3_反比例函数的应用_练习1【北师大版数学九年级上册】
北师大版九年级数学上册第6章 反比例函数的应用
.
= . .
例 5：为检测某品牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气
体，当温度不变时，注射器里的气体压强 p(kPa)与气体体积 ³
的部分对应 值如下表：
V(cm³) 15
20
25
30
40
50
p(kPa) 400 300 240 200 150 120
在R≥3.6Ω这个范围内
小组讨论
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
教师讲评
知识点1：反比例函数与几何图形、一次函数的综合应用
反比例函数与几何图形、一次函数综合起来应用可解决如下几种问题：
（1）已知一次函数和反比例函数的表达式，求它们图象交点的坐标，这类题目可以
通过列方程组来求解；
（2）判断含有同一字母系数的一次函数和反比例函数的图象在同一直角坐标系中的
误区提醒
忽略实际问题中自变量的取值范围；不能正确地构造出函数模型.
典例精讲
【题型一】反比例函数与一次函数的交点问题
例1：如图，在直角坐标系xOy中，一次函数 = ₁ + 的图象
与反比例函数 =
)的图象交于 A(1,m)、B(3,n)两点,则关
于 x的不等式 ₁ + >
经检验， ₁ = −, ₂ = 是原方程的解，且符合题意，
∴点A的横坐标为 −,把 = −代入 = − ,得 2 = ,
∴点A的坐标为( − .
(3)当 ₁ > ₂时，x的取值范围为. < −或 < < .
和点
【题型二】成比例线段的概念
北师大版九年级数学上册第五章反比例函数(同步+复习)串讲精品课件
【例3】下列各题中，哪些是反比例函数关系
1. 三角形面积S一定时，它的底a与高h之间的 关系。 2. 多边形的内角和与边数的关系。 3. 正三角形的面积与边长之间的关系。 4. 长方形面积一定，长与宽的关系
正三角形面积＝(√３／４)a2
【练习】下列各小题中，两个变量成 反比例的是( D )。
(A)时间不变时，匀速运动的路程与 速度. (B)商品的价格与需求量. (C)矩形的周长不变时，它的长与宽. (D)三角形面积不变时，它的底边与 这条底边上的高.
1. 2. 3. 形状及名称：双曲线（与两轴无交点）。 位置：k＞0双曲线两个分支分别在一、三象 限；k＜0双曲线两个分支分别在二、四象限 性质：
① 增减性： k＞0时：图象在每个分支内是减函数； k＜0时间：图象在每个分支内是增函数 ② 对称性：是轴对称图形，对称轴是直线y=x和y=x（两坐标轴的两条角平分线）。又是中心对称 图形，对称中心是原点。 ③ 过原点的任一直线与函数图象的两个分支的交点 是中心对称点（坐标互反，知一求一）。 ④ 特别注意每个分支这一条件，不在一个分支据实。
填表分析正比例函数和反比例函数的区别
函数 表达式
图象形状
位 置
正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 直线 一三 象限
y随x的增大而增大
反比例函数
k y = x ( k是常数,k≠0 )
双曲线 一三 象限 每个象限内， y随
x的增大而减小
K>0
增 减 性
位 置
二四 象限
y随x的增大而减小
二四 象限
K<0
4.
反比例的意义：小学的名称，没有负数时的 算术概念。（可与正比例比较）。
【例1】
数学：5.3《反比例函数的应用课件(北师大版九年级上)(2019年12月整理)
2.进一步理解掌握反比x例函数与分式和分式 方程的关系，以及与一次函数等其它知识相 结合，解决与之相关的数学问题. 3.熟练运用反比例函数的知识解决相关的实 际问题和几何问题.
三.知识要点
1.反比例函数的应用就是运用反比例函数 的知识解决与反比例函数相关的实际问题 和相关的几何问题等，主要是利用反比例 函数的图象探求实际问题中的变化规律解 题. 2.反比例函数的综合应用常常与一次函数 综合，利用与坐标轴围成的图形考查线段、 面积等知识.
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喜悦之情。 【B】示例：“每一天“ “一输完液”“马上”等表示时间的词语连用，写出了岳老师利用一切可以利用的时间抓紧给小病号上课的情形。（一句2分，共4分） 10.①暗示文章的主要情节是岳老师教小病号背诵这句诗。 ②奠定了全文哀布满不伤的感情基调 。 ③凝聚了小病 号对岳老师的留恋、感激之情。 ④诗意地揭示了文章的主旨面对厄运，唯有抗争才能体现生命的意义。 至深至纯师生情（2017·河北省中考） ——与周有光先生二三事 ①在大学中文系读书时，系里曾邀请周有光先生给我们讲授文字改革课程，这样，我便有幸成了先生的学生。后来， 我和先生的来往增多。 ②我曾一直努力要为周先生出版多卷本的文集，为此也和几家出版社联系过，但都未能成功。2000年2月初，我向文艺出版社郝铭鉴先生提及为周先生出版文集的事，郝先生对周先生素来敬仰，很爽快地同样出版四卷本《周有光语文论集》，并由他自己担任编辑， 不过要我大力协助，我把这件事报告给周先生，他也很高兴。周先生在和出版社签订合同时，特别注明主编是“苏培成”。我拿到这份合同稿把它转交给出版社时，删去了这句话，因为这些文章是周先生的著作，我很愿意做一点编辑加工，弹不到什么名利。这部论集出版时，没有具体说 明由
九年级数学北师大版(上册)6.3 反比例函数的应用
(2)当S＝2时，y＝100 ＝50， 2
所以当面条粗2 mm2时，面条的总长度为50 m.
4.你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识： 一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y(m)是面条的粗细 (横截面积)S(mm2)的反比例函数，其图象如图所示． (1)写出y(m)与S(mm2)的函数关系式； (2)求当面条粗2 mm2时，面条的总长度是多少米？
∴y＝ 240 x
(2)
根据题意，若x＝10，则y＝
240 10
＝24，
∴长为24 m
(3) 根据题意可得 240 ≤20，解得x≥12， x
∴宽至少为12 m
2．打字员要完成一篇4 200字的文章录入工作．
(1)若平均每分钟录入60个字，则完成工作需要多少分钟？
(2)写出录入时间y(分)与录入速度x(字/分)之间的函数关系式；
油0.1升的耗油速度行驶，可行驶700千米．
(1)求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数解析
式,(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
解：(1)把 a＝0.1，S＝700 代入
S＝ k 中，得 k＝70，∴S＝ 70
a
a
(2) 把a＝0.08代入 S＝ 70 得
(2) 不能
理由：晚上20：00到第二天早上
7：00共有11小时，
把x＝11 代入 y＝ 225 ， 得 y＝ 225 ＞20
x
11
∴不能
二、过关检测
第1关
7．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程S(单位：千米)与
平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系S＝k (k是常
a
数，k≠0)．若某轿车油箱注满油后，以平均耗 油量为每千米耗
北师大版九年级数学上册：6.3反比例函数的应用(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了反比例函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对反比例函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在讲授新课的过程中，我尽量用简洁明了的语言解释反比例函数的定义，并通过案例分析让学生看到函数是如何在现实世界中发挥作用的。我认为这样的方法有助于提高学生的数学应用意识，让他们明白学习数学不仅仅是为了应付考试，而是为了解决实际问题。
实践活动环节，学生分组讨论和实验操作进行得相当顺利。我看到了他们积极思考、互相交流的场景，这让我感到很欣慰。不过，我也观察到有些小组在讨论时，个别成员参与度不高，这可能是因为他们对问题还不够理解。在未来的教学中，我需要更加关注这些学生，鼓励他们积极参与，提高他们的自信心。
北师大版九年级数学上册：6.3反比例函数的应用（教案）
一、教学内容
北师大版九年级数学上册：6.3反比例函数的应用。本节课我们将围绕以下内容展开：
1.反比例函数在实际问题中的应用。
2.利用反比例函数解决几何问题，如相似多边形的面积比、相似三角形的周长比等。
3.通过实际例子，让学生掌握反比例函数在生活中的应用，如速度与时间的关系、密度与体积的关系等。
4.分析反比例函数的性质，如函数图像、单调性、奇偶性等，并探讨其在实际问题中的应用。
5.练习题：完成教材课后练习第1、2、3题，巩固反比例函数的应用。
二、核心素养目标
1.培养学生运用反比例函数知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识。
北师大版九年级数学上册 第六章反比例函数及其应用练习题含答案
北师大版九年级数学上第六章反比例函数及其应用练习题基础达标训练1. (2018台州)已知电流I (安培)、电压U (伏特)、电阻R (欧姆)之间的关系为I ＝UR，当电压为定值时，I 关于R 的函数图象是( )2. 反比例函数y ＝k x(k >0)，当x <0时，图象在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限第3题图3. (2018广东省卷)如图所示，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x (k 1≠0)与双曲线y ＝k 2x(k 2≠0)相交于点A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标是( ) A. (－1，－2) B. (－2，－1) C. (－1，－1) D. (－2，－2)4. 在同一平面直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m (m ≠0)与y ＝m x(x ≠0)的图象可能是( )5. (2018兰州)如图，反比例函数y ＝k x(x <0)与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点的横坐标分别为－3，－1，则关于x 的不等式kx<x ＋4(x <0)的解集为( )A. x <－3B. －3<x <－1C. －1<x <0D. x <－3或－1<x <0第5题图6. (2018天津)若点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)在反比例函数y ＝－3x的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( )A. y 1<y 2<y 3B. y 2<y 3<y 1C. y 3<y 2<y 1D. y 2<y 1<y 37. (2018济宁)请写出一个过点(1，1)，且与x 轴无交点的函数解析式：____________．8. (2018哈尔滨)已知反比例函数y ＝3k －1x的图象经过点(1，2)，则k 的值为________． 9. (2018南宁)对于函数y ＝2x，当函数值y <－1时，自变量x 的取值范围________．10. (2018陕西)已知A ，B 两点分别在反比例函数y ＝3m x (m ≠0)和y ＝2m －5x (m ≠52)的图象上，若点A 与点B 关于x 轴对称，则m 的值为________．11. (2018连云港)设函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点坐标为(a ，b )，则1a ＋2b的值是________．12. (2018南京)函数y 1＝x 与y 2＝4x的图象如图所示，下列关于函数y ＝y 1＋y 2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x <2时，y 随x 的增大而减小；③当x >0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号是________．第12题图 第13题图13. (2018绍兴)如图，Rt △ABC 的两个锐角顶点A ，B 在函数y ＝k x(x >0)的图象上，AC ∥x 轴，AC＝2.若点A 的坐标为(2，2)，则点B 的坐标为________．14. (8分)(2018湘潭)已知反比例函数y ＝k x的图象过点A (3，1)．(1)求反比例函数的解析式；(2)若一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)的图象与反比例函数的图象只有一个交点，求一次函数的解析式．15. (8分)如图，已知反比例函数y ＝kx的图象经过点A (4，m )，AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2.(1)求k 和m 的值；(2)若点C (x ，y)也在反比例函数 y ＝k x的图象上，当－3≤x ≤－1时，求函数值y 的取值范围．第15题图16. (8分)如图，一次函数y ＝k 1x ＋b 与反比例函数y ＝k 2x的图象交于A (2，m )，B (n ，－2)两点．过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，且S △ABC ＝5. (1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)根据所给条件，请直接写出不等式k 1x ＋b ＞k 2x的解集；(3)若P (p ，y 1)，Q (－2，y 2)是函数y ＝k 2x图象上的两点，且y 1≥y 2，求实数p 的取值范围．第16题图17. (8分)(2018河南)如图，一次函数y ＝－x ＋b 与反比例函数y ＝k x(x >0)的图象交于点A (m ，3)和B (3，1)．(1)填空：一次函数的解析式为______________，反比例函数的解析式为______________；(2)点P 是线段AB 上一点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，连接OP ，若△POD 的面积为S ，求S 的取值范围．第17题图能力提升训练1. 如图，A ，B 两点在反比例函数y ＝k 1x 的图象上，C ，D 两点在反比例函数y ＝k 2x的图象上，AC ⊥y轴于点E ，BD ⊥y 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，则k 1－k 2的值是( ) A. 6 B. 4 C. 3 D. 22. (2018云南)已知点A (a ，b )在双曲线y ＝5x上，若a 、b 都是正整数，则图象经过B (a ，0)、C (0，b)两点的一次函数的解析式(也称关系式)为__________．第3题图3. (2018烟台)如图，直线y ＝x ＋2与反比例函数y ＝kx的图象在第一象限交于点P ，若OP ＝10，则k 的值为________．4. (2018宁波)已知△ABC 的三个顶点为A (－1，－1)，B (－1，3)，C (－3，－3)，将△ABC 向右平移m(m >0)个单位后，△ABC 某一边的中点恰好落在反比例函数y ＝3x的图象上，则m 的值为________．5. (2018成都)在平面直角坐标系x O y 中，对于不在坐标轴上的任意一点P (x ，y )，我们把点P ′(1x，1y)称为点P 的“倒影点”．直线y ＝－x ＋1上有两点A ，B ，它们的倒影点A ′，B′均在反比例函数y ＝k x的图象上，若AB ＝22，则k ＝__________．6. (8分)(2018德阳)如图，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，（0≤x≤3）－x ＋9，（x ＞3）的图象与双曲线y ＝kx (k≠0，x ＞0)相交于点A (3，m)和点B .(1)求双曲线的解析式及点B 的坐标；(2)若点P 在y 轴上，连接PA ，PB ，求当PA ＋PB 的值最小时点P 的坐标．第6题图拓展培优训练1. (2019长郡第二届澄池杯)如图，直线y ＝x ＋4与双曲线y ＝k x(k ≠0)相交于A (－1，a )、B 两点，在y 轴上找一点P ，当PA ＋PB 的值最小时，点P 的坐标为________．第1题图 第2题图2. 如图，已知点(1，3)在函数y ＝k x(x ＞0)的图象上．正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数y ＝k x(x ＞0)的图象又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为________．答案1. C 【解析】 当电压为定值时，I ＝UR为反比例函数，且R >0，I >0，∴只有第一象限有图象．2. C 【解析】∵在反比例函数y ＝k x中，k ＞0，∴反比例函数图象在第一、三象限内，∴当x ＜0时，函数图象在第三象限．3. A 【解析】如题图，A 、B 两点是关于原点对称的，又∵A 的坐标是(1，2)，∴B 的坐标是(－1, －2)．4. D 【解析】当m ＜0时，函数y ＝mx ＋m 的图象经过第二、三、四象限，函数y ＝mx的图象位于第二、四象限；当m ＞0时，函数y ＝mx ＋m 的图象经过第一、二、三象限，函数y ＝m x的图象位于第一、三象限，故选D.5. B 【解析】k x<x ＋4(x <0)表示x <0时，反比例函数图象在一次函数图象下方时x 的取值范围，∵反比例函数图象与一次函数图象交于A 、B 两点，点A 和点B 的横坐标分别为－3，－1，∴由函数图象可知，k x<x ＋4(x <0)的解集为：－3<x <－1.6. B 【解析】∵点A 、B 、C 在反比例函数图象上，将点A (－1，y 1)，B (1，y 2)，C (3，y 3)分别代入y ＝－3x 得，y 1＝－3－1＝3，y 2＝－31＝－3，y 3＝－33＝－1，∴y 2＜y 3＜y 1. 7. y ＝1x8. 19. －2<x <0 【解析】∵y ＜－1，即2x ＜－1，∴2x＋1＜0，整理得x (x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜0.10. 1 【解析】设A (x ，y )，则B (x ，－y )，∵A 在y ＝3m x 上，B 在y ＝2m －5x上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3mx－y ＝2m －5x，∴3m x ＋2m －5x＝0，∴m ＝1. 11. －2 【解析】∵点(a ，b )是函数y ＝3x 与y ＝－2x －6的图象的交点，∴b ＝3a，b ＝－2a －6，即ab ＝3，2a ＋b ＝－6，则1a ＋2b ＝b ＋2a ab ＝－63＝－2.12. ①③ 【解析】由函数图象可知①正确；由反比例函数在y 轴两边增减性不一样，故②错误；∵x ＞0，∴y ＝x ＋4x＝(x)2＋(2x )2－4＋4＝(x －2x )2＋4，当x ＝2x时，函数有最小值，此时x ＝2，y ＝4，故函数图象最低点的坐标为(2，4)，正确结论的序号是①③.13. (4，1) 【解析】∵点A (2，2)在函数y ＝kx (x ＞0)的图象上，∴2＝k 2，得k ＝4，∵在Rt △ABC 中，AC ∥x 轴，AC ＝2，∴点B 的横坐标是4，∴y ＝44＝1，∴点B 的坐标为(4，1)．14. 解：(1)将点A (3，1)代入反比例函数解析式中，得1＝k 3，∴k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x；(2)已知一次函数y ＝ax ＋6(a ≠0)， 联立两个解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x y ＝ax ＋6，整理得ax 2＋6x －3＝0①，∵一次函数与反比例函数图象只有一个交点， 则①式中Δ＝62－4a ×(－3)＝0， 解得a ＝－3≠0，∴一次函数解析式为y ＝－3x ＋6. 15. 解：(1)k ＝xy ＝2S △OAB ＝2×2＝4，将点A (4，m)代入y ＝4x，得m ＝1；(2)当x ＝－3时，y ＝－43；当x ＝－1时，y ＝－4， ∴－4≤y ≤－43.16. 解：(1)将A (2，m )，B(n ，－2)代入y ＝k 2x得k 2＝2m ＝－2n ，即m ＝－n ，则A (2，－n )，如解图，过A 作AE ⊥x 轴于E ，过B 作BF ⊥y 轴于F ，延长AE 、BF 交于D ，第16题解图∵A (2，－n)，B (n ，－2)， ∴BD ＝2－n ，AD ＝－n ＋2，BC ＝2， ∵S △ABC ＝12·BC ·BD ，∴12×2×(2－n)＝5，解得n ＝－3， 即A (2，3)，B (－3，－2)，将A(2，3)代入y ＝k 2x得k 2＝6，即反比例函数的解析式是y ＝6x，把A (2，3)，B(－3，－2)代入y ＝k 1x ＋b 得⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k 1＋b－2＝－3k 1＋b，解得k 1＝1，b ＝1，∴一次函数的解析式是y ＝x ＋1；(2)不等式k 1x ＋b ＞k 2x的解集是－3＜x ＜0或x ＞2；(3)分为两种情况：当点P 在第三象限时，要使y 1≥y 2，实数P 的取值范围是P ≤－2；当点P 在第一象限时，要使y 1≥y 2，实数P 的取值范围是P ＞0，综上所述，P 的取值范围是P ≤－2或P ＞0.17. 解：(1)y ＝－x ＋4，y ＝3x；(2)由(1)得3＝3m，解得m ＝1，∴A 点坐标为(1，3)，设P 点坐标为(a ，－a ＋4)(1≤a ≤3)，则S ＝12OD ·PD ＝12a (－a ＋4)＝－12(a －2)2＋2，∵－12＜0，∴当a ＝2时，S 有最大值，此时S ＝－12×(2－2)2＋2＝2，由二次函数的性质得，当a ＝1或3时，S 有最小值， 最小值为－12×(1－2)2＋2＝32，∴S 的取值范围是32≤S ≤2.能力提升训练1. D 【解析】设点A (m ，k 1m )、点B (n ，k 1n )，则点C(k 2m k 1，k 1m )、点D (k 2n k 1，k 1n)，∵AC ＝2，BD ＝1，EF ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －k 2mk 1＝2k 2nk 1－n ＝1k 1m －k 1n ＝3，解得k 1－k 2＝2.2. y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1 【解析】∵点A (a ，b ) 在双曲线y ＝5x 上，∴b ＝5a ，∵a ，b 都是正整数，∴a ＝1，b ＝5或a ＝5，b ＝1.①当a ＝1，b ＝5时，B (1，0)，C (0，5)，设一次函数的解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，把B (1，0)，C (0，5)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋b 1＝0b 1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－5b 1＝5，∴一次函数的解析式为y ＝－5x ＋5；②当a ＝5，b ＝1时，设一次函数解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，把B (5，0)，C (0，1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧5k 2＋b 2＝0b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－15b 2＝1，∴一次函数的解析式为y ＝－15x ＋1，综上所述，一次函数的解析式为y ＝－5x ＋5或y ＝－15x ＋1.3. 3 【解析】设点P (m ，m ＋2)，由OP ＝10，可得m 2＋(m ＋2)2＝(10)2，∵m ＞0，解得m ＝1，又∵点P (1 ，3)在y ＝k x的图象上，∴k ＝3.4. 0.5或4 【解析】分两种情况讨论：①若为AC 中点(－2，－2)向右平移m 个单位后落在图象上，则有点(m －2，－2)在y ＝3x 上，代入得－2＝3m －2，∴m ＝0.5；②若为AB 中点(－1，1)向右平移m 个单位后落在图象上，则有点(m －1，1)在y ＝3x 上，代入得1＝3m －1，∴m ＝4，∴m 为0.5或4.5. －43【解析】设A 、B 的坐标分别为：A (a ，－a ＋1)，B(b ，－b ＋1)，∵AB ＝22，∴(a －b)2＋(－a ＋1＋b －1)2＝(22)2，∴a －b ＝±2，由倒影点的定义得A ′(1a ，11－a )，B ′(1b ，11－b)，又∵A ′、B ′都在函数y ＝kx 上，∴k ＝1a （1－a ）＝1b （1－b ），则a (1－a )＝b (1－b )，整理得(a－b)(1－a －b)＝0，∵a －b ＝±2，∴1－a －b ＝0，即a ＋b ＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a －b ＝2与⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1a －b ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12b ＝32，∴k ＝1a （1－a ）＝－43.6. 解：(1)∵A (3，m )在直线y ＝2x 上， ∴m ＝2×3＝6， ∴A (3，6)，∵A (3，6)在双曲线y ＝kx上，∴k ＝3×6＝18，∴双曲线的解析式为y ＝18x，当x >3时，联立解析式得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋9y ＝18x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6(舍去)， ∴点B 的坐标为(6，3)；(2)如解图，作A 关于y 轴的对称点A ′(－3，6)，第6题解图 连接PA′， ∵PA ′＝PA ，∴PA ＋PB ＝PA ′＋PB ≥A′B ， 当A ′，P ，B 三点共线，即P 在A′B 与y 轴的交点P ′处时，PA ＋PB 取到最小值， ∵A ′(－3，6)，B (6，3)，∴AB ＝（6＋3）2＋（3－6）2＝310， ∴PA ＋PB 的最小值是310，设直线A′B 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，已知直线过点A ′(－3，6)，B (6，3)，代入得⎩⎪⎨⎪⎧6＝－3k ＋b 3＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝5，∴y ＝－13x ＋5，令x ＝0，得y ＝5， ∴P ′(0，5)，∴当PA ＋PB 取到最小值310时，点P 的坐标为(0，5)． 拓展培优训练1. (0，52) 【解析】把点A 坐标代入y ＝x ＋4，得－1＋4＝a ，∴a ＝3，即A (－1，3)，把点A坐标代入双曲线的解析式得3＝－k ，解得k ＝－3，联立函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4y ＝－3x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1y 1＝3(舍)，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝1，即点B 坐标为(－3，1)，如解图，作点A 关于y 轴的对称点C ，则点C 坐标为(1，3)，连接BC ，与y 轴的交点即为点P ，使得PA ＋PB 的值最小，设直线BC 的解析式为y ＝ax＋b ，把B ，C 坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧－3a ＋b ＝1a ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝52，∴直线BC 解析式为：y ＝12x ＋52，令x ＝0，y ＝52，即点P 的坐标为(0，52)．第1题解图2. 6 【解析】∵点(1，3)在函数y ＝k x 图象上，代入得：k ＝3，即y ＝3x，设A (a ，b)，由题意知E (a ＋b 2，b 2)，又∵函数图象在第一象限，经过点A 、E ，分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝3b 2（a ＋b2）＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝62b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－62b ＝－6(舍)，∴点E 的横坐标为a ＋b 2＝ 6.。
9.3反比例函数的应用(1)
（1） 写出从药物释放开始，y 与t之间的两个函数关系式及相应 的自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克 以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至 少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?
例2:制作一种产品，需先将材料加热达到60℃后， 再进行操作．设该材料温度为y（℃），从加热开 始计算的时间为x（分钟）．据了解，设该材料加 热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进 行操作时，温度y与时间x成反比例关系（如 图）．已知该材料在操作加工前的温度为15℃，加 热5分钟后温度达到60℃．
50 B C D 20 A
O
10 30 第21题图
x（分）
本节课有何收获?
例1:（2008年巴中市）为预防“手足口病”， 某校对教室进行“药熏消毒”．已知药 物燃烧阶段，室内每立方米空气中的 含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟） 成正比例；燃烧后，y与x成反比例 （如图所示）．现测得药物10分钟 燃完，此时教室内每立方米空气含 药量为8mg．据以上信息.解答下列问题：
（1）求药物燃烧时y与x的函数关系式． （2）求药物燃烧后y与x的函数关系式． （3）当每立方米空气中含药量低于1.6mg时， 对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始， 经多长时间学生才可以回教室？
练习:
为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放 过程中，室内每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 t （小时）成正比； 药物释放完毕后， y 与 t 的函数关系式为 y a （ a 为常数） ，如图所示．据图中 t 提供的信息，解答下列问题：
2
100 80 60 40 20
I(m)
P（4,32）
1
北师大版九年级上册反比例函数的应用课件
训练：B本--第42页--3题
3.一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t(h)与行
驶速度v(km/h)满足函数关系:t= ,其图象为如图
所示的一段曲线,且端点为A(40,1)和
B(m,0.5).(1)求k和m的值;(2)若行驶速度不得超
过60 km/h,则汽车通过该路段最少需要多少时间?
课本第158页
根据图象解决
=
y
=
1.求交点
A
O
B
x
2.分区
3.视察图象
函数值比较大小
3
1.已知正比例函数 y1 3 x; 反比例函数 y2 ;
x
求出 y1 y2的x的取值范围。
函数值比较大小
3
2.已知反比例函数 y1 ; 一次函数 y2 x 2;
x
求出 y1 y2的x的取值范围。
2.如图，正比例函数y=k1x的图
2
象与反比例函数y=标
为（ 3，2 3）
（1）分别写出这两个函数的
表达式；
（2）你能求出点B的坐标吗？
你是怎样求的？
A
O
B
x
训练：B本--第43页--9题
9.如图,已知一次函数y=-x+b的图象与反
比例函数y= 的图象相交于点P,则关于x的
数吗?为什么?
(2)在直角坐标系,画出相应函数的图象.
课本第158页
(3)当木板面积为0.2m2时,压强是多少?
(4)如果要求压强不超过6000Pa,木
板面积至少要多大?
(5)请利用图象对(3)和(4)作出直观解
释,并与同伴交流.
做一做
九年级数学作业设计案例(1)北师大版数学九年级第一学期 第六章
初中数学作业设计案例一、单元作业概况二、课时作业设计表以北师大版初中九年级数学上册第六章《反比例函数》为例：三、课时作业、单元测试卷题目属性分析1、课时作业题目属性汇总表2、单元试卷题目属性汇总表s0104Csx09010602选择题中等理解1引用s0104Csx09010603选择题中等理解1引用s0105Csx09010605选择题中等理解2引用s0105Csx09010605选择题较高理解2引用s0106Csx09010603填空题较低知道1引用s0105Csx09010604填空题较低知道1引用s0106Csx09010604填空题中等理解1引用s0107Csx09010606填空题中等理解2引用s0106Csx09010606填空题中等理解3引用s0107Csx09010607解答题中等理解 5 引用s0107Csx09010607解答题较高应用 6 引用s0107Csx09010607 解答题较高应用 6 引用四、课时作业Z0101、设计意图：本题主要考查反比例函数的概念，对反比例函数表达式中0≠k 这一条件的强化.Z0102、设计意图：本题主要考查反比例函数的概念，根据反比例函数概念中x 的次数为-1，且系数不能为0进行作答.Z0103、设计意图：本题主要体现了数学建模素养，借助日常生活中经常遇到的经营问题，通过把售价x 与销量y 之间的变化关系用函数表示出来，建立反比例函数模型，从而达到解决问题的目的.第二节：反比例函数的图象与性质 Z0104、分别画出函数x y 6=和xy 6-=的图象. 设计意图：本题能规范学生画反比例函数图象，使学生进一步体会函数图象与函数表达式之间的关系，感受数形结合的思想.Z0105、设计意图：本题考查了学生对k的几何意义的理解，提高识图能力，进一步体会数形结合的思想.第三节：反比例函数的应用Z0106、设计意图：本题考查学生根据函数图象明确各变量之间的关系，列出函数表达式的能力，并根据实际情况标明自变量的取值范围.体会数学与生活的联系紧密性.Z0107.设计意图：本题考查学生利用待定系数法求函数表达式，利用割补法求图形面积，第（3）考查函数与不等式之间的关系，体会转化思想，数形结合思想.五、单元试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.给出下列函数关系式：①12y x =-；②52y x =；③123y x -=；④12y x=+；⑤2xy=1；⑥-xy=2.其中，表示y 是x 的反比例函数的个数为（ ） A.3 B.4 C.5 D.62.若反比例函数0k ky x=≠（）的图象经过点P （-2，3），则该函数的图象不经过的点是( )A.（3，-2）B.（1，-6）C.（-1，6）D.（-1，-6）3.（2018四川凉山州中考）若ab <0，则正比例函数y =ax 与反比例函数by x=在同一坐标系中的大致图象可能是( )4.（2019甘肃兰州期末）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v （千米/时）与时间t （小时）的函数关系式为( )A. 480v t =B. =480v t +C. 80v t =D. 6t v t-= 5.（2019湖南娄底中考）将1y x=的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如下图所示，则所得图象的解析式为（ ）A. 111y x =++ B. 111y x =-+ C. 111y x =+- D. 111y x =-- 6.（2020湖北荆州松滋一模）如下图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶点的坐标分别为A （-1，2），B （-1，-1），C （2，-1），D （2，2），当双曲线0k ky x=>（）与正方形有四个交点时，k 的取值范围是（ ）A.0<k <1B.1<k <4C.k >1D.0<k <27.（2020独家原创试题）如下图所示，点A 在反比例函数0ky x x=>（）的图象上，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为点B ，点C 在y 轴上，若△ABC 的面积为3，则k 的值为（ ）A.4B.5C.6D.128.（2017浙江衢州中考）如下图所示，在平面直角坐标系中，点A 在函数04y x x =>（）的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AB 的垂直平分线与y 轴交于点C ，与函数04y x x=>（）的图象交于点D .连接AC ，CB ，BD ，DA ，则四边形ACBD 的面积等于( )A.2B.C.4D.9.（2020湖南长沙天心期末）如下图所示，平行于x 轴的直线与函数1100,k y k x x =>>（），2200,ky k x x=>>（）的图象分别相交于A ，B 两点，点A 在点B 的右侧，C 为x 轴上的一个动点，若△ABC 的面积为6，则12k k -的值为（ ）A. 12B.-12C.6D.-610.（2015湖北鄂州中考）如下图所示，直线y=x-2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数kyx=的图象在第一象限内交于点A，连接OA，若:1:2AOB BDCS S∆∆=，则k的值为( )A.2B.3C.4D.6二、填空题（本大題共8小题，每小题3分，共24分）11.（2017江苏淮安中考）若反比例函数6yx=-的图象经过点A（m，3），则m的值是_____.12.（2017黑龙江缓化中考）已知反比例函数6yx=，当x>3时，y的取值范围是_____.13.（2018湖南娄底中考）如下图所示，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数2yx=图象上的点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为_____.14.（2018湖南张家界中考）如下图所示，矩形ABCD 的边AB 与x 轴平行，顶点A的坐标为（2，1），点B 与点D 都在反比例函数06y x x=>（）的图象上，则矩形ABCD的周长为_____.15.（2019贵州毕节中考）如下图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y =-4x +4的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点.正方形ABCD 的顶点C 、D 在第一象限，顶点D 在反比例函数0ky k x=≠（）的图象上.若正方形ABCD 向左平移n 个单位后，顶点C 恰好落在反比例函数的图象上，则n 的值是_____.三、解答题（共46分）16.（2018湖南常德中考）（8分）如下图所示，已知一次函数111(0)y k x b k =+≠与反比例函数2220k y k x=≠（）的图象交于A （4，1），B （n ，-2）两点. （1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）请根据图象直接写出12y y <时x 的取值范围.17.（8分）在压力不变的情况下，某物体承受的压强P （Pa ）是它的受力面积S （2m ）的反比例函数，其图象如下图所示. （1）求p 与S 之间的函数关系式； （2）求当S =0.5时物体承受的压强p ；（3）若要获得2500Pa 的压强，受力面积应为多少？18.（2019四川雅安中考）（10分）如下图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y =-x +m 的图象与反比例函数0ky x x=>（）的图象交于A 、B 两点，已知A （2，4）.（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求B 点的坐标；（3）连接AO 、BO ，求△AOB 的面积.六、答案一、选择题1.答案：B解析：②③⑤⑥均为反比例函数，故选B.2.答案：D解析：由题意得k=-2×3=-6，则6yx=-，因此该函数图象上点的横坐标与纵坐标之积为-6.故选D.3.答案：B解析：因为ab<0，所以正比例函数图象与反比例函数图象不在同一象限内，其中一个在一、三象限时，另一个就在二、四象限.同时，正比例函数的图象是过原点的直线.故选B.4.答案：A解析：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，因此路程为80×6=480千米，∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系式为480vt=.故选A.5.答案：C解析：由“左加右减”的原则可知，1yx=的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是11 yx=-.由“上加下减”的原则可知，函数11yx=-的图象向上平移1个单位长度所得函数图象的关系式是111y x =+-.故选C. 6.答案：A解析： 把点B （-1，-1）代人0ky x x=>（），得k =-1×（-1）=1，由图象可知：当双曲线0ky x x=>（）与正方形有四个交点时，k 的取值范围为0<k <1，故选A.7.答案：C解析： 连接OA ，如图∵AB ⊥x 轴，∴OC ∥AB ，∴OAB CAB S S ∆∆=，∴132OAB S k ∆==，∴6k =，∵反比例函数0ky x x=>（）的图象在第一象限，∴k >0，∴k =6.故选C.8.答案：C解析：设4,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可求出22,D a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵AB ⊥CD ，∴1142422S AB CD a a=⋅=⨯⨯=四边形ACBD .故选C. 9.答案：A解析：设12,,,k k A m B m m m ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则△ABC 的面积1211622A k k AB y m m m ⎛⎫=⋅⋅=⋅-⋅= ⎪⎝⎭，则1212k k -=.故选A. 10.答案：B解析：易求得点C （0，-2），点B （2，0），所以OC =OB =2，所以2BOC S ∆=.因为:1:2AOB BOC S S ∆∆=，所以1AOB S ∆=.因为OB =2，所以OB 边上的高是1，即点A 的纵坐标是1.把1A y =代入y=x-2中，得3A x =，所以A 点坐标是（3，1）.所以k =3.故选B. 二、填空题 11.答案：-2解析：把A （m ，3）代入6y x =-，得63m=-，解得m =-2.12.答案：0<y <2 解析：∵6y x=，6>0， ∴当x >0时，y 随x 的增大而减小，当x =3时，y =2， ∴当x >3时，y 的取值范围是0<y <2. 13.答案：1解析：设点P 的坐标为（x ，y ）. ∵P （x ，y ）在反比例函数2y x=的图象上，∴xy =2，∴112POA S xy ∆==. 14.答案：12解析：由矩形ABCD 的边AB 与x 轴平行，顶点A 的坐标为（2，1），可知点B 的纵坐标为1，点D 的横坐标为2，因为点B 与点D 都在反比例函数06x y x=>（）的图象上，所以点D ，点B 的坐标分别是（2，3），（6，1）.所以AB =4，AD =2，所以矩形ABCD 的周长为12. 15.答案：3解析：如图，过点D 作DE ⊥x 轴，过点C 作CF ⊥y 轴，易证△ABO ≌△DAE ，∴AE =BO ，DE =OA ，易求A （1，0），B （0，4），∴D （5，1），∵顶点D 在反比例函数ky x=的图象上，∴k =5，∴5y x=.易证△CBF ≌△BAO ，∴CF =4，BF =1，∴C （4，5），∵点C 向左平移n 个单位后为（4-n ，5），∴5（4-n ）=5，∴n =3.三、解答题111(0)y k x b k =+≠与反比例函数2220ky k x=≠（）16.解析：（1）将A （4，1）代入2220ky k x=≠（），得24k =，所以反比例函数的解析式为24y x =.将B （n ，-2）代入24y x=，得2n =-，所以点B 的坐标为（-2，-2）.将A （4，1），B （-2，-2）代入111(0)y k x b k =+≠，得1141,22,k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得11,21,k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以一次函数的解析式为1112y x =-.（2）根据两函数图象可以看出：1y <2y 时，x 的取值范围为2x <-或0<x<4.17.解析：（1）设0kp k S=≠（），∵点（0.25，1000）在这个函数的图象上， ∴10000.25k=，∴k =250， ∴P 与S 之间的函数关系式为0025p S S=>（）. （2）当S =0.5时，2505000.5p ==. （3）令P =2500，则2500.12500p ==.故要获得2500Pa 的压强，受力面积应为20.1m .18.解析：（1）将A （2，4）代入y =-x +m 与0k y x x =>（）中，得4,22,4km ==-+⎧⎪⎨⎪⎩∴m =6，k =8，∴一次函数的解析式为6y x =-+，反比例函数的解析式为8y x=. （2）解方程组86y x y x ==-+⎧⎪⎨⎪⎩，，得24y x ==⎧⎨⎩，，或42y x ==⎧⎨⎩，， ∴B （4，2）.（3）如图，设直线6y x =-+与y 轴交于点D ，易得D （0，6），∴OD =6，∴116462622AOB DOB AOD S S S ∆∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯=。
北师大版九年级数学《反比例函数的应用》随堂练习(含答案)
3 反比例函数的应用
1．对于取消市场上使用的杆秤的呼声越来越高，原因在于一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小称砣，使砣较轻，从而欺骗顾客．（1）如图，对于同一物体，哪个图用的是标准秤砣，哪个用的是较轻的秤砣？
（2）在称同一物体时，所称得的物体质量y（千克）与所用秤砣质量x(千克)之间满足__________关系．
（3）当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质？
2．下列各种情况中，哪些图中的x与y构成反比例关系，请指出，如果有兴趣，请你给出一个适当的数值，以便可以求出x与y的函数关系．
3．由物理学知识知道，在力F(N)的作用下，物体会在力F的方向上发生位移s(m)，力F所做的功W(J)满足：W＝Fs．当W为定值时，F与s之间的函数图像如图所示．
（1）力F所做的功是多少?
（2）试确定F与s之间的函数表达式；
（3）当F＝4N时，s是多少?
4．已知A(－3，1)是某反比例函数图像上的一点，试确定其表达式，并判断
该图像是否经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-216，B ，)33(，C ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-3333，D ．
参考答案
1．（1）图②是用与秤配套的秤砣，图①则使用较轻的秤砣．
（2）反比例
（3）函数y =x
k (k ＞0)，当x 变小时，y 增大 2．图（2）、图（3）、图（5）中的y 与x 符合反比例函数关系．
3．(1)15J ； (2)s F 15=； (3)4
15m ． 4．x
y 3-=；图像经过点B 和D ．。
北师大版九年级数学上册第六章《反比例函数的图像与性质》
x
应能用力新提知高之能力提升
➢ 2、已知点
、点
都在反比例
函数
的图象上.过点P分别作两坐标轴
的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积是
；
过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的面积是 .求 、 、 的值.
应用能新力知提之升能力提升
于点B,随着自x变量 x 的增大，矩形OAPB的面积
（ A）
A．不变 C. 减小
B.增大 D.无法确定
应用新知之想一想做一做
2限.分如支图上，P的y(x,一y3x)个动是点反，比过例点函P数作的PA图垂P象A直在xx轴第轴于一于点点象AA，,
连接PO，三角形OAP的面为__________
应用新知之能力提升
的图象上，若
是 y1<y2 ．
，都在反比例函数 ，则 的大小关系
再探新知之想一想议一议
S与1 S 2有什么关系 ？以 y
2
x 为例
S1
•P
S1
Q • S2
S1 x1 y1 2
S2 x2 y2 2
S1 S2
再探新知之想一想议一议
反比例函数 y k
x
•P
S1
•Q
S2
R • S3
S1,S2有什么关系？为什么？
的图象上有三点
（－3,y1）, （－1,y2）, （2,y3）,则函数值y1,y2,y3的
大小关系是__y_3<__y_1_<__y_2_____.
例2 已知反比例函数 y a 2 xa26 ,y随x的
增大而减小，求a的值和表达式.
1.下列函数应：用①新y知之1 想；一② 想y 做 2一1x；做
凌源市第六中学九年级数学上册第六章反比例函数3反比例函数的应用课件新版北师大版
(5)请利用图像対(2)和(3)作出直观解释 , 并与同伴交流.
典例剖析
1.蓄电池的电压为定值 , 使用此电源时 , 电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函 数关系如下图.
(1)蓄电池的电压是多少 ？你能写出这一函数的表达式吗 ？ 解 : 〔1〕U=I×R=9×4=36 V ;
I=
36 R
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得
〔1〕取出的3个小球中恰好有1个 , 2个 , 3个写 有元音字母的概率各是多少 ？
甲
A
B
解 : 由树状图得 ,
乙 C D E C D E 所有可能出现的结果
丙 H I H I H I H I H I H I 有12个 , 它们出现
A AA AA A B B B B B B
（1）满足只有一个元音字母的结果有5个，则
超过10A , 那么用电器的可变电阻应控制在什么
范围内 ？ 36
解 : I≤10即R
≤10 ,
从而解得 : R≥3.6 Ω
2.如下图 , 正比例函数y＝k1x的图象与反比例y函 数k 2 x
的图象相交于A , B两点 , 其中点A的坐标为
( 3 ,2 3 ).
(1)分别写出这两个函数的表达式 ;
(2)你能求出点B的坐标吗? 6
P（一个元音）= 5 . 12
满足只有两个元音字母的结果有4个，则
P（两个元音）= 1 4 2
=1 . 3
满足三个全部为元音字母的结果有1个，则
〔2〕取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少 ？
甲
A
B
乙C D E C D E
丙H I H I H I H I H I H I
A AA AA A B B B B B B C CD DE E C C D D E E H I H I H I HI H I HI
北师大版九年级数学上册反比例函数的应用课件
k>0
置 象限
O x 象限
Ox
增减性
y随x的增大 而增大
每个象限内， y随x 的增大而减小
k<0
位置
二、四 y
二、四
象限 O x 象限
y Ox
增减性
y随x的增大而 减小
每个象限内， y随x 的增大而增大
二、问题解决
1.某校科技小组进行野外考察，途中遇 到一片十几米宽的烂泥湿地．为了安全 、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路 线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时 通道，从而顺利完成了任务．你能解释 他们这样做的道理吗？当人和木板对湿
3.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对
称图形．
4.在反比例函数
的图象上
任取一点,分别作坐标轴的垂线（或平行线）
与坐标轴所围成的矩形的面积S矩形=|k|．
函数 表达式 图象形状
正比例函数
y=kx ( k≠0 )
直线
反比例函数 y=xk( k是常数,k≠0 )
双曲线
位 一、三 y
一、三 y
2
O
4 V（m3）
2.小丽是一个近视眼，整天眼镜不离鼻子，但自己一直不理解
自己眼镜配制的原理，很是苦闷，近来她了解到近视眼镜的度
数y（度）与镜片的焦距x（m)成反比例，并请教了师傅了解到
自己400度的近视眼镜镜片的焦距为0.2m，可惜她不知道反比
例函数的概念，所以她写不出y与x的函数关系式，我们大家正
象
y A
O
x
B
方
y
A
MD
CO
x
B
方
y
A
C
N
O
D
第六章 反比例函数单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级上册
第六章反比例函数单元测试2024-2025学年北师大版数学九年级上册一、选择题（每题3分，共24分）1．如图，在Rt△AOB中，∠ABO=90°，点B在x轴上，点C（1，a）为OA的中点，反比例函数y=的图象经过点C，交AB于点D，且∠AOD=∠BOD，则k=（）A．8B．2C．D．22．如图，在△ABC中，点D、E分别是边AC，AB的中点，BD，CE相交于点O，连接O在AO上=12，则四边形OCDF的面积为（）取一点F，使得OF=AF若S△ABCA．2B．C．3D．3．如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…P n（n，y n），作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…A n，连结A1P2，A2P3，…A n-1P n，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3……，以此类推，则点B20的坐标是（）A．B．C．D．4．如图是由四个全等的三角形和一个正方形组成的大正方形，连结与交于，射线交于点，交于点，交于点，连接，则与面积相等的图形是（）A．B．C．D．5．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是反比例函数y=上的三点，若x1＜x2＜x3，y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（）A．x1•x2＜0B．x1•x3＜0C．x2•x3＜0D．x1+x2＜06．如图，在Rt△AOB中，两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A′O′B．若反比例函数的图象恰好经过斜边A′B的中点C，S△ABO=4，tan∠BAO=2，则k的值为（）A．3B．4C．6D．87．如图，直线l是经过点（1，0）且与y轴平行的直线．Rt△ABC中直角边AC=4，BC=3．将BC 边在直线l上滑动，使A，B在函数y＝的图象上．那么k的值是()A．3B．6C．12D．8．如图所示，、都是等边三角形，且均在第一象限，若双曲线经过、两点，，则点的坐标为（）A．B．C．D．二、填空题（每题3分，共15分）9．一个等腰三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分．①，②，③这三块的面积比为1：4：41，那么④，⑤这两块的面积比是10．已知△ABC的三个顶点为A，B，C，将△ABC向右平移m（）个单位后，△ABC某一边的中点恰好落在反比例函数的图象上，则m的值为. 11．已知是在第一象限的图像上的两个点，若是等边三角形，则等边的面积是．12．如图，在▱中，，，点P在边上以每秒的速度从点A向点D运动，点Q在边上以每秒的速度从点C出发，在间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动）．在这段时间内，当运动时间为时，线段．13．如图，在中，，、分别为和的角平分线，的周长为20，，则的长为．三、解答题（共7题，共61分）14．如图，直线y=x+2交x轴于点A，交y轴于点B，点P（x，y）是线段AB上一动点（与A，B不重合），△PAO的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围.15．如图，在矩形中，，点P从点A沿向点B以的速度移动，同时点Q从点B沿边向点C以的速度移动．当其中一点达到终点时，另一点也随之停止．设P，Q两点移动的时间为，求：（1）当x为何值时，为等腰三角形；（2）当x为何值时，的面积为；（3）当x为何值时，为等腰三角形．16．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数图象的一部分．（1）求点A对应的指标值（2）王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．17．如图，在中，，，，，动点P 从点A 出发，沿方向以每秒6个单位长度的速度向终点B 运动，连结，作点A 关于的对称点，连结，．设点P 的运动时间为t 秒．（1）__________，__________；（2）连结，则的最小值为__________；（3）连结，当在边上时（不包括的顶点），求的长；（4）当时，直接写出的值．18．如图，在并联电路中，电源电压为U 总＝6V ，根据“并联电路分流不分压”的原理得到：I 总＝I 1+I 2（I 1＝，I 2＝）．已知R 1为定值电阻，当R 变时，路电流I 总也会发生变化，且干路电流I 总与R之间满足如下关系：I 总＝1+．（1）【问题理解】定值电阻R 1的阻值为Ω．（2）【数学活动】根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I 2＝来探究函数I 总＝1+的图象与性质．①列表：下表列出I 总与R 的几组对应值，请写出m 的值：m ＝▲．R…3456…I2＝…2 1.5 1.21…I总＝1+…3m 2.22…②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来．（3）【数学思考】＝1+的图象是由I2＝的图象向平移个单位而得观察图象发现：函数I总到．（4）【数学应用】若关于x的方程|1+|=kx+6在实数范围内恰好有两个解，直接写出k的值．19．已知点A（3，2）、点B（m，n）在反比例函数y＝（x＞0）图象上，点C是x轴上的一个动点．（1）求k的值；（2）若m＝1，C（﹣1，0），试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点C在x轴正半轴上，当△ABC为等腰直角三角形时，求出点C的坐标．20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与x轴交于点C，且.（1）求反比例函数与一次函数关系式；（2）线段AC上是否存在一点D，使以点O、C、D为顶点的三角形是等腰三角形，若存在请求出D点坐标；若不存在，请说明理由.（3）点P是x轴上一点，是否存在以点A、C、P为顶点的三角形与相似，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】B2．【答案】B3．【答案】D4．【答案】D5．【答案】A6．【答案】C7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】9：1410．【答案】0.5或411．【答案】12．【答案】3或6或913．【答案】814．【答案】解：∵令y=x+2=0，解得：x=-4，∴点A的坐标为（-4，0），∵令x=0，得y=2，∴点B的坐标为（0，2），∴OA=4，OB=2，∵点P（x，y）是线段AB上一动点（与A，B不重合），∴点P的坐标可表示为（x，x+2），如图，作PC⊥AO于点C，∵点P（x，x+2）在第二象限，∴x+2＞0∴PC=x+2∴S=AO•PC=×4×（x+2）=x+4．∴S与x的函数关系式为S=x+4（-4＜x＜0）15．【答案】（1）当时，是等腰三角形（2）x为1或5时，的面积为（3）x为或时，是等腰三角形16．【答案】（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的表达式为y="，将C(20，45)代入，得45=-，解得k=900，∴反比例函数的表达式为y=当x=45时，y==20，∴D(45，20)，∴A(0，20)，即点A对应的指标值为20．（2）解：设当0≤x<10时，AB的表达式为y=mx+n，将A(0，20)，B(10，45)代入，得，解得∴AB的表达式为y=x+20．当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，∴≤x<10．当10≤x<20时，y显然大于36．当20≤x≤45时，由(1)得反比例函数的表达式为y=，当y≥36时，≥36，解得x≤25，∴20≤x≤25．综上，当≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而25-=>17，∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．17．【答案】（1）90，10（2）（3）或（4）或18．【答案】（1）6（2）①2.5，②先描出点（3，3），（4，2.5），（5，2.2），（6，2），再顺次连接这些点即可画出所求函数图象，（3）上；1（4）由函数与方程的关系可知，当k＜0时，y=|1+|，y=kx+6的函数图象在第一象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；∴1+=kx+6，化简得：kx2+5x﹣6＝0，Δ＝b2﹣4ac＝25+24k＝0，∴k=，当k＞0时，y=|1+|，y=kx+6的函数图象在第二象限恰有一个交点时满足恰有两个实数解；∴-1-=kx+6，化简得：kx2+7x+6＝0Δ＝b2﹣4ac＝49﹣24k＝0，∴k=，当k＝0时，y=|1+|，y=kx+6的图象恰好有两个交点．∴k＝0或或．19．【答案】（1）解：∵点A（3，2）在反比例函数y=图象上，∴k=3×2=6.（2）解：∵点B（m，n）在反比例函数y=图象上，m=1，∴n=6，∴点B（1，6），∵A（3，2），C（-1，0），∴AB==2，AC==2，BC==2，∴AB=AC，AB2+AC2=BC2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形.（3）解：①如图1，当∠ACB=90°时，过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BG⊥x轴于点G，∵A（3，2），∴OH=3，AH=2，又∵△ABC的形状为等腰直角三角形，∴AC=BC，∵∠AHC=∠ACB=∠BGC=90°，∴∠CAH=∠BCG，∴△AHC≌△CGB（AAS），∴CG=AH=2，CH=BG，设CH=BG=m，则OG=OH+HG=3+m+2=5+m，∴点B（5+m，m），∵点B在反比例函数y=图象上，∴m（5+m）=6，整理，解得：m=-6（舍去）或m=1，∴CH=BG=1，∴OC=4，∴C（4，0）；②如图2，当∠CAB=90°时，过点B作BG⊥x轴于点G，再过点A作AE⊥GB的延长线交于点E，过点C作CD⊥EA的延长线于点D，同①方法，易证△ADC≌△BEA（AAS），∴CD=AE=2，AD=EB，设AD=EB=m，则OG=3+AE=5，BG=CD-EB=2-m，∴点B（5，2-m），∵点B在反比例函数y=图象上，∴5（2-m）=6，整理，解得：m=，∴AD=EB=，∴OC=OA-AD=3-=，∴C（，0）；③如图3，当∠ABC=90°时，过点B作BG⊥x轴于点G，再过点A作AE⊥GB的延长线交于点E，同①方法，易证△AEB≌△BGC（AAS），∴AE=BG，EB=CG，∴EG=2，设EB=CG=m，则AE=BG=EG-EB=2-m，∴OG=3+2-m=5-m∴点B（2-m，5-m），∵点B在反比例函数y=图象上，∴（2-m）（5-m）=6，整理，解得：m=（舍去，不符合题意）或m=，∴EB=CG=，OG=，∴OC=OG-CG=-=-2，∴C（-2，0），综上所述，点C坐标为（4，0）或（，0）或（-2，0）.20．【答案】（1）解：作轴于点B，由点可知，，，.又，，所以.即，所以，则，所以反比例函数与一次函数关系为，.（2）解：当时，，则，当时，点D在OC的垂直平分线上，故，当时，设，则，又，则，即，所以，综上，，或（3）解：存在.设，则，又，，则，则。
北师大版九年级数学上册：反比例函数
(k为常数，k≠0) 的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数.
=
反比例函数的自变量x不能为零. （x≠0）
及时训练
例1 下列函数中y是不是关于x的反比例函数？
若是,请写出它的比例系数k的值.
是，k = 8
不是
是，k = -1
−1
=
是，k = 3
3
=
不是
不是
是，k=
1
−
11
1
y=
1 1 −11
函数吗?为什么?
你还可以举出哪些反比例函数的实例呢？
课堂小结
通过这节课的学习你有哪些收获?
从特殊到一般
研究思路：
实例
类比归纳
反比例函数
随堂练习
1.已知y是x的反比例函数，当x=5时，y=-6.
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x=-2时，求y的值；
（3）当y=1时，求x的值.
随堂练习
C
(1)求出y与x之间的函数表达式；
(2)当x=-2时，求y的值；
(3)当y=12时，求x的值.
及时训练
练习3
一个矩形的面积为20cm2，相邻的两条边长分别为xcm和ycm，
那么变量y是变量x的函数吗？是反比例函数吗？为什么？
某村有耕地346.2公顷，人口数量n逐年发生变化，那么该村人
均占有耕地面积m(公顷/人)是全村人口数n的函数吗?是反比例
1
2
4
-4
(1)写出这个反比例函数的表达式; 待定系数法
(2)根据函数表达式完成上表.
1
2
-2
-1
3
及时训练
用待定系数法求反比例函数表达式的步骤：
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5.3反比例函数的应用 单元测试
班级： ____________________ 姓名： _____________________ 得分： _______________________ 一、填空题
1. 已知函数y =( k +1)x" k 1 ( k 为整数)，当k 为 _______________ 时，y 是x 的反比例函数•
2. 函数y =— 2的图象位于 __________ 象限，且在每个象限内 y 随x 的增大而 ____________ .
6x
3. 已知y 与2x 成反比例，且当x =3时，y =，那么当x =2时，y = __________ ,当y =2时，x = ______
4. 如果函数y =(n +1)x m2 m3表示反比例函数，且这个函数的图象与直线 y =— x 有两个交点，则
的值为 __________ .
5. 如图1为反比例函数的图象，则它的解析式为 ____________ .
6. 已知双曲线经过直线 y =3x — 2与y =x +1的交点，则它的解析式为 ___________ ,
7. 下列函数中 __________ 是反比例函数.
③ y =1―x ④ y =—
2 2x
8. 对于函数y=*，当x > 0时，y _____________ 0,这部分图象在第 __________ 象限.
x
对于函数y =—，当x v 0时，y ____________ 0,这部分图象在第 ___________ 象限.
m 1
9. 当m _______ 时，函数y= ---------- 的图象所在的象限内，y 随x 的增大而增大.
x
10. 如图2，反比例函数图象上一点 A,过A 作AB 丄x 轴于B ,若&AO =3，则反比例函数解析式为
① y =x + ②y =
3x 2
二、选择题
11. 对于反比例函数y=,下列结论中正确的是( )
A. y取正值
B. y随x的增大而增大
C. y随x的增大而减小
D. y取负值
x b
12. 若点(1，2)同时在函数y=ax+b和y= 的图象上，则点(a,
b)为( )
a
A.( —3,—1)
B.( —3, 1)
C.(1 , 3)
D.( —1, 3)
13. 已知y与x成正比例，z与y成反比例，则z与x之间的关系为( )
A.成正比例
B.成反比例
C.既成正比例又成反比例
D.既不成正比例也不成反比例
14. 矩形面积为3 cm2,则它的宽y(cm)与x(cm)长之间的函数图象位于( )
A.第一、三象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第一象限
15. 已知函数y=k(x+1)和y=，那么它们在同一坐标系中的图象大致位置是( )
的图象是双曲线，且在每个象限内函数值y随x的增大而减小，则m的值是
16.函数y=mx m 2m 9
( )
A. —2
B.4
C.4 或一2
D. —1
17.如图3，过反比例函数y= ( x>0)图象上任意两点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为C D, 连结OA OB设AC与0B的交点为E,A AOE与梯形ECDB勺面积分别为S、S,比较它们的大小，可得( )
k 2
20. 若在同一坐标系中，直线 y =k x 与双曲线y =一 无交点，则有
x
A. k 1+k 2> 0 C.k 1k 2> 0 三、解答题
2
2
2m 4 21. --------------------------------------------------------------------------- 已知函数y = — 4x — 2mxnm 与反比例函数 y = ----------------------------------------------------------------------------------- 的图象在第二象限内的一个交点的横坐标 x
是一2,求此两个函数的解析式
22. 如图5,Rt △ AOB 勺顶点A 是一次函数y = — x +n +3的图象与反比例函数 y =m 的图象在第二象限
A. S > S 2
C. $=$
18.已知一次函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限，则函数 B. S V $
D.S 、Sa 的大小关系不能确定
kb
y=_5的图象在( X
A.第一、三象限
B.第一、二象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
19.函数y =kx — k ,与函数y =在同一坐标系中的图象大致如图 4, 则有(
A.k V 0
B.k > 0
D.k v — 1
B. k i +k 2< 0
D.k i k 2V 0
x
的交点，且&AOB=1，求点A的坐标.
23. 若反比例函数y=m与一次函数y=kx+b的图象都经过点(—2, —1),且当x=3时，这两个函数
x
值相等，求反比例函数解析式.
24. 已知一个三角形的面积是12 cmf,( 1)写出一边y(cm)与该边上的高x(cm)间的函数关系式；(2) 画出函数图象.
25. 某厂要制造能装250mL(1mL=1cm)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都
是0.02 cm顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm的易拉罐用铝量是y cm3.
用铝量=底面积X底部厚度+顶部面积X顶部厚度+侧面积X侧壁厚度，求y与x间的函数关系式.
X
*26.已知直线y =— x +6和反比例函数 y = ( 0)
(1) k 满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系 xOy 中的图象有两个公共点?
(2) 设(1)的两个公共点分别为 A 、B,/ AOB 是锐角还是钝角？
单元测试
2
一、 1.0 2.二、四 增大 3. 4. — 2 5. y =— 6. y = 7.④ 8. > 一 >
3x
y =
二、 11.C 12.D 13.B 14.D 15.B 16.B 17.C 18.C 19.A 20.D
2
、21. y = — 4X +14X +49 y =』22.( — 1 , 2)
x
23. y = 26. (1)0 v k v 9 或 k v 0 (2) k v 0 时，/ AO 助钝角 0 v k v 9 时，/ AOB 为锐角
9. v 1
10. 24.(1)
y2
⑵略
25. y = - x 2
+
25
10
x 0.02。