第五章质点系动力学
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
变质量质点的运动微分方程
r (e) r r r r ( m + dm )( v + dv ) − mv − udm = F dt r 略去高阶小量 dm ⋅ dv ,得: 得
量成正比时,可略去小 量成正比时 可略去小 质点受的外力
r 令 vr
r r = u−v
=F
r d ( mv ) r dm r ( e ) −u =F dt dt
主要内容: 主要内容 • 质点系力学的研究方法
• • • • • 质点系的内力 质点系的动量定理和动量守恒定律 质点系的角动量定理和角动量守恒定律 质点系的动能定理和机械能守恒定律 刚体动力学中的简单问题
§5.1 质点系力学的研究方法 一. 质点系
由多个有相互作用的质点所构成的力学体系. 由多个有相互作用的质点所构成的力学体系
注意:上面 注意 上面(a),(b)两式中质量 m(t )如在天体运行中捕获 上面 两式中质量 静止尘埃、雨滴下落过程中凝结水蒸气等问题用（ 式 静止尘埃、雨滴下落过程中凝结水蒸气等问题用（a)式， 航天器在运行中无相对速度连续排出废物等问题用(b)式 航天器在运行中无相对速度连续排出废物等问题用 式。
r (e ) 外力:质点系外物体对质点系内质点的作用力 质点系外物体对质点系内质点的作用力,记为 外力 质点系外物体对质点系内质点的作用力 记为 F
四. 质点系动力学的研究方法
方法一: 方法一
r r (e ) r (i) & mi r& = Fi + Fi , i = 1, 2, L , n, i
r F ji
mj
r r r r r r r Q ri × Fij + rj × F ji = ( ri − rj ) × Fij r r = rij × Fij = 0
r rj
三.质点系内所有质点所受全部内力做功之和 一般不为零 r r r r r r r r r Q Fij ⋅ dri + Fji ⋅ drj = Fij ⋅ d ( ri − rj ) = Fij ⋅ drij r r = Fij ⋅ vij dt
五. 质心运动定理
r r r (e) & & p = ∑ m i r& = F i
n i =0
r d ∑ m i ri r ( e ) → mt 2 =F dt mt
2
其中质点系总质量为: 其中质点系总质量为 mt = ∑ mi
r (e ) r r r & & mt r& = mt vc = mt ac = F c
(e)
r (e) = M il
3.质点系的角动量守恒定律 质点系的角动量守恒定律 r (e ) r (e ) 若M o ≡ 0, 则 Lo = 常矢量; 若M l ≡ 0, 则 Ll = 常量
三.质点系在质心系中对质心的角动量定理
1.质点系在质心系中对质心的角动量定理为： 质点系在质心系中对质心的角动量定理为： 质点系在质心系中对质心的角动量定理为
四.耗散力
r r r r r r r r F f 1 ⋅ dr1 + F f 2 ⋅ dr2 = F f 1 ⋅ dr12 = F f 1 ⋅ v12 dt r r = F f 1 ⋅ v ′dt < 0
若一个力和它的反作用力做功之和永远为负值,则该 若一个力和它的反作用力做功之和永远为负值 则该 力为耗散力,如滑动摩擦力 如滑动摩擦力. 力为耗散力 如滑动摩擦力
变质量质点运动微分方程式的另一种表达式(称为 变质量质点运动微分方程式的另一种表达式 称为 r r 密歇尔斯基方程): 密歇尔斯基方程 r dm dv (e)
m
dt
+ vr
dt
r r r r (e) r r d ( mv ) dv 若 u = 0, 则 = F , ( a ); 若vr = 0, 则m = F ( e ) , (b) dt dt
i =1
n
若Fl
(e )
= ∑ Fil
i =1
n
(e)
≡ 0, 则 pl = ∑ pil = 常量
i =1
注意 1 系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质 点的动量不变，而是指系统动量总和不变. 点的动量不变，而是指系统动量总和不变. 当外力作用远小于内力作用时， 2 当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统 碰撞，打击等) 的总动量守恒 (如：碰撞，打击等) 动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律 动量守恒定律是物理学中最重要、 之一，它不仅适合宏观物体， 之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域
r r ′ n r′ r ′ n r′ r d n r′ & & ×m v + r ×m v ′ & Lc = ∑ ri ×m i vi = ∑ ri ∑i i i i i dt i =1 i =1 i =1 n n r (e) r (i) r (e ) r (e) r′ = ∑ ri × ( F i + F i ) = ∑ M ic = M c
思考:质心系是惯性系吗? 思考:质心系是惯性系吗?
在质心系中质点系的总动量为零, 在质心系中质点系的总动量为零
r r p′ = mt vc′ = 0
七.变质量质点的运动
质点质量变化是由于它与外界交换质量引起,不是相 质点质量变化是由于它与外界交换质量引起 不是相 对论效应造成的. 对论效应造成的
1. 变质量质点的运动微分方程
1.质心位矢 质心位矢 的分量式: 的分量式
xc
r = rc
∑m x = ∑m
i i
i
yc
∑m y = ∑m
i i
i
zc
∑m z = ∑m
i
i i
2.质心相对质点系的位置与各质点质量分布情况有关 质心相对质点系的位置与各质点质量分布情况有关, 质心相对质点系的位置与各质点质量分布情况有关 与参考系及参考点的选取无关. 与参考系及参考点的选取无关 3.质点系总动量的另一等价表述 质点系总动量的另一等价表述 r n r r r ∑ m i vi = m t vc p = ∑ m i vi = mt mt i =1 4.质点系动量守恒定律的另一种等价表述形式: 4.质点系动量守恒定律的另一种等价表述形式: 质点系动量守恒定律的另一种等价表述形式 n r r (e) r (e) 若F = ∑ Fi ≡ 0, 则 vc = 常矢量
vmax
m0 = vr ln = vr ln Z ms
2. 齐奥尔科夫斯基第二问题 研究在重力场中垂直向上发射火箭，如何使火箭上升 研究在重力场中垂直向上发射火箭， 高度最大，现我们研究其类似问题， 高度最大，现我们研究其类似问题，即重力对竖直发 射的火箭运动的影响。 射的火箭运动的影响。
r r dm dv dm0 m = − vr − mg ⇒ v = vr ln − gt dt dt m
一对内力做功之和为零的条件: 一对内力做功之和为零的Biblioteka Baidu件
r r r r r r drij = 0 ( vij = 0) 或 Fij ⊥ drij ( Fij ⊥ vij )
思考: 刚体的内力做功是否为零? 思考 刚体的内力做功是否为零
是关于内力做负功的例子. 例5.1 是关于内力做负功的例子
r r r r r r FN 1 ⋅ dr1 + FN 2 ⋅ dr2 = FN 1 ⋅ dr12 r r r r = FN 1 ⋅ v12dt = F f 1 ⋅ v ′dt = 0
§5.4 质点系的角动量定理和角动量守恒定律 一. 质点系的角动量
1.质点系角动量的定义 质点系角动量的定义 n r n r r r Lo = ∑ Lio = ∑ ri ×m i vi
i =1 n r r r r Ll = Lo ⋅ el = el ⋅ ∑ Lio = ∑ Lil i =1 n
2.一个重要关系式 一个重要关系式
r (e ) 若Fl ≡ 0, 则 vcl = 常量
i =1
5.质心和质心运动定理从整体上研究质点系的运动 质心和质心运动定理从整体上研究质点系的运动. 质心和质心运动定理从整体上研究质点系的运动
六. 质心系
原点位于质心,随质心平动的坐标系为质心系 用 表示. 原点位于质心 随质心平动的坐标系为质心系,用 s′表示 随质心平动的坐标系为质心系
i =1 i =1 j =1, j ≠ i
r ∑ Fij = 0
n
二.对任意参考点 ,质点系内所有质点所受全部 内力矩的矢量和为零 mi r
n n r (i) r (i) M = ∑ Mi = ∑ i =1 i =1 j =1 , j ≠ i
r r ∑ ri × Fij = 0
n
r ri
Fij r rij
第五章 质点系动力学
本章通过质点力学的三大定理及牛顿第三定 律导出质点系力学的三大定理及相应守恒定 并在引入质心及质心系概念基础上, 律,并在引入质心及质心系概念基础上,得到 质点系三大定理在质心系上的表达形式. 质点系三大定理在质心系上的表达形式. 本章重难点利用质点系的三大定理及相应守 恒定律解质点系的运动问题. 恒定律解质点系的运动问题.
r 中心质点质量为m ,速度为 v ,有一质量为dm小质点 速度为 有一质量为 r
加入到中心质点中,以中心质点和小质点组 以速度u 加入到中心质点中 以中心质点和小质点组 成的质点系,其动量定理为 其动量定理为: 成的质点系 其动量定理为
r (e) r r r mdv + v dm − udm = F dt r d ( mv ) r dm r ( e ) 质点系所受的外力 当 质点系所受的外力,当 ⇒ −u =F 小质点受的外力与质 dt dt
§5.3 质点系的动量定理和动量守恒定律 一. 质点系的动量
n n r n r r r & p = ∑ pi = ∑ m i vi = ∑ m i ri i =1 i =1 i =1
二. 质点系的动量定理
n r r r (e) & = F = F (e) p ∑ i i =1
三. 质点系的动量守恒定律
i =1
i =1
n r r r r r r′ r′ ′ Lo = Lco + Lc = rc ×m t vc + ∑ ri ×m i vi i =1
证明： 证明：
n n r r r r r′ r r′ Lo = ∑ ri ×m i vi = ∑ ( rc + ri ) ×m i ( vc + vi ) i =1 i =1 n n r r r r ′ n r′ r r′ r′ = ∑ rc ×m i vc + ∑ rc ×m i vi + ∑ ri ×m i vc + ∑ ri ×m i vi n i =1 i =1 i =1 i =1
0
1.质点系对固定点的角动量定理 质点系对固定点的角动量定理
0
二.质点系在惯性系中对固定点和固定轴的角动 量定理
n r r (e) r (e) r r (e ) & Lo = M o = M io = ∑ ri × Fi i =1
2.质点系对固定轴的角动量定理 质点系对固定轴的角动量定理
& Ll = M l
2. 齐奥尔科夫斯基第一问题 研究火箭在不受外力情况下运动问题。 研究火箭在不受外力情况下运动问题。
r dv r dm dv dm m0 m = vr ⇒m = − vr ⇒ 积分后 : v = v0 + vr ln dt dt dt dt m
其中 m0为初始总质量 。 当火箭初始时速度为零， 当火箭初始时速度为零，火箭壳体加载荷质量为 ms ， 当燃料燃烧尽时，火箭最大速度为： 当燃料燃烧尽时，火箭最大速度为：
方法二: 从整体上进行研究质点系的运动, 方法二 从整体上进行研究质点系的运动 质点系动力学的三大定理
s ≤ 7 的质点(如刚体, 二体 )全部问题
质心的平动和质点系相对质心的运动
§5.2 质点系的内力 一.质点系内所有质点所受全部内力矢量和为零
r (i ) n r (i ) n F = ∑ Fi = ∑
n r r (e) r n r (e) 若F = ∑ Fi ≡ 0, 则 p = ∑ pi = 常矢量 i =1 i =1
r r r r (e) r n r (e) & el ⋅ p = el ⋅ F = el ⋅ ∑ Fi
i =1
四. 质点系的沿固定方向的动量定理和动量 守恒定律 n
& l = Fl ( e ) = ∑ Fil ( e ) p
二. 质点系动力学的依据
质点力学的三个定理及牛顿第三定律. 质点力学的三个定理及牛顿第三定律.
三. 质点系的内力和外力
r (i) 内力:质点系内质点间的相互作用 质点系内质点间的相互作用, 表示. 内力 质点系内质点间的相互作用 用 F 表示
r Fij : 第i个质点受到第j个质点对它的作用力(内力)
r (e) r r r r ( m + dm )( v + dv ) − mv − udm = F dt r 略去高阶小量 dm ⋅ dv ,得: 得
量成正比时,可略去小 量成正比时 可略去小 质点受的外力
r 令 vr
r r = u−v
=F
r d ( mv ) r dm r ( e ) −u =F dt dt
主要内容: 主要内容 • 质点系力学的研究方法
• • • • • 质点系的内力 质点系的动量定理和动量守恒定律 质点系的角动量定理和角动量守恒定律 质点系的动能定理和机械能守恒定律 刚体动力学中的简单问题
§5.1 质点系力学的研究方法 一. 质点系
由多个有相互作用的质点所构成的力学体系. 由多个有相互作用的质点所构成的力学体系
注意:上面 注意 上面(a),(b)两式中质量 m(t )如在天体运行中捕获 上面 两式中质量 静止尘埃、雨滴下落过程中凝结水蒸气等问题用（ 式 静止尘埃、雨滴下落过程中凝结水蒸气等问题用（a)式， 航天器在运行中无相对速度连续排出废物等问题用(b)式 航天器在运行中无相对速度连续排出废物等问题用 式。
r (e ) 外力:质点系外物体对质点系内质点的作用力 质点系外物体对质点系内质点的作用力,记为 外力 质点系外物体对质点系内质点的作用力 记为 F
四. 质点系动力学的研究方法
方法一: 方法一
r r (e ) r (i) & mi r& = Fi + Fi , i = 1, 2, L , n, i
r F ji
mj
r r r r r r r Q ri × Fij + rj × F ji = ( ri − rj ) × Fij r r = rij × Fij = 0
r rj
三.质点系内所有质点所受全部内力做功之和 一般不为零 r r r r r r r r r Q Fij ⋅ dri + Fji ⋅ drj = Fij ⋅ d ( ri − rj ) = Fij ⋅ drij r r = Fij ⋅ vij dt
五. 质心运动定理
r r r (e) & & p = ∑ m i r& = F i
n i =0
r d ∑ m i ri r ( e ) → mt 2 =F dt mt
2
其中质点系总质量为: 其中质点系总质量为 mt = ∑ mi
r (e ) r r r & & mt r& = mt vc = mt ac = F c
(e)
r (e) = M il
3.质点系的角动量守恒定律 质点系的角动量守恒定律 r (e ) r (e ) 若M o ≡ 0, 则 Lo = 常矢量; 若M l ≡ 0, 则 Ll = 常量
三.质点系在质心系中对质心的角动量定理
1.质点系在质心系中对质心的角动量定理为： 质点系在质心系中对质心的角动量定理为： 质点系在质心系中对质心的角动量定理为
四.耗散力
r r r r r r r r F f 1 ⋅ dr1 + F f 2 ⋅ dr2 = F f 1 ⋅ dr12 = F f 1 ⋅ v12 dt r r = F f 1 ⋅ v ′dt < 0
若一个力和它的反作用力做功之和永远为负值,则该 若一个力和它的反作用力做功之和永远为负值 则该 力为耗散力,如滑动摩擦力 如滑动摩擦力. 力为耗散力 如滑动摩擦力
变质量质点运动微分方程式的另一种表达式(称为 变质量质点运动微分方程式的另一种表达式 称为 r r 密歇尔斯基方程): 密歇尔斯基方程 r dm dv (e)
m
dt
+ vr
dt
r r r r (e) r r d ( mv ) dv 若 u = 0, 则 = F , ( a ); 若vr = 0, 则m = F ( e ) , (b) dt dt
i =1
n
若Fl
(e )
= ∑ Fil
i =1
n
(e)
≡ 0, 则 pl = ∑ pil = 常量
i =1
注意 1 系统的总动量守恒并不意味着系统内各个质 点的动量不变，而是指系统动量总和不变. 点的动量不变，而是指系统动量总和不变. 当外力作用远小于内力作用时， 2 当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统 碰撞，打击等) 的总动量守恒 (如：碰撞，打击等) 动量守恒定律是物理学中最重要、最普遍的定律 动量守恒定律是物理学中最重要、 之一，它不仅适合宏观物体， 之一，它不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域
r r ′ n r′ r ′ n r′ r d n r′ & & ×m v + r ×m v ′ & Lc = ∑ ri ×m i vi = ∑ ri ∑i i i i i dt i =1 i =1 i =1 n n r (e) r (i) r (e ) r (e) r′ = ∑ ri × ( F i + F i ) = ∑ M ic = M c
思考:质心系是惯性系吗? 思考:质心系是惯性系吗?
在质心系中质点系的总动量为零, 在质心系中质点系的总动量为零
r r p′ = mt vc′ = 0
七.变质量质点的运动
质点质量变化是由于它与外界交换质量引起,不是相 质点质量变化是由于它与外界交换质量引起 不是相 对论效应造成的. 对论效应造成的
1. 变质量质点的运动微分方程
1.质心位矢 质心位矢 的分量式: 的分量式
xc
r = rc
∑m x = ∑m
i i
i
yc
∑m y = ∑m
i i
i
zc
∑m z = ∑m
i
i i
2.质心相对质点系的位置与各质点质量分布情况有关 质心相对质点系的位置与各质点质量分布情况有关, 质心相对质点系的位置与各质点质量分布情况有关 与参考系及参考点的选取无关. 与参考系及参考点的选取无关 3.质点系总动量的另一等价表述 质点系总动量的另一等价表述 r n r r r ∑ m i vi = m t vc p = ∑ m i vi = mt mt i =1 4.质点系动量守恒定律的另一种等价表述形式: 4.质点系动量守恒定律的另一种等价表述形式: 质点系动量守恒定律的另一种等价表述形式 n r r (e) r (e) 若F = ∑ Fi ≡ 0, 则 vc = 常矢量
vmax
m0 = vr ln = vr ln Z ms
2. 齐奥尔科夫斯基第二问题 研究在重力场中垂直向上发射火箭，如何使火箭上升 研究在重力场中垂直向上发射火箭， 高度最大，现我们研究其类似问题， 高度最大，现我们研究其类似问题，即重力对竖直发 射的火箭运动的影响。 射的火箭运动的影响。
r r dm dv dm0 m = − vr − mg ⇒ v = vr ln − gt dt dt m
一对内力做功之和为零的条件: 一对内力做功之和为零的Biblioteka Baidu件
r r r r r r drij = 0 ( vij = 0) 或 Fij ⊥ drij ( Fij ⊥ vij )
思考: 刚体的内力做功是否为零? 思考 刚体的内力做功是否为零
是关于内力做负功的例子. 例5.1 是关于内力做负功的例子
r r r r r r FN 1 ⋅ dr1 + FN 2 ⋅ dr2 = FN 1 ⋅ dr12 r r r r = FN 1 ⋅ v12dt = F f 1 ⋅ v ′dt = 0
§5.4 质点系的角动量定理和角动量守恒定律 一. 质点系的角动量
1.质点系角动量的定义 质点系角动量的定义 n r n r r r Lo = ∑ Lio = ∑ ri ×m i vi
i =1 n r r r r Ll = Lo ⋅ el = el ⋅ ∑ Lio = ∑ Lil i =1 n
2.一个重要关系式 一个重要关系式
r (e ) 若Fl ≡ 0, 则 vcl = 常量
i =1
5.质心和质心运动定理从整体上研究质点系的运动 质心和质心运动定理从整体上研究质点系的运动. 质心和质心运动定理从整体上研究质点系的运动
六. 质心系
原点位于质心,随质心平动的坐标系为质心系 用 表示. 原点位于质心 随质心平动的坐标系为质心系,用 s′表示 随质心平动的坐标系为质心系
i =1 i =1 j =1, j ≠ i
r ∑ Fij = 0
n
二.对任意参考点 ,质点系内所有质点所受全部 内力矩的矢量和为零 mi r
n n r (i) r (i) M = ∑ Mi = ∑ i =1 i =1 j =1 , j ≠ i
r r ∑ ri × Fij = 0
n
r ri
Fij r rij
第五章 质点系动力学
本章通过质点力学的三大定理及牛顿第三定 律导出质点系力学的三大定理及相应守恒定 并在引入质心及质心系概念基础上, 律,并在引入质心及质心系概念基础上,得到 质点系三大定理在质心系上的表达形式. 质点系三大定理在质心系上的表达形式. 本章重难点利用质点系的三大定理及相应守 恒定律解质点系的运动问题. 恒定律解质点系的运动问题.
r 中心质点质量为m ,速度为 v ,有一质量为dm小质点 速度为 有一质量为 r
加入到中心质点中,以中心质点和小质点组 以速度u 加入到中心质点中 以中心质点和小质点组 成的质点系,其动量定理为 其动量定理为: 成的质点系 其动量定理为
r (e) r r r mdv + v dm − udm = F dt r d ( mv ) r dm r ( e ) 质点系所受的外力 当 质点系所受的外力,当 ⇒ −u =F 小质点受的外力与质 dt dt
§5.3 质点系的动量定理和动量守恒定律 一. 质点系的动量
n n r n r r r & p = ∑ pi = ∑ m i vi = ∑ m i ri i =1 i =1 i =1
二. 质点系的动量定理
n r r r (e) & = F = F (e) p ∑ i i =1
三. 质点系的动量守恒定律
i =1
i =1
n r r r r r r′ r′ ′ Lo = Lco + Lc = rc ×m t vc + ∑ ri ×m i vi i =1
证明： 证明：
n n r r r r r′ r r′ Lo = ∑ ri ×m i vi = ∑ ( rc + ri ) ×m i ( vc + vi ) i =1 i =1 n n r r r r ′ n r′ r r′ r′ = ∑ rc ×m i vc + ∑ rc ×m i vi + ∑ ri ×m i vc + ∑ ri ×m i vi n i =1 i =1 i =1 i =1
0
1.质点系对固定点的角动量定理 质点系对固定点的角动量定理
0
二.质点系在惯性系中对固定点和固定轴的角动 量定理
n r r (e) r (e) r r (e ) & Lo = M o = M io = ∑ ri × Fi i =1
2.质点系对固定轴的角动量定理 质点系对固定轴的角动量定理
& Ll = M l
2. 齐奥尔科夫斯基第一问题 研究火箭在不受外力情况下运动问题。 研究火箭在不受外力情况下运动问题。
r dv r dm dv dm m0 m = vr ⇒m = − vr ⇒ 积分后 : v = v0 + vr ln dt dt dt dt m
其中 m0为初始总质量 。 当火箭初始时速度为零， 当火箭初始时速度为零，火箭壳体加载荷质量为 ms ， 当燃料燃烧尽时，火箭最大速度为： 当燃料燃烧尽时，火箭最大速度为：
方法二: 从整体上进行研究质点系的运动, 方法二 从整体上进行研究质点系的运动 质点系动力学的三大定理
s ≤ 7 的质点(如刚体, 二体 )全部问题
质心的平动和质点系相对质心的运动
§5.2 质点系的内力 一.质点系内所有质点所受全部内力矢量和为零
r (i ) n r (i ) n F = ∑ Fi = ∑
n r r (e) r n r (e) 若F = ∑ Fi ≡ 0, 则 p = ∑ pi = 常矢量 i =1 i =1
r r r r (e) r n r (e) & el ⋅ p = el ⋅ F = el ⋅ ∑ Fi
i =1
四. 质点系的沿固定方向的动量定理和动量 守恒定律 n
& l = Fl ( e ) = ∑ Fil ( e ) p
二. 质点系动力学的依据
质点力学的三个定理及牛顿第三定律. 质点力学的三个定理及牛顿第三定律.
三. 质点系的内力和外力
r (i) 内力:质点系内质点间的相互作用 质点系内质点间的相互作用, 表示. 内力 质点系内质点间的相互作用 用 F 表示
r Fij : 第i个质点受到第j个质点对它的作用力(内力)