霍夫变换算子的分析与改进

第一章绪论Hough变换(Hough Transformation，HT) 是直线检测中常用的方法之一，是由PaulHough在1962年提出的。

它所实现的是一种从图像空间到参数空间的映射关系。

Hough变换将图像空间中复杂的边缘特征信息映射为参数空间中的聚类检测问题。

Duda和Hart于1972年首次用该方法提取直线。

他们发现，当许多点的分布近似为一条直线时，这条直线可以用Hough变换的方法确定。

经典HT常被用于直线、线段、圆和椭圆的检测。

广义霍夫变换(Generalized Hough Transformation，GHT)可以推广至检测任意形状的图形。

Hough变换的突出优点就是将图像空间中较为困难的全局检测问题转化为参数空间中相对容易解决的局部峰值检测问题。

也就是说，通过Hough变换之后，工作的重点就是如何更准确地、有效地检测出参数空间中共同投票区域的投票积累峰值。

当参数空间证据积累完成以后，通常采用给定阈值的方法确定备选估计参数。

但是，由于Hough变换自身的特点，使得提取出来的备选估计参数远远多于真实参数的个数，而且有好多备选估计参数来源于同一直线上数据点的投票积累。

若直接以备选估计参数作为检测到的直线参数输出直线，则是不符合实际、不正确的。

所以，在确定最终参数时，需要对备选估计参数做一定的处理，从而保证检测的准确性。

Hough 变换方法还具有明了的几何解析性、一定的抗干扰能力和易于实现并行处理点．Hough变换是从图像中识别几何形状的基本方法之一，因此有着广泛的应用。

例如：基于Hough变换的航片框标定位算法，霍夫变换在潮位相关分析中的应用等。

第二章 Hough变换2. 1 基本原理Hough变换的基本原理是将影像空间中的曲线（包括直线）变换到参数空间中，通过检测参数空间中的极值点，确定出该曲线的描述参数，从而提取影像中的规则曲线。

主要讨论直线与参数空间的变换性质。

一般将Hough 变换称为线一点变换，这是因为它将直角坐标系中的线变为极坐标系中的点。

假设目标空间用(,)A x y 表示，在此空间的直线y mx b =+可以用极坐标表示为：=cos ysin A()x ρθθαθ+=+（1） 其中(,)ρθ定义了一个从原点到直线上最近点的向量，这个向量与该直线垂直(如图1所示)。

图 1 目标空间与参数空间的几何关系从图l 可知直线与x 轴夹角Φ，和直线的法向量与x 轴夹角θ两者之间的关系为000090,9090,90=θθθθ+≤-≥⎧⎨⎩Φ （2） 由(,)ρθ组成的空间称为Hough 变换的参数空间，用(,)B ρθ表示。

对于目标空间(,)A x y 中任一点(,)x y ，在(1)式中θ从0 到180 变化，步长为1 ，计算对应的ρ值，建立的累加数组(,)B ρθ是目标图像的Hough 变换图像。

设目标图像的高度和宽度分别为H 和W ，则Hough 变换后图像的宽度为180像素，高度近似为(W*W+H*H) 像素。

若希望提高Hough 变化的精度，θ变化的步长可以设臵为0.5 ，则变换后图像宽度相应增加一倍。

2.2 Hough 变换的基本性质一、空间域的一个点(x,y)对应于变换域的一条正弦曲线=x cos ysin A()ρθθαθ+=+其中α=1tan (/)x y -二、变换域的一个点（ρ，θ）对应于空间域的一条直线tan /sin y c x θρθ=-⋅+三、空间域一条直线上的n 个点对应变换域中具有一个公共点的n 条曲线(,),1,2,i i x y i n = i i y ax b =+由性质一知，与第i 点 (,)i i x y 对应的变换域曲线cos sin cos ()sin (cos sin )sin i i i i i x y x ax b x a b ρθθρθθθθθ=+=++⋅=++⋅ 对于这一性质我们可以这样来理解：空间域的n 个点对应变换域的n 条曲线，但该n 条曲线未必相交；如果空间域的n 个点在一条直线上，那末变换域的n 条曲线必相交于同一点；同一条直线上的点越多，变换域交点的重数（相交曲线的条数）就越大。

这是我们用Hough 变换检测线特征的基础。

四、变换域中一条曲线上的n 个点(,)i i ρθ对应于空间域具有一个公共点的n 条直线cos sin ,1,2,i i i i n ραθβθ=⋅+⋅=每一对(,)i i ρθ对应的空间域直线为：cos sin 1ii i i x y θθρρ+==x cos ysin A()ρθθαθ+=+注意：/sin tan i i i c ρθαθβ=⋅+tan /sin tan tan ()tan i i ii i i y xc x c c x c θρθθαθβαθβ=-+=-⋅+⋅+=-⋅+显然，当x=α时，y=β，即点(,)αβ在每一条直线上2. 3基于Hough 变换的直线提取过程用Hough 变换提取直线可以概括如下：(1) 对影像进行预处理，提取特征并计算梯度方向；(2) 将参数平面量化，在ρ和θ合适的最大值和最小值之间建立一个离散的参数空间，建立一个累加器A(ρ，θ)，并臵每个元素为O ；(3)对边缘图上超过门限值的每一点作Hough 变换(对于二值图像即为黑色像素点)，即算出该点在ρ-θ平面上的对应曲线，并在相应的累加器上加1(,)(,)1A A ρθρθ=+(4)找出对应图像平面上共线点的累加器的局部极大值，这个值提供了图像平面上共线点直线的参数，从而可以确定该直线。

2．4 基于Hough 变换理论的其它几种典型图形的检测（1）线段长度检测线段的长度也就是线段上所包含的像素点的个数，由于图像空间中的直线对应参数空间中的一点，累加数组A(21d ρρ=-，θ)的值就表示图像空间中共线点的像素个数，根据这个原理可以通过检测参数空间中的最大灰度点，来检测最长的线段．（2）平行线检测对于一组相互平行的直线段，其法向量与 轴夹角θ都相等，因此反映在参数空间中对应的点都位于角度为θ的方向上，这样通过在参数空间检测特定角度的点，就可以检测图像空间中相应的平行线段的角度，以及平行线段之间的距离d ，即：21d ρρ=-（3）矩形检测矩形的几何特点是：由互相垂直的两组平行直线组成。

那么我们可以利用直线检测的结果判断图象中是否存在矩形图形，有几个矩形图形，并确定其参数。

可以从变换后的图象中得出，四个峰值点表示原图象上有4条直线，且为两对相互平行的直线，和两对相互垂直的直线，由4条直线的参数容易计算出4个交点的坐标，即获得该矩形的相关参数。

类似的方法可以用于检测梯形、三角形等由直线段组合成的几何图形。

（4）圆形检测利用“圆的任一弦的垂直平分线必通过圆心”这一性质，在图象平面上对于每个前景点0( X 。

，Y 。

)，在给定的步长上按行(或列)扫描，取该行(或列)上所有前景点P(X 。

，Y 。

)，连接0、P 两点并作直线OP 的垂直平分线 ，那么如果0、P 两点都在圆周上， 必经过圆心，与Hough 变换相同，将变换平面上每个点作为一个累加器，L 经过的各点分别加1，由于噪音点比例毕竟小于有效图形所占比例，因此非圆心点所通过的直线数量会远远小于圆心点通过的直线的数量，变换结束后寻找各累加器的最大值所在位臵便得到该圆的圆心坐标。

半径值则存储在另外一个内存空间上，该内存空间上各单元记录该点与0点的距离(即半径)，找到圆心后，在半径平面上对应位臵的值即圆心的半径。

第三章 Hough 变换算子的分析与改进3．1 对Hough 变换算子的分析Hough 变换的基本策略是：用图像空间的边缘数据点计算参数空间中的参考点的可能轨迹，并在一个累加器中给计算出的参考点计数，最后选出峰值。

该峰值表明在图像空间上有一共线点较多的直线，该直线的参数由累加器的ρ和θ确定，即按公式(,)(,)1A A ρθρθ=+确定，则图像空间上满足该式的点(x，y)就组成了该直线。

对上述策略分析可知，Hough变换存在如下三个问题：一是可能将本来不是一条直线上的点当成了一条直线；二是Hough变换是通过累加器中参考点的计数来确定直线的，只有共线点数量而没有位臵关系，故不知道直线的起点和终点；三是当以左下角为原点，直线与水平方向的夹角小于9O度时，Hough变换会以y=x这条直线对称地画出额外的一条直线。

3．2 对Hough变换的改进（1）用弗里曼链码法初步提取直线为了解决Hough变换中可能将本来不是一条直线上的点当成了一条直线，将弗里曼法加以改进后，在Hough变换之前利用弗里曼链码法初步提取直线。

弗里曼链码法的基本思想是：分析相邻点的方向关系，对不同方向上的点编码为不同的数值。

由于在同一条直线上的所有点之间的方向是相同的，因此运用弗里曼链码法编码后，同一条直线上的点编码的数值是相同的。

[2]因此可以运用弗里曼链码的思想，提取出编码数值相同的点，这些点应该在同一条直线上。

但是弗里曼链码法对于位于同一条直线上但与基准点方向不同的点编码的数值并不相同，所以必须将弗里曼链码法加以改进才可用于提取直线。

利用弗里曼链码法初步提取直线后，图像中只剩下了同一直线上的像素点，用弗里曼链码法处理后，可能将原本连续的直线变得不再连续了。

但是由于弗里曼链码法初步提取直线时去掉了大部分不在直线上的点，可以有效地解决Hough变换中存在的第一个问题。

（2）直线端点的确定根据Hough变换的原理，Hough变换不能提供直线起点、终点的位臵。

但将从变换空间中得到的直线信息反馈到图像空间则可以确定直线的端点。

实际的图像不可避免地受到噪声的污染，因此一些噪声点也可能符合此直线方程，在确定直线端点时，必须将噪声排除，不能误将噪声当成直线的端点。

当利用Hough变换检测出直线后，根据其参数0ρ和0θ，根据图像长宽和方程000cos sin x y ρθθ=+可以算出在图像范围内的在该直线上的一系列点，这些点顺序地形成队列。

扫描队列，直到遇到第一个标记为目标的点，再判断该点的下两个点是否也是目标点，若是目标点，就认为第一个点为直线的一个端点，否则就认为该点为噪声，接着再扫描，直至找到下一个端点，然后从直线的另一端按同样的方法可找到另一个端点。

（3） 用区域增长法去除对称的额外直线为了便于编程，实现并增加系统运行速度，θ的取值范围一般规定为00～0180，因而当实际在0180～0360时，要将其折合到00～0180范围内。

而且为了将计算出的045作为数组的下脚标，对ρ取绝对值后不同的θ和X ，Y 可能得到相同的ρ，这样就会大约以y=x 这条直线对称地检测出额外的一条直线。

区域增长法是图像分割的一种方法。

其基本原理是从一个已知点开始，加上与已知点相似的邻近点形成一个区域。