a，＋∞，单调递减区间是2，1a.③当a＝12时，f′(x)＝x－222x≥0，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．④当a>12时，0<1a<2，在区间0，1a和(2，＋∞)上，f′(x)>0；在区间1a，2上，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间是0，1a和(2，＋∞)，单调递减区间是1a，2.14．(2014江西卷)已知函数f(x)＝(4x2＋4ax＋a2)x，其中a<0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．解 (1)当a＝－4时，由f′(x)＝25x－2x－2x＝0得x＝25或x＝2.由f′(x)>0得x∈0，25或x∈(2，＋∞)，故函数f(x)的单调递增区间为0，25和(2，＋∞)，(2)因为f′(x)＝10x＋a2x＋a2x，a<0，由f′(x)＝0得x＝－a10或x＝－a2.当x∈0，－a10时，f(x)单调递增；当x∈－a10，－a2时，f(x)单调递减；当x∈－a2，＋∞时，f(x)单调递增，易知f(x)＝(2x＋a)2x≥0，且f－a2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小值为f(1)，由f(1)＝4＋4a＋a2＝8，得a＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a2≤4，即－8≤a<－2时，f(x)在[1,4]上的最小值为f－a2＝0，不符合题意．③当－a2>4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4上取得，而f(1)≠8，由f(4)＝2(64＋16a＋a2)＝8得a＝－10或a＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8，符合题意．综上有a＝－10.。
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的计算》(含答案)
2023高考数学二轮复习专项训练《导数的计算》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A. f（a）＞eaf（0）B. f（a）＞f（0）C. f（a）＜f（0）D. f（a）＜eaf（0）2.（5分）直线y＝kx+1与曲线y＝x3+bx2+c相切于点M(1, 2)，则b的值为（）A. −1B. 0C. 1D. 23.（5分）设f（x）=x3，f（a-bx）的导数是（）A. 3（a-bx）B. 2-3b（a-bx）2C. 3b（a-bx）2D. -3b（a-bx）24.（5分）已知函数f(x)=2lnx+f′(2)x2+2x+3，则f(1)=()A. −2B. 2C. −4D. 45.（5分）设f0(x)=sin2x+cos2x，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，f1+n(x)=fn′(x)，n∈N*，则f2013（x）=（）A. 22012（cos2x-sin2x）B. 22013（sin2x+cos2x）C. 22012（cos2x+sin2x）D. 22013（sin2x+cos2x）6.（5分）曲线y=2sinx+cosx在点(π,−1)处的切线方程为()A. x−y−π−1=0B. 2x−y−2π−1=0C. 2x+y−2π+1=0D. x+y−π+1=07.（5分）若函数f(x)=x3−tx2+3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是()] B. (−∞,3]A. (−∞,518,+∞) D. [3,+∞)C. [5188.（5分）[2021湖南省郴州市月考]随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍−234的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N02−124,其中N0为t=0时针-234的含量.已知t=24时,钍−234含量的瞬时变化率为−8ln2,则N(96)=A. 12B. 12ln2C. 24D. 24ln29.（5分）设(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则|a1|+2|a2|+3|a3|+4|a4|+5|a5|+6|a6|+7|a7|=()A. 10206B. 5103C. 729D. 72810.（5分）函数f(x)=2f′(1)·x+xlnx在x=1处的切线方程为()A. y=2x−2B. y=2x+1C. y=−x−1D. y=x−111.（5分）设f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A. cos2xB. 2cos2xC. -sin2xD. 2（sin2x-cos2x）12.（5分）函数y=cos（1+x2）的导数是（）A. 2xsin（1+x2）B. -sin（1+x2）C. -2xsin（1+x2）D. 2cos（1+x2）二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）函数f（x）=xsin（2x+5）的导数为____．14.（5分）已知f（x）=ekx，则f′（x）=____．15.（5分）设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为__________.16.（5分）若函数f(x)满足f(x)=2lnx−xf′(1)，则f′(1)=__________.17.（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_______.①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=ae x lnx+be xx.(1)求导函数f′(x)；(2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=e(x+1)，求a，b的值. 19.（12分）求下列函数在给定点的导数.(1)f(x)=x14，x=5;(2)f(x)=3(x+1)x2，x=1.20.（12分）已知函数f(x)=12x2−x+lnx.(1)求y=f(x)的导数；(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.21.（12分）求下列函数的导数.(1)y=(2+3x)(3−5x+x2);(2)y=(2x−1)2(2−3x)3;(3)y=(3x+2)sin5x;(4)y=e2x cos3x.22.（12分）已知函数f(x)=−13x3−a−12x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.(1)若存在x<0,使得f′(x)=−9,求a的最大值;(2)当a>0时,求函数f(x)的零点个数.23.（12分）求下列函数在指定x处的导数值.(1)y=xsinx，x=π4;(2)y =xe x ，x =1.四 、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）若(1+2x)+(1+2x)2+⋅⋅⋅+(1+2x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋅⋅⋅+a n x n (n ∈N ∗)，a 0=6，则下列结论中正确的是()A. n =6B. a 1=42C. ∑ai n i=0=64D. ∑n i=1(−1)i iai =625.（5分）下列说法中正确的有()A. (sin π4)′=cos π4B. 已知函数f(x)在R 上可导，且f ′(1)=1，则limΔx→0f(1+2Δx)−f(1)Δx=2C. 一质点的运动方程为S =t 2，则该质点在t =2时的瞬时速度是4D. 已知函数f(x)=cosx ，则函数y =f ′(x)的图象关于原点对称 26.（5分）下列求导错误的是()A. (log 23)′=13ln2 B. (ln2x)′=12x C. (sin 2x)′=sin2x D. (cosx x)′=−cosx+sinxx 227.（5分）下列选项正确的有( )A. 若f(x)= x sin x +cos2x ， 则f′(x) =sin x −x cos x +2sin2xB. 设函数f(x)=x ln x ，若f′(x 0)=2，则x 0=eC. 已知函数f(x)=3x 2e 2x ，则f′(1) =12e 2D. 设函数f(x)的导函数为f′(x )，且f(x)=x 2+3xf ′(2)+ln x ，则f′(2)=−94 28.（5分）设b 为实数，直线y =3x +b 能作为曲线f(x)的切线，则曲线f(x)的方程可以为()A. f(x)=−1xB. f(x)=12x 2+4lnxC. f(x)=x 3D. f(x)=e x答案和解析1.【答案】A;【解析】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=-1，则f′（x）=0，满足题意显然选项A成立故选A．2.【答案】A;【解析】y＝x3+bx2+c的导数为y′＝3x2+2bx，可得切线的斜率为3+2b，由条件可得k＝3+2b，1+b+c＝2，1+k＝2，解得k＝1，b＝−1，c＝23.【答案】D;【解析】解；因为f（x）=x3，所以y=f（a-bx）=（a-bx）3，所以y′=3（a-bx）2（a-bx）′=-3b（a-bx）2故选D．4.【答案】D;【解析】此题主要考查导数的运算，属于基础题.先求出f′(2)，再求f(1)即可.+f′(2)·2x+2，解：由题意，f′(x)=2x故f′(2)=1+4f′(2)+2,∴f′(2)=−1，∴f(1)=2ln1+f′(2)×12+2×1+3=4，故选D.5.【答案】A;【解析】解：∵f0（x）=sin2x+cos2x，∴f1（x）=f0′(x)=2（cos2x-sin2x），f2（x）=f1′(x)=22（-sin2x-cos2x），f3（x）=f2′(x)=23（-cos2x+sin2x），f4（x）=f3′(x)=24（sin2x+cos2x），…通过以上可以看出：f n（x）满足以下规律，对任意n∈N，fn+4(x)=24fn(x)．∴f2013（x）=f503×4+1（x）=22012f1（x）=22013（cos2x-sin2x）．故选：B．6.【答案】C;【解析】设f(x)=2sinx+cosx，则f′(x)=2cosx−sinx，∴f′(π)=2cosπ−sinπ=−2，∴切线方程为：y+1=−2(x−π)，即2x+y−2π+1=0，故选C.7.【答案】C;【解析】解：∵函数f(x)=x3−tx2+3x，∴f′(x)=3x2−2tx+3，若函数f(x)=x3−tx2+3x在区间[1,4]上单调递减，则f′(x)⩽0即3x2−2tx+3⩽0在[1,4]上恒成立，∴t⩾32(x+1x)在[1,4]上恒成立，令y=32(x+1x)，则函数在[1,4]为增函数，当x=4时，函数取最大值518，∴t⩾518，即实数t的取值范围是[518,+∞)，故选：C．由题意可得f′(x)⩽0即3x2−2tx+3⩽0在[1,4]上恒成立，由函数的单调性可知t的范围．这道题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，属于中档题．8.【答案】C;【解析】由N(t)=N02−t24方得N′(t)=N02−t24×ln2×(−124)，当t=24时,N′(24)=N02−2424×ln2×(−124)=−8ln2,解得N0=384,所以N(t)=384·2−t24,则N(96)=384·2−9624=384·2−4=24.故选C.9.【答案】A;【解析】此题主要考查二项式定理的运用，属于中档题.将(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7两边求导，令x=−1，即可得到答案.解：将(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7两边求导，可得14(2x−1)6=a1+2a2x+3a3x²+……+7a7x6，可得x的奇次方的系数为负数，令x=−1可得14(−2−1)6=a1−2a2+3a3+……+7a7，故|a1|+2|a2|+3|a3|+4|a4|+5|a5|+6|a6|+7|a7|=14×36=10206.故选A.10.【答案】C;【解析】此题主要考查曲线的切线方程的求法，导数的几何意义，属于基础题．先求出f′(1)=−1，再求出f(1)=−2，由此可解．解：因为f′(x)=2f′(1)+lnx+1，所以f′(1)=2f′(1)+1，即f′(1)=−1，所以f(1)=2f′(1)=−2，所以切线方程为y=−(x−1)−2=−x−1.故选C.11.【答案】B;【解析】解：因为设f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．故选B．12.【答案】C;【解析】解：y′=-sin（1+x2）•（1+x2）′=-2xsin（1+x2）故选C13.【答案】sin（2x+5）+2xcos（2x+5）;【解析】解：f′（x）=x′sin（2x+5）+x（sin（2x+5））′=sin（2x+5）+2xcos（2x+5），故答案为：sin（2x+5）+2xcos（2x+5），14.【答案】k e kx;【解析】解：∵f（x）=e kx，∴f′（x）=e kx•（kx）′=k e kx，故答案为：k e kx．15.【答案】4x−y−2=0;【解析】此题主要考查函数奇偶性，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题.由奇函数的定义求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．解：因为函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，所以(−x)3+(a−1)(−x)2+a(−x)=−[x3+(a−1)x2+ax]，所以2(a−1)x2=0.因为x∈R，所以a=1，所以f(x)=x3+x，所以f′(x)=3x2+1，所以f′(1)=4，f(1)=2，所以曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程为4x−y−2=0，故答案为：4x−y−2=0.16.【答案】1;【解析】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f(x)进行正确求导，属于基础题.利用求导公式对f(x)进行求导，再把x=1代入，即可求解.解：∵函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2lnx−xf′(1)，−f′(1)，把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2−f′(1)，∴f′(x)=2x解得f′(1)=1.故答案为：1.17.【答案】f(x)=x4（答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足）;【解析】本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题.根据幂函数的性质可得所求的f(x).解：取f(x)=x4，则f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2)，满足①，f′(x)=4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，f′(x)=4x3的定义域为R，又f′(−x)=−4x3=−f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③.故答案为：f(x)=x4(答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)18.【答案】略。
高考第二轮复习数学浙江文科专题升级训练5 函数与方程及函数的应用专题升级训练卷(附答案).pdf
专题升级训练5 函数与方程及函数的应用 (时间：60分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为( )． A．－2 B．－ C． D．2 2．已知a是函数f(x)＝2x－的零点，若0＜x0＜a，则f(x0)的值满足( )． A．f(x0)＝0 B．f(x0)＜0 C．f(x0)＞0 D．f(x0)的符号不确定 3．函数f(x)＝2x－x－的一个零点所在的区间是( )． A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 4．已知A，B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1时后再以50千米/时的速度返回A地，汽车离开A地的距离x(千米)与时间t(时)之间的函数表达式是( )． A．x＝60t B．x＝60t＋50t C．x＝ D．x＝ 5．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )． A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 6．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( )． A．6 B．7 C．8 D．9 7．(2012·浙江高考冲刺卷B,10)定义域为R的函数f(x)＝若关于x的函数h(x)＝f2(x)＋bf(x)＋有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x＋x＋x＋x＋x等于( )． A． B．16 C．5 D．15 8．(2012·浙大附中3月月考，16)若函数f(x)＝在区间[a，b](a，b为整数)上的值域是[0,1]，则满足条件的数对(a，b)共有( )． A．2 013对 B．4 024对 C．4 025对 D．4 026对 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 9．若函数f(x)＝log2(x＋1)－1的零点是抛物线x＝ay2的焦点的横坐标，则a＝__________. 10．已知f(x)＝|x|＋|x－1|，若g(x)＝f(x)－a的零点个数不为0，则a的最小值为__________． 11．已知y与x(x≤100)之间的部分对应关系如下表： x1112131415…y…则x和y可能满足的一个关系式是__________． 12．(2012·浙江四校联考，16)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数k使得对于任意x∈D，有f(x＋k)≥f(x)，则称f(x)为D上的“k调函数”．如果定义域是[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的“k调函数”，那么实数k的取值范围是__________． 三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 13．(本小题满分10分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c. (1)若f(－1)＝0，试判断函数f(x)零点的个数； (2)若x1，x2∈R，且x1＜x2，f(x1)≠f(x2)，试证明x0∈(x1，x2)，使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立． 14．(本小题满分10分)某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t元(t为常数，且2≤t≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40)，根据市场调查，销售量q与ex成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤． (1)求该工厂的每日利润y元与每公斤蘑菇的出厂价x元的函数关系式； (2)若t＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x为多少元时，该工厂每日的利润最大？并求最大值． 15．(本小题满分12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时) 16．(本小题满分12分)(2012·22)若函数f(x)的定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)，则称f(x)为“V形函数”． (1)当f(x)＝x2时，判断f(x)是否为V形函数，并说明理由； (2)当f(x)＝lg(x2＋2)时，证明：f(x)是V形函数； (3)当f(x)＝lg(2x＋a)时，若f(x)为V形函数，求实数a的取值范围． 一、选择题 1．B 解析：由已知得f(1)＝0，即＋a＝0，解得a＝－.故选B. 2．B 解析：分别作出y＝2x与的图象如图，当0＜x0＜a时，y＝2x的图象在图象的下方，所以f(x0)＜0.故选B. 3．B 解析：由f(0)＝20－0－＜0，f(1)＝2－1－＜0，f(2)＝22－2－＞0，根据函数零点性质知函数的一个零点在区间(1,2)内，故选B. 4．D 解析：到达B地需要＝2.5(小时)，所以当0≤t≤2.5时，x＝60t； 当2.5＜t≤3.5时，x＝150； 当3.5＜t≤6.5时，x＝150－50(t－3.5)．故选D. 5．C 解析：∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝m2－4＞0.∴m2＞4，即m＞2或m＜－2. 6．B 解析：当0≤x＜2时，令f(x)＝x3－x＝0，得x＝0或x＝1. 根据周期函数的性质，由f(x)的最小正周期为2， 可知y＝f(x)在[0,6)上有6个零点， 又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0， 所以y＝f(x)的图象在[0,6]上与x轴的交点个数为7. 7．D 解析：作出函数f(x)的图象可知，方程f(x)＝m，当m＝1时，有三个不同的根，当m＞0，且m≠1时，有两个不同的根．要使关于x的函数h(x)＝f2(x)＋bf(x)＋有5个不同的零点，则关于f(x)的方程f2(x)＋bf(x)＋＝0有两个不同的根，且有一个根为f(x)＝1，此时另一个根为f(x)＝，由f(x)＝1得到x1＝0，x2＝1，x3＝2，由f(x)＝得到x4＝3，x5＝－1，故选D. 8．C 解析：由0≤≤1，得0≤|x|≤2 012. 则[－2 012,0][a，b][－2 012,2 012]，或[0,2 012][a，b][－2 012,2 012]． 因为a，b为整数，故当a＝－2 012时，b∈{0,1,2，…，2 012}，此时满足条件的数对(a，b)共有2 013对； 当b＝2 012时，a∈{－2 012，－2 011，…，0}，此时满足条件的数对(a，b)共有2 013对； 但区间[－2 012,2 012]是重复的，则满足条件的数对(a，b)总共有4 025对． 二、填空题 9． 解析：令f(x)＝log2(x＋1)－1＝0，得函数f(x)的零点为x＝1，于是抛物线x＝ay2的焦点的坐标是(1,0)，因为x＝ay2可化为y2＝x，所以解得a＝. 10．1 解析：g(x)的零点个数不为零，即f(x)图象与直线y＝a的交点个数不为零，画出f(x)的图象可知，a的最小值为1. 11．y(108－x)＝2 12．k≥2 解析：依题意有(x＋k)2≥x2对于x≥－1恒成立，即2kx＋k2≥0对于x≥－1恒成立，k＜0显然不成立，k＞0时，有－2k＋k2≥0，得k≥2. 三、解答题 13．(1)解：∵f(－1)＝0，∴a－b＋c＝0，b＝a＋c. Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2， 当a＝c时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点； 当a≠c时，Δ＞0，函数f(x)有两个零点． (2)证明：令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则 g(x1)＝f(x1)－[f(x1)＋f(x2)]＝， g(x2)＝f(x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝， ∴g(x1)·g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2＜0.(f(x1)≠f(x2)) ∴g(x)＝0在(x1，x2)内必有一个实根，即x0∈(x1，x2)， 使f(x0)＝[f(x1)＋f(x2)]成立． 14．解：(1)设日销量q＝，则＝100，∴k＝100e30， ∴日销量q＝， ∴y＝(25≤x≤40)． (2)当t＝5时，y＝，y′＝， 由y′＞0，得x＜26，由y′＜0，得x＞26， ∴y在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减， ∴当x＝26时，ymax＝100e4. 当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂每日的利润最大，最大值为100e4元． 15．解：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b. 再由已知得解得 故函数v(x)的表达式为v(x)＝ (2)依题意并由(1)可得f(x)＝ 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤2＝， 当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立． 所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值. 综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 16．(1)解：∵f(x1＋x2)－[f(x1)＋f(x2)]＝2x1x2， ∴不满足对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)． ∴当f(x)＝x2时，f(x)不是“V形函数”． (2)证明：g(x)＝x2＋2的定义域为R，且g(x)＝x2＋2＞0. ∵[(x1＋x2)2＋2]－(x12＋2)·(x22＋2)＝－(x1x2－1)2－x12－x22－1＜0， ∴lg[g(x1＋x2)]－[lg g(x1)＋lg g(x2)]＝lg[(x1＋x2)2＋2]－lg[(x12＋2)·(x22＋2)]＜0， ∴对任意x1，x2∈R，有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)， ∴f(x)是V形函数． (3)解：∵f(x)是V形函数， ∴对任意x∈R,2x＋a＞0， ∴a≥0. 当a＝0时，显然成立；当a≠0时，对任意x1，x2∈R， 有f(x1＋x2)≤f(x1)＋f(x2)， ∴lg(＋a)≤lg(＋a)＋lg(＋a)， 即lg(＋a)≤lg[(＋a)(＋a)]． ∴＋a≤(＋a)(＋a)． ∴1≤＋＋a. ∴a≥1－(＋)． 又＋＞0， ∴a≥1. 综上，实数a的取值范围是{0}∪[1，＋∞)．。
高考文科数学二轮考点专训卷函数
考点专训卷（2）函数1、设集合{}{}20||02M x x N y y =≤≤=≤≤，．下列四个图中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2、下列四组函数中相等的是( ) A. ()2f x x,g(x)(x)==B. ()()()22f x x ,g x x 1==+ C. ()()2f x x ,g x x ==D. ()0,g(x x )1f x 1x =--3、函数1()243x f x x =+--( ) A. [2,)+∞B. ()3,+∞C. [2,3)(3,)+∞UD. (2,3)(3,)+∞U4、函数211()2y x x x =+≤的值域是（ ）A ．7[,)4-+∞ B ．7(0,]4 C ．7(,]4∞D ．7(,]4-∞5、已知函数()11f x x =+,则函数()f x 的解析式为（ ）A. ()2 2 2fx x x -=+ B.()21) (1f x x x =+≥C.()22( 1)fx x x x =≥-D.()2 2 21()f x x x x +≥-=6、下列图象中表示函数图象的是( )A.B.C.D.7、已知函数()4f x x =+，2()2g x x x =-，(),()()()(),()()f x f x g x F x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，则()F x 的最值是（ ）A ．最大值为8，最小值为3；B ．最小值为-1，无最大值；C ．最小值为3，无最大值；D ．最小值为8，无最大值． 8、函数()2x x 2x 3f =--的单调递减区间为()A ．(),1-∞B ．(),2-∞C ．()1,∞D ．()2,∞9、下列四种说法:①若函数()f x 在(5,)+∞上是增函数,在(,5)-∞上也是增函数,则()f x 在(,5)(5,)-∞⋃+∞上是增函数;②若函数2()2f x ax bx =++的图象与x 轴没有交点,则280b a -<且0a >; ③函数223y x x =--的单调递增区间为[)1,+∞;④1y x =+和2(1)y x =+.其中正确的个数为( )A.0B.1C.2D.3100(2)a -有意义,则实数a 的取值范围是( )A.[)0,+∞B.{}2C.(,2)(2,)-∞⋃+∞D.[)0,2(2,)⋃+∞11、已知函数 2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则 ( ) A. 12()()f x f x > B. 12()()f x f x < C. 12()()f x f x = D. 1()f x 与2()f x 的大小不能确定12、若函数()(21)x f x a =-是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1,)+∞C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(,1)-∞13、函数2(33)x y a a a =-+是指数函数,则有( ) A.1a =或2a =B.1a =C.2a =D.1a >,且2a ≠14、已知)()ln 3f x x =,则()()1lg lg 22f f += ( )A. 2-B.1C.0D. 1?-15、函数2log (34)xy =+的值域是()A. RB. ()0,?+∞C. ()2,+∞D.()4,+∞16、函数214()log (27)f x x x =-++的值域为 .17、幂函数()a f x x =经过点()2,4p 则f =__________.18、已知幂函数y x α=的图象过点()2,2,则实数α的值是__________. 19、由幂函数的图象可知,使320x x ->成立的x 的取值范围是__________. 20、下列命题中,正确的是__________. ( 填序号) ① 幂函数1y x -=是奇函数; ② 幂函数2y x =是偶函数;③ 幂函数y x =既是奇函数,又是偶函数; ④12yx = 既不是奇函数又不是偶函数.21、已知函数4()log (41)(R)x f x kx k =++∈为偶函数. (1)求k 的值;(2)若方程4()log (2)x f x a a =⋅-有且仅有一个根,求实数a 的取值范围.22、某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量(μg)y 与时间(h)t 之间近似满足如图所示的曲线.（1）写出服药后，y 与t 之间的函数关系式()y f t =；（2）据测定：当每毫升血液中含药量不少于0.25μg 时，治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间.答案以及解析1答案及解析： 答案：B 解析：2答案及解析： 答案：C 解析：A 项,因为()()f x x x R =∈与()2g (x x 0)=≥)两个函数的定义域不一致,所以两个函数不相等;B 项,因为()()()22f x x ,g x x 1==+两个函数的对应关系不一致,所以两个函数不相等; 易知C 正确;D 项, ()()f x 0,g x ==,所以两个函数不相等.故选C.3答案及解析： 答案：C解析：因为1()3f x x =-30240x x -≠⎧⎨-≥⎩，解得23x ≤<或3x >，答案选C4答案及解析： 答案：A解析：函数x x y 12+=在⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-21,为单调递减函数，当21-=x ，时47min-=y，无最大值，所以值域为7,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选A ．5答案及解析： 答案：C()11t t =≥，则()21x t =-，∴()()221122f t t t t =-+=-+∴()()2221f x x x x =-+≥6答案及解析：答案：C 解析：7答案及解析：答案：C 解析：8答案及解析： 答案：A解析：函数()2x x 2x 3f =--的二次项的系数大于零，所用抛物线的开口向上， 二次函数的对称轴是x 1=， ∴函数的单调递减区间是(),1-∞ 故选：A ．9答案及解析： 答案：A解析：对于①,如函数1()5f x x =--在(5,)+∞上是增函数,在(,5)-∞上也是增函数,但()f x 在(,5)(5,)-∞⋃+∞上不是增函数,故①错误;对于②,当0a b ==时,()2f x =的图象与x 轴没有交点,故②错误;对于③,22223,02323,0x x x y x x x x x ⎧--≥=--=⎨+-<⎩,可知函数的单调增区间为(1,0)-和(1,)+∞,故③错误;对于④,1y x =+与1x x =+不是相同的函数,故④错误.故选A.10答案及解析： 答案：D 解析：∵020a a ≥⎧⎨-≠⎩,∴0a ≥且2a ≠,故选D.11答案及解析： 答案：B 解析：12答案及解析： 答案：C解析：由已知，得0211a <-<,则112a <<,所以实数a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.13答案及解析： 答案：C解析：由指数函数的概念，得2331a a -+=,解得1a =或2a =.当1a =时,底数是1，不符合题意,舍去；当2a =时,符合题意,故选C.14答案及解析： 答案：C 解析：15答案及解析： 答案：C 解析：16答案及解析：答案：3[,)2-+∞解析：设227t x x =-++,则2227(1)8,08t x x x t =-++=--+∴<≤，21114443log (27)log log 82x x t -++=≥=-，函数()f x 的值域为3[,)2-+∞.17答案及解析： 答案：2 解析：18答案及解析： 答案：12解析：幂函数y x α=的图象过点,则2α12α=.故答案为:1219答案及解析： 答案：()1,+∞解析：在同一坐标系中作出3y x =及2y x =的图象(图略)可得不等式成立的x 的取值范围是()1,+∞.20答案及解析： 答案：①②④ 解析：由于幂函数y x =的图象关于原点对称,不关于y 轴对称,故y x =为奇函数而不是偶函数.21答案及解析：答案：(1)∵()f x 为偶函数, ∴()()f x f x -=.即44log (41)log (41)x x kx kx -+-=++,∴4441log log (41)24x x x kx +-+=,∴(21)0k x +=,∴12k =-.(2)依题意知441log (41)log (2)2x x x a a +-=⋅-.∴41(2)2,20x x x xa a a a ⎧+=⋅-⋅⎨⋅->⎩① 令2x t =,则①变为2(1)10a t at -++=②,只需其有一正根. a.1,1a t ==-不合题意;b.②式有一正一负根,∴2124(1)0101a a t t a ⎧∆=-->⎪⎨=<⎪-⎩解得1a >. 经验证满足20x a a ⋅->,∴1a >;c.②式有两相等的根,0∆=,∴2a =-±, 又20x a a ⋅->,∴2a =--综上所述可知a的取值范围为{|12a a a >=--或. 解析：22答案及解析：答案：（1）当01t ≤≤时，4y t =当1t >时，1()2t a y -=，此时(1,4)M 在曲线上， 所以114()2a -=，所以3a =，这时31()2t y -=.所以34(01)()1()(1)2t t t y f t t -≤≤⎧⎪==⎨>⎪⎩（2）因为()0.25f t ≥，即340.251()0.252t t -≥⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得1165t t ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，所以1516t ≤≤. 所以服药一次后治疗疾病有效的时间为1795h 1616-=. 解析：。
高考文科数学二轮复习专题集训：专题二函数、不等式、导数2.4.3
A 级x，则以下命题正确的选项是()1．若函数 f( x)＝ (x＋ 1) ·e1，都存在 x∈R，使得 f( x)<mA ．对随意 m<－2e1B．对随意 m>－e2，都存在 x∈R，使得 f( x)<m1，方程 f(x)＝ m 只有一个实根C．对随意 m<－2e1D．对随意 m>－e2，方程 f(x)＝ m 总有两个实根分析：由于 f′(x)＝ [(x＋ 1)e x] ′＝ (x＋ 1)e x＋ e x＝(x＋2)e x，故函数在区间 (－∞，－ 2) ，(－f(x)min＝ f(－ 2)＝－112，＋∞)上分别为减函数与增函数，故e2，故当m>－e2时，总存在 x 使得f(x)< m.答案：B2．设函数f( x)＝ e x(x3－ 3x＋ 3)－ ae x－x( x≥－ 1)，若不等式f( x) ≤0有解，则实数 a 的最小值为()1A. e B． e1C．1－e D． e－ 1分析：∵ f(x)＝ e x(x3－ 3x＋ 3)－ ae x－ x≤0 有解，∴ a≥x3－3x＋ 3－xx有解．令 g(x)＝ x3－ex2x－ 113x＋ 3－e x，则 g′(x)＝ 3x－ 3＋e x ＝(x－1)(3x＋3＋e x)，故当x∈[－1,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时， g′(x)>0，故 g(x)在 [－ 1,1)上是减函数，在 (1，＋∞)上是增函数，故g(x)min＝ g(1)1111＝1－ 3＋ 3－＝ 1－，∴ a≥1－，∴实数 a 的最小值为 1－ .e e e e答案： Cππ与函数 f(x)＝ tan x 的图象在x＝－处相切，设 g(x) 3．已知 a，b∈R，直线 y＝ ax＋b＋24＝e x＋ bx2＋ a，若在区间 [1,2] 上，不等式 m≤g(x) ≤m2－2 恒建立，则实数 m()A ．有最小值－ e B．有最小值 eC．有最大值 e D．有最大值 e＋ 1sin x cos2x－ sin x－sin x1－π分析：∵ f(x)＝ tan x＝cos x，∴f ′(x)＝cos2x＝cos2x，∴a＝f′4＝2，π π π π 又点 － ，－1在直 y ＝ ax ＋ b ＋ 上，∴－ 1＝ 2× －4＋ b ＋ ，得 b ＝－ 1，∴ g(x)＝ e x －x 2422＋ 2， g ′(x)＝ e x － 2x ，令 h(x)＝e x － 2x ， h ′(x)＝ e x － 2，当 x ∈ [1,2] ， h ′(x)≥h ′(1)＝ e － 2>0，∴g ′(x)在 [1,2] 上 增，∴ g ′(x)≥g ′(1)＝ e － 2>0，∴ g(x) 在[1,2] 上 增，m ≤g x min ＝ g ＝e ＋ 1，解得 m ≤－ e 或 e ≤m ≤e ＋ 1，∴ m 的最大 e∴2－2≥gx max ＝ g2m ＝ e － 2，＋ 1，无最小 ，故 D. 答案：D4．已知函数 f(x)＝ aln x －ax － 3(a ∈ R )．若函数y ＝f(x)的 象在点 (2， f(2)) 切 的π 32f x ＋m 在区 (t,3) 上 不是 函斜角 ，且 于随意的 t ∈ [1,2]，函数 g(x)＝ x ＋ x2 4数， 数 m 的取 范 是()A ．(－∞，－ 5)B ． －37，－ 53C ．( －9，＋ ∞ )D ． －37，－ 93分析： 由函数 f(x) ＝ aln x － ax － 3(a ∈ R )，可得 f ′(x)＝ a－ a ，f ′(2)＝－ a＝ 1，得 a ＝－x22.又 于随意的 t ∈ [1,2] ，函数 g(x)＝ x 3＋ x 2fx ＋ m ＝ x 3＋ x 2－ 2＋ 2＋ m 在区 (t,3)上2x 2不是 函数， 只要 g(x)＝x 3＋m2＋ 2 x 2－2x 在 (2,3)上不是 函数， 故 g ′(x)＝3x 2＋(m ＋ 4)x －2 在 (2,3) 上有零点， 即方程 m ＝－ 3x － 4＋2在 (2,3)上有解．而 y ＝－ 3x － 4＋2在(2,3) 上xx3737减，故其 域－ 3 ，－ 9 ，所以 数 m 的取 范 是 －3 ，－9 .故 D.答案： D5．已知函数xe ＝ 2.718 28 ⋯.f(x) ＝e － 1，g(x)＝ x ＋ x ，此中 e 是自然 数的底数， (1) 明：函数 h(x) ＝f(x)－ g(x)在区 (1,2)上有零点； (2) 求方程 f(x)＝ g(x)的根的个数，并 明原因．分析： (1) 明：由 h(x)＝ f(x)－ g(x)＝e x － 1－ x －x 得，h(1)＝ e － 3<0， h(2)＝ e 2－3－ 2>0 ，所以函数 h(x)在区 (1,2) 上有零点．(2) 由 (1) 得 h( x)＝e x－ 1－ x －x.由 g(x)＝ x ＋ x 知，x ∈ [0，＋ ∞)，而 h(0) ＝ 0， x ＝ 0 h(x)的一个零点， 而 h(x)在 (1,2)内有零点，所以h(x)在 [0，＋ ∞)上起码有两个零点．因h ′(x)＝ e x－1x － 1－ 1， φ(x)＝ e x22－1x － 1－ 1，2 2x1 3则 φ′(x)＝ e ＋ 4x － 2.当 x ∈ (0，＋∞)时，φ′(x)>0 ，所以 φ(x)在 (0，＋ ∞)上单一递加， 则 φ(x) 在(0 ，＋ ∞)内至多只有一个零点，即 h(x)在 [0 ，＋ ∞)内至多有两个零点．所以方程 f( x)＝ g(x) 的根的个数为 2.6． (2017 ·国卷Ⅱ全 )设函数 f(x)＝ (1－ x 2)e x .(1)议论 f(x)的单一性；(2)当 x ≥0时， f(x) ≤ax ＋ 1，求 a 的取值范围．分析：(1) f ′(x)＝(1 － 2x － x 2)e x .令 f ′(x)＝ 0 得 x ＝－ 1－ 2或 x ＝－ 1＋ 2.当 x ∈ (－ ∞，－ 1－ 2)时， f ′(x)＜ 0；当 x ∈ (－ 1－ 2，－ 1＋ 2)时， f ′(x)＞0；当 x ∈ (－ 1＋ 2，＋ ∞)时， f ′(x)＜ 0.所以 f(x)在 (－ ∞，－ 1－ 2)，(－ 1＋ 2，＋ ∞)单一递减，在 (－ 1－ 2，－ 1＋ 2)单一递增．(2)f(x)＝ (1＋ x)(1 － x)e x .当 a ≥1 时，设函数 h(x)＝ (1－ x)e x ，则 h ′(x)＝－ xe x ＜ 0(x ＞ 0)，所以 h(x)在 [0，＋ ∞)单一递减．而 h(0)＝ 1，故 h(x)≤1，所以 f( x)＝ (x ＋ 1)h(x)≤x ＋1≤ax ＋ 1.当 0＜a ＜ 1 时，设函数 g(x)＝ e x － x － 1，则 g ′(x)＝e x － 1＞ 0(x ＞ 0)，所以 g(x)在 [0，＋ ∞)单一递加．而 g(0)＝ 0，故 e x≥x ＋ 1.222＝ 当 0＜ x ＜ 1 时， f(x)＞ (1 － x)(1＋ x) ， (1－ x)(1 ＋ x) － ax － 1＝ x(1－ a － x － x )，取 x 0 5－ 4a － 1 2，则 x 0∈ (0,1) ， (1－ x 0)(1＋ x 0) －ax 0 －1＝ 0，故 f(x 0)＞ ax 0＋ 1.当 a ≤0 时，取 x 0 ＝5－1，则 x 0∈ (0,1)， f(x 0 )＞ (1－x 0)(1＋ x 0) 2＝ 1≥ax 0＋ 1.2综上， a 的取值范围是 [1，＋ ∞)．B 级1． (2017 全·国卷Ⅱ )已知函数 f(x)＝ ax 2－ ax － xln x ，且 f(x) ≥0.(1)求 a ；(2)证明： f(x)存在独一的极大值点 x 0，且 e －2<f(x 0)<2－ 2.分析：(1) f(x)的定义域为 (0，＋ ∞)．设 g(x)＝ ax － a － ln x ，则 f(x) ＝xg(x)， f(x) ≥0 等价于 g(x)≥0.由于 g(1)＝ 0， g(x) ≥0，故 g ′(1)＝ 0，而 g ′(x)＝ a － 1， g ′(1)＝ a － 1，得 a＝ 1. x1若 a ＝1，则 g ′(x)＝ 1－ x .当 0<x<1 时， g ′(x)<0 ， g(x)单一递减；当 x>1 时， g ′(x)>0 ，g( x)单一递加．所以 x ＝1 是 g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1) ＝0.综上， a ＝ 1.(2)证明：由 (1)知 f(x)＝ x 2－ x － xln x ， f ′(x)＝ 2x － 2－ ln x.设 h(x)＝ 2x － 2－ ln x ，则 h ′(x)＝ 2－ 1. x1当 x ∈ 0， 2 时， h ′(x)<0 ；1当 x ∈，＋ ∞ 时， h ′(x)>0.所以 h(x)在 0， 1上单一递减，在1，＋ ∞上单一递加．2 2－ 21<0 ，h(1) ＝0，又 h(e )>0 ， h2所以 h(x)在 0， 1 上有独一零点 x 0，在1，＋ ∞ 上有独一零点1，且当 x ∈ (0， x 0)时，22h(x)>0；当 x ∈ (x 0,1)时， h(x)<0；当 x ∈ (1，＋ ∞)时， h(x)>0.由于 f ′(x)＝ h(x)，所以 x ＝ x 0 是 f(x)的独一极大值点．由 f ′(x 得 ln x 0 ＝ 2(x － 1)，故 f(x0)＝ x 0(1－ x 0)． 0)＝ 0 01由 x 0∈ (0，1)得 f(x 0)<4.由于 x ＝x 0 是 f(x)在 (0,1)上的最大值点，－1－ 1－1－2由 e ∈ (0,1)， f ′(e ) ≠0得 f(x 0)>f(e )＝ e .－2－2所以 e <f(x 0)<2 .1 22．已知函数 f(x) ＝ x － (2a ＋ 2)x ＋ (2a ＋ 1)ln x.2(1)若曲线 y ＝ f(x)在点 (2， f(2)) 处切线的斜率小于 0，求 f(x)的单一区间；(2)随意的 a ∈ 3，5 ， x 1， x 2∈ [1,2]( x 1≠x 2)，恒有 |f(x 1 )－ f(x 2 )|<λ 1 － 1，求正数 λ的取2 2x 1 x 2 值范围．分析： (1) f ′(x)＝ x － (2a ＋ 2)＋2a ＋ 1＝x － 2a －x －(x>0)，若曲线 y ＝ f(x)在点xx(2， f(2))处切线的斜率小于 0，则 f ′(2)＝－ a ＋ 1 <0，即有 a>1，所以 2a ＋1>2>1 ，2 2则由 f ′(x)>0 得 0<x<1 或 x>2a ＋ 1；由 f ′(x)<0 得 1<x<2a ＋ 1.所以 f(x)的单一递加区间为(0,1) ，(2a ＋ 1，＋ ∞)，单一递减区间为 (1,2a ＋ 1)．3 5，所以 (2a ＋ 1)∈ [4,6] ，由 (1) 知 f(x) 在[1,2] 上为减函数．(2)由于 a ∈ 2， 2 11不如设 1≤x 1<x 2≤2，则 f(x 1)>f(x 2)， > ，11λ λ3 5所以原不等式为 f(x 1)－f(x 2)<λx 1－x 2，即 f(x 1) － x 1 <f(x 2)－ x 2 对随意的 a ∈ 2，2 ， x 1，x 2∈ [1,2] 恒建立．λ a ∈3 5，x 1， x 2∈ [1,2] 有 g(x 1)<g(x 2) 恒建立，令 g(x)＝ f( x)－ ，所以对随意的，2 x2λ所以 g(x)＝ f(x)－ x 在闭区间 [1,2] 上为增函数，所以 g ′(x)≥0 对随意的 a ∈ 3， 5， x ∈[1,2] 恒建立．2 2 2a ＋1 λ而 g ′(x)＝ x － (2a ＋ 2)＋＋ 2≥0，x x化简得 x 3－(2a ＋ 2)x 2＋ (2a ＋ 1)x ＋ λ≥0，即 (2x － 2x 2)a ＋ x 3－ 2x 2＋ x ＋λ≥0，此中 a ∈ 3， 5 .2 2由于 x ∈[1,2] ，所以 2x －2x 2≤0，5232所以只要 (2x － 2x )＋ x － 2x ＋ x ＋ λ≥0，即 x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ≥0 对随意 x ∈ [1,2] 恒建立，令 h(x)＝ x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ， x ∈ [1,2] ，则 h ′(x)＝ 3x 2－ 14x ＋ 6<0 恒建立，所以 h(x)＝ x 3－ 7x 2＋ 6x ＋ λ在闭区间 [1,2] 上为减函数， 则 h(x)min ＝ h(2)＝ λ－ 8.由 h(x)min ＝ h(2)＝ λ－ 8≥0，解得 λ≥8.故 λ的取值范围为 [8，＋ ∞)．。
高考文科数学二轮专题复习：02 函数
由于 x∈N，2x＋x 随着 x 的增大而增大，又可以发现 24＋4＝20，所以 20 的原象是 4．
x 1, x 0, 例 2 设函数 f (x) x2 2x 2, x 0, 则 f(1)＝______；若 f(0)＋f(a)＝－2，则 a 的所有可能值
为______． 【分析】从映射的角度看，函数就是映射，函数解析式就是映射的法则． 所以 f(1)＝3． 又 f(0)＝－1，所以 f(a)＝－1， 当 a≤0 时，由 a－1＝－1 得 a＝0； 当 a＞0 时，由－a2＋2a＋2＝－1，即 a2－2a－3＝0 得 a＝3 或 a＝－1(舍)． 综上，a＝0 或 a＝3． 例 3 下列四组函数中，表示同一函数的是( )
(B) y 3 3 | x 1 | (0 x 2) 22
(C) y 3 | x 1 | (0 x 2) 2
(D)y＝1－｜x－1｜(0≤x≤2)
【评析】判断两个函数是否为同一函数，就是要看两个函数的定义域与法则是否完全相同．
一般有两个步骤：(1)在不对解析式进行变形的情况下求定义域，看定义域是否一致．(2)对解析式进
行合理变形的情况下，看法则是否一致．
例 4 求下列函数的定义域
(1) y x 1 1;
(2) y
1
;
x2 2x 3
(3) y lg(3 x) (x 1)0; x
一、选择题
练习 2－1
1．已知函数 f (x) 1 的定义域为 M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为 N，则 M∩N＝( ) 1 x
(A){x｜x＞1}
(B){x｜x＜1}
2．图中的图象所表示的函数的解析式为(
(C){x｜－1＜x＜1} (D)
)
(A) y 3 | x 1 | (0 x 2) 2
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（2）函数
1
、函数
1
2
log1
(
)
x
f x
-
=的定义域是( )
A.
1
,
2
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭ B.
111
0,,
332
⎛⎫⎛⎤
⋃
⎪ ⎥
⎝⎭⎝⎦
C.
11
0,,2
33
⎛⎫⎛⎤
⋃
⎪ ⎥
⎝⎭⎝⎦
D.
1
0,
2
⎛⎤
⎥
⎝⎦
2、下列图形可以作为某个函数的图象的是( )
A.
B.
C.
D.
3、已知()
()
)
1
1
1
11
x
x
f x
x x
⎧
≤
⎪+
=⎨
⎪->
⎩
，则()2
f f=
⎡⎤
⎣⎦( )
A．0 B．
1
2
C．1 D．
1
3
4、已知函数3
e
1
()21e x
x
f x x x
=-++-，其中e是自然对数的底数．若(1)
f a-+()222
f a≤，
则实数a 的取值范围是（ ） A.31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B.3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C.11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
5、函数||
4x e y x
=的图象可能是( )
A. B. C. D.
6、函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4)-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A.3a ≥ B.3a ≤-
C.3a ≥- D .5a ≤
7、函数2
3412x x y -+-⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的单调增区间是( )
A.[]
1,2 B.[]
2,3 C.(]
,2-∞ D.[
)2,+∞
8、化简61
log 122log 22-( )
A.2
B.122
C.6log 3
D.
12
9、函数()()log 320,1a y x a a =->≠且的图象过定点( ) A.20,
3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B.()1,0
C.()0,1
D.2,03⎛⎫
⎪⎝⎭
10、幂函数2
()(1)m
f x m m x =--在()0,?+∞上是增函数,则m = ( )
A.2
B.1
C.4
D.2或-1
11、设函数()f x 是奇函数,当0x <时, ()=3x f x x +,则当0x >时, ()f x =__________ 12、不等式2
4
2133x x
x
+-+⎛⎫> ⎪⎝⎭
的解集为__________
13、设1a >,函数()log a f x x =在区间[]
,2a a 上最大值与最小值之差为12
,则a =__________
14、若方程 3
10x x --= 在区间 (,)(,a b a b 是整数,且 1)b a -= 上有根,则
a b +=__________
15、已知函数()1
21 log 1
ax
f x x -=-的图象关于原点对称,其中0a <.
1.当()1,x ∈+∞时, ()()12
log 1f x x m +-<恒成立,求实数m 的取值范围;
2.若关于x 的方程()()12
log f x x k ++在[2,3]上有解,求k 的取值范围.
答案以及解析
1答案及解析： 答案：B
解析：由题意得12log 10310
x x -≥⎧⎪⎨⎪-≠⎩,所以102x <≤且13x ≠,因此定义域为1110,,332⎛⎫⎛⎤
⋃ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,故选B.
2答案及解析： 答案：B
解析：用图象反映函数的概念,即定义域内的任意的一个x 至多有一个y 的值与之对应.
3答案及解析： 答案：B 解析：
4答案及解析： 答案：C 解析：
5答案及解析： 答案：C 解析：
6答案及解析： 答案：B 解析：
7答案及解析： 答案：D
解析：()2
34x x x t -+-=的减区间为[)2,+∞，所以()
12t x y ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
的增区间为[
)2,+∞.
8答案及解析： 答案：C
解析：2666661log 122log log log log log 2-==
9答案及解析： 答案：B
解析：根据对数函数过定点(1,0)，令321x -=,得1x =，所以过定点(1,0).
10答案及解析： 答案：A 解析：
11答案及解析： 答案：3x x --+ 解析：
12答案及解析： 答案：(1,4)- 解析：
13答案及解析： 答案：4
解析：由题意知()1
,log 2log ,42
a a a a a -=∴=
14答案及解析： 答案：3
解析：设 3
()1f x x x =--。
∵ 1,1b a b a -=∴=+。
∴ 区间为 (,1),,a a a b Z +∈。
经验证，(1)10,(2)82150f f =-<=--=>，()()120f f ⋅< ∴ 1,2,3a b a b ==+=
15答案及解析：
答案：1.∵函数() f x 的图象关于原点对称, ∴函数() f x 为奇函数,
∴()()f x f x -=-, 即1
11
2
22
111
log log log 111ax ax x x x ax +--=-=----, 解得 1a =-或 1a = (舍).
()()()()11
112
222
1log 1log log 1log 11x
f x x x x x ++-=+-=+- 当1x >时, ()12
log 11x +<-,
∵当()1,x ∈+∞时, ()()12
log 1f x x m +-<恒成立,
∴1m ≥-.
2.由上题知, ()()12
log f x x k =+,即()()1
12
2
1
log log 1x f x x k x +==+-, 即
11x x k x +=+-即2
11
k x x =-+-在[2,3]上有解, ()2
11
g x x x =-+-在[2,3]上单调递减()g x 的值域为[]1,1-,
∴[1,1]k ∈- 解析：。