探讨第二型曲面积分的计算方法

目录

摘要 (1)

关键词 (1)

Abstract (1)

Keywords (1)

0 前言 (1)

1 直接利用公式进行计算 (1)

2 利用积分曲面的对称性进行计算 (3)

3 利用两类曲面积分之间的联系进行计算 (6)

4 利用高斯公式进行计算 (6)

参考文献 (9)

探讨第二型曲面积分的计算方法

姓名：李亚平 学号：272

数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：张萍 职称：讲师

摘 要：本文总结了有关第二类曲面积分的几种算法，对每种计算方法均配以典型例题加以诠释．

关键词：曲面积分；二重积分；投影区域；高斯公式．

The application of symmetry to the calculation of curvilinear integral and camber integral

Abstract:Some theorems and methods for simplifying curvilinear integral and camber integral calculations by means of symmetry have been introduced in this essay ．And the proves of theorems is also included ．

Key Words ：symmetry ；curvilinear integral ；camber integral ；gauss formula ．

0 前言

众所周知，第二型曲面积分的计算比较繁琐，但是若能分类，利用曲面的对称性、两类曲面积分之间的联系、高斯公式、图形结合等方法系统的来解答第二型曲面积分，有时候就能使第二型曲面积分的计算相对简单、易懂，故此篇文章就第二型曲面积分的几种常见计算方法为中心进行展开讨论．

1 利用公式直接进行计算

大家知道，若()z y x R ,,在光滑有向曲面()()xy D y x y x z z ∈=∑,,,:上连续，则

()⎰⎰∑

dxdy z y x R ,,存在，且有计算公式：

()()()dxdy y x z y x R dxdy z y x R xy

D ⎰⎰⎰⎰±=∑

,,,,,

(1)

其中xy D 表示∑在xOy 面上的投影区域，当曲面取上侧时(1)的右端取“+”号，取下侧时取“—”号．

这一公式表明，计算曲面积分()⎰⎰∑

dxdy z y x R ,,时，只要把其中变量z 换为表示∑的

函数()y x z z ,=，然后在∑的投影区域xy D 上计算二重积分，并考虑到符号的选取即可．这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”． 类似地，如果曲面∑的方程为()x z y y ,=，则

()()()dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q Dzx

⎰⎰⎰⎰±=∑

,,,,,． (2)

如果曲面∑的方程为()z y x x ,=，则

()()()dydz z y z y x P dxdy z y x P yz

D ⎰⎰⎰⎰±=∑

,,,,,． (3)

因此我们在计算⎰⎰∑

++Rdxdy Qdzdx Pdydz 时通常将其分开计算三个积分

⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑

∑

∑

Rdxdy Qdzdx Pdydz ,,，

即分别把曲面Σ投影到yoz 面、zox 面，xoy 面上化为二重积分进行计算，投影域的侧由曲面Σ的方向决定．

例1 计算积分

()()()⎰⎰∑

++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3，

其中Σ为球面2222R z y x =++,且取外侧．

解 对积分()⎰⎰∑

+dydz y x ，分别用后前和∑∑记前半球面和后半球面的外侧，则

前∑：222222:,R z y D z y R x yz ≤+--=， 后∑：222222:,R z y D z y R x yz ≤+---=， 所以

()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑

+=+后

前

dydz y x

=()()

()⎰⎰⎰⎰

-+---++--yz

yz

D D dydz y z y R dydz y z y R

222222

=⎰⎰--yz

D dydz z y R 2222 ()θθsin ,cos r z r y ==令

=3022203

4

2R rdr r R d R

πθπ=-⎰

⎰．

对积分()⎰⎰∑

-dzdx z y ，分别用左右和∑∑记右半球面和左半球面的外侧，则 右∑：222222:,R z x D z x R y xz ≤+--=， 左∑：222222:,R z x D z x R y xz ≤+---=．

对积分()⎰⎰∑

+dxdy x z 3，分别用下上和∑∑记上半球面和下半球面的外侧，则

上∑：222222:,R y x D y x R z xy ≤+--=， 下∑：222222:,R y x D y x R z xy ≤+---=． 同理带入计算得

()⎰⎰∑

-dzdx z y =()⎰⎰

∑

+dxdy x z 3=3

3

4R π， 所以

()()()⎰⎰∑

++-++dxdy x z dzdx z y dydz y x 3=34R π．

2 利用积分曲面的对称性进行计算

定理1 设曲面S 是由关于点P （或平面α）对称的21S S 和组成，设11S M ∈的对称点为22S M ∈，则

()()⎰⎰

⎰⎰⎪⎩

⎪⎨⎧=S

S ds

M f ds M f 021

()()()()1212M f M f M f M f -==若若． 证 以曲面S 关于平面α对称为例．不妨设曲面S 是关于平面xoy 对称的曲面

21S S 和组成，设11S M ∈坐标为()z y x ,,，则其对称点22S M ∈的坐标为()z y x -,,，设