速度雅克比矩阵分析

速度分析---雅可比矩阵---关节速度与末端速度的映射关系
雅克比矩阵的获得方法：位置关系求导；矢量积法；微分变换法 雅克比的性质：
6 x n 的偏导数矩阵，前3行为末端线速度传动比，后3行为末端角速度传动比。

行数=机器人在操作空间的维数，列数n=关节数。

雅克比的应用：
1、判断奇异状态：|J|=0
2、雅克比矩阵的奇异值分解，将雅可比矩阵分解出对角阵（对角元素为奇异值），对角阵和雅可比矩阵具有相同的秩。

3、条件数，定义式（文献）根据是否满自由度划分，和奇异值存在关系：条件数是最大和最小奇异值的比值。

条件数k ≥1，当k=1时，操作臂所具有的形位称为各向同性，灵巧性最高，各奇异值相等。

4、最小奇异值，可用来作为控制所需关节速度上限的指标（限定式见文献）。

5、运动灵巧性指标，条件数的倒数。

附件1：矢量积法
矢量积的方法是whitney 基于运动坐标系概念于1972年提出的求解机器人运动雅克比矩阵的方法。

末端抓手的微分移动和微分转动分别用d 和δ表示，线速度和角速度分别用v 和w 表示。

对于移动关节i 的运动，它在末端手抓产生于z1轴相同方向的线速度，且
0i i v z q
w ⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
因此得到雅可比矩阵的第i 列
0i i Z L ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
(移动关节i)
对于转动关节i 的运动，它在终端抓手上产生的线速度为矢量积0
()i i n i v z p q =⨯，产生
的角速度为i i w z q
= 。

因此，雅可比矩阵的第i 列为
()00i
i i i
n i n i i i Z R P Z P J z Z ⎡⎤⨯⎡⎤⨯==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
式中，⨯表示矢量积符号，0
i
n P 表示末端抓手坐标的原点相对坐标系{i}的位置在基座标系{0}
的表示，0
i n P =
(
)0
i i
n R P ,Zi 是坐标系{i}的Z 轴单位方向，它是用坐标系表示的。

附件2：微分变换法
速度可以看成是单位采样时间内的微分运动。

因此，操作速度与关节速度之间的额关系
等价于相应地微分关系。

微分转动变换满足交换律，并具有矢量性。

微分移动矢量和微分转动矢量共同组成微分算子。

对于转动关节i ，连杆i 相对连杆(i-1)绕坐标系{i}的Zi 轴作微分转动d i θ，根据前面所述的连杆坐标系的规定（Denavit-Hartenberg 方法）和连杆矩阵1i i
T -和i
n T
的定义，则连杆i 的微
分转动相当于微分运动矢量
000d ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0=01i d δθ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
利用公式得出手抓相应的微分运动矢量为
()()()=T z x T z y T z z i T z x T z y T z z P n d P o d P a d d n o a θδδδ⨯⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
若关节i 是移动关节，连杆i 相对于连接杆（i-1）作微分移动
i
dd ，即
001i d dd ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0=00δ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
抓手相应的微分运动矢量为
=000T z x T z y T z z i T x T y T z n d o d a d dd δδδ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
式中n,o,a,P
是
i
n T
的四个列矢量。

利用上述公式，可以得到机器人雅可比J 的各个列矢量。

如果关节i 是转动关节，则J 的第i 列按式计算，即
()J ()()z x y y x T
Li z x y y x z x y y x P n n p n p P o o p n p P a a p a p ⎡⎤
⨯-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⨯=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯-+⎣⎦⎣⎦
J z T A i z z n o a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
如果关节i 是移动关节，这J 的第i 列按式按式计算，即
J z T Li z z n o a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 0J 00T Ai ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
式中n,o,a,P
是
i n T 的四个列矢量。

i n T 的计算顺序如下式所示。

1
010*******
2112111010
1
21......
...n
n n
n n n n n n n n
n
T T T
T T T T
T T T T T
T I ---------===
=
上面计算机器人雅可比的方法是构造性的，只要知道机器人操作臂各连杆变换矩阵T
就可以自动生成它的雅可比矩阵，不需要求导和解方程等手续。

附件3：其他方法
从基座向指端的速度传播的递推方法，即位移关系求导法。

从指端向基座的静力传播的递推方法，即通过力雅克比反求速度雅克比。

附件4：两种雅可比矩阵的关系
微分变换法求出的雅克比是相对于{T}（末端、手爪）坐标的，矢量法求出的雅克比是相对于基坐标的。

两者应具有以下转换关系：
00 0()() 0 T n T
T
n R J q J q R ⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。