椭圆中的重要结论(用)

y2 b2
1上的一点,F1和
F2分别是椭圆的左,右焦点
（1）PF1 PF2 的最大值是多少？
（2）PF1 PF2 的最小值是多少？ yP
PF1

PF2


PF1
PF2 2
2
a2
F1
F2 x
PF1 PF2 最大值为a2
PF1
PF2
2b2
1cos
当cos=1时，PF1 PF2 取最小值b2
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5、椭圆的第二定义
(2).平面内一个动M点(x, y)到一个定F点(c,0)的
距离和它到一条定l直: x线 a2 的距离的比是 c
小于1的正常数 e c (a c 0)时,这个动点的轨 a
迹是椭圆 .
这个定点是椭圆的焦，点 这条定直线叫做椭圆准的线，
y
Md
l
这个常数e是椭圆的离心率 .
焦点三角形常用结论 （1）焦点三角形周长为2a+2c
b c ( (2 3)) S三 M角 F1F2形 M b2F 1 F ta2 n面 2积 最 大 值 为 多 少 ？ M
2b2
(4) MF1
MF2

1cos
F2
F1
当cos=1时，PF1 PF2 取最小值b2
(5)
MF1

MF2
第五讲 椭圆
4、椭圆中的焦点三角形问题
由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形, 称作焦点三角形.
M
F2
F1
解决焦点三角形通常从以下几方面入手 （1）椭圆的第一定义 （2）三角形的正(余)弦定理,内角和定理 （3）三角形面积公式
M
F2
F1
焦点三角形常用结论 （1）焦点三角形周长为2a+2c
( 2 ) 三 角 形 M F 1 F 2 面 积 最 大 值 为 多 少 ？
F2分别是椭圆的左,右焦点,若F1PF2 ,求
证:SPF1F2 b2 tan2.
y
P
F1
F2
x
练 习 1.已 知 点 P是 椭 圆 y52x421上 的 一 点 ,F1 和 F2是 焦 点 ,且 F1PF2300,求 F1PF2的 面 积 .
8-4 3
思考.若点P是椭圆ax22
bc M
F2
F1
例2、已知P是椭圆ax22 by22 1(ab0)上的点,
F1,F2是椭圆的左右焦点,且F1PF2 ,求三角形
F1PF2的面积.
分析：设| PF1 | r1,| PF2 | r2;则r1 r2 2a
SPF1F2

1 2
r1r2
sin
,
而由余弦定理得4c2


MF1
MF2 2
2
a2
MF1 MF2 最大值为a2
yP

A F1
F2
b2
x
PF1

accos
By
F1
F2
A
x
通径 AB 2b2 a
B
yP
b2
F2 x kPA kPB a2
A
双曲线中：kPAkPBba22
焦半径范围 acPF1 ac acPF2 ac

r
2 1

r22
2r1r2 cos (r1 r2)2 2(1 cos)r1r2 4a2
2(1 cos)r1r2 r1r2
2b2
1 cos
, SPF1F2

1 2
r1r2
sin
b2 sin

b2
tan

2
;
练习2.若点P是椭圆ax22 by22 1上的一点,F1和
椭圆有两条准 , 线
其方程: x a2 ;x a2 .
c
c
F1
F2
x
椭圆上一点P（x0，y0）和焦点F1、F2的连线 叫做点P处的焦点半径（或焦半径），如果分 别以r1，r2表示它们的长度，e表示离心率,
那么有
r1＝a＋ex0 r2＝a－ex0
这个公式叫做椭圆的
焦半径公式．
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