三垂线定理逆定理证明和应用求二面角

P
∴所求的二面角P-AB-C 的正切值为
小结： 一定?,
2 2 二定? 三找? ??自现 L随便
E 垂线在--------?
O
课堂练习
练习1．如图，M是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB的中点，求二面 角A1－MC－A的大小． D1 C1
思路分析： ①找基面 平面ABCD
②找基面的垂线 AA1 ③作平面角 作AH⊥CM交CM的延长线于H ④连结A1H
解： 取AB 的中点为E，连PE，OE ∵O为 AC 中点， ∠ABC=90º
P
1 ∴OE∥BC且 OE BC 2
OE⊥AB ，因此 PE⊥AB
A
. E
O C
B
∴∠PEO为二面角P-AB-C 的平面角
3 1 在Rt△PBE中，BE ,PB=1，PE 2 2
2 1 在Rt△POE中，OE 2 , PO 2 2 ∴ t anPEO 2
(1).求证:DE//平面ABC； (2).求二面角E－BC－A的余弦值.
D E
第(2)问思路分析：
2
2 2
①定基面: 平面ABC
C
2 2 2
②找基面的垂线: 取AC的中点O，连结DO．BO,过 点E作EF⊥BO,垂足为F
③找射影:过点F作FG⊥BC,垂足为G ④斜线自现:连结EG．
A
B
D
E
2 2 2
平面内的直线 a和平面的一 条斜线OP垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直
α
P A O
a
？
α
P 线斜垂直 A O
a
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。 PA⊥α a α
l
P A B

l
a
b
A

B H

“三垂线法” “定义法” “垂面法” 以后我们还将学习“投影法”、“空间向量法”和“异面 直线距离法”等方法，今天我们主要学习用三垂线定理求二 面角的大小。



l

二、新课学习
实例分析
例1.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB = 2，BC = BB1 =1 ，E为D1C1的中点，求二面角E－BD－C的大小．
解：作AH⊥CM交CM的延长线于H，连 结A1H．∵A1A⊥平面AC，AH是A1H 在平面AC内的射影，∴A1H⊥CM，
A1
B1
D A M B
C
H
N
∴∠A1HA为二面角A1－CM－A的平面角．
设正方体的棱长为1．∵M是AB的中点，且AM∥CD，则在 直角△AMN中，AM = 0.5，AN= 1，MN = 5 ．
C
解答过程（略）
O A
G F
2
B
三、课时小结
求二面角的大小关键是选取恰当的位置作出二面角 的平面角，而用三垂线定理求作二面角的平面角是最 常用和最有效的方法之一，要求切实掌握。让我们再来 回味用三垂线定理作二面角的平面角的步骤：
（1）一定基面，二定垂线，三找斜线或射影，射影
或斜线自现，L随便；
（2）垂线在垂面内．
EF tan EGF 而EF = 1，在△EFG中 GF 5
D G F M
B1
C
A
B
∴所求二面角大小为 小结： ①定基面 平面BCD
arctan 5
②定垂线 过E作EF⊥CD于F 垂线在哪儿?---垂面内
③找斜线or射影 作FG⊥BD于G ④射影or斜线自现 连结EG
实例分析
例2．如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面 Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC= 2 ，求二面 角P-AB-C的正切值。
∵ABCD为正方形 O为BD的中点
D
∴ AO⊥BD 由三垂线定理： ∴ PO⊥BD
三垂线定理
例3、如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，连结BD1，
AC，CB1，B1A，求证：BD1⊥平面AB1C
证明：连结BD，连结A1B ∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD 又DD1⊥平面ABCD ∴BD是斜线BD1在平面ABCD上的 射影 ∴BD1⊥AC 而A1B是BD1在平面 ABB1A1内的射影 A ∴BD1⊥AB1
6 4
(1).在线段DC上是否存在一点F，使得EF⊥平面DBC？若存在，求线段DF的长度，若不 存在，说明理由； (2).求二面角D－EC－B的平面角的余弦值.
D
E
A
D C
B
D
E
2
E
2
F
1
1
F
A
2
G
2
A B
2
B O
2
H
(1)
(2)
C
C
解答过程（略）
课堂练习
练习3．(考越试卷2)在如图所示的空间几何体中,平面ACD⊥平面ABC, AB=BC=CA=DA =DC=BE=2,BE和平面ABC所成的角为60度,且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上.
AM AN 1 AA tan A1 HA 1 5 MN AH 5 ∴二面角A1－CM－A的大小为 arctan 5 AH
2
课堂练习
练习2.(2012南宁市第1次适应测试题)如图，在多面体ABCDE中，DB⊥平面ABC，AE//DB，
且△ABC 是边长为2的等边三角形，AE＝1，CD与平面ABDE所成角的正弦值为
PA⊥平面ABC，∠PBA=45°，求二面角A－PB－C的平 面角的正弦值。 P
C P
1题图 2题图 3题图 B B C

A
B
A C
A
谢谢各位同学！
再见！
(3)P是△ABC所在平面外一点，连结PA、PB、PC，若 PABC ，PBAC，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的( D） (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心
用三垂线定理及逆定理求 二面角
一、复习导入
1．三垂线定理及逆定理 P 定理：平面内一条直线，如果和这个平 面的一条斜线在平面内的射影垂直，那 么这条直线就和这条斜线垂直。 逆定理：平面内一条直线，如果和这个 平面的一条斜线在平面内的射影垂直， 那么这条直线就和这条斜线垂直。
思路分析：?????? D1 A1 E
C1
解：过E作EF⊥CD于F，过F作FG⊥BD
于G，连结EG，则EG⊥BD． ∵ ABCD－A1B1C1D1是长方体， EF⊥CD， ∴EF⊥平面BCD，且F为CD中点， 又∵ FG⊥BD， ∴ EG⊥BD ∴ ∠EGF为二面角E－BD－C的平面角． 1 BC CD 1 2 1 ∵BC = 1，CD = 2， GF ∴ 2 BD 2 5 5
四、课后作业
1．如图，直角三角形ABC的斜边AB在平面 内，AC、BC 与平面 所成角分别为30和 45 ，求△ABC所在平面与 所成的二面角的大小． 2．已知△ABC, AB = 10, BC = 6, P是平面ABC 外一点, 且PA= PB = PC = AC = 8, 求二面角P—AC—B的平面角的正切值. 3．已知C是以AB为直径的圆周上一点， ∠ABC=30°，
解 题 回 顾
怎么找？
一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 P A O
α
a
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直
P A O
②线射垂直
P
③ 线斜垂直
P
α
a
α
A
O
a
α
A
O
a
直 线 AP 和
平面α垂直
平面内的直线a 和平面一条斜线 的射影AO垂直
三垂线定理
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的 一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
PA⊥α a α
PA⊥a ② a⊥平面PAO AO⊥a
P
a α
①
①
a⊥PO PO 平面PAO
③
A
o
②
③
线面垂直 性质
线线垂直
线面垂直 性质 判定定理
线线垂直
三垂线定理解题的关键：找三垂！

O
a A b
OA是PA在内的射影 a PA a 且a OA
三垂线定理及逆定理包含四线一 面以后称这个平面为基面
PO
2．什么是二面角的平面角？ 以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直 于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． 3．作二面角的平面角主要有哪几种方法？
PA⊥a ② a⊥平面PAO PO⊥a
①
a⊥AO AO 平面PAO
③
P A O
α
a
二、三垂线定理的应用
应用1.证明线线垂直 例1. PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点， 求证：PO⊥BD
证明: ∵ PA⊥平面ABCD
∴ AO是PO在平面ABCD上的射影
P A O B C
D
B D1 A1 B1 C1
C
∴BD1⊥平面AB1C
例2.已知：在正方体AC1中， 求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
D1 A1 D
C1 B1
C B
A
射影定位（三棱锥定位）
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Ex：(1)P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各顶点 的距离都相等，则P点在平面ABC内的射影是△ABC的( A ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 (2)P是△ABC所在平面外一点，若P点到△ABC各边的距离 都相等，且P点在平面ABC内的射影在△ABC的内部，则射 影是△ABC的 (B ) (A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心