电路基础电路的频率响应
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k 1 2
k为奇数
图（b）所示等腰三角波
f (t )
sin kt )
k为奇数
（a）
（b） 图8-5 几种典型的非正弦周期信号
（ c）
图（c）所示锯齿波（sawtooth wave）
A A 1 1 1 f (t ) (sin t sin 2t sin 3t sin kt ) 2 2 3 k
非正弦周期量的有效值
设非正弦周期电压为
u(t ) U 0 U km cos(kt k )
jL j 4 1 j 4
1 1 j 0.25 jC j 4 1
4/ 0 ( j 0.25) 0.25 j 0.067 0.26/ 165V 1 j 4 j 0.25
所以
uC 2 (t ) 0.26 2 cos(4t 165)V
可根据各自相应的相量模型用相量法分别求解各响应分 量 I k1 、 I k 2 ，再写出各响应分量相应的时域表示式ik1（t）、 ik2（t），…，最后运用叠加定理求得
例8-1 如图所示电路，已知
uS (t ) 4 2 cos2tV
iS (t ) 4 2 cos4tA
求uC (t)。
（3）由叠加定理得
uC(t) uC1(t) uC2(t) 1.11 2 cos(2t 146) 0.26 2 cos(4t 165)V
图8-4 两个不同频率正弦量的叠加
§ห้องสมุดไป่ตู้－2 非正弦周期激励下稳态电路的响应
外施激励为一个或多个按正弦规律变化的正弦 稳态电路的响应已做了分析，但在实际中，还
第8 章
8－1
电路的频率响应
多个正弦激励下稳态电路的响应 8－2 非正弦周期激励下稳态电路的响应 8－3 正弦稳态的网络函数 8－4 RLC电路的频率响应 8－5 并联谐振和串联谐振
§8－1 多个正弦激励下稳态电路的响应 图8-1所示电路含有多个独立源，且各个电源的频率不 同，要求某支路电流ik（t）?
解 题中两个正弦电源的 频率不同，不能画出两个独 立源共同作用时的相量模型。 但是在求解每一个独立源单
独作用的响应时，仍可根据
各自的相量模型进行求解。
（1）uS (t) 单独作用时，相应的相量模型如图（b），其中
jL j 2 1 j 2
则可得
1 1 j 0.5 jC j 2 1
U S 2 10 / 0V
1 jC j 20 jL j10
（a）
（b）
（ c）
（d）
U S2 10/ 0 I2 0.707/ 45A 10 j10 j 20 10 j10
i2 (t ) 0.707 2 cos(t 45) A
几种典型的非正弦周期量的波形，它们的傅立叶
级数展开式分别为
图（a）所示矩形波（rectangle wave）
f (t ) 4A 1 1 1 (sin t sin 3t sin 5t sin kt ) 3 5 k
1 1 ( 1) (sin t sin 3 t sin 5 t 9 25 2 k2 8A
i3 (t ) 0.197 2 cos(3t 36.8)A
（4）由叠加定理得，电路中的电流为
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) i3 (t ) 0.707 2 cos(t 45) 0.197 2 cos(3t 36.8)A
i（t）的波形如图所示。可以看出，在非正弦周期激励下，稳 态电路的响应仍为一个非正弦周期量，其周期与一次谐波分 量相同。
应用傅立叶级数，把非正弦周期信号分解为
一个直流分量和一系列频率成整数倍的正弦成
分之和，其中频率与非正弦周期信号频率相同
的分量称为基波(fundamental component)或一
次谐波分量(the first harmonic)，其他各项统称
为高次谐波(higher-order harmonic)，即2次、3 次、4次、…、n次谐波、…。
（3）3次谐波分量作用时的相量模型如图（d）所示，其中 20 U S 3 5 / 30V j 3L j 30 1 j 3C j j 6.67 3
I3 U S3 5/ 30 0.197/ 36.8A 10 j 30 j 6.67 10 j 23.33
例8-2 图（a）所示RLC电路，已知R=10Ω，ωL=10Ω，1/ωC =20Ω， 求电路中的电流i（t）。其中外施电压源为
uS (t ) 10 10 2 cost 5 2 cos(3t 30)V
（a）
（b）
（ c）
（d）
解 （1）直流分量US1=10V单独作用时的等效电路如图（b） 所示，由图可得 i1 (t ) 0 A （2）基波分量作用时的相量模型如图（c）所示，其中
4/ 0 U C1 ( j 0.5) 0.92 j 0.62 1.11/ 146V 1 j 2 j 0.5
uC1 (t ) 1.11 2 cos(2t 146)V
（2）iS(t) 单独作用 时，相应的相量模型 如图8-3（c）所示，
其中
则可得
U C2
会出现大量的非正弦量。这些按非正弦规律变
化的电压或电流，如果能按一定规律周而复始
地变动，就称为非正弦周期量（nonsinusoid）。
非正弦周期激励下稳态电路的响应，可以应用 叠加定理进行计算。分析时首先应用傅立叶级数 （fourier series）把非正弦周期信号分解为许多 不同频率的正弦量之和，然后应用上节所述方法 分别计算各种频率正弦量作用下的响应，再将这 些响应分量的瞬时表示式相加就可求得所需结果。 其实质是把非正弦周期电路的计算转化为一系列 正弦电路的计算，这样仍可利用相量法进行分析。
k为奇数
图（b）所示等腰三角波
f (t )
sin kt )
k为奇数
（a）
（b） 图8-5 几种典型的非正弦周期信号
（ c）
图（c）所示锯齿波（sawtooth wave）
A A 1 1 1 f (t ) (sin t sin 2t sin 3t sin kt ) 2 2 3 k
非正弦周期量的有效值
设非正弦周期电压为
u(t ) U 0 U km cos(kt k )
jL j 4 1 j 4
1 1 j 0.25 jC j 4 1
4/ 0 ( j 0.25) 0.25 j 0.067 0.26/ 165V 1 j 4 j 0.25
所以
uC 2 (t ) 0.26 2 cos(4t 165)V
可根据各自相应的相量模型用相量法分别求解各响应分 量 I k1 、 I k 2 ，再写出各响应分量相应的时域表示式ik1（t）、 ik2（t），…，最后运用叠加定理求得
例8-1 如图所示电路，已知
uS (t ) 4 2 cos2tV
iS (t ) 4 2 cos4tA
求uC (t)。
（3）由叠加定理得
uC(t) uC1(t) uC2(t) 1.11 2 cos(2t 146) 0.26 2 cos(4t 165)V
图8-4 两个不同频率正弦量的叠加
§ห้องสมุดไป่ตู้－2 非正弦周期激励下稳态电路的响应
外施激励为一个或多个按正弦规律变化的正弦 稳态电路的响应已做了分析，但在实际中，还
第8 章
8－1
电路的频率响应
多个正弦激励下稳态电路的响应 8－2 非正弦周期激励下稳态电路的响应 8－3 正弦稳态的网络函数 8－4 RLC电路的频率响应 8－5 并联谐振和串联谐振
§8－1 多个正弦激励下稳态电路的响应 图8-1所示电路含有多个独立源，且各个电源的频率不 同，要求某支路电流ik（t）?
解 题中两个正弦电源的 频率不同，不能画出两个独 立源共同作用时的相量模型。 但是在求解每一个独立源单
独作用的响应时，仍可根据
各自的相量模型进行求解。
（1）uS (t) 单独作用时，相应的相量模型如图（b），其中
jL j 2 1 j 2
则可得
1 1 j 0.5 jC j 2 1
U S 2 10 / 0V
1 jC j 20 jL j10
（a）
（b）
（ c）
（d）
U S2 10/ 0 I2 0.707/ 45A 10 j10 j 20 10 j10
i2 (t ) 0.707 2 cos(t 45) A
几种典型的非正弦周期量的波形，它们的傅立叶
级数展开式分别为
图（a）所示矩形波（rectangle wave）
f (t ) 4A 1 1 1 (sin t sin 3t sin 5t sin kt ) 3 5 k
1 1 ( 1) (sin t sin 3 t sin 5 t 9 25 2 k2 8A
i3 (t ) 0.197 2 cos(3t 36.8)A
（4）由叠加定理得，电路中的电流为
i(t ) i1 (t ) i2 (t ) i3 (t ) 0.707 2 cos(t 45) 0.197 2 cos(3t 36.8)A
i（t）的波形如图所示。可以看出，在非正弦周期激励下，稳 态电路的响应仍为一个非正弦周期量，其周期与一次谐波分 量相同。
应用傅立叶级数，把非正弦周期信号分解为
一个直流分量和一系列频率成整数倍的正弦成
分之和，其中频率与非正弦周期信号频率相同
的分量称为基波(fundamental component)或一
次谐波分量(the first harmonic)，其他各项统称
为高次谐波(higher-order harmonic)，即2次、3 次、4次、…、n次谐波、…。
（3）3次谐波分量作用时的相量模型如图（d）所示，其中 20 U S 3 5 / 30V j 3L j 30 1 j 3C j j 6.67 3
I3 U S3 5/ 30 0.197/ 36.8A 10 j 30 j 6.67 10 j 23.33
例8-2 图（a）所示RLC电路，已知R=10Ω，ωL=10Ω，1/ωC =20Ω， 求电路中的电流i（t）。其中外施电压源为
uS (t ) 10 10 2 cost 5 2 cos(3t 30)V
（a）
（b）
（ c）
（d）
解 （1）直流分量US1=10V单独作用时的等效电路如图（b） 所示，由图可得 i1 (t ) 0 A （2）基波分量作用时的相量模型如图（c）所示，其中
4/ 0 U C1 ( j 0.5) 0.92 j 0.62 1.11/ 146V 1 j 2 j 0.5
uC1 (t ) 1.11 2 cos(2t 146)V
（2）iS(t) 单独作用 时，相应的相量模型 如图8-3（c）所示，
其中
则可得
U C2
会出现大量的非正弦量。这些按非正弦规律变
化的电压或电流，如果能按一定规律周而复始
地变动，就称为非正弦周期量（nonsinusoid）。
非正弦周期激励下稳态电路的响应，可以应用 叠加定理进行计算。分析时首先应用傅立叶级数 （fourier series）把非正弦周期信号分解为许多 不同频率的正弦量之和，然后应用上节所述方法 分别计算各种频率正弦量作用下的响应，再将这 些响应分量的瞬时表示式相加就可求得所需结果。 其实质是把非正弦周期电路的计算转化为一系列 正弦电路的计算，这样仍可利用相量法进行分析。