巧用三角形中线的性质

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三角形中线的全部定理

三角形中线的全部定理

三角形中线的全部定理三角形中线的全部定理指的是在一个三角形中,中线所具有的一系列性质与定理。

下面将详细介绍这些性质与定理。

一、中线的定义在一个三角形中,由一个顶点连结对边中点而得到的线段,称为这个三角形的中线。

第一拓展:通过一个三角形的一个顶点,去与对边之间的中点所连结的这条线段,将三角形分成两个等腰三角形。

说得更详细一些,我们先画出一个任意的三角形ABC:如果我们以点A为顶点,以线段DE为中线,连接DE与BC的交点F:那么我们可以发现,线段AE和线段CE长度相等,因为它们是三角形ADE 和三角形CDE的对应的中位线。

同理,我们还可以得出:线段BF和线段DF长度也相等,因为它们是三角形ABF和三角形CDF的对应的中位线。

我们可以得出一个重要的结论:通过三角形的一个顶点,去与对边之间的中点所连结的这条线段,将三角形分成两个等腰三角形。

二、中线的基本性质1. 中线的长度在一个三角形中,任意一条中线的长度是其所连接的对边的长度的一半。

这个性质很简单,直接从图中可以看出来:线段AD连接了BC的中点E和A两个点。

因为BC是三角形ACB的一条边,所以线段AD是三角形ACB的一条中线,记为m。

根据割线定理可知,BE=EC,因此我们可以得到:DE=BE=BC/2同理,通过分析三角形ABC和线段CE,我们也可以得出CE=AB/2。

综上所述,我们可以用下面的公式来表示一个三角形中线的长度:2. 中线的性质在一个三角形中,任意两条中线所交点的线段长度等于这两条线段所连接的对边的长度的一半。

这个性质需要使用相似三角形的知识。

下面我们以三角形ABC和它的中线AD为例来说明这个性质:假设线段AD和线段BE相交于点F,我们需要证明AF=FB=BC/2。

由于BE=EC,所以我们可以得到:由于垂线段相等,所以我们可以得到:因此,根据相似三角形关系我们可以得到:因此,我们就证明了中线性质这个定理的正确性。

三、中线定理1. 中线分线段在一个三角形中,任意一条中线将对边分成两个长度相同的线段。

三角形的中线与高线

三角形的中线与高线

三角形的中线与高线在几何学中,三角形是一个非常基础而重要的概念。

三角形的中线与高线是三角形内部的特殊线段,它们具有一些独特的性质和应用。

本文将详细介绍三角形的中线与高线的定义、性质、证明和应用。

一、中线的定义和性质中线是一个三角形内部的线段,连接一个顶点和对边的中点。

对于任意三角形ABC,连接顶点A和对边BC的中点D所形成的线段AD 就是三角形ABC的中线。

中线具有以下性质:1. 中线的长度等于对边的一半,即AD = BD = CD。

2. 三角形的三条中线交于一点,这个点称为中心点或质心,通常用G表示。

二、高线的定义和性质高线是由三角形的一个顶点垂直地向对边所引出的线段。

对于任意三角形ABC,连接顶点A和对边BC上的垂足E所形成的线段AE就是三角形ABC的高线。

高线具有以下性质:1. 高线与对边垂直相交,即AE⊥BC。

2. 高线与对边上的垂足之间的距离等于高线上的任意一点到对边的距离,即AE = BE = CE。

3. 三角形的三条高线交于一点,这个点称为高心,通常用H表示。

三、中线和高线的关系中线和高线是三角形内部的重要线段,它们之间存在一些有趣的关系:1. 中线和高线交于一点。

2. 三角形的中线与高线交于同一点,这个点既是中心点也是高心。

3. 中心点将三角形中线分成两段,每段的长度等于对边的一半。

4. 高心将三角形高线分成两段,每段的长度满足一个比例关系,即AH : HG = 2 : 1。

四、中线和高线的证明中线和高线的性质可以通过几何证明来得到。

这里简要列举一下中线和高线的证明方法:1. 证明AD = BD = CD:通过三角形的顶点和对边的中点连接一条线段,利用平行线性质和割线定理可以证明。

2. 证明三角形的三条中线交于一点:通过割线定理可以证明交点存在,并通过割线分割比例相等的性质进行证明。

3. 证明AE⊥BC:通过垂线相交定理可以证明AE⊥BC,并通过割线定理证明垂足E在BC上。

4. 证明三角形的三条高线交于一点:通过高线的垂直性质可以证明交点存在,并利用高线相交定理进行证明。

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一,而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形,如能善于把握图形特征,恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线,往往能帮助我们迅速打开解题思路,从而顺利地解决问题,下面举例说明.一、有直角、有中点,利用垂直平分线性质【例1】如图,BD 、CE 是△ABC 的两条高,M 是BC 的中点,N 是DE 的中点.求证:MN 垂直平分DE .二、有直角、无中点,取中点,连线出中线【例2】如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD ∥BC ,∠CBE=21∠ABE ,求证:DE=2AB .三、有中点、无直角,造直角【例3】如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,M 、N 是AB 、CD 的中点,∠ADC+∠BCD=270°,求证:MN=21(AB -CD ).四、逆用性质解题【例4】如图,延长矩形ABCD 的边CB 至E ,使CE=CA ,P 是AE 的中点.求证:BP ⊥DP .【习题练习】1、如图,△ABC 中,AB=AC ,∠ABD=∠CBD ,BD ⊥DE 于D ,DE 交BC 于E ,求证:CD=21BE .2、如图,△ABC 中,∠B=2∠C ,AD ⊥BC 于D ,M 是BC 的中点,求证:AB=2DM .3、如图,在四边形ABCD 中,∠DAB=∠DCB=90°,点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系.直角三角形斜边上中线性质的应用一、直角三角形斜边上中线的性质1、性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图,在Rt △BAC 中,∠BAC=90°,D 为BC 的中点,则BC 21AD =.2、性质的拓展:如图:因为D 为BC 中点,所以BC 21DC BD ==, 所以AD=BD=DC=BC 21, 所以∠1=∠2,∠3=∠4,因此∠ADB=2∠1=2∠2,∠ADC=2∠3=2∠4.因而可得如下几个结论:①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形;②分成的两个等腰三角形的腰相等,两个顶角互补、底角互余,并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍.二、性质的应用1、21倍关系求值 例1、如图,CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线,若CD=4,则AB= .2、证明线段相等例2、如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,延长BA 到D 点,使AB 21AD =,点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点.(1)求证:DF=BE ;(2)过点A 作AG ∥BC ,交DF 于G .求证:AG=DG .3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知,如图,在△ABC中,∠BAC 90°,BD、CE分别为AC、AB上的高,F为BC的中点,求证:∠FED=∠FDE.例4、已知:如图,在△ABC中,AD是高,CE是中线。

三角形中线的性质及其应用

三角形中线的性质及其应用

三角形中线的性质及其应用在三角形中,连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线.一个三角形里有三条中线,三角形的三条中线交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的中线有下列性质:1.三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点距离的两倍.2.经过三角形一角顶点与重心的直线,必经过这个角对边的中点.3.一个三角形的三条中线把原三角形分成六个面积相等的小三角形.4.等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线互相重合.5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.利用三角形中线的性质,可以解决一些实际问题.例 1:在△ABC中,过重心G画平行BC的直线交AB于点D,那么AD:DB=?解题思路:根据题意画出图1,连接AG并延长AG交BC于E.由中线性质2可知E是BC的中点.由中线性质1知, AG:GE=2:1在△ABE中,∵DG∥BC,∴ ,故求得AD:DB=2:1例2:如图2,在Rt△ABC中,∠S=90°,G为重心,且AG=2,则AB²+GC²=?解题思路:作GE⊥BC,E为垂足,延长AG交BC于点D,则D为BC的中点,GD=AG=1,∴Rt△ABC斜边BC上的中线AD=3.由中线性质5知AD= BC=BD=CD=3,在Rt△GDE中,根据勾股定理,得DE²+GE²=GD²=1,同理在RT△GBE中,GB²=BE²+GE²=(BD+DE)²+GE²=BD²+2BD·DE+DE²+GE².①在RT△GCE中,GC²=CE²+GE²=(CD-DE)²+GE²=CD²-2CD·DE+DE²+GE²=BD²-2BDDE+DE²+GE²②由①+②得GB²+GC²=2(BD²+DE²+GE²)=2(3²+1)=20例3:如图3,在等腰△ABC中,CH是底边上的高线.点P是线段CH上不与端点重合的任意一点,连接AP交BC于点E, 连接BP交AC于点F,(1)证明:∠CAE=∠CBF⑵证明:AE=BF证明思路: (1)在△ABC中, AC=BC,CH⊥AB于点H,根据三角形中线性质4,知CH是底边AB上的中线,又CH⊥AB,∴CH是线段AB的中垂线.∵点P在CH上,∴PA=PB,∴∠PAB=∠PBA.∵AC=BC,∴∠CAB=∠CBA.由等式性质得∠CAB-∠PAB=∠CAB-∠PBA,即∠CAE=∠CBF.⑵在△ACE和△BCF中,∵∠ACE=∠BCF,AC=BC,∠CAE=∠CBF.∴△ACE≌△BCF(ASA),∴AE=BF例 4:如图4, 在△ABC中,点D在AC上,DB=BC,点E是CD的中点,点F是AB的中点.(1)求证:EF= AB(2)过点A作AG∥EF,交BE的延长线于点G,求证△ABE≌△AGE.证明思路:⑴连接BE,在△BCD中,∵DB=BC,E是DC 的中点,由三角形中线性质4知BE⊥CD.在R t △AEB中,F是斜边AB的中点,由三角形中线性质5,知EF= AB⑵由(1)知EF= AB=AF,所以∠FAE=∠FEA,∵AG∥EF,∴∠FEA=∠GAE,∴∠FAE=∠GAE又AE=AE,∠AEB=∠AEG=90°,∴△ABE≌△AGE(ASA)例5, 如图5, 在△ABC中,中线AD,BE,CF相交于点G,GA=2 ,GB=2,GC=2求△ABC的面积.证明思路: 根据三角形中线性质3,有S△GAF=S△GFB=S△GBD=S△GDC=S△GCE=S△GEA=S△ABC.∴S△GBC=S△ABC,因此只要求出△GBC的面积,△ABC的面积就容易求出来了.延长AD至H,使DH=GD.∵BD=DC,∴,四边形BHCG为平行四边形,在△HGC中,HG=AG=2GD=2 ,HC=GB=2 ,GC=2.∵GC +HC =2 +(2 ) =12,HG =(2 ) =12,∴GC +HC =HG由勾股定理逆定理知∠GCH=90°,∴平行四边形BHCG是矩形, ∠BGC=90°∴S△GBC=GB·GC=ⅹ2ⅹ2=2∴S△GBC=S△ABC, ∴S△ABC=3 S△GBC=6 .2。

三角形的中线定理解析

三角形的中线定理解析

三角形的中线定理解析三角形的中线定理是指一个三角形的三条中线相交于一个点,且这个点离三角形的各顶点的距离相等。

本文将对三角形的中线定理进行深入解析,探讨其几何性质和相关应用。

一、定理表述在一个三角形ABC中,连接顶点A到边BC的中点D,连接顶点B到边AC的中点E,连接顶点C到边AB的中点F。

则线段AD、BE和CF三条中线交于一点G,且点G到三角形ABC的各个顶点的距离相等。

二、性质探讨1. 证明中线交点G的存在性:通过平行线性质可以证明线段AD、BE和CF是平行于边BC、AC 和AB的。

根据平行线的性质,可以得出线段AD、BE和CF是同一平面内的平行线,因此它们必然会相交于一点。

2. 点G到三角形各个顶点的距离相等:设线段AD的中点为M,线段BE的中点为N,线段CF的中点为P。

根据中线的定义,每条中线都会将相应边分为两等分,即AM=MD,BN=NE,CP=PF。

可以发现,三角形ABD与三角形ACE是全等的,所以可以得出AM=DN,同理可以得出AM=DN=EP=PM。

因此,点G到三角形ABC的各个顶点的距离相等。

三、相关应用1. 判断三角形是否为等腰三角形:根据中线定理,一个三角形是等腰三角形的充要条件是三角形的两条中线相等。

因此,我们可以利用中线定理来判断一个三角形是否为等腰三角形。

2. 定位三角形的重心:重心是三条中线的交点,利用中线定理可以准确定位三角形的重心。

重心在一个三角形内部,且距离各顶点的距离均一样,所以可以将中线定理应用于三角形的定位问题。

3. 探索三角形的面积关系:我们可以利用中线定理来研究三角形的面积关系。

根据中线定理,三角形的面积等于三角形的一条中线与对边的乘积的一半。

这一性质可以用来推导和证明与三角形面积相关的定理。

四、总结三角形的中线定理是一个重要的三角形性质,它揭示了三角形中线的几何性质和应用价值。

通过深入理解和应用中线定理,我们可以进一步认识和研究三角形的形状、关系和面积,使我们更加全面地掌握几何学的基础知识。

三角形中线的性质

三角形中线的性质

三角形中线的性质这是三角形中线的性质,是优秀的数学教案文章,供老师家长们参考学习。

三角形中线的性质第1篇△中线性质设△ABC的角A、角B、角C的对边分别为a,b,c。

1、三角形的三条中线都在三角形内。

2、三角形的三条中线长:ma=(1/2)√(2b²+2c²-a²)mb=(1/2)√(2a²+2c²-b²)mc=(1/2)√(2a²+2b²-c²)(ma、mb、mc分别为角A,B,C所对边的中线长)3、三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心。

4、直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2。

5、角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4。

6、三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段。

三角形都有什么线三角形有四线,分别为中线,高,角平分线,中位线。

1、中线定义:三角形的中线是连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段,一个三角形有3条中线。

2、高定义:从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足之间的线段。

3、角平分线定义:三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段。

4、中位线定义:三角形的三边中任意两边中点的连线。

三角形中线的性质第2篇教学建议知识结构重点、难点分析相似三角形的性质及应用是本节的重点也是难点.它是本章的主要内容之一,是在学完相似三角形判断的基础上,进一步研究相似三角形的性质,以完成对相似三角形的定义、判定和性质的全面研究.相似三角形的性质还是研究相似多边形性质的基础,是今后研究圆中线段关系的工具.它的难度较大,是因为前面所学的知识主要用来证明两条线段相等,两个角相等,两条直线平行、垂直等.借助于图形的直观可以有助于找到全等三角形.但是到了相似形,主要是研究线段之间的比例关系,借助于图形进行观察比较困难,主要是借助于逻辑的体系进行分析、探求,难度较大.教法建议1.教师在知识的引入中可考虑从生活实例引入,例如照片的放大、模型的设计等等2.教师在知识的引入中还可以考虑问题式引入,设计一个具体问题由学生参与解答3.在知识的巩固中要注意与全等三角形的对比(第1课时)一、教学目标1.使学生进一步理解相似比的概念,掌握相似三角形的性质定理1.2.学生掌握综合运用相似三角形的判定定理和性质定理1来解决问题.3.进一步培养学生类比的教学思想.4.通过相似性质的学习,感受图形和语言的和谐美二、教法引导先学后教,达标导学三、重点及难点1.教学重点:是性质定理1的应用.2.教学难点:是相似三角形的判定1与性质等有关知识的综合运用.四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片、常用画图工具.六、教学步骤[复习提问]1.三角形中三种主要线段是什么?2.到目前为止,我们学习了相似三角形的哪些性质?3.什么叫相似比?[讲解新课]根据相似三角形的定义,我们已经学习了相似三角形的对应角相等,对应边成比例.下面我们研究相似三角形的其他性质(见图).建议让学生类比“全等三角形的对应高、对应中线、对应角平分线相等”来得出性质定理1.性质定理1:相似三角形对应高的.比,对应中线的比和对应角平分的比都等于相似比∽ ,,教师启发学生自己写出“已知、求证”,然后教师分析证题思路,这里需要指出的是在寻找判定两三角形相似所欠缺的条件时,是根据相似三角形的性质得到的,这种综合运用相似三角形判定与性质的思维方法要向学生讲清楚,而证明过程可由学生自己完成.分析示意图:结论→∽(欠缺条件)→∽(已知)∽ ,BM=MC,∽ ,以上两种情况的证明可由学生完成.[小结]本节主要学习了性质定理1的证明,重点掌握综合运用相似三角形的判定与性质的思维方法.七、布置作业教材P241中3、教材P247中A组3.八、板书设计数学教案-相似三角形的性质三角形中线的性质第3篇三角形中线的性质:三角形的三条中线都在三角形内;三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心;直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2;三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段等。

直角三角形斜边上的中线的性质及其应用

直角三角形斜边上的中线的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用而且斜边上的中线将“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一,恰当地构造并直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形,如能善于把握图形特征,下面举例说借助直角三角形斜边上的中线,往往能帮助我们迅速打开解题思路,从而顺利地解决问题,明.一、有直角、有中点,连线出中线,用性质 BC的中点,CE是△ABC的两条高,M是例1.如图1,BD、有什么关系?证明你的猜想.DE的中点.试问:MN与DEN是DE.垂直平分猜想:MN1图1,∴NDBC,又NE=、MD,在Rt△BEC中,∵点M是斜边BC的中点,∴ME=证明:如图:连接ME2DE.垂直平分的垂直平分线,∴NM⊥DE.即直线MN是线段DEMN,“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”评析:题目中给出了三角形的两条高与两个中点,联想问题便迎刃而解.二、有直角、无中点,取中点,连线出中线,用性质1A DADBC,∠CBE=,∠ABE例2.如图2,在Rt△ABC中,∠C=902DE=2AB0∥,求证:FAB相等,分析:欲证DE=2AB,则可寻DE的一半,再让其与2图E 1B取DE的中点F,连AF,则AF=FD=DE,可证得△AFD, C2△ABF均为等腰三角形,由此结论得证.1DE,所以∠DAF=∠ADF,又因为AD∥BCAFF,连,则AF=FD=,所以∠CBE=∠ADF,证明:DE的中点21∠ABE,所以∠ABF=又因为∠CBE=∠AFB,所以AF=AB,即DE=2AB.2评析:本题是有直角、无中点的情况,这时要取直角三角形的斜边上的中点,再连结该点与直角顶点,然后用性质来解决问题.P 三、有中点、无直角,造直角,用性质CD CD的中点,N是AB、,梯形ABCD中,AB∥CD,M、.如图例33N K 0 BCD=270,∠ADC+∠1M A B.MN=(AB-CD)求证:3图20证明:延长AD、BC交于P,∵∠ADC+∠BCD=270,、MK重合,则P、N于APB=90,连结PN,连结PM交DCK,下证N和∴∠11CD,PM=BM=DM=AB,0三点共线,PM分别是直角三角形△PDC、△PAB斜边上的中线,∴PN=CN=DN= 、∵PN22∵∠PNC=2∠PDN=2∠A,∠PMB=∠PKC=2∠A,∴∠PNC=∠PKC,∴N、K重合,1(AB-CD).∴MN=PM-PN=2评析:本题只有中点,而没有直角,这时要想方设法构造直角,应用性质,而条件中正好有角的关系“∠0,这样问题就易以解决了”BCD=270∠ADC+DA 四、逆用性质解题E,使CE=CA,至例4.如图4,延长矩形ABCD的边CP的中点.是AEODP.求证:BPEBC4图,于点O,连结PO证明:如图3,连结BD交AC AO=OC=OB=OD∵四边形ABCD是矩形,∴,11,EC=AC∵PA=PE,∴PO=,∴PO=BDEC,∵22.BP⊥DPOP=OB=OD即,∴“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的,而它的逆定理往往被评析:的一半.BD边的中线等于BD大家所忽视,本题就是利用这个性质构造△PBD,证请同学们试一试吧!于E,于D,DE交BCDE1.如图5,△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠CBD,BD⊥A 1CD=BE.求证:2 BC的于BCD,M是2.如图6,△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥D.中点,求证:AB=2DM ACE B5图M·C B D6 图1应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一BEBE是直角三角形的斜边,由1.提示:结论中的2DFC.,即证∠C=∠DF,故应取BE的中点F,连结,只需证明DC=DF半”即可.、,连结DNMN2.提示:取AB的中点N直角三角形斜边上中线性质的应用它为证明线同时也是常考的知识点.直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质,下面谈谈直角三角形斜边上中线的线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

三角形的中线与高线的性质

三角形的中线与高线的性质

三角形的中线与高线的性质三角形是几何学中最基本的一个概念,是由三条边和三个顶点组成的多边形。

在三角形中,有一些特殊的线段,如中线和高线,它们具有一些独特的性质。

本文将针对三角形的中线和高线进行探究,从几何的角度来分析它们的性质。

一、中线的性质中线是连接三角形的两个顶点和另一边中点的线段,对于任意一个三角形,都有三条中线。

下面我们将讨论中线的一些性质。

性质1:三角形中线的长度对于任意一个三角形ABC,连接三角形顶点A和边BC的中点D,我们可以证明:中线AD的长度等于边BC长度的一半。

即AD = 0.5 * BC。

证明:由于D为边BC的中点,所以BD = CD,根据勾股定理,得到BD^2 = AB^2 - AD^2CD^2 = AC^2 - AD^2将上述两式相加,得到BD^2 + CD^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AD^2由于BD = CD,代入上式,得到2 * BD^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AD^2即2 * BD^2 + 2 * AD^2 = AB^2 + AC^2将AB = BD + AD,AC = CD + AD代入上式,得到2 * (BD^2 + AD^2) + 2 * AD^2 = (BD + AD)^2 + (CD + AD)^2化简得4 * AD^2 + 2 * AD^2 = BD^2 + 2 * BD * AD + AD^2 + CD^2 + 2 * CD * AD + AD^2约掉相同项,得到3 * AD^2 = BD^2 + CD^2由BD = CD,将上式化简得3 * AD^2 = 2 * CD^2即AD^2 = (2/3) * CD^2即AD = sqrt((2/3)) * CD同理可得AB和AC的关系,因此AB = AC = sqrt((2/3)) * CD所以中线AD的长度等于边BC长度的一半。

即AD = 0.5 * BC性质2:三角形中线的交点对于任意一个三角形ABC,它的三条中线AD, BE和CF交于一点G,称为三角形ABC的重心。

八年级数学《巧用设疑激思,探究直角三角形的斜边上中线的性质》教学案例人教版

八年级数学《巧用设疑激思,探究直角三角形的斜边上中线的性质》教学案例人教版

设疑激思的教学案例《巧用设疑激思,探究直角三角形的斜边上中线的性质》内容提要:“学起于思,思源于疑。

”在课堂教学中,适时适度的设疑,巧妙的设疑,能充分调动学生的学习积极性,激发求知欲望,开拓学生思维,提高教学效果。

直角三角形斜边上的高等于斜边的一半,在与勾股定理,等腰三角形的相关内容结合时,常常作为一个条件来应用。

关键词:案例设疑激思直角三角形斜边中线所谓设疑激思,就是根据学生的好奇心理和求知欲望,在教学中,教师运用一定的方式、方法、技巧设置问题,制造疑惑,然后引导学生带着问题探究学习,充分发挥学生的主体作用,进而完成教学任务的一种教学方法。

“学起于思,思源于疑。

”在课堂教学中,适时适度的设疑,巧妙的设疑,能充分调动学生的学习积极性,激发求知欲望,开拓学生思维,提高教学效果。

本文拟尝试用一节习题课,来体现设疑激思法在数学教学中的应用Array人教版八年级数学下册矩形一节,由矩形的对角线性质“矩形的对角线相等”我们得到了直角三角形的一个重要性质:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”1如图:△ABC中,∠ACB=90o,点D是斜边AB的中点,则CD=AB2对于这条性质,教材的要求较低,但在与其他相关的知识结合时,运用却相当广泛,并且这条性质常常作为一个重要的条件出现,为了使学生熟练地掌握和运用,我在习题课上分层次设置了一下几个设疑激思的环节,来提高学生“设疑——探究——释疑”的能力。

一、基本应用:1、如图Rt △ABC 中,ACB =90o ,AC =5,BC =12,求斜边上的中线CD 的长 解(略)2、如图,Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,如果CD =5,AC =6,你能求出BC 的长吗?设计理念:直接应用性质,可以使所有学生有愉悦的体验,进而提高兴趣,增强信心。

解:∵CD 是斜边AB 上的中线,CD =5 ∴斜边AB =10 根据勾股定理,得 BC 2=AB 2-AC 2=64 ∴BC =8探究结论:这条性质说明了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系,只要给出了性质的题设,我们就可以利用结论进行计算。

中线的性质

中线的性质

中线的性质
1、三角形的三条中线都在三角形内;
2、三角形的三条中线交于一点,该点叫做三角形的重心;
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的1/2;
4、三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4;
5、三角形重心将中线分为长度比为1:2的两条线段。

三角形的中线是接三角形顶点和它的对边中点的线段。

每个三角形都有三条中线,它们都在三角形的内部。

在三角形中,三条中线的交点是三角形的重心。

三角形的三条中线交于一点,这点位于各中线的三分之二处。

三角形的中线与三角形的中位线,这两者也只有一字之差,它们的不同点是:“三角形的中线”指的是连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段;“三角形的中位线”指的是连接三角形两边中点的线段。

而这两个概念又存在着共同点:
1、都是线段;
2、每一个三角形都有三条中线,也都有三条中位线。

归纳总结
“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用
“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性
质之一,而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形,如能善于把握图形特征,恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线,往往能帮助我们迅速打开解题思路,从而顺利地解决问题。

①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形;
②分成的两个等腰三角形的腰相等,两个顶角互补、底角互余,并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质,同时也是常考的知识点.它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。

三角形的中线及中位线性质的运用举例

三角形的中线及中位线性质的运用举例

直角三角形斜边上中线性质的运用在直角三角形中有这样一个十分重要而又运用广泛的性质:直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.下面就这一性质的应用举例说明.例1 如图1,已知,△ABC 中,CE ⊥AD 于E ,BD ⊥AD 于D ,BM =CM .求证:ME =MD .分析 要证明ME =MD 首先想到的要证明两个角相等,可没有足够的条件,但有中点和垂线,于是想到通过辅助线构造直角三角形,利用直角三角形斜边上的中线性质证明.证明 延长DM 与CE 交于N .因为CE ⊥AD 于E ,BD ⊥AD 于D , 所以CE ∥BD ,即∠NCM =∠DBM ,又∠CMN =∠BMD ,BM =CM ,所以△CMN ≌△BMD , 所以NM =DM ,即M 为ND 中点.因为CE ⊥AD 于E ,所以△NED 为直角三角形,所以ME =12ND ,所以ME =MD .例2 如图2,BD 、CE 是高,G 、F 分别是BC 、DE 的中点,求证:FG ⊥DE .分析 有三角形高就会想到直角三角形,有中点当然会联想到直角三角形斜边上的中点性质和等腰三角形的性质,于是,连结DG 、EG ,可得DG 、EG 分别是Rt △BDC 和Rt △BEC 的中线,可知△GDE 是等腰三角形,进而由F 是DE 的中点,即FG ⊥DE .证明 因为BD 、CE 是高,所以∠BDC =∠BEC =90°, 即△BDC 和△BEC 都是直角三角形. 又因为G 是BC 的中点,所以DG =EG =12BC ,即△GDE 是等腰三角形. 因为F 是DE 的中点,所以GF 是等腰三角形GDE 的底边DE 上的中线, 所以由等腰三角形的“三线合一”,得GF 也是底边DE 上的高线,EDBCA FG图2N ED CBAM图1所以FG ⊥DE .例3 如图3所示,点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点,DF 、CE 交于点M ,CE 的延长线交DA 的延长线于G ,试探索:(1)DF 与CE 的位置关系;(2)MA 与DG 的大小关系.分析(1)要探索DF 与CE 的位置关系,由图可以猜想到DF ⊥CE ,而由条件可以证明△EBC ≌△FCD ,则有∠ECB =∠FDC ,即可证明DF ⊥CE .(2)仍然通过观察分析图形,可以猜想MA =12DG ,而事实上,由(1)可知△DMG 是直角三角形,再由条件可得△GAE ≌△CBE ,即得GA =CB ,于是利用直角三角形斜边上的中线性质即可证明.解(1)DF ⊥CE .理由:因为点E 、F 分别为正方形ABCD 边AB 、BC 的中点, 所以∠B =∠FCD =90°,BE =12AB ,CF =12BC ,而AB =BC =CD ,即BE =CF , 所以△EBC ≌△FCD ,所以∠ECB =∠FDC ,而∠DFC +∠FDC =90°,所以∠DFC +∠FCM =90°, 即∠CMF =90°,所以DF ⊥CE . (2)MA =12DG .理由:因为F 是AB 的中点,所以AE =BE , 又∠GAE =∠B ,∠AEG =∠BEC ,所以△GAE ≌△CBE ,所以GA =CB . 而由(1)可知△DMG 是直角三角形,所以MA =12DG . 例4 已知:如图4,□ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O ,EF ⊥AC ,O 是垂足,EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ,且BE =OE =12AE .求证:□ABCD 是矩形.EDBCA FGM 图3图4ABCEGFOD分析 要证□ABCD 是矩形,只要证AC =BD 或OA =OB 即可.由BE =OE =12AE ,可作出Rt △AOE 斜边上的中线OG ,这样可证得△AOG ≌△BOE ,于是证得OA =OB .证明 取AE 的中点G ,连结OG ,所以Rt △AOE 中,OG =12AE =AG , 因为BE =OE =12AE ,所以OE =OG ,AG =BE ,即∠OGE =∠OEG , 所以∠AGO =∠OEB ,所以△AGO ≌△BEO ,所以OA =OB ,又四边形ABCD 是平行四边形,所以AC =2OA ,BD =2OB ,即AC =BD , 所以□ABCD 是矩形.综上所述,利用直角三角形斜边上中线的性质解题时,应依据条件,贯例图形,通过分析,把问题转化为证明线段相等,或通过辅助线,构造出直角三角形,利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,同时兼用全等三角形的知识,从而逐步逼近结论.在几何证明中,另外,熟练地识别图形、善于构造图形,并运用图形的性质进行推理论证是十分重要的.下面一道题目供同学们自己练习:如图6所示,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠C +∠D =90°,E 、F 为AB 、CD 的中点.求证:CD -AB =2EF .提示:作EM ∥AD 交CD 于M ,EN ∥BC 交CD 于N .利用直角三角形斜边上中线等斜边的一半.图6FEDCBA聚焦中位线定理的运用中位线定理是三角形一个重要定理.有一个特点,在同一个题设下有两个结论:一个结论是表明两条线段的位置关系(平行),另一个结论是表明两条线段的数量关系(一半).在应用这个定理时,不一定同时需要两个结论,有时需要平行,有时需要倍分关系.可以根据具体情况,按需选用.现举例说明中位线定理的运用.一、用于证明平行例1 在△ABC 中,BD 平分∠ABC ,A D ⊥BD,垂足为D ,AE=EC. 求证:DE ∥BC.图1CFEDBA证明:延长AD 交BC 于点F. 因为BD 平分∠ABC , 所以∠ABD =∠CBD. 因为A D ⊥BD,所以∠BDA =∠BDF=900. 又BD=BD,所以△BDA ≌△BDF(ASA). 所以AD=DF.又因为AE=EC,所以DE ∥FC, 即DE ∥BC (三角形的中位线定理). 二、用于证明角相等例2 如图2,四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于O ,已知AC=BD,M,N 分别是AD 、BC 的中点,MN 与AC 、BD 分别交于E 、F 点.求证:∠AEN=∠BFM.图24312FEBAP NMCD分析:可取CD 或AB 的中点构造中位线. 证明:可取AB 的中点P ,连接PM 、PN. 因为AM=MD,AP=BP,BN=NC, 所以MPBD 21,PN AC 21(三角形中位线定理). 所以∠1=∠3,∠2=∠4. 又因为AC=BD, 所以MP=NP, ∠3=∠4, 所以∠1=∠2.所以∠AEN=∠BFM (等角的补角相等). 三、用于证明线段相等例3 如图3,△ABC 的AB 、AC 向形外作正三角形ABD 和ACE,分别取BD 、BC 、CE 的中点P 、M 、Q.求证:PM=QM.图3QPCAD分析:中点P 、M 所在线段DB 、CB 有公共端点B ,若连接它们的另一端D 、C ,则PM 使成为△BCD 的中位线,同理连接BE 之后MQ 也成为△BEC 的中位线,通过中位线定理的传递,问题转化为证明DC 与BE 相等.证明过程由同学们自己完成!四、用于证明线段的特殊关系例4 如图4,已知四边形ABCD 中,E 、F 、G 、H 分别为AB 、CD 、AC 、BD 的中点,且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上,求证:EF 和GH 互相平分.分析:要证明EF 和GH 互相平分,可证明四边形EGFH 是平行四边形;有中点,可考虑利用中位线定理.图4GHBE ACFD证明:连接EG 、GF 、FH 、HE. 因为AE=EB, BH=HD, 所以EH AD 21. 同理FG AD 21. 所以EHFG.所以四边形EGFH 是平行四边形. 所以EF 和GH 互相平分.巧用中线的性质解题我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高,这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题.一、巧算式子的值例1 在数学活动中,小明为了求23411112222++++ (1)2n +的值(结果用n 表示),设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求23411112222++++ (1)2n +的值.图1解析:从图中可以看出大三角形的面积为1,根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知,23411112222++++…12n +12n +表示:组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和,于是23411112222++++ (12)n +112n =-.【点评】此题运用“数形结合思想”,借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积例2 如图2,长方形ABCD 的长为a ,宽为b ,E 、F 分别是BC 和CD 的中点,DE 、BF 交于点G ,求四边形ABGD 的面积.图2 解析:连接CG ,不难得出BCFSDCE S=4ab=,从而BEGDFG S S=,由E 、F 分别是BC 和CD 的中点,可得△DGF、△CFG、△CEG、△BEG的面积相等,因此S四边形ABGDab=-4ab43⨯23=ab.【点评】本题的难度较大,通过连接CG,巧妙地把四边形ABGD以外的部分分成四个面积相等的三角形.像CG这样原题中没有,但我们在解题的过程中用它来“辅助”解决问题的线,称之为“辅助线”.三、巧等分土地例3.有一块三角形优良品种试验基地,如图3所示,•由于引进四个优良品种进行对比试验,需将这块土地分成面积相等的四块,请你制定出两种以上的划分方案供选择(画图说明).图3解析:可根据中线的特征,先分为两个面积相等的三角形,然后再依次等分.方案1:如答图(1),在BC上取D、E、F,使BD=ED=EF=FC,连接AE、ED、•AF.(1) (2) (3)方案2:如答图2,分别取AB、BC、CA的中点D、E、F,连接DE、EF、DF.方案3:如答图3,分别取BC的中点D,CD的中点E,AB的中点F,连接AD、AE、DF.【点评】三角形面积计算公式为12×底×高,因此解题的关键是找出底、高分别相等的四个三角形.对于本题,同学们!你还有别的方法吗?试试看.。

三角形中线一条性质的探究、应用与拓展

三角形中线一条性质的探究、应用与拓展

三角形中线一条性质的探究、应用与拓展性质:平行于三角形一边的直线被另两边(或另两边的延长线)所截得的线段被这边上的中线(或其延长线)平分。

如图,△ABC 中,AD 平分BC ,EF ∥BC ,求证:AD 平分EF .AB C DEF G 证明:∵EF ∥BC∴EG ∶BD =AG ∶AD ;FG ∶CD =AG ∶AD∴EG ∶BD = FG ∶CD∵BD =CD∴EG = FG .结论得证.我们不妨将该结论称为“三角形中线性质定理”.这条性质的运用,现举例如下:例1. △ABC 中,DE ∥BC ,CD 交BE 于F ,求证:AF 平分DE 和BC .ABC D EF G MN分析:根据“三角形中线性质定理”,结论中只需证得其一,即可得其二. 证明:过B 作BG ∥DC ,交AF 延长线于点G ,连CG .∵BG ∥DC ,DE ∥BC∴AD ∶AB =AF ∶AG ;AD ∶AB =AE ∶AC∴AF ∶AG =AE ∶AC \∴CG ∥BE∴BGCF 为平行四边形∴BN =CN∵DE ∥BC∴DM =EM .例2 如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠B +∠C =90°,M 、N 分别为AD 、BC 的中点,求证:MN =12(BC -AD ).N M EDC B A证明:延长BA 、CD 交于点E ,连接EN .∵BN =CN ,AD ∥BC ,据“三角形中线性质定理”,EN 平分AD ,即EN 过点M .∵∠B +∠C =90°,∴EN =12BC . 同理,Rt △EAD 中,EM =12AD . ∴MN =12(BC -AD ). 例3 如图,Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,E 为CD 中点,AE 延长线交BC 于点F ,FG ⊥AB 于G ,求证:FG 2=FC ·FB .HG FED C BA证明:延长GF 与AC 延长线交于点H .∵CD ⊥AB ,FG ⊥AB∴CD ∥FG∵CE =DE∴FG =FH∵∠ACB =90°∴∠HCF =∠FGB =90°∵∠HFC =∠BFG∴△HFC ∽△BFG∴FG ∶FC =FB ∶FH∴FG ·FH =FC ·FB∴FG 2=FC ·FB .显然,利用比例性质,以上“三角形中线性质定理”可作如下推广(如图所示):1. △ABC 中,EF ∥BC ,若BD ∶DC =k ,则EG ∶FG =k (如图1).2.△ABC 中,GH ∥BC ,若BD ∶DE ∶EF ∶…= a ∶b ∶c ∶…,则GM ∶MN ∶NP ∶…= a ∶b ∶c ∶…(如图2).图2图1…A B C D E FG H M N P A B C D EF G。

巧用三角形中线的性质

巧用三角形中线的性质

巧用三角形中线的性质-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One12 巧用三角形中线的性质例1. 已知(如图)AD 是ABC ∆的中线,求证AB+AC>2AD分析:要证两条线段的和大于第三条线段,很显然要根据三角形三边关系定理“两边之和大于第三边”这一知识来证,而图形中要证的三条边不再同一个三角形中,因此,我们要利用这一结论,就必须重新构造出一个三角形的三边的长度恰好等于要证的三条线段长度,从而达到目的。

由已知:AD 是BC 边上的中线,很显然有BD=DC ,在此基础上构造出另外一条线段使其与AD 相等,即延长AD 至点E ,使AD=DE ,这样不但出现了二倍的AD ,同时又出现了两个全等的三角形,即ADC EDB ∆≅∆(SAS ),从而有AC=BE 。

这样我们要证的三条线段就出现在一个三角形之中,进而可以得出我们要证的结论,这是巧妙地利用中线这一特殊的线段(证明略)例2. 已知(如图)AE 是ABD ∆中BD 边上的中线,AB=CD ,BAD=ADB ∠∠。

求证:AC=2AE.分析:这也是一道巧用中线的证明题,原题要求我们证出AC=2AE 。

而AE 在图形中恰好是一个三角形的中线,我们知道要证两条线段相等,只要证两条线段所在的两个三角形全等就可以啦。

而图形中没有2AE 这条线段,这样我们就必须构造出一个全新的三角形,使其中一边的长为2AE ,延长AE 至点F ,使AE=EF(AF=2AE),连结BF ,从而得到一个新的三角形ABF ∆。

进而证得ABF ∆ 和ADC ∆全等,从而证出AC=AF,即AC=2AE 。

例3. 如图,在△ABC 中,AB=AC=16cm ,D 为AB 的中点,DE ⊥AB 交AC 于E ,△BEC 的周长为26cm ,求△ABC 的周长。

分析:由于AD=BD , 0ADE=BDE=90∠∠,DE=DE 可得ADE BDE ∆≅∆,所以AE=BE ,BEC ∆周长=BE+CE+AC ,ABC ∆周长=AB+AC+BC=AB+AE+EC+BC =AB+BE+EC+BC =AB+BEC ∆周长。

中考经典题型--“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

中考经典题型--“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一,而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形,如能善于把握图形特征,恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线,往往能帮助我们迅速打开解题思路,从而顺利地解决问题,下面举例说明.一、有直角、有中点,利用垂直平分线性质【例1】如图,BD 、CE 是△ABC 的两条高,M 是BC 的中点,N 是DE 的中点.求证:MN 垂直平分DE .二、有直角、无中点,取中点,连线出中线【例2】如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AD ∥BC ,∠CBE=21∠ABE ,求证:DE=2AB .三、有中点、无直角,造直角【例3】如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,M 、N 是AB 、CD 的中点,∠ADC+∠BCD=270°,求证:MN=21(AB -CD ).四、逆用性质解题 【例4】如图,延长矩形ABCD 的边CB 至E ,使CE=CA ,P 是AE 的中点.求证:BP ⊥DP .【习题练习】1、如图,△ABC 中,AB=AC ,∠ABD=∠CBD ,BD ⊥DE 于D ,DE 交BC 于E ,求证:CD=21BE .2、如图,△ABC 中,∠B=2∠C ,AD ⊥BC 于D ,M 是BC 的中点,求证:AB=2DM .3、如图,在四边形ABCD 中,∠DAB=∠DCB=90°,点M 、N 分别是BD 、AC 的中点.确定MN 、AC 的位置关系.直角三角形斜边上中线性质的应用 一、直角三角形斜边上中线的性质 1、性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图,在Rt △BAC 中,∠BAC=90°,D 为BC 的中点,则BC 21AD =. 2、性质的拓展:如图:因为D 为BC 中点,所以BC 21DC BD ==, 所以AD=BD=DC=BC 21, 所以∠1=∠2,∠3=∠4,因此∠ADB=2∠1=2∠2,∠ADC=2∠3=2∠4.因而可得如下几个结论:①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形;②分成的两个等腰三角形的腰相等,两个顶角互补、底角互余,并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍.二、性质的应用1、21倍关系求值 例1、如图,CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线,若CD=4,则AB= .2、证明线段相等例2、如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,延长BA 到D 点,使AB 21AD =,点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点.(1)求证:DF=BE ;(2)过点A 作AG ∥BC ,交DF 于G .求证:AG=DG .3、证明角相等及角的倍分关系例3、已知,如图,在△ABC中,∠BAC 90°,BD、CE分别为AC、AB上的高,F为BC的中点,求证:∠FED=∠FDE.例4、已知:如图,在△ABC中,AD是高,CE是中线。

一个三角形中线性质的妙用

一个三角形中线性质的妙用

一个三角形中线性质的妙用:勰:中学数学教学参考2003年第1~2合期个三角形中线性质的妙用广东省深圳大学附中高一(2)班王开指导老师王扬在初中阶段,我们学习了许多关于三角形的性质,其中三角形中线性质:在三角形中,三条中线交于一点(这一点通常被称为三角形的重心),且重心把每一条中线分为从顶点到重心与从重心到中线所在边中点距离之比为2:1的两条线段,这是人所共知的.然而,三角形中线的另一个性质(下称"中线模型"):"设AD为△ABC的BC边上的中线,任作EF,使EF//BC,分别交AB,AD,AC(或其延长线)于E,P,F,如图1,那么AD穿过AEF的中点P,即FP=PE."B却很少在课堂上应用,也未引起同学们的重视.故拈来几题,以示应用.DC图1这个与中线相关的平分线段的结论看似平常,结论一目了然,但它的用处却万万不能低估,因为许多涉及一条直线上两线段相等的较难下手,且不易出招儿的几何问题,一旦联想到这一结论,问题的证明立刻变得简单明了.请看下面几个例子:例1如图2,设AB为o0H直径,AC为oo的切线.连结BC,过C作oo的切线,切点为点D,作EDJ_AB,BC,DE交于点M,求证:DM=ME.CA.DB证明:连结BD并延长交AC图2的延长线于H,连结AD,由题目条件知DAB= AHB,又CD为oo的切线..'.CAD=CDA:ABH,从而HDC=DAB=CHD,..CH=CD,再注意到CD=CA,.'.CA=CH,但DE∥AH,根据中线模型可知M为DE的中点..'.DM=ME.师评:这是一个比较陈旧的几何证明题,一般的想法是:延长CD与过B的切线相交,进而利用梯形性质等获证,而这里利用中线模型证明本题,思路简捷,别具一格.例2如图3,设oo为AABC的边BC外的旁切圆,D,E,F分别是oo与边BC,CA,AB(或延长线)的切点,若OD与EF相交于K,求证:AK平分BC (数学教学.1999,1~2.问题472)证明:过点K作MN//BC,分别交AB,AC的延长线于M,N.连结MO,FO,NO,EO,易知oFE=oEF;.oDJ_BC,.'.oDj_MN,而oFj_AM,..M,F,K,o四点共圆,.'.OFE:NMO,同理由0,E,N,K四点共圆,知FEO=A图3MNO,..MNO=OMN,OK为等腰/',OMN的底边MN的中垂线,.'.MK=KN,即AK平分BC. 师评:这一证法的优点在于准确把握线段BC的特性,及时构造中线模型,恰到好处的两次运用(M, F,K,0;0,E,N,K)四点共圆,将中线(还不能确定的中线AK)两边看似毫不相关的角(MNO,o^)转化为一个等腰三角形的两底角,使其边MN上的垂线(OK)变为等腰△OMN底边上的垂线——中垂线,进而证得本题.上述方法明显优于原作者的证明.例3如图4,在△ABC中,有一内切圆I,分别切BC,CA,AB于点D,E,F.连结,D反向延长交EF于H,连结AH并延长交BC于P.求证:BP=PC.证明:过点H作MN//BC分别交AB,AC于M,N,连结MI,NI,EI,FI.A图4.,DJ_BC,即MNJ_DH,..MHI=IFM=90.,..M,F,H,,四点共圆.又.IEN=IHN:90.,..H,,,E,N四点共圆..l=IFE=lEF=1..'./',MIN为等腰三角形,从而IH便是MN上的中垂线,.'.MH=PIN,又.MN//BC,..CP=PB.师评:这一题目的证法再次显示了构造中线模型的独特威力;另一方面,从图形结构上看,本题实质上中学数学教学参考2003年第1~2合期是上题中的圆从/x.ABC外平移到△ABC内的情形. 例4如图5,设④0的直径为AB,AC为④0的切线,过点C作割线与④o交于D,E.且BD,BE和CA)所在直线的交点分别为F,G,求证:OF=OGB证明:过0作OHA_DE.过D图5作DN∥CG交BE于N,交AB于M.连结MI-t,AH, DA...'CAB=OHC=90.,.'.C,0,H,A四点共圆..'.BAH=GCE:NDE.从而,D,M,H,A四点共圆..'.=DAB=DEB..'.MH∥BE.'.'DH=HE..'.DM=MN.'.'FG∥DN..'.FO=OG.师评:这是单埠《数学竞赛研究教程》中一题,我们将其介绍给学生,并未阐明题目的来历,原想让学生试试,没想到学生也能利用中线模型获证,十分难能可贵.例5过O0上一点A作切线AB及弦AC,过AC上任意一点D作019的垂线和AB交于B,C由B作割线和④0交于E,F,若CE,CF和BD交点为H,G,如图6,则DG=DH.证明:作ELM∥BG交AC,F图6ACF于L,M,作OK上BF,垂足为K,则FK=KE,连结OA,AK,KL,..'伽=0KB=0AB=90.,...D,0,K,A,B五点共圆,.'.GBF=脚=C,从而A,K,L,E四点共圆,LKB=EAC=CFB,...LK∥FC,又EK=KF,.'.EL=LM,.'.CL为△CME的边ME上的中线,由中线模型知,DG=DH.师评:在本题的证明过程中,巧妙构造共圆点组D,0,K,A,B与A,K,L,E是成功解决本题的关键所在,不规则的中线模型在此显得功力无比.证明线段相等,一般的想法是设法构造两个全等三角形等.而这里的构想中线模型是极具独特风格的证题方法,其证法简洁,易于掌握.上面的证明也告诉我们,在证明几何问题尤其是一些复杂问题时,构造一个辅助圆常常会使你的解题思路通畅,解题速度加快,解题长度缩短,自信心增强.数学学习的过程,就是不断作题巩固提高的过程,学生在平常的学习当中,能自觉建立某种数学模型,自觉将总结所得运用到自己的学习过程中,逐步扩展并条理化自己的知识系统,这是一个人从盲目学习走向有确定目标的成熟阶段的标志.我们认为,在基础知识具备的前提下,要想大幅度提高学生的解题能力,必须让学生做一些具有一定档次和灵活性的题目,由此掌握一些研究问题的方法,再及时,合理设置一些可研究性空间,对逐步培养学生研究能力极为有益.王开同学的这一做法,已给我们班同学的数学学习开了一个好头,也更鞭策自己从胜利不断走向胜利.陕西师大杂志社图书部向您推介书名定价内容简介《课堂内外名师助学》(初一数学上)8.00《课堂内外名师助学》(初二代数)10.00《课堂内外名师助学》(初二几何)11.00内容设计贯穿课前,课堂,课后教学全程,助学方《课堂内外名师助学》(初三代数)11.00法独到,预习提示一要点点击一规律总结一解题《课堂内外名师助学》(初三几何)11.00方法,环环相扣,层层深入,易学易懂,趣味盎然.《课堂内外名师助学》(高一数学上)12.00《课堂内外名师助学》(高二数学上)11.00高中数学应用开放题演练14.00按最新教材编排,针对性极强,各年级均可使用初中数学应用开放题演练11.00中考新题型数学8.00题型全面新颖,开阔视野,训练综合思维能力初中竞赛简读本数学11.00立足解题能力,着眼竞赛辅导介绍中学教学研究的内容,方法,指导撰写论文,中学教研与论文写作实用手册20 .00中学教师教学研究必备资料邮购以上图书请汇款至710062,陕西师大《中学数学教学参考》编辑部方程收10册起订,汇款时请附寄10%邮费,100~l--200册优惠15%,200册~30o册优惠20%,301册以上电话另议.。

三角形中与中点有关的两个性质的运用-

三角形中与中点有关的两个性质的运用-

图1-1F EDC BA 图1-2F EDC BA三角形中与中点有关的两个性质的运用江苏省通州市刘桥中学 吴锋三角形知识是初中数学的一个重要内容,特别是两个与中点有关的性质,在三角形及四边形的有关证明中使用尤为广泛,它们是直角三角形斜边上中线性质及三角形中位线性质.两条性质有的是独立使用,也有综合运用.主要反映在下面几点。

一、单独使用斜边中线性质,利用公共斜边找相等线段例1 如图1-1,四边形ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90°,E 为AC 中点,EF 平分∠BED.请猜想EF 与BD 的关系,并证明你的结论.分析:对于线段间关系的猜想,一般从两个角度考虑,一是大小关系,二是位置关系.就本题而言,EF 与BD 并无确定的大小关系,因而初步猜想位置关系为垂直.结合条件EF 平分∠BED ,联想到“三线合一”,可将目标转化证明BE=DE ,从而进一步明确最终猜想为EF 垂直平分BD.解:猜想:EF 垂直平分BD. 连结BE 、DE ,如图1-2 ∵∠ABC=∠ADC=90°, ∴△ABC 与△ADC 为直角三角形. ∵E 为AC 中点, ∴11,22BE AC DE AC ==, ∴BE =DE ,即△BED 是等腰三角形.PABCDEF图5-2O NM图2-2 图2-1FEDMNCB A ∵EF 平分∠BED, ∴EF 垂直平分BD.二、单独使用三角形中位线性质,将相等条件进行集中转化例2 如图2-1,已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,且AC=BD ,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗?分析:猜想两线段大小关系时,一般结果为相等,注意到两线段处于同个三角形,此时常用“等角对等边”进行证明.题中所给条件AC=BD 在任意四边形中不便直接使用,结合AB 、CD 中点,可取BC 中点,利用中位线,将AC 、BD 的相等关系转化到同一个三角形PMN 中,易证PM=PN ,所以∠PMN=∠PNM,再将其转化为∠OEF=∠OFE,完成证明.解:取BC 中点P ,连结PM 、PN ,如图2-2, ∵M、N 分别是AB 、CD 的中点, ∴11,22PM AC PN BD ==. ∵AC=BD, ∴PM=PN∴PMN PNM ∠=∠. 又PM∥AC,PN∥BD,∴,PMN OFE PNM OEF ∠=∠∠=∠, ∴OFE OEF ∠=∠, ∴OE=OF .三、综合使用斜边中线及中位线性质,证明相等关系问题例3 如图3-1,等腰梯形ABCD 中,CD ∥AB ,对角线AC 、BD 相交于点O ,60ACD ∠=︒,点S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点.求证:△SPQ 是等边三角形。

巧用中线 轻松求面积(初中数学)

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巧用中线轻松求面积根据等底同高的三角形面积相等,我们得到三角形的中线具有一个重要的性质:“三角形的中线把三角形分成面积相等的三角形”.利用中线的这个性质我们可以快速地解决与面积相关的一类问题.例1如图1,AD是△ABC的中线,E是AD的中点,连接EB,EC,CF⊥BE于点F.若BE=9,CF=8,求△ACE的面积.解析:因为CF⊥BE于点F,所以S△BCE=12BE•CF=12×9×8=36.因为AD是△ABC的中线,所以BD=CD.所以S△EBD=S△ECD=12S△EBC=18.因为E是AD的中点,所以S△ACE=S△ECD=18.例2 如图2,在△ABC中,已知D为BC上一点,E,F分别为AD,BE的中点,且S△ABC=13.求△CEF的面积.解析:因为E为AD的中点,所以S△BDE=12S△ABD,S△CDE=12S△ACD.所以S△BEC=S△BDE+S△CDE=12S△ABC=132.又因为F为BE的中点,所以S△EFC=12S△BEC=134.例3如图3,已知△ABC的面积为36,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=CD,CE=2AE,AD与BE相交于点F,若△AEF的面积为3,则图中阴影部分的面积为.图3 图4解析:方法1:如图4,连接CF.因为△AEF与△CEF等高,CE=2AE,所以S△CEF=2S△AEF=6.因为BD=CD,所以S△ABD=S△AC D=12S△ABC=18.所以S△CFD= S△ACD-S△AEF-S△CEF=18-3-6=9.所以S△BFD=S△CFD=9.故填9.方法2:观察图形发现△ABD与△ABE的公共部分是△ABF,因此有S△ABD-S△ABE=(S△ABF+S△BDF)-(S△ABF+S△AFE)=S△BDF-S△AFE.因为BD=CD,所以S△ABD=12S△ABC=18.因为CE=2AE,所以S△ABE=13S△ABC=12.所以S△BDF-S△AFE= S△ABD-S△ABE=18-12=6. 所以S△BDF=3+6=9.故填9.图1图2第1 页共1 页。

三角形中线的一个简单性质及推广的妙用

三角形中线的一个简单性质及推广的妙用

图 2
B , G 由矩形 的性质知AA C的面积是矩形 A C B B D的面积
若点 D不是 B C的中点 , 则可得到这一性质的推广, 即如 图 2中 D是 AA C的 边 B B C上 任 意 一 点 , 为 因
AA D与 AA D中 B B C D与 C D边上 的 高线相 同 , 以 所
角形的中线等分 三角形 的面 积. 即如图 1A ,D是 AA C B 中曰 c边上 的中线 , . s 脚 = 1. 则 s c △ D= s
=s := 1 5
△ ^ 8c
分别是矩形 A C B D的边 A 、 C的中点 , BB 连结 A c 设 F、E, A C F、E交于点 G 则 , 等于
.o ÷四 s ∞= 边形A C △ BD的面 = . 积 ÷口
2 2

寸‘毒. (o年 7 初 版 7 f 29 第 期. 中 ) : o ?


・ 解题研究 ・
初 一第 2题 ) 如图 l , l矩形 A C B D中 , F是 C D的中点 , c B 3 E,D= H . B A 4 D 若长方形 的面 积是 3 0平方 米 , 阴 0 则 平方 米.

所 以 S 四 形 日 = △ G S 8 + △,+S 8 凹 边 ^ G S ^ + △£ S c c £ G G △


: :
, ,

图4

击 ÷ ,
= 一 1= 2 又因为矩形 A c l 了 了 B D的面积

则 .边 s 口
幽3
简析
如图4 令 E 、 相交于点 0, , G朋 分别连结 0 、 A

初中数学 三角形中线的性质应用2

初中数学  三角形中线的性质应用2

三角形中线的性质21.(1)阅读理解:如图1,在△ABC中,若AB=5,AC=8.求BC边上的中线AD的取值范围.小聪同学是这样思考的:延长AD至E,使DE=AD,连接BE.利用全等将边AC转化到BE,在△BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围.在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是,中线AD的取值范围是;(2)问题解决:如图2,在△ABC中,点D是BC的中点,点M在AB边上,点N在AC边上,若DM⊥DN.求证:BM+CN>MN;(3)问题拓展:如图3,在△ABC中,点D是BC的中点,分别以AB,AC为直角边向△ABC 外作Rt△ABM和Rt△ACN,其中∠BAM=∠NAC=90°,AB=AM,AC=AN,连接MN,探索AD与MN的关系,并说明理由.2.【问题情境】课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:如图①,△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是.A.SSSB.SASC.AASD.HL(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是.解后反思:题目中出现“中点”、“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.【初步运用】如图②,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=5,EC=3,求线段BF的长.【灵活运用】如图③,在△ABC中,∠A=90°,D为BC中点,DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系,并证明你的结论.。

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例1. 已知(如图)AD 是ABC ∆的中线,求证AB+AC>2AD
分析:要证两条线段的和大于第三条线段,很显然要根据三角形三边关系定理“两边之和大于第三边”这一知识来证,而图形中要证的三条边不再同一个三角形中,因此,我们要利用这一结论,就必须重新构造出一个三角形的三边的长度恰好等于要证的三条线段长度,从而达到目的。

由已知:AD 是BC 边上的中线,很显然有BD=DC ,在此基础上构造出另外一条线段使其与AD 相等,即延长AD 至点E ,使AD=DE ,这样不但出现了二倍的AD ,同时又出现了两个全等的三角形,即ADC EDB ∆≅∆(SAS ),从而有AC=BE 。

这样我们要证的三条线段就出现在一个三角形之中,进而可以得出我们要证的结论,这是巧妙地利用中线这一特殊的线段(证明略)
例2. 已知(如图)AE 是ABD ∆中BD 边上的中线,AB=CD ,BAD=ADB ∠∠。

求证:
AC=2AE.
分析:这也是一道巧用中线的证明题,原题要求我们证出AC=2AE 。

而AE 在图形中恰好是一个三角形的中线,我们知道要证两条线段相等,只要证两条线段所在的两个三角形全等就可以啦。

而图形中没有2AE 这条线段,这样我们就必须构造出一个全新的三角形,使其中一边的长为2AE ,延长AE 至点F ,使AE=EF(AF=2AE),连结BF ,从而得到一个新的三角形ABF ∆。

进而证得ABF ∆ 和ADC ∆全等,从而证出AC=AF,即AC=2AE 。

例3. 如图,在△ABC 中,AB=AC=16cm ,D 为AB 的中点,DE ⊥AB 交AC 于E ,△BEC 的周
长为26cm ,求△ABC 的周长。

分析:由于AD=BD , 0
ADE=BDE=90∠∠,DE=DE 可得ADE BDE ∆≅∆,所以AE=BE ,BEC ∆周长=BE+CE+AC ,
ABC ∆周长=AB+AC+BC=AB+AE+EC+BC =AB+BE+EC
+BC =AB+BEC ∆周长。

=。

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