小学数学高频考点讲义33专题三十三 分步计数原理(一)
分类计数原理与分步计数原理-课件
相互排斥原理与相互独立原理
相互排斥原理
通过相互排斥原理，我们可以解决一些带有条 件限制的计数问题，有效地减少计数。
相互独立原理
相互独立原理用于解决同时发生多个独立事件 的计数问题，了解如何将问题分解为独立的部 分进行计数。
鼓励学生运用所学知 识，解决更多实际问 题，提高计数能力。
分类计数原理与分步计数 原理-PPT课件
欢迎来到本次演示，我们将一起探索分类计数原理和分步计数原理的奥秘， 了解它们在数学中的应用以及相互之间的联系。
分类计数原理
1 了解基本概念
2 掌握应用技巧
3 举例说明
分类计数原理是一种 用于计算和统计的基 本原理，可以帮助我 们解决各种实际问题。
学习分类计数原理的 技巧和方法，掌握如 何将问题分解和分类， 有效地解决复杂的计 数问题。
通过实际案例，展示 分类计数原理在实际 问题中的应用，帮助 大家更好地理解和掌 握。
分步计数原理
原理解析
分步计数原理通过将一个 复杂的计数问题分解为多 个简单的步骤，逐步求解， 从而得到最终结果。
流程示例
通过一个实际问题的例子， 详细展示分步计数原理的 具体流程和解题步骤，帮 助大家理解和掌握。
应用实践
排列与组合的关系
1
组合
2
深入掌握组合的原理和计算方法，
探索组合与排列的不同之处，以及
它们在实际问题中的应用。
3
排列
学习排列的概念和计算方法，了解 排列与组合的关系及其应用。
综合运用
通过实际问题，综合运用排列和组 合的知识，解决更复杂的计数问题。
应用实例
6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理第1课时PPT课件(人教版)
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
解:(1)分四类:第1类,从一班学生中选1人,有7种选法;第2类,从二班 学生中选1人,有8种选法;第3类,从三班学生中选1人,有9种选法;第4 类,从四班学生中选1人,有10种选法. 由分类加法计数原理知共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种). (2)分四步:第1、2、3、4步分别从一、二、三、四班学生中选一 人任组长.
加法计数原理知共有不同的选法
N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种).
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.使用两个原理的原则 使用两个原理解题时,一定要从“分类”“分步”的角度入手.“分类”是 对于较复杂应用问题的元素分成互相排挤的几类,逐类解决,用分 类加法计数原理;“分步”就是把问题分化为几个互相关联的步骤,然 后逐步解决,这时可用分步乘法计数原理. 2.应用两个计数原理计数的四个步骤 (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事. (3)判断它属于分类还是分步,是先分类后分步,还是先分步后分类. (4)选择计数原理进行计算.
探究二探Leabharlann 三素养形成当堂检测
变式训练2要从教学楼的一层走到三层,已知从一层到二层有4个扶 梯可走,从二层到三层有2个扶梯可走,则从一层到三层有多少种不 同的走法? 解:第1步,从一层到二层有4种不同的走法; 第2步,从二层到三层有2种不同的走法. 根据分步乘法计数原理知,从教学楼的一层到三层的不同走法有
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟 1.分类加法计数原理的推广 分类加法计数原理:完成一件事有n类不同的方案,在第1类方案中 有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,……,在第n 类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2+m3+…+mn种不同的方法. 2.能用分类加法计数原理解决的问题具有如下特点 (1)完成一件事有若干种方案,这些方案可以分成n类; (2)用每一类中的每一种方法都可以单独完成这件事; (3)把各类的方法数相加,就可以得到完成这件事的所有方法数.
分步计数原理分类计数原理一ppt课件
件事共有N m1 m2 种不m同n 的方法.
分类加法计数原理和分步乘法计数原理的 共同点：回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题 不同点：分类加法计数原理与分类有关，
情境问题
一学生从外面进入教室有多少 种走法？若进来再出去，有多少 走法？
2018年6月14日——7月15日在俄罗斯举行的第21届世界 杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环 赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后， 最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共 安排了多少场比赛？
分类加法计数原理
如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中 都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？
一般归纳：完成一件事情有n类不同方案，
在第1类方案中有 m1种不同的方法，在第2类方 案中有m2 种不同的方法……在第n类方案中有
种不同的方法.那么完成这件事共有 mn
N= m1+m2+… + mn 种不同的方法
注:⑴把完成一件事的所有方法分类. (注意不重不漏)
⑵分类──类类相加. (每类中的每一种方法都独立完成这件事)
例2、在例1中，如果数学也是A大学的强项专业，
则A大学共有6个专业可以选择，B大学共有4个专
业可以选择，那么用分类加法计数原理，得到这
名同学可能的专业选择共有
6+4=10种
这种算法有什么问题？
最后结果，只须一种方法 这件事，只有各个步骤都完成
就可完成这件事。
了，才能完成这件事。
区别3 各类办法是互相独立的。 各步之间是互相关联的。
第一节,分类加法计数原理与分步乘法计数原理1
4
草地
思考
水路
狐狸总共有多少种
2种
安全地 方法逃到安全地？
陆路
3种
如果狐狸还有4辆自行车可以选择呢? 2+3+4=9种
探究1
如果完成一件事情有3类不同方案，在第 1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中 有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3类不 同的方法，那么完成这件事情有
一种方法就可完成这件 有各个步骤都完成了，才
事。
能完成这件事。
区别3
各类办法是互斥的， 并列的，独立的。
各步之间是关联的、独立 的，“关联”确保不遗 漏，”独立“确保不 重复。
即：类类互斥，步步独立
18
(1) 草地到安全地
完成这个事情有几类方案
两类
每类方案能否独立完成这件事情
能
每类方案中分别有几种不同的方法
2种 3种
完成这件事情共有多少种不同的方法
2+3=5种
3
互不相容
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有 m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方
法,那么完成这件事共有: N=m+n种不同的方法。 思考 原理使用的前提条件是什么?
分析: 分三类：
第一类：从第1层取，有4种方法;
第二类：从第2层取，有3种方法;
第三类：从第3层取，有2种方法。
所以从书架上任取1本书共有4+3+
2 =9 种不同的取法
15
问2.一个书架共有三层，第1层放有4 本不同的计算机书，第2层放有3本不 同的文艺书，第3层放有2本不同的体 育书。从书架的第1、2、3层各取1本 书，有多少种不同的取法？
分步乘法计数原理
分步乘法计数原理分步乘法计数原理是组合数学中的一个重要概念，它在解决排列和组合问题时起着重要作用。
通过分步乘法计数原理，我们可以更加灵活地处理各种复杂的排列和组合情况，从而更加高效地解决实际问题。
本文将从基本概念、应用方法和实例分析三个方面来介绍分步乘法计数原理。
基本概念。
分步乘法计数原理是指，如果一个任务可以分解为若干个相互独立的子任务，且每个子任务都有若干种方式完成，那么完成整个任务的方式数就是各个子任务完成方式数的乘积。
这个原理在排列和组合问题中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和解决各种复杂的计数问题。
应用方法。
在实际应用中，我们可以通过以下步骤来应用分步乘法计数原理：1. 将整个任务分解为若干个相互独立的子任务；2. 分别计算每个子任务的完成方式数；3. 将各个子任务完成方式数相乘，得到整个任务的完成方式数。
通过这样的方法，我们可以更加系统地分析和计算各种排列和组合问题，从而更加高效地解决实际应用中的计数难题。
实例分析。
下面通过一个实例来进一步说明分步乘法计数原理的具体应用。
假设有一个班级，其中有5名男生和3名女生，现在要从中选出一名班长和一名副班长，要求班长和副班长不能是同一性别。
那么按照分步乘法计数原理，我们可以分解为两个子任务，首先选出班长，然后再选出副班长。
对于选出班长的子任务，由于班长不能是同一性别，所以选出班长的方式数为5（男生）+ 3（女生）= 8。
对于选出副班长的子任务，由于副班长不能是和班长同一性别，所以选出副班长的方式数为4（男生）+ 3（女生）= 7。
因此，根据分步乘法计数原理，选出班长和副班长的方式数为8 7 = 56。
通过这个实例，我们可以看到分步乘法计数原理的应用方法和计算过程。
通过将整个任务分解为若干个子任务，并分别计算每个子任务的完成方式数，最后将各个子任务的完成方式数相乘，我们可以更加高效地解决各种排列和组合问题。
总结。
分步乘法计数原理是组合数学中的重要概念，它在解决排列和组合问题时有着重要的应用价值。
分类加法计数原理与分步乘法计数原理PPT演示人教A版1
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
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1.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本， 则购买方式共有( )
A．3种
B．6种
C．7种 D．9种
解析：分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购 买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝ 7(种)．
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精有3条，由
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
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探究1
如果完成一件事情有3类不同方案，
在第1类方案中有m1种不同的方法， 在第2类方案中有m2种不同的方法， 在第3类方案中有m3种不同的方法， 那么完成这件事情有
完成一件事有两类不同的方案，
在第1类方案中有m种不同的方法， 在第2类方案中有n种不同的方法，
那么完成这件事共有 N= m+ n
种不同的方法。
分类加法计数原理与分步乘法计数原 理PPT演 示人教 A版1（ 精品课 件）
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1.1.1分类计数原理与分步计数原理1
问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也
可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火 车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一 天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法?
分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法;
字母 A
树形图
பைடு நூலகம்数字
1 2 3 4 5 6 7 8 9
得到的号码
A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
问题 2. 如图,由A村去B村的道路有3条，
由B村去C村的道路有2条。从A村经B村去 C村，共有多少种不同的走法?
北
北
A村
中 南
B村 南 C村
分析: 从A村经 B村去C村有2步,
第一步, 由A村去B村有3种方法, 第二步, 由B村去C村有3种方法, 所以 从A村经 B村去C村共有 3 ×2 = 6 种 不同的方法。
二、分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤。做第1步有m1 种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法， ……， 做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有
N= m1×m2×… ×mn种不同的方法
说明
1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事 才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的 方法总数,又称乘法原理
解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。 根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+4＝9种。
思考？
用前6个大写英文字母和1～9九个 阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2，···的方式给教室里的座位编号，总 共能编出多少个不同的号码？
分类计数原理与分步计数原理1
在运用排列、组合方法时，经常要用到分 类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些 例子来说明这两个原理
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
请看下面问题1：
解题回顾： 分类计数原理与分步计数原 理，回答的都是有关做一件事的不同方法 种数的问题。区别在于：分类计数原理针 对的是“分类”问题，其中各种方法相互 独立，用其中任何一种方法都可以做完这 件事；分步计数原理针对的是“分步”问 题，各步骤中的方法相互依存，只有各个 步骤都完成才算做完这件事。
； 空包网 空包 单号网 ；
从甲地到乙地,可以乘火车,也可以乘汽
车.一天中,火车有3班,汽车有2班,那么一天
中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多
少种不同的走法?
画图分析
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1) 分析： 因为一天中乘火车有3种走法,乘汽 车有2种走法,每一种走法都可以从甲地到 乙地,所以共有3+2=5种不同走法,
如图：
§10.1 分类计数原理与分步计数原理(1)
一般地，有如下原理： 分类计数原理：做一件事，完成它可
以有n类办法，在第1类办法中有m1种不 同的方法，在第2类办法中有m2种不同的 方法，……，在第n类办法中有mn种不同 的方法．那么完成这件事共有
N＝m1十m2十…十mn种不同的方法．
对于分类计数原理，我们应注意以下几点. （1）从分类计数原理中可以看出，各类之间相 互独立，都能完成这件事，且各类方法数相加， 所以分类计数原理又称加法原理； （2）分类时，首先要根据问题的特点确定一个 分类的标准，然后在确定的分类标准下进行分类 （3）完成这件事的任何一种方法必属于某一类 ，并且分别属于不同两类的两种方法都是不同的 方法.
1.1.2分步乘法计数原理(22张)
【针对训练1】一种号码锁有4个拨号 盘,每个拨号盘上有从0到9共十个数字, 这4个拨号盘可以组成多少个四位数的 号码(各位上的数字允许重复)?
【解析】按从左到右的顺序拨号可以分四步完成:
第一步,有10种拨号方式,所以m1=10; 第二步,有10种拨号方式,所以m2=10; 第三步,有10种拨号方式,所以m3=10; 第四步,有10种拨号方式,所以m4=10.
枣庄坐火车到济南办事,再于次日从济南乘汽
车到青岛旅游,一天中火车有3班,汽车有2班.
他将如何安排行程?
【解析】因为乘火车有3种走法,乘汽车有2种走法,所以从枣庄到 青岛需乘1次火车再接着乘1次汽车就可以了,共有3×2=6种不同 走法,如图.
完成一件事需要两个步骤,做第1步有m 种不同 的方法,做第2步有n 种不同的方法,那么完成这件事 共有N= m× n种不同的方法。
(3)百位数字只有4种选择,十位数字有9种选择,个位数字有8种选
择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有4×9×8=288个.
【例3】有A,B,C型高级电脑各一台,甲、乙、丙、丁4个
操作人员的技术等级不同,甲、乙会操作三种型号的电
脑,丙不会操作C型电脑,而丁只会操作A型电脑.从这4个
操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑,则不同 的选派方法有多少种?
【解析】由于0不可在最高位,因此应对它进行单独考虑. (1)百位数字有9种选择,十位数字和个位数字都各有10种选择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有9×10×10=900个.
(2)由于数字不可重复,因此百位数字有9种选择,十位数字也有9种
选择,个位数字有8种选择. 由分步乘法计数原理知,符合题意的三位数共有9×9×8=648个.
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A
专题三十三 分步计数原理（一）
例题：
1.在88 的棋盘上可以找到多少个形如右图所示的“凸”字形图形?
分析与解答：
如图,将标有A 字的方格称为凸字形的“头”,当“头”在8×8的正方形边上时,一个“头”对应着一个凸字形,这样的凸字形有6×4=24(个);当“头”位于8×8的正方形内部时,一个“头”对应着4个凸字形,这样的下凸字形有4×(6×6)=144(个),合计24+144=168(个).
2.某城市的街道非常整齐(如图),从西南角A 处走到东北角B 处,要求走得最近的路,并且不能通过十字路口C (正在修路),共有多少种不同的走法?
分析与解答：
用标数法可以求出一共有120(种)走法.
3.一个自然数,如果它顺着数和倒过来数都是一样的,则称这个数为“回文数”.例如1331, 7, 202都是回文数.而220则不是回文数.问1到6位的回文数一共有多少个?
分析与解答：
→B →A C →B
→A
C
1 1 1 1 1 1 1
2
3
4 5
7 6 3
6
10
13
6
1
4 10 20 20
39 26 1
5 15 25 55 120 81 1
一位回文数有9个;二位回文字也有9个;三位回文数有9×10=90(个);四位回文数也有90个;五位回文数有9×10×10=900(个);六位回文数也有900个.一共有9+9+90+90+900+900=1998(个).
4.如图,把A 、B 、C 、D 、E 这个五部分用四种不同的颜色着色,且相邻的部分不能使用同一种颜色,不相领的部分可以使用同一种颜色.那么这幅图一共有多少种不同的着色方法?
分析与解答：
按A ,B ,C ,D ,E 的顺序,分别有4,3,2,2,2种颜色可选,所以不同颜色着色方法共有4×3×2×2×2=96(种).
习题：
1.书架上有6本不同的画报、10本不同科技书,请你每次从书架上任取一本画报、一本科技书,共有 种不同的取法.
2.七个相同的球,放入四个不同的盒子里,每个盒子至少放一个.不同的放法有 种.
3.用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字,能够组成 个没有重复数字的三位数.
4.边长为整数的长方形，面积为693平方厘米,其周长最多可有 种不同的数值.
5.两个点可以连成一条线段,3个点可以连成三条线段,4个点可以连成六条线段,5个点可以连成几条线段?6个点可以连成 条线段.
6.学雷锋小组的一次集会,参加会的人每两人握手一次,共握手36次,这个小组共有 人.
7.数出图中长方形(包括正方形)的总个数是 .
E
D
C
B A
8.用9枚钉子组成33⨯方阵,用橡皮筋勾在3枚钉子上,组成一个三角形,共可组成 个三角形.
9.有5人参加的学雷锋小队上街宣传交通规则,站成一排,只有2名队长不排在一起,一共有 种排法.
10.在图中画出n ⨯3方格中(n 是自然数)每一列中的3个方格中分别用红、白、蓝三种颜色任意染色(每列中三格的颜色各不相同).最少需要 列才能保证至少使两列染色的方式相同.
习题答案：
第[1]道题答案：
60.
第一步,取一本画报,有6种方法;第二步,取一本科技书,有10种方法.根据乘法原理,一共有6×10=60(种)不同取法.
第[2]道题答案：
16384.
放第一个球,有4种方法;放第二个球,也有4种方法,…,放第七个球,还有4种方法.由乘法原理知,一共有4×4×4×4×4×4×4=47=16384(种)放法.
第[3]道题答案：
648.
第一步,排百位数字,有9种方法(0不能作首位);第二步,排十位数字,有9种方法;第三步,排个位数字,有8种方法.根据乘法原理,一共有9×9×8=648(个)没有重复数字的三位数.
第[4]道题答案：
6.
将693分解质因数得693=7×11×32,它有(1+1)×(1+1)×(2+1)=12个约数,故它可以组成6组不同的长和宽,即周长最多有6种不同数值.
第[5]道题答案：
10;15.
每一条线段有两个端点,从五个点中选一个点作为端点有5种方法,而选第二个点有4种方法,共有5×4=20(种)方法.但是因先选A 再选B 与先选B 再选A
……
……
……
是同一条线段,故实际上是(5×4)÷2=10(条)线段.
同理,六个点可以连成(6×5)÷2=15(条)线段.
第[6]道题答案：
9.
设小组有x 人,则握手总次数为
362
)
1(=-x x ,即72)1((=-x x .相邻两个连续自然数的积为72,即9×8=72,故x =9.
第[7]道题答案：
90.
大长方形长上有6个点,共可组成152
5
6=⨯条线段;大长方形宽上有4个点,可以组成
62
3
4=⨯条线段.故图中长方形的个数为15×6=90(个).
第[8]道题答案：
72.
从9枚钉子中取3枚,先取第一枚有9种方法,再取第二枚有8种方法,最后取第三枚有7种方法,共有9×8×7种方法.但其中每个三角形顶点有6种排列次序,故实际上只有9×8×7÷6=84种方法.又有三个点在一直线不能组成三角形,这种情况有8种,所以一共可得到84-8=72(个)三角形.
第[9]道题答案：
72.
我们可以先将除二名队长的三人排成一列,有3×2×1=6(种)排法.
再将两名队长插入到这三个人之间或两头,第一个队长有4种方法,第二个队长有3种方法,故一共有6×4×3=72(种)排法.
第[10]道题答案：
7.
每一列的排法有3×2×1=6(种),故最少需要6+1=7(列)才能保证至少有两列染色方式相同.。