圆锥曲线轨迹及方程
图8-8-1
轨迹方程的若干求法
一、直接法
直接根据等量关系式建立方程.
例1 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =·，则点P 的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆
Ｃ．双曲线
Ｄ．抛物线
【对点练习2】
已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．
二．定义法
【例2】已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2,0)，
分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．
(1)△P AB 的周长为10；
(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；
(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．
图8-8-2
图8-8-5
如图8-8-2所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，
点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4
5|PD |. (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的长度．
【对点练习2】(2014·合肥模拟)如图8-8-5所示，以原点O 为圆心的两个 同心圆的半径分别为3和1，过原点O 的射线交大圆于点P ，交小圆于
点Q ，P 在y 轴上的射影为M .动点N 满足PM →＝λPN →且PM →·QN
→＝0.
(1)求点N 的轨迹方程；
(2)过点A (0,3)作斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2与点N 的轨迹分别 交于E ，F 两点，k 1·k 2＝－9.求证：直线EF 过定点．
如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来．
例4已知线段2
AA a
'=，直线l垂直平分AA'于O，在l上取两点P P'
，，使有向线段
OP OP'
，满足4
OP OP'=
·，求直线AP与A P''的交点M的轨迹方程．
五、待定系数法
当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.
例5已知Ａ，Ｂ，Ｄ三点不在一条直线上，且(20)
A-，，(20)
B，，2
AD=，
1
()
2
AE AB AD
=+．
（1）求E点轨迹方程；
（2）过A作直线交以A B
，为焦点的椭圆于M N
，两点，线段MN的中点到y轴的距
离为
4
5
，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆方程．
图8-8-4
【达标训练】
一、选择题
1．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →
＝0，则P 点的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 2．已知点F ? ??
??
14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的
直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 3． (2014·天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满
足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨
迹是( )
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
4． (2014·合肥模拟)如图8-8-4所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上
一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于E ，则点E 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于
A ，
B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →
， 且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是 ( ) A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.3
2x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)
C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)
D ．3x 2＋3
2y 2＝1(x ＞0，y ＞0)
6．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹
方程是( )
A ．y ＝2x 2
B ．y ＝8x 2
C ．2y ＝8x 2－1
D ．2y ＝8x 2＋1
二、填空题
7．平面上有三个点A (－2，y )，B ? ??
??0，y 2，C (x ，y )，若AB
→⊥BC →，则动点C 的轨
迹方程是_______________________．
8．动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心
的轨迹是_______________________．
9．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨
迹方程为_______________________．
10.(2014·佛山模拟)在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ? ????－a 2，0，C ? ??
??
a 2，0
(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝1
2sin A ，则动点A 的轨迹方程是_____________． 三、解答题
11．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为
点C .
(1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于P ，Q 两点，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．
12．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直
线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →
，M 点的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；
(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
13．(2013·课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为
2
2，求圆P的方程．
圆锥曲线的定义、性质、方程
专题13 圆锥曲线的定义、性质和方程 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2 3 x ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且 椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是(C ) （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 2．已知双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为(A) （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 3．如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2= ， 那么它的两条准线间的距离是（ C ） A ．36 B ．4 C ．2 D ．1 4．抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B) ( A ) 16 17 ( B ) 1615 ( C ) 87 ( D ) 0 5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23，0），且长轴长是短轴长的2倍， 则该椭圆的标准方程是 2 21164 +=y x ． 6．如图，F 为双曲线C ：()22 2210,0x y a b a b -=>>的右焦点。P 为双曲线C 右支 上一点，且位于x 轴上方，M 为左准线上一点，O 为坐标原点。已知四边形OFPM 为 平行四边形，|PF |=λ|OF |。 （Ⅰ）写出双曲线C 的离心率e 与λ的关系式； （Ⅱ）当λ=1时，经过焦点F 且平行于OP 的直线交双曲线于A 、B 点，若|AB |=12，求此时的双曲线方程。 【专家解答】 ∵四边形OFPM 是 ，∴||||OF PM c ==， 作双曲线的右准线交PM 于H ，则2 ||||2 a PM PH c =+，又22 2222|||||| 222 PF OF c e e a PH c a e c c λλλ====---， 220e e λ--=。 （Ⅱ）当1λ=时，2e =，2c a =，2 2 3b a =，双曲线为 22 22 143x y a a -=四边形
圆锥曲线 求点的轨迹方程
求点的轨迹问题 一、基础知识： 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为(),x y ，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘,x y 的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出,x y 的范围 2、求点轨迹方程的方法 （1）直接法：从条件中直接寻找到,x y 的关系，列出方程后化简即可 （2）代入法：所求点(),P x y 与某已知曲线()00,0F x y =上一点()00,Q x y 存在某种关系，则可根据条件用,x y 表示出00,x y ，然后代入到Q 所在曲线方程中，即可得到关于,x y 的方程 （3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角→圆：若AB AC ⊥，则A 点在以BC 为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标(),a b ，半径r ② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a ，定点距离2c ③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a ，定点距离2c ④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：p 。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程 （4）参数法：从条件中无法直接找到,x y 的联系，但可通过一辅助变量k ，分别找到,x y 与
圆锥曲线之动点轨迹方程
高考数学复习--日期： 圆锥曲线之动点轨迹方程： （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(,)0F x y =； 已知动点P 到定点F(1,0)和直线3=x 的距离之和等于4，求P 的轨迹方程。 ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 线段AB 过x 轴正半轴上一点M （m ，0）)0(>m ，端点A 、B 到x 轴距离之积为2m ，以x 轴为对称轴，过A 、O 、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 。 ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (1) 由动点P 向圆221x y +=作两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=600，则动点P 的轨迹方程为 。 （2）点M 与点F(4,0)的距离比它到直线05=+x l ：的距离小于1，则点M 的轨迹方程是 。 (3) 一动圆与两圆⊙M ：122=+y x 和⊙N ：012822=+-+x y x 都外切，则动圆圆心的轨迹为 。 ④代入转移法：动点(,)P x y 依赖于另一动点00(,)Q x y 的变化而变化，并且00(,)Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 代入已知曲线得要求的轨迹方程； 动点P 是抛物线122+=x y 上任一点，定点为)1,0(-A ,点M 分?→ ?PA 所成的比为2，则M 的轨迹方程为 。 ⑤参数法：当动点(,)P x y 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 （1）AB 是圆O 的直径，且|AB|=2a ，M 为圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使||||OP MN =，求点P 的轨迹。 （2）若点),(11y x P 在圆122=+y x 上运动，则点),(1111y x y x Q +的轨迹方程是 。 （3）过抛物线y x 42=的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，则弦AB 的中点M 的轨迹方程是 。
圆锥曲线标准方程求法(学生版)
圆锥曲线标准方程求法 一、椭圆标准方程求法 1、定义法 【例1】已知ABC ?的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。 【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为25 7.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程. 【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点??? ? ??26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程； 【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程. 【例4】设R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量， ,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+．求点),(y x M 的轨迹C 的方程； 2、待定系数法 1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为 2 ，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程．
2．已知椭圆1C ：22 221(0)y x a b a b +=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程． 3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程． 4.设椭圆:E 22 221x y a b +=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。 3、转化已知条件 【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12- .求点M 轨迹C 的方程; 【例2】设Q 、G 分别为ABC ?的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //?求点C 的轨迹E 【例3】已知动点P 到直线33 4- =x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;
完整的圆锥曲线轨迹方程求法
圆锥曲线轨迹方程的解法 目录 一题多解 (2) 一．直接法 (3) 二. 相关点法 (6) 三. 几何法 (10) 四. 参数法 (12) 五. 交轨法 (14) 六. 定义法 (16)
一题多解 设圆C ：（x －1）2+y 2=1，过原点O 作圆的任意弦OQ ，求所对弦的中点P 的轨迹方程。 一．直接法 设P （x,y ），OQ 是圆C 的一条弦，P 是OQ 的中点，则CP ⊥OQ ，x ≠0,设 OC 中点为M （0,21），则|MP |=21|OC |=21，得（x －21）2+y 2=41 (x ≠0)，即点P 的 轨迹方程是（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1)。 二．定义法 ⊥⊥OPC =90°，⊥动点P 在以M （0,2 1 ）为圆心，OC 为直径的圆（除去原点 O ）上，|OC |=1，故P 点的轨迹方程为（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1) 三．相关点法 设P （x,y ）,Q (x 1,y 1)，其中x 1≠0, ⊥x 1=2x,y 1=2y ,而（x 1－1）2+y 2=1 ⊥(2x －1)2+2y 2=1,又x 1≠0, ⊥x ≠0,即（x －21）2+y 2=41 (0＜x ≤1） 四．参数法 ①设动弦PQ 的方程为y=kx ,代入圆的方程（x －1）2+kx 2=1， 即（1+k 2）x 2－2x =0,⊥.12 221k x x +=+ 设点P （x,y ），则2 2211],1,0(112k k kx y k x x x +==∈+=+= 消去k 得（x － 21）2+y 2=4 1 (0＜x ≤1） ②另解 设Q 点（1+cos θ,sin θ），其中cos θ≠－1,P (x,y )， 则,2sin ],1,0(2cos 1θθ=∈+= y x 消去θ得（x －21）2+y 2=4 1 (0＜x ≤1）
圆锥曲线轨迹方程经典例题
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆： 1、 长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程; 2、 线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 3如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 4在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 5（2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8. （1） 求动圆圆心的轨迹C 的方程； （2） 已知点)0,1(-B ，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点Q P ,，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，证明 直线l 过定点。 二、椭圆类型： 3、 定义法：点M(x ,y )与定点F(2，0)的距离和它到定直线8=x 的距离之比为2 1 ，求点M 的轨迹方程.
圆锥曲线轨迹方程问题
圆锥曲线轨迹方程问题 纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高， 主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目. 分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没 有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是 ft东卷高 考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。 圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生 心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。 一、考法解法 命题特点分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其 实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类 问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同 时具备一定的推理能力和运算能力。 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨 迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型 （定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处 理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问 题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理 解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要 等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；② 简化条件式； ③转化化归。 解题方法荟萃
圆锥曲线轨迹方程经典例题
轨迹方程经典例题 一、轨迹为圆的例题： 1、 必修2课本P 124B 组2：长为2a 的线段的两个端点在x 轴和y 轴上移动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程： 必修2课本P 124B 组：已知M 与两个定点（0,0），A （3,0）的距离之比为 2 1 ，求点M 的轨迹方程;（一般地：必修2课本P 144B 组2：已知点M(x ,y )与两个定点21,M M 的距离之比为一个常数m ；讨论点M(x ,y )的轨迹方程（分m =1，与m ≠1进行讨论） 2、 必修2课本P 122例5：线段AB 的端点B 的坐标是（4,3），端点A 在圆 1)1(22=++y x 上运动，求AB 的中点M 的轨迹。 （2013新课标2卷文20）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为32。 （1）求圆心的P 的轨迹方程； （2）若P 点到直线x y =的距离为 2 2 ，求圆P 的方程。 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程. 解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)又|AR |=|PR |=22)4(y x +-所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1= 2 ,241+= +y y x ,代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得24 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0整理得：x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程. 在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ．设圆C 的半径为1，圆心在l 上． （1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． （2013陕西卷理20）已知动圆过定点)0,4(A ，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.
2021高考数学圆锥曲线轨迹方程问题解法指导
2021高考数学圆锥曲线轨迹方程问题解法指导 纵观近几年高考轨迹问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，常涉及函数、三角、向量、几何等知识，能很好地反映学生在这些能力方面的掌握程度.有的学生看到就头疼的题目.分析原因除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。圆锥曲线问题是山东卷高考压轴大题，解题的关键往往是第一问能否求出轨迹方程。 圆锥曲线问题轨迹方程，解答题中以待定系数法为多，一旦变换考法，往往会造成学生心理负担，为了更好的解决这一问题，本专题针对轨迹方程的常见考法做出了系统总结。 一、考法解法 命题特点分析 求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一,求符合某种条件的动点轨迹方程,其实质就是利用题设中的已知条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系问题，解决这类问题不但对圆锥曲线的定义、性质等基础知识要熟练掌握，还要利用各种数学思想方法，同时具备一定的推理能力和运算能力。 高考考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可
以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时，一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法，确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”。在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归。 解题方法荟萃 1.直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧，它是求轨迹方程的基本方法。 直接法一般有下列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。
圆锥曲线的综合问题-分题型整理
圆锥曲线的综合问题 ★知识梳理★ 1.直线与圆锥曲线C 的位置关系 将直线l 的方程代入曲线C 的方程，消去y 或者消去x ，得到一个关于x （或y ）的方程20ax bx c ++= （1）交点个数 ①当 a=0或a ≠0，⊿=0 时,曲线和直线只有一个交点; ②当 a ≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点; ③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点; (2) 弦长公式： 2.对称问题： 曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上 3.求动点轨迹方程 ①轨迹类型已确定的，一般用待定系数法 ②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的，一般用直接法 ③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法 ★重难点突破★ 重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值 难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题 重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题 1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能 ①求弦长时用韦达定理设而不求 ②弦中点问题用“点差法”设而不求 2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用 问题1：已知点1F 为椭圆22195 x y +=的左焦点，点()1,1A ，动点P 在椭圆上，则1PA PF +的最 小值为 点拨：设2F 为椭圆的右焦点，利用定义将1PF 转化为2PF ，在结合图形，用平面几何的知识解决。 126PA PF PA PF +=+-，当2,,P A F 共线时最小，最小值为62- ★热点考点题型探析★ 考点1 直线与圆锥曲线的位置关系 题型1：交点个数问题 [例1 ] 设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ?-+?+=-?+=
圆锥曲线定义、标准方程及性质(精)
圆锥曲线定义、标准方程及性质 一．椭圆 定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0
圆锥曲线之轨迹方程的求法
圆锥曲线之轨迹方程的求法（一） （制卷：周芳明） 【复习目标】 □1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤； □2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。 【基础练习】 1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( ) A ．y x = B ．||y x = C ．22y x = D ．220x y += 2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是 ( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．两条射线 D ．以上都不对 3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a +=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段 4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________. 【例题精选】 一、直接法求曲线方程 根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。 例1．已知ABC ?中，2,AB BC m AC ==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形. 练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。点P 的轨迹是什么曲线？
二定义法 若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。 例1．⊙C ：22(3)16x y ++=内部一点(3,0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于P ，求点P 的轨迹方程. 例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2F 的距离比它到y 轴的距离大12 。记点P 的轨迹为 曲线C 求点P 的轨迹方程； 练习．若动圆与圆1)2(:2 21=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方程是 . 三代入法 有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。 例1、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ， 求M 点的轨迹。
解析几何专题03圆锥曲线的定义方程及几何性质
解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质 学习目标 （1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题； （2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程； （3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。 知识回顾及应用 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线 2．圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程 (2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质 4．应用所学知识解决问题： 【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53 (,)22 -， 求椭圆的方程。 答案：22 1106 x y + = 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率14 e b = =,焦点在x 轴上； （2）4,a c ==焦点在y 轴上； （3）10,a b c +== 答案：（1）22116x y +=；（2）22 116y x +=；（3）2213616x y + =或2213616 y x +=。 【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）3a b =,且经过点(3,0)P ； （2）经过两点3(2-。 答案：（1）22 19x y +=或221819y x +=；（2）2214 x y +=。
问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题） 【类型一】圆锥曲线的方程 例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆 和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。 解：设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p = 24y x ∴= 抛物线方程为: 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆，1222a MF MF =++(2 2 2222211321 a a b a c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为： 对于双曲线，1222a MF MF '=-= 2222221321 a a b c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为： 练习：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为 2 。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。 答案：22 1168 x y + =求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法” 。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位，再定量”的原则。注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识，
圆锥曲线中轨迹方程的求法
圆锥曲线中轨迹方程的求法 临沂——李宝峰 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. 一：直接法： 是求轨迹方程最基本的方法，如果动点P 满足的等量关系易于建立，可以先表示出点P 所满足的几何上的等量关系，再用点P 的坐标（x ，y ）表示该等量关系式，构成F （x ，y ）=0，即可得到轨迹方程。一般有设点，列式，代换，化简，证明（可省略）五个步骤。但要注意“挖”与“补”。 直接根据等量关系式建立方程. 例1已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x = ·，则点P 的轨迹是（） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 解析：由题知(2)PA x y =--- ，，(3)PB x y =-- ，， 由2PA PB x = ·，得22(2)(3)x x y x ---+=，即26y x =+， P ∴点轨迹为抛物线．故选Ｄ． 例1：两个定点的距离为6，点M 到两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹。 分析：根据题意建立合适的坐标系，列出等量关系即可。 二：定义法（待定系数法）:适用于根据条件可直接判断轨迹是什么曲线，且知道其方程形式的情形（如圆、椭圆、双曲线、抛物线），运用解析几何中定义,则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 ，例2在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，求ABC △的重心的轨迹方程． 解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有2 39263 BM CM +=?=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆， 其中1213c a ==， ．5b ∴． ∴所求ABC △的重心的轨迹方程为22 1(0)16925 x y y +=≠． 注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性. 例2：已知:⊙c 1（x+3）2+y 2=1和⊙c 2（x-3）2+y 2=9,动圆M 与⊙c 1,⊙c 2相外切，求动圆 圆心M 的轨迹方程。 三：相关点法（代入法）：若所求动点随另一动点（称为相关点，该点坐标满足某已知曲线方程）有规律运动，根据条件找出它们坐标间的关系，用动点坐标表示相关点坐标，由相关点坐标满足的方程可求得动点轨迹方程。本法关键找出动点与相关点间的坐标关系。 即设出
用圆锥曲线定义求曲线方程
用圆锥曲线定义求曲线方程 圆锥曲线的定义尽管简单，但很重要，是推导标准方程和研究几何性质的基础和根源。圆锥曲线这一部分是高考考试的重点内容,其中对定义考查的试题又层出不穷,高考常常涉及，2008高考试题中有七套考察了定义。回归定义和有意识利用定义是高三学生需要加强的一个意识。 把握圆锥曲线的定义从两个方面入手即可：定义表达式和限制条件。现归纳对比如下表： 圆锥曲线定义表达式限制条件 椭圆+ =2a <2a 双曲线- =+2a >2a 抛物线=d P不在定直线L上 圆锥曲线的应用主要有三个方面： 1.求曲线的轨迹，即定义法。 2.涉及椭圆和双曲线上的点和两个焦点的“焦点三角形”问题，常利用定义表达式结合余弦定理解决。 3.研究曲线上的点和定点间距离的最值问题（和抛物线的焦点弦问题）。 现只对利用定义求曲线方程这部分试题总结如下： 一、与向量法有关的圆锥曲线定义试题
例1已知=（c, o）(c>0),=(n, n)(n R),| |的最小值为1，若动点P同时满足下列三个条件； ①| |= (a>c>0) ②(其中 ③动点P的轨迹C经过点B（0，-1） Ⅰ求c的值； Ⅱ求曲线C的方程； Ⅲ是否存在方向向量为a=(1,k)(k )的直线l，使l与曲线C 交于不同的点N、M且？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。 分析：本题的三个条件中的①②实质是用向量法给出了圆锥曲线的定义。因为F为一定点，②(其中实质说明E点在定直线x= ，且PE平行于x轴, 即垂直于直线x= ；①| |= 结合②说明了动点P到定点F和到定直线x= 的距离之比为定值。又根据a>c>0可知P点的轨迹为椭圆。 解：Ⅰ由①②可知P点轨迹为中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，故可设方程为 又由=（c, o）(c>0),=(n, n)(n R),| |的最小值为1可知点F 到直线y=x的距离为1，可求得c= Ⅱ又点B（0，-1）在椭圆上可得b2=1,a2=3 所以曲线方程为 Ⅲ假设存在方向向量a0=(1,k)(k≠0)的直线l满足条件，
圆锥曲线的轨迹方程经典题型训练含参考答案
圆锥曲线的轨迹方程 1．已知直线2 :220(1)l x ay a a --=>椭圆2 22:1x C y a +=，1F ，2F 分别为椭圆的左右焦点． （Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求C 的标准方程； 2．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的一点，I 为△12PF F 的内 切圆圆心，11222PIF IF F PIF S S S =-V V V ，且△12PF F 的周长为6． （1）求椭圆C 的方程． 3．椭圆22 22:1(1)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆E 上两动点P ，Q 使得四边形12 PFQF 为平行四边形，且平行四边形12PFQF 的周长和最大面积分别为8和 （1）求椭圆E 的标准方程； 4．已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在平面内运动，1 4 PA PB k k =-g ． （Ⅰ）求点P 的轨迹方程；
5．已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，且1F 是圆2270x y +-+=的圆心， 点H 的坐标为(0,)b ，且△12HF F 的面积为 （1）求椭圆C 的方程． 6．设1F ，2F 分别是椭圆22 22:1(0,0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点，A ，B 两点分别是椭圆C 的上，下顶 点，△12AF F 是等腰直角三角形，延长1AF 交椭圆C 于D 点，且2ADF ?的周长为 （1）求椭圆C 的方程； 7．已知点F 为椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点，点A 为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆 上任意一点到点F 距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； 8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，左右焦点分别为1F 、2F ，A 为椭圆上一点，1AF 与 y 轴交于点B ，2||||AB F B =，||OB = ． （1）求椭圆C 的方程；
专题-圆锥曲线与方程(教师)
专题-圆锥曲线与方程 抓住3个高考重点 重点1 椭圆及其性质 1．椭圆的定义：椭圆的第一定义：对椭圆上任意一点M 都有1212||||2||2MF MF a F F c +=>= 椭圆的第二定义：对椭圆上任意一点M 都有 || ,(01)MF e e d =<< 2．求椭圆的标准方程的方法 （1）定义法：根据椭圆定义，确定2 2 ,a b 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆的标准方程． （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是在y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出2 2 ,a b ，从而写出椭圆的标准方程． 3．求椭圆的标准方程需要注意以下几点？ （1）如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为2 2 1(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠或22 221x y m n += （2）与椭圆2222 221()x y m n m n +=≠共焦点的椭圆方程可设为22222 21(,)x y k m k n m k n k +=>->-++ （3）与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>有相同离心率的椭圆方程可设为22 122x y k a b +=（10k >，焦点在x 轴上）或 22 222 y x k a b +=（20k >，焦点在y 轴上） 4．椭圆的几何性质的应用策略 （1）与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形：若涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量，则要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的联系，求解自然就不难了． （2）椭圆的离心率2 21c b e a a ==-当e 越接近于1时，椭圆越扁，当e 越接近于0时， 椭圆越接近于圆， 求椭圆的标准方程需要两个条件，而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次方程，再结合2 2 2 a b c =+即可求出椭圆的离心率 [高考常考角度] 角度1若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)2 1,1(作圆12 2=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好 经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 14 52 2=+y x . 解析:方法一：设过点)21,1(的直线方程为：当斜率存在时，1 (1)2 y k x =-+，即22120kx y k -+-=
高三数学一轮复习曲线的轨迹方程的求法
2009届一轮复习曲线的轨迹方程的求法 高考要求: 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点. 重难点归纳: 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法. (1)直接法:直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程. (2)定义法:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求. (3)相关点法:根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程. (4)参数法:若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程. 求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. 典型题例示范讲解: 例1如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2 =36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的 顶点Q 的轨迹方程. 命题意图:本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线 的轨迹方程. 知识依托:利用平面几何的基本知识和两点间的距离公式建立线段AB 中点的轨迹方程. 错解分析:欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程，若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题. 技巧与方法:对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程. 解:设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |. 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理:在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2 ) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +- 所以有(x －4)2 +y 2 =36－(x 2 +y 2 ),即x 2 +y 2 －4x －10=0 因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2 ,241+= +y y x , 代入方程x 2 +y 2－4x －10=0,得 2 4 4)2()24( 22+? -++x y x －10=0 整理得:x 2+y 2 =56,这就是所求的轨迹方程. 例2设点A 和B 为抛物线.y 2 =4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，OM ⊥AB ，
圆锥曲线的定义方程和性质知识总结及试题
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数)10(<