函数导数与不等式专题

函数导数与不等式专题

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函数导数与不等式专题

一．利用切线与导数之间的联系解决不等式有关问题

1．（2013年高考四川）已知函数

22,0()ln ,0

x x a x f x x x ⎧++<=⎨

>⎩,其中a 是实数.

设1

1

(,())A x f x ,2

2

(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且1

2

x x <.

(1)指出函数()f x 的单调区间;

(2)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且2

x

<,证明:2

11

x

x -≥;

(3)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值范围.

2．（2014届江西省新余）已知函数x

(=，

f ln

)

x

b

x

ax

g．

x

=a

R)

(

)

(2∈

-

（1）若曲线)(x f与)(x g在公共点)0,1(A处有相同的切线，求实数a、b的值；

（2）当1=b时，若曲线)(x f与)(x g在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；

（3）若0>a，1=b，且曲线)(x f与)(x g总存在公切线，求正实数a的最小值．

3

4

二．利用函数的单调性、极值与导数的联系解决有关不等式问题

3．（2014届云南省师大附中）已知函数

2()f x x ax

=-，()ln g x x =．

（1）若()()f x g x ≥对于定义域内的x 恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）设()()()h x f x g x =+有两个极值点1

2

,x x ，且1

10,2

x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

，求证：1

2

3()()ln 24

h x h x ->-；

5

4.（2014届湖北省部分重点中学）已知函数

3

22()13

f x x x ax =

+++在()1,0-上有两个极值点1

2

,x x ，且

12

x x <

（1）求实数a 的取值范围；

（2）证明：2

11

()12f x >．

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三、灵活应用导数解决函数与不等式的有关综合问题

5．（2014届浙江省杭州市）设函数x

e

x f x

sin )(+=，

2

)(-=x x g ；

（1）求证：函数)(x f y =在),0[+∞上单调递增；

（2）设))(,(1

1

x f x P ，

2

2

(,())Q x g x )

0,0(21

>≥x x ，若直线PQ x

//轴，求Q P ,两点间的最短距离.

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6. （2014届江西省师大附中）设()(1)

x

f x e a x =-+．

(1)若0,()0a f x >≥对一切x R ∈恒成立，求a 的最

大值．

（2）设()()x

a g x f x e =+，且1

1

2

2

1

2(,),(,)()

A x y

B x y x

x ≠是曲线

()

y g x =上任意两点，若对任意的1a ≤-，直线AB

的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围； （3

）求证：*13(21)(2)()1

n

n n n n n n N e +++-<

∈-L ．

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课后强化训练

1. （2014届河北省邯郸市 ）设函数

2

()(1)x f x x e ax =-+

(1) 当12

a =-时，求)(x f 的单调区间； （2）若当0≥x 时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.

2、（2014届湖北省黄冈中学）已知函数

()1

a

x x ϕ=

+，a 为常数．

（1）若()ln ()f x x x ϕ=+，且92

a =

，求函数()f x 的单

调区间；

（2）若()ln ()g x x x ϕ=+，且对任意1

2

,x x (]0,2∈，1

2

x x ≠，

都有

2121

()()

1

g x g x x x -<--，求a 的取值范围．

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函数导数与不等式专题参考答案

1解:(1)函数()f x 的单调减区间为)1,(--∞,单调增区间为)0,1(-,),0(+∞

(2)由导数的几何意义知,点A 处的切线斜率为)(1

x f ',

点B 处的切线斜率为)(2

x f ',

故当点

,A B

处的切线互相垂直时,有

)(1x f '1

)(2-='⋅x f , 当x <0时,22)(+=x x f 因为0

21

<

,所以 1

)22()22(21

-=+⋅+x x

,所以

221<+x ,0

222

>+x

,

因此1

)22()22()]22()22([2

1

212112

=+⋅+-≥+++-=-x x x x x x

,

(当且仅当

122)22(21=+=+-x x ,即

231-=x 且

2

1

2-

=x 时等号成立)