必修2第三章直线与方程复习导学案

专题复习：直线与方程

一、倾斜角与斜率

1. 当直线l 与x 轴相交时，我们把x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 . 则直线l 的倾斜角α的范围是 .

2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即tan k θ=. 如果知道直线上两点1122(,),(,)P x y P x y ，则有斜率公式 . 特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率

k ；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k = .

注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k = ；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k ；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k . 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.

二、两条直线平行与垂直的判定

1. 对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，有：

（1）12//l l ⇔ ；（2）12l l ⊥⇔ .

2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x 轴；…. 三、直线的方程：

①直线的点斜式方程和斜截式方程

1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为 .

2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为 .

3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为 ，或 .

4. 注意：0

0y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是

整条直线.

②直线的两点式方程和截距式方程 1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为 . 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.

4. 线段12

P P 中点坐标公式1212

(,)22

x x y y ++. ③直线的一般式方程

1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程 ，表示斜率为 ，y 轴上截距为 的直线.

2. 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为 ；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为 .

3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：

（1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.

如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222

A B C

A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.

四、两条直线的交点坐标

1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组111222

0A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组

有 解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组 解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有 解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.

2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是

1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 五、两点间的距离

平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：=21P P .

特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；

六、点到直线的距离及两平行线距离

1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为=d .

2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式 ，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122

2

2

2

||

||Ax By C C C d A B

A B

++-=

=

++

七、 对称问题

1.点关于点对称

如P （a ，b ）关于点M （x 0，y 0）的对称点为P 1,求P 1？ 分析：设P 1（x,y ）则由中点公式 x 0=

2x a +; y 0=2

y

b + 可知 x=2x 0－a; y=2y 0－b ∴P 1（2x 0－a , 2y 0－b ）

2. 点关于直线对称的点

设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2

＋B 2

≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为

（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ⊥l ；②PQ 的中点在l 上，解方程组可得 Q 点的坐标.

练习题

1．直线3310x y -+=的倾斜角是（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒

2.过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （ ）

（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0

3. 过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）

A. 012=-+y x

B. 052=-+y x

C. 052=-+y x

D. 072=+-y x 4. 已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ） A. 0 B. 8- C. 2 D. 10