2020合肥二模-理科答案

合肥市2020年高三第二次教学质量检测 数学试题（理科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.1 14.38 15.2y x =± 16.2

π

12(第一空2分，第二空3分) 三、解答题：本大题共6小题，满分70分.

17.(本小题满分12分)

解：(1)设{}n a 的公差为d ，由21a =，714S =得11

1

72114a d a d +=⎧⎨

+=⎩. 解得111,22a d ==，所以2

n n

a =.

∵()212

2

1232

2

n n n n

n b b b b ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==，∴()

12

12312

n n n b b b b --⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=(2n ≥)，

两式相除得2n n b =(2n ≥). 当1n =时，12b =适合上式.

∴2n n b =. ………………………………5分

(2)∵()cos 2cos 2n n n n n c b a ππ⎛⎫

== ⎪⎝⎭

，

∴()()()23421222132cos 2cos 2cos 2cos 22cos 2cos 222

n n n n T n ππ

ππππ--=++++⋅⋅⋅++

()()()

24622462=2cos 2cos 22cos 32cos 222(1)2n n n

n ππππ+++⋅⋅⋅+=-+-++-

()(

)()

1

4144414

5

n

n +---+-=

=-+. ………………………………12分

18.(本小题满分12分)

解：(1)//CD AB .理由如下：

连结CD ，分别取AF BE ，的中点M N ，，连结DM CN MN ，，，由图(1)可得，ADF ∆与BCE ∆都是等腰直角三角形且全等，则DM AF ⊥，CN BE ⊥，DM CN =，如图.

∵平面ADF ⊥平面ABEF ，交线为AF ，DM ⊂平面ADF ，DM AF ⊥，∴DM ⊥平面ABEF . 同理得，CN ⊥平面ABEF ，∴//DM CN .

又∵DM CN = ∴四边形CDMN 为平行四边形 ∴//CD MN . ∵M N ，分别是AF BE ，的中点 ∴//MN AB

∴//CD AB . ………………………………5分 (2)在AB 边上取一点P ，使得AP DF =. 由图(1)可得，ADFP 为正方形，即AP FP =. ∵M 为AF 的中点 ∴MP MA ⊥.

由(1)知，MD ⊥平面ABEF ，∴MA MP MD ，，两两垂直.

以M 点为坐标原点，直线MA MP MD ，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系xyz M -，如图. 设2AF =，则D (0，0，1)，A (1，0，0)，P (0，1，0)，F (-1，0，0)， ∴FD = (1，0，1)，FE AP ==

(-1，1，0).

题号

1

2

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B B C A D A B D A C D

设平面DFE 的一个法向量为()m x y z = ，，. 由00FD m FE m ⎧⋅=⎪

⎨⋅=⎪⎩

得00x z x y +=⎧⎨-+=⎩

. 令1x =，则11y z ==-，，∴m =

(1，1，-1).

由平面ADF 是坐标平面xMz 可得：平面ADF 一个法向量为n =

(0，1，0). 设平面ADF 与平面DFE 所成的锐角二面角为θ

，则

cos cos 3

m n m n m n θ⋅=<>==⋅ ，，

∴平面ADF 与平面DFE 所成锐二面角的余弦值为3

3. ………………………………12分

19.(本小题满分12分)

解:(1)设直线l 的方程为1

2

y x m =

+.设A (11x y ，)，B (22x y ，). 由22

14312

x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨

⎪=+⎪⎩得2230x mx m ++-=，则212123x x m x x m +=-=-，. 由()22430m m ∆=-->，解得22m -<<.

又∵点P (312

，)在直线l 的左上方，∴21m -<<.

若以AB 为直径的圆恰好经过椭圆C 的右焦点2F ，则220AF BF ⋅=

，即()()1122110x y x y --⋅--=，，，

化简得274110m m +-=，解得11

7

m =-，或1m =(舍). ∴直线l 的方程为111

27y x =

-. ………………………………5分 (2)∵121212123331312222221111PA PB y y x m x m k k x x x x ------+=+=+----()12111111m x x ⎛⎫=+-+ ⎪--⎝

⎭ ()()()1212122111x x m x x x x -+=+--++()

221113

m m m m +=+-++-222

102m m m m --+=+=+-， ∴直线1x =平分APB ∠，即PAB ∆的内切圆的圆心在定直线1x =上.………………………12分

20.(本小题满分12分)

解:(1)∵01

0210131

p p p <<⎧⎪

<≤⎨⎪≤-<⎩

，解得103p <≤.

()14004001200400400200E A p p p p =+--=-， ()1200300900100300200E B p p p p =+--=+，

()()104E A E B p >⇒<<

；()()1

4

E A E B p =⇒=；()()1143E A E B p <⇒<≤.

∴当1

04

p <<时，应选择方案A ；当1143p <≤时应选择方案B ；

当1

4

p =时，既可以选择方案A 也可以选择方案B . ……………………………5分

(2)因为=0.2p ，根据(1)的结果，应选择方案A ，所以新产品的年度总成本为

3

2128101603

y x x x =

-++. 设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为1ξ，2ξ和3ξ，则