函数零点的题型总结

根据函数零点个数确定参数范围的方法:(1)直接解方程f(x)=0,根据该方程的解,得出符合零点个数要求的参数值满足的不等式解得参数范围;(2)数形结合,把f(x)=0分拆为g(x)=h(x),已知的零点个数即为函数y=g(x)的图象与函数y=h(x)的图象交点的个数,据此得出参数值满足的不等式解得参数范围;(3)研究函数的单调性和极值点等,利用函数零点的存在性定理得出参数满足的不等式解得参数范围.
【题组通关】
1.已知a>1,方程 ex+x-a=0与ln 2x+x-a=0的根分别为x1,x2,则 + +2x1x2的取值范围为( A )
(A)(1,+∞)(B)(0,+∞)
(C)( ,+∞)(D)( ,1)
解析:方程 ex+x-a=0的根,即y= ex与y=a-x图象交点的横坐标,
方程ln 2x+x-a=0的根,即y=ln 2x与y=a-x图象交点的横坐标,
(A)(24,25)(B)(18,24)
(C)(21,24)(D)(18,25)
解析:由题意可知,ab=1,c+d=10,所以abcd=cd=c(10-c),4<c<5,所以取值范围是(24,25),故选A.
考点四 函数零点的应用
【例6】 (1)已知α,β分别满足α·eα=e2,β(ln β-2)=e4,则αβ的值为( )
所以函数f(x)在区间( , )内必有零点,选B.
利用方程根的存在性定理判断函数零点所在区间的步骤:①先移项使方程右边为零,再令方程左边为函数 f(x);②求区间(a,b)两端点的函数值f(a),f(b);③若函数在该区间上连续且f(a)·f(b)<0,则方程在该区间内必有根.
【跟踪训练1】 已知函数f(x)= -log3x,在下列区间中包含f(x)零点的是( )
【题组通关】
1.若函数f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a的取值范围为( C )
(A)(0,4)(B)(0,+∞)
(C)(3,4)(D)(3,+∞)
解析:如图,若f(x)=|2x-4|-a存在两个零点,且一个为正数,另一个为负数,则a∈(3,4),故选C.
2.已知偶函数f(x)= 且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)- 在区间[-2 018,2 018]的零点个数为( A )
【 巩固训练1】 设函数f(x)=ln (x+1)+a(x2-x),若f(x)在区间(0,+∞)上无零点,则实数a的取值范围是( )
(A)[0,1](B)[-1,0]
(C)[0,2](D)[-1,1]
解析:f(1)=ln 2>0,
当a=-1时,f(2)=ln 3-2<0,所以f(x)在(1,2)上至少有一个零点,舍去B,D;
(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)
解析:由题意,函数f(x)= -log3x为单调递减函数,
且f(2)= -log32=1-log32>0,f(3)= -log33=- <0,
所以f(2)·f(3)<0,
所以函数f(x)= -log3x在区间(2,3)上存在零点,故选C.
(C)[- ,- )(D)[- ,- )
解析:(1)可知x≥1时,f(x)=2必有一解,x=e,所以只需x<1时f(x)=2有一解即可,即x2-4x+a=2有解,设g(x)=x2-4x+a-2,由于该函数的对称轴为直线x=2,故只需g(1)=-3+a-2<0,即a<5,故实数a的取值范围是(-∞,5).选C.
当0<x<8时,函数f(x)与函数y= 图象有4个交点,2 018=252×8+2
由f(2)=|log42|= > = 知,
当0<x<2时函数f(x)与函数y= 图象有2个交点.
故函数F(x)的零点个数为(252×4+2)×2=2 020,
故选A.
3.已知函数f(x)= 若关于x的方程f(x)=k有两个不同零点,则k的取值范围是.
由 x3=- x4可得x3x4=1,
函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点,
等价于y=f(x)的图象与y=b的图象有四个不同的交点,
画出y=f(x)的图象与y=b的图象,由图可得1<b≤2,所以1< x3≤2⇒x3∈[ , ),
所以 - = + = + ,
令t= ∈[ , ),
所以 +t∈( , ],故选B.
解析:(2)- -3a=- -3a= -1-3a,在(-∞,-2]上单调递减.若a≥0,则ex- 在(-2,0)上递增,那么零点个数至多有一个,不符合题意,故a<0.故需f(x)当x≤-2时,-1-3a>0,a<- ,且 -1-3a≤0,a≥- ,使得第一段有一个零点,故a∈[- ,- ).对于第二段,ex- = ,故需g(x)=xex-a在区间(-2,0)有两个零点,g′(x)=(x+1)ex,故g(x)在(-2,-1)上递减,在(-1,0)上递增,所以 解得- >a>- .综上所述,a∈(- ,- ).故选A.
解析:(2)因为满足f( +x)=f( -x),
所以f(x)=f(2-x),
又因函数f(x)为偶函数,
所以f(x)=f(-x)=f(2+x),即f(x)=f(2+x),
所以T=2,令F(x)=0,f(x)= ,即求f(x)与y= 交点横坐标之和.
y= = + ,
作出图象如图所示.
由图象可知有10个交点,并且关于( , )中心对称,
对于函数f(x),如果存在a,b,c使得f(a)=f(b)=f(c),这里a,b,c是函数y=f(x)的图象与直线y=t的交点横坐标,不妨把这样的a,b,c称为函数f(x)的隐性零点,解决该类问题的关键是:存在直线y=t,使得函数y=f(x)的图象有满足要求的交点个数,从而可以从数形结合的角度得出a,b,c的取值范围或者某种关系,再利用f(a)=f(b)=f(c),建立其求解的问题与a,b,c的关系后解决问题.
当a=2时,f( )=ln - <0,所以f(x)在( ,1)上至少有一个零点,舍去C.因此选A.
考点二 函数零点的个数
考查角度1:由函数解析式确定零点个数
【例2】 (1)函数f(x)=xcos(x2-2x-3)在区间[-1,4]上的零点个数为( )
(A)5(B)4(C)Байду номын сангаас(D)2
(2)(2018·广西桂林、贺州、崇左三市二联)已知f(x)= +x- ,则y=f(x)的零点个数是( )
解析:(2)令 +x- =0,化简得2|x|=2-x2,画出y=2|x|,y=2-x2的图象,由图可知,图象有两个交点,即函数 f(x)有两个零点.故选C.
根据函数解析式求函数零点个数,方法有三:(1)直接求零点:令f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点;(2)零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点;(3)利用图象交点的个数:将函数变形为两个函数的差,画两个函数的图象,看其交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.
所以其和为 =5.
答案:(1)B (2)5
解题关键:建立不同零点之间的关系,把多元代数式化为单元代数式或者常数,解题中要充分考虑函数图象的对称性,若轴对称(如偶函数、二次函数)和中心对称(如奇函数、三次函数等)等建立对称零点间的关系.
考查角度2:隐性零点的性质
【例5】已知函数f(x)= 若m<n,且f(m)=f(n),则n-m的取值范围为( )
(A)2 020(B)2 016
(C)1 010(D)1 008
解析:依题意,当4<x<8时,f(x)=f(8-x)对称轴为直线x=4,由f(x-8)=f(x)可知,函数f(x)的周期T=8.
令F(x)=0,可得f(x)= ,
求函数F(x)=f(x)- 的零点个数,即求偶函数f(x)与函数y= 图象交点个数,
由图象可知,当-1<t3<0时,f(x)=t有三个根,即函数f(f(x))有3个零点;
由图象可知,当1<t4<2时,f(x)=t有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;
综上所述,函数f(f(x))有8个零点.
考点三 函数零点的性质
考查角度1:求零点的代数式的取值或取值范围
【例4】 (1)已知函数f(x)= 函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且满足:x1<x2<x3<x4,则 - 的取值范围是( )
令f(x)=t,因为f(f(x))=0则f(t)=0,
由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t1=2,t2=3,-1<t3<0,1<t4<2,
由图象可知,当t1=2时,f(x)=2有两个根,即函数f(f(x))有2个零点;
由图象可知,当t2=3时,f(x)=3有一个根,即函数f(f(x))有1个零点;
(A)[3-2ln 2,2)(B)[3-2ln 2,2]
(C)[e-1,2)(D)[e-1,2]
解析:作出函数f(x)的图象,如图所示,若m<n,且f(m)=f(n),
则当ln(x+1)=1时,得x+1=e,即x=e-1,
则满足0<n≤e-1,
-2<m≤0,
则ln(n+1)= m+1,即m=2ln(n+1)-2,则n-m=n+2-2ln(n+1),
考查角度2:根据函数零点个数确定参数范围