巧用三角形中线的性质

例1. 已知（如图）AD 是ABC ∆的中线，求证AB+AC>2AD

分析：要证两条线段的和大于第三条线段，很显然要根据三角形三边关系定理“两边之和大于第三边”这一知识来证，而图形中要证的三条边不再同一个三角形中，因此，我们要利用这一结论，就必须重新构造出一个三角形的三边的长度恰好等于要证的三条线段长度，从而达到目的。

由已知：AD 是BC 边上的中线，很显然有BD=DC ，在此基础上构造出另外一条线段使其与AD 相等，即延长AD 至点E ，使AD=DE ，这样不但出现了二倍的AD ，同时又出现了两个全等的三角形，即ADC EDB ∆≅∆（SAS ），从而有AC=BE 。这样我们要证的三条线段就出现在一个三角形之中，进而可以得出我们要证的结论，这是巧妙地利用中线这一特殊的线段（证明略）

例2. 已知（如图）AE 是ABD ∆中BD 边上的中线，AB=CD ，BAD=ADB ∠∠。求证：

AC=2AE.

分析：这也是一道巧用中线的证明题，原题要求我们证出AC=2AE 。而AE 在图形中恰好是一个三角形的中线，我们知道要证两条线段相等，只要证两条线段所在的两个三角形全等就可以啦。而图形中没有2AE 这条线段，这样我们就必须构造出一个全新的三角形，使其中一边的长为2AE ，延长AE 至点F ，使AE=EF(AF=2AE),连结BF ，从而得到一个新的三角形ABF ∆。进而证得ABF ∆ 和ADC ∆全等，从而证出AC=AF,即AC=2AE 。

例3. 如图，在△ABC 中，AB=AC=16cm ，D 为AB 的中点，DE ⊥AB 交AC 于E ，△BEC 的周

长为26cm ，求△ABC 的周长。

分析：由于AD=BD , 0

ADE=BDE=90∠∠,DE=DE 可得ADE BDE ∆≅∆，所以AE=BE ，BEC ∆周长=BE+CE+AC ，

ABC ∆周长=AB+AC+BC=AB+AE+EC+BC =AB+BE+EC

+BC =AB+BEC ∆周长。

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