2021-2022年高中数学《生活中的优化问题举例》教案1新人教A版选修2-2

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人教A版高中数学选修生活中的优化问题举例教案新人教

1.4生活中的优化问题举例教学目标：掌握导数在生活中的优化问题问题中的应用教学重点：掌握导数生活中的优化问题问题中的应用．教学过程一、复习：利用导数求函数极值和最值的方法二、引入新课例1在边长为60 cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解法一：设箱底边长为x cm ，则箱高602xh -=cm ，得箱子容积 260)(322x x h x x V -== )600(<<x ．23()602xV x x '=-)600(<<x 令 23()602x V x x '=-＝0，解得 x=0（舍去），x=40，并求得 V(40)=16 000由题意可知，当x 过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm 时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm 3解法二：设箱高为x cm ，则箱底长为(60-2x )cm ，则得箱子容积x x x V 2)260()(-=)300(<<x ．（后面同解法一，略）由题意可知，当x 过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处．事实上，可导函数260)(322x x h x x V -==、x x x V 2)260()(-=在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积S=2πRh+2πR 2由V=πR 2h ，得2Vh R π=，则 S(R)= 2πR 2V R π+ 2πR 2=2V R +2πR 2令 22()Vs R R'=-+4πR=0解得，，从而h=2V R π即 h=2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？提示：S =2Rh π+22R π⇒h =RR S ππ222-⇒V (R )=R R S ππ222-πR 2=3221)2(21R SR R R S ππ-=- )('R V )=026R S π=⇒ ⇒R h R Rh R 222622=⇒+=πππ．例3已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C =100+4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为q p 8125-=．求产量q 为何值时，利润L 最大？分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格．由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：收入211252588R q p q q q q ⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎝⎭，利润221125(1004)2110088L R C q q q q q ⎛⎫=-=---=-- ⎪⎝⎭(0100)q << 1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，求得唯一的极值点84q = 答：产量为84时，利润L 最大小结：本节课学习了导数在解决实际问题中的应用. 课堂练习：第37页练习A 、B 课后作业：第38页B:5，6，7。

高中数学《生活中的优化问题(3)》教案(新人教A版选修2-2)

4we1．4 生活中的优化问题（三）教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值教学过程：例1 。

教材P35面的例3例2．某公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元（3≤a ≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（9≤a ≤11）时，一年的销售量为(12-x )2万件.（1）求分公司一年的利润L （万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a ).例3．请您设计一个帐篷。

它下部的形状是高为1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m 的正六棱锥（如右图所示）。

试问当帐篷的顶点O 到底面中心1o 的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设OO 1为x m ，则41<<x 由题设可得正六棱锥底面边长为：22228)1(3x x x -+=--，（单位：m ）故底面正六边形的面积为：(436⋅⋅22)28x x -+=)28(2332x x -+⋅，（单位：2m ）帐篷的体积为：)28(233V 2x x x -+=）（]1)1(31[+-x )1216(233x x -+= 求导得)312(23V '2x x -=）（。

令0V'=）（x ，解得2-=x （不合题意，舍去），2=x ，当21<<x 时，0V'>）（x ，）（x V 为增函数；当42<<x 时，0V'<）（x ，）（x V 为减函数。

∴当2=x 时，）（x V 最大。

答：当OO 1为2m 时，帐篷的体积最大，最大体积为3163m 。

数学：1.4《生活中的优化问题举例》教案(1)(新人教A版选修2-2)

§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。

2．提高将实际问题转化为数学问题的能力。

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。

教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。

二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。

利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =。

2021-2022年高中数学 1.4 1生活中的优化问题举例教案新人教A版选修2-2

2021年高中数学 1.4 1生活中的优化问题举例教案新人教A版选修2-2
教学目标：
知识目标：1.利用导数研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]
上的最大（小）值；
2.利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。

能力目标：1.通过研究函数的切线、单调性、极大（小）值以及函数在连续区间[a，b]上的最大（小）值，
培养学生的数学思维能力；
2.通过求解一些实际问题的最大值和最小值，培养学生分析问题、解决问题的能力，以及数
学建模能力。

思想目标：逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法思考问题、解决问题的习惯
教学重难点：
将实际问题转化成函数问题，利用导数来解决优化问题
教学基本流程：
教学过程：。

人教版高中选修2-21.4生活中的优化问题举例课程设计 (2)

人教版高中选修2-21.4生活中的优化问题举例课程设计一、前言优化问题是数学中的重点和难点之一，也是工程应用中的实际问题。

本课程主要讲解生活中的优化问题，通过具体的例子，让学生了解优化问题的基本方法和应用范围。

二、教学目标1.能够分析生活的实际问题，抽象出其中的优化问题。

2.掌握用微积分方法解决优化问题的基本技能。

3.了解优化问题在工程应用中的实际意义。

三、教学内容1.生活中的优化问题1.1 费用最小问题举例：一家人要出去旅游，如何在满足旅游时间和预算的情况下，选择最优路线？1.2 体积最大问题举例：有一块给定面积的矩形纸片，如何剪裁使得剩余部分的体积最大？1.3 面积最小问题举例：一张给定面积的铁皮，如何剪裁才能使成本最小？2. 用微积分方法解决优化问题2.1 寻找极值2.2 使用导数判断最值3. 工程应用3.1 优化问题在自动化控制中的应用举例：如何通过PID控制算法，在发电机组切换系统中实现能耗最小的自动控制？3.2 优化问题在工程设计中的应用举例：如何利用优化技术，在给定材料和工艺下，设计出最合适的汽车车身结构？四、教学方法1.引导式教学法通过提问、引导问题等方式，启发学生自主思考和探究，激发学生学习兴趣，培养自主学习的能力。

2.案例式教学法通过具体实例，帮助学生理解和掌握优化问题解决的基本方法和应用。

3.互动式教学法通过大讨论、小组讨论、同桌讨论等方式，促进学生之间的交流和互动，增强学生的学习效果。

五、教学步骤1.导入环节通过举例子等方式，引导学生了解生活中的优化问题，概述优化问题的解决方法。

2.知识讲解讲解微积分中最值问题的求解方法，包括极值的定义，最值问题的转化以及最值的判断方法等。

3.案例分析通过生活中的优化问题案例进行讲解，包括费用最小问题、体积最大问题、面积最小问题等。

4.工程应用讲解优化问题在工程应用的实际意义，以及在自动化控制和工程设计中的应用。

5.总结复习对本课程内容进行总结和复习，并提醒学生学习中需要注意的问题。

高中数学人教A版选修2-2课件：1.4生活中的优化问题举例

由题意知每年能源消耗费用为 C(x)=
再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)=

,
3+5
40
.
3+5
而建造费用为 C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
40
3+5
f(x)=C1(x)+20C(x)=6x+20·
(2)f'(x)=6−
2 400
(3+5)
令 S'<0,得 20<x<140.
所以函数在(140,+∞)内单调递增,在(20,140)内单调递减.所以当
x=140时,S取得最小值.
当x=140时,y=175,即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500.
故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使矩形广告的面积最小.
-10-
元时,分公司一年的利润 L 最大,最大值 Q(a)=4
3
1
3-
3
-19-
目标导航
题型一
题型二
重难聚焦
典例透析
题型三
【变式训练 3】为了解决老百姓“看病贵”的问题,国家多次下
调药品价格,各大药厂也在积极行动,通过技术改造来提高生产能力,
降低能耗,从而降低药品生产的成本.某药厂有一条价值 a 万元的药
800
(0≤x≤10).
3+5
2 400
= 6 +
2 , 令f'(x)=0,即
(3+5)2
= 6, 解得x1=5,x2=−
25
(
3
舍去).
当 0≤x<5 时,f'(x)<0,当 5<x≤10 时,f'(x)>0,

人教版高中选修2-21.4生活中的优化问题举例课程设计

人教版高中选修2-21.4生活中的优化问题举例课程设计一、课程背景生活中的方方面面都涉及到了优化问题，优化问题是数学中的一个重要分支。

通过本课程，让学生了解什么是优化问题，为什么要进行优化，生活中的哪些问题需要优化，并掌握如何运用数学方法解决生活中的优化问题。

二、教学目标1.理解什么是优化问题，为什么要进行优化；2.掌握数学方法解决生活中的优化问题；3.通过实践案例，将所学知识运用到实际生活中，提高学生问题解决能力和实践能力。

三、教学内容1. 优化问题的概念通过教师讲解、PPT演示和样例解析等方式，讲授优化问题的概念，引导学生深入了解什么是优化问题，为什么要进行优化。

2. 生活中的优化问题通过教师提供案例和引导，让学生发现生活中存在哪些需要优化的问题，如购物、交通、饮食、健康、环境等方面，让学生了解到优化问题的广泛应用。

3. 优化问题的数学方法通过教师演示、实践操作等方式，引导学生掌握代数方法、几何方法、微积分方法解决生活中的优化问题，并重点强调常见的最值问题，如求函数的最大值、最小值等。

4. 实践案例分析通过学生小组合作探究、PPT汇报、教师点评等方式，让学生运用所学知识，分析解决实际生活中的优化问题，以提高学生问题解决能力和实践能力。

四、教学方法1. 授课法引导学生掌握基础知识，并指导完成相关练习。

2. 实践法通过案例分析等实际操作，加深学生对优化问题的了解，提高问题解决能力和实践能力。

3. 合作学习法通过小组合作探究、PPT汇报、教师点评等方式，激发学生的合作精神，培养团队意识。

五、教学资源1. 教案、PPT教师编写的教案和PPT，包括基础知识介绍、案例分析等。

2. 实践案例教师提供丰富的实践案例，让学生练习并掌握所学知识。

3. 练习册教师编写的练习册，包括基础习题和拓展习题，方便学生巩固知识点，提高解题能力。

六、教学评估1. 个人评估通过课堂练习、课后作业等形式对个人进行评估，了解学生对课堂知识掌握情况。

高中数学《1.4生活中的优化问题举例》课件新人教A版选修2-2

5ax ∴y′＝－3a＋ 2 2.令 y′＝0，解得 x＝30. x ＋40 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在 x ＝30 km 处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20 (km)． ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省．用料最省问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
方法技巧转化与化归思想在生活中优化
问题的应用生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用导数这一工具能够解决的一般数学问题．其解决问题的过程就体
现了转化与化归的思想，基本思路如图：
【示例】某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的 3x＋1 函数关系为 Q＝ (x≥0)，已知生产此产品的年固定投入 x＋1 为 3 万元，每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元．若每件产品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占广告费的 50%”之和． (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数．如果年广告费投入 100 万元，企业是亏损还是盈利？ (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
18 000 18 000x S＝xy＝x x－20 ＋25＝＋25x， x－20
18 000[x－20－x] －360 000 ∴S′＝＋25＝＋25. x－202 x－202
令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x) 的最小值为 S(140)．当 x＝140 时， y＝175.即当 x＝140， y＝175 时，取得最小值 24 500， S 故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小．

高中数学专题1.4 生活中的优化问题举例教案新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学教

生活中的优化问题举例【教学目标】1．了解导数在解决实际问题中的作用．2．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．【教法指导】本节学习重点：利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．本节学习难点：导数在解决实际问题中的作用．【教学过程】 ☆复习引入☆生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题？这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题．解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之. ☆探索新知☆探究点一面积、体积的最值问题思考如何利用导数解决生活中的优化问题？例1 学校或班级举行活动，通常需要X 贴海报进行宣传．现让你设计一X 如图所示的竖向X 贴的海报，要求版心面积为128 dm 2，上、下两边各空2 dm ，左、右两边各空1 dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？解设版心的高为x dm ，则版心的宽为128xdm ，此时四周空白面积为S (x )＝(x ＋4)⎝⎛⎭⎪⎫128x ＋2－128＝2x ＋512x＋8，x >0.求导数，得S ′(x )＝2－512x2.令S ′(x )＝2－512x2＝0，解得x ＝16(x ＝－16舍去)．于是宽为128x ＝12816＝8.当x ∈(0,16)时，S ′(x )<0；当x ∈(16，＋∞)时，S ′(x )>0.因此，x ＝16是函数S (x )的极小值点，也是最小值点．所以，当版心高为16 dm ，宽为8 dm 时，能使海报四周空白面积最小．反思与感悟 (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值X 围，即函数的定义域．跟踪训练1 如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________米．答案 32,16探究点二利润最大问题r 2分，其中r (单位：cm)是瓶子的半径．已知每出售1 mL 的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.则瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？解由于瓶子的半径为r ，所以每瓶饮料的利润是y ＝f (r )＝0.2×43πr 3πr 2π⎝ ⎛⎭⎪⎫r33－r 2，0<r ≤6. 令f ′(r π(r 2－2r )＝0.当r＝2时，f′(r)＝0.当r∈(0,2)时，f′(r)<0；当r∈(2,6)时，f′(r)>0.因此，当半径r>2时，f′(r)>0，它表示f(r)单调递增，即半径越大，利润越高；半径r<2时，f′(r)<0，它表示f(r)单调递减，即半径越大，利润越低．∴半径为2 cm时，利润最小，这时f(2)<0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．半径为6 cm时，利润最大．反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润＝收入－成本；(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝ax－3＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x－3)[2x－3＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2,3<x<6.从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得，x＝4所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．探究点三费用(用材)最省问题例3 已知A 、B 两地相距200 km ，一只船从A 地逆水行驶到B 地，水速为8 km/h ，船在静水中的速度为v km/h(8<v ≤v 0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v ＝12 km/h 时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？∴y ′＝2 000v v －8－1 000v 2v －82＝1 000v 2－16 000v v －82.令y ′＝0，得v ＝16，∴当v 0≥16，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省，y min ＝32 000(元)；当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0，即y 在(8，v 0]上为减函数， ∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 2v 0－8(元)．综上，当v 0≥16时，v ＝16 km/h 全程燃料费最省，为32 000元；当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 2v 0－8元．反思与感悟本题在解题过程中容易忽视定义域，误以为v ＝16时取得最小值．本题的关键是弄清极值点是否在定义域X 围内．跟踪训练3 现有一批货物由海上从A 地运往B 地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A 地至B 地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y (元)表示为速度x (海里/时)的函数； (2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解 (1)依题意得y ＝500x x 2)＝480 000x＋300x ，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，即y ＝480 000x＋300x (0<x ≤35)．(2)由(1)知，y ′＝－480 000x2＋300，令y ′＝0，解得x ＝40或x ＝－40(舍去)．因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．又当0<x ≤35时，y ′<0，所以y ＝480 000x＋300x 在(0,35]上单调递减，故当x ＝35时，函数y ＝480 000x＋300x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶． ☆课堂提高☆1．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43R D.34R 【答案】C2．某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x ，x ∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大收益，则x 的取值为( ) A ．0.016 2 B ．0.032 4 C ．0.024 3 D ．0.048 6 【答案】 B【解析】依题意，得存款量是kx 2，银行支付的利息是kx 3，获得的贷款利息是0.048 6kx 2，其中x ∈(0,0.048 6)．所以银行的收益是y ＝0.048 6kx 2－kx 3(0<x <0.048 6)，则y ′＝0.097 2kx －3kx 2(0<x <0.048 6)．令y ′＝0，得x ＝0.032 4或x ＝0(舍去)．当0<x <0.032 4时，y ′>0；当0.032 4<x <0.048 6时，y ′<0.所以当x ＝0.032 4时，y 取得最大值，即当存款利率为0.032 4时，银行获得最大收益． 3．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为( ) A ．2m 3B ．3m 3C ．4m 3D ．5m 3【答案】 B当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极值就是V (x )的最大值从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 2)．4．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( ) A ．25件 B ．20件 C ．15件 D ．30件【答案】 A【解析】设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250000，则a 2x ＝250000，所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0)，y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′>0， x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．5．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (升)关于行驶速度x (千米/时)的函数解析式可以表示为y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0<x ≤120)．已知甲、乙两地相距100千米，当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【解析】当速度为x 千米/时时，汽车从甲地到乙地行驶了100x小时，设耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8×100x ＝11 280x 2＋800x －154(0<x ≤120)，h ′(x )＝x640－800x 2＝x 3－803640x 2(0<x ≤120)．令h ′(x )＝0，得x ＝80.因为x ∈(0,80)时，h ′(x )<0，h (x )是减函数；x ∈(80,120]时，h ′(x )>0，h (x )是增函数，所以当x ＝80时，h (x )取得极小值h (80)＝11.25(升)．因为h (x )在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．答汽车以80千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为．6．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数，当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9，故需新建9个桥墩才能使y 最小。

2021-2022年高中数学 1.4《生活中的优化问题(二)》教案新人教A版选修2-2

2021年高中数学 1.4《生活中的优化问题（二）》教案新人教A 版选修2-2 教学目标：掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法.会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值.---------用材最省的问题----教学重点：利用导数求函数最值的方法.用导数方法求函数最值的方法步骤教学难点：对最值的理解及与极值概念的区别与联系.求一些实际问题的最大值与最小值教学过程：例1圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底半径应怎样选取，才能使所用材料最省？解：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积 S ＝2πRh ＋2πR 2．则,042)(2=+-='R R V R S π令从而232⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππV V即h ＝2R ．因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值．答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．例2 已知某商品生产成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝100＋4q ，价格p 与产量q 的函数关系式为求产量q 为何值时，利润L 最大．分析：利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘价格.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润．解：28125)8125(q q q q p q R -=-=⋅=收入 )4100()8125(2q q q C R L +-=-=利润)2000(10021812<<-+-=q q q ，，即令021410'=+-=q L 求得唯一的极值点 q ＝84．因为L 只有一个极值，所以它是最大值．答：产量为84时，利润L 最大．练习1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，应如何定价才能使利润最大？例3．教材P34面的例2 课后作业。

高中数学选修2《生活中的优化问题举例》导学案

第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例一、学习目标1.掌握应用导数解决实际问题的基本思路．2.灵活用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力．【重点、难点】用导数解决实际生活中的优化问题，提高分析问题，解决问题的能力．二、学习过程【情景创设】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题。

优化问题实际上就是寻求最佳方案或策略，而实际问题中的利润、用料、效率等问题常能用函数关系式表达，那么优化问题与函数的什么性质联系密切？【提示】函数的最大值、最小值．【导入新课】1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为，通过前面的学习，我们知道是求函数最大(小)值的有力工具，运用，可以解决一些生活中的．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的，则它就是．3．解决优化问题的基本思路是：用函数表示的数学问题→用函数表示的数学问题↓优化问题的答案←用导数解决数学问题上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．【典型例题】例1.用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．则该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【解】例2.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)【解】例3.某工厂有一段旧墙长14 m ，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为126 m 2的厂房，工程条件是：(1)建1 m 新墙的费用为a 元；(2)修1 m 旧墙的费用为a 4元；(3)拆去1 m 旧墙，用可得的建材建1 m 新墙的费用为a 2元，经讨论有两种方案： ①利用旧墙一段x m(0＜x ＜14)为矩形一边；②矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14，问如何利用旧墙建墙费用最省？试比较①，②两种方案哪个更好．【解】【变式拓展】1.将一段长为100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，则如何截可使正方形与圆的面积之和最小？【解】2.某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少千米处．【解】三、学习总结用导数解决生活中优化问题的一般步骤：(1)函数建模：细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式y＝f(x)．(2)确定定义域：一定要从问题的实际意义去考察，舍去没有实际意义的变量的范围．(3)求最值：此处尽量使用导数法求出函数的最值．(4)下结论：紧扣题目，给出圆满的答案.四、随堂检测1．用边长为48 cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为() A．6 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm2．某工厂需要建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为()A．16 m, 16 m B．32 m, 16 m C．32 m, 8 m D．16 m, 8 m3.某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为________元．4.某银行准备新设一种定期存款业务，经预算，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k＞0)．已知贷款的利率为0.048 6，且假设银行吸收的存款能全部放贷出去．设存款利率为x，x∈(0,0.048 6)，若使银行获得最大效益，则x的取值为.。

生活中的优化问题举例(含过程)

(1)求 k 的值及 f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值．
▪ [思路分析] 代入数据求k的值，建造费用加上20年能源消耗综合得出总费用f(x)，利用导数求最值．
[解析] (1)设隔热层厚度 xcm，由题意建筑物每年的能源消耗费用为 C(x)＝ 3x＋k 5(0≤x≤10)，再由 C(0)＝8 得 k＝40，
上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.
体积面积最值问题
例1 请你设计一个包装盒，如图所示， ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A， B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒. 点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE ＝FB＝x(cm). 某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
自主练习巩固2
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量 x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨) 之间的关系为 P＝24200－15x2，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x 元．问每月生产多少吨该产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)．
[思路分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝Px，月利润＝月收入－成本＝Px－(50000＋200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再利用导数求最大值．
自主练习巩固1
▪ 有一块边长为a的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器．为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
▪ [思路分析] 设截下的小正方形边长为x，用x表示出长方体的边长，根据题意列出关系式，然后利用导数求最值．