第20章 数据的整理与初步处理

第20章 数据的整理与初步处理
12n 12n 别求下列各组新数据的平均数：
（1）51x ，52x ，…，5n x ；
（2）1x －1y ，2x －2y ，…，n x －n y ； （3）1x ，1y ，2x ，2y ，…，n x ，n y ；
2．先阅读下面的问题：
在实际生活中常见到求平均数的问题．例如：问题某校初一级篮球队12名同学的身高（厘米）分别如下：171，168，170，173，165，178，166，161，176，172，176，176． 求全队同学的平均身高．
解：分别将各数减去170，得1，-2，0，3，-5，8，-4，-9，6，2，6，6. 这组数的平均数为：（1-2+0+3-5+8-4-9+6+2+6+6）÷12=12÷12=1，则已知数据的平均数为：170+1=171.
答：全队同学的平均身高为171厘米．
通过阅读上面解决问题的方法，请利用它解决下面的问题：
（1）10筐苹果称重（千克）如下：32，26，32.5，33，29.5，31.5，33，29，30，27.5问这10筐苹果的平均重量是多少
（2）若有一组数为：a-1，a+5，a-1，a-2，a-4，a+1，a+2，这组数的平均数为多少？
专题二 综合应用问题 综合应用题
3.（要点 残缺说理类题型）为了从甲、乙两名同学中选拔一人参加射击比赛，在同等的条件下，教练给甲、乙两名同学安排了一次射击测验，每人打10发子弹.下表是甲、乙两人各自的射击情况记录（其中乙的记录表上射中9、10环的子弹数被墨水污染看不清楚，但教练记得乙射中9、10环的子弹总数为，且均不为0）.
（2）根据这次测验的情况，如果你是教练，你认为选谁参加比赛比较合适，并说明理由.
4. 进取中学八年级9班学生小若，在学习了统计图的制作和变量的关系的知识后，想给自己制作一张反映自己学习成绩成长趋势的统计图，以了解自己学习成绩的变化趋势．于是，他请教了数学老师，数学老师给了他两个建议：
（1）制作什么统计图才能反映成绩的变化趋势；
（2）试卷有难有易，试题难时，分数低不一定表示退步，如何才能客观地、较正确地反映自己的成绩的变化趋势？
小若回家后经过仔细思索，认为应制作 统计图才能反映成绩的变化趋势；其次，应把自己每次考试成绩与班级平均分比较，即：每次考试成绩X 减去班级平均分Y ，为
避免出现负分，再加上60分，称为成长分值A ，用公式表示为：A=X-Y+60这个关系式里有几个变量，因变量是 .
小若兴冲冲地把自己的想法告诉了数学老师，数学老师高度表扬了小若，认为小若是个爱动脑筋且能活学活用、有创新意识的孩子，如果能够持之以恒，前途不可限量．小若很快从老师那儿拿到了自己的各次考试成绩，以及相应的班级各次平均分，请你帮小若算出他的各次成长分值，以及帮小若画出他的成长趋势图．
（3）填 出上表的各 章 考 试 的成长分值，并 画 出 小若 的 成 长 趋 势 图：
（4）按照小若的成长趋势，请你预测小若第五章的成长分值A 是 ，理由是： .
1．解：（1）∵
n 1（51x +52x +…+5n x ）=n
5
（1x +2x +…+n x ）=5x ，∴第一组中各数据正好是原来数据的5倍，平均数也是原来的5倍，故这组数据的平均数为5x ；
（2）∵n 1（1x －1y +2x －2y +…+n x －n y ）=n 1
〔（1x +2x +…+n x ）－（1y +2y +…
+n y ）〕=n 1（1x +2x +…+n x ）-n
1
（1y +2y +…+n y ）=x －y ，∴第二组中各数据正好是
原来两组数据的差，平均数也是原来两组数据的差，故这组数据的平均数为x －y ；
（3）∵n 21（1x +1y +2x +2y +…+n x +n y ）=n
21
〔（1x +2x +…+n x ）+（1y +2y +…+n y ）〕
=n 21（1x +2x +…+n x ）+n
21
（1y +2y +…+n y ）=2y x ，∴第三组中各数据正好是把原来
两组数据合在一起，数据的个数正好是原来一组数据的2倍，因此平均数也是原来两组数
据平均数之和的一半，这组数据的平均数为
2
y
x -． 2．解答：（1）分别将各数减去以30，得+2，-4，+2.5，+3，-0.5，+1.5，+3，-1，0，-2.5．由题意可得：+2-4+2.5+3-0.5+1.5+3-1+0-2.5=4，则原数据的平均数=30+4÷10=30.4（kg ）．
（2）分别将各数减去以a ，得-1、+5、-1、-2、-4、+1、+2，则这组数据的平均数为0，则已知数据的平均数为a+0=a ．
答：（1）10筐苹果的平均重量是30.4kg ；（2）平均数为a ． 3．解答：（1）甲同学在这次测验中平均每次射中的环数是：（5×4+6×1+8×3+9×1+10×1）÷10=6.9.
（2）①若乙同学击中9环的子弹为2发，则击中10环的为2发.乙同学在这次测验中平均每次射中的环数是：（5×2+6×3+7×2+9×1+10×2）÷10=7.1.因7.1＞6.9，故在这次测验中乙同学的成绩比甲同学的成绩好，这时应选择乙参加比赛.
②若乙同学击中9环的子弹为2发，则击中10环的子弹为1发.乙同学在这次测验中平均每次射中的环数是：（5×2+6×3+7×2+9×2+10×1）÷10=7.0.因7.0＞6.9，故在这次测验中乙同学的成绩比甲同学的成绩好，这时应选择乙参加射击比赛. 综上所述，应选择乙参加射击比赛.
4．
解答：（1）折线图；（2）折线图，成长分值A ．表格中从左向右依次填70，75，80，85．（3）如图所示．
（4）小若第五章的成长分值A 是90分，由以上几章的成绩和折线统计图知，每一章比前一章的成长分值A 都高5分．
状元笔记
【知识要点】
1、平均数的两个计算公式： ①算术平均数：()n x x x n
x +++=
211
②加权平均数：()n k n f f f f f f f x f x f x x k k
k
k ≤=+++++++++=
,21212211
【温馨提示】
(1)计算平均数时要仔细、认真，特别是当一组数据中数据较大或个数较多时，更要防止发生计算错误．
(2)平均数与一组数据中的每个数据都有关系，它容易受数据组中个别极大或极小数据的影响，这是它的缺点．在实际运用中，为了克服这个缺点，常常将个别极大(或极小)值去掉，再求平均数，如在比赛中，常常去掉评分中的一个最高分和一个最低分，再以剩余数据的平均分作为选手的参赛成绩．
【方法技巧】
当所给数据都在某一个常数a 上下波动时，一般采用下面的简化方法计算平均数： (1)把各数据都减去常数a ，得出一组绝对值较小的新数据：x ′1＝x 1－a ，x ′2＝x 2－a ，…，x ′n ＝x n －a ；
(2)计算新数据组的平均数：x ′＝1
n
(x ′1＋x ′2＋…＋x ′n )；
(3)得出原数据组的平均数：x ＝x ′＋a.
20.2 数据的集中趋势
专题一 有关的图表信息题
1、四川雅安发生地震灾害后，某中学九（1）班学生积极捐款献爱心，如图所示是该班50名学生的捐款情况统计，求他们捐款金额的众数、中位数和平均数.
2、A ，B ，C 三名大学生竞选系学生会主席，他们的笔试成绩和口试成绩（单位：分）分别
（1）请将表一和图一中的空缺部分补充完整．
（2）竞选的最后一个程序是由本系的300名学生进行投票，三位候选人的得票情况如图二（没有弃权票，每名学生只能推荐一个），请计算每人的得票数．
（3）若每票计1分，系里将笔试、口试、得票三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，请计算三位候选人的最后成绩，并根据成绩判断谁能当选．
专题二 特征数据的选择
3、三个生产日光灯管的厂家在广告中宣称，他们生产的日光灯管在正常情况下，灯管的使
用寿命为12个月．工商部门为了检查他们宣传的真实性，从三个厂家各抽取11只日光灯管进行检测，灯管的使用寿命（单位：月）如下：
试问：（1）这三个厂家的广告，分别利用了统计中的哪一个特征数（平均数、中位数、众
数）进行宣传？
（2）如果三种产品的售价一样，作为顾客的你选购哪个厂家的产品？请说明理由．
（1）求这10个专卖店该月销售额的平均数、众数、中位数；
（2）为了调动各专卖店经营的积极性，该厂决定实行目标管理，即确定月销售额，并以此对超额销售的专卖店进行奖励．如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售额定为多少合适？并说明理由．
5、某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图.请你根据统计图给出的信息回答：
（1） 填写完成下表：
（2）这20个家庭的年平均收入为_____ _万元；
（3）样本中的中位数是_____ _万元，众数是____ __万元；
（4）在平均数、中位数两数中，_____ _更能反映这个地区家庭的年收入水平.
【知识要点】
1、众数：一组数据中出现次数最多的数据；
2、中位数：将一组数据按大小排列后，中间的数据或中间两个数的平均数；
【温馨提示】
1、一组数据的众数可能不止一个；当一组数据中如果有两个数据出现的次数一样多，且是最多的，那这两个数据都是这组数据的众数．
2、一组数据的中位数只有一个，可以和平均数是同一数据．
3、求中位数一定要将数据按大小排列.
4．平均数、中位数、众数的联系与区别
(1)联系：平均数、中位数、众数都是描述一组数据集中趋势的统计量．
(2)区别：①个数不同：一组数据的平均数、中位数只有1个，众数可能不止1个，有时也可能没有众数．
②统计意义不同：平均数体现了一组数据的“平均水平”．平均数能充分利用各个数
25% 20% 15% 10% 5%
)
所占户数比
据提供的信息，即在计算一组数据的平均数时，所有数据都参与运算，所以它易受极端值的影响．
中位数体现了一组数据的”中等水平”．中位数的计算受极大值或极小值的影响较小，它不能充分利用各个数据的信息．当一组数据中个别数据变动较大时，可用它来描述其集中趋势.
众数体现一组数据的“多数水平”．一组数据的众数只与各数据出现的频数有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，众数往往能很好地说明问题；但当各数据重复出现的次数相等时，它往往没有特别意义．
【方法技巧】
1．中位数的求法：一般地，排序后设数据个数为n ，当n 为奇数时，第2
1
+n 个数据即为该组数据的中位数，当n 为偶数时，第
2
n 和22+n 两个数据的平均数为该组数据的中位数.
2．平均数、中位数、众数从不同的侧面反映了一组数据的特征，因此在解决实际问题时，
往往要注意结合问题的实际情境，灵活地选择这些统计量来解决问题． 答案：
1、解析：由图可知：交10元的人数最多，因此众数是10元；全班50人，捐款数按从小到大排列后，第25、26两个数都是20元，因此中位数是20元；
元）
(6.3050
6
1009501520161045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x 因而，这组数据的众数是10元，中位数是20元，平均数是30.6元. 2、解析：
（1）A 大学生的口试成绩为90；补充后的图如图所示：
（2）A 的票数为300×35%=105， B 的票数为300×40%=120， C 的票数为300×25%=75； （3）A 的成绩为
=92.5（分）
B 的成绩为=98（分）
C 的成绩为=84（分）
故B 应当选．
3、解析：（1）甲厂的广告利用了统计中的平均数．
乙厂的广告利用了统计中的众数． 丙厂的广告利用了统计中的中位数．
（2） 选用甲厂的产品． 因为它的平均数较真实地反映灯管的使用寿命
或选用丙厂的产品．因为丙厂有一半以上的灯管使用寿命超过12个月. 4、解析：（1）这组数据的平均数：293234338248255
3910
++⨯+⨯+⨯+=；
这组数据的中位数：
3438
362
+=； 这组数据的众数是：34．
（2）这个目标可以定为每月39万元（平均数）．因为从样本数据看，在平均数、中位数和众数中，平均数最大，可以认为，月销售额定为每月39万元是一个较高目标．
（2）万元）
(6.120
==
x 即年平均收入为1.6万元；
(3)由上表可知，第10、11两个数都是1.2万元，因而中位数是1.2万元；在20个数据中，1.3万元出现的次数最多，因此众数是1.3万元；
(4)因为这组数中，数据的大小相差较大，所以平均数不能能反映这个地区家庭的年收入水平；而中位数较接近多数家庭的年收入水平.
20.3 数据的离散程度
专题一 求一组数据的方差
1、若样本1，2，3，x 的平均数为5，又样本1，2，3，x ，y 的平均数为6，
则样本1，2，3，x ，y 的方差是_______．
2、已知一组数据0，1，2，3，4的方差为2，则数据20，21，22，23，24的方差为_____． 3
那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
A ．80，2
B ．80
C ．78，2
D ． 78
专题二 方差统计意义
4、市运会举行射击比赛，校射击队从甲、乙、丙、丁四人中选拔一人参赛．在选拔赛中，
每人射击10次，计算他们10发成绩的平均数（环）及方差如下表．请你根据表中数据选一人参加比赛，最合适的人选是 ．
5、省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进
）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是 环，乙的平均成绩是 环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差； （3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由． （计算方差的公式：s 2＝
［］）
6、某市篮球队到市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每次投10个球，下图记录的是这两名同学
5次投篮中所投中的个数．
（1）请你根据图中的数据，填写右表．
（2）你认为谁的成绩比较稳定，为什么？
（3）若你是教练，你打算选谁？简要说明理由．
7、学校为了了解八年级两个班期末数学成绩情况，从
n
12
2221)()()(x x x x x x n -++-+-
王亮 李刚
请你通过计算，估计哪个班学生的成绩比较整齐?
状元笔记
【知识要点】
方差：()()()[]
222212
1
x x x x x x n
s n -++-+-=
； 值越大，离散程度越大.
【方法技巧】
1．方差的求法：①先求各数据的平均数x ；②再求各数据偏离平均数x 的差值，即x 1－x ，x 2－x ，…，x n －x ；③对各差值平方，即(x 1－x )2，(x 2－x )2，…，(x n －x )2；
④对各平方结果求平均数，即计算S 2＝1
n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．
答案： 1、解析：
()()()()()[]
222222
61061463626151
-+-+-+-+-=
s ＝()166********
++++
＝1305
1
⨯
＝26.
2、解析：由方差的定义可知：若一组数据与另一组数据每个数据相差相同的数，则这两组数据的方差相等，因此方差为2。

3、解析：设丙数为x ，则81+79+x +80+82＝80×5 解之得：x ＝78
()()()()()[]
2222228082808080788079808151
-+-+-+-+-=
s ()4041151
++++= 1051
⨯=
＝2
所以答案为C ．
4、解析：从平均数的角度选拔，应考虑甲、丁，从方差的角度考虑应选择丁，两方面综合，应选丁．
5、解析：
（1）9；9．
（2）s 2甲＝ ＝＝； s 2乙＝ ＝＝． （3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；
但
甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
差．王亮的成绩较稳定．
（3）选王亮的理由是成绩较稳定，选李刚的理由是他具有发展潜力，李刚越到后面投中个数越多．
7、解析：（1）在这10天用电量中，13出现次数最多，因此众数是13度；
由上表可知，第5、6个数据都是13，因此这组数据的中位数是13度；因为15-8＝7，所以极差为7度；
（2）∵1(8910213314152)10
x =++⨯+⨯++⨯＝12（度） ∴这个班级平均每天的用电量为12度； （3）∵12×20×30＝7200（度）
∴估计该校该月总的用电量为7200度．
8、解析：（1）众数是1.0小时；
（2）1(0.515 1.020 1.510 2.05)50
x =⨯+⨯+⨯+⨯ 1.05=（小时）
， []
222222)99()910()98()99()98()910(61-+-+-+-+-+-)011011(6
1+++++32[]
222222)98()99()910()910()97()910(61-+-+-+-+-+-)101141(6
1+++++34
这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间是1.05小时；
（3）352000140050
⨯=． 全校学生中这一天课外阅读时间在1.0小时以上（含1.0小时）的约为1400人．
9、解析：
()().2.8374848210
1,84839076101＝＝＝＝乙甲++++++ x x ()()()[]2
.1313210
184838490847610
12222＝＝＝甲⨯-++-+- s ()()()[]36
.266.26310
12.83742.83842.83821012222＝＝＝
乙⨯-++-+- s 因为两个班平均数接近，且，乙甲22s s 〈
所以甲班学生的成绩比较整齐.。