圆锥曲线轨迹及方程

图8-8-1
轨迹方程的若干求法
一、直接法
直接根据等量关系式建立方程.
例1 已知点(20)(30)A B -，，，，动点()P x y ，满足2PA PB x =·，则点P 的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆
Ｃ．双曲线
Ｄ．抛物线
【对点练习2】
已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)试根据λ的取值情况讨论轨迹C 的形状．
二．定义法
【例2】已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且|O 1O 2|＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
【对点练习2】如图8-8-1所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2,0)，
分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．
(1)△P AB 的周长为10；
(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；
(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．
图8-8-2
图8-8-5
如图8-8-2所示，设P 是圆x 2＋y 2＝25上的动点，
点D 是P 在x 轴上的投影，M 为PD 上一点，且|MD |＝4
5|PD |. (1)当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；
(2)求过点(3,0)且斜率为4
5的直线被C 所截线段的长度．
【对点练习2】(2014·合肥模拟)如图8-8-5所示，以原点O 为圆心的两个 同心圆的半径分别为3和1，过原点O 的射线交大圆于点P ，交小圆于
点Q ，P 在y 轴上的射影为M .动点N 满足PM →＝λPN →且PM →·QN
→＝0.
(1)求点N 的轨迹方程；
(2)过点A (0,3)作斜率分别为k 1，k 2的直线l 1，l 2与点N 的轨迹分别 交于E ，F 两点，k 1·k 2＝－9.求证：直线EF 过定点．
如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来．
例4已知线段2
AA a
'=，直线l垂直平分AA'于O，在l上取两点P P'
，，使有向线段
OP OP'
，满足4
OP OP'=
·，求直线AP与A P''的交点M的轨迹方程．
五、待定系数法
当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决.
例5已知Ａ，Ｂ，Ｄ三点不在一条直线上，且(20)
A-，，(20)
B，，2
AD=，
1
()
2
AE AB AD
=+．
（1）求E点轨迹方程；
（2）过A作直线交以A B
，为焦点的椭圆于M N
，两点，线段MN的中点到y轴的距
离为
4
5
，且直线MN与E点的轨迹相切，求椭圆方程．
图8-8-4
【达标训练】
一、选择题
1．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →
＝0，则P 点的轨迹是( )
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线 2．已知点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的
直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．圆 D ．抛物线 3． (2014·天津模拟)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满
足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨
迹是( )
A ．直线
B ．椭圆
C ．圆
D ．双曲线
4． (2014·合肥模拟)如图8-8-4所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上
一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于E ，则点E 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
5．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于
A ，
B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若BP →＝2P A →
， 且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是 ( ) A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.3
2x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)
C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)
D ．3x 2＋3
2y 2＝1(x ＞0，y ＞0)
6．已知动点P 在曲线2x 2－y ＝0上移动，则点A (0，－1)与点P 连线中点的轨迹
方程是( )
A ．y ＝2x 2
B ．y ＝8x 2
C ．2y ＝8x 2－1
D ．2y ＝8x 2＋1
二、填空题
7．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB
→⊥BC →，则动点C 的轨
迹方程是_______________________．
8．动圆与⊙C 1：x 2＋y 2＝1外切，与⊙C 2：x 2＋y 2－8x ＋12＝0内切，则动圆圆心
的轨迹是_______________________．
9．已知△ABC 的顶点B (0,0)，C (5,0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨
迹方程为_______________________．
10.(2014·佛山模拟)在△ABC 中，A 为动点，B ，C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 2，0
(a ＞0)，且满足条件sin C －sin B ＝1
2sin A ，则动点A 的轨迹方程是_____________． 三、解答题
11．已知定点F (0,1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为
点C .
(1)求动点C 的轨迹方程；
(2)过点F 的直线l 2交轨迹于P ，Q 两点，交直线l 1于点R ，求RP →·RQ →的最小值．
12．(2011·课标全国卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，－1)，B 点在直
线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →
，M 点的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程；
(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
13．(2013·课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为
2
2，求圆P的方程．。