南通市2021年中考数学试题含答案(word版)
江苏省南通市2021年中考数学试题(解析版)
江苏省南通市2021年中考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 计算，结果正确的是（）A. 3B. 1C.D.【答案】C【解析】【分析】原式利用有理数的减法法则计算即可得到结果．【详解】解：，故选：C．【点睛】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解本题的关键．2. 据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次．将1370000用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将1370000用科学记数法表示为：1.37×106．故选：D．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3. 下列计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等知识点进行判定即可．【详解】解：A. ，选项计算错误，不符合题意；B. ，选项计算正确，符合题意；C．，选项计算错误，不符合题意；D. ，选项计算错误，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4. 以下调查中，适宜全面调查的是（）A. 了解全班同学每周体育锻炼的时间B. 调查某批次汽车的抗撞击能力C. 调查春节联欢晚会的收视率D. 鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数【答案】A【解析】【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断．【详解】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间适合全面调查，符合题意；B、调查某批次汽车的抗撞击能力适合抽样调查，不符合题意；C、调查春节联欢晚会的收视率适合抽样调查，不符合题意；D、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数适合抽样调查，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5. 如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A. 三棱柱B. 圆柱C. 三棱锥D. 圆锥【答案】A【解析】【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱． 故选：A ．【点睛】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．6. 菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（ ） A. 24 B. 20C. 10D. 5【答案】B 【解析】【分析】根据菱形的性质及勾股定理可直接进行求解． 【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，BD=8，AC=6， ∴AC ⊥BD ，OA=OC=3，OD=OB=4，Rt △AOD 中，，∴菱形ABCD 的周长为：4×5=20， 故选B ．【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．7. 《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，绳长y 尺，可列方程组为（ ） A B. C. D.【答案】D在【解析】【分析】本题的等量关系是：绳长=木长+4.5；木长=绳长+1，据此可列方程组求解．详解】解：设木长x尺，绳长y尺，【依题意得，故选：D．【点睛】此题考查二元一次方程组问题，关键是弄清题意，找准等量关系，列对方程组，求准解．8. 若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，∵不等式组只有3个整数解，即5，6，7，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于的不等式组．9. 如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分四段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，③点P在DC 上运动，且点Q到达端点B，④点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．【详解】解：在Rt△ADE中AD=(cm)，在Rt△CFB中，BC=(cm)，AB=AE+EF+FB=15(cm)，①点P在AD上运动，AP=t，AQ= t，即0，如图，过点P作PG⊥AB于点G，，则PG=(0)，此时y=AQ PG=(0)，图象是一段经过原点且开口向上的抛物线；②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，即13，此时y=AQ DE=(13)，图象是一段线段；③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，即15，此时y=AB DE=(15)，图象是一段平行于x轴的水平线段；④点P在BC上运动，PB=31-t，即18，如图，过点P作PH⊥AB于点H，，则PH=，此时y=AB PH=(18)，图象是一段线段；综上，只有D选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，10. 平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设为双曲线上一点，直线，分别交y轴于C，D两点，则的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】B【解析】【分析】根据直线与双曲线相交于A，B两点，其中点A在第一象限求得，，再根据为双曲线上一点求得；根据点A与点M的坐标求得直线AM解析式为，进而求得，根据点B与点M的坐标求得直线BM解析式为，进而求得，最后计算即可．【详解】解：∵直线与双曲线相交于A，B两点，∴联立可得：解得：或∵点A在第一象限，∴，．∵为双曲线上一点，∴．解得：．∴．设直线AM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线AM的解析式为．∵直线AM与y轴交于C点，∴．∴．∴．∵，∴．设直线BM的解析式为，将点与点代入解析式可得：解得：∴直线BM的解析式为．∵直线BM与y轴交于D点，∴．∴．∴．∵，∴．∴=4．故选：B．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，涉及到分式方程，一元二次方程和二元一次方程组的求解，正确求出点的坐标和直线解析式是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11. 分解因式：______________【答案】.【解析】【分析】根据平方差公式分解即可.【详解】解：.故答案为.【点睛】本题考查了多项式因式分解，熟练掌握分解因式的方法是关键.的12. 正五边形每个内角的度数是_______．【答案】【解析】【分析】先求出正n边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．【详解】解：∵正多边形的内角和为，∴正五边形的内角和是，则每个内角的度数是．故答案为：【点睛】此题主要考查了多边形内角和，解题的关键是熟练掌握基本知识．13. 圆锥的母线长为，底面圆的半径长为，则该圆锥的侧面积为___________．【答案】【解析】【分析】利用圆锥的底面半径为1，母线长为2，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．【详解】解：依题意知母线长=2，底面半径r=1，则由圆锥的侧面积公式得S=πrl=π×1×2=2π．故答案为：2π．【点睛】此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．14. 下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是___________℃．【答案】52【解析】【分析】根据表格中的数据，依据时间与温度的变化规律，即可用时间t的式子表示此时的温度T，利用一次函数的性质即可解决．【详解】解：设时间为t分钟，此时的温度为T，由表格中的数据可得，每5分钟，升高15℃，故规律是每过1分钟，温度升高3℃，函数关系式是T=3t+10；则第14分钟时，即t=14时，T=314+10=52℃，故答案为：52．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．15. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．【答案】．【解析】【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°-60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°-45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．16. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．【答案】3【解析】【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，∴m2+3m-1=0，∴3m-1=-m2，∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，∴m+n=-3，∴，故答案为：3．【点睛】本题考查了根与系数关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，的，．也考查了一元二次方程的解．17. 平面直角坐标系中，已知点，且实数m，n满足，则点P到原点O的距离的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】由已知得到点P的坐标为(，)，求得PO=，利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，则，∴点P的坐标为(，)，∴PO=，∵，∴当时，有最小值，且最小值为，∴PO的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了点的坐标，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键．18. 如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交延长线于点D，过点C作，交于点，连接BE，则的值为___________．【答案】．【解析】【分析】连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，设AC=BC=a，求出AF=CF=，由勾股定理求出CE，再由勾股定理求出BE的长即可得到结论．【详解】解：连接AE，过作AF⊥AB，延长EC交AF于点F，过E作EG⊥BC于点G，如图，设AC=BC=a，∵∴，∴，∵∴∵∴∴∴设CE=x，则FE=在Rt△AFE中，∴解得，，（不符合题意，舍去）∴∵∴∴∴在Rt△BGE中，∴∴故答案为：．【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理与圆的基本概念等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答此题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）化简求值：，其中；（2）解方程．【答案】（1）原式=4；（2）．【解析】【分析】（1）先用完全平方差公式与多项式乘法公式将原式化简为，再将已知条件代入即可；（2）根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可．【详解】解：（1）==当时，原式==；（2），去分母得：，解得：，经检验，是原方程的解．则原方程的解为：．【点睛】本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意分式方程要检验．20. 如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？【答案】楼高是9米．【解析】【分析】先求出AC的长度，由∥，得到，即可求出BC的长度．【详解】解：∵，，∴m，∵，，∴∥，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，∴；∴楼高是9米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．21. 某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表甲、乙两种西瓜得分统计表（1）___________，___________；（2）从方差的角度看，___________种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．【答案】（1）a=88，b=90；（2）乙；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；（3）从方差、中位数、众数的比较得出答案．【详解】解：（1）甲品种西瓜测评得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88，所以中位数是88，即a=88，将乙品种西瓜的测评得分出现次数最多的是90分，因此众数是90，即b=90，故答案为：a=88，b=90；（2）由甲、乙两种西瓜的测评得分的大小波动情况，直观可得S乙2＜S甲2，故答案为：乙；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，是因为甲的得分众数比乙的得分众数高；小军认为乙种西瓜的品质较好些，是因为乙的得分方差小和得分中位数比甲的高．【点睛】本题考查统计表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义和计算方法是正确解答的前提．22. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为___________；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出的小球和是5的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；【详解】解：（1）∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，它们分别标号为1，2，3，4，∴随机摸取一个小球，“摸出的小球标号是奇数”的概率为：；故答案为：．（2）画树状图得：∴共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的情况有4种；∴两次取出小球标号的和等于5的概率为：．【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23. 如图，为的直径，C为上一点，弦的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，，连接．（1）求的度数；（2）若，求的长．【答案】（1）55°；（2）．【解析】【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥CD，则判断OC∥AE，所以∠DAC=∠OCA，然后利用∠OCA=∠OAC得到∠OAB的度数，即可求解；（2）利用（1）的结论先求得∠AEO∠EAO70°，再平行线的性质求得∠COE=70°，然后利用弧长公式求解即可．【详解】解：（1）连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∠CAD=35°，∴∠OAC=∠OCA=∠CAD=35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠OAC=55°；（2）连接OE，OC，如图，由（1）得∠EAO=∠OAC+∠CAD=70°，∵OA=OE，∴∠AEO∠EAO70°，∵OC∥AE，∴∠COE=∠AEO=70°，∴AB=2，则OC=OE=1，∴的长为．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．24. A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．例如，一次购物的商品原价为500元，去A超市的购物金额为：（元）；去B超市的购物金额为：（元）．（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．【答案】（1）A商场y关于x的函数解析式：；B商场y关于x的函数解析式：；（2）当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．【解析】【分析】（1）利用促销方式，分别写出A、B两商场促销活动的情况，注意需要写出分段函数;（2）小刚一次购物的商品原价超过200元,则可以确定B的函数解析式，再分段求出A函数的解析式，比较两函数值即可，注意分段讨论．【详解】解：（1）A商场y关于x的函数解析式：，即：；B商场y关于x的函数解析式：，即：；（2）∵小刚一次购物的商品原价超过200元∴当时，，令，，所以，当时，即，去B超市更省钱；当时，，令，，所以，当时，即，此时去A、B超市一样省钱；当时，即，去B超市更省钱；当时，即，去A超市更省钱；综上所述，当时，去B超市更省钱；当时，去A、B超市一样省钱；当时，去A超市更省钱．【点睛】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键，要注意B 商场根据商品原价的取值范围分情况讨论．25. 如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．（1）求的大小（用含的式子表示）；（2）过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．【答案】(1)．(2)DG//CF．理由见解析．(3)．【解析】【分析】(1)作辅助线BF，用垂直平分线的性质，推导边相等、角相等．再用三角形内角和为算出．(2)作辅助线BF、AC，先导角证明是等腰直角三角形、是等腰直角三角形．再证明、，最后用内错角相等，两直线平行，证得DG//CF．(3) 为等腰三角形，要分三种情况讨论：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，根据题目具体条件，舍掉了②、③种，第①种用正弦函数定义求出比值即可．【详解】(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N．点A关于直线BE的对称点为点FBE是AF的垂直平分线，AB=BF四边形ABCD是正方形AB=BC，．(2) 位置关系：平行．理由：连接BF，AC，DG设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N由(1)可知，是等腰直角三角形四边形ABCD是正方形是等腰直角三角形垂直平分AF在和中，在和中，CF//DG(3)为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：①当FH=BH时，作于点M由(1)可知：AB=BF，四边形ABCD是正方形设AB=BF=BC=a将绕点B顺时针旋转得到FH=BH是等腰三角形，在和中，BM=AE=②当BF=FH时，设FH与BC交点为O绕点B顺时针旋转得到由(1)可知：此时，与重合，与题目不符，故舍去③当BF=BH时，由(1)可知：AB=BF设AB=BF=a四边形ABCD是正方形AB=BC=aBF=BHBF=BH=BC=a而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去．故答案为：【点睛】本题考查了三角形内角和定理(三角形内角和为 )、平行线证明(内错角相等，两直线平行)、相似三角形证明(两组对应角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)、等腰直角三角形三边比例关系()、正弦函数定义式(对边：斜边) ．26. 定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点是函数的图象的“等值点”．（1）分别判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作轴，垂足为C．当的面积为3时，求b的值；（3）若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．【答案】（1）函数y=x+2没有“等值点”；函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）或；（3）或．．【解析】【分析】（1）根据定义分别求解即可求得答案；（2）根据定义分别求A(，)，B(，)，利用三角形面积公式列出方程求解即可；（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图象为W1，将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2，可得W1与W2的图象关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．【详解】解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，∴函数y=x+2没有“等值点”；∵函数，令y=x，则，即，解得：，∴函数的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）∵函数，令y=x，则，解得：(负值已舍)，∴函数的“等值点”为A(，)；∵函数，令y=x，则，解得：，∴函数的“等值点”为B(，)；的面积为，即，解得：或；（3）将W1沿x=m翻折后得到的函数图象记为W2．∴W1与W2两部分组成的函数W的图象关于对称，∴函数W的解析式为，令y=x，则，即，解得：，∴函数的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；令y=x，则，即，当时，函数W的图象不存在恰有2个“等值点”的情况；当时，观察图象，恰有2个“等值点”；当时，∵W1的图象上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，∴函数W2没有“等值点”，∴，整理得：，解得：．综上，m的取值范围为或．【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．。
2020年江苏省南通市中考数学试题(word版,含解析)
2020年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算13--，结果正确的是（ ） A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣12．今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约68000km 2．将68000用科学记数法表示为（ ） A ．6.8×104B ．6.8×105C ．0.68×105D ．0.68×1063．下列运算，结果正确的是（ ） A ．532-=B ．3+2=32C ．623÷=D ．6223⨯=4．以原点为中心，将点P （4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q 所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，已知AB ∥CD ，∠A ＝54°，∠E ＝18°，则∠C 的度数是（ ）A ．36°B ．34°C ．32°D ．30°6．一组数据2，4，6，x ，3，9的众数是3，则这组数据的中位数是（ ） A ．3B ．3.5C ．4D ．4.57．下列条件中，能判定ABCD 是菱形的是（ ） A ．AC ＝BDB ．AB ⊥BCC ．AD ＝BDD ．AC ⊥BD8．如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm ），则这个几何体的侧面积为（ ）9．如图①，E 为矩形ABCD 的边AD 上一点，点P 从点B 出发沿折线B ﹣E ﹣D 运动到点D 停止，点Q 从点B 出发沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm /s ．现P ，Q 两点同时出发，设运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），若y 与x 的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是（ ）A ．96cm 2B ．84cm 2C ．72cm 2D ．56cm 210．如图，在△ABC 中，AB ＝2，∠ABC ＝60°，∠ACB ＝45°，D 是BC 的中点，直线l 经过点D ，AE ⊥l ，BF ⊥l ，垂足分别为E ，F ，则AE ＋BF 的最大值为（ ）A 6B ．22C ．3D ．32二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分） 11．分解因式：22=xy y - ．12．已知⊙O 的半径为13cm ，弦AB 的长为10cm ，则圆心O 到AB 的距离为 cm ． 13．若271m m <<+，且m 为整数，则m ＝ ．14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEF 的顶点都在网格线的交点上．设△ABC 的周长为C 1，△DEF 的周长为C 2，则12C C 的值等于 ． 15．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x 步，则可列方程为 ．16．如图，测角仪CD 竖直放在距建筑物AB 底部5m 的位置，在D 处测得建筑物顶端A 的仰角为50°．若测角仪的高度是 1.5m ，则建筑物AB 的高度约为 m ．（结果保留小数点后一位，参考数据：（第14题） （第16题）17．若x 1，x 2是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于 ．18．将双曲线3y x=向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线()20y kx k k =-->相交于两点，其中一个点的横坐标为a ，另一个点的纵坐标为b ，则（a ﹣1）（b +2）＝ ．三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．（10分）计算：（1）()()()22322m n m n m n +-+-； （2）22x y y xy x x x ⎛⎫--÷+ ⎪⎝⎭．20．（11分）（1）如图①，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AD ＝AE ，∠B ＝∠C ．求证：AB ＝AC ． （2）如图②，A 为⊙O 上一点，按以下步骤作图： ①连接OA ；②以点A 为圆心，AO 长为半径作弧，交⊙O 于点B ； ③在射线OB 上截取BC ＝OA ； ④连接AC ．若AC ＝3，求⊙O 的半径．21．（12分）如图，直线l 1：3y x =+与过点A （3，0）的直线l 2交于点C （1，m ），与x 轴交于点B ． （1）求直线l 2的解析式；（2）点M 在直线l 1上，MN ∥y 轴，交直线l 2于点N ，若MN ＝AB ，求点M 的坐标．22．（10分）为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A 表示“优秀”，B 表示“良好”，C 表示“合格”，D 表示“不合格”．第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生．第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表． 两个小组的调查结果如图的图表所示： 第二小组统计表若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：（1）第 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约 人；（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．23．（9分）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．请用所学概率知识解决下列问题：（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果； （2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．24．（12分）矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12．将矩形折叠，使点A 落在点P 处，折痕为DE ． （1）如图①，若点P 恰好在边BC 上，连接AP ，求APDE的值； （2）如图②，若E 是AB 的中点，EP 的延长线交BC 于点F ，求BF 的长．25．（13分）已知抛物线2y ax bx c =++经过A （2，0），B （3n ﹣4，y 1），C （5n +6，y 2）三点，对称轴是直线1x =．关于x 的方程2ax bx c x ++=有两个相等的实数根． （1）求抛物线的解析式；（2）若5n <-，试比较y 1与y 2的大小；（3）若B ，C 两点在直线x ＝1的两侧，且12y y >，求n 的取值范围．26．（13分）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin∠CAD的值；（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设AEuBE，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．2020年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：原式＝1﹣3＝﹣2．故选：C．2．【解答】解：68000＝6.8×104．故选：A．3．【解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．÷＝＝，此选项错误；D．×＝××＝2，此选项计算正确；故选：D．4．【解答】解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得点Q所在的象限为第二象限．故选：B．5．【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．故选：A．6．【解答】解：∵这组数据2，4，6，x，3，9的众数是3，∴x＝3，从小到大排列此数据为：2，3，3，4，6，9，处于中间位置的两个数是3，4，∴这组数据的中位数是（3+4）÷2＝3.5．故选：B．7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故选：D．8．【解答】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．故选：B．9．【解答】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式得：y＝＝30，解得EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点Q与点C重合，∴BC＝14，∴矩形的面积为14×6＝84．故选：B．10．【解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝＝＝，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为．故选：A．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11．【解答】解：xy﹣2y2＝y（x﹣2y），故答案为：y（x﹣2y）．12．【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．13．【解答】解：2＝，∵＜＜，∴5＜2＜6，又∵m＜2＜m+1，∴m＝5，故答案为：5．14．【解答】解：∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为：．15．【解答】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．依题意，得：x（x﹣12）＝864．16．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案为：7.5．17．【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．18．【解答】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，），（，b+2），∴a﹣1＝﹣，∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，故答案为：﹣3．三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．【解答】解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2＝12mn+10n2；（2）原式＝÷（+）＝÷＝•＝．20．【解答】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB＝AC；（2）解：连接AB，如图②，由作法得OA＝OB＝AB＝BC，∴△OAB为等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝60°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠BAC，∵∠OBA＝∠C+∠BAC，∴∠C＝∠BAC＝30°∴∠OAC＝90°，在Rt△OAC中，OA＝AC＝×3＝．即⊙O的半径为．21．【解答】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，∴B（﹣3，0），把x＝1代入y＝x+3得y＝4，∴C（1，4），设直线l2的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，解得a＝3或a＝﹣1，∴M（3，6）或（﹣1，2）．22．【解答】解：（1）根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理；1000×（1﹣7.8%）＝1000×0.922＝922（人），故答案为：二，922；（2）第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，应从全校范围内抽查学生进行调查．；对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普遍性和可操作性．23．【解答】解：（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种；（2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，则张先生坐到甲车的概率是＝；由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，则李先生坐到甲车的概率是＝；所以两人坐到甲车的可能性一样．24．【解答】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴＝＝＝，∴＝＝．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG ＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．25．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），∴0＝4a+2b+c①，∵对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1②，∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，由①②③可得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（2）∵n＜﹣5，∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，∵抛物线y＝﹣x2+x，∴﹣＜0，即y随x的增大而增大，∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，∴3n﹣4＞5n+6，∴y1＞y2；（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得，∴0＜n＜，若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得：，∴不等式组无解，综上所述：0＜n＜．26．【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于E，过点C作CF⊥AD于F．∵AC＝AB，∴BE＝CE＝3，在Rt△AEB中，AE＝＝＝4，∵CF⊥AD，∴∠D+∠FCD＝90°，∵∠B+∠D＝90°，∴∠B＝∠DCF，∵∠AEB＝∠CFD＝90°，∴△AEB∽△DFC，∴＝，∴＝，∴CF＝，∴sin∠CAD＝＝＝．（2）如图②中，结论：四边形ABCD是对余四边形．理由：过点D作DM⊥DC，使得DM＝DC，连接CM．∵四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，∵∠DCM＝∠DMC＝45°，∵∠CDM＝∠ADB＝90°，∴∠ADC＝∠BDM，∵AD＝DB，CD＝DM，∴△ADC≌△BDM（SAS），∴AC＝BM，∵2CD2+CB2＝CA2，CM2＝DM2+CD2＝2CD2，∴CM2+CB2＝BM2，∴∠BCM＝90°，∴∠DCB＝45°，∴∠DAB+∠DCB＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形．（3）如图③中，过点D作DH⊥x轴于H．∵A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），∴OA＝1，OB＝3，AB＝4，AC＝BC＝2，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∵四边形ABCD是对余四边形，∴∠ADC+∠ABC＝90°，∴∠ADC＝45°，∵∠AEC＝90°+∠ABC＝135°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠ACE＝∠ADE，∵∠CAE+∠ACE＝∠CAE+∠EAB＝45°，∴∠EAB＝∠ACE，∴∠EAB＝∠ADB，∵∠ABE＝∠DBA，∴△ABE∽△DBA，∴＝，∴＝，∴u＝，设D（x，t），由（2）可知，BD2＝2CD2+AD2，∴（x﹣3）2+t2＝2[（x﹣1）2+（t﹣2）2]+（x+1）2+t2，整理得（x+1）2＝4t﹣t2，在Rt△ADH中，AD＝＝＝2，∴u＝＝（0＜t＜4），即u＝（0＜t＜4）．。
江苏省南通市2021年中考数学模拟试卷(一)
南通市2020～2021学年度中考模拟试卷（一）九年级数学一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应的位置上）1．下列计算正确的是（▲）A ．222()-=-B ．257a a a +=C ．()5210a a =D ．6525125⨯=2．据CCTV—1报道，截止到6月13日社会各界向灾区捐款达455.02亿元．写成科学计数法是（▲）A ．4.5502×108元B ．4.5502×109元C ．4.5502×1010元D ．4.5502×1011元 3．下列等式中不成立的是（▲）A ．−(−13)−|−14|=1 12 B ．(−12)÷(−115)=(−12)×(−15) C ．15÷1.6÷34=15×58×43 D ．(−15)÷0.5=(−15)×12 4．疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下表：金额/元5 10 20 50 100 人数6 17 148 5则他们捐款金额的众数和中位数和平均数分别是（▲）A ．20，10，27.6B ．10，20，27.6C ．10，10，37D ．10，20，37 5．下列说法正确的是（▲）A ．两点确定一条直线B ．直线外一点到这条直线的垂线段是该点到这条直线的距离C ．所有内错角都相D ．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直6．如图，将△AOB 绕点O 逆时针旋转90°，得到△A ′OB ′．若点A 的坐标为（a ，b ），则点A ′的坐标为（ ▲ ）A ．（﹣a ，﹣b ）B ．（b ，a ）C ．（﹣b ，a ）D ．（b ，﹣a ）第6题7．如图，ABC ∆中，4AB =，24∠︒=C ，以AB 为直径的O 交BC 于点D ，D 为BC 的中点，则图中阴影部分的面积为（▲ ）A ．83πB．815π C ．15245π D ．4415π 8．如图，菱形花坛ABCD 的面积为12平方米，其中沿对角线AC 修建的小路长为4米，则沿对角线BD 修建的小路长为（▲）A ．6米B ．3米C ．8米D ．10米9．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 的边OA 在x 轴正半轴上，其中∠OAB ＝90°，AO ＝AB ，点C 为斜边OB 的中点，反比例函数y ＝（k ＞0，x ＞0）的图象过点C 且交线段AB 于点D ，连接CD ，OD ，若S △OCD ＝，则k 的值为（ ▲ ） A ．3 B ． C ．2 D ．110．如图，Rt △ABC 中，AC =BC =2，正方形CDEF 的顶点D ，F 分别在AC ，BC 边上．设CD的长度为x ，Rt △ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的 函数关系的是（ ▲ ）A. B.C. D. 二、填空题（本大题共有8小题，第11-12小题，每小题3分，第13-18小题，每小题4分共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）11．当a ___▲_____时，2a a =-.第7题 第8题 第9题第10题12．分解因式：222a ab -=__▲_________．13．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1=0的一个根，则6m 2﹣9m +2021的值为__▲____.14．在平面直角坐标系xOy 中，当m ，n 满足mn ＝k （k 为常数，且m ＞0，n ＞0）时，就称点（m ，n ）为“等积点”．若直线y ＝﹣x +b （b ＞0）与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，并且该直线上有且只有一个“等积点”，过点A 与y 轴平行的直线和过点B 与x 轴平行的直线交于点C ，点E 是直线AC 上的“等积点”，点F 是直线BC 上的“等积点”，若△OEF 的面积为251144kk +-，则OE =__▲____．15．如图，△ABC 中，D 为AB 中点，E 在AC 上，且BE ⊥AC ，若DE =5，AE =8，则BE =__▲___． 16．已知：如图，等腰直角△ABC ，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为△ABC 外一点，45ADB ∠=︒，连接CD ，4=AD ，52CD =，BC 的长为___▲_____．17．如图，在航线l 的两侧分别有观测点A 和B ，点B 到航线l 的距离BD 为4km ，点A 位于点B 北偏西60°方向且与B 相距20km 处，现有一艘轮船从位于点A 南偏东75°方向的C 处，沿该航线自东向西航行至观测点A 的正南方向E 处，求这艘轮船的航行路程CE 的长度▲．18．如图，正方形ABCD 中，AB ＝3cm ，以B 为圆心，1cm 长为半径画⊙B ，点P 在⊙B 上移动，连 接AP ，并将AP 绕点A 逆时针旋转90°至AP ′，连接BP ′．在点P 移动的过程中，BP ′长度的最小 值为 ▲ cm ．三、解答题（本大题共有8小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．解不等式组7(1)4221253x x x x ->+⎧⎪+⎨>-⎪⎩，将其解集在数轴上表示出来，并写出这个不等式组的整数解.第16题 第15题 第17题 第18题20．有两堆背面完全相同的扑克，第一堆正面分别写有数字1、2、3、4，第二堆正面分别写有数字1、2、3．分别混合后，小玲从第一堆中随机抽取一张，把卡片上的数字作为被减数；小惠从第二堆中随机抽取一张，把卡片上的数字作为减数，然后计算出这两个数的差．（1）请用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；（2）小玲与小惠作游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小玲胜；否则，小惠胜．你认为该游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由．如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．21．某中学组织学生参加交通安全知识网络测试活动。
2021年江苏省南通市中考数学试卷及答案解析
2021年江苏省南通市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）计算1﹣2，结果正确的是（）A．3B．1C．﹣1D．﹣32．（3分）据报道：今年“五一”期间，苏通大桥、崇启大桥、沪苏通大桥三座跨江大桥车流量约1370000辆次．将1370000用科学记数法表示为（）A．0.137×107B．1.37×107C．0.137×106D．1.37×106 3．（3分）下列计算正确的是（）A．a3+a3＝a6B．a3•a3＝a6C．（a2）3＝a5D．（ab）3＝ab3 4．（3分）以下调查中，适宜全面调查的是（）A．了解全班同学每周体育锻炼的时间B．调查某批次汽车的抗撞击能力C．调查春节联欢晚会的收视率D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数5．（3分）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥6．（3分）菱形的两条对角线的长分别是6和8，则这个菱形的周长是（）A．24B．20C．10D．57．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳长y 尺，可列方程组为（）A．B．C．D．8．（3分）若关于x的不等式组恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（）A．7＜a＜8B．7＜a≤8C．7≤a＜8D．7≤a≤89．（3分）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F，且AE＝EF＝FB＝5cm，DE＝12cm．动点P，Q均以1cm/s的速度同时从点A出发，其中点P沿折线AD﹣DC﹣CB运动到点B停止，点Q沿AB运动到点B停止，设运动时间为t （s），△APQ的面积为y（cm2），则y与t对应关系的图象大致是（）A．B．C．D．10．（3分）平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x与双曲线y＝（k＞2）相交于A，B两点，其中点A在第一象限．设M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，直线AM，BM分别交y轴于C，D两点，则OC﹣OD的值为（）A．2B．4C．6D．8二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）分解因式：x2﹣9y2＝．12．（3分）正五边形每个内角的度数为．13．（4分）圆锥的母线长为2cm，底面圆的半径长为1cm，则该圆锥的侧面积为cm2．14．（4分）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．时间/分钟0510152025温度/℃102540557085若温度的变化是均匀的，则14分钟时的温度是℃．15．（4分）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）．16．（4分）若m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，则的值为．17．（4分）平面直角坐标系xOy中，已知点P（m，3n2﹣9），且实数m，n满足m﹣n2+4＝0，则点P到原点O的距离的最小值为．18．（4分）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，过点C作CE∥AB，交于点E，连接BE，则的值为．三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（10分）（1）化简求值：（2x﹣1）2+（x+6）（x﹣2），其中x＝﹣；（2）解方程﹣＝0．20．（11分）如图，利用标杆DE测量楼高，点A，D，B在同一直线上，DE⊥AC，BC⊥AC，垂足分别为E，C．若测得AE＝1m，DE＝1.5m，CE＝5m，楼高BC是多少？21．（12分）某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质（大小、甜度等），进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．甲、乙两种西瓜得分表序号1234567甲种西瓜（分）75858688909696乙种西瓜（分）80838790909294甲、乙两种西瓜得分统计表平均数中位数众数甲种西瓜88a96乙种西瓜8890b （1）a＝，b＝；（2）从方差的角度看，种西瓜的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；（3）小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．22．（10分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为；（2）随机摸取一个小球后放回，再随机摸取一个小球．求两次取出小球标号的和等于5的概率．23．（9分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝35°，连接BC．（1）求∠B的度数；（2）若AB＝2，求的长．24．（12分）A，B两家超市平时以同样的价格出售相同的商品．暑假期间两家超市都进行促销活动，促销方式如下：A超市：一次购物不超过300元的打9折，超过300元后的价格部分打7折；B超市：一次购物不超过100元的按原价，超过100元后的价格部分打8折．例如，一次购物的商品原价为500元，去A超市的购物金额为：300×0.9+（500﹣300）×0.7＝410（元）；去B超市的购物金额为：100+（500﹣100）×0.8＝420（元）．（1）设商品原价为x元，购物金额为y元，分别就两家超市的促销方式写出y关于x的函数解析式；（2）促销期间，若小刚一次购物的商品原价超过200元，他去哪家超市购物更省钱？请说明理由．25．（13分）如图，正方形ABCD中，点E在边AD上（不与端点A，D重合），点A关于直线BE的对称点为点F，连接CF，设∠ABE＝α．（1）求∠BCF的大小（用含α的式子表示）；（2）过点C作CG⊥直线AF，垂足为G，连接DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；（3）将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连接BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．26．（13分）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点（1，1）是函数y＝x+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数y＝x+2，y＝x2﹣x的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“等值点”分别为点A，B，过点B作BC ⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为3时，求b的值；（3）若函数y＝x2﹣2（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2．当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．2021年江苏省南通市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．【分析】根据有理数的减法，即可解答．【解答】解：1﹣2＝1+（﹣2）＝﹣1，故选：C．【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：将1370000用科学记数法表示为：1.37×106．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；B．a3•a3＝a6，故本选项符合题意；C．（a2）3＝a6，故本选项不合题意；D．（ab）3＝a3b3，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．4．【分析】根据全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，抽样调查得到的调查结果比较近似进行解答．【解答】解：A．了解全班同学每周体育锻炼的时间，适合全面调查，故选项A符合题意；B．调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故选项B不符合题意；C．调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故选项C不符合题意；D．鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数，适合抽样调查，故选项D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查，无法进行普查，普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．5．【分析】从正视图以及左视图都为一个长方形，俯视图三角形来看，可以确定这个几何体为一个三棱柱．【解答】解：根据三视图可以得出立体图形是三棱柱，故选：A．【点评】本题考查了由几何体的三种视图判断出几何体的形状，应从所给几何体入手分析得出是解题关键．6．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．【解答】解：如图所示，根据题意得AO＝×6＝3，BO＝×8＝4，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：B．【点评】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．7．【分析】根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．【解答】解：由用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，可得方程y＝x+4.5，由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得方程y＝x﹣1，故，故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组．8．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，求出不等式组的3个整数解是5，6，7，再求出a的取值范围即可．【解答】解：，解不等式①，得x＞4.5，解不等式②，得x≤a，所以不等式组的解集是4.5＜x≤a，∵关于x的不等式组恰有3个整数解（整数解是5，6，7），∴7≤a＜8，故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和不等式组的整数解得出a的范围是解此题的关键．9．【分析】根据点P在AD，DC，BC上分三种情况，将面积表示成t的函数，即可确定对应的函数图象．【解答】解：∵AD＝，∴AB＞AD，∴点P先到D，当0≤t＜13时，过点P作PH⊥AB于H，则，∴PH＝，∴，∴图象开口向上，∴A，C不符合题意，当18＜t＜31时，点P在BC上，∴，只有D选项符合题意，故选：D．【点评】本题主要考查动点问题求面积，关键是要根据动点在不同的线段上分情况讨论，依次来确定对应的分段的函数的图象．10．【分析】解法一：设A（a，2a），M（m，2），则B（﹣a，﹣2a），分别计算直线AM和BM的解析式，令x＝0可得OC和OD的长，相减可得结论；解法二：作辅助线，构建相似三角形，先根据两个函数的解析式计算交点A和B的坐标，根据M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，将点M的坐标代入反比例函数的解析式可得M的坐标，证明△EMD∽△FDB和△CPA∽△CEM，列比例式分别计算OC和OD的长，可得结论；解法三，取特殊值k＝8，可得结论．【解答】解：解法一：设A（a，2a），M（m，2），则B（﹣a，﹣2a），设直线BM的解析式为：y＝nx+b，则，解得：，∴直线BM的解析式为：y＝x+，∴OD＝，同理得：直线AM的解析式为：y＝x+，∴OC＝，∵a•2a＝2m，∴m＝a2，∴OC﹣OD＝﹣＝4；解法二：由题意得：，解得：，，∵点A在第一象限，∴A（，），B（﹣，﹣），∵M（m，2）为双曲线y＝（k＞2）上一点，∴2m＝k，∴m＝，∴M（，2），如图，过点A作AP⊥y轴于P，过点M作ME⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F，∴∠MED＝∠BFD＝90°，∵∠EDM＝∠BDF，∴△EMD∽△FBD，∴，即＝＝，∴OD＝＝﹣2，∵∠CPA＝∠CEM＝90°，∠ACP＝∠ECM，∴△CPA∽△CEM，∴，即＝＝，∴OC＝＝＝+2，∴OC﹣OD＝+2﹣（﹣2）＝4．解法三：取k＝8，如图，则M（4，2），A（2，4），B（﹣2，﹣4），得AM的解析式为：y＝﹣x+6，BM的解析式为：y＝x﹣2，∴OC＝6，OD＝2，∴OC﹣OD＝6﹣2＝4．故选：B．【点评】本题考查反比例函数的综合问题，解题关键是构造相似三角形求解．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每题3分，第13～18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．【分析】直接利用平方差公式分解即可．【解答】解：x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）．【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．12．【分析】方法一：先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出内角和，然后除以5即可；方法二：先根据正多边形的每一个外角等于外角和除以边数，再根据每一个内角与相邻的外角是邻补角列式计算即可得解．【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，540°÷5＝108°；方法二：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．故答案为：108°．【点评】本题考查了正多边形的内角与外角的关系，注意两种方法的使用，通常利用外角和与每一个外角的关系先求外角的度数更简单一些．13．【分析】直接用圆锥的侧面积公式计算即可．【解答】解：圆锥的侧面积为：πrl＝2×1π＝2πcm2，故答案为：2π．【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确地进行圆锥与扇形的转化．14．【分析】根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升3℃，写出函数关系式，进而把t＝14min代入计算即可．【解答】解：根据表格中的数据可知温度T随时间t的增加而上升，且每分钟上升3℃，则关系式为：T＝3t+10，当t＝14min时，T＝3×14+10＝52（℃）．故14min时的温度是52℃．故答案为：52．【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是分析表格得出温度T与时间t的关系式．15．【分析】过点P作PC⊥AB，在Rt△APC中由锐角三角函数定义求出PC的长，再在Rt △BPC中由锐角三角函数定义求出PB的长即可．【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，在Rt△APC中，cos∠APC＝，∴PC＝PA•cos∠APC＝50×＝25（海里），在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，∴PB＝＝＝25（海里），故答案为：25．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题以及锐角三角函数定义；熟练掌握锐角三角函数定义，求出PC的长是解题的关键．16．【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m﹣1＝0，再根据根与系数的关系得到m+n＝﹣3，再将其代入所求式子即可求解．【解答】解：m，n是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的两个实数根，∴m2+3m﹣1＝0，∴3m﹣1＝﹣m2，∵Δ＝32﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴m+n＝﹣3，∴＝＝＝3，故答案为3．【点评】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解与方程的关系得到3m ﹣1＝﹣m2是解题的关键．17．【分析】由m﹣n2+4＝0可得3n2﹣9＝3m+3，根据点到坐标原点的距离可求解．【解答】解：∵m﹣n2+4＝0，∴n2﹣4＝m，∴3n2﹣9＝3m+3，∵P（m，3n2﹣9），∴P点到原点的距离为＝，∴点P到原点O的距离的最小值为，故答案为．【点评】本题主要考查勾股定理，两点间的距离，求解3n2﹣9＝3m+3是解题的关键．18．【分析】通过点A作CE的垂线交EC延长线于F，连AE，由AC＝BC，∠ACB＝90°，得∠CAB＝45°，设AF＝x，则CF＝x，求出AB＝AE，在Rt△AFE中用勾股定理求出EF，得CE＝，再证四边形FAGE为矩形，得AF＝EG＝x，EF＝AG＝，在Rt△BEG中用勾股定理求出BE＝，即得＝．【解答】解：如图，过点A作CE的垂线交EC延长线于F，过E作EG⊥AB交AB于G，连AE，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵CE∥AB，∴∠FAB＝90°，∴∠FAC＝45°，∴△AFC为等腰直角三角形，设AF＝x，则CF＝x，∴AC＝＝，∴AB＝，∵AE、AB均为⊙的半径，∴AE＝2x，∴EF＝＝，∴CE＝，∵∠F＝∠FAB＝∠AGE＝90°，∴四边形FAGE为矩形，∴AF＝EG＝x，EF＝AG＝，∴BG＝AB﹣AG＝（2）x，∴BE＝＝，∴＝．故答案为：．【点评】本题是圆综合性题，考查了平行线的性质、勾股定理、矩形的判定，通过作垂线将所求线段转化成直角三角形的边或边的一部分是本题关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．【分析】（1）根据整式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．（2）根据分式的方程的解法即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝4x2﹣4x+1+x2+4x﹣12＝5x2﹣11，当x＝﹣时，原式＝5×3﹣11＝15﹣11＝4．（2）﹣＝0，＝，2x＝3x﹣9，x＝9，检验：将x＝9代入x（x﹣3）≠0，∴x＝9是原方程的解．【点评】本题考查整式的运算以及分式方程，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算，分式方程的解法，本题属于基础题型．20．【分析】根据平行线的判定得到DE∥BC，然后，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴＝，∴BC＝9（m），答：楼高BC是9m．【点评】本题考查了相似三角形的应用，证得△ADE∽△ABC是解题的关键．21．【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；（3）从中位数、众数的比较得出答案．【解答】解：（1）将甲种西瓜的得分从小到大排列，处在中间位置的一个数是88，因此中位数是88，即a＝88，乙种西瓜的得分出现次数最多的是90分，所以众数是90，即b＝90，故答案为：88，90；（2）由甲、乙两种西瓜得分的大小波动情况，直观可得s甲2＞s乙2，∴乙种西瓜的得分较稳定，故答案为：乙；（3）甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高．【点评】本题考查频数分布表，中位数、众数、方差，理解中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．22．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）随机摸取一个小球的标号是奇数，该事件的概率为＝，故答案为：；（2）画树状图如图：共有16种等可能的结果，两次取出小球标号的和等于5的结果有4种，∴两次取出小球标号的和等于5的概率为＝．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OC⊥PE，则判断OC∥AE，所以∠DAC＝∠OCA，然后利用∠OCA＝∠OAC得到∠DAC＝∠OAC；（2）根据同弧上圆周角和圆心角的关系求出∠COE，根据弧长公式即可求出的长．【解答】解：（1）连接OC，如图，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∵AE⊥CD，∴OC∥AE，∴∠CAD＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠CAD＝∠OAC＝35°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠OAC+∠B＝90°，∴∠B＝90°﹣∠OAC＝90°﹣35°＝55°；（2）连接OE，∵⊙O的直径AB＝2，∴OA＝1，∵＝，∴∠COE＝2∠CAE＝2×35°＝70°，∴的长为：＝．【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得OC∥AE是解决问题的关键．24．【分析】（1）根据题意，可以写出两家超市的促销方式下y关于x的函数解析式；（2）根据题意和（1）中的函数解析式，利用分类讨论的方法可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，当x≤300时，y A＝0.9x；当x＞300时，y A＝0.9×300+0.7（x﹣300）＝0.7x+60，故；当x＞100时，y B＝100+0.8（x﹣100）＝0.8x+20；；（2）由题意，得0.9x＞0.8x+20，解得x＞200，∴200＜x≤300时，到B超市更省钱；0.7x+60＞0.8x+20，解得x＜400，∴300＜x＜400，到B超市更省钱；0.7x+60＝0.8x+20，解得x＝400，∴当x＝400时，两家超市一样；0.7x+60＜0.8x+20，解得x＞400，∴当x＞400时，到A超市更省钱；综上所述，当200＜x＜400到B超市更省钱；当x＝400时，两家超市一样；当x＞400时，到A超市更省钱．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．25．【分析】（1）由轴对称的性质可得AB＝BF，BE⊥AF，可求∠CBF＝90°﹣2α，由等腰三角形的性质可求解；（2）通过证明点A，点D，点G，点C四点共圆，可得∠AGD＝∠ACD＝45°，由等腰三角形的性质可得∠AFB＝90°﹣α，可得∠CFG＝45°＝∠DGA，可证DG∥CF；（3）分三种情况讨论，由旋转的性质可得AE＝CH，BE＝BH，∠ABE＝∠CBH＝α＝∠FBE，AB＝BC，由“ASA”可证△ABE≌△NHB，可得BN＝AE＝AB，即可求解．【解答】解：（1）如图1，连接BF，∵点A关于直线BE的对称点为点F，∴AB＝BF，BE⊥AF，∴∠ABE＝∠EBF＝α，∴∠CBF＝90°﹣2α，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∴BF＝BC，∴∠BCF＝＝45°+α；（2）DG∥CF，理由如下：如图2，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∠ADC＝90°，∵CG⊥AF，∴∠CGA＝∠ADC＝90°，∴点A，点D，点G，点C四点共圆，∴∠AGD＝∠ACD＝45°，∵AB＝BF，∠ABF＝2α，∴∠AFB＝＝90°﹣α，∴∠AFC＝135°，∴∠CFG＝45°＝∠DGA，∴DG∥CF；（3）∵BE＞AB，∴BH＞BF，∴BH≠BF；如图3，当BH＝FH时，过点H作HN⊥BF于N，∵将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，∴△ABE≌△CBH，∠EBH＝90°＝∠ABC，∴AE＝CH，BE＝BH，∠ABE＝∠CBH＝α＝∠FBE，AB＝BC，∴∠HBF＝90°﹣α，∵BH＝FH，HN⊥BF，∴BN＝NF＝BF＝AB，∠BNH＝90°＝∠BAE，∴∠BHN＝α，∴∠ABE＝∠BHN，∴△ABE≌△NHB（ASA），∴BN＝AE＝AB，∴BE＝＝AE，∴sinα＝＝，当BF＝FH时，∴∠FBH＝∠FHB＝90°﹣α，∴∠BFH＝2α＝∠ABF，∴AB∥FH，即点F与点C重合，则点E与点D重合，∵点E在边AD上（不与端点A，D重合），∴BF＝FH不成立，综上所述：sinα的值为．【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，圆的有关知识，等腰三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数y＝（x＞0）的图象上有两个“等值点”A（，），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为3可得×|b|×|﹣b|＝3，求解即可；（3）先求出函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），再利用翻折的性质分类讨论即可．【解答】解：（1）在y＝x+2中，令x＝x+2，得0＝2不成立，∴函数y＝x+2的图象上不存在“等值点”；在y＝x2﹣x中，令x2﹣x＝x，解得：x1＝0，x2＝2，∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“等值点”（0，0）或（2，2）；（2）在函数y＝（x＞0）中，令x＝，解得：x＝，∴A（，），在函数y＝﹣x+b中，令x＝﹣x+b，解得：x＝b，∴B（b，b），∵BC⊥x轴，∴C（b，0），∴BC＝|b|，∵△ABC的面积为3，∴×|b|×|﹣b|＝3，当b＜0时，b2﹣2﹣24＝0，解得b＝﹣2，当0≤b＜2时，b2﹣2+24＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×24＝﹣84＜0，∴方程b2﹣2+24＝0没有实数根，当b≥2时，b2﹣2﹣24＝0，解得：b＝4，综上所述，b的值为﹣2或4；（3）令x＝x2﹣2，解得：x1＝﹣1，x2＝2，∴函数y＝x2﹣2的图象上有两个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），①当m＜﹣1时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“等值点”（﹣1，﹣1）或（2，2），W1：y＝x2﹣2（x≥m），W2：y＝（x﹣2m）2﹣2（x＜m），令x＝（x﹣2m）2﹣2，整理得：x2﹣（4m+1）x+4m2﹣2＝0，∵W2的图象上不存在“等值点”，∴Δ＜0，∴（4m+1）2﹣4（4m2﹣2）＜0，∴m＜﹣，②当m＝﹣1时，有3个“等值点”（﹣2，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（2，2），③当﹣1＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“等值点”（2，2），⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，m＜﹣或﹣1＜m ＜2．【点评】本题考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．。
2021年江苏各市(苏州扬州泰州盐城无锡等)中考数学真题分项汇编09 分式方程及应用含详解
1．（2021·江苏南通市）解方程2303x x-=-． 2．（2021·江苏泰州市）解方程：22x x -+1＝52x -． 3．（2021·江苏南京市）解方程2111x x x +=+-． 4．（2021·江苏宿迁市）方程22142x x x -=--的解是_____________． 5．（2021·江苏连云港市）解方程：214111x x x +-=--．二、分式方程的应用6．（2021·江苏徐州市）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？7．（2021·江苏常州市）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？8．（2021·江苏扬州市）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？9．（2021·江苏无锡市）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？1．（2021·江苏南通市）解方程2303x x -=-． 【答案】9x =．【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验依次进行求解即可．【详解】解： 2303x x-=-， 去分母得：23(3)0x x --=，解得：9x =，经检验，9x =是原方程的解．则原方程的解为：9x =．【点睛】本题主要考查了代数式的化简求值与解分式方程，关键在于熟练的掌握解题的方法与技巧，注意分式方程要检验．2．（2021·江苏泰州市）解方程：22x x -+1＝52x -． 【答案】x =-1【分析】先将分式方程化简为整式方程，再求解检验即可．【详解】解：等式两边同时乘以（x -2）得2x +x -2=-5，移项合并同类项得3x =-3，系数化为1得x =-1检验：当x =-1时，x -20≠，∶x =-1是原分式方程的解．【点睛】本题考查了因式分解和解分式方程，解题关键是熟练掌握因式分解的方法及注意解分式方程要检验．3．（2021·江苏南京市）解方程2111x x x +=+-． 【答案】3x =先将方程两边同时乘以()()11x x +-，化为整式方程后解整式方程再检验即可．【详解】 解：2111x x x +=+-， ()()()()21111x x x x x -++-=+，22221x x x x -+-=+，3x =，检验：将3x =代入()()11x x +-中得，()()110x x +-≠，∶3x =是该分式方程的解．【点睛】本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等．4．（2021·江苏宿迁市）方程22142x x x -=--的解是_____________．【答案】112x -+=，212x -= 【分析】 先把两边同时乘以24x -，去分母后整理为230x x +-=，进而即可求得方程的解．【详解】 解：22142x x x -=--， 两边同时乘以24x -，得22(2)4x x x -+=-，整理得：230x x +-=解得：1x =，2x =，经检验，1x =，2x =是原方程的解，故答案为：112x -=，212x -=．本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解决本题的关键． 5．（2021·江苏连云港市）解方程：214111x x x +-=--． 【答案】无解【分析】将分式去分母，然后再解方程即可．【详解】解：去分母得：22141x x整理得22x =，解得1x =，经检验，1x =是分式方程的增根，故此方程无解．【点睛】本题考查的是解分式方程，要注意验根，熟悉相关运算法则是解题的关键．二、分式方程的应用6．（2021·江苏徐州市）某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？【答案】50【分析】该商品打折卖出x 件，找到等量关系即可．【详解】解：该商品打折卖出x 件4008400102x x ⋅=+ 解得x =8经检验：8x =是原方程的解，且符合题意∶商品打折前每件400=508元 答：该商品打折前每件50元．【点睛】此题考查分式方程实际问题中的销售问题，找到等量关系是解题的关键．7．（2021·江苏常州市）为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头．已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？【答案】该景点在设施改造后平均每天用水2吨．设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨，列出分式方程，即可求解．【详解】解：设该景点在设施改造后平均每天用水x 吨，则原来平均每天用水2x 吨， 由题意得：202052x x-=，解得：x =2， 经检验：x =2是方程的解，且符合题意，答：该景点在设施改造后平均每天用水2吨．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．8．（2021·江苏扬州市）为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了20%，现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天，问原先每天生产多少万剂疫苗？【答案】40万【分析】设原先每天生产x 万剂疫苗，根据现在生产240万剂疫苗所用的时间比原先生产220万剂疫苗所用的时间少0.5天可得方程，解之即可．【详解】解：设原先每天生产x 万剂疫苗，由题意可得：()2402200.5120%xx +=+， 解得：x =40，经检验：x =40是原方程的解，∶原先每天生产40万剂疫苗．【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．9．（2021·江苏无锡市）为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4∶3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？【答案】（1）一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．【分析】（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，根据等量关系，列出分式方程，即可求解；（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为8543m-件，根据4≤m≤10，且8543m-为整数，m为整数，即可得到答案．【详解】解：（1）设一、二等奖奖品的单价分别是4x，3x，由题意得：60012756002543x x-+=，解得：x=15，经检验：x=15是方程的解，且符合题意，∶15×4=60（元），15×3=45（元），答：一、二等奖奖品的单价分别是60元，45元；（2）设购买一等奖品的数量为m件，则购买二等奖品的数量为127560854453m m--=件，∶4≤m≤10，且8543m-为整数，m为整数，∶m=4，7，10，答：共有3种购买方案，分别是：一等奖品数4件，二等奖品数23件；一等奖品数7件，二等奖品数19件；一等奖品数10件，二等奖品数15件．【点睛】本题主要考查分式方程和不等式组的实际应用，准确找出数量关系，列出分式方程或不等式，是解题的关键．。
2021年全国各省市中考真题分类汇编：二元一次方程组(含答案)
2021年中考数学真题汇编二元一次方程组一、选择题1. (2021·湖南省郴州市·)已知二元一次方程组{2x −y =5x −2y =1，则x -y 的值为（ ）A. 2B. 6C. −2D. −62. (2021·江苏省南通市·)《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x 尺，绳长y 尺，可列方程组为（ ） A. {x =y +4.512x =y +1B. {y =x +4.512y =x +1C. {x =y +4.512x =y −1D. {y =x +4.512y =x −13. (2021·贵州省毕节市·)《九章算术》中记载了一个问题，大意是甲、乙两人各带了若干钱.若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50.若乙得到甲所有钱的23，则乙也共有钱50.甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了钱x ，乙带了钱y ，依题意，下面所列方程组正确的是（ ） A. {x +12y =5023x +y =50B. {12x +y =50x +23y =50C. {x +12y =50x +23y =50D. {12x +y =5023x +y =504. (2021·广西壮族自治区南宁市·)《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x 辆车，人数为y ，根据题意可列方程组为（ ）A. {y =3x −2y =2x +9B. {y =3(x −2)y =2x +9C. {y =3x −2y =2x −9D. {y =3(x −2)y =2x −95. (2021·湖北省荆门市·)我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x 尺，绳子长为y 尺，则下面所列方程组正确的是（ ）A. {y =x +4.512y =x −1B. {y =x −4.512y =x +1C. {y =x +4.52y =x −1D. {y =x −4.52y =x +16. (2021·江苏省无锡市·)方程组{x +y =5x −y =3的解是（ ）A. {x =2y =3B. {x =3y =2C. {x =4y =1D. {x =1y =47. (2021·湖南省益阳市·)解方程组{2x +y =3①2x −3y =4②时，若将①-②可得（ ）A. −2y =−1B. −2y =1C. 4y =1D. 4y =−18. (2021·湖南省永州市·)中国传统数学重要著作《九章算术》中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出9元，则多了4元；如果每人出6元，则少了5元，问组团人数和物价各是多少？若设x 人参与组团，物价为y 元，则以下列出的方程组正确的是（ ）A. {9x −y =4y −6x =5B. {9x −y =46x −y =5C. {y −9x =4y −6x =5D. {y −9x =46x −y =59. (2021·黑龙江省·)为迎接2022年北京冬奥会，某校开展了以迎冬奥为主题的演讲活动，计划拿出180元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件15元，乙种奖品每件10元，则购买方案有（ ）A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种10. (2021·台湾省·)若二元一次联立方程式{x =4y 6y −x =10的解为x =a ，y =b ，则a +b 之值为何？（ ）A. −15B. −3C. 5D. 2511. (2021·黑龙江省齐齐哈尔市·)周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种12. (2021·青海省·)已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足√2a −3b +5+（2a +3b -13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）A. 8B. 6或8C. 7D. 7或813. (2021·湖北省宜昌市·)我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱.问人数、物价各多少？设人数为x 人，物价为y 钱，下列方程组正确的是（ ）A. {y =8x −3y =7x +4B. {y =8x +3y =7x +4C. {y =8x −3y =7x −4D. {y =8x +3y =7x −414. (2021·全国·)某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.八年级一班在16场比赛中得26分.设该班胜x 场，负y 场，则根据题意，下列方程组中正确的是（ ）A. {x +y =26x +2y =16B. {x +y =262x +y =16C. {x +y =16x +2y =26D. {x +y =162x +y =2615. (2021·四川省成都市·)《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱50.问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x ，y ，则可列方程组为（ ） A. {x +12y =50y +23x =50B. {x −12y =50y −23x =50C. {2x +y =50x +23y =50D. {2x −y =50x −23y =5016. (2021·江苏省苏州市·)某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架.设甲种型号无人机x 架，乙种型号无人机y 架，根据题意可列出的方程组是（ ）A. {x =13(x +y)−11y =12(x +y)+2 B. {x =13(x +y)+11y =12(x +y)−2 C. {x =12(x +y)−11y =13(x +y)+2D. {x =12(x +y)+11y =13(x +y)−217. (2021·天津市·)方程组{x +y =23x +y =4的解是（ ）A. {x =0y =2B. {x =1y =1C. {x =2y =−2D. {x =3y =−318. (2021·浙江省宁波市·)我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗.今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x 斗，醑酒y 斗，那么可列方程组为（ ）A. {x +y =510x +3y =30 B. {x +y =53x +10y =30 C. {x +y =30x 10+y 3=5D. {x +y =30x 3+y 10=5二、填空题19. (2021·贵州省遵义市·)已知x ，y 满足的方程组是{x +2y =22x +3y =7，则x +y 的值为______ .20. (2021·四川省遂宁市·)已知关于x ，y 的二元一次方程组{2x +3y =5ax +4y =2a +3满足x -y ＞0，则a 的取值范围是______ .21. (2021·山东省枣庄市·)已知x ，y 满足方程组{4x +3y =−12x +y =3，则x +y 的值为______ .22. (2021·黑龙江省大庆市·)某酒店客房都有三人间普通客房，双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间.为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个46人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费1310元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房共______ 间.23. (2021·湖南省邵阳市·)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱.问有多少人，物品的价值是多少？ 该问题中物品的价值是______ 钱.24. (2021·内蒙古自治区通辽市·)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长x 尺，竿长y 尺，则可列方程组为______ . 25. (2021·黑龙江省绥化市·)某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品.已知购买2个A 种奖品和4个B 种奖品共需100元；购买5个A 种奖品和2个B 种奖品共需130元.学校准备购买A ，B 两种奖品共20个，且A 种奖品的数量不小于B 种奖品数量的25，则在购买方案中最少费用是______ 元.26. (2021·湖北省·)我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托.如果1托为5尺，那么索长为______ 尺.（其大意为：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果27. (2021·浙江省嘉兴市·)已知二元一次方程x +3y =14，请写出该方程的一组整数解______ .28. (2021·山东省泰安市·)《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十.问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其23的钱给乙，则乙的钱数也为50.问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x ，乙的钱数为y ，根据题意，可列方程组为______ . 三、解答题29. (2021·广东省广州市·)解方程组{y =x −4x +y =6.30. (2021·江苏省常州市·)解方程组和不等式组： （1）{x +y =02x −y =3；（2）{3x +6>0x −2<−x .31. (2021·内蒙古自治区呼和浩特市·)计算求解： （1）计算（13）-1-（√80-√20）÷√5+√3tan30°； （2）解方程组{1.5(20x +10y)=150001.2(110x +120y)=97200.32. (2021·江苏省苏州市·)解方程组：{3x −y =−4x −2y =−3.33. (2021·江苏省扬州市·)已知方程组{2x +y =7x =y −1的解也是关于x 、y 的方程ax +y =4的一个解，求a 的值.34. (2021·四川省眉山市·)解方程组：{3x −2y +20=02x +15y −3=0．35. (2021·浙江省丽水市·)解方程组：{x =2yx −y =6.36. (2021·四川省泸州市·)某运输公司有A 、B 两种货车，3辆A 货车与2辆B 货车一次可以运货90吨，5辆A 货车与4辆B 货车一次可以运货160吨. （1）请问1辆A 货车和1辆B 货车一次可以分别运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安排A 、B 两种货车将全部货物一次运完（A 、B 两种货车均满载），其中每辆A 货车一次运货花费500元，每辆B 货车一次运货花费400元.请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少.37. (2021·江苏省连云港市·)为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液.已知2瓶A 型消毒液和3瓶B 型消毒液共需41元，5瓶A 型消毒液和2瓶B 型消毒液共需53元.（1）这两种消毒液的单价各是多少元？（2）学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B 型消毒液的数量不少于A 型消毒液数量的13，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用.38.(2021·四川省成都市·)为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行.某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理.已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾.（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨.若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？39.(2021·湖北省恩施土家族苗族自治州·)“互联网+”让我国经济更具活力，直播助销就是运用“互联网+”的生机勃勃的销售方式，让大山深处的农产品远销全国各地.甲为当地特色花生与茶叶两种产品助销.已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元，销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同.（1）求每千克花生、茶叶的售价；（2）已知花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，甲计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍.则花生、茶叶各销售多少千克可获得最大利润？最大利润是多少？40. (2021·广东省·)已知关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =−10√3，x +y =4与{x −y =2,x +by =15的解相同．（1）求a ，b 的值；（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x 的方程x 2+ax +b =0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．41. (2021·辽宁省大连市·)某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶.购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元.（1）求大、小两种垃圾桶的单价；（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？42.(2021·广西壮族自治区柳州市·)如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销活动.若购买20箱A品牌螺蛳粉和30箱B品牌螺蛳粉共需要4400元，购买10箱A品牌螺蛳粉和40箱B品牌螺蛳粉则需要4200元.（1）求A、B品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？（2）小李计划购买A、B品牌螺蛳粉共100箱，预算总费用不超过9200元，则A 品牌螺蛳粉最多购买多少箱？43.(2021·山东省济宁市·)某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元.（1）求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？（2）甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱.如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？44.(2021·江苏省无锡市·)为了提高广大职工对消防知识的学习热情，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识竞赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品.现有经费1275元用于购买奖品，且经费全部用完，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3.当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件.（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？45.(2021·湖南省益阳市·)为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021年底建成.开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘坐某次长益城际列车全程需要60.分钟，平均速度是开通后的高铁的1330（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9，计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？参考答案1.A2.D3.A4.B5.A6.C7.D8.A9.A10.D11.B12.D13.A14.D15.A16.D17.B18.A19.520.a ＞121.-222.1823.5324.{x −y =5y −12x =525.33026.2027.{x =11y =1（答案不唯一）28.{x +12y =5023x +y =5029.解：{y =x −4①x +y =6②，将①代入②得，x +（x -4）=6，∴x =5，将x =5代入①得，y =1，30.解：（1）{x +y =0①2x −y =3②， ①+②，得：3x =3，解得x =1，将x =1代入①，得：1+y =0，解得y =-1，则方程组的解为{x =1y =−1； （2）解不等式3x +6＞0，得：x ＞-2，解不等式x -2＜-x ，得：x ＜1，则不等式组的解集为-2＜x ＜1．31.解：（1）原式=3-（√80÷5-√20÷5）+√3×√33=3-（4-2）+1=3-2+1=2；（2）原方程整理为{2x +y =1000①11x +12y =810②， ①×12-②得：13x =3900， 解得x =300，把x =300代入①得：y =400，∴方程组的解为{x =300y =400．32.解：{3x −y =−4①x −2y =−3②由①式得y =3x +4，代入②式得x -2（3x +4）=-5x -8=-3解得x =-1将x =-1代入②式得-1-2y =-3，得y =1经检验{x =−1y =1，是方程组的解33.解：方程组{2x +y =7①x =y −1②， 把②代入①得：2(y -1)+y =7，解得：y =3，代入①中，解得：x =2，把x =2，y =3代入方程ax +y =4得，2a +3=4，解得：a =12．34.解：方程组整理得：，①×15+②×2得：49x =-294， 解得：x =-6，把x =-6代入②得：y =1，则方程组的解为{x =−6y =1． 35.解：{x =2y①x −y =6②， 把①代入②得：2y -y =6，解得：y =6，把y =6代入①得：x =12，则方程组的解为{x =12y =6．36.解：（1）设1辆A 货车一次可以运货x 吨，1辆B 货车一次可以运货y 吨，根据题意得：{3x +2y =905x +4y =160， 解得：{x =20y =15， 答：1辆A 货车一次可以运货20吨，1辆B 货车一次可以运货15吨；（2）设A 货车运输m 吨，则B 货车运输（190-m ）吨，设总费用为w 元，则：w =500×m 20+400×190−m 15 =25m +80(190−m)3=25m -803m +152003 =-53m +152003， ∵-53＜0，∴w 随m 的增大而减小．∵A 、B 两种货车均满载，∴m 20，190−m 15都是整数，当m =20时，190−m 15不是整数； 当m =40时，190−m 15=10； 当m =60时，190−m 15不是整数； 当m =80时，190−m 15不是整数；当m =100时，190−m 15=6；当m =120时，190−m 15不是整数；当m =140时，190−m 15不是整数；当m =160时，190−m 15=2；当m =180时，190−m 15不是整数； 故符合题意的运输方案有三种：①A 货车2辆，B 货车10辆；②A 货车5辆，B 货车6辆；③A 货车8辆，B 货车2辆；∵w 随m 的增大而减小，∴费用越少，m 越大，故方案③费用最少．37.解：（1）设A 型消毒液的单价是x 元，B 型消毒液的单价是y 元，{2x +3y =415x +2y =53， 解得{x =7y =9， 答：A 型消毒液的单价是7元，B 型消毒液的单价是9元；（2）设购进A型消毒液a瓶，则购进B型消毒液（90-a）瓶，费用为w元，依题意可得：w=7a+9（90-a）=-2a+810，∴w随a的增大而减小，∵B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的1，3∴90-a≥1a，3，解得a≤6712∴当x=67时，w取得最小值，此时w=-2×67+810=676，90-a=23，答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶，最低费用为676元．38.解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾（x+7）吨，根据题意可得：12（x+7）+10x=920，解得：x=38，答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨；（2）设需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，由（1）可知：《条例》施行前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个A型点位每天处理生活垃圾45-8=37（吨），《条例》施行前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个B 型点位每天处理生活垃圾38-8=30（吨），根据题意可得：37（12+y）+30（10+5-y）≥920-10，，解得y≥167∵y是正整数，∴符合条件的y的最小值为3，答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．39.解：（1）设每千克花生x元，每千克茶叶（40+x）元，根据题意得：50x=10（40+x），解得：x=10，40+x=40+10=50（元），答：每千克花生10元，每千克茶叶50元；（2）设花生销售m 千克，茶叶销售（60-m ）千克获利最大，利润w 元，由题意得：{6m +36(60−m)≤1260m ≤2(60−m)， 解得：30≤m ≤40，w =（10-6）m +（50-36）（60-m ）=4m +840-14m =-10m +840，∵-10＜0，∴w 随m 的增大而减小，∴当m =30时，利润最大，此时花生销售30千克，茶叶销售60-30=30千克，w 最大=-10×30+840=540（元），∴当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大，最大利润为540元．40.解：（1）由题意得，关于x ，y 的方程组的相同解，就是方程组{x +y =4x −y =2的解，解得，{x =3y =1， 代入原方程组得，a =-4√3，b =12；（2）当a =-4√3，b =12时，关于x 的方程x 2+ax +b =0就变为x 2−4√3x +12=0， 解得，x 1=x 2=2√3，又∵（2√3）2+（2√3）2=（2√6）2，∴以2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形．41.解：（1）设大垃圾桶的单价为x 元，小垃圾桶的单价为y 元，依题意得：{2x +4y =6006x +8y =1560， 解得：{x =180y =60． 答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元．（2）180×8+60×24=2880（元）． 答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元．42.解：（1）设A 品牌螺蛳粉每箱售价为x 元，B 品牌螺蛳粉每箱售价为y 元，依题意得：{20x +30y =440010x +40y =4200， 解得：{x =100y =80． 答：A 品牌螺蛳粉每箱售价为100元，B 品牌螺蛳粉每箱售价为80元．（2）设购买A 品牌螺蛳粉m 箱，则购买B 品牌螺蛳粉（100-m ）箱，依题意得：100m +80（100-m ）≤9200，解得：m ≤60．答：A 品牌螺蛳粉最多购买60箱．43.解：（1）设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利（x -5）元，根据题意得：900x +400x−5=100，整理得：x 2-18x +45=0，解得：x =15或x =3（舍去），经检验，x =15是原分式方程的解，符合实际，∴x -5=15-5=10（元），答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元；（2）设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，由题意得：w =（15-a ）（100+20a ）=-20a 2+200a +1500=-20（a -5）2+2000，∵a =-20，当a =5时，函数有最大值，最大值是2000元，答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2000元．44.解：（1）设一等奖奖品单价为4x 元，则二等奖奖品单价为3x 元，依题意得：6004x +1275−6003x =25， 解得：x =15，经检验，x =15是原方程的解，且符合题意，∴4x =60，3x =45．答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元．（2）设购买一等奖奖品m 件，二等奖奖品n 件，依题意得：60m +45n =1275，∴n =85−4m 3．∵m ，n 均为正整数，且4≤m ≤10，∴{m =4n =23或{m =7n =19或{m =10n =15， ∴共有3种购买方案，方案1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；方案2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；方案3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品．45.解：（1）设长益段高铁全长为x 千米，长益城际铁路全长为y 千米，根据题意，得：{y =x +40y 60=x 16×1330， 解得：{x =64y =104， 答：长益段高铁全长为64千米，长益城际铁路全长为104千米．（2）设甲队后期每天施工a 千米，甲原来每天的施工长度为64÷40×716=0.7（千米）， 乙每天的施工长度为64÷40×916=0.9（千米）， 根据题意，得：0.7×5+0.9×（40-3）+（40-3-5）a ≥64，解得：a ≥0.85，答：甲工程队后期每天至少施工0.85千米，可确保工程提早3天以上（含3天）完成．。
2020年江苏省南通市中考数学试题及参考答案(word解析版)
南通市2020年初中毕业、升学考试试卷数学（满分：150分，考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算|﹣1|﹣3，结果正确的是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣12．今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约68000km2．将68000用科学记数法表示为（）A．6.8×104B．6.8×105C．0.68×105D．0.68×1063．下列运算，结果正确的是（）A．﹣＝B．3+＝3C．÷＝3 D．×＝24．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（）A．36°B．34°C．32°D．30°6．一组数据2，4，6，x，3，9，5的众数是3，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.57．下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD8．如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（）A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm29．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E ﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD的面积是（）A．96cm2B．84cm2C．72cm2D．56cm210．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．B．2C．2D．3二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）11．分解因式：xy﹣2y2＝．12．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．13．若m＜2＜m+1，且m为整数，则m＝．14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于．15．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为．16．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）17．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于．18．将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y ＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝．三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．（10分）计算：（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；（2）÷（x+）．20．（11分）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：①连接OA；②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC＝OA；④连接AC ．若AC ＝3，求⊙O 的半径．21．（12分）如图，直线l 1：y ＝x+3与过点A （3，0）的直线l 2交于点C （1，m ），与x 轴交于点B ． （1）求直线l 2的解析式；（2）点M 在直线l 1上，MN ∥y 轴，交直线l 2于点N ，若MN ＝AB ，求点M 的坐标．22．（10分）为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A 表示“优秀”，B 表示“良好”，C 表示“合格”，D 表示“不合格”．第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生．第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表． 两个小组的调查结果如图的图表所示：第二小组统计表若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：（1）第 小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌等级 人数 百分比 A 17 18.9% B 38 42.2% C 28 31.1% D 7 7.8% 合计 90100%握情况达到合格以上（含合格）的共约人；（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．23．（9分）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．请用所学概率知识解决下列问题：（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．24．（12分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．25．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．26．（13分）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】（1）如图①，对余四边形ABCD中，AB＝5，BC＝6，CD＝4，连接AC．若AC＝AB，求sin ∠CAD的值；（2）如图②，凸四边形ABCD中，AD＝BD，AD⊥BD，当2CD2+CB2＝CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形．证明你的结论；【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于△ABC内部，∠AEC＝90°+∠ABC．设＝u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的函数解析式．答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算|﹣1|﹣3，结果正确的是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【知识考点】绝对值；有理数的减法．【思路分析】首先应根据负数的绝对值是它的相反数，求得|﹣1|＝1，再根据有理数的减法法则进行计算．【解题过程】解：原式＝1﹣3＝﹣2．故选：C．【总结归纳】本题考查了绝对值的意义和有理数的减法，熟悉有理数的减法法则是关键．2．今年6月13日是我国第四个文化和自然遗产日．目前我国世界遗产总数居世界首位，其中自然遗产总面积约68000km2．将68000用科学记数法表示为（）A．6.8×104B．6.8×105C．0.68×105D．0.68×106【知识考点】科学记数法—表示较大的数．【思路分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于68000有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．【解题过程】解：68000＝6.8×104．故选：A．【总结归纳】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．3．下列运算，结果正确的是（）A．﹣＝B．3+＝3C．÷＝3 D．×＝2【知识考点】二次根式的混合运算．【思路分析】分别根据同类二次根式的概念、二次根式的乘除运算法则计算可得．【解题过程】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．3与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．÷＝＝，此选项错误；D．×＝××＝2，此选项计算正确；故选：D．【总结归纳】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．4．以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【知识考点】坐标与图形变化﹣旋转．【思路分析】根据旋转的性质，以原点为中心，将点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，即可得到点Q所在的象限．【解题过程】解：如图，∵点P（4，5）按逆时针方向旋转90°，得点Q所在的象限为第二象限．故选：B．【总结归纳】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，解决本题的关键是掌握旋转的性质．5．如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（）A．36°B．34°C．32°D．30°【知识考点】平行线的性质．【思路分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．【解题过程】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．∵EF∥AB，∴∠AEF＝∠A＝54°，∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．又∵EF∥CD，∴∠C＝∠CEF＝36°．故选：A．【总结归纳】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．6．一组数据2，4，6，x，3，9，5的众数是3，则这组数据的中位数是（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.5【知识考点】中位数；众数．【思路分析】先根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，求得x，再由中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．【解题过程】解：∵这组数据2，4，6，x，3，9，5的众数是3，∴x＝3，从小到大排列此数据为：2，3，3，4，5，6，9，处于中间位置的数是4，∴这组数据的中位数是4．故选：C．【总结归纳】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．7．下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD【知识考点】平行四边形的性质；菱形的判定．【思路分析】根据对角线垂直的平行四边形是菱形，即可得出答案．【解题过程】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形；故选：D．【总结归纳】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．8．如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（）A．48πcm2B．24πcm2C．12πcm2D．9πcm2【知识考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．【思路分析】先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．【解题过程】解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．故选：B．【总结归纳】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．9．如图①，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则矩形ABCD 的面积是（）A．96cm2B．84cm2C．72cm2D．56cm2【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式求出EH＝AB＝6，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，则AD＝12，可得出答案．【解题过程】解：从函数的图象和运动的过程可以得出：当点P运动到点E时，x＝10，y＝30，过点E作EH⊥BC，由三角形面积公式得：y＝＝30，解得EH＝AB＝6，∴AE＝＝＝8，由图2可知当x＝14时，点P与点D重合，∴AD＝AE+DE＝8+4＝12，∴矩形的面积为12×6＝72．故选：C．【总结归纳】本题考查了动点问题的函数图象，三角形的面积等知识，熟练掌握数形结合思想方法是解题的关键．10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）A．B．2C．2D．3【知识考点】垂线段最短；全等三角形的判定与性质；平移的性质．【思路分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【解题过程】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝2，∴BH＝1，AH＝，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AC＝＝＝，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为．故选：A．【总结归纳】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键．二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分）11．分解因式：xy﹣2y2＝．【知识考点】因式分解﹣提公因式法．【思路分析】用提公因式法进行因式分解即可．【解题过程】解：xy﹣2y2＝y（x﹣2y），故答案为：y（x﹣2y）．【总结归纳】本题考查提公因式法因式分解，找出公因式是正确分解的前提．12．已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为cm．【知识考点】勾股定理；垂径定理．【思路分析】如图，作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理得到AC＝BC＝AB＝5，然后利用勾股定理计算OC的长即可．【解题过程】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm．故答案为12．【总结归纳】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．13．若m＜2＜m+1，且m为整数，则m＝．【知识考点】估算无理数的大小．【思路分析】估计2的大小范围，进而确定m的值．【解题过程】解：2＝，∵＜＜，∴5＜2＜6，又∵m＜2＜m+1，∴m＝5，故答案为：5．【总结归纳】本题考查无理数的估算，理解2介在哪两个整数之间是正确求解的关键．14．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于．【知识考点】相似三角形的判定与性质．【思路分析】先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．【解题过程】解：∵，，，∴，∴△ABC∽△DEF，∴，故答案为：．【总结归纳】本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．15．1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为．【知识考点】数学常识；由实际问题抽象出一元二次方程．【思路分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x﹣12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解题过程】解：∵长为x步，宽比长少12步，∴宽为（x﹣12）步．依题意，得：x（x﹣12）＝864．【总结归纳】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【知识考点】解直角三角形的应用．【思路分析】作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可．【解题过程】解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，则DE＝BC＝5，DC＝BE＝1.5，在Rt△ADE中，∵tan∠ADE＝，∴AE＝tan∠ADE•DE＝tan50°×5≈1.19×5＝5.95（米），∴AB＝AE+BE＝5.95+1.5≈7.5（米），故答案为：7.5．【总结归纳】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键．17．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于．【知识考点】根与系数的关系．【思路分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣4x1＝2020，x1+x2＝4，代入原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）计算可得．【解题过程】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2＝x12﹣4x1+2（x1+x2）＝2020+2×4＝2020+8＝2028，故答案为：2028．【总结归纳】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c ＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．18．将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y ＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则（a﹣1）（b+2）＝．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】由于一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y ＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k ＞0）相交于两点，在平移之前是关于原点对称的，表示出这两点坐标，根据中心对称两点坐标之间的关系求出答案．【解题过程】解：一次函数y＝kx﹣2﹣k（k＞0）的图象过定点P（1，﹣2），而点P（1，﹣2）恰好是原点（0，0）向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，因此将双曲线y＝向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx﹣2﹣k（k＞0）相交于两点，在没平移前是关于原点对称的，平移前，这两个点的坐标为为（a﹣1，），（，b+2），∴a﹣1＝﹣，∴（a﹣1）（b+2）＝﹣3，故答案为：﹣3．【总结归纳】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，理解平移之前，相应的两点关于原点对称是解决问题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19．（10分）计算：（1）（2m+3n）2﹣（2m+n）（2m﹣n）；（2）÷（x+）．【知识考点】完全平方公式；平方差公式；分式的混合运算．【思路分析】（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可得；（2）先计算括号内分式的加法，再将除法转化为乘法，最后约分即可得．【解题过程】解：（1）原式＝4m2+12mn+9n2﹣（4m2﹣n2）＝4m2+12mn+9n2﹣4m2+n2＝12mn+10n2；（2）原式＝÷（+）＝÷＝•＝．【总结归纳】本题主要考查分式和整式的混合运算，解题的关键是掌握分式与整式的混合运算顺序和运算法则．20．（11分）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：①连接OA；②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC＝OA；④连接AC．若AC＝3，求⊙O的半径．【知识考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；切线的判定与性质；作图—基本作图．【思路分析】（1）根据“AAS“证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的性质得到结论；（2）连接AB，如图②，由作法得OA＝OB＝AB＝BC，先判断△OAB为等边三角形得到∠OAB ＝∠OBA＝60°，再利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠C＝∠BAC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求OA的长．【解题过程】（1）证明：在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB＝AC；（2）解：连接AB，如图②，由作法得OA＝OB＝AB＝BC，∴△OAB为等边三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝60°，∵AB＝BC，∴∠C＝∠BAC，∵∠OBA＝∠C+∠BAC，∴∠C＝∠BAC＝30°∴∠OAC＝90°，在Rt△OAC中，OA＝AC＝×3＝．即⊙O的半径为．【总结归纳】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定与性质．21．（12分）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的解析式；（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．【知识考点】待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题．【思路分析】（1）把点C的坐标代入y＝x+3，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式；（2）由已知条件得出M、N两点的横坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．【解题过程】解：（1）在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，∴B（﹣3，0），把x＝1代入y＝x+3得y＝4，∴C（1，4），设直线l2的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线l2的解析式为y＝﹣2x+6；（2）AB＝3﹣（﹣3）＝6，设M（a，a+3），由MN∥y轴，得N（a，﹣2a+6），MN＝|a+3﹣（﹣2a+6）|＝AB＝6，解得a＝3或a＝﹣1，∴M（3，6）或（﹣1，2）．【总结归纳】本题考查了两条直线相交或平行问题，待定系数法求一次函数的解析式，求得交点坐标是解题的关键．22．（10分）为了解全校学生对“垃圾分类”知识的掌握情况，某初级中学的两个兴趣小组分别抽样调查了100名学生．为方便制作统计图表，对“垃圾分类”知识的掌握情况分成四个等级：A 表示“优秀”，B表示“良好”，C表示“合格”，D表示“不合格”．第一小组认为，八年级学生对“垃圾分类”知识的掌握不如九年级学生，但好于七年级学生，所以他们随机调查了100名八年级学生．第二小组随机调查了全校三个年级中的100名学生，但只收集到90名学生的有效问卷调查表．两个小组的调查结果如图的图表所示：第二小组统计表等级人数百分比A 17 18.9%B 38 42.2%C 28 31.1%D 7 7.8%合计90 100%若该校共有1000名学生，试根据以上信息解答下列问题：（1）第小组的调查结果比较合理，用这个结果估计该校学生对“垃圾分类”知识掌握情况达到合格以上（含合格）的共约人；（2）对这两个小组的调查统计方法各提一条改进建议．【知识考点】用样本估计总体；统计表；条形统计图．【思路分析】（1）根据样本要具有代表性可知第二小组的调查结果比较合理；用这个结果估计总体，1000人的（1﹣7.8%）就是“合格及以上”的人数；（2）从抽样的代表性、普遍性和可操作性方面提出意见和建议．【解题过程】解：（1）根据抽样调查的样本要具有代表性，因此第二小组的调查结果比较合理；1000×（1﹣7.8%）＝1000×0.922＝922（人），故答案为：二，922；（2）第一小组，仅仅调查八年级学生情况，不能代表全校的学生对垃圾处理知识的掌握情况，应从全校范围内抽查学生进行调查．；对于第二小组要把问卷收集齐全，并尽量从多个角度进行抽样，确保抽样的代表性、普遍性和可操作性．【总结归纳】本题考查样本估计总体，样本的抽取要具有代表性和普遍性，才能够准确地反映总体．23．（9分）某公司有甲、乙、丙三辆车去南京，它们出发的先后顺序随机．张先生和李先生乘坐该公司的车去南京出差，但有不同的需求．请用所学概率知识解决下列问题：（1）写出这三辆车按先后顺序出发的所有可能结果；（2）两人中，谁乘坐到甲车的可能性大？请说明理由．【知识考点】列表法与树状图法．【思路分析】（1）假定甲车先出发，乙车后出发，丙车最后出发，用简单的列举法可列举出三辆车按先后顺序出发的所有等可能的结果数；（2）分别求出两人坐到甲车的概率，然后进行比较即可得出答案．【解题过程】解：（1）甲、乙、丙；甲、丙、乙；乙、甲、丙；乙、丙、甲；丙、甲、乙；丙、乙、甲；共6种；（2）由（1）可知张先生坐到甲车有两种可能，乙、丙、甲，丙、乙、甲，则张先生坐到甲车的概率是＝；由（1）可知李先生坐到甲车有两种可能，甲、乙、丙，甲、丙、乙，则李先生坐到甲车的概率是＝；所以两人坐到甲车的可能性一样．【总结归纳】此题考查的是列表法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（12分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．【知识考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【思路分析】（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．证明△POM∽△DCP，利用相似三角形的性质求解即可．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．设EG＝x，则BG＝4﹣x．证明△EGP∽△PHD，推出＝＝＝＝，推出PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2＝PD2，可得（3x）2+（4+x）2＝122，求出x，再证明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性质求解即可．【解题过程】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴＝＝＝，∴＝＝．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG ＝x，则BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴＝＝＝＝，∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴＝，∴＝，∴BF＝3．【总结归纳】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．25．（13分）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．（1）求抛物线的解析式；（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．【知识考点】根的判别式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点．【思路分析】（1）由题意可得0＝4a+2b+c①，﹣＝1②，△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，联立方程组可求a，b，c，可求解析式；（2）由n＜﹣5，可得点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，由二次函数的性质可求解；（3）分两种情况讨论，列出不等式组可求解．【解题过程】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），∴0＝4a+2b+c①，∵对称轴是直线x＝1，∴﹣＝1②，∵关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根，∴△＝（b﹣1）2﹣4ac＝0③，由①②③可得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（2）∵n＜﹣5，∴3n﹣4＜﹣19，5n+6＜﹣19∴点B，点C在对称轴直线x＝1的左侧，∵抛物线y＝﹣x2+x，∴﹣＜0，即y随x的增大而增大，∵（3n﹣4）﹣（5n+6）＝﹣2n﹣10＝﹣2（n+5）＞0，∴3n﹣4＞5n+6，∴y1＞y2；（3）若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点C在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得，∴0＜n＜，若点C在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得：，∴不等式组无解，综上所述：0＜n＜．【总结归纳】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，根的判别式，待定系数法求解析式，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．26．（13分）【了解概念】有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．【理解运用】。
2021-2022学年江苏省南通市崇川校中考数学模拟预测题含解析
2021-2022中考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．计算的结果是（）A．B．C．1 D．22．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A．B．C．D．3．计算（2017﹣π）0﹣（﹣13）﹣1+3tan30°的结果是（）A．5 B．﹣2 C．2 D．﹣14．PM2.5是指大气中直径≤0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×10﹣7B．2.5×10﹣6C．25×10﹣7D．0.25×10﹣55．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是( )A．121x yx y-=⎧⎨-=⎩B．121x yx y-=-⎧⎨-=-⎩C．121x yx y-=-⎧⎨-=⎩D．121x yx y-=⎧⎨-=-⎩6．潍坊市2018年政府工作报告中显示，潍坊社会经济平稳运行，地区生产总值增长8%左右，社会消费品零售总额增长12%左右，一般公共预算收入539.1亿元，7家企业入选国家“两化”融合贯标试点，潍柴集团收入突破2000亿元，荣获中国商标金奖．其中，数字2000亿元用科学记数法表示为（）元．（精确到百亿位）A．2×1011B．2×1012C．2.0×1011D．2.0×10107．对于下列调查：①对从某国进口的香蕉进行检验检疫；②审查某教科书稿；③中央电视台“鸡年春晚”收视率.其中适合抽样调查的是( )A．①②B．①③C．②③D．①②③8．如图，数轴上有三个点A、B、C，若点A、B表示的数互为相反数，则图中点C对应的数是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．49．如图所示几何体的主视图是( ）A．B．C．D．10．甲、乙两盒中分别放入编号为1、2、3、4的形状相同的4个小球，从甲盒中任意摸出一球，再从乙盒中任意摸出一球，将两球编号数相加得到一个数，则得到数（）的概率最大．A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．在平面直角坐标系中，智多星做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位……依此类推，第n步的走法是：当n被3除，余数为2时，则向上走2个单位；当走完第2018步时，棋子所处位置的坐标是_____12．如图，点A是双曲线y＝﹣9x在第二象限分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB＝120°，点C在第一象限，随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y＝kx上运动，则k的值为_____．13．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB5tan∠BOC＝12，则点A′的坐标为_____．14．有一枚质地均匀的骰子，六个面分别表有1到6的点数，任意将它抛掷两次，并将两次朝上面的点数相加，则其和小于6的概率是______．15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的切线与AB的延长线交于点P，连接AC，若∠A=30°，PC=3，则BP的长为．16．如图，△ABC中，AB＝17，BC＝10，CA＝21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，则BD+DE 的最小值是_____．三、解答题（共8题，共72分）17．（8分）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB=2，PC=1．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）求tan∠CAB的值．18．（8分）如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．求∠CFA度数；求证：AD∥BC．19．（8分）目前“微信”、“支付宝”、“共享单车”和“网购”给我们的生活带来了很多便利，初二数学小组在校内对“你最认可的四大新生事物”进行调查，随机调查了m人(每名学生必选一种且只能从这四种中选择一种)并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．根据图中信息求出m=，n=；请你帮助他们将这两个统计图补全；根据抽样调查的结果，请估算全校2000名学生中，大约有多少人最认可“微信”这一新生事物？20．（8分）学习了正多边形之后，小马同学发现利用对称、旋转等方法可以计算等分正多边形面积的方案．（1）请聪明的你将下面图①、图②、图③的等边三角形分别割成2个、3个、4个全等三角形；（2）如图④，等边△ABC边长AB＝4，点O为它的外心，点M、N分别为边AB、BC上的动点（不与端点重合），且∠MON＝120°，若四边形BMON的面积为s，它的周长记为l，求1s最小值；（3）如图⑤，等边△ABC的边长AB＝4，点P为边CA延长线上一点，点Q为边AB延长线上一点，点D为BC边中点，且∠PDQ＝120°，若PA＝x，请用含x的代数式表示△BDQ的面积S△BDQ．21．（8分）如图，有四张背面相同的卡片A、B、C、D，卡片的正面分别印有正三角形、平行四边形、圆、正五边形（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．把这四张卡片背面向上洗匀后，进行下列操作：（1）若任意抽取其中一张卡片，抽到的卡片既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是；（2）若任意抽出一张不放回，然后再从余下的抽出一张．请用树状图或列表表示摸出的两张卡片所有可能的结果，求抽出的两张卡片的图形是中心对称图形的概率．22．（10分）如图，一条公路的两侧互相平行，某课外兴趣小组在公路一侧AE 的点A 处测得公路对面的点C 与AE 的夹角∠CAE=30°，沿着AE 方向前进15米到点B 处测得∠CBE=45°，求公路的宽度．（结果精确到0.1米，参考数据：3≈1.73）23．（12分）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，点F 在线段DE 上，过点F 作FG ∥AB 、FH ∥AC 分别交BC 于点G 、H ，如果BG ：GH ：HC ＝2：4：1．求ADE FGHS S △△的值．24．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线16y k x =+与函数()20k y x x =>的图象的两个交点分别为A （1，5），B ． （1）求1k ，2k 的值；（2）过点P （n ，0）作x 轴的垂线，与直线16y k x =+和函数()20k y x x=>的图象的交点分别为点M ，N ，当点M 在点N 下方时，写出n 的取值范围．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、A【解析】根据两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘计算即可.【详解】.故选A.【点睛】本题考查了有理数的乘法计算，解答本题的关键是熟练掌握有理数的乘法法则.2、C【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各个选项进行判断，即可得到答案.【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误；故选：C.【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，解题的关键是熟练掌握概念进行分析判断.3、A【解析】试题分析：原式=1－(－33=1+3+1=5，故选A．4、B【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选B．【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5、C【解析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组成的方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．【详解】直线l1经过（2，3）、（0，-1），易知其函数解析式为y=2x-1；直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：1 21 x yx y-=-⎧⎨-=⎩．故选C．【点睛】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．6、C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】2000亿元=2.0×1．故选：C．【点睛】考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．7、B【解析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．【详解】①对从某国进口的香蕉进行检验检疫适合抽样调查；②审查某教科书稿适合全面调查；③中央电视台“鸡年春晚”收视率适合抽样调查.故选B.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．8、C【解析】【分析】首先确定原点位置，进而可得C点对应的数．【详解】∵点A、B表示的数互为相反数，AB=6∴原点在线段AB的中点处，点B对应的数为3，点A对应的数为-3，又∵BC=2，点C在点B的左边，∴点C对应的数是1，故选C．【点睛】本题主要考查了数轴，关键是正确确定原点位置．9、C【解析】从正面看几何体，确定出主视图即可．【详解】解：几何体的主视图为【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．10、C【解析】解：甲和乙盒中1个小球任意摸出一球编号为1、2、3、1的概率各为，其中得到的编号相加后得到的值为{2，3，1，5，6，7，8}和为2的只有1+1；和为3的有1+2；2+1；和为1的有1+3；2+2；3+1；和为5的有1+1；2+3；3+2；1+1；和为6的有2+1；1+2；和为7的有3+1；1+3；和为8的有1+1．故p（5）最大，故选C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11、（672，2019）【解析】分析：按照题目给定的规则，找到周期，由题意可得每三步是一个循环，所以只需要计算2018被3除，就可以得到棋子的位置.详解：解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右1个单位，向上3个单位，∵2018÷3=672…2，∴走完第2018步，为第673个循环组的第2步，所处位置的横坐标为672，纵坐标为672×3+3=2019，∴棋子所处位置的坐标是（672，2019）．故答案为：（672，2019）．点睛：周期问题解决问题的核心是要找到最小正周期，然后把给定的数（一般是一个很大的数）除以最小正周期，余数是几，就是第几步，特别余数是1，就是第一步，余数是0，就是最后一步.12、1根据题意得出△AOD∽△OCE，进而得出AD OD OAEO CE OC==，即可得出k=EC×EO=1．【详解】解:连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为底作等腰△ABC，且∠ACB=120°，∴CO⊥AB，∠CAB=10°，则∠AOD+∠COE=90°，∵∠DAO+∠AOD=90°，∴∠DAO=∠COE，又∵∠ADO=∠CEO=90°，∴△AOD∽△OCE，∴AD OD OAEO CE OC===tan60°=3，∴AODEOCSS∆∆=()23=1，∵点A是双曲线y=-9x在第二象限分支上的一个动点，∴S△AOD=12×|xy|=92，∴S△EOC=32，即12×OE×CE=32，∴k=OE×CE=1，故答案为1．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线，得出△AOD∽△OCE 是解题关键．13、34(,)55-【解析】如图，作辅助线；根据题意首先求出AB 、BC 的长度；借助面积公式求出A′D 、OD 的长度，即可解决问题．【详解】解：∵四边形OABC 是矩形，∴OA=BC ，AB=OC ，tan ∠BOC=12=BC OA OC AB =， ∴AB=2OA ，∵222OB AB OA =+，OB=5，∴OA=2，AB=2．∵OA′由OA 翻折得到，∴OA′= OA=2．如图，过点A′作A′D ⊥x 轴与点D ；设A′D=a ，OD=b ；∵四边形ABCO 为矩形，∴∠OAB=∠OCB=90°；四边形ABA′D 为梯形；设AB=OC=a ，BC=AO=b ；∵OB=5，tan ∠BOC=12， ∴225)2(12a b b a ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得：21a b =⎧⎨=⎩； 由题意得：A′O=AO=2；△ABO ≌△A′BO ；由勾股定理得：x 2+y 2=2①，由面积公式得：12xy+2×12×2×2＝12(x+2)×(y+2)②； 联立①②并解得：x=45，y=35．故答案为（−35，45）【点睛】该题以平面直角坐标系为载体，以翻折变换为方法构造而成；综合考查了矩形的性质、三角函数的定义、勾股定理等几何知识点；对分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．14、5 18【解析】列举出所有情况，看两个骰子向上的一面的点数和小于6的情况占总情况的多少即可．【详解】解：列表得：∴两个骰子向上的一面的点数和小于6的有10种，则其和小于6的概率是105 3618=，故答案为：5 18．【点睛】本题考查了列表法与树状图法，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件.树状图法适用于两步或两步以上完成的事件.解题时还要注意是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15、．【解析】试题分析：连接OC,已知OA=OC，∠A=30°，所以∠OCA=∠A=30°，由三角形外角的性质可得∠COB=∠A+∠ACO=60°，又因PC是⊙O切线，可得∠PCO=90°，∠P=30°，再由PC=3，根据锐角三角函数可得OC=PC•tan30°=，PC=2OC=2，即可得PB=PO﹣OB=.考点：切线的性质;锐角三角函数．16、8【解析】试题分析：过B 点作BF AC ⊥于点F ，BF 与AM 交于D 点，根据三角形两边之和小于第三边，可知BD DE +的最小值是线BF 的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．过B 点作BF AC ⊥于点F ，BF 与AM 交于D 点，设AF=x ，21CF x =-，222221)2217{(10x BF x BF -+=+=， 15{8x BF ==，15{8x BF ==-（负值舍去）．故BD ＋DE 的值是8故答案为8考点：轴对称-最短路线问题．三、解答题（共8题，共72分）17、（1）见解析；（2）.【解析】（1）连接OC 、BC ，根据题意可得OC 2+PC 2=OP 2，即可证得OC ⊥PC ，由此可得出结论．（2）先根据题意证明出△PBC ∽△PCA ，再根据相似三角形的性质得出边的比值，由此可得出结论．【详解】（1）如图，连接OC 、BC∵⊙O的半径为3，PB=2∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5∵PC=1∴OC2+PC2=OP2∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）∵AB是直径∴∠ACB=90°∴∠ACO+∠OCB=90°∵OC⊥PC∴∠BCP+∠OCB=90°∴∠BCP=∠ACO∵OA=OC∴∠A=∠ACO∴∠A=∠BCP在△PBC和△PCA中：∠BCP=∠A，∠P=∠P∴△PBC∽△PCA，∴∴tan∠CAB=【点睛】本题考查了切线与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与相似三角形的判定与性质.18、（1）75°（2）见解析【解析】（1）由等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，BC＝AC，由旋转的性质可得CF＝BC，∠BCF＝90°，由等腰三角形的性质可求解；（2）由“SAS”可证△ECD≌△ACD，可得∠DAC＝∠E＝60°＝∠ACB，即可证AD∥BC．【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形∴∠ACB＝60°，BC＝AC∵等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC∴CF＝BC，∠BCF＝90°，AC＝CE∴CF＝AC∵∠BCF＝90°，∠ACB＝60°∴∠ACF＝∠BCF﹣∠ACB＝30°∴∠CFA＝12（180°﹣∠ACF）＝75°（2）∵△ABC和△EFC是等边三角形∴∠ACB＝60°，∠E＝60°∵CD平分∠ACE∴∠ACD＝∠ECD∵∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，CA＝CE，∴△ECD≌△ACD（SAS）∴∠DAC＝∠E＝60°∴∠DAC＝∠ACB∴AD∥BC【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，熟练运用旋转的性质是本题关键．19、（1）100，35；（2）补全图形，如图；（3）800人【解析】（1）由共享单车人数及其百分比求得总人数m，用支付宝人数除以总人数可得百分比n的值；（2）总人数乘以网购人数的百分比可得其人数，用微信人数除以总人数求得百分比即可补全两个图形；（3）总人数乘以样本中微信人数所占的百分比可得答案.【详解】解：（1）∵被调查总人数为m=10÷10%=100人，∴用支付宝人数所占百分比n%=30100%30% 100⨯=，∴m=100，n=35.（2）网购人数为100×15%=15人，微信人数所占百分比为40100%40% 100⨯=，补全图形如图：（3）估算全校2000名学生中，最认可“微信”这一新生事物的人数为2000×40%=800人.【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的信息关联问题，样本估计总体问题，从不同的统计图得到必要的信息是解决问题的关键.20、（1）详见解析；（2）3；（3）S△33【解析】（1）根据要求利用全等三角形的判定和性质画出图形即可．（2）如图④中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，连接OB．证明△OEM≌△OFN（ASA），推出EM＝FN，ON＝OM，S△EOM＝S△NOF，推出S四边形BMON＝S四边形BEOF＝定值，证明Rt△OBE≌Rt△OBF（HL），推出BM+BN＝BE+EM+BF﹣FN＝2BE＝定值，推出欲求1s最小值，只要求出l的最小值，因为l＝BM+BN+ON+OM＝定值+ON+OM所以欲求1s最小值，只要求出ON+OM的最小值，因为OM＝ON，根据垂线段最短可知，当OM与OE重合时，OM定值最小，由此即可解决问题．（3）如图⑤中，连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明△PDF≌△QDE（ASA），即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，作一边上的中线可分割成2个全等三角形，如图2，连接外心和各顶点的线段可分割成3个全等三角形，如图3，连接各边的中点可分割成4个全等三角形，（2）如图④中，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，连接OB．∵△ABC是等边三角形，O是外心，∴OB平分∠ABC，∠ABC＝60°∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE＝OF，∵∠OEB＝∠OFB＝90°，∴∠EOF+∠EBF＝180°，∴∠EOF＝∠NOM＝120°，∴∠EOM＝∠FON，∴△OEM≌△OFN（ASA），∴EM＝FN，ON＝O M，S△EOM＝S△NOF，∴S四边形BMON＝S四边形BEOF＝定值，∵OB＝OB，OE＝OF，∠OEB＝∠OFB＝90°，∴Rt△OBE≌Rt△OBF（HL），∴BE＝BF，∴BM+BN＝BE+EM+BF﹣FN＝2BE＝定值，∴欲求1s最小值，只要求出l的最小值，∵l＝BM+BN+ON+OM＝定值+ON+OM，欲求1s最小值，只要求出ON+OM的最小值，∵OM＝ON，根据垂线段最短可知，当OM与OE重合时，OM定值最小，此时1s定值最小，s＝12×2×23＝23，l＝2+2+23+23＝4+43，∴1s的最小值＝434+323＝2+23．（3）如图⑤中，连接AD，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．∵△ABC是等边三角形，BD＝DC，∴AD平分∠BAC，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵∠DEA＝∠DEQ＝∠AFD＝90°，∴∠EAF+∠EDF＝180°，∵∠EAF＝60°，∴∠EDF＝∠PDQ＝120°，∴∠PDF＝∠QDE，∴△PDF≌△QDE（ASA），∴PF＝EQ，在Rt△DCF中，∵DC＝2，∠C＝60°，∠DFC＝90°，∴CF＝12CD＝1，DF3同法可得：BE＝1，DE＝DF3∵AF＝AC﹣CF＝4﹣1＝3，PA＝x，∴PF＝EQ＝3+x，∴BQ＝EQ﹣BE＝2+x，∴S△BDQ＝12•BQ•DE＝12×（2+x）×3＝32x+3．【点睛】本题主要考查多边形的综合题，主要涉及的知识点：全等三角形的判定和性质、多边形内角和、角平分线的性质、等量代换、三角形的面积等，牢记并熟练运用这些知识点是解此类综合题的关键。
2021年江苏各市(苏州扬州泰州盐城无锡等)中考数学真题分项汇编05 三视图与图形对称含详解
专题05三视图与图形对称一、三视图1．（2021·江苏南通市）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥2．（2021·江苏泰州市）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．（2021·江苏常州市）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．正方体B．圆锥C．圆柱D．球4．（2021·江苏盐城市）如图是由4个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．5．（2021·江苏苏州市）如图所示的圆锥的主视图是（）A．B．C．D．二、图形对称6．（2021·江苏徐州市）下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（2021·江苏常州市）观察所示脸谱图案，下列说法正确的是（）A ．它是轴对称图形，不是中心对称图形B ．它是中心对称图形，不是轴对称图形C ．它既是轴对称图形，也是中心对称图形D ．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形8．（2021·江苏盐城市）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2021·江苏无锡市）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2021·江苏宿迁市）对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．三、旋转11．（2021·江苏苏州市）如图，在方格纸中，将Rt AOB △绕点B 按顺时针方向旋转90°后得到Rt A O B ''△，则下列四个图形中正确的是（ ）A．B．C．D．四、展开图12．（2021·江苏扬州市）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（）A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱五、投影13．（2021·江苏南京市）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．专题05三视图与图形对称一、三视图1．（2021·江苏南通市）如图，根据三视图，这个立体图形的名称是（）A．三棱柱B．圆柱C．三棱锥D．圆锥【答案】A【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是三棱柱．故选：A．【点睛】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．2．（2021·江苏泰州市）如图所示几何体的左视图是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：如图所示，几何体的左视图是：故选：C．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左面看得到的图形是左视图．3．（2021·江苏常州市）如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．正方体B．圆锥C．圆柱D．球【答案】D【分析】首先根据俯视图将正方体淘汰掉，然后根据主视图和左视图将圆锥和圆柱淘汰，即可求解．【详解】解：∵俯视图是圆，∵排除A，∵主视图与左视图均是圆，∵排除B、C，故选：D．【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，用到的知识点为：三视图分为主视图、左视图、俯视图，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．4．（2021·江苏盐城市）如图是由4个小正方形体组合成的几何体，该几何体的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据从正面看得到的是主视图，由此可得答案．【详解】解：观察图形可知，该几何体的主视图是．故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的是主视图．5．（2021·江苏苏州市）如图所示的圆锥的主视图是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：主视图是从正面看所得到的图形,圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：,故选A.考点：三视图.二、图形对称6．（2021·江苏徐州市）下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对选项逐一分析即可【详解】A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B.是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；C.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D. 是轴对称图形但不是中心对称图形，符合题意故选D【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，了解轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．7．（2021·江苏常州市）观察所示脸谱图案，下列说法正确的是（）A．它是轴对称图形，不是中心对称图形B．它是中心对称图形，不是轴对称图形C．它既是轴对称图形，也是中心对称图形D．它既不是轴对称图形，也不是中心对称图形【答案】A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一判断选项，即可．【详解】解：脸谱图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故选A．【点睛】本题主要考查轴对称和中心对称图形，掌握轴对称和中心对称图形的定义，是解题的关键．8．（2021·江苏盐城市）北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据轴对称图形的定义判断即可【详解】A,B,C都不是轴对称图形，故不符合题意；D是轴对称图形，故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键．9．（2021·江苏无锡市）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．10．（2021·江苏宿迁市）对称美是美的一种重要形式，它能给与人们一种圆满、协调和平的美感，下列图形属于中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据中心对称图形的定义即可作出判断．【详解】解：A 、是中心对称图形，故选项正确；B 、不是中心对称图形，故选项错误；C 、不是中心对称图形，故选项错误；D 、不是中心对称图形，故选项错误．故选：A ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．三、旋转11．（2021·江苏苏州市）如图，在方格纸中，将Rt AOB △绕点B 按顺时针方向旋转90°后得到Rt A O B ''△，则下列四个图形中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据绕点B 按顺时针方向旋转90°逐项分析即可．【详解】A 、Rt A OB ''△是由Rt AOB △关于过B 点与OB 垂直的直线对称得到，故A 选项不符合题意；B 、Rt A O B ''△是由Rt AOB △绕点B 按顺时针方向旋转90°后得到，故B 选项符合题意；C 、Rt A O B ''△与Rt AOB △对应点发生了变化，故C 选项不符合题意；D 、Rt AOB △是由Rt AOB △绕点B 按逆时针方向旋转90°后得到，故D 选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查旋转变换．解题的关键是弄清旋转的方向和旋转的度数．四、展开图12．（2021·江苏扬州市）把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（ ）A ．五棱锥B ．五棱柱C ．六棱锥D ．六棱柱【答案】A【分析】 由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．【详解】解：由图可知：折叠后，该几何体的底面是五边形，则该几何体为五棱锥，故选A ．【点睛】本题考查了几何体的展开图，掌握各立体图形的展开图的特点是解决此类问题的关键．五、投影13．（2021·江苏南京市）如图，正方形纸板的一条对角线重直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些，故选D【点睛】本题考查了中心投影的概念，应用，利用中心投影的特点，理解中心投影物体的高和影长成比例是解题的关键．。
2021年江苏省南通市海安市九校联考中考数学二模试卷
2021年江苏省南通市海安市九校联考中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）计算（﹣x）2•x3所得的结果是（）A．x5B．﹣x5C．x6D．﹣x62．（3分）至2021年5月，全国人口共为141178万人，将141178万用科学记数法表示为（）A．1.41178×108B．0.141178×109C．14.1178×108D．1.41178×1093．（3分）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则侧面积为（）A．10πB．12πC．15πD．7.5π5．（3分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45B．60C．72D．1446．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x且x≠1B．x且x≠1C．x且x≠1D．x且x≠17．（3分）已知A（﹣1，y1），B（3，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m＞0C．m＞﹣D．m＜﹣8．（3分）如图，两个反比例函数y＝和y＝（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1•k2D．9．（3分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于（）A．2B．4C．3D．510．（3分）我们记函数y的最大值为y max，函数的最小值为y min，已知函数y＝﹣3x+2（a ≤x≤b，a≠b）的y max＝b，且y min≤3a，则a的取值范围为（）A．a＜B．a≤C．＜a≤D．a＜二、填空题（本大题共8小题，第11、12题每小题3分，第13-18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是．12．（3分）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝60°，则∠BOD等于．13．（4分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝．14．（4分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+5α+2β＝．15．（4分）众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为．16．（4分）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是．17．（4分）如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，D为边BC上一点，∠CAD＝∠B＝45°，则BD＝．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E在边BC上运动，M、N在对角线BD 上运动，且MN＝，连接CM、EN，则CM+EN的最小值为．三、解答题（本大题共8大题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（1）计算：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|；（2）先化简，再求值：（m+）÷，其中m＝﹣2．20．（8分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长．21．（10分）完全相同的4个小球，上面分别标有数字1，﹣1，2，﹣2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，在从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）．把第一次，第二次摸到的球上标有的数字分别记作m，n，以m，n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率．（用树状图或列表法求解）22．（10分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a）．（1）求k的值；（2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线P A与x轴交于点B（b，0）．①若m＝1，求b的值；②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值．24．（12分）【问题情境】已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y＝2（x+）（x＞0）．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y＝x+的图象性质．（1）结合问题情境，函数y＝x+的自变量x的取值范围是x＞0．如表是y与x的几组对应值．x…123m…y…4322234…①m＝；②画出该函数图象，结合图象，得出当x＝时，y有最小值，y最小＝；【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．25．（13分）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m（其中m为常数）（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若（2m，y1），（2m+1，y2）两点在抛物线上，试比较y1﹣y2与0的大小；（3）若该抛物线在﹣4≤x≤1的部分与直线y＝﹣2mx+m2+1有两个公共点，试求出m 的取值范围．26．（13分）给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形．证明：（1）如图1，MN是⊙O的直径，点A、B、C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（2）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，BD、AC为对角线，BD＝BC，试探究线AD、AC和CD之间的数量关系，并说明理由．拓展：（3）已知，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，D为△ABC外一点，且四边形ABCD 为对余四边形，试求出对角线BD的最大值．2021年江苏省南通市海安市九校联考中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（3分）计算（﹣x）2•x3所得的结果是（）A．x5B．﹣x5C．x6D．﹣x6【解答】解：（﹣x）2x3＝x2•x3＝x5．故选：A．2．（3分）至2021年5月，全国人口共为141178万人，将141178万用科学记数法表示为（）A．1.41178×108B．0.141178×109C．14.1178×108D．1.41178×109【解答】解：141178万＝1411780000＝1.41178×109．故选：D．3．（3分）如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，其主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：根据图形可得主视图为：故选：C．4．（3分）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为5，则侧面积为（）A．10πB．12πC．15πD．7.5π【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π．故选：C．5．（3分）如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转n°后能与原来的图案互相重合，则n的最小值为（）A．45B．60C．72D．144【解答】解：该图形被平分成五部分，旋转72°的整数倍，就可以与自身重合，故n的最小值为72．故选：C．6．（3分）函数y＝中，自变量x的取值范围是（）A．x且x≠1B．x且x≠1C．x且x≠1D．x且x≠1【解答】解：2x﹣1≥0且x﹣1≠0，解得x≥且x≠1，故选：B．7．（3分）已知A（﹣1，y1），B（3，y2）两点在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m＞0C．m＞﹣D．m＜﹣【解答】解：∵A（﹣1，y1），B（3，y2）两点在双曲线y＝上，∴y1＝﹣3﹣2m，y2＝，∵y1＞y2，∴﹣3﹣2m＞，∴m＜﹣，故选：D．8．（3分）如图，两个反比例函数y＝和y＝（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形P AOB的面积为（）A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1•k2D．【解答】解：根据题意可得四边形P AOB的面积＝S矩形OCPD﹣S OBD﹣S OAC，由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．故选：B．9．（3分）如图，▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动点，则PB+PD的最小值等于（）A．2B．4C．3D．5【解答】解：作PQ⊥AD的延长线于Q，作BH⊥AD的延长线于H，∵▱ABCD，∴AB∥CD，∴∠QDC＝∠A，∵∠DAB＝30°，∴∠QDC＝30°，∴，∴QP＝，∴PB+PD＝PB+QP，∴当B、P、Q三点共线时，PB+QP最小，即PB+QP最小为BH，∵AB＝6，∴BH＝，∴PB+PD的最小值等于3．故选：C．10．（3分）我们记函数y的最大值为y max，函数的最小值为y min，已知函数y＝﹣3x+2（a ≤x≤b，a≠b）的y max＝b，且y min≤3a，则a的取值范围为（）A．a＜B．a≤C．＜a≤D．a＜【解答】解：∵﹣3＜0，∴y随x的增大而减小，根据题意得：，把①代入②中解得：a≤．∵a≤x≤b，a≠b，∴a＜b，∴a＜﹣3a+2，∴a＜，综上所述，a＜，故选：A．二、填空题（本大题共8小题，第11、12题每小题3分，第13-18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）11．（3分）已知一组数据5，10，15，x，9的平均数是8，那么这组数据的中位数是9．【解答】解：根据平均数的定义可知，（5+10+15+x+9）÷5＝8，解得：x＝1，把这组数据从小到大的顺序排列为1，5，9，10，15，处于中间位置的那个数是9，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是9；故答案为：9．12．（3分）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，∠COE＝60°，则∠BOD等于30°．【解答】解：∵OE⊥AB，∠AOE＝90°，∵∠COE＝60°，∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝30°，∴∠BOD＝∠AOC＝30°，故答案为：30°．13．（4分）分解因式：a3﹣2a2b+ab2＝a（a﹣b）2．【解答】解：a3﹣2a2b+ab2，＝a（a2﹣2ab+b2），＝a（a﹣b）2．14．（4分）设α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，则α2+5α+2β＝1．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两个根，∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣7＝0，∴α2+3α＝7，∴α2+5α+2β＝α2+3α+2（α+β）＝7+2×（﹣3）＝1，故答案为：1．15．（4分）众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为28x﹣20（x+13）＝20．【解答】解：设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为：28x﹣20（x+13）＝20．故答案为：28x﹣20（x+13）＝20．16．（4分）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．【解答】解：去分母得2x+a＝x﹣1，解得x＝﹣a﹣1，∵关于x的方程的解是正数，∴x＞0且x≠1，∴﹣a﹣1＞0且﹣a﹣1≠1，解得a＜﹣1且a≠﹣2，∴a的取值范围是a＜﹣1且a≠﹣2．故答案为：a＜﹣1且a≠﹣2．17．（4分）如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，D为边BC上一点，∠CAD＝∠B＝45°，则BD＝．【解答】解：过A作AE⊥BC于E，∵∠B＝45°，∠AEB＝90°，∴BE＝AE＝AB•sin45°＝4×＝4，∵BC＝6，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣4＝2，在Rt△AEC中，AC2＝AE2+CE2＝42+22＝20，∵∠B＝∠CAD＝45°，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA，∴，即AC2＝CD•BC，∴6CD＝20，CD＝，则DE＝CD﹣CE＝﹣2，＝，∴BD＝BE﹣DE＝4﹣＝，故答案为：．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E在边BC上运动，M、N在对角线BD 上运动，且MN＝，连接CM、EN，则CM+EN的最小值为．【解答】解：先作C点关于BD的对称点F，然后再把F左移2个单位，下移1个单位，得到Q，再过Q作QE⊥BC于E，交BD于N，连接BF，过F作FP⊥BC于P，以B为原点建立平面直角坐标系，如图所示，∵AB＝2＝CD，BC＝4，∴C（4，0），BF＝BC＝4，由勾股定理得：BD＝＝＝2，由三角形面积公式得：×CR×BD＝BC×CD，即CR＝＝＝，即CF＝2CR＝，由勾股定理得：BF2﹣BP2＝CF2﹣CP2，∴42﹣BP2＝（）2﹣（4﹣BP）2，解得：BP＝，∴FP＝＝，∴F的坐标是（，），∴Q的坐标是（，），即CM+EN的最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共8大题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（12分）（1）计算：﹣（4﹣π）0+cos60°﹣|﹣3|；（2）先化简，再求值：（m+）÷，其中m＝﹣2．【解答】解：（1）原式＝2﹣1+﹣3+＝3﹣；（2）原式＝÷＝•＝m（m+2）＝m2+2m，当m ＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+2（﹣2）＝6﹣4+2﹣4＝2﹣2．20．（8分）如图，AD与BC交于O点，∠A＝∠C，AO＝4，CO＝2，CD＝3，求AB的长．【解答】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，∴＝，即＝，∴AB＝6．21．（10分）完全相同的4个小球，上面分别标有数字1，﹣1，2，﹣2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，在从中随机摸球两次（第一次摸出球后放回摇匀）．把第一次，第二次摸到的球上标有的数字分别记作m，n，以m，n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，求点（m，n）不在第二象限的概率．（用树状图或列表法求解）【解答】解：组成的所有坐标列树状图为：（5分）1﹣12﹣2第一次第二次1（1，1）（﹣1，1）（2，1）（﹣2，1）﹣1（1，﹣1）（﹣1，﹣1）（2，﹣1）（﹣2，﹣1）2（1，2）（﹣1，2）（2，2）（﹣2，2）﹣2（1，﹣2）（﹣1，﹣2）（2，﹣2）（﹣2，﹣2）（5分）方法一：根据已知的数据，点（m，n）不在第二象限的概率为．方法二：1﹣．（8分）22．（10分）如图，将▱ABCD的边AB延长到点E，使BE＝AB，连接DE，交边BC于点F．（1）求证：△BEF≌△CDF；（2）连接BD、CE，若∠BFD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝CD，AB∥CD．∵BE＝AB，∴BE＝CD．∵AB∥CD，∴∠BEF＝∠CDF，∠EBF＝∠DCF，在△BEF与△CDF中，∵，∴△BEF≌△CDF（ASA）；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠A＝∠DCB，∵AB＝BE，∴CD＝EB，∴四边形BECD是平行四边形，∴BF＝CF，EF＝DF，∵∠BFD＝2∠A，∴∠BFD＝2∠DCF，∴∠DCF＝∠FDC，∴DF＝CF，∴DE＝BC，∴四边形BECD是矩形．23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a）．（1）求k的值；（2）设点P（m，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，直线P A与x轴交于点B（b，0）．①若m＝1，求b的值；②若PB＝2AB，结合图象，直接写出b的值．【解答】解：（1）∵直线y＝x与双曲线y＝的一个交点是A（2，a），∴a＝×2＝1，∴A（2，1），∴k＝2×1＝2；（2）①若m＝1，则P（1，n），∵点P（1，n）是双曲线y＝上不同于A的一点，∴n＝k＝2，∴P（1，2），∵A（2，1），则直线P A的解析式为y＝﹣x+3，∵直线P A与x轴交于点B（b，0），∴0＝﹣b+3，∴b＝3；②如图1，当P在第一象限时，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时2，代入y＝求得x＝1，∴P（1，2），由①可知，此时b＝3；如图2，当P在第，三象限时，∵PB＝2AB，A（2，1），∴P点的纵坐标时﹣2，代入y＝求得x＝﹣1，∴P（﹣1，﹣2），∵A（2，1）则直线P A的解析式为y＝x﹣1，∴b＝1，综上，b的值为3或1．24．（12分）【问题情境】已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？【数学模型】设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数表达式为y＝2（x+）（x＞0）．【探索研究】小彬借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y＝x+的图象性质．（1）结合问题情境，函数y＝x+的自变量x的取值范围是x＞0．如表是y与x的几组对应值．x…123m…y…4322234…①m＝4；②画出该函数图象，结合图象，得出当x＝1时，y有最小值，y最小＝2；【解决问题】（2）直接写出“问题情境”中问题的结论．【解答】解：（1）①∵＝4，∴4x2﹣17x+4＝0，∴x＝4或x＝﹣（舍去），故答案为：4．②函数y＝x+的图象如图：y＝x+＝+2，∵x＞0，所以≥0，所以当x＝1时，的最小值为0，∴函数y＝x+（x＞0）的最小值是2．故答案为1，2．（2）∵y＝2（x+）（x＞0）．∴y＝2[（）2+2]，∴x＝时，y的最小值是4．答：矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．25．（13分）已知抛物线y＝x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m（其中m为常数）（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若（2m，y1），（2m+1，y2）两点在抛物线上，试比较y1﹣y2与0的大小；（3）若该抛物线在﹣4≤x≤1的部分与直线y＝﹣2mx+m2+1有两个公共点，试求出m的取值范围．【解答】解：（1）Δ＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）＝4m2﹣8m+4﹣4m2+8m＝4＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）抛物线的对称轴为直线x＝m﹣1，点（2m，y1）与对称轴的距离为|2m﹣m+1|＝|m+1|，点（2m+1，y2）与对称轴的距离为|2m+1﹣m+1|＝|m+2|，当|m+1|≥|m+2|时，即m≥﹣，此时y1≥y2，∴y1﹣y2≥0；当|m+1|＜|m+2|时，即m＜﹣，此时y1＜y2，∴y1﹣y2＜0；综上所述：当m≥﹣时，y1﹣y2≥0；当m＜﹣时，y1﹣y2＜0；（3）∵直线y＝﹣2mx+m2+1与抛物线y＝x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m在﹣4≤x≤1有两个公共点，∴﹣2mx+m2+1＝x2﹣（2m﹣2）x+m2﹣2m，整理的x2+2x﹣2m﹣1＝0，∴Δ＝4+4（2m+1）＝8m+8＞0，即m＞﹣1，当x＝﹣4时，16﹣8﹣2m﹣1≥0，即m≤，当x＝1时，1+2﹣2m﹣1≥0，即m≤1，∴﹣1＜m≤1．26．（13分）给出如下定义：有一组对角互余的凸四边形叫对余四边形．证明：（1）如图1，MN是⊙O的直径，点A、B、C在⊙O上，AM，CN相交于点D．求证：四边形ABCD是对余四边形；探究：（2）如图2，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，BD、AC为对角线，BD＝BC，试探究线AD、AC和CD之间的数量关系，并说明理由．拓展：（3）已知，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠A＝90°，D为△ABC外一点，且四边形ABCD为对余四边形，试求出对角线BD的最大值．【解答】（1）证明：连接MB、NB，∵MN为直径，∴∠MBN＝90°，∴∠BMN+∠BNM＝90°，∵∠BCN＝∠BMN，∠BAM＝∠BNM，∴∠BAM+∠BCN＝∠BMN+∠BNM＝90°，∴四边形ABCD是对余四边形；（2 ）解：AD2+DC2＝2AC2，理由：过D作ED⊥CD于D，截取ED＝AD，连结AE，CE，∴∠EDA+∠ADC＝90°，∵四边形ABCD为对余四边形，∴∠ABC+∠ADC＝90°，∴∠EDA＝∠ABC，又∵AB＝BC，ED＝AD，∴，∴△ABC∽△△ADE，∴，∴，∵∠BAC＝＝＝∠EAD，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD即∠BAD＝∠CAE．∴△ABD∽△ACE，∴，即，∵AB＝AC，BD＝BC，∴＝，∴＝，∴CE＝AC，在Rt△EDC中，由勾股定理得DE2+DC2＝CE2＝（AC）2，∴DE2+DC2＝2AC2，∵AD＝DE，∴AD2+DC2＝2AC2；（3）解：以AC中点O为圆心，以AC为直径作圆，过点O作OF⊥AC交⊙O于F，连结AF、CF，则∠AFC＝90°，过F作FG⊥BA交延长线于G，∵∠OAG＝∠AOF＝∠AGF＝90°，∴四边形AOFG为矩形，又∵OA＝OF，∴四边形AOFG为正方形，∵四边形ABCD为对余四边形，∴∠ABC+∠ADC＝90°，∵AB＝BC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ADC＝90°﹣∠ABC＝45°，∴点D在以点F为圆心，AF长为半径的优弧上运动，当DB过圆心F时，BD最大，∵AB＝AC＝4，∴OA＝OC＝OF＝FG＝AG＝2，∴F A＝FD＝FC＝＝＝2，在Rt△BGF中，由勾股定理得BF＝＝＝＝2，∴BD最大＝BF+FD＝2+2．。
专题11 一元二次方程及应用(解析版)-2021年中考数学真题分项汇编
专题11一元二次方程及应用一、单选题1．（2021·江苏盐城市）若12,x x 是一元二次方程2230x x --=的两个根，则12x x +的值是（ ）A ．2B ．-2C ．3D ．-3【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．【详解】解：∵12,x x 是一元二次方程2230x x --=的两个根，∵12x x +=2．故选：A ．本题考查了一元二次方程根与系数的关系，属于基本题目，熟练掌握该知识是解题的关键．二、填空题2．（2021·江苏南通市）若m ，n 是一元二次方程2310x x +-=的两个实数根，则3231m m n m +-的值为___________． 【答案】3【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m 2+3m -1=0，则3m -1=-m 2，根据根与系数的关系得出m +n =-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．【详解】解：∵m 是一元二次方程x 2+3x -1=0的根，∵m 2+3m -1=0，∵3m -1=-m 2，∵m 、n 是一元二次方程x 2+3x -1=0的两个根，∵m +n =-3， ∵3222()33)1(m n m n m m n m m m +=--++==-， 故答案为：3．本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程20ax bx c ++=(0a ≠)的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解．3．（2021·江苏泰州市）关于x 的方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别为x 1、x 2则x 1+x 2﹣x 1•x 2的值为 ___．【答案】2．【分析】先根据根与系数的关系得到12121,1x x x x +==-，然后利用整体代入的方法计算即可．【详解】解：∵关于x 的方程x 2﹣x ﹣1＝0的两根分别为x 1、x 2，∵12121,1x x x x +==-，∵x 1+x 2﹣x 1•x 2=1-（-1）=2．故答案为：2．本题考查了根与系数的关系：若12,x x 为一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两个根，则有1212,b c x x x x a a+=-=，熟记知识点是解题的关键．4．（2021·江苏徐州市）若12,x x 是方程230x x +=的两个根，则12x x +=_________．【答案】-3【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．【详解】解：∵12,x x 是方程230x x +=的两个根，∵12x x +=331b a -=-=-， 故答案是：-3．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，掌握12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，则12x x +=b a-，是解题的关键．5．（2021·江苏南京市）设12,x x 是关于x 的方程230x x k -+=的两个根，且122x x =，则k =_______．【答案】2【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k 的值即可．【详解】解：由根与系数的关系可得：123x x +=，12·x x k =，∵122x x =，∵233x =，∵21x =，∵12x =，∵122k =⨯=;故答案为：2．本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，其两根之和为 b a -，两根之积为c a．6．（2021·江苏连云港市）已知方程230x x k -+=有两个相等的实数根，则k =____． 【答案】94 【详解】试题分析：∵230x x k -+=有两个相等的实数根，∵∵=0，∵9-4k=0， ∵k=94． 故答案为94． 考点：根的判别式．7．（2021·江苏盐城市）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x ，则可列方程为________．【答案】2300(1)363x +=【分析】此题是平均增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），结合本题，如果设平均每年增产的百分率为x ，根据“粮食产量在两年内从300千克增加到363千克”，即可得出方程．【详解】解：设平均每年增产的百分率为x ；第一年粮食的产量为：300（1+x ）；第二年粮食的产量为：300（1+x ）（1+x ）＝300（1+x ）2；依题意，可列方程：300（1+x ）2＝363；故答案为：300（1+x ）2＝363．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a ，变化后的量为b ，平均变化率为x ，则经过两次变化后的数量关系为a （1±x ）2＝b ．三、解答题8．（2021·江苏徐州市）解方程：2450x x --=【答案】11x =-，25x =【分析】根据分解因式法求解一元二次方程，即可得到答案；【详解】∵2450x x --=∵()()150x x +-=∵11x =-，25x =；本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、一元一次不等式组的解法，从而完成求解．9．（2021·江苏无锡市）在Rt ABC △中，90A ∠=︒，6AB =，8AC =，点P 是ABC 所在平面内一点，则222PA PB PC ++取得最小值时，下列结论正确的是（ ）A ．点P 是ABC 三边垂直平分线的交点B ．点P 是ABC 三条内角平分线的交点 C ．点P 是ABC 三条高的交点D ．点P 是ABC 三条中线的交点【答案】D【分析】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则222PA PB PC ++=()22820032333x y ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭，可得P (2，83)时，222PA PB PC ++最小，进而即可得到答案． 【详解】以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (6，0)，C (0，8)，设P (x ，y )，则222PA PB PC ++=()()22222268x y x y x y ++-+++-=22331216100x y x y +--+=()22820032333x y ⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭， ∵当x =2，y =83时，即：P (2，83)时，222PA PB PC ++最小， ∵由待定系数法可知：AB 边上中线所在直线表达式为：883y x =-+， AC 边上中线所在直线表达式为：243y x =-+， 又∵P (2，83)满足AB 边上中线所在直线表达式和AC 边上中线所在直线表达式， ∵点P 是ABC 三条中线的交点，故选D ．本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数问题，是解题的关键．。
2020年江苏省南通市中考数学试题(解析版)
2020年江苏省南通市中考数学试题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）说明： 1本卷共四大题，27小题，全卷满分120分，考试时间为150分钟。
2，本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则不给分。
1．如果60m 表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为【 】 A ．－20m B ．－40m C ．20m D ．40m 【答案】B．【考点】相反数。
【分析】向北与向南是相反方向两个概念，向北为+，向南则为负。
故根据相反数的定义，可直接得出结果2．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【 】【答案】C ．【考点】轴对称图形，中心对称图形。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，可知A 是中心对称图形而不是轴对称图形；B 也是中心对称图形而不是轴对称图形；C 既是轴对称图形又是中心对称图形，它有四条对称轴，分别是连接三个小圆线段所在的水平和竖直直线，这水平和竖直直线之间的两条角平分线；D 既不是轴对称图形也不是中心对称图形。
3．计算327的结果是【 】A ．±3 3B ．3 3C ．±3D ．3 【答案】D ．【考点】立方根。
【分析】根据立方根的定义，因为33=273。
4．下列长度的三条线段，不能组成三角形的是【 】 A ．3，8，4 B ．4，9，6 C ．15，20，8 D ．9，15，8 【答案】A ．【考点】三角形的构成条件。
A ．【分析】根据三角形任两边之和大于第三边的构成条件，A 中3+4<8，故A 的三条线段不能组成三角形。
5．如图，AB ∥CD ，∠DCE ＝80°，则∠BEF ＝【 】A ．120°B ．110°C ．100°D ．80°【答案】C ．【考点】平行线的性质。
【分析】根据同旁内角互补的平行线性质，由于AB ∥CD ，∠DCE 和∠BEF 是同旁内角，从而∠BEF ＝00018080100-=。
江苏省苏州市2021年中考数学真题试卷(Word版,含答案与解析)
江苏省苏州市2021年中考数学试卷一、单选题（共10题；共20分）1.计算(√3)2的结果是（）A. √3B. 3C. 2√3D. 9【答案】B【考点】二次根式的性质与化简【解析】【解答】解：(√3)2=3，故答案为：B.【分析】根据二次根式的性质“(√a)2=|a|(a≥0)”可求解.2.如图所示的圆锥的主视图是（）A. B.C. D.【答案】A【考点】简单几何体的三视图【解析】【解答】主视图是从正面看所得到的图形，圆锥的主视图是等腰三角形，如图所示：，故答案为：A.【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可，其中看得到的棱长用实线表示，看不到的棱长用虚线的表示．3.如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】旋转的性质，作图﹣旋转【解析】【解答】A、Rt△A′O′B是由Rt△AOB关于过B点与OB垂直的直线对称得到，故A选项不符合题意；B、Rt△A′O′B是由Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到，故B选项符合题意；C、Rt△A′O′B与Rt△AOB对应点发生了变化，故C选项不符合题意；D、Rt△AOB是由Rt△AOB绕点B按逆时针方向旋转90°后得到，故D选项不符合题意.故答案为：B.【分析】由旋转的性质并结合各选项可判断求解.4.已知两个不等于0的实数a、b满足a+b=0，则ba +ab等于（）A. -2B. -1C. 1D. 2 【答案】A【考点】完全平方公式及运用【解析】【解答】解：∵ba +ab=b2+a2ab，∴ba +ab=b2+a2ab=(a+b)2−2abab，∵两个不等于0的实数a、b满足a+b=0，∴ba +ab=(a+b)2−2abab=-2abab=-2，故答案为：A.【分析】将所求代数式通分并根据完全平方公式可得ba +ab=(a+b)2−2abab,然后整体代换即可求解.5.为增强学生的环保意识，共建绿色文明校园.某学校组织“废纸宝宝旅行记”活动.经统计，七年级5个班级一周回收废纸情况如下表；则每个班级回收废纸的平均重量为（）A. 5kgB. 4.8kgC. 4.6kgD. 4.5kg【答案】C【考点】平均数及其计算【解析】【解答】每个班级回收废纸的平均重量= 4.5+4.4+5.1+3.3+5.75=4.6kg.故答案为：C.【分析】根据平均数=各班的回收废纸的数量之和÷班级的个数可求解.6.已知点A(√2,m)，B(32,n)在一次函数y=2x+1的图象上，则m与n的大小关系是（）A. m>n B. m=n C. m<n D. 无法确定【答案】C【考点】一次函数的性质【解析】【解答】解：在一次函数y=2x+1中，∵k=2>0，∴y随x的增大而增大.∵2< 94，∴√2<32.∴m<n.故答案为：C【分析】由题意根据一次函数的性质“当k＞0时，y随x的增大而增大.”并结合点A、B的横坐标即可判断求解.7.某公司上半年生产甲，乙两种型号的无人机若干架.已知甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架.设甲种型号无人机 x 架，乙种型号无人机 y 架.根据题意可列出的方程组是（ ）A. {x =13(x +y)−11,y =12(x +y)+2B. {x =13(x +y)+11.y =12(x +y)−2C. {x =12(x +y)−11,y =13(x +y)+2D. {x =12(x +y)+11,y =13(x +y)−2 【答案】 D【考点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题【解析】【解答】设甲种型号无人机 x 架，乙种型号无人机 y 架∵甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，∴ x =12(x +y)+11∵乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架∴ y =13(x +y)−2联立可得： {x =12(x +y)+11y =13(x +y)−2 故答案为：D.【分析】由题意可得相等关系“甲种型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙种型号无人机架数比总架数的三分之一少2架”，根据相等关系可列方程组.8.已知抛物线 y =x 2+kx −k 2 的对称轴在 y 轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则 k 的值是（ ）A. -5或2B. -5C. 2D. -2【答案】 B【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】解：∵抛物线y=x 2+kx-k 2的对称轴在y 轴右侧，∴x=−k 2>0 ，∴k ＜0.∵抛物线y=x 2+kx-k 2=(x +k 2)2−5k 24. ∴将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的表达式是：y =(x +k 2−3)2−5k 24+1 ，∴将（0，0）代入，得0=(0+k 2−3)2−5k 24+1 ， 解得k 1=2（舍去），k 2=-5.故答案为：B.【分析】先将二次函数配成顶点式，再根据二次函数平移的点的坐标变化规律“左加右减、上加下减”可得平移后的解析式，再根据平移后的抛物线经过原点可将（0,0）代入平移后的解析式得关于k的一元二次方＞0，解不等式可得k的范围，结合范围可确程，解方程可求得k的值，再根据对称轴在y轴右侧可得x=-k2定k的值.9.如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线翻折得到△AB′C，B′C交AD 于点E，连接B′D，若∠B=60°，∠ACB=45°，AC=√6，则B′D的长是（）A. 1B. √2C. √3D. √62【答案】B【考点】平行四边形的性质，等腰直角三角形【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD ∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠AC B′=45°，∴△AEC为等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AE B′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，AC=√6∴CE=√3∵在Rt△DEC中，CE=√3，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DE B′中，EB′=DE=1∴B′D= √2故答案为：B【分析】由折叠的性质可得△AEC为等腰直角三角形，结合平行四边形的性质可证Rt△AE B′≌Rt△CDE，由全等三角形的性质可得E B′=DE，在等腰Rt△AEC中，用勾股定理可求得CE的值，解Rt△DEC可求得DE 的值，在等腰Rt△DE B′中，用勾股定理可求解.10.如图，线段AB=10，点C、D在AB上，AC=BD=1.已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，在点P移动过程中作如下操作：先以点P为圆心，PA、PB的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面.设点P的移动时间为（秒）.两个圆锥的底面面积之和为S.则S关于t的函数图象大致是（）A. B.C. D.【答案】 D【考点】圆锥的计算，二次函数的实际应用-几何问题【解析】【解答】解：根据题意，∵AB=10，AC=BD=1，且已知点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着AB向点D移动，到达点D后停止移动，则0≤t≤8，∴PA=t+1，∴PB=10−(t+1)=9−t，由PA的长为半径的扇形的弧长为：60π(t+1)180=π(t+1)3∴用PA的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为t+16∴其底面的面积为π(t+1)236由PB的长为半径的扇形的弧长为：60π(9-t)180=π(9−t)3∴用PB的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为9-t6∴其底面的面积为π(9-t)236∴两者的面积和S=π(t+1)236+π(9−t)236=118π(t2−8t+41)∴图象为开后向上的抛物线，且当t=4时有最小值；故答案为：D.【分析】先用t的代数式表示出两个扇形的半径，根据扇形的弧长等于底面圆的周长求出两个圆锥底面圆的半径，最后列出两个圆锥底面积之和关于t的函数关系式，根据关系式即可判断出符合题意的函数图形．二、填空题（共8题；共9分）11.全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示是________．【答案】1.6×107【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】解：16 000 000=1.6×107，故答案为：1.6×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．12.因式分解x2−2x+1=________.【答案】（x﹣1）2【考点】因式分解﹣运用公式法【解析】【解答】解：x2−2x+1=（x﹣1）2.故答案为：（x﹣1）2.【分析】根据完全平方公式“a2-2ab+b2=（a-b）2”可求解.13.一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上.每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是________.【答案】38【考点】几何概率【解析】【解答】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖，∴黑色方砖在整个区域中所占的比值= 616=38，∴小球停在黑色区域的概率是3；8故答案为：38【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论.14.如图.在Rt△ABC中，∠C=90°，AF=EF.若∠CFE=72°，则∠B=________.【答案】54°【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质【解析】【解答】∵ AF=EF，∴∠A=∠AEF，∵∠A+∠AEF=∠CFE=72°，∴∠A=36°，∵∠C=90°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=180°-∠A-∠C=54°.故答案为：54°.【分析】与等边对等角可得∠A=∠AEF，根据三角形的外角的性质可求得∠A的度数，再用三角形内角和定理可求解.15.若m+2n=1，则3m2+6mn+6n的值为________.【答案】3【考点】代数式求值【解析】【解答】∵m+2n=1，∴3m2+6mn+6n=3m(m+2n)+6n=3m+6n=3(m+2n)=3.故答案为：3.【分析】将所求代数式变形得原式=3m(m+2n)+6n，再整体代换可求解.16.若2x+y=1，且0<y<1，则x的取值范围为________.【答案】0<x<12【考点】一次函数的性质【解析】【解答】解：根据2x+y=1可得y＝﹣2x+1，∴k＝﹣2＜0∵0<y<1，∴当y＝0时，x取得最大值，且最大值为1，2当y＝1时，x取得最小值，且最小值为0，∴0<x<12故答案为：0<x<12.【分析】将二元一次方程变形得：y=-2x+1，根据一次函数的性质可求解.17.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=70°，延长BC到E，在∠DCE内作射线CM，使得∠ECM=15°，过点D作DF⊥CM，垂足为F，若DF=√5，则对角线BD的长为________.（结果保留根号）【答案】2√5【考点】菱形的性质【解析】【解答】解：连接AC，如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB//CD，∠DOC=90°，BD=2DO∴∠DCE=∠ABC=70°∵∠ECM=15°∴∠DCM=55°∵DF⊥CM∴∠CDF=35°∵四边形ABCD是菱形，∴∠CDB=12∠ADC=12∠ABC=35°∴∠CDF=∠CDO在ΔCDO和ΔCDF中，{∠CDO=∠CDF∠COD=∠CFD=90°CD=CD∴ΔCDO≌ΔCDF∴DO=DF=√5∴BD=2DO=2√5故答案为：2√5.【分析】连接AC，由菱形的性质和已知条件用角角边可证△CDO≌△CDF，由全等三角形的对应边相等可得DO=DF，由菱形的性质BD=2DO可求解.18.如图，射线OM、ON互相垂直，OA=8，点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线l上，连接AB，AB=5.将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点B′恰好落在射线ON上，则点A′到射线ON的距离d≈________.【答案】245【考点】解直角三角形，旋转的性质【解析】【解答】如图所示，连接OA′、OB，过A′点作A′P⊥ON交ON与点P.∵线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A′B′∴OA′=OA=8，∠B′OB=∠A′OA∴∠B′OB−∠BOA′=∠A′OA−∠BOA′即∠B′OA′=∠BOA∵点B在线段OA的垂直平分线l上∴OC=12OA=12×8=4，OB=AB=5BC=√OB2−OC2=√52−42=3∵ ∠B ′OA ′=∠BOA∴ sin ∠B ′OA ′=A ′P A ′O =sin ∠BOA =BC OB∴ A ′P 8=35 ∴ d =A ′P =245【分析】连接OA ′、OB ， 过A ′点作A ′P ⊥ON 交ON 与点P ，由旋转的性质可得OA ′=OA =8 ，∠B ′OB =∠A ′OA ， 由角的构成得∠B´OA´=∠BOA ，由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得OC=12OA ，用勾股定理求得BC 的值；于是根据sin ∠B´OA´=A ·PA ·O =sin ∠BOA=BC OB 可求得A´P 的值，则d=A´P 可求解. 三、解答题（共10题；共78分）19.计算： √4+|−2|−32 .【答案】 解： √4+|−2|−32=2+2−9=−5【考点】实数的运算【解析】【分析】由算术平方根可得√4=2，然后根据有理数的加减混合运算法则计算即可求解.20.解方程组： {3x −y =−4x −2y =−3. 【答案】 解: {3x −y =−4①x −2y =−3②由②得：x=-3+2y ③，把③代入①得，3（-3+2y ）-y=-4，解得y=1，把y=1代入③得：x=-1，则原方程组的解为： {x =−1y =1【考点】解二元一次方程组【解析】【分析】观察方程②中未知数x 的系数是1，所以由方程②变形可将x 用含y 的代数式表示，把x 的代入方程①可消去未知数y ，求得未知数x 的值，把x 的值代入其中一个方程计算可求得y 的值，再写出结论可求解.21.先化简再求值： (1+1x−1)⋅x 2−1x ，其中 x =√3−1 . 【答案】 解：原式 =x−1+1x−1⋅(x+1)(x−1)x=x +1 当 x =√3−1 时，原式 =√3【考点】利用分式运算化简求值【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把x的值的代入化简后的分式计算可求解.22.某学校计划在八年级开设“折扇”、“刺绣”、“剪纸”、“陶艺”四门校本课程，要求每人必须参加，并且只能选择其中一门课程.为了解学生对这四门课程的选择情况，学校从八年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查.并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）.请你根据以上信息解决下列问题：（1）参加问卷调查的学生人数为▲名.补全条形统计图（画图并标注相应数据）；（2）在扇形统计图中，选择“陶艺”课程的学生占________%；（3）若该校八年级一共有1000名学生，试估计选择“刺绣”课程的学生有多少名？【答案】（1）解：50；画图并标注相应数据，如下图所示.（2）10=200（名）.（3）解：由题意得：1000×1050答：选择“刺绣”课程有200名学生【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图【解析】【解答】解：（1）15÷30%=50（人），所以，参加问卷调查的学生人数为50名，参加“剪纸”课程的人数为：50-15-10-5=20（名）画图并标注相应数据，如下图所示.故答案为：50；（2）5÷50=0.1=10%故答案为10；【分析】（1）观察条形图和扇形图可知折扇的频数和百分数，根据样本容量=频数÷百分数可求得参加问卷调查的学生人数；根据样本容量等于各小组频数之和可求得剪纸的频数，于是可补充条形图；（2）根据百分数=频数÷样本容量可求得陶艺的百分数；（3）用样本估计总体可求解.23.4张相同的卡片上分别写有数字0、1、−2、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张.将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来.（1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为________；（2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜.小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）.【答案】（1）14（2）解：用树状图或表格列出所有等可能的结果：∵共有12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6种，∴P（结果为非负数）=612=12，P（结果为负数）=612=12.∴游戏规则公平【考点】列表法与树状图法【解析】【解答】解：（1）共有4种等可能的结果，其中数字是负数情况占1种P（数字是负数）= 14；【分析】（1）用概率公式可求解；（2）由题意画出树状图，根据树状图的信息可知：共有12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6种，然后用概率公式可求得小敏获胜的概率，根据概率的大小可判断游戏是否公平.24.如图，在平面直角坐标系中.四边形OABC为矩形，点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，点D为AB的中点已知实数k≠0，一次函数y=−3x+k的图象经过点C、D，反比例函数y= kx(x>0)的图象经过点B，求k的值.【答案】解：把y=0代入y=−3x+k，得x=k3.∴C(k3,0).∵BC⊥x轴，∴点B横坐标为k3.把x=k3代入y=kx，得y=3.∴B(k3,3).∵点D为AB的中点，∴AD=BD.∴D(k6,3).∵点D(k6,3)在直线y=−3x+k上，∴3=−3×k6+k.∴k=6【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】根据直线与x轴相交于点C可令y=0，求得x的值可得点C的坐标；由BC⊥x轴可得点B的横坐标和点C的横坐标相等，把点B的横坐标代入反比例函数的解析式可得点B的纵坐标，由线段中点定义可得点D的坐标，再根据点D在反比例函数的图象上可将点D的坐标代入直线解析式可得关于k 的方程，解方程可求解.25.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1=∠2，延长BC到点E，使得CE=AB，连接ED.（1）求证：BD=ED；（2）若AB=4，BC=6，∠ABC=60°，求tan∠DCB的值.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°.∵∠DCE+∠BCD=180°，∴∠A=∠DCE.∵∠1=∠2，∴AD⌢=CD⌢，∴AD=CD.在△ABD和△CED中，{AB=CE ∠A=∠DCE AD=CD∴△ABD≌△CED(SAS)，∴BD=ED（2）解：如图，过点D作DM⊥BE，垂足为M.∵BC=6，AB=CE=4，∴BE=BC+CE=10.由（1）知BD=ED.∴BM=EM=12BE=5.∴CM=BC−BM=1.∵∠ABC=60°，∠1=∠2，∴∠2=30°.∴DM=BM⋅tan30°=5×√33=5√33.∴tan∠DCB=DMCM =5√33【考点】圆的综合题【解析】【分析】（1）由圆内接四边形的对角互补和邻补角的性质可得∠A=∠DCE，由∠1=∠2可得弧AD=弧CD，于是AD=CD，然后用边角边可证△ABD≌△CED，由全等三角形的对应边相等可求解；（2）过点D作DM⊥BE，垂足为M，在直角三角形BDM中，用锐角三角函数tan30°=DMBM可求得DM的值；于是tan∠BCD=DMCM可求解.26.如图，二次函数y=x2−(m+1)x+m（m是实数，且−1<m<0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C，已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC=EC.连接ED并延长交y轴于点F，连接AF.（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于125，求m的值. 【答案】（1）解：令y=0,则x2−(m+1)x+m=0，∴(x−1)(x−m)=0,∴x1=m,x2=1,∴A(m,0)，B(1,0)，∴对称轴为直线x=m+12，∴C(m+12,0)（2）解：在Rt△ODB中，CD⊥OB，OD⊥BD,∴∠ODB=∠OCD=90°,∵∠DOC=∠BOD,∴△COD∽△CDB，∴CDCB =COCD,∵C(m+12,0),B(1,0),∴OC=m+12，BC=1−m+12=1−m2.∴CD2=OC⋅CB=m+12⋅1−m2=1−m24.∵CD⊥x轴，OF⊥x轴，∴CD//OF.∵OC=EC，∴OF=2CD.∴OF2=4CD2=1−m2.在Rt△AOF中，AF2=OA2+OF2，∴AF2=m2+1−m2=1，即AF=1.（负根舍去）∵点A与点B关于对称轴对称，∴QA=QB.∴如图，当点F、Q、B三点共线时，FQ+AQ的长最小，此时△AFQ的周长最小.∴△AFQ的周长的最小值为125，∴FQ+AQ的长最小值为125−1=75，即BF=75.∵OF2+OB2=BF2，∴1−m2+1=4925.∴m=±15.∵−1<m<0，∴m=−15【考点】二次函数的实际应用-几何问题【解析】【分析】（1）由题意令y＝x2−（m＋1）x＋m＝0，解得x＝1或m，可得点A、B的坐标分别为（m，0）、（1，0），则点C的横坐标为12（m＋1），即可求解；（2）由题意根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△COD∽△CDB，于是可得比例式CDCB =COCD，由C、B的坐标可将OC、BC用含m的代数式表示出来，则CD2也可用含m的代数式表示出来，由OF=2CD，于是OF2用含m的代数式表示出来，在直角三角形AOF中，用勾股定理可求得AF的值，再由轴对称的性质可得QA=QB，当点F、Q、B三点共线时，FQ+AQ的长最小，此时△AFQ的周长最小；由三角形AFQ的周长的最小值可求得BF的值，在直角三角形BOF中，用勾股定理可得关于m的方程，解方程可求解.27.如图①，甲，乙都是高为6米的长方体容器，容器甲的底面ABCD是正方形，容器乙的底面EFGH 是矩形.如图②，已知正方形ABCD与矩形EFGH满足如下条件：正方形ABCD外切于一个半径为5米的圆O，矩形EFGH内接于这个圆O，EF=2EH.（1）求容器甲，乙的容积分别为多少立方米？（2）现在我们分别向容器甲，乙同时持续注水（注水前两个容器是空的），一开始注水流量均为25立方米/小时，4小时后.把容器甲的注水流量增加a立方米/小时，同时保持容器乙的注水流量不变，继续注水2小时后，把容器甲的注水流量再一次增加50立方米/小时，同时容器乙的注水流量仍旧保持不变.直到两个容器的水位高度相同，停止注水.在整个注水过程中，当注水时间为t时，我们把容器甲的水位高度，容器乙的水位高度记为ℎ乙，设ℎ乙−ℎ甲=ℎ，已知ℎ（米）关于注水时间t（小时）的记为ℎ甲函数图象如图③所示，其中MN平行于横轴.根据图中所给信息，解决下列问题：①求a的值；②求图③中线段PN所在直线的解析式.【答案】（1）解：由图知，正方形ABCD的边长AB=10，∴容器甲的容积为102×6=600立方米.如图，连接FH，∵ ∠FEH =90° ，∴ FH 为直径.在 Rt △EFH 中， EF =2EH ， FH =10 ，根据勾股定理，得 EF =4√5 ， EH =2√5 ，∴容器乙的容积为 2√5×4√5×6=240 立方米（2）解：根据题意可求出容器甲的底面积为 10×10=100 平方米，容器乙的底面积为 2√5×4√5=40 平方米.①当 t =4 时， ℎ=4×2540−4×25100=2.5−1=1.5 . ∵ MN 平行于横轴，∴ M(4，1.5) ， N(6，1.5) .由上述结果，知6小时后高度差仍为1.5米，∴ 25×640−25×6+2a 100=1.5 .解得 a =37.5 .②设注水b 小时后， ℎ乙−ℎ甲=0 ，则有 25b 40−25b+(b−4)×37.5+(b−6)×50100=0 . 解得 b =9 ，即 P(9，0) .设线段 PN 所在直线的解析式为 ℎ=kt +m ，∵ N(6，1.5) 、 P(9，0) 在直线 PN 上，∴ {1.5=6k +m 0=9k +m， 解得： {k =−12m =92. ∴线段 PN 所在直线的解析式为 ℎ=−12t +92(6≤t ≤9)【考点】一次函数的实际应用【解析】【分析】（1）连接FH ，解直角三角形EFH 求出EH ，然后根据容器的容积=长×宽×高可求解； （2）① 根据题意可求出容器甲的底面积为10×10=100 平方米，容器乙的底面积=长×宽可求得容器乙的底面积，根据6小时后的高度差为1.5米，可得h=4×2540−4×25100＝1.5，然后根据25×640−25×6+2a1001.5,解方程求出a的值即可；②当注t小时后，由h乙−h甲＝0，可得25b40−25b+(b−4)×37.5+(b−6)×50100＝0，解方程b的值可得点P的坐标，N的坐标，然后用待定系数法可求解.28.如图，在矩形ABCD中，线段EF、GH分别平行于AD、AB，它们相交于点P，点P1、P2分别在线段PF、PH上，PP1=PG，PP2=PE，连接P1H、P2F，P1H与P2F交于点Q.已知AG:GD=AE:EB=1:2.设AG=a，AE=b.（1）四边形EBHP的面积________四边形GPFD的面积（填“ >”、“ =”或“ <”）；（2）求证：△P1FQ∽△P2HQ；（3）设四边形PP1QP2的面积为S1，四边形CFQH的面积为S2，求S1S2的值.【答案】（1）=（2）证明：∵PP1=PG，PP2=PE，由（1）中PE⋅PH=2ab，PG⋅PF=2ab，∴PP2⋅PH=PP1⋅PF，即PP2PP1=PFPH，∵∠FPP2=∠HPP1，∴△PP2F∽△PP1H. ∴∠PFP2=∠PHP1. ∵∠P1QF=∠P2QH，∴△P1FQ∽△P2HQ（3）解：解法一：连接P1P2，FH，∵PP2CH =a2a=12，PP1CF=b2b=12，∴PP2CH =PP1CF.∵∠P1PP2=∠C=90°，∴△PP1P2∽△CFH.∴P1P2FH =PP1CF=12，S△PP1P2S△CFH=(P1P2FH)2=14.由（2）△P1FQ∽△P2HQ，得P1QP2Q =FQHQ，∴P1QFQ =P2QHQ.∵∠P1QP2=∠FQH，∴△P1QP2∽△FQH.∴S△P1QP2S△FQH =(P1P2FH)2=14.∵S1=S△PP1P2+S△P1P2Q，∴S1=14S△CFH+14S△FQM=14(S△CFH+S△FQM)=14S2.∴S1S2=14.解法二：连接P1P2、FH.∵PP2CH =a2a=12，PP1CF=b2b=12，∴PP2CH =PP1CF.∵∠P1PP2=∠C=90°，∴△PP1P2∽△CFH.∴P1P2FH =PP1CF=12，∠PP1P2=∠CFH，∠PP2P1=∠CHF.由（2）中△P1FQ∽△P2HQ，得P1QP2Q =FQHQ，∴P1QFQ =P2QHQ.∵∠P1QP2=∠FQH，∴△P1QP2∽△FQH.∴P1QFQ =P2QQH=P1P2FH=12，∠P2P1Q=∠HFQ，∠P1P2Q=∠FHQ.∴P1QFQ =P2QHQ=PP1CF=PP2CH=12，∠PP1Q=∠CFQ，∠PP2Q=∠CHQ.又∠P1PP2=∠C，∠P1QP2=∠FQH，∴四边形PP1OP2∽的四边形CFQH.∴S1S2=(PP1CF)2=14【考点】四边形的综合【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠B=∠C=90°.∵GH//AB，∴∠B=∠GHC=90°，∠BAD=∠PGD=90°.∵EF//AD，∴∠PGD=∠HPF=90°.∴四边形PFCH为矩形.同理可得：四边形AGPE、GDFP、EPHB均为矩形.∵AG=a，AE=b，AG:GD=AE:EB=1:2，∴PE=a，PG=b，GD=PF=2a，EB=PH=2b.∴四边形EBHP的面积=PE⋅PH=2ab，四边形GPFD的面积=PG⋅PF=2ab..四边形EBHP的面积=四边形GPFD的面积.【分析】（1）由题意根据有三个角是直角的四边形是矩形易证四边形PFCH、AGPE、GDFP、EPHB均为矩形，然后分别用含a，b的代数式表示出四边形EBHP和四边形GPFD的面积并作比较即可求解；（2）由（1）可得得边的比例关系，先证△PP2F∽△PP1H得∠PFP2＝∠PHP1，再根据对顶角相等并根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可得△P1FQ∽△P2HQ；（3）连接P1P2，FH，先证△P1PP2∽△CFH可得线段比例关系，从而得面积比例关系，再证△P1QP2∽△FQH，得出面积比例关系，最后根据面积关系即可求得s1s2的值.。
2021年中考数学真题 新定义与阅读理解创新型问题-(原卷版)
32新定义与阅读理解创新型问题一、单选题1．（四川省雅安市2021年中考数学真题）定义：{}()min ,()a ab a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．42．（广东省2021年中考真题数学试卷）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a ，b ，c ，记2a b cp ++=，则其面积S -秦九韶公式．若5,4p c ==，则此三角形面积的最大值为（ ）A B ．4C ．D ．53．（内蒙古通辽市2021年中考数学真题）定义：一次函数y ax b =+的特征数为,a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（ ） A ．[]2,3B ．[]2,3-C ．[]2,3-D ．[]2,3--4．（江苏省无锡市2021年中考数学真题）设1(,)P x y ，2(,)Q x y 分别是函数1C ，2C 图象上的点，当a x b≤≤时，总有1211y y 恒成立，则称函数1C ，2C 在a x b ≤≤上是“逼近函数”，a x b ≤≤为“逼近区间”．则下列结论：①函数5y x =-，32y x =+在12x ≤≤上是“逼近函数”； ①函数5y x =-，24y x x =-在34x ≤≤上是“逼近函数”； ①01x ≤≤是函数21y x =-，22y x x =-的“逼近区间”； ①23x ≤≤是函数5y x =-，24y x x =-的“逼近区间”． 其中，正确的有（ ） A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①5．（2021·广西来宾市·中考真题）定义一种运算：,,a a ba b b a b≥⎧*=⎨<⎩，则不等式(21)(2)3x x +*->的解集是（ ） A ．1x >或13x <B ．113x -<<C ．1x >或1x <-D ．13x >或1x <- 6．（2021·广西中考真题）如{}1,2,M x =，我们叫集合M ，其中1，2，x 叫做集合M 的元素．集合中的元素具有确定性（如x 必然存在），互异性（如1x ≠，2x ≠），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{},1,2N x =，我们说M N ．已知集合{}1,0,A a =，集合1,,b B a aa ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，若A B =，则b a -的值是（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．27．（2021·湖北中考真题）定义新运算“①”：对于实数m ，n ，p ，q ，有[][],,m p q n mn pq =+※，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：[][]2,34,5253422=⨯+⨯=※．若关于x 的方程[]21,52,0x x k k ⎡⎤⎣⎦+-=※有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．54k <且0k ≠ B ．54k ≤C ．54k ≤且0k ≠ D ．54k ≥8．（2021·甘肃武威市·中考真题）对于任意的有理数,a b ，如果满足2323a b a b++=+，那么我们称这一对数,a b为“相随数对”，记为(),a b ．若(),m n 是“相随数对”，则()323[]21m m n ++-=（ ） A ．2- B ．1- C ．2 D ．3二、填空题9．（广西贵港市2021年中考数学真题）我们规定：若()()1122,,,a x y b x y →→==，则1212a b x x y y →→⋅=+．例如(1,3),(2,4)a b →→==，则123421214a b →→⋅=⨯+⨯=+=．已知(1,1),(3,4)a x x b x →→=+-=-，且23x -，则a b →→⋅的最大值是________．10．（辽宁省丹东市2021年中考数学试题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果ABC 是锐角（或直角）三角形，则其费马点P 是三角形内一点，且满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒．（例如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）．若AB AC BC ===P 为ABC 的费马点，则PA PB PC ++=_________；若2,4AB BC AC ===，P 为ABC 的费马点，则PA PB PC ++=_________．11．（浙江省宁波市2021年中考数学试卷）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点(),A x y ，我们把点11,B x y ⎛⎫⎪⎝⎭称为点A 的“倒数点”．如图，矩形OCDE 的顶点C 为()3,0，顶点E 在y 轴上，函数()20=>y x x的图象与DE 交于点A ．若点B 是点A 的“倒数点”，且点B 在矩形OCDE 的一边上，则OBC 的面积为_________．12．（山东省菏泽市2021年中考数学真题）定义：[],,a b c 为二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的特征数，下面给出特征数为[],1,2m m m --的二次函数的一些结论：①当1m =时，函数图象的对称轴是y 轴；①当2m =时，函数图象过原点；①当0m >时，函数有最小值；①如果0m <，当12x >时，y 随x 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．13．（2021·湖南娄底市·中考真题）弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作1rad ．已知1rad,60αβ==︒，则α与β的大小关系是α________β．14．（2021·上海中考真题）定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O ，在正方形外有一点,2P OP =，当正方形绕着点O 旋转时，则点P 到正方形的最短距离d 的取值范围为__________．15．（2021·湖北中考真题）对于任意实数a 、b ，定义一种运算：22a b a b ab ⊗=+-，若()13x x ⊗-=，则x 的值为________．三、解答题16．（江苏省南通市2021年中考数学试题）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”． （1）分别判断函数22,y x y x x =+=-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数3(0),y x y x b x=>=-+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC 的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =-≥的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当12,W W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．17．（江苏省常州市2021年数学中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，对于A 、A '两点，若在y 轴上存在点T ，使得90ATA '∠=︒，且TA TA '=，则称A 、A '两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点()2,0M-、()1,0N -，点(),Q m n 在一次函数21y x =-+的图像上．（1）①如图，在点()2,0B、()0,1C -、()22D ,--中，点M 的关联点是_______（填“B ”、“C ”或“D ”）； ①若在线段MN 上存在点()1,1P 的关联点P '，则点P '的坐标是_______； （2）若在线段MN 上存在点Q 的关联点Q '，求实数m 的取值范围； （3）分别以点()4,2E 、Q 为圆心，1为半径作E 、Q ．若对E 上的任意一点G ，在Q 上总存在点G '，使得G 、G '两点互相关联，请直接写出点Q 的坐标．18．（湖南省张家界市2021年中考数学真题试题）阅读下面的材料： 如果函数()y f x =满足：对于自变量x 取值范围内的任意1x ，2x ， （1）若12x x <，都有12()()f x f x <，则称()f x 是增函数； （2）若12x x <，都有12()()f x f x >，则称()f x 是减函数． 例题：证明函数2()(0)f x x x =>是增函数．证明：任取12x x <，且1>0x ，20x >则2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+- ①12x x <且1>0x ，20x > ①120x x +>，120x x -<①1212()()0x x x x +-<，即12())0(f x f x -<，12()()f x f x < ①函数2()(0)f x x x =>是增函数．根据以上材料解答下列问题：（1）函数1()(0)f x x x =>，1(1)11f ==，1(2)2f =，(3)f =_______，(4)f =_______； （2）猜想1()(0)f x x x=>是函数_________（填“增”或“减”），并证明你的猜想．19．（山东省枣庄市2021年中考数学真题）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数()20x y x x-=≠的图象与性质进行探究．因为221x y x x -==-，即21y x =-+，所以可以对比函数2y x=-来探究． 列表：（1）下表列出y 与x 的几组对应值，请写出m ，n 的值：m = ，n = ；描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以y x=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（2）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来： （3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当0x <时，y 随x 的增大而 ；（填“增大”或“减小”） ①函数2x y x-=的图象是由2y x =-的图象向 平移 个单位而得到．①函数图象关于点 中心对称．（填点的坐标） 20．（内蒙古赤峰市2021年中考数学真题）阅读理解： 在平面直角坐标系中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且x 1≠x 1，y 2≠y 2，若M 、N 为某矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为M 、N 的“相关矩形”．如图1中的矩形为点M 、N 的“相关矩形”． （1）已知点A 的坐标为()2,0．①若点B 的坐标为()4,4，则点A 、B 的“相关矩形”的周长为__________；①若点C 在直线x =4上，且点A 、C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的解析式； （2）已知点P 的坐标为()3,4-，点Q 的坐标为()6,2-， 若使函数ky x=的图象与点P 、Q 的“相关矩形 ”有两个公共点，直接写出k 的取值范围．21．（湖北省荆州市2021年中考数学真题）小爱同学学习二次函数后，对函数()21y x =--进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如 下的函数图像．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：__________； ①方程()211x --=-的解为：__________；①若方程()21x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是__________．（2）延伸思考：将函数()21y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数()21213y x =---+的图象？写出平移过程，并直接写出当123y <≤时，自变量x 的取值范围．22．（2021·江西中考真题）二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D ，如下表：①补全表格；①在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '． 形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”． 探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为_______；①在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0abc ≠）；①若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值． 23．（2021·北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到O 的弦B C ''（,B C ''分别是,B C 的对应点），则称线段BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”．（1）如图，点112233,,,,,,A B C B C B C 的横､纵坐标都是整数．在线段112233,,B C B C B C 中，O 的以点A 为中心的“关联线段”是______________； （2）ABC 是边长为1的等边三角形，点()0,A t ，其中0t ≠．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；（3）在ABC 中，1,2AB AC ==．若BC 是O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长．24．（2021·四川中考真题）阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J ．Npler ，1550－1617年）是对数的创始人，他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler ．1707－1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地．若x a N =（0a >且1a ≠），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，比如指数式4216=可以转化为对数式24log 16=，对数式32log 9=可以转化为指数式239=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log ()log log (0,1,0,0)a a a M N M N a a M N ⋅=+>≠>>，理由如下：设log ,log a a M m N n ==，则,n m M a N a ==．m n m n M N a a a +∴⋅=⋅=．由对数的定义得log ()a m n M N +=⋅又log log a a m n M N +=+log ()log log a a a M N M N ∴⋅=+．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①2log 32=___________；①3log 27=_______，①7log l =________； （2）求证：log log log (0,1,0,0)aa a MM N a a M N N=->≠>>； （3）拓展运用：计算555log 125log 6log 30+-．25．（2021·重庆中考真题）如果一个自然数M 的个位数字不为0，且能分解成A B ⨯，其中A 与B 都是两位数，A 与B 的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M 为“合和数”，并把数M 分解成M A B =⨯的过程，称为“合分解”． 例如6092129=⨯，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，609∴是“合和数”．又如2341813=⨯，18和13的十位数相同，但个位数字之和不等于10，234∴不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M 进行“合分解”，即M A B =⨯．A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为()P M ；A 的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的差的绝对值记为()Q M ．令()()()P M G M Q M =，当()G M 能被4整除时，求出所有满足条件的M ．26．（2021·重庆中考真题）对于任意一个四位数m ，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m 为“共生数”例如：3507m =，因为372(50)+=⨯+，所以3507是“共生数”：4135m =，因为452(13)+≠⨯+，所以4135不是“共生数”； （1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记()3nF n =．求满足()F n 各数位上的数字之和是偶数的所有n ． 27．（2021·四川中考真题）已知平面直角坐标系中，点P （00,x y ）和直线Ax ＋By ＋C ＝0（其中A ，B 不全为0），则点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d可用公式d =来计算．例如：求点P （1，2）到直线y ＝2x ＋1的距离，因为直线y ＝2x ＋1可化为2x －y ＋1＝0，其中A ＝2，B ＝－1，C ＝1，所以点P （1，2）到直线y ＝2x ＋1的距离为：d ===根据以上材料，解答下列问题：（1）求点M （0，3）到直线9y +的距离；（2）在（1）的条件下，①M 的半径r ＝ 4，判断①M与直线9y +的位置关系，若相交，设其弦长为n ，求n 的值；若不相交，说明理由．28．（2021·湖北中考真题）数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．猜想发现：由5510+==；112333+==；0.40.40.8+==；1525+>=；0.2 3.2 1.6+>=；111282+>= 猜想：如果0a >，0b >，那么存在a b +≥a b =时等号成立）． 猜想证明：①20≥①①0=，即a b =时，0a b -=，①a b +=①当0≠，即ab时，0a b ->，①a b +>综合上述可得：若0a >，0b >，则a b +≥a b =时等号成立）． 猜想运用：（1）对于函数()10y x x x=+>，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 变式探究：（2）对于函数()133y x x x =+>-，当x 取何值时，函数y 的值最小？最小值是多少？ 拓展应用：（3）疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路榆测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图．设每间离房的面积为S （米2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S 最大？最大面积是多少？29．（2021·内蒙古中考真题）数学课上，有这样一道探究题． 如图，已知ABC 中，AB =AC =m ，BC =n ，()0180BAC αα∠=︒<<︒，点P 为平面内不与点A 、C 重合的任意一点，将线段CP 绕点P 顺时针旋转a ，得线段PD ，E 、F 分别是CB 、CD 的中点，设直线AP 与直线EF 相交所成的较小角为β，探究EFAP的值和β的度数与m 、n 、α的关系，请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务： （1）填空： （问题发现）小明研究了60α=︒时，如图1，求出了EFPA =___________，β=___________； 小红研究了90α=︒时，如图2，求出了EFPA=___________，β=___________； （类比探究）他们又共同研究了α=120°时，如图3，也求出了EFPA； （归纳总结）最后他们终于共同探究得出规律：EFPA=__________(用含m 、n 的式子表示)；β=___________ (用含α的式子表示)．（2）求出120α=︒时EFPA的值和β的度数．30．（2021·山东中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB AD =，CB CD =，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．猜想：22AB CD +与22AD BC +有什么关系？并证明你的猜想．（3）解决问题：如图3，分别以Rt ACB △的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连结CE ，BG ，GE ．已知4AC =，5AB =，求GE 的长．31．（2021·湖北中考真题）已知等边三角形ABC ，过A 点作AC 的垂线l ，点P 为l 上一动点（不与点A 重合），连接CP ，把线段CP 绕点C 逆时针方向旋转60︒得到CQ ，连QB ．（1）如图1，直接写出线段AP与BQ的数量关系；（2）如图2，当点P、B在AC同侧且AP AC时，求证：直线PB垂直平分线段CQ；（3）如图3，若等边三角形ABC的边长为4，点P、B分别位于直线AC异侧，且APQ求线段AP的长度．32．（2021·江苏中考真题）如图，在①O中，AB为直径，P为AB上一点，P A＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD①AB，Q为BC上一动点（与点B不重合），AH①QD，垂足为H．连接AD、BQ．（1）若m＝3．①求证：①OAD＝60°；①求BQDH的值；（2）用含m的代数式表示BQDH，请直接写出结果；（3）存在一个大小确定的①O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时①Q 的度数．。
(2021年整理)2019年南通市中考数学试题、答案(解析版)
2019年南通市中考数学试题、答案(解析版)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年南通市中考数学试题、答案(解析版)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019年南通市中考数学试题、答案(解析版)的全部内容。
2019年南通市中考数学试题、答案(解析版)（满分:150分 考试时间：120分钟)一、选择题（本大题共10小题,每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.比2-℃低的温度是( )A 。
3-℃B.1-℃C.0℃D.1℃ 2.化简12的结果是( ）A.43B 。
23C 。
32D 。
26 3。
下列计算，正确的是( )A 。
236a a a =B 。
22a a a -=C 。
623a a a ÷=D 。
()326a a =4。
如图是一个几何体的三视图,该几何体是 （ ）A.球B.圆锥C.圆柱D.棱柱5.已知a 、b 满足方程组324236a b a b +=⎧⎨+=⎩，，则a b +的值为（ ）A.2B.4C 。
2-D 。
4-6.用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )A 。
2(4)9x +=-B 。
2(4)7x +=-C.2(4)25x +=D.2(4)7x +=7.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB OA ⊥，使3AB =（如图).以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴正半轴于点P ,则点P 所表示的数介于 （ ） A.1和2之间B 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南通市2021年初中毕业、升学考试试卷
数 学
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置．．．．．．．上） 1．4的值是
A ．4
B ．2
C ．±2
D ．﹣2 2．下列计算中，正确的是
A ．235a a a ⋅=
B ．23
8
()a a = C ．325a a a += D ．842a a a ÷= 3．若
3x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是
A ．x ≥3
B ．x ＜3
C ．x ≤3
D ．x ＞3 4．函数y ＝﹣x 的图象与函数y ＝x ＋1的图象的交点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 5．下列说法中，正确的是 A ．—个游戏中奖的概率是
1
10
，则做10次这样的游戏一定会中奖 B ．为了了解一批炮弹的杀伤半径，应采用全面调查的方式 C ．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数是8
D ．若甲组数据的方差是0.1，乙组数据的方差是0.2，则乙组数据比甲组数据波动小 6．篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分．某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
7．如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于点E 、F ，再分别以E 、F 为圆心，大于
1
2
EF 的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M ．若∠ACD ＝110°，则∠CMA 的度数为
A ．30°
B ．35°
C ．70°
D ．45°
8．—个空间几何体的主视图和左视图都是边长为2cm 的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的表面积是
A ．32πcm 2
B ．3πcm 2
C ．52
πcm 2 D ．5πcm 2
9．如图，等边△ABC 的边长为3cm ，动点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度，沿A →B →C 的方向运动，到达点C 时停止，设运动时间为x (s )，y ＝PC 2，则y 关于x 的函数的图像大致为
A B C D
10．正方形ABCD 的边长AB ＝2，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE 、BD
相交于点M 、N ，则MN 的长为 A ．
556 B ．2513- C ．4515 D ．3
3
第7题 第9题 第10题
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上） 11．“辽宁舰”最大排水量为67500吨，将67500用科学记数法表示为 ．
12．分解因式：322
2a a b ab -+＝ ．
13．正n 边形的一个内角为135°，则n ＝ ．
14．某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台，设二、三月份每月的平均增长
率为x ，根据题意列出的方程是 ．
15．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC ＝3，AB ＝5，OD ⊥BC 于点D ，
则OD 的长为 ．
16．下面是“作一个30︒角”的尺规作图过程．
请回答：该尺规作图的依据是 ．
17．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，点O 是BC 中点，将△ABC 绕点O
旋转得△A′B′C′，则在旋转过程中点A 、C′两点间的最大距离是 ．
第15题 第17题
18．在平面直角坐标系xOy 中，过点A(3，0)作垂直于x 轴的直线AB ，直线y ＝﹣x ＋b 与
双曲线1
y x
=
交于点P(1x ，1y )，Q(2x ，2y )，与直线AB 交于点R(3x ，3y )，若1y ＞2y ＞3y 时，则b 的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题满分10分）
（1011
322013()3tan 303
--+--+︒；
（2）解方程：11322x
x x
-=---．
20．（本题满分8分）
解不等式组3
(21)42
13212
x x x x ⎧--≤⎪⎪⎨+⎪>-⎪⎩①②，并写出x 的所有整数解．
“校园安全”受到全社会的广泛关注．某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该中学共有学生1200人，估计该中学学生对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数． 22．（本题满分8分）
四张扑克牌的点数分别是2，3，4，8，除点数不同外，其余都相同，将它们洗匀后背面朝上放在桌上．
（1）从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；
（2）随机抽取一张牌不放回‧‧‧
，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率． 23．（本题满分8分）
如图，小明一家自驾到古镇C 游玩，到达A 地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶12千米至B 地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C ，小明发现古镇C 恰好在A 地的正北方向，求B ，C 两地的距离（结果保留根号）．
如图，□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F．
（1）求证：CF＝AB；
（2）连接BD、BF，当∠BCD＝90°时，求证：BD＝BF．
25．（本题满分8分）
一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地．设先发车辆行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题：
（1）慢车的速度为km/h，快车的速度为km/h；
（2）解释图中点C的实际意义，并求出点C的坐标；
（3）求当x为多少时，两车之间的距离为500 km．
26．（本题满分12分）
如图，△ABC中，AB＝6cm，AC＝42cm，BC＝25cm，，点P以1 cm/s的速度从点B出发沿边BA→AC运动到点C停止，运动时间为t s，点Q是线段BP的中点．（1）若CP⊥AB时，求t的值；
（2）若△BCQ是直角三角形时，求t的值；
（3）设△CPQ的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．
已知，正方形ABCD，A(0，﹣4)，B(1，﹣4)，C(1，﹣5)，D(0，﹣5)，抛物线y＝x2＋mx﹣2m﹣4(m为常数)，顶点为M．
（1）抛物线经过定点坐标是，顶点M的坐标（用m的代数式表示）是；
（2）若抛物线y＝x2＋mx﹣2m﹣4(m为常数)与正方形ABC D的边有交点，求m的取值范围；
（3）若∠ABM＝45°时，求m的值．
28．（本题满分14分）
如图，⊙O的直径AB＝26，P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为⊙O上的两点.若∠APD＝∠BPC，则称∠CPD为直径AB的“回旋角”．
（1）若∠BPC＝∠DPC＝60°，则∠CPD是直径AB的“回旋角”吗？并说明理由；
（2）若CD的长为13
4
π，求“回旋角”∠CPD的度数；
（3）若直径AB的“回旋角”为120°，且△PCD的周长为24133
+，直接写出AP 的长．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
B
A
A
B
C
B
B
B
C
C
二、填空题
题号 11 12
答案 6.75×104
2()a a b -
题号 13 14 答案 8 100(1＋x )2＝160
题号 15 16
答案 2 同弧所对圆周角是
圆心角的一半
题号 17
18
答案
132+
2b <-或1023
b <<
三、解答题 19．（1）6；（2）无解． 20．5
34
x -
≤<，整数解为﹣1，0，1，2． 21．（1）60，90；
（2）补全条形统计图，并标数据10； （3）800人． 22．（1）
34；（2）1
2
． 23．66．
24．（1）先证△ABE ≌△FCE ，再证CF ＝AB ；
（2）由（1）判断出C 为DF 的中点，再结合∠BCD ＝90°，得到BC 垂直平分DF ，从
而BD ＝BF ．
25．（1）80，120；
（2）C 的实际意义是快车到达乙地，点C 坐标为(6，480)； （3）当x 为1110或25
4
时，两车之间的距离为500 km ． 26．（1）2；
（2）4或6＋2﹣25
（3）,063292
6,664242
t t S t t ≤≤⎧⎪
=⎨-
++<≤+⎪⎩． 27．（1）(2，0)，(2m -
，2
1244
m m ---)； （2）
1
12
m ≤≤； （3）215m =
295．
28．（1）是； （2）45°； （3）3或23．。