管理运筹学教案排队论3PPT课件

为计算简化，现专门根据=λ/cμ值和c值编制
了Wqμ数值表可供使用，其结构为：
Wqμ λ/cμ
0.1 0.2 0.3
…… 0.95
1 0.1111 0.2500 0.4286
…… 19.000
服务台数c
2
3
0.0101
0.0014
0.0417
0.0103
0.0898
0.0333
…… 9.2564
…… 6.0467
此时的状态概率为：
c (c)k cc (cN)1
p0 k0
k!
c!
1
1
pn (c n !)np0
(0nc)
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6
1
2.252 2.253 1
12.25
2
6
12.25
0.0748
3
(2) Lqc(!c(1 )c )2P 0(33 !(2 1.3 22).5 2 33 5 2).3 2 2 50.07 41.7 804
LsLq1.70400..493.954
(3) W qLq1.70 0.91.89
§4.多服务台的情形[M/M/C]
§4.1标准的[M/M/C]模型 即：[M/M/C]: [∞/∞/FCFS]
标准的[M/M/C]模型与标准的[M/M/1]模型的各特征 规定相同，另外，各服务台工作是相互独立且平均服务率相 同，即μ1=μ2=μ3…=μc=μ，整个服务机构的平均服务 率为：cμ(n≥c时) 或nμ(n<c时)
n+1
μ 2μ
(n-1)μ nμ (n+1)μ
n+1≤c
λ
λλ
...
n-1 n
n+1
μ
cμ cμ
n+1>c
由上图知，当n<c时，顾客被服务离去的速率为 nμ,当n>=c时，为cμ，故可得差分方程：
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3
P1 P0
(n 1 )P n 1 P n 1 (n)P n (1≤n<c)
(1) 空闲的概率;
(2) 平均队长Ls，Lq;
(3) 平均等待时间和逗留时间Wq,Ws;
(4)顾客到达后必须等待的概率.
解: (1)
P0k 20k1!( )k3 1!1 1( )31
1
100..4912(00..49)2161
1 0.9
(00..49)3
30.4
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WsLs3.95 0.94.39
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7
顾客到达后必须等待的概率
(4)
P n 3 1 (P 0 P 1 P 2 ) 1 P 0 P 0 1 2 ( )2 P 0
1 P 1 (1 2 .2 5 2 .2 22) 5 1 0 .07 5 .4 7 8 0 .57
模型 指标
服务台空闲概率 P0 顾客必须等待概率
平均队长 Ls 平均队列长 Lg 平均逗留时间 Lu 平均等待时间 Wq
MFra Baidu bibliotekM/c
0.748 P(n>=3)=0.57
3.95 1.70 4.39min 1.89min
M/M/1
0.25(每个子系统) P(n>=1)=0.75 9.00(整个系统)
2.25（每个子系统） 10min 7.5min
令
c
，只有当
1 时，才不会形成无限队列。 c
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
从右图的队列图分 析系统中的状态转 移关系，见下面状 态转移图。
队列 ......
u
u 。。。c个
u
λλ
λ
λ
λ
0 1 ... ... n-1 n
4
系统的运行指标为：
Ls
Lq
(c)c
Lqnc1(nc)Pnc!(1)2P0
Ws Ls
Wq Lq
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例4. 某售票所有三个窗口，一个队列形成M/M/C系统。顾 客到达服从泊松流λ=0.9人/M，服务时间服从负指数分布， μ=0.4人/M，求：
cP n 1P n 1(c)P n
(n>=c)
这里： Pi 1 ，ρ≤ 1 i0
利用递推法解该差分方程可求得状态概率为：
P0kc 1 0k1!( )kc1!1 1( )c1
Pn
1 ()n n!
P0
(n≤c), Pn c!c1nc ()nP0 (n>c)
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从上表可知，M/M/C系统明显比C个M/M/1系统的指标优。
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§4.3 系统容量有限制的情形 （M/M/C/N/∞）
设系统的容量最大限制为N(≥C）,当系统中顾客数n已达 到N（即队列中的顾客数已达N-C）时，再来的顾客将被拒绝， 其他条件与标准的M/M/C型相同。
WsLs3.950.94.39
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§4.2 M/M/C型系统和C个M/M/1 型系统的比较
上面说的是M/M/C型系统，系统中只有一个队列，若系 统c个服务台前各有一个队列，则是c个M/M/1系统的迭加 （见下面图示），虽然这两种系统看上去相似，但其运行指 标却有很大差别。
λ=0.9
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λ1=λ/c
...
λ2=λ/c
...
...
λc=λ/c
...
μ μ ... μ
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现仍以上面的例4进行分析。如果除排队方式外，其它条件不变，
顾客到达每个窗口前各排一队，且进入队后坚持不换，这就形成了上面 的队列，每个队列的平均到达率为λ1=λ2=…=λc=λ/c=0.9/3= 0.3人 /M.这样，原来的系统就变成了λ=0.3人/M的3个M/M/1型子系统，且相 互独立。按M/M/1求解并与上面的比较得：
4 0.0002 0.0030 0.0132
…… 4.4571
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例如上题中可查表得： ρ=0.75,c=3,Wgμ=0.756
∴ W q0.750 6.41.89
LqW q1.89 0.91.70
LsLq1.7000..493.95