(完整版)最短路径问题专项练习

最短路径问题专项练习

共 13 页，全面复习与联系最短路径问题

一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段(之和)最短问题；

二、原理：

两点之间，线段最短；垂线段最短。 (构建“对称模型”实现转化)

1．最短路径问题

(1) 求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两

点，与直线 的交点即为所求．

如图所示，点 A ， B 分别是直线 l 异侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA ＋CB 最短， 这时点 C 是直线 l 与 AB 的交点．

(2) 求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于 这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

如图所示，点 A ， B 分别是直线 l 同侧的两个点，在 l 上找一个点 C ，使 CA ＋CB 最短， 这时先作点 B 关于直线 l 的

对称点

为了证明点 C 的位置即为所

求，

B ′

C ′，证明 AC ＋CB

在△ AB ′ C ′中， AB ′< AC ′＋ B ′C ′， 所以 AC ＋B ′C

例 1】 在图中直线 l 上找到一点 M ，使它到 A ， B 两点的距离和最小．

分析：先确定其中一个点关于直线 l 的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线 l 的 交点 M 即 为所求的点．

解：如图所示： (1)作点 B 关于直线 l 的对称点 B ′；

(2)连接 AB ′ 交直线 l 于点 M.

(3) 则点 M 即为所求的点．

我们不妨在直线上另外任取一点 C ′，连接 AC ′，BC ′，

点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用

“ 两点之间线段最短”解决问题.

2.运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和

转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

3．利用平移确定最短路径选址

选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点

的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与

原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值

或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段

转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．

【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水．

(1)若要使厂部到A，B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？

(2)若要使厂部到A，B 两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B 两点距

离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离

相等”，又要在河边，所以作AB 的垂直平分线，与EF 的交点即为符合条件的点．

(2)要使厂部到A村、B 村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或

B) 点关于EF 的对称点，连接对称点与B点，与EF 的交点即为所求．

解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB 的垂线，交EF 于P，则P到A，B

1

的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于2AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作

直线，与EF 的交点P 即为所求．

(2)如图2，画出点A关于河岸EF 的对称点A′，连接A′B 交EF 于P，则P到A，B

的距离和最短．

【例3】如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？

路程最短，只要 AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移 MN 到AC ，从 C 到 B 应是余下的路程，连接 BC 的线段即为最短的，此时不难说明点 N 即为建桥位置， MN 即 为所建的桥．

解： (1)如图 2，过点 A 作 AC 垂直于河岸，且使 AC 等于河宽．

(2)连接 BC 与河岸的一边交于点 N.

(3)过点 N 作河岸的垂线交另一条河岸于点 M.

则 MN 为所建的桥的位置．

4．生活中的距离最短问题

由两点之间线段最短 ( 或三角形两边之和大于第三边 )可知，求距离之和最小问题，就是运 用等量代换的方式， 把几条线段的和想办法转化在一条线段上， 从而解决这个问题， 运用轴对 称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图， AO ＋ BO ＝AC 的 长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．

例 4】 (实际应用题 )茅坪民族中学八 (2)班举行文艺晚会， 桌子摆成如图 a 所示两直排 (图

中的 AO ，BO)，AO 桌面上摆满了橘子， OB 桌面上摆满了糖果，站在 C 处的学生小明先拿橘

解： 如图 b. (1)作 C 点关于 OA 的 对称点 C 1，作 D 点关于 OB 的对称点 D 1，(2) 连接 C 1D 1，分别交 OA ， OB 于 P ，Q ，那么小明沿 C →P →Q →D 的路线行走，所走的总路程最短．

5.运用轴对称解决距离之差最大问题 利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键． 先做出其中一点关于 对称轴的对称点， 然后连接对称点和另一个点， 所得直线与对称轴的交点， 即为所求． 根据垂 直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．

破疑点 解决距离的最值问题的关键 运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距 离的最值问题的有效方法．

【例 5】 如图所示， A ， B 两点在直线 l 的两侧，在 l 上找一点 C ，使点 C 到点 A 、B 的

子再拿糖果，然后到 思路导

MN 是定值，于是要使

D 处座位上，请你帮助他设

计

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