人教版数学高二新课标测试题组选修4-4 坐标系与参数方程A组

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高中数学坐标系与参数方程单元测试(一)新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题

word坐标系与参数方程注意事项：1．答题前，先将自己的某某、某某号填写在试题卷和答题卡上，并将某某号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，已知π5,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是（）A ．π5,3⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．4π5,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2π5,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D 5π5,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭2．经过点()1,5M 且倾斜角为π3的直线，以定点M 到动点P 的位移(t 为参数)的参数方程（）A．1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩B．1125x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩C．1125x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩D．1125x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩3．P是椭圆4sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)上一点，且在第一象限，OP (O 为原点)的倾斜角为π6，则点P 的坐标为（）A ．()2,3B．⎝⎭C．(D ．()4,34．将sin y x =的图像横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为（） A ．12sin 2y x =B ．1sin 22y x =C ．2sin 2y x =D ．11sin 22y x =5．极坐标方程1ρ=表示（） A ．直线B ．射线C ．圆D ．椭圆6．在极坐标系中，过点π2,3⎛⎫⎪⎝⎭且与极轴垂直的直线方程为（）A ．4cos ρθ=-B ．cos 10ρθ-= C．sin ρθ=．ρθ=7．直线cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数)与圆42cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩(ϕ为参数)相切，则直线的倾斜角α为（）A ．π6或5π6B ．π4或3π4C ．π3或2π3D ．π6-或5π6-8．在极坐标系中，已知点π2,2A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，3π4B ⎫⎪⎭，()0,0O ，则ABO △为（）A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角等腰三角形D ．直角等腰三角形9．已知直线:2x l y t⎧=⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数)和抛物线2:2C y x =，l 与C 分别交于点1P ，2P ，则点()0,2A 到1P ，2P 两点距离之和是（）wordA．4+B．(22+C．(42D．8+10．过抛物线22x ty ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为（）A ．π3B ．π3或2π3C ．π6D ．π6或5π611．可以将椭圆221108x y +=变为圆224x y +=的伸缩变换是（）A．52'x x y '=⎧⎪=B．''y =⎪⎩C．'x '=D．'y'=12．圆r ρ=与圆()π2sin 04r r ρθ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭的公共弦所在直线的方程为（）A ．()2sin cos r ρθθ+=B ．()2sin cos r ρθθ+=- C()sin cos r θθ+=D()sin cos r θθ+=-二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为33x t y t =+⎧⎨=-⎩ (参数t ∈R )，圆的参数方程为2cos 2sin 1x y θθ=⎧⎨=+⎩(参数[)0,2πθ∈)，则圆心到直线l 的距离为________．14．已知直线的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则极点到直线的距离是________．15．直线l 过点()01,5M ，倾斜角是π3，且与直线0x y --=交于M ，则0MM 的长为________．16．与曲线cos 10ρθ+=关于π4θ=对称的曲线的极坐标方程是________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．（10分）在伸缩变换2x x y y '=⎧⎨'=⎩，与伸缩变换22x xy y'=⎧⎨'=⎩的作用下，221x y +=分别变成什么图形？18．（12分）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：（1）5cos 4sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ (ϕ为参数)；（2）134x ty t =-⎧⎨=⎩(t 为参数)．word19．（12分）求直线2x ty =+⎧⎪⎨=⎪⎩ (t 为参数)被双曲线221x y -=上截得的弦长．20．（12分）已知定点(),0A a ，动点P 对极点O 和点A 的X 角π3OPA ∠=．在OP 的延长线上取点Q ，使PQ PA =．当P 在极轴上方运动时，求点Q 的轨迹的极坐标方程．word21．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．M 是1C 上的动点，点P 满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（1）求2C 的方程；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线π3θ=与1C 和异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求AB ．22．（12分）已知半圆直径()20AB r r =>，半圆外一条直线l 与AB 所在直线垂直相交与点T ，并且222r AT a a ⎛⎫=<⎪⎝⎭．若半圆上相异两点M 、N 到l 的距离MP ，NQ 满足:1:MP MA NQ NA ==，通过建立极坐标系，求证：MA NA AB +=．word2018-2019学年选修4-4训练卷坐标系与参数方程（一）答案一、选择题． 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】D 【解析】5．【答案】C 6．【答案】B【解析】设(),M ρθ为直线上除π2,3⎛⎫⎪⎝⎭以外的任意一点，则有πcos 2cos 3ρθ=⋅，则cos 1ρθ=，经检验π2,3⎛⎫⎪⎝⎭符合方程．故选B ．7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】C【解析】把直线参数方程化为3'12'2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t '为参数)，代入22y x =求得(12423t t ''+=-，12160t t ''>=，知1t ，2t 均小于零，则(111222423AP AP t t t t ''''+=+=+=．故选C ．10．【答案】B【解析】将抛物线的参数方程化成普通方程为232y x =，它的焦点为3,08⎛⎫⎪⎝⎭．设弦所在直线的方程为38y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由23238y x y k x ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，消去y 得()22226448290k x k x k -+=+，设弦的两个端点的坐标为()11,x y ，()22,x y ，则()222212121222329144161k x x k x x x x k k ⎛⎫+-=++-⋅- ⎪+⎝⎭，解得3k =．故选B ． 11．【答案】D【解析】方法1：将椭圆方程221108x y +=化为222452x y +=，∴222452x +=，令252x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，得224x y '+='，即224x y +=，∴伸缩变换为5'22x x y y '=．方法2：将224x y +=改写为224x y '+='，设伸缩变换为()()00x x y y λλμμ'=>⎧⎪⎨'=>⎪⎩，代入224x y '+='，得22224x y λμ+=，即2222144x y λμ+=，与椭圆221108x y +=，比较系数得221410148λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，word∴伸缩变换为x xy y⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，即'y ='=．故选D ．12．【答案】D【解析】圆r ρ=的直角坐标方程为222x y r +=，①圆()πππ2sin 2sin cos cos sin sin cos 444r r ρθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边同乘以ρ得()2sin cos ρρθρθ=+，∴220x y ++=，② 由①-②)x y r +=-，即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程．)x y r +=-()cos sin r θθ+=-．二、填空题． 13．14．15．【答案】16．【答案】sin 10ρθ+=三、解答题． 17．【答案】见解析．【解析】由2x x y y '=⎧⎨'=⎩得2x x y y '⎧=⎪⎨⎪'=⎩，代入221x y +=得2212x y '⎛⎫'+= ⎪⎝⎭，即2214x y ''+=．所以在伸缩变换2x x y y'=⎧⎨'=⎩的作用下，单位圆221x y +=变成椭圆2214x y +=．由22x x y y '=⎧⎨'=⎩，得22x x y y '⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入221x y +=得22122x y ''⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即224x y ''+=，所以在伸缩变换22x xy y'=⎧⎨'=⎩的作用下，单位圆221x y +=变成圆224x y +=．18．【答案】（1）长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆；（2）过40,3⎛⎫⎪⎝⎭和()1,0的一条直线．【解析】（1）∵5cos 4sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，∴cos 5sin 4xy ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两边平方相加，得2222cos sin 2516x y ϕϕ+=+，即2212516x y +=．∴曲线是长轴在x 轴上且为10，短轴为8，中心在原点的椭圆．（2）∵134x t y t=-⎧⎨=⎩，∴由4y t =代入13x t =-，得134yx =-⋅，∴4340x y +-=，∴它表示过40,3⎛⎫⎪⎝⎭和()1,0的一条直线．19．【答案】【解析】把直线参数方程化为标准参数方程122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，带入221x y -=，得：221212t ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．整理，得2460t t -=-．设其两根为1t 、2t ，则124t t +=，126t t =-．从而弦长为12AB t t =-===word20．【答案】π2sin 6a ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【解析】设Q 、P 的坐标分别是(),ρθ、()11,ρθ，则1θθ=．在POA △中，由正弦定理得，12πsin π3sin 3aρθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，sin πsin 3a PA θ=．又OQ OP PA =+，∴π2sin 6a ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．21．【答案】（1）2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)；（2）．【解析】（1）设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭．由于点M 在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩，从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．（2）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=．射线π3θ=与1C 交点A 的极径为1π4sin 3ρ=，射线π3θ=与2C 的交点B 的极径为2π8sin 3ρ=．所以12AB ρρ=-= 22．【答案】见解析．【解析】证明：证法一以A 为极点，射线AB 为极轴建立极坐标系，则半圆的极坐标方程为2cos r ρθ=，设()11,M ρθ，()22,N ρθ，则112cos r ρθ=，222cos r ρθ=，又21112cos 22cos MP a a r ρθθ=++=，22222cos 22cos NQ a a r ρθθ=++=， ∴21122cos 2cos MP a r r θθ+==，∴22222cos 2cos NQ a r r θθ+==， ∴1cos θ，2cos θ是关于cos θ的方程2cos cos 0r r a θθ-+=的两个根，由韦达定理知：12cos cos 1θθ+=，∴122cos 2cos 2MA NA r r r AB θθ+=+==．证法二以A 为极点，射线AB 为极轴建立直角坐标系，则半圆的极坐标方程为2cos r ρθ=，设()11,M ρθ，()22,N ρθ，又由题意知，()11,M ρθ，()22,N ρθ在抛物线21cos aρθ=-上，∴22cos 1cos ar θθ=-，2cos cos 0r r a θθ-+=，∴1cos θ，2cos θ是方程2cos cos 0r r a θθ-+=的两个根，由韦达定理知：12cos cos 1θθ+=，∴122cos 2cos 2MA NA r r r AB θθ+=+==．。

高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试(附答案)

高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试班级:__________________ 座号:______ 姓名：___________________成绩：___________ 一、选择题（共12题，每题5分）1、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 2、极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ） 3．已知点P 的极坐标为（1，π），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）A ．ρ=1B ．ρ=cosθC ．ρ=-θcos 1D ．ρ=θcos 14．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（）A ．ρ=2cos(θ-4π) B ．ρ=2sin(θ-4π) C ．ρ=2cos(θ-1) D ．ρ=2sin(θ-1) 5．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 6．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7．在极坐标系中，以（2,2πa ）为圆心，2a为半径的圆的方程为（）A ．θρcos a =B ．θρsin a =C ．a =θρcosD ．a =θρsin8．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（） A ．线段 B .双曲线的一支 C.圆 D.射线 9、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变为曲线y=sinx 的伸缩变换是（）A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213//C ．⎩⎨⎧==//23y y x xD ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 10．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．11、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心12、设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧θ=θ+-=sin y ,cos 2x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则yx的取值范围是（）A ．[-3，3]B ．（-∞，3）∪[3，+∞]C ．[-33，33]D ．（-∞，33）∪[33，+∞]二、填空题（共8题，各5分）1、点A 的直角坐标为（1，1，1），则它的球坐标为，柱坐标为2、曲线的1cos 3sin --=θθρ直角坐标方程为____________________3、直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________4、设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。

新课标教材高中数学测试题组(选修4-4)坐标系与参数方程(基础训练题共3组)含详细解答

坐标系与参数方程 [基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是A．1(,2B ．31(,)42-C． D． 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为 A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为A ．201y y +==2x 或B ．1x =C ．201y +==2x 或xD ．1y = 5．点M的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线34()45x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为__________________.2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________. 3．已知直线113:()24x tl t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =______.4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为__________________. 5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为__________________.三、解答题1．已知点(,)P x y 是圆222x y y +=上的动点，（1）求2x y +的取值范围；（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。

人教版数学高二A版选修4-4第二讲参数方程单元检测A

第二讲参数方程单元检测（A ）一、选择题1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C 1与C 2的交点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．32．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程1,23x t y t=--⎧⎨=+⎩(t 为参数)所表示的图形分别是( )． A ．圆、直线 B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线 3．点P (1,0)到曲线2,2x t y t ⎧=⎨=⎩(其中t 为参数且t ∈R )上的点的最短距离为( )． A ．0 B ．1 CD ．24．已知三个方程：①2==x t y t ⎧⎨⎩，，②2=tan =tan x t y t ⎧⎨⎩，，③2sin sin x t y t =⎧⎨=⎩，(都是以t 为参数)，那么表示同一曲线的方程是( )．A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③5．圆锥曲线2tan 3sec x y θθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)的焦点坐标是( )． A ．(±3,0) B ．(0，±3)C ．(0) D ．(0，6．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线13cos 4sin x C y θθ=+⎧⎨=+⎩，：(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为( )． A ．1 B ．3C ．5D ．77．若圆的参数方程为12cos 32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩，(θ为参数)，直线的参数方程为2161x t y t =-⎧⎨=-⎩，(t 为参数)，则直线与圆的位置关系是( )．A ．过圆心B ．相交而不过圆心C ．相切D ．相离8．椭圆53cos 24sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩，(θ为参数)的离心率是( )． A．4 B．3C．2D．5 二、填空题9．椭圆cossinx ay bθθ=⎧⎨=⎩，(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝________.10．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为33x ty t=+⎧⎨=-⎩，(参数t∈R)，圆C的参数方程为2cos2sin2xyθθ=⎧⎨=+⎩，(参数θ∈[0,2π))，则圆C的圆心坐标为________，圆心到直线l的距离为________．三、解答题11．求2sin1cosmθθ-=-的最小值．12．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上存在两点A，B关于直线x＋y－1＝0对称，求p的取值范围．参考答案1.答案：C解析：曲线C1化为普通方程为圆：x2＋(y－1)2＝1，曲线C2化为直角坐标方程为直线：x－y＋1＝0.因为圆心(0,1)在直线x－y＋1＝0上，故直线与圆相交，交点个数为2.2.答案：A解析：∵ρ＝cos θ，∴x2＋y2＝x表示圆．∵1,23, x t y t=--⎧⎨=+⎩∴3x＋y＋1＝0表示直线．3.答案：B解析：点P与曲线2,2x ty t⎧=⎨=⎩(t∈R)上的点之间的距离d==2+11t≥．4.答案：B解析：①②③的普通方程都是y＝x2，但①②中x的取值范围相同，都是x∈R，而③中x的取值范围是－1≤x≤1．5.答案：D解析：曲线的普通方程为22=194y x-，表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线，且对应的a＝3，b＝2，c=，所以焦点坐标是(0，．6.答案：B解析：∵C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，∴两圆心之间的距离为d=.∵A∈曲线C1，B∈曲线C2，∴|AB|min＝5－2＝3.7. 答案：B解析：将圆、直线的参数方程化成普通方程，利用圆心到直线的距离与圆的半径进行比较，可知圆心到直线的距离小于半径，并且圆心不在直线上．8. 答案：A解析：将椭圆的参数方程化为普通方程，即2252=1916x y (-)(+)+， ∴a ＝4，b ＝3.由c 2＝a 2－b 2，得c =∴4c e a ==. 9. 答案：π10. 答案：(0,2)解析：消参后得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线方程为x ＋y ＝6，所以圆心坐标为(0,2)，11. 解：设Q (1,2)，P (cos θ，sin θ)为圆x 2＋y 2＝1上任意一点，如图，可知，2sin 1cos m θθ-=-就是直线PQ 的斜率．设过Q 与圆x 2＋y 2＝1相交的直线方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0.∵圆心O 到直线PQ 的距离不大于半径1，1≤， ∴34k ≥，∴min 34m =. 12. 解：设抛物线的参数方程为222x pt y pt⎧=⎨=⎩，(t 为参数)，两点A (212pt ，2pt 1)，B (222pt ，2pt 2)．又A ，B 两点关于直线x ＋y －1＝0对称，则有221212212221()()=1, 2()=1. 2()p t t p t t p t t p t t ⎧+++⎪-⎨⎪-⎩①②由②得t 1＋t 2＝1，代入①得22121>0p t t p-+=， ∴0＜p ＜1．又由222121211>>222t t t t p p ++-⎛⎫ ⎪⎝⎭，得，∴0＜p＜2 3 .综上，p的范围是23⎛⎫ ⎪⎝⎭，.。

选修4-4坐标系与参数方程知识点总结和同步练习(附答案)

数方程为

x y

x0 y0
t cos t sin

(t为参数) ，其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点，任一点
uuuuuur M (x, y) 为终点的有向线段 M 0M 的数量，当点 M 在 M 0 上方时， t ＞0；当点 M 在
M 0 下方时， t ＜0；当点 M 与 M 0 重合时， t =0。我们也可以把参数 t 理解为以 M 0 为原点，直线 l 向上的方向为正方向的数轴上的点 M 的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的
x2 a2

y2 b2
1(a

0,
b

0),
其参数方程为

x y

a b
sec tan
(为参数)
，其中
[0, 2 )且 , 3 . 22
焦点在
y
轴上的双曲线的标准方程是
y2 a2

x2 b2
1(a
0,b

0), 其参数方 y 的取值范围；
（2）若 x y a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围。
2．求直线
l1
:

x y

1 5
t
3t (t为参数) 和直线 l2 : x y 2
3 0 的交点 P 的坐标，及点
P
与 Q(1, 5) 的距离。
3．在椭圆 x2 y2 1上找一点，使这一点到直线 x 2 y 12 0 的距离的最小值。 16 12
点M
直角坐标 (x, y)
极坐标 (, )
互化公式
x cos

新课标高考《坐标系与参数方程》(选修4-4)含答案

第二讲坐标系与参数方程(选修4－4)1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. (1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．4．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程为⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数．(2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．热点一极坐标方程及其应用[例1] (1)(2014·江西高考改编)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)(2014·东北三校联考)已知点P (1＋cos α，sin α)，参数α∈[0，π]，点Q 在曲线C ：ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4上．①求点P 的轨迹方程和曲线C 的直角坐标方程； ②求点P 与点Q 之间距离的最小值．1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π) (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．热点二参数方程及其应用[例2] (2014·福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．2．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．[例3] (2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．3．极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ＝8cos θ.热点三极坐标方程与参数方程的综合应用(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴的交点为F ，求1|AF |＋1|BF |的值．1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．第二部分题1．(2014·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．2．(2014·南京模拟)在极坐标系中，圆C 的方程为ρ＝2a cos θ，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t ＋2，y ＝4t ＋2(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．3．(2014·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.4．(2014·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．5．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点． (1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．答案解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t (t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝⎛⎭⎫32，32.解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，π2.解：(1)由点A ⎝⎛⎭⎫2，π4在直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．[师生共研] (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，且y ＝1－x ，所以ρsin θ＝1－ρcos θ，所以ρ(sin θ＋cos θ)＝1，ρ＝1sin θ＋cos θ.又0≤x ≤1，所以0≤y ≤1，所以点(x ，y )都在第一象限及坐标轴的正半轴上，则0≤θ≤π2，即所求线段的极坐标方程为ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2. (2)①由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α，消去α，得点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)，又由ρ＝92sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，得ρ＝9sin θ＋cos θ，所以ρsin θ＋ρcos θ＝9.所以曲线C 的直角坐标方程为x ＋y ＝9.②因为半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)的圆心(1,0)到直线x ＋y ＝9的距离为42，所以|PQ |min ＝42－1.解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0.(2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，即为所求．热点二参数方程及其应用[师生共研] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎡⎭⎫0，π4， ∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝⎛⎦⎤1289，64.热点三极坐标方程与参数方程的综合应用[师生共研] (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.解：(1)由ρsin 2θ＝8cos θ得ρ2sin 2θ＝8ρcos θ，，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝8x . (2)易得直线l 与x 轴的交点为F (2,0)，将直线l 的方程代入y 2＝8x ，得(t sin α)2＝8(2＋t cos α)，整理得t 2sin 2 α－8t cos α－16＝0.由已知sin α≠0，Δ＝(－8cos α)2－4×(－16)sin 2 α＝64>0，∴t 1＋t 2＝8cos αsin 2α，t 1t 2＝－16sin 2α<0，故1|AF |＋1|BF |＝⎪⎪⎪⎪1t 1－1t 2＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝⎝⎛⎭⎫8cos αsin 2α2＋64sin 2α16sin 2α＝12.解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．第二部分题答案：1．解：将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝⎛⎭⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以AB ＝|t 1－t 2|＝8 2.2．解：易求直线l ：4x －3y －2＝0，圆C ：(x －a )2＋y 2＝a 2，依题意，有|4a －2|42＋(－3)2＝|a |，解得a ＝－2或29.3．解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝ 2.4．解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1.(2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.5．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝⎛⎭⎫4，π6，B ⎝⎛⎭⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝(23)2－4×(－14)1＝217.6．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16(sin α＋cos α)2－16>0，t 1＋t 2＝－4(sin α＋cos α)，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4，由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， ∴22<sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4≤1，故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．。

高中数学选修44坐标系与参数方程练习题含详解1

数学选修 4-4坐标系与参数方程[ 基础训练 A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为x 1 2t (t 为参数 ) ，则直线的斜率为（）y 2 3t A ．2B ．2 3 D ．333C ．222．以下在曲线x sin 2( 为参数 ) 上的点是（）ycossinA ．(1,2)B ． (3,1)C ． (2, 3)D ． (1,3)24 23．将参数方程x 2 sin 2为参数 ) 化为一般方程为（y sin2( ）A ． y x2B ． y x 2C ． y x 2(2 x 3)D ． yx 2(0 y 1)4．化极坐标方程2cos0 为直角坐标方程为（）A ． x 2y 20或 y 1B ． x 1C ． x 2 y 20或 x 1D ． y 15．点 M 的直角坐标是 (1, 3) ，则点 M 的极坐标为（）A ． (2,) B ． (2,) C ． (2,2)D ． (2,2 k),( k Z )33336．极坐标方程cos 2sin 2 表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题1．直线x 3 4t (t 为参数 ) 的斜率为 ______________________。

y 4 5t2．参数方程x e te t) (t 为参数) 的一般方程为 __________________。

y2(e te t3．已知直线 l 1 :x 1 3ty 2 (t 为参数 ) 与直线 l 2 : 2x 4 y 5 订交于点 B ，又点 A(1,2) ，4t则 AB_______________。

x 2 1 t4．直线2(t 为参数 ) 被圆 x 2 y 2 4 截得的弦长为 ______________。

y1 1t25．直线 x cos y sin 0 的极坐标方程为 ____________________ 。

三、解答题1．已知点 P(x, y) 是圆 x 2y 2 2y 上的动点，（ 1）求 2xy 的取值范围；（ 2）若 xy a 0恒建立，务实数 a 的取值范围。

新课程高中数学新编测试题组数学选修4-4 坐标系与参数方程(含答案)

选修4-4数学选修4-4 坐标系与参数方程 [基础训练A 组]数学选修4-4 坐标系与参数方程 [综合训练B 组] 数学选修4-4 坐标系与参数方程 [提高训练C 组]数学选修4-4 坐标系与参数方程[基础训练A 组]一、选择题1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）A ．23B ．23-C ．32D ．32-2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（）A ．1(,2B ．31(,)42-C ．D ． 3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 4．化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（）A ．201y y +==2x 或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =5．点M 的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈6．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆二、填空题 1．直线34()45x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()t tt tx e et y e e --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x tl t y t=+⎧⎨=-⎩为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，则AB =_______________。

4．直线122()112x t t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试(附答案)培训讲学

高二年数学选修4-4坐标系与参数方程测试班级:__________________ 座号:______ 姓名：___________________成绩：___________ 一、选择题（共12题，每题5分）1、点M的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（） A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．(2,2),()3k k Z ππ+∈ 2、极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线对称的是（）A ．（-ρ，θ）B ．（-ρ，-θ）C ．（ρ，2π-θ）D ．（ρ，2π+θ） 3．已知点P 的极坐标为（1，π），那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是（）A ．ρ=1B ．ρ=cos θC ．ρ=-θcos 1D ．ρ=θcos 14．以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是（）A ．ρ=2cos(θ-4π) B ．ρ=2sin(θ-4π) C ．ρ=2cos(θ-1) D ．ρ=2sin(θ-1) 5．极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（）A ．一条射线和一个圆B ．两条直线C ．一条直线和一个圆D ．一个圆 6．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 7．在极坐标系中，以（2,2πa ）为圆心，2a为半径的圆的方程为（）A ．θρcos a =B ．θρsin a =C ．a =θρcosD ．a =θρsin8．曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x (t 是参数)，则曲线是（） A ．线段 B .双曲线的一支 C.圆 D.射线 9、在同一坐标系中，将曲线y=2sin3x 变为曲线y=sinx 的伸缩变换是（）A ．⎪⎩⎪⎨⎧==//213y y x xB ．⎪⎩⎪⎨⎧==y y xx 213//C ．⎩⎨⎧==//23y y x xD ．⎩⎨⎧==y y x x 23// 10．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．11、直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心12、设P(x ，y)是曲线C ：⎩⎨⎧θ=θ+-=sin y ,cos 2x （θ为参数，0≤θ<2π）上任意一点，则yx的取值范围是（）A ．[-3，3]B ．（-∞，3）∪[3，+∞]C ．[-33，33]D ．（-∞，33）∪[33，+∞]二、填空题（共8题，各5分）1、点A 的直角坐标为（1，1，1），则它的球坐标为，柱坐标为2、曲线的1cos 3sin --=θθρ直角坐标方程为____________________3、直线3()14x att y t=+⎧⎨=-+⎩为参数过定点_____________4、设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。

(2021年整理)高二数学选修4-4__极坐标与参数方程单元练习(六套)

高二数学选修4-4__极坐标与参数方程单元练习(六套)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高二数学选修4-4__极坐标与参数方程单元练习(六套)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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极坐标与参数方程单元练习1一、选择题(每小题5分，共25分）1、已知点M 的极坐标为⎪⎭⎫⎝⎛35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ )。

A. 53，-⎛⎝ ⎫⎭⎪π B 。

543，π⎛⎝⎫⎭⎪C. 523，-⎛⎝⎫⎭⎪π D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-355π，2、直线：3x-4y —9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x ，（θ为参数）的位置关系是（）A.相切B.相离C.直线过圆心 D 。

相交但直线不过圆心3、在参数方程⎩⎨⎧+=+=θθsin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2,则线段BC 的中点M 对应的参数值是（）4、曲线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=12322t y t x （t 是参数）,则曲线是( ) A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6，则x 2＋y 2的最大值为（）A 、27B 、29C 、4D 、3二、填空题（每小题5分，共30分)1、点()22-，的极坐标为。

2、若A 33，π⎛⎝ ⎫⎭⎪，B ⎪⎭⎫ ⎝⎛-64π，，则|AB ｜=___________,S A O B ∆=___________。

高二文科选修4-4坐标系与参数方程测试题及答案(精选.)

高二级数学选修4-4《极坐标与参数方程》考试卷一、选择题（共10题，各4分，共32分）1.曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标为（）。

A 4)2(22=++y x B 4)2(22=-+y x C 4)2(22=+-y x D 4)2(22=++y x 2.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线方程是（）。

A 1=ρ B θρcos = C θρcos 1-= D θρcos 1= 3.在同一坐标系中，将曲线x y 3sin 2=变为曲线x y sin =的伸缩变换是（）⎪⎩⎪⎨⎧==''213)(y y x x A ⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x B 213)('' ⎪⎩⎪⎨⎧==''23)(y y x x C ⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x D 23)('' 4.直线12+=x y 的参数方程是（）⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数）抛物线的一部分）。

0= ]3,2[∈x 7.设点P 对应的复数为-3+3，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为（） A (23，π43) B (23-，π45) C (3，π45) D (-3，π43) 8.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：02=++kx y 与曲线C ：θρcos 2=相交，则k 的取值范围是（）。

A 34k <-B 43-≥k C R k ∈ D R k ∈但0≠k 9.已知过曲线{()3cos 4sin x y θθπθθ≤≤==为参数，0上一点P 原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是A （3，4）B 1212(,)55--C (-3，-4)D 1212(,)5510.若圆的方程为⎩⎨⎧+=+-=θθsin 23cos 21y x （θ为参数），直线的方程为⎩⎨⎧-=-=1612t y t x （t 为参数），则直线与圆的位置关系是（）。

近年高中数学坐标系与参数方程单元测试(二)新人教A版选修4-4(最新整理)

2019高中数学坐标系与参数方程单元测试（二）新人教A 版选修4-412019高中数学坐标系与参数方程单元测试（二）新人教A 版选修4-4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高中数学坐标系与参数方程单元测试（二）新人教A 版选修4-4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2坐标系与参数方程注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．在极坐标系中,点(),ρθ与点(),πρθ--的位置关系是（ ) A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．重合D ．关于直线()π2θρ=∈R 对称2．参数方程()cos sin 2211sin 2x y θθθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数，02πθ≤<)表示( ） A ．双曲线的一支，这支过点错误! B ．抛物线的一部分，这部分过点错误! C ．双曲线的一支,这支过点错误! D ．抛物线的一部分，这部分过点错误! 3．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、t 2,则线段BC 的中点M 对应的参数值是（） A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!4．设0r >，那么直线cos sin x y r θθ+=与圆cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的位置关系是（ ) A ．相交 B ．相切C ．相离D ．视r 的大小而定5．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ) A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．π34sin ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=D ．π34sin ρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭=36．若双曲线的参数方程为2tan 12sec x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数），则它的渐近线方程为（）A ．()1122y x -=±+B ．12y x =±C ．()122y x -=±+D ．2y x =±7．原点到曲线C ：32sin 22cos x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）上各点的最短距离为（ )A2B．2 C．3D8．圆5cos ρθθ=-的圆心是( ） A ．错误! B ．错误! C ．错误!D ．错误!9．曲线cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（ ) A ．12B ．错误!C ．1D ．错误!10．若曲线ρ=22上有n个点到曲线πcos 4ρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭错误!，则n=（） A ．1B ．2C ．3D ．411．集合()()3cos π3si ,n x y M x y θθθθ=⎧<<⎨=⎩⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭是参数,0,(){},N x y y x b ==+,若集合M N ≠∅，则b 应满足（）A．b -≤B．3b -≤- C．0b ≤≤D．3b -≤≤12．点(),P x y 是曲线22346850x y x y +---=上的点,则2z x y =+的最大值和最小值分别是（）A ．7，1-B ．5，1C ．7，1D ．4，1-二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分,把正确答案填在题中横线上）13．设点p 的直角坐标为(1,1，错误!），则点P 的柱坐标是________，球坐标是________．14．若直线1l :错误!(t 为参数)与直线2l ：错误!（s 为参数)垂直，则k=________．15．在极坐标系中，曲线C 1：cos ρθ=与曲线C 2：2cos21ρθ=相交于A ，B两点，则AB =________．16．已知曲线C 的参数方程为错误!(t 为参数）,C 在点(1，1)处的切线为l ,以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l 的极坐标方程为____________．4三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为π4⎫⎪⎭，直线l 的极坐标方程为πcos 4a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且点A 在直线l 上．（1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2）圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）,试判断直线l 与圆的位置关系．18．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，且0t ≠），其中0πα≤<,在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C :2sin ρθ=，3:C ρθ=．(1)求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求AB 最大值．19．（12分）已知直线l 经过P （1，1）,倾斜角π6α=．（1)写出直线l 的参数方程；（2）设l 与圆224x y +=相交于A,B 两点,求点P 到A ，B 两点的距离之积．520．（12分）在直角坐标系xOy 中，圆C 1：224x y +=，圆C 2：()2224x y -+=．(1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程,并求出圆C 1，C 2的交点坐标（用极坐标表示)；（2）求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．21．(12分）已知曲线C 1的参数方程是2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)，以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是2ρ=，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A,B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为π2,3⎛⎫⎪⎝⎭．(1）求点A ，B,C ，D 的直角坐标；（2）设P 为C 1上任意一点，求2222PA PB PC PD +++的取值范围．22．（12分）分别在下列两种情况下，把参数方程()()1e e cos21e e2sint tt txyθθ--⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化为普通方程．（1）θ为参数，t为常数；（2）t为参数，θ为常数．612018—2019学年选修4-4训练卷坐标系与参数方程（二)答案一、选择题． 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】C 11．【答案】D【解析】集合M 表示229x y +=的圆，其中0y >,集合N 表示一条直线，画出集合M 和N 表示的图形,可知3b -≤≤．故选D ． 12．【答案】A【解析】将原方程配方得()()2211143x y --+=，令12cos 1x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，则π234sin 6x y θ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,∴当πsin 16θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,()max 27x y +=，当πsin 16θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时,()min 21x y +=-．故选A ．二、填空题．13．【答案】π4 ππ2,,44⎛⎫ ⎪⎝⎭14．【答案】1- 15．【答案】216．【答案】cos sin 2ρθρθ+=三、解答题．17．【答案】(1）a =20x y +-=；（2)相交．【解析】（1）由点π4A ⎫⎪⎭在直线πcos 4a ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上,可得a ．∴直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+=，从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由已知得圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=．∴圆心为()1,0，半径1r =，则圆心到直线l的距离1d <，∴直线l 与圆C 相交． 18．【答案】(1）（0，0），错误!；（2）4．【解析】（1)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,2曲线C 3的直角坐标方程为220x y +-=，联立两方程解得错误!或错误!， ∴2C 与C 3交点的直角坐标为（0，0），错误!．（2）曲线1C 极坐标方程为(),0θαρρ=∈≠R ，其中0πα≤<，因此点A 的极坐标为()2sin ,αα，点B的极坐标为(),αα．∴π2sin 4sin 3AB ααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当5π6α=时AB 取得最大值，最大值为4． 19．【答案】（1)错误!(t 为参数)；（2）2．【解析】（1）直线的参数方程为π1cos 6π1sin 6x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即错误!（t 为参数）．(2)把直线错误!代入x 2+y 2=4得错误!错误!+错误!错误!=4,∴)2120t t +-=，∴122t t =-，故点P 到A ，B 两点的距离之积为2．20．【答案】（1)π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2）错误!(t为参数，t ≤．【解析】（1）圆C 1的极坐标方程为2ρ=．圆C 2的极坐标方程为4cos ρθ=．由24cos ρρθ=⎧⎨=⎩，得:2ρ=，π3θ=±．故圆C 1与圆C 2交点的坐标为π2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．注：极坐标系下点的表示不唯一． (2）解法一由 cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(,(1,．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为错误!(t 为参数,t ≤．解法二将1x =代入cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos 1ρθ=，从而11sin tan cos cos y ρθθθθ=⇒=⋅=，于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为1tan x y θ=⎧⎨=⎩ππ,33θθ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭为参数．21．【答案】（1)(A，()B，(1,C -，)1D -;(2）[]32,52．【解析】（1）由已知可得ππ2cos ,2sin 33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,ππππ2cos ,2sin 3232B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，ππ2cos π,2sin π33C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,π3ππ3π2cos ,2sin 3232D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,即(A,()B,(1,C -,)1D -．（2)设()2cos ,3sin P ϕϕ，令2222S PA PB PC PD +++=，则22216cos 36sin 163220sin S ϕϕϕ=++=+．∵20sin 1ϕ≤≤,∴S 的取值范围是[]32,52． 22．【答案】(1）()()2222111e e e e 44tt tt x y --+=+-;（2)22221cos sin x y θθ-=．【解析】（1)当0t =时,0y =，cos x θ=，即1x ≤，且0y =;3当0t ≠时，()cos 1e e 2tt x θ-=+，()sin 1e e 2tt y θ-=-,而221x y +=，即()()2222111e e e e 44tt tt x y --+=+-．（2）当πk θ=，k ∈Z 时,0y =,()1e e 2tt x -=±+,即1x ≥，且0y =；当ππ2k θ=+，k ∈Z 时，0x =，()1e e 2tt y -±-=,即0x =; 当π2k θ≠,k ∈Z 时，有e e cos e e 22sin t tt t x yθθ--⎧+⎪-=⎨=⎪⎪⎪⎩，即22sin 2e cos e cos 222sin tt x y x y θθθθ-=+=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，得2e e cos 22222sin si o n c s t t x y x y θθθθ-⎛⎫⎛⎫⋅=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即22221cos sin x y θθ-=．。

高中数学第二讲参数方程测评习题(含解析)新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学试题

第二讲测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若直线l 的参数方程为{x =2017+3t ,y =2016-t (t 为参数),则直线l 的斜率等于()A.3B.-3C.1D.-13l 的斜率k=-13=-13.2.直线3x-4y-9=0与圆:{x =2cosθ,y =2sinθ(θ为参数)的位置关系是()A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心(0,0),半径为2,圆心到直线3x-4y-9=0的距离d=95<2,故直线与圆相交但直线不过圆心.3.参数方程为{x =t +1t ,y =2(t 为参数)表示的曲线是()A.一条直线B.两条直线C.一条射线D.两条射线2表示一条平行于x 轴的直线,而由x=t+1t知x ≥2或x ≤-2,所以参数方程表示的曲线是两条射线.4.已知椭圆的参数方程为{x =2cost ,y =4sint(t 为参数),点M 在椭圆上,对应参数t=π3,点O 为原点,则直线OM的斜率为() A.√3 B.-√33C.2√3D.-2√3t=π3时,x=1,y=2√3,则M (1,2√3),所以直线OM 的斜率k=2√3. 5.已知圆的渐开线{x =r (cosφ+φsinφ),y =r (sinφ-φcosφ)(φ为参数)上一点的坐标为(3,0),则渐开线对应的基圆的面积为()A.πB.3πC.4πD.9π(3,0)代入参数方程得{3=r (cosφ+φsinφ), ①0=r (sinφ-φcosφ),②由②得φ=tan φ,即φ=0.再代入①得r=3,即基圆的半径为3,故其面积为9π.6.已知直线l 的参数方程为{x =a +t ,y =b +t (t 为参数),l 上的点P 1对应的参数是t 1,则点P 1与点P (a ,b )之间的距离是() A.|t 1| B.2|t 1| C.√2|t 1|D.√22|t 1|P 1的坐标为(a+t 1,b+t 1),则点P 1与点P 之间的距离为√t 12+t 12=√2|t 1|.7.直线{x =1+12t ,y =-3√3+√32t(t 为参数)和圆x 2+y 2=16相交于A ,B 两点,则线段AB 中点的坐标为() A.(3,-3) B.(3,-√3) C.(√3,-3)D.(-√3,3)(1+12t)2+(-3√3+√32t)2=16,得t 2-8t+12=0.设点A ,B 对应的参数分别为t 1,t 2,则t 1+t 2=8,t 1+t 22=4.所以线段AB 的中点的坐标满足{x =1+12×4,y =-3√3+√32×4, 即{x =3,y =-√3.故所求的中点坐标为(3,-√3).8.已知经过曲线{x =3cosθ,y =4sinθ(θ为参数,0≤θ≤π)上的一点P 与原点O 的直线PO ,若它的倾斜角为π4,则点P 的极坐标为() A.(3,π4) B.(3√22,π4) C.(-125,π4)D.(12√25,π4)将曲线化成普通方程为x 29+y 216=1(y ≥0),将其与直线PO :y=x 联立可得点P 的坐标为(125,125).利用直角坐标与极坐标的互化公式可得点P 的极坐标为(12√25,π4).9.与普通方程x 2+y-1=0等价的参数方程是() A.{x =sint ,y =cos 2t (t 为参数) B.{x =tanφ,y =1-tan 2φ(φ为参数) C.{x =√1-t ,y =t (t 为参数) D.{x =cosθ,y =sin 2θ(θ为参数)A 中,由于普通方程x 2+y-1=0中x 可以取得一切实数,但A 中x 大于等于-1,小于等于1,故错误;选项B 中,结合正切函数的图象可知,满足题意;选项C 中,由偶次根式的定义可知,x 不可能取得一切实数,故错误;选项D 中,结合余弦函数的有界性可知x 不能取得一切实数,错误.故选B .10.已知直线l :{x =√3t ,y =2-t (t 为参数)和抛物线C :y 2=2x ,l 与C 分别交于点P 1,P 2,则点A (0,2)到P 1,P 2两点的距离之和是() A.4+√3 B.2(2+√3) C.4(2+√3)D.8+√3{x =-√32t ',y =2+12t '(t'为参数,t'=-2t ),将其代入y 2=2x ,得t'2+4(2+√3)t'+16=0. 设t'1,t'2分别为方程的根,则t'1+t'2=-4(2+√3),t'1t'2=16>0,由此可知t'1,t'2均小于零,则|AP 1|+|AP 2|=|t'1|+|t'2|=|t'1+t'2|=4(2+√3).11.若曲线C 的参数方程为{x =2+3cosθ,y =-1+3sinθ(θ为参数),直线l 的方程为x-3y+2=0,则曲线C 上到直线l的距离为7√1010的点的个数为() A.1B.2C.3D.4C 的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,它表示以(2,-1)为圆心,半径为3的圆,其中圆心(2,-1)到直线x-3y+2=0的距离d=√10=7√1010,且3-7√1010<7√1010, 故过圆心且与l 平行的直线与圆交于两点,满足题意的点即为该两点.12.导学号73574066过抛物线{x =2t 2,y =√3t (t 为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为() A.π3 B.π3或2π3 C.π6D.π6或5π6y 2=32x ,它的焦点坐标为(38,0).设弦所在直线的方程为y=k (x -38),由{y 2=32x ,y =k (x -38)消去y ,得64k 2x 2-48(k 2+2)x+9k 2=0.设弦的两个端点的坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(34·k 2+2k 2)2-916=√1+k2,解得k=±√3.故倾斜角为π3或2π3.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.在平面直角坐标系xOy 中,若直线l 1:{x =2s +1,y =s (s 为参数)和直线l 2:{x =at ,y =2t -1(t 为参数)平行,则常数a 的值为.1的普通方程为x=2y+1,l 2的普通方程为x=a ·y+12,即x=a2y+a2,因为l 1∥l 2,所以2=a2,故a=4.14.设P (x ,y )是圆C :(x-2)2+y 2=4上的动点,记以射线Ox 为始边、以射线OP 为终边的最小正角为θ,则以θ为参数的圆C 的参数方程为.C 的圆心坐标为(2,0),半径为2,如图,由圆的性质知以射线Cx 为始边、以射线CP 为终边的最小正角为2θ,所以圆C 的参数方程为{x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数).x =2+2cos2θ,y =2sin2θ(θ为参数)15.在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ=4的直线与曲线{x =t 2,y =t 3(t 为参数)相交于A ,B 两点,则|AB|=.ρcos θ=4化为直角坐标方程是x=4,而由曲线的参数方程消参得x 3=y 2,所以y 2=43=64, 即y=±8.所以|AB|=|8-(-8)|=16.16.若直线{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数)与圆{x =4+2cosα,y =2sinα(α为参数)相切,则此直线的倾斜角α=.y=x ·tan α,圆(x-4)2+y 2=4,如图所示,sin α=24=12,则α=π6或α=5π6.5π6三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线: (1){x =7cosφ,y =4sinφ(φ为参数);(2){x =1-5t ,y =7t (t 为参数).因为{x =7cosφ,y =4sinφ,所以{x7=cosφ,y4=sinφ.两边平方相加,得x 249+y 216=cos 2φ+sin 2φ=1,故所求的普通方程为x 249+y 216=1,它表示焦点在x 轴上,且长轴长为14,短轴长为8,中心在原点的椭圆. (2)因为{x =1-5t ,y =7t ,所以将t=y 7代入x=1-5t ,得x=1-5·y7,即7x+5y-7=0.故所求的普通方程为7x+5y-7=0, 它表示过(0,75)和(1,0)的一条直线.18.(本小题满分12分)已知直线l 1的方程为{x =1+t ,y =-5+√3t (t 为参数),直线l 2的方程为x-y-2√3=0.求直线l 1和直线l 2的交点P 的坐标及点P 与点Q (2√3,-5)间的距离.{x =1+t ,y =-5+√3t代入x-y-2√3=0,得t=2√3,∴点P 的坐标为(1+2√3,1).又点Q 为(2√3,-5),∴|PQ|=√12+62=√37.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =1+3cost ,y =-2+3sint (t 为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴非负半轴为极轴)中,直线l 的方程为√2ρsin (θ-π4)=m (m ∈R ).(1)求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程; (2)设圆心C 到直线l 的距离等于2,求m 的值.消去参数t ,得圆C 的普通方程为(x-1)2+(y+2)2=9.由√2ρsin (θ-π4)=m , 得ρsin θ-ρcos θ-m=0.所以直线l 的直角坐标方程为x-y+m=0. (2)依题意,圆心C 到直线l 的距离等于2, 即2=2,解得m=-3±2√2.20.(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数).(1)以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C 的极坐标方程; (2)若A (-2,0),B (0,2),圆C 上任意一点M (x ,y ),求△ABM 面积的最大值.因为圆C 的参数方程为{x =3+2cosθ,y =-4+2sinθ(θ为参数),所以其普通方程为(x-3)2+(y+4)2=4.将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入,得(ρcos θ-3)2+(ρsin θ+4)2=4,化简得ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.故圆C 的极坐标方程为ρ2-6ρcos θ+8ρsin θ+21=0.(2)由题意知直线AB 的方程为x-y+2=0,点M (x ,y )到直线AB :x-y+2=0的距离d=√2,△ABM 的面积S=12×|AB|×d=|2cos θ-2sin θ+9|=|2√2sin (π4-θ)+9|.所以△ABM 面积的最大值为9+2√2. 21.导学号73574067(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1:{x =tcosα,y =tsinα(t 为参数,t ≠0),其中 0≤α<π.在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2√3cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标;(2)若C 1与C 2相交于点A ,C 1与C 3相交于点B ,求|AB|的最大值.曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y=0,曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-2√3x=0.联立{x 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-2√3x =0,解得{x =0,y =0或{x =√32,y =32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和(√32,32).(2)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R ,ρ≠0),其中0≤α<π.因此点A 的极坐标为(2sin α,α),点B 的极坐标为(2√3cos α,α).所以|AB|=|2sin α-2√3cos α|=4|sin (α-π3)|.当α=5π6时,|AB|取得最大值,且最大值为4. 22.导学号73574068(本小题满分12分)已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosφ,y =3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上,且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,π3). (1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设P 为C 1上的任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值X 围.由已知可得A ,B ,C ,D 的直角坐标分别为A (2cos π3,2sin π3),B (2cos (π3+π2),2sin (π3+π2)), C (2cos (π3+π),2sin (π3+π)),D (2cos (π3+3π2),2sin (π3+3π2)),即A (1,√3),B (-√3,1),C (-1,-√3),D (√3,-1).(2)设P (2cos φ,3sin φ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2, 则S=16cos 2φ+36sin 2φ+16=32+20sin 2φ. 因为0≤sin 2φ≤1,所以S 的取值X 围是[32,52].。

高中数学选修4-4坐标系与参数方程坐标系与参数方程(A)同步练习

1吉林省松原市宁江区实验高级中学2021学年度高中数学选修4-4坐标系与参数方程双基训练金卷坐标系与参数方程（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．点的直角坐标是，则点的极坐标为（）A ．B ．C ．D ．2．在极坐标系中，与点关于极点对称的点的一个坐标是（）A ．B ．C ．D ．3．下列点不在直线(t 为参数)上的是（）A ．B ．C ．D ．4．在同一平面直角坐标系中满足由曲线变成曲线的一个伸缩变换为（）A ．B ．C ．D ．5．圆的圆心坐标是（）A ．B ．C ．D ．6．直线（t 为参数）被圆截得的弦长为（）A ．B ．C ．D ．7．已知直线（为参数）与圆（为参数）相切，则直线的倾斜角为（）此卷只装订不密封姓名准考证号考场号座位号A．或B．或C．或D．或8．摆线（为参数，）与直线的交点的直角坐标是（）A．，B．，C．，D．，9．若，满足，则的最大值为（）A．1B．2C．3D．410．已知直线（为参数）与曲线的相交弦中点坐标为，则等于（）A．B．C．D．11．点满足，则的最大值为（）A．B．4C．D．512．过椭圆（为参数）的右焦点作直线，交于，两点，，，则的值为（）A．B．C．D．不能确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系中，若直线过椭圆（为参数）的右顶点，则常数的值为__________．14．圆的参数方程为（为参数），则此圆的半径为_______．15．抛物线截直线（t为参数）所得的弦长为__________．16．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线(θ为参数)和曲线上，则的最小值为________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数且)，C与坐标轴交于A，B两点．（1）求；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程．218．（12分）已知直线的参数方程为(为参数)，圆的参数方程为(为参数)．（1）若直线与圆的相交弦长不小于，求实数的取值范围；（2）若点的坐标为，动点在圆上，试求线段的中点的轨迹方程．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，曲线．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．320．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若点的直角坐标为，曲线与直线交于两点，求的值．21．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为．（1）求，的极坐标方程；（2）设点的极坐标为，求面积的最小值．422．（12分）已知平面直角坐标系，以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线过点，且倾斜角为，圆C的极坐标方程为．（1）求圆C的普通方程和直线的参数方程；（2）设直线与圆C交于M、N两点，求的值．5坐标系与参数方程（A）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】由于，得，，由，得，结合点在第二象限，可得，则点M的坐标为，故选C．2．【答案】A【解析】把点绕极点顺时针旋转π弧度，即可得到点关于极点对称的点，故所求坐标为，所以本题答案为A．3．【答案】D【解析】直线l的普通方程为，因此点的坐标不适合方程，故答案为D．4．【答案】A【解析】由题意得，把经过伸缩变换变成曲线，则可令，，化简得，答案选A．5．【答案】C【解析】原式可化为，利用极坐标定义可转化为，配方为，则圆心坐标为，化成极坐标，得出，，答案选C．6．【答案】A【解析】把代入圆方程得，即，解得或，所以交点为和，弦长为，故选A．7．【答案】A【解析】将直线代入方程，得．由题意有，．又，从而，或．8．【答案】A【解析】由，得．∵，∴，，代入参数方程得到对应交点的坐标分别为，．9．【答案】B【解析】由圆的参数方程为（为参数），得，故的最大值为2，故选B．10．【答案】A【解析】由直线（为参数），可得直线的普通方程为，由曲线，可得曲线普通方程为，设直线与椭圆的交点为，，则，，两式相减，可得．所以，即直线的斜率为，所以，故选A．11．【答案】B【解析】两边同时乘，化为，得，则．由，可得，所以当时，取得最大值4，故选B．12．【答案】B【解析】消去参数得到椭圆的普通方程为，故焦点，设直线的参数方程为（为参数），代入椭圆方程并化简得，故，（异号），故，故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】3【解析】椭圆的普通方程为，其右顶点的坐标为，代入直线方程得，所以．14．【答案】5【解析】由，①2+②2得，．∴圆的半径为5，故答案为5．15．【答案】【解析】由直线的参数方程，可得直线的普通方程为，联立，整理得，此时，，，所以弦长．16．【答案】3【解析】由参数方程与极坐标方程化普通方程为和，即求两个圆上点A，B间的最小距离，由圆的几何性质知，的最小值等于圆心距去掉两个半径，圆心距等于5，所以，所以答案应填3．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）令，则，解得或（舍），则，即；令，则，解得或（舍），则，即，．（2）由（1）可知，则直线的方程为，即．由，可得，直线的极坐标方程为．18．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）直线的参数方程为(为参数)，普通方程为，圆的参数方程为(为参数)，普通方程为，圆心到直线的距离，相交弦长，所以，所以或．（2）设，，则，，消去，整理可得线段的中点的轨迹方程．19．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲线(α为参数)的普通方程为，即，所以曲线C1的极坐标方程为，即；又因为曲线，所以曲线C2的极坐标方程为，即．（2）射线与曲线C1的交点A的极径为，射线与曲线C2的交点B的极径ρ2满足，解得，所以．20．【答案】（1）直线的方程为，曲线C的直角坐标方程为；（2）．【解析】（1）直线的参数方程为为参数），消去参数，可得直线的普通方程为；曲线的极坐标方程为，即，化为直角坐标方程为，即圆的直角坐标方程为．（2）把直线的参数方程代入圆的方程，化简得，所以，，，所以．21．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）曲线的参数方程为(为参数)，所以曲线的普通方程为，即曲线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为；设点的极坐标为，点的极坐标为，则，，，因为，即，，所以，即，所以的极坐标方程为．（2）由题设知，则，所以当时，取得最小值．22．【答案】（1）圆的方程，直线的参数方程为（为参数）；（2）．【解析】（1），，圆的方程，直线的参数方程为（为参数）．（2）将直线的参数方程代入圆的方程，得：，，，，，，．。

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