用穿根法解不等式(经典归纳)

一元高次不等式的解法
这里主要介绍“数轴标根法”解高次不等式，简单快捷.“数轴标根法”又称“数轴穿根法”、“穿针引线法”或“序轴标根法”.
一、解题步骤
求不等式32638x x x -+<-+的解集
1. 化简：移项使右侧为0，将x 最高次项系数化为正数，再将左侧分解为几个一次因式积的形式.
将32638x x x -+<-+化为323680(2)(1)(4)0x x x x x x --+>⇒+-->
2. 求根：将不等式换成等式解出所有根.
(2)(1)(4)0x x x +--=的根为12x =-，21x =，34x =
3. 标根：在数轴上从左到右依次标出各根.
-2 1 4
4. 穿根：以数轴为标准，从“最右根”的右上方穿过根，往左下画线，然后又穿过“次右根”上去，一上一下依次穿过各根.
5. 写解：大于号取上方，小于号取下方，取穿根线以内的范围，将各解集求并.
不等式32638x x x -+<-+的解集为：{}|21,4x x x -<<>或
二、易错提示
求解不等式：)0)(0(0022110><>++++--a a x a x a x a n n n n
1. 分解因式：将不等式化为0123()()()()0n a x x x x x x x x ---->L 形式.
2. 正化系数：将各因式中的x 系数化为正数.
3. 奇穿偶不穿：从右上方往左下方穿线，依次经过数轴上表示各根的点，看各一次因式的次数，偶次根穿而不过，奇次根一穿而过，简称“奇穿偶不穿”.
4. 解分式不等式：可化为一元高次不等式进行求解，如遇“≤或≥”，在标根时，分子实心，分母空心.
三、分式不等式解法
1.()()
()()00f x f x g x g x >⇔⋅> 2.()()
()()00f x f x g x g x <⇔⋅< 3.()()()()()000
f x
g x f x g x g x ⋅≥⎧⎪≥⇔⎨≠⎪⎩ 4.()()()()()000
f x
g x f x g x g x ⋅≤⎧⎪≤⇔⎨≠⎪⎩ 四、应用举例
1.解不等式：22320712
x x x x -+≤-+-（系数非正） 2.解不等式：22911721
x x x x -+≥-+（右侧非0） 点评：
（1）不能随便去分母
（2）移项通分，必须保证右侧为“0”
（3）注意重根问题
3.解不等式：2256032
x x x x +-≥-+（分子，分母有公因式） 点评：
（1）不能随便约去因式
（2）重根空实心，以分母为准
4.解不等式：2121332
x x x x ++>--（不等式左右有公因式） 点评：不等式左右不能随便乘除因式。

5. 解不等式：22331
x x x ->++（不能十字相乘分解因式，无法分解因式）
五、经典练习
1.解不等式：
3
2
x
x
-
≥
-
（首项系数化为正，空实心）
2.解不等式：21
1
3
x
x
-
>
+
（移项通分，右侧化为0）
3.解不等式：
2
2
32
23
x x
x x
-+
≤
--
（因式分解）
4.解不等式：
221
2
x x
x
--
<
-
（求根公式法因式分解）
5.解不等式：()()
()
32
2
16
3
x x x
x
-++
≤
+
（恒正式，重根问题）
6.解不等式：
()
2
3
9
x x
x
-
≤
-
（不能随便约分）
7.解不等式：
1
01
x
x
<-<（取交集）
8.解不等式：解不等式：
()1
1
2
a x
x
-
>
-
（含参分类讨论）。