小学数学高频考点讲义33专题三十三 分步计数原理(一)

A

专题三十三 分步计数原理（一）

例题：

1.在88 的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的“凸”字形图形?

分析与解答：

如图,将标有A 字的方格称为凸字形的“头”,当“头”在8×8的正方形边上时,一个“头”对应着一个凸字形,这样的凸字形有6×4=24(个);当“头”位于8×8的正方形内部时,一个“头”对应着4个凸字形,这样的下凸字形有4×(6×6)=144(个),合计24+144=168(个).

2.某城市的街道非常整齐(如图),从西南角A 处走到东北角B 处,要求走得最近的路,并且不能通过十字路口C (正在修路),共有多少种不同的走法?

分析与解答：

用标数法可以求出一共有120(种)走法.

3.一个自然数,如果它顺着数和倒过来数都是一样的,则称这个数为“回文数”.例如1331, 7, 202都是回文数.而220则不是回文数.问1到6位的回文数一共有多少个?

分析与解答：

→B →A C →B

→A

C

1 1 1 1 1 1 1

2

3

4 5

7 6 3

6

10

13

6

1

4 10 20 20

39 26 1

5 15 25 55 120 81 1

一位回文数有9个;二位回文字也有9个;三位回文数有9×10=90(个);四位回文数也有90个;五位回文数有9×10×10=900(个);六位回文数也有900个.一共有9+9+90+90+900+900=1998(个).

4.如图,把A 、B 、C 、D 、E 这个五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相领的部分可以使用同一种颜色.那么这幅图一共有多少种不同的着色方法?

分析与解答：

按A ,B ,C ,D ,E 的顺序,分别有4,3,2,2,2种颜色可选,所以不同颜色着色方法共有4×3×2×2×2=96(种).

习题：

1.书架上有6本不同的画报、10本不同科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书,共有 种不同的取法.

2.七个相同的球,放入四个不同的盒子里,每个盒子至少放一个.不同的放法有 种.

3.用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够组成 个没有重复数字的三位数.

4.边长为整数的长方形，面积为693平方厘米,其周长最多可有 种不同的数值.

5.两个点可以连成一条线段,3个点可以连成三条线段,4个点可以连成六条线段,5个点可以连成几条线段?6个点可以连成 条线段.

6.学雷锋小组的一次集会,参加会的人每两人握手一次,共握手36次,这个小组共有 人.

7.数出图中长方形(包括正方形)的总个数是 .

E

D

C

B A

8.用9枚钉子组成33⨯方阵,用橡皮筋勾在3枚钉子上,组成一个三角形,共可组成 个三角形.

9.有5人参加的学雷锋小队上街宣传交通规则,站成一排,只有2名队长不排在一起,一共有 种排法.

10.在图中画出n ⨯3方格中(n 是自然数)每一列中的3个方格中分别用红、白、蓝三种颜色任意染色(每列中三格的颜色各不相同).最少需要 列才能保证至少使两列染色的方式相同.

习题答案：

第[1]道题答案：

60.

第一步,取一本画报,有6种方法;第二步,取一本科技书,有10种方法.根据乘法原理,一共有6×10=60(种)不同取法.

第[2]道题答案：

16384.

放第一个球,有4种方法;放第二个球,也有4种方法,…,放第七个球,还有4种方法.由乘法原理知,一共有4×4×4×4×4×4×4=47=16384(种)放法.

第[3]道题答案：

648.

第一步,排百位数字,有9种方法(0不能作首位);第二步,排十位数字,有9种方法;第三步,排个位数字,有8种方法.根据乘法原理,一共有9×9×8=648(个)没有重复数字的三位数.

第[4]道题答案：

6.

将693分解质因数得693=7×11×32,它有(1+1)×(1+1)×(2+1)=12个约数,故它可以组成6组不同的长和宽,即周长最多有6种不同数值.

第[5]道题答案：

10;15.

每一条线段有两个端点,从五个点中选一个点作为端点有5种方法,而选第二个点有4种方法,共有5×4=20(种)方法.但是因先选A 再选B 与先选B 再选A

……

……

……

是同一条线段,故实际上是(5×4)÷2=10(条)线段.

同理,六个点可以连成(6×5)÷2=15(条)线段.

第[6]道题答案：

9.

设小组有x 人,则握手总次数为

362

)

1(=-x x ,即72)1((=-x x .相邻两个连续自然数的积为72,即9×8=72,故x =9.

第[7]道题答案：

90.

大长方形长上有6个点,共可组成152

5

6=⨯条线段;大长方形宽上有4个点,可以组成

62

3

4=⨯条线段.故图中长方形的个数为15×6=90(个).

第[8]道题答案：

72.

从9枚钉子中取3枚,先取第一枚有9种方法,再取第二枚有8种方法,最后取第三枚有7种方法,共有9×8×7种方法.但其中每个三角形顶点有6种排列次序,故实际上只有9×8×7÷6=84种方法.又有三个点在一直线不能组成三角形,这种情况有8种,所以一共可得到84-8=72(个)三角形.

第[9]道题答案：

72.

我们可以先将除二名队长的三人排成一列,有3×2×1=6(种)排法.

再将两名队长插入到这三个人之间或两头,第一个队长有4种方法,第二个队长有3种方法,故一共有6×4×3=72(种)排法.

第[10]道题答案：

7.

每一列的排法有3×2×1=6(种),故最少需要6+1=7(列)才能保证至少有两列染色方式相同.