任意阶幻方的填法

8
1
6
35
1
6
3 4
5 9
7 2 33
34 29
3 31 8
32 9 28
7 2 33
34 29
35 28
30 32 31 36
30 5 4 36
(3) 在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以 不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进 行交换，就形成幻方。
这里我们以6阶为例
A 19 24
B
8
1
6
26
C
D
3 4
5 9
7 2 33
34 29
21 22 17
12
23 27 10
14
25 20 15
16
35 28
30 32 31 36
13
18
11
(2)在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。A象限 的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换 位置。(6阶时k=1)
58 15 23
8 49 41
25
33
39
31
38
30
28
36
29
37
35
27
34
26
32
40
24
16 57
42
50 7
43
51 6
21
13 60
20
12 61
46
54 3
47
55 2
17
9 64
幻方常数为260
最后我们来看一看单偶阶的幻方，这也是三 种情况中最复杂的一种。
n为偶数，且不能被4整除 (n=4k+2，k=1，2，3，…) 1)把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯 定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限， C象限按奇数阶幻方的填法填数。
即n阶幻方常数为
(1 + n2 )* n / 2
4）七阶幻方：（幻和为175）
30 38
46 5 13 21 22
39 47
6 14 15 23 31
48 7
8 16 24 32 40
1 9
17 25 33 41 49
10 18
26 34 42 43 2
19 27
35 36 44 3 11
28 29
35 3 31 8 30 4
1 32 9 28 5 36
6 7 2 33 34 29
26 21 22 17 12 13
19 23 27 10 14 18
24 25 20 15 16 11
幻方常数为111
7 15 23
8 16 24
25
33 41 49
26
34 42 50
27
35 43 51
28
36 44 52
29
37 45 53
30
38 46 54
31
39 47 55
32
40 48 56
57
58
59
60
61
62
63
64
1 56 48
63 10 18
62 11 19
4 53 45
5 52 44
59 14 22
内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同 (4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 例如：三阶幻方和上面的七阶幻方。
2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除 (n=4k，k=1，2，3， 4，5……) 可用<对称交换法>,方法很简单:
1) 把自然数依次排成方阵 2) 把幻方划成4*4的小区,每个小区划对角线, 3) 把这些对角线所划到的数,保持不动, 4) 把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称 的方式,进行对调, 幻方完成! 例如：四阶幻方
按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格；
(2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放
在底行，仍然要放在右一列；
(3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把
它放在最左列，仍然要放在上一行；
(4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最
右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格
4
12 20 28
5
13 21 29
6
14 22 30
7
15 23 31
8
16 24 32
33
41
34
42
35
43
36
44
37
45
38
46
39
47
40
48
49
57
50
58
51
59
52
60
53
61
54
62
55
63
56
64
1 9 17
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2 10 18
3 11 19
4 12 20
5 13 21
6 14 22
1 5
9
2
3 7
4 8 画对 角线
6
1 5
9
2
3 7
4 8
6
10 11 12
10 11 12
13 14 15 16
13 14 15 16 对 调
1 15 14 4 7 2 9 16 10 11 5
幻方常数为34
12 6 8 13 3
再来看看八阶幻方：
1
9 17 25
2
10 18 26
3
11 19 27
1 + 2 + 3 + + n = (1 + n )* n / 2
2 2 2
2 2 ( ) 因此就有n*X= 1 + n * n / 2
1（2）对于一个n阶正规幻方， 我们先假设其幻方常数为X 则该幻方每一行的和都为X， 共有n行，所以，n阶幻方的和就是n*X 另一方面 n阶幻方包含了从1到的所有正整数 所以该幻方的和就应该为
37 45 4 12 20
接下来我们来寻找填n阶幻方的通法，目前填 写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类 又有各种各样的填写方法。 三类幻方
奇数阶幻方
双偶阶幻方
单偶阶幻方
1、奇数阶幻方
n为奇数
(n=2×k+1，k=1，2，3，……)
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(有人称之为楼梯法)。 填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；