4土中应力自重 地基附加应力解析
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土力学与地基基础4.土中应力计算
第四章地基土中的应力计算★概述★土中自重应力计算★基底压力的分布与计算★地基附加应力及有效应力原理第一节概述地基应力计算的目的：1. 计算土体变形，比如建筑物地基的沉降；2. 土体承载力与稳定性分析。
一、地基土中应力分类1.按引起的原因分为自重应力和附加应力自重应力——由土体自身重量所产生的应力。
附加应力——由外荷（静的或动的）引起的土中应力增量。
一、地基土中应力分类2.按作用原理或应力传递方式分为有效应力和孔隙应（压）力有效应力——土粒所传递的粒间应力，它是控制土的体积（或变形）和强度两者变化的土中应力。
孔隙应（压）力——由土孔隙中的水和气体所传递的应力。
二、基本假设视地基土体为连续体半无限的线弹性体均质各向同性体按《弹性力学》的方法进行计算。
三、土中一点的应力状态土中一点的应力状态：---土中一点在各个方向上应力的数值。
三、土中一点的应力状态土力学中，法向应力以压应力为正，拉应力为负。
剪应力的正负号规定是：当剪应力作用面上的法向应力方向与坐标轴的正方向一致，则剪应力的方向与坐标轴正方向一致时为正，反之为负。
第二节自重应力的计算一、均质土体1.竖向自重应力2.水平向自重应力K 0-土的静止侧压力系数z FFz cz γγσ=•=二、成层土体地基为不同土层且无地下水ii h γσ∑=三、有地下水时的自重应力地下水位以下的砂土、粉土以及粘性土液性指数大于等于1时均取浮重度；粘性土液性指数小于等于0时取天然重度，在0～1之间时依最不利原则取其天然或浮重度。
例题4-1、4-2、4-3例题4-3两者相比较可以看出，当地下水位下降时，会引起有效自重应力的增加。
地下水位的升降，使地基土中自重应力也相应发生变化。
当地下水位长期下降时，地基中有效应力增加，从而引起地面大面积沉降；当地下水位长期上升时，会引起地基承载力减少、湿陷性土的塌陷等现象。
第三节基底压力和基底附加压力计算地基---建筑物影响范围内的有限土层。
土力学-第四章土中应力
γ1 h1 + γ 2h2 + γ′3h3 + γ′4h4 + γw(h3+h4)
天津城市建设学院土木系岩土教研室
4.2.2
成层土中自重应力
土力学
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算 一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示， 并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
天津城市建设学院土木系岩土教研室
天津城市建设学院土木系岩土教研室
4.2.4
土质堤坝自身的自重应力
土力学
为了实用方便，不论是均质的或非均质的土质堤坝， 为了实用方便，不论是均质的或非均质的土质堤坝，其自身任 意点的自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有 意点的自重应力均假定等于单位面积上该计算点以上土柱的有 效重度与土柱高度的乘积。 效重度与土柱高度的乘积。
土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素（ 土体在自身重力、建筑物荷载、交通荷载或其他因素（渗 地震等）的作用力下，均可产生土中应力。 流、地震等）的作用力下，均可产生土中应力。土中应力过大 会导致土体的强度破坏， 时，会导致土体的强度破坏，使土工建筑物发生土坡失稳或使 建筑物地基的承载力不足而发生失稳。 建筑物地基的承载力不足而发生失稳。 土中应力的分布规律和计算方法是土力学的基本内容之一 自重 应力
p0 = p − σ ch = p − γ m h
在沉降计算中，考虑基坑回弱和再压缩而增加沉降，改取p =p-(0～1)σ 在沉降计算中，考虑基坑回弱和再压缩而增加沉降，改取p0=p-(0～1)σch, 此式应保证坑底土质不发生泡水膨胀。 此式应保证坑底土质不发生泡水膨胀。
式中： 基底平均压力， Pa； σch—基底处土中自重应力，kPa； 基底处土中自重应力， 式中：p—基底平均压力，kPa； 基底平均压力 基底处土中自重应力 kPa； γm—基底标高以上天然土层的加权平均重度，水位以下的取浮重度，kN/m3； 基底标高以上天然土层的加权平均重度， 基底标高以上天然土层的加权平均重度 水位以下的取浮重度， h—从天然地面算起的基础埋深，m，h=h1+h2+…… 从天然地面算起的基础埋深， 从天然地面算起的基础埋深
4土中应力
§4 土中应力
§4.4 地基附加应力 4.4.3 线荷载和条形荷载作用时的地基附加应力
1、线荷载作用时的地基附加应力－弗拉曼解
•由于线荷载沿y坐标无限延伸， 因此与y轴垂直，平行于xoz任 何平面上的应力状态完全相同。 这种情况属于弹性力学平面问 题。 •平面问题只有三个独立的应 力分量
§4 土中应力
Ph
矩形基础:
条形基础:
§4 土中应力 §4.3 基底压力 4.3.3 基底附加压力
基底附加压（应）力是建筑物对基底下地 基产生的应力增量，是引起地基压缩变形 的应力，是计算地基中附加应力的依据。
p 0 p σ ch p γ m h
P——基底压力； σch——基底处土中自重应力，kPa； γm——基底标高以上天然土层的加权平均值；
※b—三角形分布荷载的一边为b。
※p—三角形分布荷载的最大值（基底附加应力）。
§4 土中应力
§4.4 地基附加应力 4.4.2 矩形荷载和圆形荷载作用时的地基附加应力
2. 矩形面积三角形分布荷载角点下的附加应力
对于矩形面积三角形分布荷载不在角点下 的附加应力计算：
（1）仍然要使用 “角点法”。 （2）对基础中心点下的附加应力，可分为相 等的四块，按均布荷载情况一次算出。 （3）对梯形荷载情况，按同样方法解决。
所以在不透水底面的上下可以有两个突变的自 重应力值。
§4 土中应力 §4.2 土中自重应力
4.2.3 地下水位升降时土中自重应力
§4 土中应力 §4.2 土中自重应力
4.2.4 土质堤坝自身的自重应力 (有限构筑物的自重应力)
计算 面
计算 面
土的自重应力基底压力和地基附加应力
正应力x、y、z ：
x
3P 2
x2z
R5
1 2 3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2(2R z)
R3
(R
z)2
y
3P 2
y2z R5
1 2 3
R2 Rz z 2 R3(R z)
y2 (2R z)
R
3
(
R
z
)
2
z
3P
2
z3 R5
3P
2R2
cos3
x、y、z — 分别平行于x、y、z座标轴的正应力；
基底平均附加压力 (kPa)按下式计算 ：
p0 p c p 0d
p — 基底平均压力设计值(kPa)
c — 土中基底处自重应力
§4.3 地基中的附加应力
附加应力是由于修建建筑物以后在地基内新增加 的应力。
附加应力是使地基发生变形，引起建筑物沉降。
§4.3 地基中的附加应力
假定地基土是连续、均质、各向同性的半无限空 间弹性体，在深度和水平方向上都是无限延伸的。
二、均布矩形荷载下的地基附加应力：
均布矩形荷载角点下
的附加应力z：
角点下的地基附加应力：
d z
3
2
x2
p0 z3 y2 z2
5/2
dxdy
z
d z
A
3 p0 z 3
2
lb 00
x2
1 y2
z2
5 2
dxdy
p0
lbz l 2 b2 2z2
arctan
lb
2 l2 z2 b2 z2 l2 b2 z2
中，竖向正应力z具有特别重要的意义，它是
，
土中应力计算课件
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
3P z3
பைடு நூலகம்
3P
cos3
2 R5 2R 2
R r2 z2
z
3P z3
2 R5
z
3P
2
(r 2
z3 z2 )5/2
3
2
1 [(r / z)2 1]5/ 2
P z2
z
P z2
3.3.3 矩形和圆形荷载下地基附加应力计 算——积分法
3.3 土中附加应力
3.3.1 基本概念
1、定义
附加应力是因为外荷载作用，在地基中产生旳应力增量。
2、基本假定
地基土是各向同性旳、均质旳线性变形体，而且在深度和水平 方向上都是无限延伸旳。
3.3.2 竖向集中力作用时旳地基附加应 力布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
r
y
x
R r2 z2
dz
z2
arctan
z
lb
]
(l 2 b2 z2 )
z c p0
c
1 2
(m2
mn(m2 2n2 1) n2 )(1 n2 ) m2 n2
1
arctan n
m ]
(m2 n2 1)
c ——均布矩形荷载角点下旳竖向附加应力系数，简称角点 应力系数，可查表得到。
* 对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下旳情况：
2z3 p
z b
b
d
0 [(x )2 z 2 ]2
z
p
[n(arctan
n m
arctan
土力学与地基基础(土中的应力计算)
此时基底平均压力按下式计算： 此时基底平均压力按下式计算：
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
4 土力学(stress)土中应力
基底标高以上天然土的 加权平均重度 (天然地面起）
桥台前后填土引起的基底附加应力计算
椎体也是填土
4-13 竖向附加应力系数 竖向附加应力系数 (p 94 表4-1)
p02 2 2 H 2
p01 1 1H1
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929) 法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和 固体力学都有贡献。
基底 压力 合力 与总 荷载 相等
pmin 0
p max
p max
p max
2P 2P 3KL 3(B 2 e ' )L
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
e’>B/6: 出现拉应力区
1)竖向静力平衡
F + G = 基底压力的反力合力Fa
F B Ke x L
K=B/2-e
2)基底压力重新调整后
3K y p min 0
e’ Fa
2(F G) 2(F G) 3KL 3(B 2 e ' )L
p max
注意：
偏心荷载作用下（e>l/6）时，偏心距e’的确定： 错误：e = 力作用点距离中心线的距离 正确：由于e>l/6，因此基底压力重新分布，e’ = M/(F+G)
§4 土中应力
第一节
概述
土中的应力主要包括：土体本身的重量产生的自 重应力；建筑物荷载引起的附加应力；土中渗透 水流引起的渗透应力。本章将只介绍自重应力和 附加应力。
计算地基应力时，一般将地基看作是一个具有水 平界面，深度和广度都无限大的空间弹性体。
§4 土中应力
土中应力符号的规定
zx
桥台前后填土引起的基底附加应力计算
椎体也是填土
4-13 竖向附加应力系数 竖向附加应力系数 (p 94 表4-1)
p02 2 2 H 2
p01 1 1H1
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929) 法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力学和 固体力学都有贡献。
基底 压力 合力 与总 荷载 相等
pmin 0
p max
p max
p max
2P 2P 3KL 3(B 2 e ' )L
e<B/6: 梯形
e=B/6: 三角形
e’>B/6: 出现拉应力区
1)竖向静力平衡
F + G = 基底压力的反力合力Fa
F B Ke x L
K=B/2-e
2)基底压力重新调整后
3K y p min 0
e’ Fa
2(F G) 2(F G) 3KL 3(B 2 e ' )L
p max
注意：
偏心荷载作用下（e>l/6）时，偏心距e’的确定： 错误：e = 力作用点距离中心线的距离 正确：由于e>l/6，因此基底压力重新分布，e’ = M/(F+G)
§4 土中应力
第一节
概述
土中的应力主要包括：土体本身的重量产生的自 重应力；建筑物荷载引起的附加应力；土中渗透 水流引起的渗透应力。本章将只介绍自重应力和 附加应力。
计算地基应力时，一般将地基看作是一个具有水 平界面，深度和广度都无限大的空间弹性体。
§4 土中应力
土中应力符号的规定
zx
土中应力
w : 水的重度
（2）当位于地下水位以下的土为坚硬不透水层，在坚硬不透水层土中只含有 结合水，计算不透水层顶面及以下的自重应力时按上覆土层的水重总量计算。即 采用饱和容重计算。
4.2.2 成层土中自重应力
cz
cz
1h1
1h1 2h2
1h1 2h2 3h3
wh3
2 (830 103.5) 3 0.861.5
482.4(kPa)
F+G
F=830kN
室内
M
0.6m
G
0.7m
e
pmax 3k=2.5m
b=1.5m l=3m
矩形基础在双向偏心荷载作 用下，若 pmin 0
则矩形基底边缘四个角点 处的压力可由下式计算
F+G y
My
x
Mx
b
l
pm pm
集中力时地基中任意点的应力和位移解
半空间表面
布辛奈斯克解
假设地基土为弹性半空间体
x
P
y
M(x、y、z）
z
4.4.1 竖向集中力作用时的地基附加应力
1. 布辛奈斯克解
p
o
αr
x y
x
M′
R θz
z
zx
y
M
xy
x
z
y yz
x y z xy yz
z
3p 2
z3 R5
3p 2z 2
(r 2
z5 z2)5/2
3 2
(r
/
1 z)2 1)
5/2
p z2
（2）当位于地下水位以下的土为坚硬不透水层，在坚硬不透水层土中只含有 结合水，计算不透水层顶面及以下的自重应力时按上覆土层的水重总量计算。即 采用饱和容重计算。
4.2.2 成层土中自重应力
cz
cz
1h1
1h1 2h2
1h1 2h2 3h3
wh3
2 (830 103.5) 3 0.861.5
482.4(kPa)
F+G
F=830kN
室内
M
0.6m
G
0.7m
e
pmax 3k=2.5m
b=1.5m l=3m
矩形基础在双向偏心荷载作 用下，若 pmin 0
则矩形基底边缘四个角点 处的压力可由下式计算
F+G y
My
x
Mx
b
l
pm pm
集中力时地基中任意点的应力和位移解
半空间表面
布辛奈斯克解
假设地基土为弹性半空间体
x
P
y
M(x、y、z）
z
4.4.1 竖向集中力作用时的地基附加应力
1. 布辛奈斯克解
p
o
αr
x y
x
M′
R θz
z
zx
y
M
xy
x
z
y yz
x y z xy yz
z
3p 2
z3 R5
3p 2z 2
(r 2
z5 z2)5/2
3 2
(r
/
1 z)2 1)
5/2
p z2
第四章 土应力.
3、附加应力
4、基底压力计算
第四章
§4.1 概述
土中应力
§4.2 土中自重应力 §4.3 基底压力
§4.4 地基附加应力
§4.1 概述
1 基本概念
支承建筑物荷载的土层称为地基。 与建筑物基础底面直接接触的土层称为持力层。 将持力层下面的土层称为下卧层。
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已 经压缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的 变形。但对于新沉积土层或近期人工充填土应考 虑自重应力引起的变形。地下水的升降也会引起 土中自重应力的大小的变化，而产生变形。
孔隙应力 孔隙压力
3 应力计算基本假定 天然土层往往是由成层土所组成的非均质土或各向异性土， 但当土层性质变化不大时，假定土为均质、各向同性、线 性变形体。
ห้องสมุดไป่ตู้
加载
碎散体
连续介质 （宏观平均） 线弹性体 （应力较小时） 均质各向同性体 （土层性质变化不大）
线弹性
非线性 弹塑性
成层土 各向异性
卸载
εp
假定：天然地面是半空间（半无限体）表面是一个无限大的 平面，因而在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。
计算：地下水位以上用天然容重，地下水位以下用浮容重
2 竖向自重应力
天然地面
土体中任意深度处的竖向自重应 力等于单位面积上土柱的有效重量
cz
cz
cx
cz z
1 1
σcz= z
2 应力分类 自重应力 自重压力 2.1按起因分 附加应力 附加压力
土体受外荷载（包括建筑物荷载、交通荷载、堤 坝荷载等）及地下水渗流、地震等作用下附加产 生的应力增量。
有效应力 2.2按土骨架和 土中孔隙的 分担作用
土力学完整课件土中应力计算
3dP z 3 3 pxz3 d z 5 dxdy 5 2 R 2bR
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
积分,得
z t p
Y
t f (m l / b, n z / b)
三角分布矩形荷载角点下的竖向附加应 力系数.可查表. 注意l—荷载不变化边 的长度; b—荷载变化边的长度.
水平均布荷载
q
z
x z
2
2 pz 3
2
2
(二)条形荷载下的附加应力计算 1.均布条形荷载下的附加应力 p O x b/2 b/2 z x M z 2. 三角形荷载的附加应力 pt O x b z x M z
z u p
z x u f u m , n b b
l
pmax pmin
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=(bl2)/6
讨论：
N 6e pmax 1 bl l min
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
3.基底中点下附加压 力计算
1.5m 2m 112.6kPa
0 ＝18.5kN/m3
292.0kPa
179.4kPa
112.6kPa
分析步骤Ⅳ:
F=400kN/m 0.1m M=20kN •m/m
1.5m
1m 1m 2m 2m 2m
0 ＝18.5kN/m3
3． r 0 ，随 z 从 0 开始增大， z 先随之增大，后随之减小；
4土中应力(自重-地基附加应力)解析
F
实际情况
F
基底附加压力在数 值上等于基底压力 扣除基底标高处原 有土体的自重应力
d
p0
p
0
d
基底附加压力
p0 p 0 d
自重应力
基底压力呈梯形分布时， 基底附加压力
p0 m a x p0 m in
pm a x pm in
0d
注意
❖因为基础具有一定的埋深，弹性力学解答具有近似性。 ❖ 基坑平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在沉降 计算中，为了适当考虑这种坑底回弹和再压缩增加沉降，取
若基础底面的形状或分布荷载都是有规律时，用积分法。
dA dd dF p(x, y)dd
（ 3 ）圆形面积上作用均布荷载时，土中附加应力的计算
z r p0
r f (z / r0 )
additional stress induced by uniform circular load
条形均布荷载下地基中的应力分布规律
土力学中应力符号的规定
z
zx
地基：半无限空间
xy
x
o
∞
y yz
x
∞
y z
∞
ij=
x xy xz yx y yz
zx zy z
一. 土力学中应力符号的规定
- zx
z
+
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
xz
x
正应力
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
e>l/6
e=l/6
pmin=0
基底ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力重分布
3.土中自重应力、附加应力计算及应用
P r
m
⑴在集中力P作用线上，r=0,当z=0 时，附加应力趋于无穷；随着深度 的增加，逐渐减少。 ⑵在r＞0的竖直线上，当z=0时， 附加应力为零，随着深度的增加， 附加应力从零逐渐增大，至一定深 度后又随着深度的增加逐渐变小。 ⑶在z为常数的平面上，附加应力在 集中力作用线上最大，并随着r的增 加而逐渐减小，随着深度增加，这 一分布趋势保持不变，但会随着r增 加而降低的速率变缓。
z
■
应力叠加原理
当地基表面 作用有几个 集中力时， 可分别算出 各集中力在 地基中引起 的附加应力， 然后根据应 力叠加原理 求出附加应 力的总和
Pa
Pb
z
a c
b
空间问题的附加应力计算 设基础长度为L,宽度为b，当l/b＜10时， 其地基附加应力的计算属于空间问题。 ⑴竖直均布荷载作用下矩形基底角点下 的附加应力
dA
z
0 0 l b
2 x 2 y 2 z 2
3z 3 p dxdy
dP L b x
52
p m 1 m 1 1 tg 2 2 2 2 2 2 1 m2 n2 m n 1 n n 1 m n Kc p
cx cy K0 cz
K0—土的侧压力系数，可通过试验求得，无 试验资料时可按经验公式推算
2.2 基底压力
概述 基底压力是计算地基中附加应力的外荷载， 也是计算基础结构内力的外荷载，因此，在计 算地基附加应力和基础内力时，都必须首先研 究基底压力的分布规律和计算方法。
基底压力：指上部结构荷载和基础自重通过基础传递， 在基 础底面处施加于地基上的单位面积压力。 基底反力：地基反向施加于基础底面上的压力。 基底附加压力：基底压力扣除因基础埋深所开挖的自重应力 之后在基底处施加于地基上的单位面积压力。
m
⑴在集中力P作用线上，r=0,当z=0 时，附加应力趋于无穷；随着深度 的增加，逐渐减少。 ⑵在r＞0的竖直线上，当z=0时， 附加应力为零，随着深度的增加， 附加应力从零逐渐增大，至一定深 度后又随着深度的增加逐渐变小。 ⑶在z为常数的平面上，附加应力在 集中力作用线上最大，并随着r的增 加而逐渐减小，随着深度增加，这 一分布趋势保持不变，但会随着r增 加而降低的速率变缓。
z
■
应力叠加原理
当地基表面 作用有几个 集中力时， 可分别算出 各集中力在 地基中引起 的附加应力， 然后根据应 力叠加原理 求出附加应 力的总和
Pa
Pb
z
a c
b
空间问题的附加应力计算 设基础长度为L,宽度为b，当l/b＜10时， 其地基附加应力的计算属于空间问题。 ⑴竖直均布荷载作用下矩形基底角点下 的附加应力
dA
z
0 0 l b
2 x 2 y 2 z 2
3z 3 p dxdy
dP L b x
52
p m 1 m 1 1 tg 2 2 2 2 2 2 1 m2 n2 m n 1 n n 1 m n Kc p
cx cy K0 cz
K0—土的侧压力系数，可通过试验求得，无 试验资料时可按经验公式推算
2.2 基底压力
概述 基底压力是计算地基中附加应力的外荷载， 也是计算基础结构内力的外荷载，因此，在计 算地基附加应力和基础内力时，都必须首先研 究基底压力的分布规律和计算方法。
基底压力：指上部结构荷载和基础自重通过基础传递， 在基 础底面处施加于地基上的单位面积压力。 基底反力：地基反向施加于基础底面上的压力。 基底附加压力：基底压力扣除因基础埋深所开挖的自重应力 之后在基底处施加于地基上的单位面积压力。
土力学课程讲解第4章
土力学
厦门大学
土木系
29
P 解：（1） σ Z = α ⋅ 2 Z
z=2, r=0，1，2，3，4m，α 查表可知，求σz后绘出图 （2）同理，r=0, z=0，1， 2，3，4m，求出σz后绘出图 （3）反算
【例4－3】解答
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30
二、矩形面积受竖向均布荷载的 地基附加应力
1 矩形均布荷载角点下的应力 积分法求矩形荷载面角点下的地 基附加应力。
一、基底压力
1 中心荷载作用下基底压力 2 偏心荷载作用下基底压力
二、基底附加应力
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16
二、基底附加压力
作用在基础底面的压力与基地处建前土自重应力之差。
p 0 = p − σ ch = p − γ m h
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17
二、基底附加压力
卸荷应力、变形：卸荷理论涉及岩土介质的本构关系、 卸荷原理、卸荷过程，分析计算方法等，目前在理论 上还很不完善，工程应用不广泛，只在大型工程中由 大的科研机构承担一些探索性的研究。
（3）O点在荷载面边缘外侧 σZ=（αCⅠ﹣αCⅡ＋αCⅢ﹣αCⅣ）po e Ⅳ o h Ⅱ a g d c abcd可看Ⅰ由（ofbg）与Ⅱ （ofah）之差和Ⅲ（oecg） 与Ⅳ（oedh）之差合成
f
b 厦门大学 土木系
34
土力学
二、矩形面积受竖向均布荷载的 地基附加应力
（4）O点在荷载面角点外侧 σZ=（αCⅠ﹣αCⅡ﹣αCⅢ﹢αCⅣ）po e d c 荷载面由Ⅰ（ohce）,Ⅳ （ogaf）两个面积中扣除 Ⅱ（ohbf）和Ⅲ（ogde）
土力学
厦门大学
4 土中应力计算
i 1
8
z 10m :
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa
i 1
8
第五节 竖向分布荷载作用下 土中应力计算
分布荷载作用下土中应力计算
• 在基底范围取元素 面积dF，作用在 元素面积上的分布 集中力可以用集中 力dQ表示。
dF d d dQ p( , )d d
第四章 土中应力计算
第一节 概述
• 土中应力：是指土体在自身重力、构筑 物荷载以及其它因素（土中水渗流、地 震等）作用下，土中所产生的应力。土 中应力包括自重应力与附加应力。 • 计算方法：主要采用弹性力学公式，也 就是把地基土视为均匀的、各向同性的 半无限弹性体。
土的应力－应变关系
• 连续介质问题 • 线性弹性体问题 • 均质、等向问题
• 某建筑场地 的地质柱状 图和土的有 关指标列于 图中。计算 地面下深度 为2.5m、 3.6m、 5.0m、 6.0m、 9.0m 处的自重应 力，并绘出 分布图。
例 题 4.1
例 题4.2
• 计算绘制地基中自重应力沿深度分布曲线。
第三节 基础底面的 压力分布与计算
基础底面压力分布的概念
• 接触压力问题及其 影响因素：基础刚 度、尺寸、埋深、 土性、荷载大小
• 绝对柔性基础 • 柔性基础 • 刚性基础
基础底面压力分布的概念
• 刚性基础：基础各点的沉降是相同的，基 底压力分布随荷载的增大依次呈马鞍形分 布、抛物线形分布及钟形分布。
接触压力计算方法
• 简化方法——材料力学轴心和偏心受 压公式 • 弹性地基上的梁板理论——弹性力学 理论，考虑基础刚度的影响
例题 4.7
某基础为方形，基础 深度范围内土的重度 γ＝18kN/m3，试计算 基础最大压力边角下 深度z=2m处的附加 应力。
8
z 10m :
z zi 4 0.045 0.047 0.368kPa
i 1
8
第五节 竖向分布荷载作用下 土中应力计算
分布荷载作用下土中应力计算
• 在基底范围取元素 面积dF，作用在 元素面积上的分布 集中力可以用集中 力dQ表示。
dF d d dQ p( , )d d
第四章 土中应力计算
第一节 概述
• 土中应力：是指土体在自身重力、构筑 物荷载以及其它因素（土中水渗流、地 震等）作用下，土中所产生的应力。土 中应力包括自重应力与附加应力。 • 计算方法：主要采用弹性力学公式，也 就是把地基土视为均匀的、各向同性的 半无限弹性体。
土的应力－应变关系
• 连续介质问题 • 线性弹性体问题 • 均质、等向问题
• 某建筑场地 的地质柱状 图和土的有 关指标列于 图中。计算 地面下深度 为2.5m、 3.6m、 5.0m、 6.0m、 9.0m 处的自重应 力，并绘出 分布图。
例 题 4.1
例 题4.2
• 计算绘制地基中自重应力沿深度分布曲线。
第三节 基础底面的 压力分布与计算
基础底面压力分布的概念
• 接触压力问题及其 影响因素：基础刚 度、尺寸、埋深、 土性、荷载大小
• 绝对柔性基础 • 柔性基础 • 刚性基础
基础底面压力分布的概念
• 刚性基础：基础各点的沉降是相同的，基 底压力分布随荷载的增大依次呈马鞍形分 布、抛物线形分布及钟形分布。
接触压力计算方法
• 简化方法——材料力学轴心和偏心受 压公式 • 弹性地基上的梁板理论——弹性力学 理论，考虑基础刚度的影响
例题 4.7
某基础为方形，基础 深度范围内土的重度 γ＝18kN/m3，试计算 基础最大压力边角下 深度z=2m处的附加 应力。
地基土中的应力
Hale Waihona Puke FkGk A1
6e l
讨论：
pk pk
max min
Fk
Gk A
1
6e l
当e<l/6时，pkmax，pkmin>0，基底压力呈梯形分布
当e=l/6时， pkmax >0， pkmin =0，基底压力呈三角形分布
当e>l/6时， pkmax >0， pkmin <0，基底出现拉应力，基底压力重分
57.0kPa
80.52
kPa 104kPa
150.1kPa
n
cz 1h1 2h2 nhn ihi i 1
194.1kPa
总结
首先要明确地基中的自重应力不会再引起土的变形。但新近沉积的土或 人工填土以及地下水位的升降，还会引起相应的变形。
其次，在自重应力计算时，把地基当作半无限弹性体来考虑。 最后，应清楚自重应力是随深度线性增大、呈三角形分布的规律。
在计算自重应力时还应注意下列几点： (1)计算的起始点必须从原地面开始，与基坑开挖与否无关。因为自重
应力实质上是指土体中所受到的原始应力。 (2)当地基土成层时，由于各土层的容重不同，在各土层交界面处的自
重应力分布会出现转折现象。 (3)在地下水位以下，必须采用土的浮容重来计算。因为不论从考虑水
2、基本假定
地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且
在深度和水平方向上都是无限延伸的。
采用
的计算方法是根据弹性理论推导的。
附加应力分布特点 ：
1、在任意深度同一水平面上附加应力不等，中心线上附加 应力最大，向两侧逐渐减小，但扩散的范围越来越广。
2、附加应力随地基土深度增加 其数值逐渐减小。
6e l
讨论：
pk pk
max min
Fk
Gk A
1
6e l
当e<l/6时，pkmax，pkmin>0，基底压力呈梯形分布
当e=l/6时， pkmax >0， pkmin =0，基底压力呈三角形分布
当e>l/6时， pkmax >0， pkmin <0，基底出现拉应力，基底压力重分
57.0kPa
80.52
kPa 104kPa
150.1kPa
n
cz 1h1 2h2 nhn ihi i 1
194.1kPa
总结
首先要明确地基中的自重应力不会再引起土的变形。但新近沉积的土或 人工填土以及地下水位的升降，还会引起相应的变形。
其次，在自重应力计算时，把地基当作半无限弹性体来考虑。 最后，应清楚自重应力是随深度线性增大、呈三角形分布的规律。
在计算自重应力时还应注意下列几点： (1)计算的起始点必须从原地面开始，与基坑开挖与否无关。因为自重
应力实质上是指土体中所受到的原始应力。 (2)当地基土成层时，由于各土层的容重不同，在各土层交界面处的自
重应力分布会出现转折现象。 (3)在地下水位以下，必须采用土的浮容重来计算。因为不论从考虑水
2、基本假定
地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且
在深度和水平方向上都是无限延伸的。
采用
的计算方法是根据弹性理论推导的。
附加应力分布特点 ：
1、在任意深度同一水平面上附加应力不等，中心线上附加 应力最大，向两侧逐渐减小，但扩散的范围越来越广。
2、附加应力随地基土深度增加 其数值逐渐减小。
土力学-第四章
水平向自重应力
地基中自重应力
必须指出：只有通过土粒接触点传递的粒间应力，才
能使土粒彼此挤紧，从而引起土的变形，而粒间应力又是
影响土体强度的一个重要因素，所以粒间应力又称为有效 应力。因此，土中自重应力可定义为土自身有效重力在土
体中引起的应力。土中竖向和侧向的自重应力一般均指有
效自重应力。为简便起见，常把σCZ称为自重应力，用σC表 示。
静止侧压 力系数
4.2.2 水平向自重应力
x cx
E
E
cz
cy 0
cx cy
1
cz
4.2.2 水平向自重应力
K0—— 静止侧压力系数，它是在无侧向变 形条件下水平有效应力与竖向有效应力之
比。其值由试验确定，与土层应力历史及
土的类型、重度等有关。
z1 t1 pt
z2 a t1 p0 t2 pt
t是m，n的函数，其中n=L/b，m=z/b。 b是沿
三角形分布方向上的长度，z是从基底起算的 深度。
矩形面积基底受水平荷载角点下的 竖向附加应力
注意：b是平行于水平荷载作 用方向的长度。
圆形面积均布荷载作用中心的附加应力
重应力等于单位面积上覆土柱的有效重量。 天然地面
cz z
cz
σcz= z
z
cy
cz
cx
1
1
z
4.2.1 竖向自重应力
二、成层土的自重应力计算
a
h1
天然地面
b
1
2 3
1 h 1
cz 1h1 2 h2 h3 i hi
'
第4章 土中应力
19×3＝57.0kPa 57+10.5×2.2=80.1kPa 80.1+9.2×2.5=103.1kPa 103.1+10×4.7=150.1kPa 150.1+22×2=194.1kPa
§4.2 土中自重应力
例4-2：某地基土层情况及其物理性质指标如图所示， 试计算a，b，c3个点处的自重应力σz度（m）。
则基底压力p按下式计算：
§4.3 基底压力
2.偏心荷载下的基底压力
对于单向偏心荷载下的矩形基础
（如图），通常基底长边方向和偏心
方向一致，基底两边缘的最大、最小
压力pmax、pmin按下式计算：
pmax
pm
in
F G lb
M W
式中：M - 作用于的矩形基础底面的力矩，kN m；
§4.1 概 述
（3）土体可视为半无限体 所谓半无限体就是无限空间体的一半。即该物 体在水平方向是无限延伸的，而在竖直方向仅在向 下的方向是无限延伸的，向上的方向为零。地基土 在水平方向和深度方向相对于建筑物地基的尺寸而 言，可认为是无限延伸的。因此，可以认为地基土 体是符合半无限体的假定。
§4.1 概 述
§4.3 基底压力
荷载条件 基底压力分布
地基条件
•大小 •方向 •分布
基础条件
•土类 •密度 •土层结构等
•刚度 •形状 •大小 •埋深
§4.3 基底压力
1. 基础刚度的影响 基础刚度是指其抗弯刚度，基础按刚度可划分 为如下三种类型： （1）柔性基础 柔性基础刚度很小，在荷载作用下，基础的变 形与地基的变形一致，如土坝、土堤、路基等土工 建筑物，其基底压力分布和大小与作用在基底上的 荷载分布和大小相同。
§4.4 地基附加应力
§4.2 土中自重应力
例4-2：某地基土层情况及其物理性质指标如图所示， 试计算a，b，c3个点处的自重应力σz度（m）。
则基底压力p按下式计算：
§4.3 基底压力
2.偏心荷载下的基底压力
对于单向偏心荷载下的矩形基础
（如图），通常基底长边方向和偏心
方向一致，基底两边缘的最大、最小
压力pmax、pmin按下式计算：
pmax
pm
in
F G lb
M W
式中：M - 作用于的矩形基础底面的力矩，kN m；
§4.1 概 述
（3）土体可视为半无限体 所谓半无限体就是无限空间体的一半。即该物 体在水平方向是无限延伸的，而在竖直方向仅在向 下的方向是无限延伸的，向上的方向为零。地基土 在水平方向和深度方向相对于建筑物地基的尺寸而 言，可认为是无限延伸的。因此，可以认为地基土 体是符合半无限体的假定。
§4.1 概 述
§4.3 基底压力
荷载条件 基底压力分布
地基条件
•大小 •方向 •分布
基础条件
•土类 •密度 •土层结构等
•刚度 •形状 •大小 •埋深
§4.3 基底压力
1. 基础刚度的影响 基础刚度是指其抗弯刚度，基础按刚度可划分 为如下三种类型： （1）柔性基础 柔性基础刚度很小，在荷载作用下，基础的变 形与地基的变形一致，如土坝、土堤、路基等土工 建筑物，其基底压力分布和大小与作用在基底上的 荷载分布和大小相同。
§4.4 地基附加应力
土中应力概述和自重应力
自重应力(overburden stress)：
土体变形或地基变形的主要 原因，是导致土体强度破坏 和失稳的重要原因。
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
附加应力(additional stress)：
建筑物修建以后，建筑物重量等 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布
当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布
当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分
布
pmax
pmin
e<l/6
pmax
pmin=0
pmax
pmin<0 基底压力重分布pmax
e>l/6
e=l/6
§4.3 基底压力 Contact pressure
一、概述
1.概念 基底压力是建筑物荷载通过基础传递给地基的单位面积压力。 作用于地基上的是基底压力 作用于基础上的是地基反力 基底压力为接触压力
2.学习研究的意义 是确定地基强度条件的前提
二、基底压力的分布
1. 基底压力的分布与基础的刚度有关
柔性基础
p0 p cd
❖保证坑底土质不发生浸水膨胀条件
有了基底附加压力，可把它作为作用于弹性半空间表面上的 局部荷载，根据弹性力学计算地基中的附加应力
§4.4 地基中的附加应力
附加应力：新增外加荷载在地基土体中引起的应力
计算基本假定：
地基土是连续、 均匀、各向同性 的半无限完全弹 性体
x, z的函数
不同地基中 应力分布各 有其特点 x, y, z的函数
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pmax e<l/6
pmin pmax
pmin= 0
pmax
pmin<0 基底压力重分布
pmax
e>l/6
e=l /6
pmin= 0
基底压力重分布
偏心荷载作用在 基底压力分布图
形的形心上
F
?
G?
1 2
pmax
?
3?? ?
l 2
?
e ??b ?
p max
?
2 ?F ? G ?
3
? ?
l
?
e
? ?
b
?2
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
§4–2 土中自重应力 一、概念
由土的自重引起的应力，称为自重应力。
二、假设条件
土体为连续、均质和各向同性的半无限弹性体
三、计算公式
三、计算公式
离地面深度Z处，土的自重 =土的体积×土的重度
土的体积： V ? A?Z
按应力的定义
? cz
?
A?Z ??
A
? cz ? ? ?Z
基底压力呈梯形分布时， 基底附加压力
p 0 max p 0 min
?
p max p min
? ?0d
注意
?因为基础具有一定的埋深，弹性力学解答具有近似性。 ? 基坑平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在沉降 计算中，为了适当考虑这种坑底回弹和再压缩增加沉降，取
p0 ? p ? ?? cd
?保证坑底土质不发生浸水膨胀条件
第4章 土中应力 Stress in soils
§4–1 概述 §4–2 土中自重应力 §4–3 基底压力（接触应力） §4–4 地基附加应力
§4–1 概述
F
G
持力层（受力层） 下卧层
自重应力(overburden stress)
附加应力(additional stress) 有效应力：(effective stress) 孔隙应力(pore stress)
2.学习研究的意义
是确定地基强度条件的前提
二、基底压力的分布
1. 基底压力的分布与基础的刚度有关
柔性基础
基础
刚性基础
柔性基础
特点 基础随地基 一起变形， 基底压力为均匀分布
（a）理想柔性基础 （b）路堤下地基反力分布
刚性基础
特点
基础本身无变形，基底 压力为非均匀分布
影响基底压力的其它因素
基础埋深 地基土的性质
? cz ? ? ?Z
2.成层地基土的自重应力 当地基为成层土体时，设各土层 的厚度为hi，重度为?i，则在深度z处 土的自重应力计算公式为：
式中n为从天然地面到深度z处的 土层数。
3.地下水的影响
? 计算点在地下水位下时，由于 水对土体有浮力作用，则下部 分柱体取有效重度，即
? cz ? (? ? ? w)z ? ? ' z
土力学中应力符号的规定
?z
地基：半无限空间
∞
o
∞
x
? zx
? xy
?x
? y ?yz
y ∞ z
? ij =
? x ?xy ?xz ?yx ? y ?yz
?zx ?zy ? z
一. 土力学中应力符号的规定
- ?zx
?z
+
材料力学
??xzx?z- ?zx +
土力学
?
?
xz
x
正应力
剪应力
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
?
三、基底附加压力
? 基底附加压力： 作用于地基表面，由于建造建筑物而
新增加的压力称为基底附加压力，即导致地基中产生附 加应力的那部分基底压力
F
实际情况
F
基底附加压力在数 值上等于基底压力 扣除基底标高处原 有土体的自重应力
d
p0 ? p ? ?0 d
基底附加压力
p0 ? p ? ?0 d
自重应力
有效应力：(effective stress)土粒所传递的粒间应力，它是控制 土的体积和强度 两者变化的土中应力。
孔隙应力(pore stress)：土中水和土中气所传递的应力。
土的变形具有明显的非线性特征。但考虑到一般建筑物荷 载作用下地基中应力的变化范围不大时，可以把土看成是一个 线性变形体，从而简化计算。
自重应力(overburden stress)：
土体变形或地基变形的主要 原因，是导致土体强度破坏 和失稳的重要原因。
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
附加应力(additional stress)：
建筑物修建以后，建筑物重量等 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。
有了基底附加压力，可把它作为作用于弹性半空间表面上的 局部荷载，根据弹性力学计算地基中的附加应力
自重应力的分布规律 自重应力与水平应力的关系
土的水平向自重应力? cx, ? cy可用下式计算
? cx ? ? cy ? K0? cz
式中K0为侧压力系数，也称静止 土压力系数；土体无侧向变形和 剪切变形，故
? xy ? ? yz ? ? zx ? 0
四、公式的应用
1.均质地基土的自重应力stress in homogeneous soil
2. 基底的简化计算
中心荷载作用时
偏心荷载作用时
中心荷载作用时
若是条形基础， F, G取单位长度 基底面积计算
取室内外平 均埋深计算
G=? GAd
p? F?G A
偏心荷载作用时 F+G
pmax
作用于基础底面 形心上的力矩 M=( F+G ) ?e
p max ? F ? G ? M
p min
A
W
? 当地下水位下降，地基中有效自重应力增加，从而引起地面 大面积沉降的严重后果
? 当地下水位上升时，水位上升引起地基承载力的减小，湿陷 性土的陷塌
1 1'
原地下水位
1'
1
原地下水位
2 2'
2' 2
4.不透水层的影响 ?不透水层层面的自重应力按上覆土层的水土总重计算
5.自重应力图的绘制
① 建立直角坐标系 ② 确立特征点并编号 （地面、层面、
基础底面的抵 抗矩；矩形截 面W=bl2/6
pmin
pmax ? F ? G ??1 ? 6e ??
p min
bl ? l ?
讨论：
p max ? F ? G ??1 ? 6 e ??
p min
bl ? l ?
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布
地下水位面、不透水层层面） ③ 计算各点的竖向自重应力 ④ 按比例绘出特征点自重应力的位置 ⑤ 用直线连接各点 ⑥ 校核 （地下水位处，不透水层处）
§4.3 基底压力 Contact pressure
一、概述
1.概念 基底压力是建筑物荷载通过基础传递给地基的单位面积压力。 作用于地基上的是基底压力 作用于基础上的是地基反力 基底压力为接触压力