n个平面最多可将空间分成多少个部分2

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邯郸市一中校刊

n 个平面最多可将空间分成多少个部分

数学教师 赵新国

问题提出：

空间n 个平面最多可将空间分成多少个部分？

问题分析：

显然，当这n 个平面满足以下条件时，所分割的部分数是最多的。

1、 这n 个平面两两相交；

2、 没有三个以上的平面交于一点；

3、 这n 个平面的交线任两条都不平行。

对于一般情况一下子不易考虑，我们不妨试着从简单的，特殊的情况入手来寻找规律。设n 个

平面分空间的部分数为n a ，易知

当1=n

时，2=n a ；

当2=n 时，4=n a

当3=n 时，8=n a 当4=n 时，情况有些复杂，我们以一个四面体为模型来观察，可知15=n a ；

从以上几种情况，很难找出一个一般性的规律，而且当n 的值继续增大时，情况更复杂，看来这样不行。那么，我们把问题在进一步简单化，将空间问题退化到平面问题：n 条直线最多可将平面分割成多少个部分？（这n 条直线中，任两条不平行，任三条不交于同一点），设n 条直线最多可将平面分割成n b 个部分，那么

当3,2,1=n 时，易知平面最多被分为2，4，7个部分。

当k n =时，设k 条直线将平面分成了k b 个部分，接着当添加上第1+k 条直线时，这条直线与前k 条直线相交有k 个交点，这k 个交点将第k 条直线分割成n 段，而每一段将它所在的区域一分为二，从而增加了1+k

个区域，故

得递推关系式 )1(1++=+k b b k k ，即11+=-+k b b k k

显然当1=k

时, 21=b ,当1,,2,1-=n k 时，我们得到1-n 个式子：

212=-b b

323=-b b

434=-b b ……

n b b n n =--1

将这1-n 个式子相加，得)2(212++=n n b n ，即n 条直线最多可将平面分割成)2(2

12++n n 个部分。 我们来归纳一下解决这个问题的思路：从简单情形入手，确定k b 与1+k b 的递推关系，最后得出结论。

现在，我们回到原问题，用刚才的思路来解决空间的问题，设k 个平面将空间分割成k a 个部分，再添加上第1+k

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--36-- 个平面，这个平面与前k 个平面相交有k 条交线，这k 条交线，任意三条不共点，任意两条不平行，因此这第1+k 个平面就被这k 条直线分割成k b 个部分。

而这k b 个部分平面中的每一个，都把它所通过的那一部分空间分割成两个较小的空间。所以，添加上这第1+k 个平面后就把原有的空间数增加了k b 个部分。由此的递推关系式

k k k b a a +=+1， 即k k k b a a =-+1

当1,,2,1-=n k ，时，我们得到如下1-n 个关系式

112b a a =-

223b a a =-

……

11--=-n n n b a a

将这1-n 个式子相加，得

)(1211-++++=n n b b b a a

因为 )2(212

++=n n b n ，21=a

所以 =n a ])2(21

)222(21

)211(21

2222+++++++++⎢⎣⎡+n n =2+{[][]})1(2)1(21()1(21(212

22-+-+++-+++n n n =]n n n n n n )1(21

)12()1(61

211-⎢⎣⎡+--++ =)1()1(61

1+-++n n n n =6653++n n

问题的解：由上述分析和推导可知，n 个平面最多可将平面分割成)65(613++n n 个部分。

巩固练习：

1、①平面上3条直线可将平面分成几个区域？

②空间3个平面可将空间分成几个部分？

③空间5个平面最多可将空间分成几个部分？（下转递16页）