高等代数第6章习题解

第六章习题解答

习题6.1

1、设2

V R =，判断下面V 到V 的映射哪些是V 的线性变换，哪些不是？ （1）,()x x y V f y y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）,()x x y V f y y αα-⎛⎫⎛⎫

=∈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；

（3）2,()x y V f y x y αα+⎛⎫⎛⎫=∈=

⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

； （4）0,()x V f y αααα⎛⎫

=∈=+

⎪⎝⎭

，0V α∈是一个固定的非零向量。 （5）0,()x V f y ααα⎛⎫=∈= ⎪⎝⎭

，0V α∈是一个固定的非零向量。 解：（1）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有

1212121122121212()()()x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα++⎛⎫⎛⎫⎛⎫

==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（2）是。因为1122(,),(,),x y x y k F αβ''∀==∀∈，有

1212121122121212()()()()

x x x x y y x y x y f f f f y y y y y y αβαβ++-+--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+===+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111111()()kx kx ky x y f k f k kf ky ky y αα--⎛⎫⎛⎫⎛⎫

==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

（3）不是。因为

12121212122()x x y y f f y y x x y y αβ+++⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭

而 121211*********()()y y y y f f x y x y x x y y αβ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+=+= ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭

所以()()()f f f αβαβ+≠+

（4）不是。因为0()f k k ααα=+，而000()()kf k k k k ααααααα=+=+≠+

所以()()f k kf αα≠

（5）不是。因为0()f αβα+=，而00002()()f f αβαααα+=+=≠ 2、设n n

V P

⨯=是数域F 上全体n 阶方阵构成的集合，有§4.5，V 是F 上2

n 维线性空间，

设A V ∈是固定元，对任意M V ∈，定义

()f M MA AM =+

证明，f 是V 的一个线性变换。 证明：,,M N V k F ∀∈∈，则

()()()()()()()f M N M N A A M N MA AM NA AN f M f N +=+++=+++=+ ()()()()()f kM kM A A kM k MA AM kf M =+=+=

所以 f 是V 的一个线性变换。

3、设3

V R =，(,,)x y z V α=∈，定义

22()(,,)f x y z y z x y z α=+-++-

证明：f 是V 的一个线性变换。

证明，111222(,,),(,,),x y z x y z k F αβ''∀==∀∈

121212()(,,)

f f x x y y z z αβ+=+++121212121212121222(()()(),()(),()()())x x y y z z y y z z x x y y z z =+++-+++++++-+11122211221112222222(()(),()(),()())x y z x y z y z y z x y z x y z =+-++-++++-++- 11111111222222222222(,,)(,,)x y z y z x y z x y z y z x y z =+-++-++-++-

()()f f αβ=+

1111111122()(,,)f k kx ky kz ky kz kx ky kz α=+-++- 1111111122(,,)()k x y z y z x y z kf α=+-++-=

所以 f 是V 的一个线性变换。

习题6.2

1、,f g 是2

R 的线性变换，2

(,)x y R α=∈使0()(,),()(,)f x y g y x αα=+=-，求

2253,,,

,,f g f g gf fg f g +-

解：0()()()()(,)(,)(,)f g f g x y y x x x ααα+=+=++-=

5353503583()()()()(,)(,)(,)f g f g x y y x x y x ααα-=-=+--=+- 00()(())(,)(,)gf g f g x y x y αα==+=+ 0()(())(,)(,)fg f g f y x x y αα==-=- 200()(())(,)(,)f f f f x y x y αα==+=+ 2()(,)(,)g g y x x y α=-=--

2、设f 是2

R 的线性变换，对2

R α∈有

()(,)f x y x y α=+-

求()P f ，其中2

1()P t t t =++。 解：记e 表示恒等变换，

则2

2

()()()()()()P f f f e f f ααααα=++=++

2()()()()(,)(,)(,)P f f f e f x y x y x y x y x y αα=++=+-++-+

2242(,)(,)(,)(,)x y x y x y x y x y x y =++-+=++

3、证明线性变换的算律（1）——（3）、（5）——（8）、（9）——（11）

证明：（1）(),()V f g V ααα∀∈⇒∈，由§4.1的向量运算的算律（1）有

()()()()()()()()

f g f g g f g f f g g f

αααααα+=+=+=+∴+=+

（2）(),(),()V f g h V αααα∀∈⇒∈由§4.1的向量运算的算律（2）有

[()]()()()()[()()]()()[()()]()()()

[()]()

()()

f g h f g h f g h f g h f g h f g h f g h f g h αααααααααααα++=++=++=++=++=++∴++=++

（3）()V f V αα∀∈⇒∈，定义变换0：00()α=，显然这个变换是线性变换，由§4.1的向量运算的算律（3）有

000000()()()()()()

()()()()()()

f f f f f f f f αααααααααα+=+=+=+=+=+=