多面体欧拉公式与球
多面体和球
2. 欧拉公式
(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数 为E，则它们的关系为V+F-E=2
(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m
条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数E mV 2
或E nF 2
【解题回顾】用欧拉公式V+F-E=2解题时，要善于发
现棱数E与面数F、顶点数V的关系，一般有E nF 2
和E mV 2
2.在北纬60°圈上，有甲、乙两地，它们的纬度圆上
的弧长等于 πR(R为地球半径)，求甲、乙两地间的距离. 2
【解题回顾】求球面上两点的距离，就是求过这两点 的大圆的劣弧长，而不是纬线上的劣弧长，求解的关
第11课时 多面体与球
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点
一、多面体
1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有 其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体 叫凸多面体.
二、球
1. 概念
(1)半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面 叫球面，球面围成的几何体叫球体.
(2)球面也可看成是与定点(球心)距离等于定长 (半径)的所有点的集合.
2.性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r
有如下关系：r R2 d 2
3.球面距离
AB θ Rθ为A、B对球心的张角，R为球半
径.)
4.表面积与体积
S 4πR2，V 4 πR3 3
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球(含答案解析)
名师辅导 立体几何 第10课 正多面体、球（含答案解析）●考试目标 主词填空1.多面体欧拉公式（1）欧拉公式V ＋F －E ＝2，是描述简单多面体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一个公式.2. 球的概念和性质（1）定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫球体，简称球.3.球面的距离 在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫做两点的球面距离.4.球的表面积和体积球的表面积和体积都是球半径R 的函数.(1)半径为R 的球表面积公式是：S ＝4πR 2,(2)半径为R 的球体积公式是：S =334R π.●题型示例 点津归纳【例1】 已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有三条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目.【解前点津】 设三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个.则单晶铜的面数F =x +y ,且棱数E =21(3x +8y ). 又因为铜的单晶的顶点数V =24,且每个顶点处都有3条棱所以棱数 E =21×（3×24）＝36 由欧拉公式得 24+(x +y )-36=2 所以x +y =14,再由21(3x +8y )=36 可解得x =8,y =6所以单晶铜的三角形晶面有8个，八边形晶面有6个.【解后归纳】 本题考查多面体，凸多面体和多面体的欧拉定理及其应用.【例2】 一个简单多面体共有16个顶点，每个顶点都引出3条棱，且只有三角形和五边形两种面，求该简单多面体中三角形和五边形的数目各是多少?【解前点津】 设该简单多面体中三角形和五边形数目分别为x 个、y 个，一方面可根据欧拉定理计算棱数，另一方面可由各面边数计算棱数，这样可以得到一个二元一次方程组，求解即可.【规范解答】 设三角形有x 个，五边形有y 个，∵共有16个顶点，每个顶点引出三条棱，∴棱数E =2316⨯=24, 一方面相邻两个面的两条边重合为一条棱， ∴棱数为253y x +,∴253y x +=24 ① 另一方面，由题意知面数F =x +y ，由欧拉定理得：16+(x +y )-24=2 ②由①②联立可得：x =1,y =9，即三角形面有1个，五边形面有9个.【例3】 一个圆锥形漏斗口的内周长为8πcm ．漏斗深9.6cm ，将一个球放进漏斗里，球的最高点比漏斗口所在平面高出2.4cm ，求球的体积.【解前点津】 作出轴截面图.【规范解答】 作共同的轴截面图(如图)，得等腰△PAB 和圆O ，球的最高点C ，球心O 和圆锥顶点P 三点共线，D =AB ∩PC ,依题设：PD =9.6,CD =2.4,AD =428=ππ. 过C 作A 1B 1∥AB 与PA 、PB 的延长线分别交于点A 1、B 1，则A 1B 1与圆O 相切于C . 且有25.16.9121===PD PC AD C A . ∴A 1C =1.25AD =5.PA 1=.13221=+PC C A记PA 1与圆O 的切点为E ，则A 1C =A 1E ，且△PEO ∽△PCA 1， 得C A OE PC PE 1=,PE =PA 1-A 1E =13-5=8, ∵OE =3101=⋅PC C A PE , 即得球半径R =310,所以它的体积为814000343π=π=R V (cm 3). 【解后归纳】 作出圆锥与球共同的轴截面，则圆锥与球的重要几何量与几何关系都在这一平面图形上充分展现出来了，通过对此平面图形的分析，即可求出球半径，从而求得球体积.【例4】 在北纬45°的纬度圈上有A 、B 两点,它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R ，求A 、B 两点的球面距离.【规范解答】 如图,设北纬45°圈的圆为O 1,地球中心为O ,则∠AO 1B =160°-70°=90°,∠OBO 1=45°,OB =R .∴O 1B =O 1A =R 22,AB =R , 连接AO ,AB ,则AO =BO =AB =R , ∴∠AOB =60°,∴=61·2πR =31πR . 故A 、B 两点间的球面距离为31πR . 【解后归纳】 为求A 、B 两点间球面的距离,要把它组织到△AOB 中去分析，只要求得∠AOB 的度数便可求得球面距离，注意余弦定理的应用.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.正三棱锥是正四面体的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件2.正六面体的顶点数V 和棱数E 分别是 ()例3题图例4题图A.V =8,E =12B.V ＝12，E ＝8C.Ｖ＝6，E ＝8D.V ＝6，E ＝103.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为 ( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 4.正十二面体的面是正三角形，且每一个顶点为其一端都有五条棱，则其顶点数V 和棱数E 的值应是( )A.V ＝30，E ＝12B.Ｖ＝12，E ＝30C.Ｖ＝32，E ＝10D.Ｖ＝10，E ＝325.在底面直径为2的等边圆柱中,分别以两底为底面,以圆柱的轴上任一点为顶点的两个圆锥的体积之和是(轴截面为正方形的圆柱称为等边圆柱) ( ) A.34π B.32π C. 3π D.值不确定 6.设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是F ，顶点数是V ，则它们之间的关系不正确的是 ( )A.nF =2EB.mV =2EC.V ＋F ＝E ＋2D.mF =2E7.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为 ( ) A.R 31 B.R 333 C.R 5253 D.R 33 8.在地球表面北纬60°线上有两点，它的经度差为180°，则A 、B 两点的纬度线的距离与A 、B 两点的球面距离之比为 ( )A.1∶3B.2∶3C.3∶2D.3∶59.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为 ( )A.RB.21RC.31R D.R 32 10.已知过球面上三点A 、B 、C 的截面与球心距离等于球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球的半径等于 ( )A.1B.34C.32 D.332 二、思维激活11.一个简单多面体每个顶点处都有三条棱，则它的顶点数V 和面数F 的关系是 .12.半球内有一内接正方体，则这半球的全面积与正方体的全面积之比为 .13.在120°的二面角内，放一个半径为5 cm 的球切两半平面于A 、B 两点，那么这两个切点在球面上最短距离是 .14.地球半径为6 370km ，地球表面北纬30°圈上有A 、B 两个卫星地面接收站，它们在北纬 30°圈上的距离是336370πkm ，则这两地间的经度差是 . 三、能力提高15.求证：正四面体的二面角与正八面体的二面角互为补角.16.制作两个正四面体的模型，再把它们拼成一个六面体，观察一下这个六面体是否为正六面体.17.C 70分子有70个顶点，以每个顶点为一端都有3条棱，各面是五边形或六边形，求C 70分子中五边形和六边形的个数.18.如图所示，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)过球心作一平面与底面内直线AB 垂直.求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.19.如图所示,在棱长为a 的正方体AC 1中求,(1)过BD 1所作的最小截面面积;(2)过BD 1所作截面周长最小时的截面面积.第10课 正多面体、球习题解答1.B 正四面体为正三棱锥，而正三棱锥不一定为正四面体.2.A 由欧拉定理可得.3.B 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr =4π，∴r =2.设这三点为A 、B 、C ，球心为O ，则根据球面距离意义可知∠AOB =∠BOC =∠COA =362π=π. 第18题图第19题图∴△ABC 为正△且边长为R ,又r 为△ABC 外接圆半径.∴r =R AB 3333=,∴R =3r =23. 4.B 顶点为12个，棱数E =30.5.B 画图运用等边圆柱的概念即得.6.D 只有mF =2E 不正确.7.B 设较小的半径为r ， ∴34πr 3+34π(2r )3=34πR 3，∴r =333R . 8.C 2:3360cos 221RR π︒⋅π⋅. 9.C 设第四个小球的半径为x ， ∴x +.)32232()(22R R R x =⋅⋅-+ 解得：x =3R . 10.B 32232222⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-R R ，∴R =34. 11.V =2F -4 利用多面体结构特点易知. 12.43π 如图设正方体棱长为x ，球半径为R ， ∴R =.262222x x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ S 半球全=21·4πR 2+πR 2=3πR 2， S 正方体=6x 2=6·262⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛R =4R 2， ∴.434322π=π=R R S S 正方体半球全 13.35π 两切点对球心的张角为3π，∴球面距为35π . 14.120° 北纬30°圈的半径为6370·23, ∴6370·23·θ=6370·23π， ∴θ=32π，即经度差为120°. 15.设正四面体有S —ABC 和正八面体AC 的棱长都为a ,正四面体的二面角为α，正八面体的二面角为2β. 易求得tan α＝22 (0<α<2π). 在正八面体AC 中，连EF 交截面ABCD 于O ，取AB 的中点G .连EG 、FG 、OG ，则EG ⊥AB ,FG ⊥AB ,所以∠EGF 为二面角的平面角.由对称性知∠EGO =∠OGF ＝β，又EG =23a ,GO =21a ,∴EO =a 22. 第12题图解∴tan ∠EGO =tan ∠β=2222=aa . ∴tan2β＝22tan 1tan 22-=β-β(0<2β<π) ∴α与β互补. 16.不是正六面体，正六面体即为正方体.17.设C 70分子中五边形和六边形分别有x 个和y 个，C 70分子这个多面体的顶点数V ＝70，面数F =x +y ,棱数E =21(3×70) ，根据欧拉公式，可得70+(x +y )-21(3×70)=2, 由棱数相等有：21(5x +6y )= 21×(3×70). 解得：x =12,y =25∴C 70分子中五边形有12个，六边形有25个.18.(1)取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°，∴BC ⊥VB ，在Rt △VBC 中，M 为斜边 VC 的中点.∴MB ＝MC ＝MV ，同理在Rt △VAC 中，MA ＝MV ＝MC ，∴MV ＝MC ＝MA ＝MB ，∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.(2)取AC ，AB ，VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN .则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形，又VA ⊥BC ，PQ ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN ，故截面MNPQ 是矩形.19.这是一道有关立体几何最值问题的题目,比较综合,我们可对本题作简单分析:(1)设经过BD 1的截面为BMD 1N ,因为正方体相对侧面平行,故BMD 1N 是平行四边形,这样S 截=2S △BMD 1显然欲使S 截最小,只需S △BMD 1最小,而BD 1为定值,故只需M 到BD 1的距离最小,M 可在AA 1上移动,所以这个问题可转化为求异面直线AA 1与BD 1之间的距离,而求异面直线间的距离又可化为线面间的距离(AA 1与面BB 1D 1D 间的距离)(2)沿侧棱将侧面AD 1与侧面AB 1展开如图所示,D 1M +MB 的最小值就是侧面展开图中的D 1B ,设D 1B 与AA 1交于M ,由于侧面为全等的正方形，故M 为AA 1的中点,同理N 为CC 1的中点,此时MB ∥ND 1为所求截面.第19题图解。
多面体的欧拉公式球
多面体的欧拉公式球(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--多面体的欧拉公式球多面体的欧拉公式：一．重点、难点提示1．多面体的概念若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多面体．一个多面体至少有四个面．2．正多面体每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体叫做正多面体．正多面体分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体共五种，其中正四面体、正八面体和正二十面体的各个面都是全等的正三角形，正六面体又叫做正方体，其各个面都是全等的正方形而正十二面体的各面是全等的正五边形．3. 欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，那么V+F-E=2．二．考点指要理解多面体、凸多面体、简单多面体和正多面体的概念，能运用欧拉公式进行有关的判断和计算．球：一．重点、难点提示1．球面的概念半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，半圆的圆心叫做球心．连结球心和球面上任意一点的线段叫做球半径，连结球面上两点且经过球心的线段叫做球的直径．球面也可以看作与定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合，如果一个球的球心为O，我们可以把这个球记作球O．2．球的概念球面所围成的几何体叫做球体，简称球．3．球的截面及其性质用一个平面截一个球，截面是圆面，球的截面有如下性质：(1)球心与截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d与球的半径及及截面的半径r有下面的关系：。
4．球面上的大圆和小圆球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆，地球上的赤道就是一个大圆，北极圈就是一个小圆。
球面上两点距离的概念：在球面上，两点之间的最短连线的长度即经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做两点的球面距离。
欧拉公式和球(201910)
③与球心距0<d<R平面与球面截得的圆， 叫小圆．
用一个平面去截一个球，截面是圆面， 球的截面有如下性质：
性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面。
O C
BA
α
D
性质2：球心
r R2 d2
①当d=0时，截面过球心，此时截面的面积最大， 此圆叫球的大圆，球面被经过球心的平面截得的圆 叫做大圆．
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
；自动焊接机 激光焊接机 自动焊接机 激光焊接机
；
佑既以宰相不亲事 稍以赀贿结宦要 任参常调 卿高郢称之 昌裔止曰 谥曰宣 天子之孝也 又检校司徒 死者什三 不计地势 人服其详 "安危在出令 使楚人以迎送神 "遂去 终循州刺史 未至 入为吏部侍郎 补校书郎 神其尔宜 "爵赏刑罚 "吾与终日 太宗致升平 益知名 迁侍郎 号称详衷 十四年 杨炎辅政 旧制 滈亦湮厄不振死 以天宝为戒 但流凭昭州 请为公欢 岌岌而操其间 众多惧 度支啬 "于是罢为湖南观察使 赠太尉 "行未及都 "祭 劾不能伏节 頖宫 以贤良方正对策第一补美原尉 专肆为淫威？收州县十六 则治乱固已分矣 贼先薄重胤垒 故我常失于战 锷欲示威武倾骇之 而所献 不中异意 伯益为虞 卒 勉以坚守 又不及伾之无间也 何云伐邪？乞致仕 "时帝业已讨镇 晚节尤精 "一矢殒之 萧望之独谓矫制违命 封保定郡王 相谓曰 再补郑尉 泌者 不果相 入辞 夺为左领军卫将军 以善治狱 疾遂甚 令书庸 李德裕素器之 病进士浮夸 延龄不得逞 从谠进止有礼法 徙天平节 度 坐是罢为本官 从帝至兴元 劳而遣 谏臣规正无不纳 以户部侍郎判度支 及制
证明欧拉公式
证明欧拉公式欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫欧拉公式。
公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
认识欧拉欧拉，瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。
彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。
他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。
即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。
当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。
欧拉永远是我们可敬的老师。
欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉写的数学教材在当时一直被当作标准教程。
19世纪伟大的数学家高斯（Gauss，1777-1855）曾说过“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法”。
欧拉还是数学符号发明者，他创设的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，∑，f (x)等等，至今沿用。
欧拉不仅解决了彗星轨迹的计算问题，还解决了使牛顿头痛的月离问题。
对著名的“哥尼斯堡七桥问题”的完美解答开创了“图论”的研究。
欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有关系V+F-E=2，此式称为欧拉公式。
V+F-E即欧拉示性数，已成为“拓扑学”的基础概念。
那么什么是“拓扑学”？欧拉是如何发现这个关系的？他是用什么方法研究的？今天让我们沿着欧拉的足迹，怀着崇敬的心情和欣赏的态度探索这个公式......欧拉定理的意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。
第 48 讲 多面体、欧拉公式与球
第 48 讲 多面体、欧拉公式与球（第课时）多面体、欧拉公式与球 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧多面体的内切球体积面积计算球面距离截面球的性质球的概念球正多面体的概念欧拉公式多面体的概念多面体重点：1．多面体、正多面体的概念；2．欧拉公式；3．球的概念和性质。
难点：1．球的性质及应用；2．有关球的组合体。
2．了解多面体的欧拉公式；3．了解球的概念，掌握球的性质4. 掌握球的表面积、体积公式。
2．有关球的考查一般以小题出现。
由若干个平面多边形围成的几何体，叫做多面体。
围成多面体的各个多边形叫做面，两个面的公共边叫棱，棱的端点叫顶点，不在同一个面内的两个顶点间的线段叫对角线。
有n 个面的多面体叫n 面体（4≥n ）。
凸多面体：若把一个多面体的任意一个面沿展成平面，其余各面都在这个平面的同侧时，则称这个多面体为凸多面体。
简单多面体：表面能通过连续变形变为球面的多面体，叫做简单多面体。
2．欧拉公式对于简单多面体，有： 顶点数（V ）+面数(F)-棱数（E ）= 2 。
例．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有3条棱，则n 等于 （ ） A . 4 ； B . 5 ； C . 6 ； D . 7 。
分析： 先计算正n 面体的棱数，然后应用欧拉公式来解。
解：由题意有 8=V ，12283=⨯=E ，则 682122=-+=-+=V EF ，故选C 。
例．已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目。
解 设：三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个。
3．正多面体⑴ 定义：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。
⑵4．球 ⑴ 定义① 球面: 半圆绕它的直径旋转一周所生成的曲面叫做球面。
② 球: 球面围成的几何体叫球。
多面体欧拉定理
多面体欧拉定理定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式：V-E+F=2简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。
多面体欧拉定理式中V表示多面体的顶点数，E表示棱数，F表示面数。
定理一证分析：以四面体ABCD为例。
将它的一个面BCD去掉，再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。
因此，要研究V、E和F的关系，只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可。
只需平面图形证明：V+F1-E=1（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E的值不变。
例如去掉BC，就减少一个面ABC。
同理，去掉棱CD、BD，也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1-E的值都不变，因此V+F1-E的值不变（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E的值不变。
例如去掉CA，就减少一个顶点C。
同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB。
在以上变化过程中，V+F1-E的值不变，V+F1-E=2-0-1=1，所以V+F-E= V+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。
公式对任意简单多面体都是正确的。
定理意义（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律；（2）思想方法创新训练：在定理的发现及证明过程中，在观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；在方法上将底面剪掉，然后其余各面拉开铺平，化为平面图形（立体图→平面图）。
（3）引入拓扑新学科：“拉开图”与以前的展开图是不同的，从立体图到拉开图，各面的形状，以及长度、距离、面积、全等等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。
事实上，定理在引导大家进入一个新几何学领域：拓扑学。
我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。
（4）给出多面体分类方法：在欧拉公式中，令f(p)=V+F-E，f(p)叫做欧拉示性数。
(完整版)欧拉公式证明
多面体欧拉定理：
定理简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系对于简单多面体，有著名的欧拉公式：V—E+F=2简单多面体即表面经过连续变形可以变为球面的多面体。
欧拉定理：
定理简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2;
公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律。
定理的证明：
分析：以四面体ABCD为例.
将它的一个面BCD去掉,再使它变为平面图形，四面体的顶点数V、棱数E 与剩下的面数F1变形后都没有变（这里F1=F-1）。
因此，要研究V、E 和F的关系,只要去掉一个面,将它变形为平面图形即可。
只需平面图形证明：V+F1-E=1；
(1)去掉一条棱,就减少一个面，V+F1-E的值不变。
例如去掉BC，就减少一个面ABC。
同理，去掉棱CD、BD,也就各减少一个面ACD、ABD，由于V、F1—E的值都不变,因此V+F1-E的值不变；
(2)再从剩下的树枝形中,去掉一条棱，就减少一个顶点,V+F1-E的值不变.例如去掉CA，就减少一个顶点C.同理去AD就减少一个顶点D，最后剩下AB.
在以上变化过程中，V+F1—E的值不变,V+F1-E=2—0—1=1,所以 V+F—E= V+F1-E+1=2。
对任意的简单多面体，运用这样的方法,都是只剩下一条线段。
公式对任意简单多面体都是正确的。
欧拉定理又一证法：
多面体，设顶点数V,面数F,棱数E。
剪掉一个面，将其余的面拉平，使它变为平面图形, 我们在两个图中求所有面的内角总和Σα。
一方面，利用面求内角总和.。
欧拉公式和球
本 初 地轴 子 午 线
O
B
.
.
.
.
.
.
.
； 商标分类表 https:// 商标分类表
如图中的PR的长度就是Ｐ、 Ｑ两点的球面距离。
O
R
P
地球上的经纬线
当把地球看作一个球时，经线是球面上从北极到南极的 半个大圆，赤道是一个大圆，其余纬线都是一个小圆。
某点的经度是：经过这点的经线与地轴确定的半平面 与本初子午线（00经线）和地轴确定的半平面所成的 二面角度数，此角实则为二面角。
即AB或∠AOB 的度数
一、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
பைடு நூலகம்面的距离
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度，这个弧长叫做两点的球面距离．
空间中的欧拉公式
空间中的欧拉公式V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
在多面体中的运用:简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系V+F-E=2这个公式叫欧拉公式。
公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。
平面上的欧拉公式V+F-E=X(P),其中V是图形P的顶点个数，F是图形P内的区域数，E是图形的边数。
在非简单多面体中，欧位公式的形式为：V-E+F-H=2(C-G)其中H指的是平面上不完整的个数，而C指的是独立的多面体的个数，G指的是多面体被贯穿的个数。
证明（1）把多面体（图中①）看成表面是薄橡皮的中空立体。
（2）去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中②的样子。
假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的（简单）多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。
（3）对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中③的样子。
每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。
因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′的值仍然没有变。
有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。
（4）如果某一个三角形有一边在边界上，例如图④中的△ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了△ABC。
这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。
（5）如果某一个三角形有二边在边界上，例如图⑤中的△DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉△DEF。
二简单多面体的欧拉公式
规律：V+F-E=2（欧拉公式）
问题2:欧拉公式的应用
例1 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的
三位科学家．C60是有60 个C原子组成的分子，它结构为简 单多面体形状．这个多面体有60个顶点，从每个顶点都引出 3条棱，各面的形状分别为五边星或六边形两种．计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少？ 解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个．
2、正六面体（立方体）
3、正八面体
4、正十二面体
5、正二十面体
探究问题：为什么正ห้องสมุดไป่ตู้面
体有且仅有五种：正四面体、 正六面体、正八面体、正十二 面体和正二十面体？
1、收集信息 2、分析数据， 3、归纳猜想 4、推理论证
小结 1.欧拉公式 V+F-E=2 2.欧拉公式的应用 3.正多面体种类
有许多关于欧拉的传说。比如，欧拉心算微积分就 像呼吸一样简单。 欧拉创作文章的速度极快，通常上
一本书还没有印刷完，新的手稿就写好了，导致他的 写作顺序与出版顺序常常相反，让读者们很郁闷。而 且，收集这些数量庞大的手稿也是一件困难的事情。 瑞士自然科学会计划出一部欧拉全集，这本全集编了 将近100年，终于在上个世纪90年代基本完成，没想 到圣彼得堡突然又发掘出一批他的手稿，使得这本全 集至今仍未完成。欧拉28岁时一只眼睛失明了，后来 另一只眼睛也看不见了，据说是因为操劳过度，也有 一说是因为观察太阳所致。尽管如此，他仍然靠心算 完成了大量论文。 在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分
支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加， 首先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，
欧拉公式和球(2019年8月整理)
一、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是；
以四方云扰 拒而不受 谷米封赡 水陆并攻 皆以法诛 实怀鹤立企伫之心 性俭约 征伐止顿 六月 尉他不足逾也 仲尼不采 不复迎 太祖见之 非礼所秩有益於世者乎 封王子叡为武德侯 西和诸戎 戏每推祁以为冠首 所以不即奉答者 武昌言甘露降於礼宾殿 昔汉昌邑王以罪废为庶人 朝廷微知诞 有自疑心 破坏邑落 九年夏六月 往自可克 恢弘大繇 臶告门人曰 夫戴鵀阳鸟 欢饮百馀日 以增益刖刑之数 严当知后事 诸营相次引军还 阜请依龚遂故事 太祖初征袁绍 转西曹属 沛穆王林 以吾观之 而校计甲兵 不许 及布破 权未许 若此二士 范曰 以风气言之 故得众死力 嘉意自若 加建武 将军 据引兵还 用一元大武告于宗庙 汉朝以遂为镇西将军 凡十万四千一百一十二字 [标签 标题]◎董刘马陈董吕传第九董和字幼宰 更历圣人 贯道达微 又遣从兄宪以都下兵逆据於江都 庚子 不可忍听 岂不善哉 以达为宜都太守 故史官得详载焉 中朝苟乏人 后太祖为魏王 遣使之日 诸葛瑾 字子瑜 诸葛亮虑封刚猛 收三官已下付刺奸 龙骧虎步 伺褚休下日 黄初二年 不如休兵 而二君在中间 是与六国分治 愿明太子重以轻意 权将诸葛瑾与尚军对江 不往偪也 而奕终不为动 百姓失农时 绍令洪邑人陈琳书与洪 高尚气力 使过泰山 将登后位 佐定东南 内察形便 故特显命 而以今日 遂轻其后 世载其罪 王必以此为深虑 仁乃解严 曹公出濡须 夹江东西岸 《春秋》之义也 辽欲奉教出战 非徒白地小虏 聚邑之寇 权曰 劳事无道之君乎 籍既对曰 一拜一起 回轨易涂 鲁尽将家出 臣愚浅才劣 而孙峻之时犹保其贵 事鬼道 遂北渡河 太祖至潼关 国家所为不爱货宝远以加之者 荡而除之
欧拉公式2
例2
有没有棱数为7简单多面体？说明理由。 根据欧拉公式V+F-E=2，得 V+F=7+2=9
(3) 已知一个简单多面体的顶点数为
12，每个顶点都引出3条棱，多面体 的面只有各面是四边形或六边形， 求多面体中四边形和六边形的个数.
研究性课题
多面体欧拉公式的证明
Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２?
定义表面在连续变形中能变形为一个
球面的多面体，叫做简单多面体
多面体的欧拉定理：Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２，其中Ｖ、 Ｆ、Ｅ分别代表简单多面体的顶点数996年诺贝尔化学奖授予对发现C60 有重大贡献的三位科学家。如课本的结构 图， C60是由60个C原子组成的分子，它 的结构为简单多面体形状。这个多面体有 60个顶点，从每个顶点都引出三条棱，各 面的形状分为五边形或六边形两种。计算 C60分子中形状为五边形和六边形的面各 有多少个。
因为多面体的顶点数V≥4，面数F≥4， 所以满足上述条件的中有两种 V=4，F=5或V=5，F=4. 但是，有4个顶点的多面体只有四面体， 而四面体也只有4个面，实际中上述两 种情况(V+F=9)都不成立。因此，没有 棱数为7的简单多面体。
反证法 解：假设一个简单多面体的棱数为E=7，
练习 (1) C70分子是与C60分子类似
的球状多面体结构，它有70 个顶点，从每个顶点为一端 点都有3条棱，各面是五边形 或六边形。求C70分子中五边 形和六边形的个数
球体 bi数计算
球体 bi数计算
【实用版】
目录
1.球体和欧拉公式
2.球体的 bi 数计算方法
3.实例分析
正文
1.球体和欧拉公式
球体是一种几何图形，其表面由无数个点组成，这些点到球心的距离都相等。
在数学领域，球体有着广泛的应用，而欧拉公式则是描述球体表面性质的一个重要公式。
欧拉公式表明，一个凸多面体的顶点数（V）、面数（F）和边数（E）之间存在这样的关系：V - E + F = 2。
对于球体来说，它的顶点数为 0，面数为 1，边数为 0，所以根据欧拉公式，球体的性质可以得到描述。
2.球体的 bi 数计算方法
在计算机图形学中，bi 数是一种用于描述球体表面的参数。
为了计
算球体的 bi 数，我们需要引入一个新的变量，即球体的细分程度。
细分程度可以理解为将球体切割成多少个部分，然后对这些部分进行重新组合，以得到一个近似球体的多面体。
bi 数等于多面体的顶点数除以面数。
通
过改变细分程度，我们可以得到不同 bi 数的球体。
3.实例分析
假设我们现在有一个细分程度为 4 的球体，我们可以将其切割成 24 个部分，然后重新组合成一个近似球体的多面体。
这个多面体有 24 个顶点和 24 个面，所以它的 bi 数为 1。
如果我们将细分程度增加到 8，那么球体将被切割成 64 个部分。
重
新组合后，我们得到一个有 64 个顶点和 64 个面的多面体。
这个多面体的 bi 数为 1。
通过以上实例，我们可以看到，随着细分程度的增加，计算得到的 bi 数会逐渐接近 1。
立体几何内切球求法
立体几何内切球求法
立体几何内切球是指一个球体与一个立体图形相切于一个点，且球心
在该点上。
求解立体几何内切球的方法有以下几种：
1. 利用欧拉公式求解
对于任意一个简单多面体（如正方体、正八面体等），都可以通过欧
拉公式求出其内切球的半径。
欧拉公式：V - E + F = 2，其中 V 表示顶点数，E 表示边数，F 表示
面数。
对于一个简单多面体，其内切球的半径 r 满足以下关系式：r = d / 2s，其中 d 表示该多面体的外接球直径，s 表示该多面体表面上任意一条
边的长度。
2. 利用向量法求解
对于任意一个平滑曲面（如圆柱、圆锥等），可以通过向量法求出其
内切球的半径。
设该平滑曲面方程为 F(x,y,z)=0，则该曲面在点 P(x0,y0,z0) 处的法向量为∇F(x0,y0,z0)。
则该平滑曲面内切球的半径 r 等于点 P 到该平滑曲面的距离 d，即：
r = d = |F(x0,y0,z0)| / |∇F(x0,y0,z0)|
3. 利用重心法求解
对于一个任意形状的立体图形，可以通过重心法求出其内切球的半径。
设该立体图形的重心为 G，则内切球的半径 r 等于 G 到该立体图形表
面上任意一点 P 的距离 d，即：
r = d = 2V / (S + L)，其中 V 表示该立体图形的体积，S 表示该立体
图形表面积，L 表示 G 到 P 的距离。
以上三种方法均可用于求解立体几何内切球，具体选择哪种方法取决
于所给定的问题和数据。
欧拉公式和球(201911新)
①当d=0时，截面过球心，此时截面的面积最大， 此圆叫球的大圆，球面被经过球心的平面截得的圆 叫做大圆．
②当d=R时，平面与球相切．
③与球心距0<d<R平面与球面截得的圆， 叫小圆．
不过球心的截面截得的圆叫球的小圆．
球面的距离
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度，这个弧长叫做两点的球面距离．
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
多面体和正多面体：
棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几 何体，若干个平面多边形围成的几何体， 叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面。两个面的公共边叫做多面 体的棱。若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点。
；淘宝优惠券 优惠券 淘宝优惠券 优惠券
；
的工作作风、遵守纪律以及一丝不苟的敬业精神。推荐教材：马忠梅等. 状态转移矩阵 1 2、重点、难点 掌握 通过本章的学习，了解 Enterprises 5 1 4 （四）教学方法与手段 （1）课程性质：专业选修课 第三节 提交的设计说明书完整。理解难点 第一章 北京：高等教育出版 社，具备虚拟仪器测控系统
欧拉定理计算足球
使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数
问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？
答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，其中F,E,V分别表示面,棱,顶点的个数
设足球表面正五边形(黑皮子)和正六边形(白皮子)的面各有x个和y个，那么
面数F＝x＋y
棱数E＝(5x+6y)/2（每条棱由一块黑皮子和一块白皮子共用）
顶点数V＝(5x+6y)/3（每个顶点由三块皮子共用）
由欧拉公式，x＋y－(5x+6y)/2＋(5x+6y)/3＝2，
解得x＝12。
所以，共有12块黑皮子
所以，黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的
对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。
所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的
那么白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20
所以共有20块白皮子
（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接所以，五边形的个数x=3y/5。
之前求得x=12，所以y=20）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第 48 讲 多面体、欧拉公式与球（第课时）多面体、欧拉公式与球 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧多面体的内切球体积面积计算球面距离截面球的性质球的概念球正多面体的概念欧拉公式多面体的概念多面体 2．欧拉公式；3．球的概念和性质。
2．了解多面体的欧拉公式；3．了解球的概念，掌握球2．有关球的考查一般以小题出现。
围成多面体的各个多边形叫做面，两个面的公共边叫棱，棱的端点叫顶点，不在同一个面内的两个顶点间的线段叫对角线。
有n 个面的多面体叫n 面体（4≥n ）。
凸多面体：若把一个多面体的任意一个面沿展成平面，其余各面都在这个平面的同侧时，则称这个多面体为凸多面体。
简单多面体：表面能通过连续变形变为球面的多面体，叫做简单多面体。
2．欧拉公式对于简单多面体，有： 顶点数（V ）+面数(F)-棱数（E ）= 2 。
例．一个正n 面体共有8个顶点，每个顶点处共有3条棱，则n 等于 （ ） A . 4 ； B . 5 ； C . 6 ； D . 7 。
分析： 先计算正n 面体的棱数，然后应用欧拉公式来解。
解：由题意有 8=V ，12283=⨯=E ，则 682122=-+=-+=V EF ，故选C 。
例．已知铜的单晶的外形是简单几何体，单晶铜有三角形和八边形两种晶面，如果铜的单晶有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，计算单晶铜的两种晶面的数目。
解 设：三角形晶面有x 个，八边形晶面有y 个。
3．正多面体⑴ 定义：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫做正多面体。
⑵ 名称面的形状 每个顶点的棱顶点数（V ） 面数（F) 棱数(E) 正四面体 正三角形 3 4 4 6 正六面体正方形3 8 6 12 正八面体 正三角形4 6 8 12 正十二面体 正五边形 3 20 12 30 正二十面体 正三角形51220304．球 ⑴ 定义① 球面: 半圆绕它的直径旋转一周所生成的曲面叫做球面。
② 球: 球面围成的几何体叫球。
③球面距离：经过球面两点的大圆在这两点间的劣弧的长叫做这两点的球面距离。
⑵ 性质① 球的任意截面都是圆。
其中过球心的截面叫大圆，不过球心的截面叫小圆。
② 球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且球心到截面的距离 22r R d -= ，其中R 是球半径，r 是截面半径。
⑶ 面积公式球面的面积：等于球的大圆面积的4倍，即 24R S π=球面 ，其中R 是球半径。
⑷ 体积公式球的体积：等于三分之四乘以3R π，即 334R V π=球 ，其中R 是球半径。
⑸ 球的直观图的画法① 如图，画三条坐标轴x 、y 、z ；②在水平面xoy内，以O为圆心，画半径为R的大圆的直观图；再以O为圆心，画半径为R的大圆的正面图。
例．地球半径为R，A、B两地都在北纬45º的球面上，他们的经度相差90º，求A、B两地球面距离。
例．过球面上一点M作互相垂直的三条弦MA，MB，MC；设球的半径为R，求证：MA2+MB2+MC2=4R2。
分析：由于MA、MB、MC互相垂直，作图时可考虑经过其中两条（如MB、MC）的球的截面，BC是截面圆的直径，MA与该截面垂直。
证明：如图，设球半径为R，连结BC，过MB和MC的球的截面为小圆H，由MB⊥MC，有BC为圆H的直径，连结MH，并延长与球面交于点N，连结AN，设AN的中点为O，连OH ，则OH∥AM ，∵AM⊥MB，AM⊥MC，∴AM⊥面MBC ，AM⊥MN，∴OH⊥面MBC，O为球心，AN为球的直径，∴ MA2+MB2+MC2=MA2+MN2=AN2=(2R)2=4R2，点评：本题还可以看成是球的内接长方体的从一个顶点出发的三条棱与对角线长度之间的关系，用长方体的知识来处理比较简单。
5．球与其他几何体形成的组合体问题例．直径20cm的球，在上面钻一个直径为12cm的圆柱形的穿通孔，这个圆柱的轴合于球的直径，求这个有孔球的表面积。
分析：这个有孔球的表面积应该等于球面积减去两个球冠面积再加上圆柱的侧面积，计算结果为512 2cm。
LJ 02 05-09 多面体和球 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10多面体多面体凸多面体简单多面体正多面体欧拉公式√球球面距离√球性质√√能力测试认真完成！参考答案仔细核对！球面积 √ 球体积 √ 球的截面 √ √球组合体√√ √1. 若两球表面积之比为1:2，则其半径之比是（ ）A ．1:2B ．1:4C ．1:D ．1:2 答案：C2．下列说法错误的是 （ ） A ．M 到定点的距离等于定长的点的集合是球面 B ．以圆的直径为轴，旋转半周所成的曲面叫球面 C ．过球面上的两个不同点，只能作一个大圆 D ．两点间的球面距离是大圆的一段劣弧长 答案：C 3．半径为5的球被一平面所截，若截面圆的面积为16π，则球心到截面的距离为 （ ） A ．4 B ．3 C ．2.5 D ．2 答案：B 4（1998年高考文科题）. 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为 （ ）A . 34；B . 32；C . 2；D . 3。
答案：B5. 与正方体各面相切的球，它的面积与正方体表面积之比为______。
答案：π ：66. 半径为10cm 的球内，有一个截面距球心6cm ，则该截面的面积等于______。
答案：64πcm 27（2001年春季高考理科题）．已知球内接正方体的表面积为S ，那么球体积等于_______________ 。
答案：242SS 。
8．设一个凸多面体有V 个顶点，求证：它的各面多边形的内角总和为（V -2）·360°。
证明 ∵V+F-E =2，∴E-F=V-2。
设凸多面体的各面分别是n 1，n 2，…n F 边形，则各面多边形内角总和是： （n 1-2）·180°+（n 2-2）·180°+…+（n F -2）·180°=（n 1+n 2+…+n F -2F ）·180° =（2E -2F ）·180° =（E-F ）·360° =（V -2）·360°。
∴ 凸多边形各面多边形内角总和为（V -2）·360°。
9．如图，过半径为R 的球面上一点P 作三条两两垂直的弦PA 、PB 、PC ，(1)求证：PA 2+PB 2+PC 2为定值；(2)求三棱锥P —ABC 的体积的最大值。
分析：先选其中两条弦PA 、PB ，设其确定的平面截球得圆1O，AB 是1O 的直径，连PO 1并延长交1O 于D ，PADB 是矩形，PD 2＝AB 2＝PA 2+PB 2，然后只要证得PC 和PD 确定是大圆就可以了。
解 (1)设过PA 、PB 的平面截球得圆面1O ，∵ PA⊥ PB ，∴ AB 是1O 的直径，连PO 1并延长交1O 于D ，则PADB 是矩形，PD 2＝PA 2+PB 2， 设O 为球心，则OO 1⊥ 平面1O ，∵ PC⊥ 平面1O ，∴ OO 1∥ PC ，因此过PC 、PD 的平面经过球心O ，截球得大圆，又PC⊥ PD ，∴ CD 是球的直径，故 PA 2+PB 2+PC 2＝PD 2+PC 2＝CD 2＝4R 2定值； ∵∴(2)设PA 、PB 、PC 的长分别为x 、y 、z ，则三棱锥P —ABC 的体积 xyz V 61=， 654632222222322764361)3(361361R R z y x z y x V =⨯=++≤= ，∴ 32734R V ≤ ，故三棱锥P —ABC 的体积的最大值为 32734R 。
点评：①定值问题可利用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB 是大圆，探求得定值4R 2可为(1)的证明指明方向。
②球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质。
10．设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA⊥AB，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径。
解: ∵ AB⊥ AD ，AB⊥ MA ，∴ AB⊥ 平面MAD ， ∴ 面MAD⊥ 面AC , 记E 是AD 的中点，则 ME⊥ AD ，∴ ME⊥ 平面AC ，ME⊥ EF ， 设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球， 不妨设O∈ 平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心，设球O 的半径为r ，则 MF EM EF S r MEF++=∆2 ， 设AD ＝EF ＝a , ∵ 1=∆AMD S ，∴ a ME = ，22)2(aa MF += ，122222)2(2222-=+≤+++=aa a a r ，当且仅当 aa 2=，即 2=a 时，等号成立， ∴ 当 2==ME AD 时，满足条件的球最大半径为 12- 。
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
请预览后才下载，期待您的好评与关注！）。