高等代数第6章习题解
高等代数教程上王萼芳著课后习题部份解答2012
第一章 行列式1. 习题1.4（2）第2题 计算行列式。
14916491625916253616253649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 习题1.5第4（2）题 计算行列式中所有元素的代素余子式之和。
12100...00...............0...000n n a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0,1,2, (i)i n a≠=解：3. 习题1.6第1（3）题 计算行列式：1101231211232102321⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第6题 计算2n 阶行列式aba b b a b a 0000000解:得列列加到第第，列，列加到第列，第列加到第将第,121212n n n n +-D ＝aba ab a a b a b b a b b a b b a 00000000000000000000000++++++ 行）行减第，第行行减第行，第行减第（第n n n n 121212+-b a b a b a b ba bb a b b a ---+++00000000000000000000000＝n n n b a b a b a )()()(22-=-+4. 复习题 1第4题 计算行列式nn 222221222223222222222221-----------解: 原式244400014400006400000500222222222221)2()()2()4()2()3(++------------n n n=24444014440074400064000052221++⋅-n n=)2()1(7656+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯n n =)!2(41+n第 6 题 计算行列式12121231212321----n n n n n n解：12121231212321----n n n n n n行）行减第第，行，行减第行，第行减第（第n n 13221- ＝122111111111111111111111--n n n －－－－－－－－－－ （第n 列分别加到第1列，第2列，至第1-n 列）＝131110000120001220012220 -+n nn （对第1列展开）＝阶)1(1100012000122001222012222)1()1(-++-n n n ＝212)1(1-++n n n ）（－第 7 题 计算行列式01211...110...01...0......... (10)n a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1...0na a≠)第二章 线性方程组1. 习题2.1 第 1 （4） 题1212323434545561562(4)56256254x x x x x x x x x x x x x ì+=ïïïï++=-ïïï++=íïïï++=-ïïï+=-ïî56561615615656115656156156156151515561656565655156656615619156301515151515561656561619563065114150515150565191145665D 解：方程组的系数行列式对第行展开=-骣÷ç÷ç÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷桫骣÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç桫=?? Cramer D 0, ¹根据法则，方程组有唯一解。
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+，(4) ∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设:1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β，2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β，3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
高等代数第六章 9第六章课堂练习题 太原理工大学
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解：1) 任取 γ ∈ L(α1 , α 2 ) I L( β 1 , β 2 ) 设 γ = x1α1 + x2α 2 = y1 β 1 + y2 β 2 , 则有 x1α1 + x2α 2 − y1 β 1 − y2 β 2 = 0,
x1 − x2 − 2 y1 − y2 = 0 2 x1 + x2 + y1 + y2 = 0 即 x1 + x2 − 3 y2 = 0 x − y −7y = 0 1 1 2 x1 = − t 解 (＊) 得 x2 = 4t ＊ y = −3t 1 =t y2
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(＊) ＊
为任意数） （t 为任意数）
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∴ γ = t ( −α1 + 4α 2 ) = t ( β 2 − 3 β 1 )
令 t=1， ， 则得 L(α1 , α 2 ) I L( β 1 , β 2 ) 的一组基
γ = −α1 + 4α 2 = ( −5,2, 3,4 )
∴ L(α1 , α 2 ) I L( β 1 , β 2 ) = L(γ ) 为一维的 为一维的.
(Ⅰ)到基(Ⅱ)ε 过渡矩阵为 (Ⅰ)到基(Ⅱ) 2,…,εn,ε1的过渡矩阵为 到基(Ⅱ)
返回题（正确打√，错误打×） 判断题（正确打√ 错误打× 对任何单点集合V={x}，一定可以在其上定义线 ，一定可以在其上定义线 1. 对任何单点集合 性运算，使其成为一个实数域上的线性空间.（ 性运算，使其成为一个实数域上的线性空间 （√ ） 即可.） （如，取V={x}， 规定 ， 规定x+x= x，kx=x 即可 ） ， 2. 由r个向量生成的子空间一定是 维的 （× ） 一定是r维的 个向量生成的子空间一定是 维的.（ 可能这r个向量线性相关.） 个向量线性相关 （可能这 个向量线性相关 ） 3.若向量空间 中任何向量都可由向量组α 3.若向量空间V中任何向量都可由向量组 1,α2,…,αn 若向量空间 线性表示，则α1,α2,…,αn是V的一个基.（ ×） 线性表示， 的一个基 （ 的一个 可能α 线性相关.） （可能 1,α2,…,αn线性相关 ）
高等代数(王萼芳石生明著)课后答案高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++ （3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x --6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+-- 7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩ 8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数北大版(第三版)答案
令(x2+x+1)=0
得 ε1
=
−1+ 2
3i
,ε2
=
−1− 2
3i
∴f(x)与g(x)的公共根为 ε1,ε2 .
P45.16 判断有无重因式
① f (x) = x5 − 5 x4 + 7x3 + 2x2 + 4x − 8 ② f (x) = x4 + 4x2 − 4x − 3
解① f '(x) = 5x4 − 20x3 + 21x 2 − 4x + 4
设
f (x) d ( x)
=
f1 ( x),
g(x) d ( x)
=
g1 ( x),
及
d
(x)
=Байду номын сангаас
u(x)
f
(x)
+
v( x) g ( x).
所以 d (x) = u(x) f1(x)d (x) + v(x)g1(x)d (x).
消去 d (x) ≠ 0 得1 = u(x) f1(x) + v(x)g1(x)
P45.5
(1) g(x) = (x −1)(x2 + 2x +1) = (x −1)(x +1)2 f (x) = (x + 1)(x3 − 3x −1) ∴ ( f (x), g(x)) = x +1
(2) g(x) = x3 − 3x2 +1不可约 f (x) = x4 − 4x3 + 1不可约
3
u = − 1 [(t 2 + t + 3)(t 2 + 2t − 8) + 6t + 24] = −2(t + 4) ∴3
高等代数第六章单元复习题
高等代数第六章单元复习题一、 选择题1. 下列集合中，是3R 的子空间的为（ ）A .{}1233(,,)0x x x x α=≥B .{}123123(,,)230x x x x x x α=++=C ．{}1233(,,)1x x x x α==D .{}123123(,,)231x x x x x x α=++=2. 设321321,,,,βββααα与都是三维向量空间V 的基，且11212,,a ββαα==+3123βααα=++，则矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111001011P 是由基321,,ααα到（ ）的过渡矩阵。
A .312,,βββB .3,21,βββC ．132,,βββD .123,,βββ4. 设,,Q R C 分别为有理数域、实数域和复数域，按照通常数的加法和乘法，则下列结论正确的是（ ）A . Q 构成R 上的线性空间B . Q 构成C 上的线性空间C ．R 构成C 上的线性空间D . C 构成Q 上的线性空间5. 数域P 上n 维线性空间的基的个数有 ( )。
A .1；B .n ；C .!n ；D ．无穷多组6. 设12,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）。
A .11212()W W W W W +=B .1121()W W W W +=C ．11212()W W W W W +=+D .1122()W W W W +=7. 已知321,,ααα是AX = 0 的基础解系，则（ ）A ．321,,ααα线性相关B ．321,,ααα线性无关C ．133221,,αααααα+++线性相关．D ．133221,,αααααα+++不构成基础解系．二、填空题1. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间，则=C dim _____，它的一个基为____。
2. 复数域C 作为复数域C 上的向量空间，则=C dim ____，它的一个基为_____。
3. 设12{,,}n ααα是向量空间V 的一个基，由该基到21{}n ααα，，， 的过渡矩阵为___________________。
高等代数 讲义 第六章
则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；
3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射, （或称σ为 1—1对应）
§6.1 集合 映射
☆集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法 描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.
M＝｛x | x具有性质P｝ 列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.
M＝｛a1，a2，…，an｝
例1 M = {( x, y) x2 + y2 = 4, x, y ∈ R} 例2 N＝ {0,1, 2, 3,LL}， 2Z＝ {0, ±2,±4,±6,LL} 例3 M = { x x2 − 1 = 0, x ∈ R} = {−1,1}
A U B ⊆ B. 又因 B ⊆ A U B，∴ A U B = B．
§6.1 集合 映射
二、映射
1、定义
设M、M´是给定的两个非空集合，如果有 一个对 应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a， 都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应, 则称 σ为
M到M´的一个映射，记作 :σ : M → M'或 M ⎯σ⎯→M' 称 a´为 a 在映射σ下的象，而 a´ 称为a在映射σ下的 原象，记作σ(a)＝a´ 或 σ : a a a′.
又对∀a ∈ R+，存在
x
=
log
a 2
∈
R
，使
σ
(log
a 2
)
=
2log
a 2
=a
高等代数-6.4基变换与坐标变换
3）若由基1,2 , ,n到基1, 2 , , 过n 渡矩阵为A, 由基 1, 2 , , n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为B，则 由基 1,2 , ,n到基 1, 2 , ,过n 渡矩阵为AB.
事实上,若 (1, 2 , , n ) (1,2 , ,n ) A
( 1, 2 , , n ) (1, 2 , , n )B 则有，( 1, 2 , , n ) ((1,2 , ,n ) A)B
下的坐标分别为 ( x1, x2 , , xn ) 与 ( x1 , x2 , , xn ) ，
§6.4 基变换与坐标变换
即，
(1, 2 ,
x1
,
n
)
x2
与
(1, 2 ,
xn
x1 a11 a12
则
x2
a21
a22
xn an1 an2
a1n x1 a2n x2
练习：已知 P 22 的两组基：
E11
1 0
0 0
, E12
0 0
1 0
, E21
0 1
0 0
, E22
0 0
0 1
;
F11
1 0
0 0
, F12
1 0
1 0
, F21
11 10
, F22
11 11
求由基 E11, E12,E21, E22到F11, F12,F21, F22 的过渡矩阵，
过渡矩阵．其中
1 (1,0, ,0), 2 (0,1, ,0), , n (0, ,0,1)
1 (1,1, ,1),2 (0,1, ,1), ,n (0, ,0,1)
并求向量 (a1,a2 , ,an )在基1,2 , ,n下的坐标.
高等代数习题解答
教材部分习题解答高等代数/高等学校小学教育专业教材 作者：唐忠明//戴桂生编 出版社：南京大学 ISBN ：7305034797 习题1.11．证明两个数域之交是一个数域。
证：设A 、B 是两个数域，则0，1∈A ，0，1∈B 0,1A B ⇒∈。
又 ,,,,u v A B u v A u v B ∀∈⇒∈∈且,u v A u v B ⇒±∈±∈且 所以，u v A B ±∈，类似可得,(0)uv A B u v A B v ∈÷∈≠。
从而证得A B 是数域。
2．证明：F={,,}a bi a b Q +∈( i 是虚数单位)是一个数域。
证明：000,110,0,1i i A =+=+∈,,,u v A u a bi v c di ∀∈⇒=+=+设 ()(),u v a c b d i A ±=±+±∈()()uv ac bd i ad bc =-++,A ∈设0,a bi +≠则0,a bi -≠否则，0,a bi a b ===或矛盾！ 所以2222()()()()v c di c di a bi ac db ad cb i u a bi a bi a bi a b a b++-+-===+++-++,A ∈由定义A 是数域。
习题1.2 (1) 213123110113213033312042r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …100010001⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ()2123134142(1)3(1)5(1)12321232123221410323032323121077507755062010912010912r r r r r r r r r ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12323242232103212321232134032301310131013103230076010912010912002122r r r r r r r r r r -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→↔−−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦434310341034103010300131013101300130113()()0076007600700010*******00100010001r r r r ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦习题1.3()21313111242121338133813121031210010113411308113080303396r r r r r r -------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥---−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 32133801011340006r r --⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦， 因为第三行最右的元素非零，其他皆为零，故方程组无解。
《高等代数》各章习题+参考答案 期末复习用
1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。
2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。
3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。
4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。
5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。
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高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
高等代数答案6
111习 题 六1. 用矩阵的行初等变换法解方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=++−=−−=+−531322321321321x x x x x x x x x .（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−++=++−−=−++=+++56721145632434234321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x . 解 (1) 1,1,1321===x x x(2) 1,2,1,34321==−==x x x x2. a 取什么值时，下列线性方程组无解？有唯一解？有无穷多解？解 2,1−≠a 时，唯一解；1=a 时，无穷解 ；2−=a 时，无解.3. 试证，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++,22112222212*********n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a L L L L L L L L L L L L L L 对任何b 1, b 2, …, b n 都有解的充分必要条件是系数行列式D ≠0.证明 必要性： 设12,(,...,),1,2,, Ti i i ni a a a i n α==L ，⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+.12321321321a ax x x a x ax x x x ax ＋112 ),0,,0,1,0,,0,0(L L ii =ε.n i ,,2,1L =, 由已知,向量组nεεε...,,2,1可由向量组n ααα...,,2,1线性表示.因此，向量组n εεε...,,2,1与n ααα...,,2,1等价，从而n ααα...,,2,1线性无关，秩为n . 所以,.0≠D充分性：因为.0≠D 由克拉默法则可知，以D 为系数行列式的线性方程组有唯一解.所以结论成立.4. 证明， ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−−−−515454343232121a x x a x x a x x a x x a x x ＝＝＝＝＝ 有解的充分必要条件是a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝0.证明 对线性方程组的增广矩阵施行初等行变换，将其化为：⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−∑=5143210000011000011000011000011i i a a a a a 原方程组有解的充分必要条件是系数矩阵的秩和增广矩阵的秩相等⇔.051=∑=i ia5. 求下列齐次线性方程组的一个基础解系：113(1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=−+−−=+−+−=−+−.053052110325023421432143214321x x x x x x x x x x x x x x x(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+−+−=+−+=+−=−−.0136152032024303524321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x －＋＋ 解 (1),0,1,143,145T⎟⎠⎞⎜⎝⎛−,1,0,21,21T⎟⎠⎞⎜⎝⎛− (2) ().1,0,1,1T−−6. 设A 是n 阶方阵，证明，若秩A ＝秩A 2, 则齐次线性方程组AX ＝0与A 2X ＝0有完全相同的解.证明 设AX=0的解空间为1W ，A 2X=0的解空间为2W ，显然AX=0的解是A 2X=0的解.因此，1W ⊆2W .又dim 1W =n-秩A= n-秩A 2= dim 2W若秩A ＝n ，那么dim 1W = dim 2W =0，故1W =2W .若秩A ＝r<n,设r n −ααα...,,2,1是1W 的一个基，那么r n −ααα...,,2,1也是2W 中线性无关的向量，因此r n −ααα...,,2,1也是2W 的基. 所以,1W =2W .7. 设n 阶方阵A 的各行元素之和都为零，且秩A ＝n －1，求方114 程组AX ＝0的所有解.解 C ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛1..11,C 为任意常数.8. 已知A ＝⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−11312221λ，三阶方阵B ≠0，且满足AB =0，求λ的值.解 Q,01321≠∴秩A .2≥又由已知，齐次线性方程组AX ＝0有非零解，∴秩A<3，秩A .2=因此，令detA=0,即可解得.1=λ 9. 应用线性方程组的理论证明，若m ×n 矩阵A 与n ×p 矩阵B 的积AB ＝0，则秩A ＋秩B ≤n .证明 若A=0或B=0，结论自然成立.不妨设秩A ＝r>0,作齐次线性方程组AX ＝0，该方程组的解空间的维数为n-r ，由AB ＝0知，B 的列向量是AX ＝0的解向量。
高等代数习题【可编辑范本】
高等代数习题第一章基本概念§１.1 集合1、设Z是一切整数的集合,Ｘ是一切不等于零的有理数的集合.Z是不是X的子集？2、设a是集Ａ的一个元素。
记号{a}表示什么? {a｝ A是否正确?３、设写出和。
4、写出含有四个元素的集合{｝的一切子集.5、设Ａ是含有n个元素的集合．A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的,那些是错的?错的举出反例，并且进行改正．（i)（ｉi)(iｉｉ)(ｉv)７．证明下列等式:（i)(ii)（ｉｉi）§1。
2映射１、设A是前100个正整数所成的集合．找一个A到自身的映射,但不是满射．2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射.3、是不是全体实数集到自身的映射？4．设f定义如下:ｆ是不是R到R的映射?是不是单射?是不是满射?５、令Ａ=｛1，2，3｝。
写出A到自身的一切映射。
在这些映射中那些是双射？6、设a ，ｂ是任意两个实数且a<b。
试找出一个[0，1］到[a ,b］的双射。
7、举例说明,对于一个集合Ａ到自身的两个映射f和ｇ来说，fｇ与gｆ一般不相等.８、设A是全体正实数所成的集合。
令（i)ｇ是不是A到Ａ的双射？(ii)g是不是f的逆映射?(iｉi)如果ｇ有逆映射,g的逆映射是什么?9、设是映射，又令,证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii ）如果是满射,那么也是满射；（ｉii ）如果都是双射，那么也是双射,并且10．判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算:集合 A 规则１２34 全体整数全体整数全体有理数全体实数baba+→|),(§1。
3数学归纳法1、证明：2、设是一个正整数.证明，是任意自然数．3、证明二项式定理：这里，是个元素中取个的组合数.４、证明第二数学归纳法原理。
5、证明，含有个元素的集合的一切子集的个数等于。
§１.4整数的一些整除性质1、对于下列的整数,分别求出以除所得的商和余数:;；; .２、设是整数且不全为0,而，，。
高等代数北大版习题参考答案
第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间；2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =，(2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4)∑='A =ji j i ij y x a ,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a ,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ =ij a ，),,2,1,(n j i =， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3))2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
[高等代数(下)课外习题-第六章-向量空间]
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[高等代数(下)课外习题-第六章-向量空间]第六章 向量空间一、判断题 1.121{(,,,)|1,}nn i i i x x x x x R ==∈∑L 为nR 的子空间.( ).2、所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).3、n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ).4、设线性空间V 的子空间W 中每个向量可由W 中的线性无关的向量组12,,,sαααL 线性表出，则维(W )＝s .5、 子空间12(,,,)rL αααL 的维数等于向量组12,,,rαααL 的秩 （ ） 6、sααα,,,21Λ为V 的基，sβββ,,,21Λ为V 中向量，且 As s ),,,(),,,(2121αααβββΛΛ=，则sβββ,,,21Λ为V 的基当且仅当A可逆。
（ ）7、有限维线性空间同构的充要条件是维数相同. （ ）8. 设12,,,nαααL 是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个基是12(),(),,()nf f f αααL .9、.如果向量空间V 是3维的，那么V 中任意4个向量必是线性相关的( )。
10.、非齐次线性方程组的解集不构成一个向量空间( )。
11、线性空间的一组基所含向量的个数是该空间的维数.12、设1V ，2V 均为线性空间V 的子空间，满足12{0}V V =I ，则12V V V =⊕。
( ).14．若21V V V ⊕=，rααα,,,21Λ是1V 的基，sr r ααα,,,21Λ++是2V 的基，则sααα,,,21Λ是V 的基.二、填空题1、 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.2、在4P 中，若1234(1,2,0,1),(1,1,1,1),(1,,1,1),(0,1,,1)k k αααα===-=线性无关，则k 的取值范围是____________. 3、若12V V V =⊕，则12V V ⋂= ;4、若1212dim()dim dim V V V V +=+，则12V V ⋂=;5、3][x P 中由基2,,1x x 到基2321,21,1x x x x ++++的过渡矩阵是 , 21x x ++在这两组基下的坐标分别是 , . 6、子空间33{|000a bc W A P A de f ⨯⎛⎫⎪=∈= ⎪ ⎪⎝⎭的维数= ;7、设基11232123323,,βαααβααβα=-+=+=，则由基123123,,,,αααβββ到基的过渡矩阵T= ；8、在22⨯P 中，已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11111A，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01112A，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00113A，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00014A是22⨯P 的基，那么，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A 在该基下的坐标为 。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第五章至第六章【圣才出品】
第5章二次型5.1复习笔记一、二次型及其矩阵表示1．二次型定义设P是一数域，一个系数在数域P中的x1，x2，…，x n的二次齐次多项式称为数域P上的一个n元二次型，或简称二次型．2．线性替换与二次型矩阵（1）线性替换定义设x1，…，x n；y1，…，y n是两组文字，系数在数域P中的一组关系式称为由x1，…，x n到y1，…，y n的一个线性代替，或简称线性替换．如果系数行列式，那么线性替换就称为非退化的．（2）二次型的矩阵令由于所以二次型可以写成其中的系数排成一个n×n 矩阵它就称为二次型的矩阵，因为a ij ＝a ji ，i，j＝1，…，n，所以A＝A'二次型的矩阵都是对称的．3．合同矩阵（1）定义数域P 上n×n 矩阵A ，B 称为合同的，如果有数域P 上可逆的n×n 矩阵C ，使B C AC¢=（2）性质①反身性：A＝E'AE ；②对称性：由B＝C'AC 即得A＝（C -1）'BC -1；③传递性：由A 1＝C 1'AC 1和A 2＝C 2'A 1C 2即得经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的．二、标准形1．定义数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和2221122n nd x d x d x +++ 的形式，该形式就称为的一个标准形．注意：二次型的标准型不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关．2．定理在数域P 上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵．即对于任意一个对称矩阵A 都可以找到一个可逆矩阵C，使C AC ¢成对角矩阵，并且该对角矩阵的值就是对应的标准形式的系数．三、唯一性1．基本概念（1）二次型的秩在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩．（2）复二次型的规范性设f（x1，x2，…，x n）是一个复系数的二次型．经过一适当的非退化线性替换后，f（x1，x2，…，x n）变成标准形，不妨假定它的标准形是易知r就是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为复数总可以开平方，我们再作一非退化线性替换（1）就变成称为复二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．即任一复数的对称矩阵合同于一个形式为的对角矩阵．从而有，两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等．（3）实二次型的规范形设f（x1，x2，…，x n）是一实系数的二次型，经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使f（x1，x2，…，x n）变成标准形其中d i＞0，i＝1，…，r；r是f（x1，x2，…，x n）的矩阵的秩．因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换（4）就变成（6）称为实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形．结论：任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的．2．惯性定理设实二次型f（x1，x2，…，x n）经过非退化线性替换X＝BY化成规范形而经过非退化线性替换X＝CZ也化成规范形则p＝q．另一种表述：实二次型的标准形中系数为正的平方项的个数是唯一确定的，它等于正惯性指数，而系数为负的平方项的个数就等于负惯性指数．3．惯性指数在实二次型f（x1，x2，…，x n）的规范形中，（1）正惯性指数：正平方项的个数p；（2）负惯性指数：负平方项的个数r－p；（3）符号差：p－（r－p）＝2p－r．该定义对于矩阵也是适合的．四、正定二次型1．定义实二次型，f（x1，x2，…，x n）称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数c1，c2，…，c n都有f（c1，c2，…，c n）＞0．2．常用的判别条件（1）n元实二次型f（x1，x2，…，x n）是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于。
高等代数第三版习题答案
高等代数第三版习题答案高等代数是一门研究线性代数、多项式、群、环、域等代数结构及其性质的数学分支。
第三版的高等代数教材通常会包含大量的习题，旨在帮助学生更好地理解和掌握代数的基本概念和技巧。
以下是一些习题的答案示例，请注意，这些答案仅为示例，具体习题的答案需要根据实际的题目来确定。
第一章：线性空间习题1：判断下列集合是否构成线性空间，并说明理由。
- 解：集合\{(x, y) ∈ R^2 | x + y = 1\}不构成线性空间，因为它不满足加法封闭性。
例如，取两个元素(1, 0)和(0, 1)，它们的和(1, 1)不在集合中。
习题2：证明线性空间的基具有唯一性。
- 解：设{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}是线性空间V的两个基。
根据基的定义，任何向量v ∈ V都可以唯一地表示为v =c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn和v = d1*w1 + d2*w2 + ... + dm*wm。
由于表示是唯一的，我们可以得出n = m，并且存在一个可逆矩阵P，使得[v1, v2, ..., vn] = [w1, w2, ..., wn]P。
这意味着两个基是等价的，从而证明了基的唯一性。
第二章：线性变换习题1：确定线性变换T: R^3 → R^3，定义为T(x, y, z) = (x + y, x - y, z)的核和像。
- 解：核N(T)是所有满足T(v) = 0的向量的集合。
设(x, y, z) ∈ N(T)，则(x + y, x - y, z) = (0, 0, 0)。
解这个方程组，我们得到x = 0，y = 0，z可以是任意实数。
因此，核是一维的，由向量(0, 0, 1)生成。
习题2：证明线性变换的复合是线性的。
- 解：设T: V → W和S: W → X是两个线性变换。
对于任意的v1, v2 ∈ V和任意的标量c，我们需要证明(S ∘ T)(cv1 + v2) = c(S∘ T)(v1) + (S ∘ T)(v2)。
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第六章习题解答习题6.11、设2V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）,()x x y V f y y αα-⎛⎫⎛⎫=∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2,()x y V f y x y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭； （4）0,()x V f y αααα⎛⎫=∈=+⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
（5）0,()x V f y ααα⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭，0V α∈是一个固定的非零向量。
解：（1）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）是。
因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有1212121122121212()()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）不是。
因为12121212122()x x y y f f y y x x y y αβ+++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()()()f f f αβαβ+≠+（4）不是。
因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+所以()()f k kf αα≠（5）不是。
因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n nV P⨯=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2n 维线性空间，设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义()f M MA AM =+证明，f 是V 的一个线性变换。
证明：,,M N V k F ∀∈∈，则()()()()()()()f M N M N A A M N MA AM NA AN f M f N +=+++=+++=+ ()()()()()f kM kM A A kM k MA AM kf M =+=+=所以 f 是V 的一个线性变换。
3、设3V R =，(,,)x y z V α=∈，定义22()(,,)f x y z y z x y z α=+-++-证明：f 是V 的一个线性变换。
证明，111222(,,),(,,),x y z x y z k F αβ''∀==∀∈121212()(,,)f f x x y y z z αβ+=+++121212121212121222(()()(),()(),()()())x x y y z z y y z z x x y y z z =+++-+++++++-+11122211221112222222(()(),()(),()())x y z x y z y z y z x y z x y z =+-++-++++-++- 11111111222222222222(,,)(,,)x y z y z x y z x y z y z x y z =+-++-++-++-()()f f αβ=+1111111122()(,,)f k kx ky kz ky kz kx ky kz α=+-++- 1111111122(,,)()k x y z y z x y z kf α=+-++-=所以 f 是V 的一个线性变换。
习题6.21、,f g 是2R 的线性变换，2(,)x y R α=∈使0()(,),()(,)f x y g y x αα=+=-，求2253,,,,,f g f g gf fg f g +-解：0()()()()(,)(,)(,)f g f g x y y x x x ααα+=+=++-=5353503583()()()()(,)(,)(,)f g f g x y y x x y x ααα-=-=+--=+- 00()(())(,)(,)gf g f g x y x y αα==+=+ 0()(())(,)(,)fg f g f y x x y αα==-=- 200()(())(,)(,)f f f f x y x y αα==+=+ 2()(,)(,)g g y x x y α=-=--2、设f 是2R 的线性变换，对2R α∈有()(,)f x y x y α=+-求()P f ，其中21()P t t t =++。
解：记e 表示恒等变换，则22()()()()()()P f f f e f f ααααα=++=++2()()()()(,)(,)(,)P f f f e f x y x y x y x y x y αα=++=+-++-+2242(,)(,)(,)(,)x y x y x y x y x y x y =++-+=++3、证明线性变换的算律（1）——（3）、（5）——（8）、（9）——（11）证明：（1）(),()V f g V ααα∀∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（1）有()()()()()()()()f g f g g f g f f g g fαααααα+=+=+=+∴+=+（2）(),(),()V f g h V αααα∀∈⇒∈由§4.1的向量运算的算律（2）有[()]()()()()[()()]()()[()()]()()()[()]()()()f g h f g h f g h f g h f g h f g h f g h f g h αααααααααααα++=++=++=++=++=++∴++=++（3）()V f V αα∀∈⇒∈，定义变换0：00()α=，显然这个变换是线性变换，由§4.1的向量运算的算律（3）有000000()()()()()()()()()()()()f f f f f f f f αααααααααα+=+=+=+=+=+=00f f f ∴+=+=（5）()V f V αα∀∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（5）有111()()(())()f f f f f ααα==⇒=（6）,,()V k l F f V αα∀∈∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（6）有[()]()()()[()][()()][()]()()()kl f kl f k lf k lf k lf kl f k lf ααααα====∴=（7）,,()V k l F f V αα∀∈∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（7）有[()]()()()[()][()]()()()()()()()k l f k l f k f l f kf lf kf lf k l f kf lfαααααααα+=+=+=+=+∴+=+（8）,(),()V k F f g V ααα∀∈∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（8）有[()]()()()[()()]()g()()()(g)()()k f g k f g k f g kf k kf k k f g kf kgαααααααα+=+=+=+=+∴+=+（9）(),(),()V f g h V αααα∀∈⇒∈，则[()]()[()()](()())h f g h f g h f g αααα+=+=+（本节定义1） (())(())()()()()[]()h f h g hf hg hf hg ααααα=+=+=+所以 ()h f g hf hg +=+（10）(),(),()V f g h V αααα∀∈⇒∈，则[()]()[()()]((()))()(())[()]()h fg h fg h f g hf g hf g ααααα====所以 ()()h fg hf g =（11）,(),()V k F f g V ααα∀∈∈⇒∈，则[()]()()()((()))()(())[()]()k fg k fg k f g kf g kf g ααααα====所以 ()()k fg kf g =其次 [()]()(())((())()()f kg f kg k f g k fg αααα=== 所以 ()()f kg k fg =4、设f 是2R 的线性变换，123311173(,),(,),(,)ααα===，如果120()(,)f α=，201()(,)f α=，求3()f α。
解：因为12322311173(,)(,)(,)ααα+=+==所以 312122222001()()()()(,)(,)f f f f ααααα=+=+=+400141(,)(,)(,)=+=5、设()f L V ∈，1110()m m m m P x a x a xa x a --=++++是F 上的多项式，证明1110()()m m m m P f a f a f a f a E L V --=++++∈，称()P f 是线性变换f 的多项式。
证明：由线性变换的乘法定义和性质，对自然数12,,,m ，有2,,,()m f f f L V ∈，再由数乘定义与性质，对110,,,m m a a a a F -∈，有1110,,,()m m m m a f a f a f a E L V --∈再由线性变换的加法定义有1110()()m m m m P f a f a fa f a E L V --=++++∈习题6.31、求矩阵A 的特征根和特征向量：（1）311242113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；（2）110010001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；（3）110430100A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭解：（1）311202242242113113||E A λλλλλλλλ------=---=---------2101122422244244113114()()()[()]λλλλλλλλ-=----=----=---------262()()()λλλ=---所以，特征根为2，2，6 对于2λ=111111222000111000()E A λ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=---→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，则线性无关特征向量为12110101(,,),(,,)ηη''=-=-对于6λ=311311113101222222048012113113048000()E A λ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=--→--→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得线性无关特征向量3121(,,)η=（2）3110010101||()E A λλλλλ---=-=--特征根为三重根1，则010000000()E A λ-⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭，线性无关特征向量为12100001(,,),(,,)ηη''==（3）22110430234110||()()E A λλλλλλλλλ+--=-=--+=-- 特征根为0、1、1对于0λ=，110110100430010010100010000()E A λ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-=-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关特征向量为1001(,,)η=对于1λ=210101420012101000()E A λ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭线性无关特征向量为1121(,,)η=2、设A αλα=，证明(ttA t αλα=是正整数）。